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第二章有理数的运算
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（22-23七年级上·广东阳江·期末） 的倒数是（ ）
A．2023 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了倒数的定义，掌握定义是解本题的关键．利用两个数乘积为1，这两个数互为倒
数，即可得出答案．
【详解】解： ，
是 的倒数．
故选：C.
2．（23-24七年级上·广东·单元测试）神舟十五号载人飞船于2022年11月29日成功发射，载人飞船与空
间站组合体对接后，在距离地球表面约430000米左右的轨道上运行．430000米用科学记数法表示是（
）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n
为整数，表示时关键要正确确定 的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多
少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．掌握科学记数法的表示方法是解本题的关键．
根据科学记数法的表示方法解答即可．
【详解】解：430000米 米．
故选：C．
3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）大于 且小于 的整数的和为（ ）
A．0 B． C． D．【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，有理数比较大小，先根据题意求出大于 且小于 的整数，
再把这些整数求和即可．
【详解】解：大于 且小于 的整数有 ，
∴大于 且小于 的整数的和为 ，
故选：C．
4．（22-23七年级上·广东深圳·阶段练习）不改变原式的值，将 中的减法改成加法并
写成省略加号和的形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行化简即可．
【详解】解： ，
故选：C．
5．（22-23七年级上·四川绵阳·期中）下列各组数中，最后运算结果相等的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】A
【分析】本题考查了乘方运算，根据乘方运算法则逐项计算即可．
【详解】解：A． ， ，故不相等；
B． ， ，故不相等；
C． ， ，故相等；
D． ， ，故不相等；
故选C．
6．（22-23七年级上·河南郑州·期末）下列说法正确的是（ ）A．近似数6.50和近似数6.5的精确度一样
B．近似数6.50和近似数6.5的有效数字相同
C．近似数8千万和近似数8000万的精确度一样
D．近似数68.0和近似数6.8的精确度一样
【答案】D
【分析】本题考查近似数和有效数字．根据近似数和有效数字的定义，可以判断各个选项中的说法是否正
确．
【详解】解：近似数6.50和近似数6.5的精确度不一样，近似数6.50精确到百分位，近似数6.5精确到十
分位，故选项A不符合题意；
近似数6.50和近似数6.5的有效数字不相同，近似数6.50有三个有效数字，近似数6.5有两个有效数字，
故选项B不符合题意；
近似数8千万和近似数8000万的精确度不一样，近似数8千万精确到千万位，近似数8000万精确到万位，
故选项C不符合题意；
近似数68.0和近似数6.8的精确度一样，故选项D符合题意；
故选：D．
7．（23-24七年级上·河北保定·期末）下面计算 的过程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查有理数的运算．利用乘法分配律写出中间过程，进行判断即可．掌握乘法分配律，是解
题的关键．
【详解】解： 或 ；
故选A．
8．（23-24七年级上·广东汕头·期中）已知： ， ， ，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的加法，减法，乘法运算，有理数的大小比较．根据有理数的加法，减法，乘
法分别计算求得 ， ， 的值，然后比较大小即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
，
∴ ，
故选：C．
9．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）点A、B、C是数轴上的三个点，且 ．若点A表示的
数是 ，点B表示的数是1，则点C表示的数是（ ）
A．9 B．10或 C． D．10或
【答案】D
【分析】本题考查了数轴上两个点之间的距离的求法，数轴上两个点之间的距离等于两个点对应的数差的
绝对值．先根据A、B两点表示的数求出 ，再根据 ，得到 ，设点C表示的数是x，
由题意得 ，解这个含有绝对值x的一元一次方程即可．
【详解】∵点A表示的数是 ，点B表示的数是1，
∵
∴
设点C表示的数是x，
，
解得： 或
故选：D．
10．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）若 ，则 的值为（ ）
A． B．4或0 C． D． 或0【答案】C
【分析】本题考查绝对值的性质，根据 可得a，b，c同时大于0，或者有一个大于0，另外两个小
于0，分别求解即可．
【详解】∵
∴a，b，c同时大于0，或者有一个大于0，另外两个小于0，
当a，b，c同时大于0时
∴ ；
当有一个大于0，另外两个小于0时，假设
∴
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（23-24七年级上·广东深圳·期末） 的相反数是 ．
【答案】1
【分析】此题考查的是求一个数的乘方和相反数．根据相反数的意义：只有符号不同的两个数互为相反数，
即可解答．
首先化简 ，然后再根据相反数的概念可得答案．
【详解】解： ， 的相反数为1，
故答案为：1．
12．（22-23七年级上·吉林·期中）如图是某一天的天气预报，该天的温差是 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的减法的应用，用最高温度减去最低温度列式计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：该天的温差是 ，故答案为： ．
13．（22-23七年级下·内蒙古乌兰察布·开学考试）若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性、有理数的加法，根据“几个非负数的和等于 ，则每个
非负数都等于 ”，求出 、 的值，再计算 即可，熟练掌握绝对值和平方的非负性是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ．
故答案为： ．
14．（22-23七年级上·四川成都·阶段练习）从数 ， ， ， ， 中任意选取两个数相乘，其积的最
大值是 ，最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算即可求解，解题的关键是几个不等于
零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，
积为正．
【详解】积的最大值是 ，积的最小值为 ，
故答案为： ， ．
15．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）定义运算： ．下列结论：① ；②
；③若 ，则 或 ；④若 ，则 ．其中正确的是
．（填序号即可）．
【答案】①③④
【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握新定义是解本题的关键．
原式各项利用题中的新定义计算得到结果，即可判断．
【详解】①原式 ，正确；
②原式 ，错误；③因为 ，即 ，
可得 或 ，正确；
④根据题意得∶ ，即 ，
则原式 ，正确，
故答案为∶①③④．
16．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任
意抽取4张，根据牌面上的数字，添加“ ”和括号等符号进行运算，每张牌只能用一次，使得运
算结果为24，其中A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，小明抽到的是如下4张牌，你凑成24的算式是
（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查有理数运算在实际生活中的应用，“二十四”点的游戏要注意运算顺序与运算符号，以
及题目的要求．
【详解】解：根据题意可知答案不唯一：
如： ；
或 ；
或 ；
或 等；
∴凑成24的算式是 ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】（ ） ；（ ） ；（ ） ；（ ） ．
【分析】（ ）根据有理数加法交换律和结合律进行计算即可；
（ ）根据有理数乘除法则计算即可；
（ ）根据乘法分配律计算即可；
（ ）根据乘法分配律计算即可；
本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（ ）解：原式
；
（ ）解：原式
；
（ ）解：原式
；
（ ）解：原式．
18．（22-23七年级上·福建莆田·阶段练习）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序．
（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要
先做绝对值内的运算；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
19．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算．
(1)根据倒数的定义我们知道，若 ，则 ______．
(2)计算 ．
(3)根据以上信息可知： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了有理数的除法以及倒数的定义，如图两个数乘积为1，那么这两个数互为倒数．
（1）根据倒数的定义可得出答案；
（2）将除法变为乘法，利用乘法的分配律进行计算即可；
（3）再由倒数的定义直接得出答案即可．
【详解】（1）解；∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：；
（3）解：∵
∴
20．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）省泰州附中开展“读经典书，作儒雅人”活动，活动中某班流
动图书角平均每天借出图书30本，如果某天借出33本，就记作+3；如果某天借出26本，就记作 ．国
庆假前一周图书馆借出图书记录如下：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
+4 +8 +16
(1)该班级星期五借出多少本图书；
(2)该班级星期二比星期五少借出多少本图书？
【答案】(1)该班级星期五借出46本图书
(2)该班级星期二比星期五少借出22本图书
【分析】本题考查的是正负数的含义，有理数的加减运算的应用，理解题意，列出正确的运算式是解本题
的关键；
（1）根据题意可得：该班级星期五借出的图书 ，然后进行计算即可解答；
（2）根据题意可得：该班级星期二比星期五少借出的图书 ，然后进行计算即可解答．
【详解】（1）解：由题意得： （本），
∴该班级星期五借出46本图书；
（2）由题意得： （本），
∴该班级星期二比星期五少借出22本图书．
21．（2024七年级上·江苏·专题练习）小明同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序．(1)若输入的数是 ，那么执行了程序后，输出的数是多少？
(2)若输入的数是2，那么执行了程序后，输出的数是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，解决此类问题的关键是理解题目中所给的程序，当计算的
结果的绝对值小于100时，要从头再输入，直到绝对值大于100才可以输出结果．
（1）根据题意，把 输入，得 ，其绝对值大于100，所以 就是输出的数．
（2）根据题意，把2输入，得 ，其绝对值小于100，所以再把 从头输入，计算输出的数．
【详解】（1）解： ．
答：输出的数是 ．
（2）解：把2输入，得 ，
∵ ，
∴再把 从头输入，得 ．
答：输出的数是 ．
22．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）七年级小梅同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了
浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“ ”，规则如下： ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．【答案】(1)4
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，涉及新定义，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）按照定义的新运算进行计算，即可解答；
（2）按照定义的新运算进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
23．（23-24七年级下·四川绵阳·开学考试）观察下列三行数：
第一行：2， ，8， ，32， ，
第二行：4， ，10， ，34， ，
第三行：1， ，4， ，16， ，…
(1)第一行数的第8个数为 ，第二行数的第8个数为 ，第三行数的第8个数为 ；
(2)第二、三行数与第一行相对应的数分别有什么关系；(3)第一行是否存在连续的三个数使得三个数的和是384？若存在，求出这三个数，若不存在，请说明理由．
∴第一行的第7个数是128，第8个数是 ，第9个数是512，
∴ ，
存在连续的三个数使得三个数的和是 ，这三个数分别为128， ，512．
24．（19-20七年级上·福建三明·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数
轴上位于A左侧一点，且 ．
(1)直接写出数轴上点C表示的数；
(2)动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（ ）秒，动点R
从点C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，求当t为何值时P，R两点会相遇．
(3)动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（ ）秒，动点R
从点C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度
沿数轴向左匀速运动．若P，Q，R三点同时出发，当点P遇上点R后立即返回向点Q运动，遇到点Q后
则停止运动．求点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？
【答案】(1) ；
(2)5；
(3) ．
【分析】此题考查的是数轴与动点问题，掌握数轴上两点之间的距离公式和行程问题公式是解题关键．
（1）根据 的距离和点A表示的数即可求出结论；
（2）先求出 的长度，然后根据题意列出方程即可求出结论；
（3）先求出 的长，然后求出点P遇上点 的时间，并求出此时点P与点Q的距离，从而求出P、Q的
相遇时间，然后即可求出结论．
【详解】（1）解：∵数轴上点 表示的数为 ， ，点C在点A左侧
∴点C表示的数为 ；
（2）解：∵点 表示的数为 ，点C表示的数为
∴由题意可得
解得：
答：当 时，P，R两点会相遇；
（3）解：由题意可得：
点P遇上点 的时间为： （秒）
此时点P与点Q的距离为
∴P、Q的相遇时间为 （秒）
∴点 从开始运动到停止运动，行驶的路程是 个单位长度
答：点 从开始运动到停止运动，行驶的路程是 个单位长度．
