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第2 章 有理数的运算·培优卷
【新教材人教版】
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．（25-26 七年级上·河南洛阳·期末）计算：(−3) + ( +5) = （ ）
A．−2
B．−8
C．2
D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则，准确计算．
根据有理数加法运算法则进行计算即可；
【详解】解：(−3) + ( +5)
= 5−3
= 2．
故选：C．
2．（25-26 七年级下·广东佛山·期中）数据0.000000028 用科学记数法表示为（ ）
A．0.28 × 10−9
B．2.8 × 10−8
C．28 × 10−8
D．2.8 × 10−7
【答案】B
【详解】解：0.000000028 = 2.8 × 10−8．
3．（25-26 七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对乘积(−2025) × (−2025) × (−2025) × (−2025)记法正确的
是（ ）
A．−20254
B．(−2025)4
C．−(−2025)4
D．−( +2025)4
【答案】B
【分析】根据乘方定义即可判断；
【详解】解：∵根据乘方定义，𝑛个相同因数𝑎相乘，记作𝑎𝑛，其中𝑎为底数，𝑛为指数，
本题中共有4个相同因数(−2025)相乘，
∴底数为(−2025)，指数为4，正确记法为(−2025)4．
4．（25-26 七年级上·福建泉州·期末）近似数1.25 × 105表示精确到（ ）
A．千位
B．万位
C．十分位
D．百分位
【答案】A
【分析】对于用科学记数法表示的近似数，判断精确到哪一位时，需要先将其还原为原数，再看有效数字
的末位在原数中的数位即可.
【详解】解：∵ 1.25 × 105 = 125000，
∴ 原数中近似数的末位数字5 位于千位，
∴ 近似数1.25 × 105精确到千位.
5．（25-26 七年级上·湖南娄底·期末）如图，是一个数值运算程序框图，若开始输入𝑥= 10，则最后输出的
结果是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的混合运算，关键是根据输入值的类型(整数或分数)选择对应的运算，再判断运
算结果是否为奇数，若不是则循环执行，直到结果为奇数时输出．
【详解】解：输入𝑥= 10，10是整数，执行运算10 ÷ |−22| = 2.5，
2.5是分数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算；
2.5是分数，执行运算2.5 +
33
2 = 16，
16是整数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算；
∵16是整数，执行运算16 ÷ −22| = 4，
4是整数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算；
4是整数，执行运算4 ÷ |−22| = 1，
1是奇数，满足“结果为奇数”的条件，输出结果1；
故选：A．
6．（25-26 七年级下·黑龙江大庆·期中）一根1 米长的绳子第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此
剪下去，剪第六次后，剩下的绳子的长度为（ ）
A．1−
1
2
6
B．
1
2
5
C．
1
2
6
D．1−
1
2
5
【答案】C
【详解】解：第一次后剩下的绳子的长度为1−
1
2 =
1
2，
第二次后剩下的绳子的长度为
1
2−
1
2 ×
1
2 =
1
4 =
1
2
2
米；
第三次后剩下的绳子的长度为
1
4−
1
2 ×
1
4 =
1
8 =
1
2
3
米；
⋯；
∴第六次后剩下的绳子的长度为
1
2
6
米．
7．（25-26 七年级上·重庆渝北·期中）嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、−2、3、−4、5、−6、7、−8
分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4 个数字之和都相等，则𝑐的值为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．−8
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的加减运算与一元一次方程在幻方数字和问题中的应用，解题关键是通过总数
字和确定相等的和，再列方程求解未知量．
先计算所有数字的总和，确定横、竖及正方形顶点数字之和的定值，再通过列方程依次求出b、𝑎+ 𝑑，最
后结合内正方形顶点数字和的关系求出c 的值．
【详解】计算所有数字的总和为：
1 + (−2) + 3 + (−4) + 5 + (−6) + 7 + (−8)
= (1 + 3 + 5 + 7) + (−2−4−6−8)
= 16−20
= −4；
因为横、竖以及内外两个正方形顶点上的4 个数字之和都相等，
所以每个“和”为
−4
2 = −2．
先看竖列：−4 + (−6) + 𝑏+ 7 = −2，即−3 + 𝑏= −2，
解得𝑏= 1．
再看外正方形顶点：−4 + 𝑎+ 7 + 𝑑= −2，即3 + 𝑎+ 𝑑= −2，
解得𝑎+ 𝑑= −5．
剩下的数字为−2、3、5、−8，
因为𝑎+ 𝑑= −5，而剩下的两个数字3 + (−8) = −5，
所以𝑎和𝑑分别为3和−8（顺序可换）．
最后看内正方形顶点：𝑐+ (−6) + (−2) + 𝑏= −2，
已知𝑏= 1，代入得𝑐−8 + 1 = −2，即𝑐−7 = −2，
解得𝑐= 5．
故选：C．
8．（25-26 七年级上·重庆北碚·月考）下列说法：①若|𝑎| = |𝑏|，则𝑎= 𝑏；②若|𝑎| = 𝑎，则𝑎> 0；③若
𝑎𝑏< 0，则
|𝑎|
𝑎+
|𝑏|
𝑏+
|𝑎𝑏|
𝑎𝑏= −1．其中正确的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查有理数的除法和绝对值，熟练掌握有理数的运算法则及绝对值的性质是解题的关键．
根据绝对值的意义可直接判断①和②；根据绝对值的意义和有理数的运算法则可判断③．
【详解】对于说法①：∵|𝑎| = |𝑏|，∴a 与 b 可能相等或互为相反数（如𝑎= 1,𝑏= −1），∴ ①错误．
对于说法②：∵|𝑎| = 𝑎，∴𝑎≥0，∴𝑎> 0不一定成立（如𝑎= 0），∴ ②错误．
对于说法③：∵𝑎𝑏< 0，
∴ a 与 b 异号，
当𝑎> 0,𝑏< 0时，
|𝑎|
𝑎+
|𝑏|
𝑏+
|𝑎𝑏|
𝑎𝑏=
𝑎
𝑎+
−𝑏
𝑏+
−𝑎𝑏
𝑎𝑏= 1−1−1 = −1；
当𝑎< 0,𝑏> 0时，
|𝑎|
𝑎+
|𝑏|
𝑏+
|𝑎𝑏|
𝑎𝑏=
−𝑎
𝑎+
𝑏
𝑏+
−𝑎𝑏
𝑎𝑏= −1 + 1−1 = −1；
∴ ③正确．
综上，正确个数为1，
故选：B．
9．（25-26 八年级上·福建厦门·期末）我国数学家华罗庚在《数学是我国人民所擅长的学科》中谈到，我国
古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，“杨辉三角”就是一例，它具有一定的规律性．从如图中取一斜
列数：1，3，6，10，15，…，我们把第1 个数记为𝑎1，第2 个数记为𝑎2，第3 个数记为𝑎3，…，第n 个数
记为𝑎𝑛．则
1
𝑎1 +
1
𝑎2 +⋯+
1
𝑎2026的值为（ ）
A．
4052
2026
B．
4052
2027
C．
2025
1013
D．
2026
2027
【答案】B
【分析】本题主要考查数字的变化规律，找到变化规律是解题的关键．根据前几个数的特点，找到规律，
得出答案．
【详解】解：第一个数记为𝑎1 = 1，第二个数记为𝑎2 = 3 = 1 + 2，第三个数记为𝑎3 = 6 = 1 + 2 + 3，第四
个数记为𝑎4 = 10 = 1 + 2 + 3 + 4，…
∴第𝑛个数记为𝑎𝑛= 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯+ 𝑛=
1
2𝑛(𝑛+ 1)，
∴
1
𝑎1 +
1
𝑎2 +⋯+
1
𝑎2026
=
1
1
2 × 1 × 2
+
1
1
2 × 2 × 3
+
1
1
2 × 3 × 4
+ ⋯+
1
1
2 × 2026 × 2027
= 2 ×
1
1 × 2 +
1
2 × 3 +
1
3 × 4 + ⋯+
1
2026 × 2027
= 2 × 1−
1
2 +
1
2 −
1
3 +
1
3 −
1
4 + ⋯+
1
2026 −
1
2027
= 2 × 1−
1
2027
= 2 × 2026
2027
=
4052
2027．
故选：B．
10．若𝑎、𝑏、𝑐均为整数，且|𝑎−𝑏| + |𝑐−𝑎| = 1，则|𝑎−𝑐| + |𝑐−𝑏| + |𝑏−𝑎|的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】先根据𝑎、𝑏、𝑐均为整数，且|𝑎−𝑏| + |𝑐−𝑎| = 1，可得|𝑎−𝑏| = 1，|𝑐−𝑎| = 0或|𝑎−𝑏| = 0，
|𝑐−𝑎| = 1，然后分两种情况分别求出|𝑎−𝑐| + |𝑐−𝑏| + |𝑏−𝑎|的值即可．
此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键．
【详解】解：∵𝑎，𝑏，𝑐均为整数，且|𝑎−𝑏| + |𝑐−𝑎| = 1，
∴|𝑎−𝑏| = 1，|𝑐−𝑎| = 0或|𝑎−𝑏| = 0，|𝑐−𝑎| = 1，
①当|𝑎−𝑏| = 1，|𝑐−𝑎| = 0时，𝑐= 𝑎，𝑎= 𝑏± 1，
∴ |𝑎−𝑐| + |𝑐−𝑏| + |𝑏−𝑎| = |𝑎−𝑐| + |𝑎−𝑏| + |𝑏−𝑎| = 0 + 1 + 1 = 2；
②当|𝑎−𝑏| = 0，|𝑐−𝑎| = 1时，𝑎= 𝑏，
∴ |𝑎−𝑐| + |𝑐−𝑏| + |𝑏−𝑎| = |𝑎−𝑐| + |𝑐−𝑎| + |𝑏−𝑎| = 1 + 1 + 0 = 2；
综上，|𝑎−𝑐| + |𝑐−𝑏| + |𝑏−𝑎|的值为2．
故选：B．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分18 分）
11．（25-26 六年级上·山东威海·期末）−6的绝对值与4 的差，再加上−7，结果为______．
【答案】−5
【分析】按照题目描述的运算顺序逐步计算：先求绝对值，再算减法，最后算加法．
【详解】解：先计算−6的绝对值与4 的差：|−6|−4 = 2，
再将所得的差加上−7：2 + (−7) = 2−7 = −5．
12．（25-26 六年级上·上海·期末）乐乐在计算(−15) ÷ 𝑚时，误将“ ÷ ”看成“ + ”，所得的结果是−12，那么
(−15) ÷ 𝑚的正确结果应是______．
【答案】−5
【分析】本题考查了有理数的减法和除法，根据题意求出𝑚的值，再代入算式计算即可求解，掌握有理数的
运算法则是解题的关键．
【详解】解：由题意得，(−15) +𝑚= −12，
∴𝑚= −12−(−15) = −12 + 15 = 3，
∴正确结果为(−15) ÷ 𝑚= (−15) ÷ 3 = −5，
故答案为：−5．
13．（25-26 七年级下·河北沧州·期中）若32 + 32 + 32 = 3？，则“？”所代表的数是______．
【答案】3
【分析】将32 + 32 + 32化成3 × 32，再根据同底数幂相乘即可．
【详解】解：32 + 32 + 32 = 3 × 32 = 31 × 32 = 33．
14．（25-26 六年级上·上海静安·期末）如图，现有5 张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、
乘方运算，从中选取4 张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4 张卡片上的数运算结果为24，写出
一个符合要求的等式为___________．
【答案】5−(−3) × 2−(−1) = 24或(−3) × (−6)−(−1) +5 = 24（答案不唯一）
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键．
任意取出4 张卡片，进行计算得出结果即可．
【详解】解：由题意得，可以用−3、−1、2、5这四个数来构造等式：
则5−(−3) × 2−(−1)
= 8 × 3
= 24；
或者用−3、−6、−1、5构造：
则(−3) × (−6)−(−1) +5
= 18 + 1 + 5
= 24，
故答案为：5−(−3) × 2−(−1) = 24或(−3) × (−6)−(−1) +5 = 24．
15．（25-26 七年级上·湖南益阳·期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学
模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌可通过分裂来繁殖后代，我们用数学模型3𝑛来表示
其繁殖数量的规律，即：31 = 3,32 = 9,33 = 27,34 = 81,35 = 243,36 = 729…，请你推算32026的个位数字
是_____．
【答案】
9
【分析】本题主要考查数字的变化规律，能够根据所给式子，探索出尾数的规律是解题的关键．通过观察 3𝑛
的个位数字变化规律，发现其每4 次循环一次，循环顺序为3，9，7，1；计算2026 除以4 的余数，根据余
数确定个位数字．
【详解】解：∵31 = 3，32 = 9，33 = 27，34 = 81，35 = 243，……，
所以，3𝑛 的个位数字按3，9，7，1 循环出现，周期为4，
2026 ÷ 4 = 506⋯2，余数为2 对应循环中的第二个数字9，
故 32026 的个位数字是9．
故答案为：9．
16．（25-26 七年级上·河南开封·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左至右有𝐴，𝐵，𝐶三点，其中
𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 1，设点𝐴，𝐵，𝐶所对应的数的和是𝑝，若以𝐴为原点，根据点𝐵，𝐶所对应的数，计算𝑝的值
为______；若原点𝑂在图中数轴上点𝐶的右边，且𝐵𝑂= 2025，计算𝑝的值为______．
【答案】
5
−6076
【分析】根据数轴上两点间的距离公式，分别求出点𝐴，𝐵，𝐶所对应的数即可解决问题．
【详解】解：①∵ 𝐴为原点，𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 1，
∴点𝐵所对应的数为2，
∵ 𝐵𝐶= 1，
∴点𝐶所对应的数为3，
∴ 𝑝= 0 + 2 + 3 = 5；
②∵原点𝑂在图中数轴上点𝐶的右边，且𝐵𝑂= 2025，
∴点𝐵所对应的数为−2025，
∵ 𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 1，
∴点𝐴所对应的数为−2025−2 = −2027，点𝐶所对应的数为−2025 + 1 = −2024，
∴ 𝑝= −2027 + (−2025) + (−2024) = −6076；
故答案为：5；−6076．
三、解答题（本大题共9 小题，满分72 分）
17．（6 分）（25-26 七年级上·江苏泰州·期末）计算：
(1)−5−(−9) + (−4) + |−8|；
(2)−12026 + (−2)3 × −
3
4 −6 ÷ −
1
3 ．
【答案】(1)
8
(2)
23
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则和运算顺序．
（1）先去括号和绝对值，再进行加减运算；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减．
【详解】（1）解：−5−(−9) + (−4) + |−8|
= −5 + 9−4 + 8
= 4−4 + 8
= 0 + 8
= 8
（2）解：−12026 + (−2)3 × −
3
4 −6 ÷ −
1
3
= −1 + (−8) × −
3
4 −6 × (−3)
= −1 + 6 + 18
= 5 + 18
= 23
18．（6 分）（24-25 七年级下·吉林辽源·期中）已知|2𝑎−6|与(𝑏+ 2)2互为相反数．
(1)求a、b 的值；
(2)求−𝑏+ 𝑎的倒数．
【答案】(1)𝑎= 3,𝑏= −2
(2)
1
5
【分析】本题考查绝对值与平方数的非负性，解题的关键是利用“互为相反数的两个数和为0”，并结合非负
性求解．
（1）根据互为相反数的两数和为0，结合绝对值与平方数的非负性，列方程求解𝑎,𝑏；
（2）代入𝑎,𝑏的值计算−𝑏+ 𝑎，再求其倒数．
【详解】（1）解：由题意可得：|2𝑎−6| + (𝑏+ 2)2 = 0．
∴ 2𝑎−6 = 0
𝑏+ 2 = 0
解得𝑎= 3,𝑏= −2；
（2）解：将𝑎= 3,𝑏= −2代入−𝑏+ 𝑎，得：
−𝑏+ 𝑎= −(−2) + 3 = 2 + 3 = 5，
∴5 的倒数是
1
5，
∴ −𝑏+ 𝑎的倒数是
1
5．
19．（6 分）（25-26 七年级上·陕西安康·期末）对于有理数m、n，定义一种新运算☆：𝑚☆𝑛= 3𝑚−4𝑛．例
如：1☆2 = 3 × 1−4 × 2 = −5．
(1)求(−4)☆7的值；
(2)已知x 是绝对值为1 的负整数，y 是−3 的倒数，求(−2)☆(𝑥☆𝑦)的值．
【答案】(1)−40；
(2)54．
【分析】本题主要考查了定义新运算、有理数的混合运算，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据新运算法则，进行计算即可；
（2）由题意可知𝑥= −1，𝑦= 3，根据新运算法则，先求(𝑥☆𝑦)，再计算(−2)☆(𝑥☆𝑦)即可．
【详解】（1）解：(−4)☆7 = 3 × (−4)−4 × 7 = −12−28 = −40；
（2）根据题意可知，𝑥= −1，𝑦= 3，
∴𝑥☆𝑦= (−1)☆3 = 3 × (−1)−4 × 3 = −3−12 = −15，
∴(−2)☆(𝑥☆𝑦) = (−2)☆(−15) = 3 × (−2)−4 × (−15) = −6 + 60 = 54．
20．（8 分）（25-26 七年级下·安徽马鞍山·期中）观察下列各式，解答后面的问题．
第1 个等式：1 × 2 × 3 × 4 + 1 = (12 + 3 × 1 + 1)2；
第2 个等式：2 × 3 × 4 × 5 + 1 = (22 + 3 × 2 + 1)2；
第3 个等式：3 × 4 × 5 × 6 + 1 = (32 + 3 × 3 + 1)2；
……
(1)第5 个等式是______；
(2)第n 个等式是______；
(3)计算：11 × 12 × 13 × 14−10 × 11 × 12 × 13．
【答案】(1)5 × 6 × 7 × 8 + 1 = (52 + 3 × 5 + 1)2
(2)𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 2)(𝑛+ 3) + 1 = (𝑛2 + 3𝑛+ 1)2
(3)6864
【分析】（1）根据题干前三个的等式即可求解；
（2）根据题干前三个的等式即可求解；
（3）根据规律将原式变形为(112 + 3 × 11 + 1)2−(102 + 3 × 10 + 1)2，再由规律求解即可．
【详解】（1）解：第1 个等式：1 × 2 × 3 × 4 + 1 = (12 + 3 × 1 + 1)2；
第2 个等式：2 × 3 × 4 × 5 + 1 = (22 + 3 × 2 + 1)2；
第3 个等式：3 × 4 × 5 × 6 + 1 = (32 + 3 × 3 + 1)2
⋯
∴第5 个等式是：5 × 6 × 7 × 8 + 1 = (52 + 3 × 5 + 1)2；
（2）解：𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 2)(𝑛+ 3) + 1 = (𝑛2 + 3𝑛+ 1)2．
（3）解：原式= (11 × 12 × 13 × 14 + 1)−(10 × 11 × 12 × 13 + 1)
= (112 + 3 × 11 + 1)2−(102 + 3 × 10 + 1)2
= 1552−1312
= 6864．
21．（8 分）（25-26 七年级下·江苏南京·期中）我们规定：如果𝑎𝑐= 𝑏，记作[𝑎,𝑏] = 𝑐．例如：因为23 = 8，
所以[2,8] = 3．
(1)根据上述规定，填空：[3,27] = ______，[2,0.25] = ______；
(2)若[3,5] = 𝑎，[3,6] = 𝑏，[3,30] = 𝑐．试说明：𝑎+ 𝑏= 𝑐；
(3)若[2,3] = 𝑑，[3,2] = 𝑒，写出𝑑与𝑒的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)3；−2
(2)见解析
(3)𝑒𝑑= 1，理由见解析
【详解】（1）解：∵33 = 27，
∴[3,27] = 3，
∵2−2 =
1
4 = 0.25，
∴[2,0.25] = −2；
（2）证明：由题意得：3𝑎= 5，3𝑏= 6，3𝑐= 30，
∴3𝑎× 3𝑏= 5 × 6 = 30 = 3𝑐，
∴3𝑎+𝑏= 3𝑐，
∴𝑎+ 𝑏= 𝑐．
（3）𝑒𝑑= 1，理由如下：
由题意得：2𝑑= 3，3𝑒= 2，
∴(2𝑑)𝑒= 3𝑒= 2，
∴2𝑑𝑒= 21，
∴𝑒𝑑= 1．
方法二：∴(3𝑒)𝑑= 3，
∴3𝑑𝑒= (3𝑒)𝑑= 31，
∴𝑒𝑑= 1．
22．（9 分）（25-26 六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨红肠是全国驰名的哈尔滨特产．某品牌哈尔滨红
肠计划在国庆节期间开展一系列优惠活动，其中，针对一款原价48 元/盒的哈尔滨红肠推出了两种优惠方案
（两种方案只能选择一种）．方案一：每盒按九折销售．方案二：每买5 盒，送1 盒．
(1)李阿姨需要买4 盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案一，李阿姨节约多少钱？
(2)王阿姨需要买8 盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案二，相当于每盒单价多少元？
(3)刘阿姨有一张满888 元减168 元的优惠券，这张优惠券不可与上述方案同享．刘阿姨需要买20 盒哈尔滨
红肠，怎样买最划算？写出判断过程．
【答案】(1)李阿姨节约19.2 元
(2)相当于每盒单价42 元
(3)使用满888 元减168 元优惠券购买最划算
【分析】（1）分别计算出原价和按照方案一的价格，然后作差求解即可；
（2）首先求出王阿姨只需要花费7 盒的钱，然后计算出总价，再除以8 即可求解；
（3）分别求出三种方案的花费，然后判断即可．
【详解】（1）解：48 × 4 = 192（元）
192 × 90% = 172.8（元）
节约钱数为192−172.8 = 19.2（元）
答：李阿姨节约19.2 元．
（2）解：∵方案二每买5 盒，送1 盒，王阿姨需要买8 盒，
∴可参与1 次“买5 送1”活动得到6 盒（支付5 盒的钱），再另购2 盒，共需支付5 + 2 = 7盒的钱，
∴48 × 7 = 336（元）
∴336 ÷ 8 = 42（元）
答：相当于每盒单价42 元．
（3）解：①方案一总价：48 × 20 × 90% = 864（元）
②方案二：可参与3 次“买5 送1”活动得到18 盒（支付15 盒的钱），再另购2 盒，共需支付15 + 2 = 17盒的
钱，
48 × 17 = 816（元）；
③优惠券方案：48 × 20 = 960（元），
960 > 888，可减168 元．
960−168 = 792（元）
∵792 < 816 < 864，
∴使用满888 元减168 元优惠券最划算．
答：使用满888 元减168 元优惠券购买最划算．
23．（9 分）（25-26 七年级上·江西上饶·期末）如图，在数轴上𝐴、𝐵、𝐶、𝑂四点对应的数分别表示为𝑎、
𝑏、𝑐、0．
(1)化简：|𝑎−𝑏|−|𝑏+ 𝑐|−|𝑎−𝑐|；
(2)若点𝑀, 𝑁分别是线段𝐴𝐵, 𝑂𝐶的中点，在数轴上对应的数分别为𝑚, 𝑛，且𝑎= −5, 𝑐= 3, 𝑚= −3，则𝐴𝐶=
________；𝑛= ________；𝑏= ________．
【答案】(1)−2𝑐；
(2)8；
3
2；−1
【分析】本题考查数轴上的点与实数的对应关系、绝对值的化简、数轴中两点距离和中点的有关计算，关
键是根据数轴判断数的大小关系，利用绝对值性质去绝对值．
（1）先根据数轴上点的位置判断各绝对值内式子的正负性，再依据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合
并同类项完成化简；
（2）𝐴𝐶的长度可直接用𝐶点对应数减去𝐴点对应数计算；𝑂𝐶中点对应的数是𝑂、C 对应数的平均数；利用𝐴𝐵
中点的公式，代入已知的𝑎和𝑚的值，即可求解𝑏．
【详解】（1）解：由数轴可知𝑎< 𝑏< 0 < 𝑐，且|𝑐| > |𝑏|，
∴|𝑎−𝑏| = 𝑏−𝑎；|𝑏+ 𝑐| = 𝑏+ 𝑐；|𝑎−𝑐| = 𝑐−𝑎；
∴原式= (𝑏−𝑎)−(𝑏+ 𝑐)−(𝑐−𝑎)
= 𝑏−𝑎−𝑏−𝑐−𝑐+ 𝑎
= −2𝑐；
（2）解：∵𝑎= −5，𝑐= 3，
∴𝐴𝐶= 𝑐−𝑎= 3−(−5) = 3 + 5 = 8；
∵𝑁是线段𝑂𝐶的中点，𝑂对应的数为0，𝐶对应的数为3，
∴𝑛=
0+3
2 =
3
2；
∵𝑀是线段𝐴𝐵的中点，𝐴对应的数为𝑎= −5，𝑀对应的数为𝑚= −3，
∴𝑚=
𝑎+𝑏
2 ，即−3 =
−5+𝑏
2 ，解得𝑏= −1；
故答案为：8；
3
2；−1．
24．（10 分）（25-26 七年级上·河北邢台·期末）为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师购置了一辆
续航为350km（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后，连续7 天每天行车电脑上显
示的行驶路程记录如下表（单位：km，以40km为标准，超过部分记为“ + ”，不足部分记为“−”）．已知该
汽车第三天行驶了45km，第六天行驶了34km．
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
−6
+2
■
−3
+8
●
+7
(1)“■”处的数为_____，“●”处的数为_____；
(2)求这辆新能源汽车这7 天行驶的总路程；
(3)该汽车行驶完这7 天后，求行车电脑上显示的剩余电量的百分比．
【答案】(1) +5，−6；
(2)这辆新能源汽车这7 天行驶的总路程为287km；
(3)行车电脑上显示的剩余电量的百分比为18%．
【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用，解题关键是准确计算．
（1）根据第三天行驶了45km，第六天行驶了34km列式求解即可；
（2）根据表格中的数据列式求解即可；
（3）用350 减去7 天行驶总路程，然后除以350 即可求解．
【详解】（1）解：∵该汽车第三天行驶了45km，第六天行驶了34km
∴45−40 = 5，34−40 = −6，
∴“■”处的数为+5，“●”处的数为−6；
（2）解：40 × 7 + (−6 + 2 + 5−3 + 8−6 + 7) = 287(km)，
答：这辆新能源汽车这7 天行驶的总路程为287km；
（3）解：
350−287
350
× 100% = 18%
∴行车电脑上显示的剩余电量的百分比为18%．
25．（10 分）（25-26 七年级下·湖南衡阳·期中）“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培
养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课
间在操场上沿着直线进行折返跑，往返1 次．将这条直线看成数轴，起点记为𝑀，折返点记为𝑁，主席台记
为𝑂，两位同学分别记为点𝑃，𝑄，若动点𝑃，𝑄从𝑀同时出发向𝑁点运动，到达𝑁点后折返到𝑀点．已知：数
轴上点𝑀、𝑁对应的数为𝑚、𝑛，且满足|𝑚+ 20| + (𝑛−40)2 = 0，点𝑂对应的数为𝑘,𝑘的相反数等于本身．
(1)直接写出𝑚、𝑛、𝑘的值；
(2)设点𝑃在数轴上对应的数为𝑥，那么当𝑥为多少时能使得𝑃𝑂+ 𝑃𝑁= 50？
(3)已知点𝑃的速度为3 个单位长度/秒，点𝑄的速度为2 个单位长度/秒，当动点𝑃到达点𝑁后，点𝑄开始改变
速度，以𝑎个单位长度/秒继续折返跑，4 秒后，𝑃，𝑄两点相距2 个单位长度，求𝑎的值．
【答案】(1)𝑚= −20，𝑛= 40，𝑘= 0
(2)𝑥= −5
(3)𝑎=
3
2或𝑎=
5
2或𝑎=
15
2 或𝑎=
17
2
【分析】（1）根据非负数的性质求出𝑚、𝑛的值，根据相反数等于本身的数是0 求出k 的值即可；
（2）根据𝑃𝑂+ 𝑃𝑁= 50结合两点间距离公式得出|𝑥| + |𝑥−40| = 50，分情况讨论，求出结果即可；
（3）分四种情况讨论：当点𝑄向点𝑁运动时，点𝑃在点𝑄右侧；当点𝑄向点𝑁运动时，点𝑃在点𝑄左侧；当点𝑄
到达点𝑁后，向点𝑀运动时，点𝑃在点𝑄左侧；当点𝑄到达点𝑁后，向点𝑀运动时，点𝑃在点𝑄右侧，分别列出
方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵|𝑚+ 20| + (𝑛−40)2 = 0，
∴𝑚+ 20 = 0，𝑛−40 = 0，
解得：𝑚= −20，𝑛= 40，
∵k 的相反数等于本身，
∴𝑘= 0；
（2）解：∵𝑃𝑂+ 𝑃𝑁= 50，
∴|𝑥| + |𝑥−40| = 50，
当𝑥< 0时，−𝑥+ 40−𝑥= 50，
解得：𝑥= −5；
当0 ≤𝑥≤40时，𝑥+ 40−𝑥= 50，此方程无解；
当𝑥> 40时，动点𝑃在𝑁点右侧，不成立；
∴当𝑥为−5时能使得𝑃𝑂+ 𝑃𝑁= 50；
（3）解：当点𝑃到达点𝑁时，需要的时间为：40−(−20) ÷ 3 = 20（秒），
∴此时点𝑄到达−20 + 2 × 20 = 20，与点𝑁的距离为40−20 = 20，
∴4 秒后，点P 的位置为40−3 × 4 = 28，
当点𝑄向点𝑁运动时，点𝑃在点𝑄右侧：
28−(20 + 4𝑎) = 2，
解得：𝑎=
3
2；
当点𝑄向点𝑁运动时，点𝑃在点𝑄左侧：
20 + 4𝑎−28 = 2，
解得：𝑎=
5
2；
当点𝑄到达点𝑁后，向点𝑀运动时，点𝑃在点𝑄左侧：
40−𝑎4−
20
𝑎−28 = 2，
解得：𝑎=
15
2 ；
当点𝑄到达点𝑁后，向点𝑀运动时，点𝑃在点𝑄右侧：
28−40−𝑎4−
20
𝑎
= 2，
解得：𝑎=
17
2 ，
综上所述，当𝑎的值为
3
2或
5
2或
15
2 或
17
2 时，4 秒后，𝑃、𝑄两点相距2 个单位长度．
