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第十二章 全等三角形单元测试
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要
求的）
1．（2022·湖北省直辖县级单位·八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同
C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全等图形的定义进行判断即可．
【详解】
解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意；
B：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意；
C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意；
D：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等图形，熟练运用“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是本题的关键．
2．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图，△AOC≌△DOB，AO＝3，则下列线段长度正确的是（ ）
A．AB＝3 B．BO＝3 C．DB＝3 D．DO＝3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的对应边相等，即可求解．
【详解】
解：∵△AOC≌△DOB，AO＝3，
∴DO=AO=3．故选：D
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．
3．（2022·河南南阳·二模）作一个三角形与已知三角形全等：
已知： ．
求作： ，使得 ．
作法：如图．
（1）画 ；
（2）分别以点 ， 为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点 ；
（3）连接线段 ， ，则 即为所求作的三角形．
这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是（ ）
A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS
【答案】D
【解析】
【分析】
根据SSS证明三角形全等即可．
【详解】
解：根据傻得，A′B′=AB，A′C′=AC；
在△A′B′C′和△ABC中，
，
∴△A'B'C′≌△ABC（SSS）．
故选：D．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
4．（2022·广西崇左·八年级期末）如图 ，若 ， ， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠BAC，然后根据
∠EAC=∠DAE-∠DAC即可解答．
【详解】
解：∵∠B=60°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°-60°-40°=80°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=80°，
∴∠EAC=∠DAE-∠DAC=80°-35°=45°．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形对应角相等是解题本题的关键．
5．（2021·河南南阳·八年级阶段练习）根据下列已知条件，能唯一画出 的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ，
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定方法和三角形三边之间的数量关系逐个判断即可求解．
【详解】
解：A、∵ ， ， ，
根据ASA判定三角形全等的方法可得，能唯一画出 ．符合题意；
B、∵ ， ， ，两边及其中一边的对角确定，三角形不唯一，
∴不能唯一画出 ，不符合题意；
C、∵ ， ， ，3+4＜8，
∴AB+BC＜CA，
∴不能画出 ，不符合题意；
D、∵ ， ，
∵AB的位置不固定，只有一边的长度和一角的度数确定，三角形不唯一，
∴不能唯一画出 ，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
此题考查了三角形全等的判定方法和三角形三边的数量关系，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方
法和三角形三边的数量关系． 证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．三角
形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
6．（2022·全国·八年级课时练习）如图，用尺规作∠AOB的平分线可以按如下步骤进行：①以点O为圆心，
线段m为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以点M，N为圆心，线段n为半径画弧，两弧在
∠AOB的内部相交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．以下关于线段m，n的长说法正确的是（
）
A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜ MN C．m＞0，n＞ MN D．以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
根据基本作图（作一个角的平分线）的方法和步骤进行判断．
【详解】
解：利用尺规作图作一个角的平分线，其步骤为：
第一步，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
第二步，分别以点M，N为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；第三步，画射线OC，射线OC即为∠AOB的平分线．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了尺规作图（作一个角的平分线）的知识，熟练掌握基本尺规作图方法和步骤是解题关键．
7．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知 与 ，B，E，C，D四点在同一条直线上，其中
， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件可证 ，则 ，再利用三角形的外角的性质可得
，进而可求解．
【详解】
在 和
，即
故选：
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题关键是利用三角形全等得出对应角相等．8．（2022·辽宁辽阳·八年级期末）在 中， ， 分别是 、 上的点，过点 作 ，
，垂足分别是点 ， ，连接 ，若 ， ，则下面三个结论：① ；
② ；③ ．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质和全等三角形的判定可证 得到 , 即可证明
．
【详解】
解：连接 ，
在 和 中，
， ，
，
，故①正确；
，
，，
，
，故②正确；
，根据现有条件无法确定其全等，故③错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，平行线的判定定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
9．（2022·福建·模拟预测）如图，在正六边形ABCDEF中，点G，H分别是边BC，CD上的点，且
，AG交BH于点O，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正六边形的性质得到AB=BC，∠ABC=∠C=120°，由三角形全等的判定定理SAS即可证出
△ABG≌△BCH；得到∠BAG=∠HBC，然后根据三角形的内角和和对顶角的性质即可得到结果．
【详解】
∵在正六边形ABCDEF中，
AB=BC，∠ABC=∠C=120°，
在△ABG与△BCH中
，
∴△ABG≌△BCH；
∴∠BAG=∠HBC，
∴∠BOG=∠ABG=120°，
∴∠AOH=∠BOG=120°．故选C
【点睛】
本题考查了正多边形的计算及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地利用正六边形中相等的元素．
10．（2020·广东茂名·模拟预测）如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，
垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（ ）
A．8.5 B．15 C．17 D．34
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质得到点O到△ABC各边的距离为4，利用三角形面积公式得到 ×AB×4+ ×AC×4+
×BC×4＝34，然后计算出AB+AC+BC即可．
【详解】
∵点O为△ABC的两条角平分线的交点，
∴点O到△ABC各边的距离相等，
而OD⊥BC，OD＝4，
∴点O到△ABC各边的距离为4，
∵S ＝S +S +S ，
ABC AOB BOC AOC
△ △ △ △
∴ ×AB×4+ ×AC×4+ ×BC×4＝34，
∴AB+AC+BC＝17，
即△ABC的周长为17．
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，也考查等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的5种判
定方法．
11．（2022·安徽铜陵·八年级期末）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AC边上一动点（不与A、C重合），过点A作AE垂直BD于点E，延长AE交BC的延长线于点F，连接CE，则
为（ ）
A．30° B．36° C．45° D．60°
【答案】C
【解析】
【分析】
如图所示，过点C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，证明△AHC≌△BCG得到CH=CG，即可证明CE平分
∠BEF，即可得到∠BEC= ．
【详解】
解：如图所示，过点C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，
∴∠AHC=∠BGC=90°，
∵∠ACB=90°，AF⊥BE，
∴∠AEB=∠BCD=∠BEF=90°，
又∵∠ADE=∠BDC，
∴∠CAH=∠CBG，
又∵AC=BC，
∴△AHC≌△BCG（AAS），
∴CH=CG，
∵CH⊥EF，CG⊥BE，
∴CE平分∠BEF，
∴∠BEC= ．【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，角平分线的定义，正确作出辅助线，构造全等
三角形是解题的关键．
12．（2022·四川南充·中考真题）如图，在 中， 的平分线交 于点D，DE//AB，
交 于点E， 于点F， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；
由此判断D正确；再证明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A错误．
【详解】
解：在 中， 的平分线交 于点D， ，
∴CD=DF=3，故B正确；
∵DE=5，
∴CE=4，
∵DE//AB，
∴∠ADE=∠DAF，
∵∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=5，故C正确；
∴AC=AE+CE=9，故D正确；
∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，
∴△BDF≌△DEC，
∴BF=CD=3，故A错误；
故选：A．
【点睛】
此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，全等三角形的判定及性质，熟
记各知识点并综合应用是解题的关键．
13．（2020·安徽淮北·八年级阶段练习）如图，在四边形 中， 是 的平分线，且
．若 ，则四边形 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED
可得CD=CF，即可求得四边形 的周长．
【详解】
解：在线段AC上作AF=AB，∵AE是 的平分线，
∴∠CAE=∠BAE，
又∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠AFE+∠CFE=180°，
∴∠D=∠CFE，
∵ ，
∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，
∴∠CEF=∠CED，
在△CEF和△CED中
∵ ,
∴△CEF≌△CED（AAS）
∴CE=CF，
∴四边形 的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD= ，
故选：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
14．（2021·辽宁营口·八年级期末）如图，D为 的外角平分线上一点并且满足 ，过D作于E， 交BA的延长线于F，则下列结论：
① ，② ，③ ，④ ，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再利用“HL”可证明Rt CDE和Rt BDF全等，
根据全等三角形对应边相等可得CE＝AF，利用“HL”证明Rt ADE和Rt ADF△全等，根据△全等三角形对
应边相等可得AE＝AF，然后求出CE＝AB＋AE；根据全等三△角形对应角△相等可得∠DBF＝∠DCE，根据
三角形内角和是180°和∠AOB=∠COD（设AC交BD于点O），得到∠BDC＝∠BAC；根据三角形内角
和是180°易得∠DAE＝∠CBD，再根据角平分线可得∠DAE＝∠DAF，然后求出∠DAF＝∠CBD．
【详解】
∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB
∴DE＝DF
在Rt CDE和Rt BDF中
△ △
∴Rt CDE≌Rt BDF（HL），故①正确；
∴CE△＝AF △
在Rt ADE和Rt ADF中
△ △
∴Rt ADE≌Rt ADF（HL）
∴AE△＝AF △
∴CE＝AB＋AF＝AB＋AE，故②正确；
∵Rt CDE≌Rt BDF
△ △∴∠DBF＝∠DCE
∵∠AOB=∠COD（设AC交BD于点O）
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°
∠DBF＝∠DCE
∴∠DAE＝∠CBD，
∵∠DAE＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④.
故选D
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图
判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2022·江苏泰州·七年级期末）一个三角形的三条边的长分别是5，8，10，另一个三角形的三条边的
长分别是5， ， ，若这两个三角形全等，则 的值是________．
【答案】7.5或7
【解析】
【分析】
根据全等三角形的对应边相等即可得到答案，注意分类讨论．
【详解】
解：∵一个三角形的三条边的长分别是5，8，10，另一个三角形的三条边的长分别是5， ， ，
这两个三角形全等，
∴∴4x+2=8，2y-2=10或4x+2=10，2y-2=8，
解得x=1.5，y=6或x=2，y=5，
∴x+y=7.5或7，
故答案为：7.5或7．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．
16．（2022·湖北孝感·八年级期末）如图，在 和 中，A、F、C、D在同一直线上， ，，当添加条件______时，就可得到 （只需填一个你认为正确的条件即可）．
【答案】BC=EF（答案不唯一）
【解析】
【分析】
要证明△ABC≌△FED，已知，AC=FD，AB=DE，具备了两边对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，
结合判定方法进行解答即可．
【详解】
解：∵
∴
又∵
添加BC=EF，利用SSS得到△ABC≌△DBF；
或添加∠A=∠D，利用SAS得到△ABC≌△DBF；
故答案为：BC=EF或∠A=∠D（任写一个即可）
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添
加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正
确解答本题的关键．注意本题答案不唯一．
17．（2022·四川成都·七年级期末）已知，如图， 中，在 和 边上分别截取 ， ，使
，分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ，作射线 ，
点 ， 分别是射线 ， 上一点，过点 作 ，垂足为点 ，连接 ，若 ， ，
则 的面积是_______．【答案】6
【解析】
【分析】
根据基本作图，可知OP平分∠AOB，过点P作PF⊥OB于F，根据角平分线的性质得出PF=PC=3，那么
△POD的面积 ．
【详解】
解：如图，过点P作PF⊥OB于F，由题意可知，OP平分∠AOB，
∵PC⊥OA，垂足为点C，PF⊥OB于F， OP平分∠AOB， ，
∴PF=PC=3，
∴△POD的面积= ．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了基本作图，角平分线的性质，三角形的面积，根据基本作图得出OP平分∠AOB是解题的关键．
18．（2022·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图．已知 中， 厘米， ， 厘
米，D为 的中点．如果点P在线段 上以2厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段
上由点C向点A运动．若点Q的运动速度为a厘米/秒，则当 与 全等时，a的值为______．【答案】2或3##3或2
【解析】
【分析】
此题要分两种情况：①当BD=PC时，△BPD与△CQP全等，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后
再求a；②当BD=CQ时，△BDP≌△CQP，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求a．
【详解】
解：当BD=PC时，△BPD与△CQP全等，
∵点D为AB的中点，
∴BD= AB=6cm，
∵BD=PC，
∴BP=8-6=2（cm），
∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴运动时间时1s，
∵△DBP≌△PCQ，
∴BP=CQ=2cm，
∴a=2÷1=2；
当BD=CQ时，△BDP≌△CQP，
∵BD=6cm，PB=PC，
∴QC=6cm，
∵BC=8cm，
∴BP=4cm，
∴运动时间为4÷2=2（s），
∴a=6÷2=3（m/s），故答案为：2或3．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要分情况讨论，不要漏解，掌握全等三角形的判定方法：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2022·陕西宝鸡·七年级期末）如图，点A、B，C、D在同一条直线上， ，已知
， ，求AD的长．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据 得到 ，根据 ， 得到 、 的长，进而可得结论．
【详解】
解： ，
．
， ，
，
．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
20．（2021·江苏·南京市第十二初级中学八年级期中）如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，
E，且AB＝AC，BE交CD于点O．
（1）求证：DB＝EC．
（2）求证：AO平分∠BAC．【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据垂直的定义得到∠ADC＝∠AEB＝90°，根据AAS判定△ADC≌△AEB（AAS），得出AD＝AE可
得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠BDO＝∠CEO＝90°，根据AAS判定△BDO≌△CEO（AAS），得出OD＝
OE，根据角平分线的判定即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB（AAS），
∴AD＝AE，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
即DB＝EC；
（2）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO＝∠CEO＝90°，
在△BDO和△CEO中，
，∴△BDO≌△CEO（AAS），
∴OD＝OE，
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴AO平分∠BAC．
【点睛】
本题考查三角形全等判定与性质，角平分线判定，掌握三角形全等判定与性质，角平分线判定是解题关键．
21．（2021·云南红河·八年级期末）如图，已知 中， 是 的角平分线，
于E点．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 ．
【答案】(1)60°
(2)108
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理可得∠BAC=60°，从而得到∠BAD=30°，再由 ，即可求解；
（2）过D作 于F．根据角平分线的性质定理可得 ，再由 ，即可
求解．
（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ；
（2）解∶如图，过D作 于F．
∵ 是 的角平分线， ，∴ ，
又∵ ，且 ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质定理，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质定理，三角形内角和
定理是解题的关键．
22．（2022·贵州黔南·八年级期末）已知： ， ， ，垂足分别为D，E，且BD，
CE相交于点F．
(1)如图①，求证： ．
(2)如图②，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下，写出图中的全等三角形（至少写出两对）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】（1）根据AAS证明△ABD与△ACE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）求出BE＝DC，利用ASA可证得△BEF≌△CDF，得到EF＝DF，再利用HL可证明
△AEF≌△ADF．
(1)
证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
(2) BEF≌△CDF，△AEF≌△ADF；
证明△：由（1）可知 ，
∵ ，
∴BE＝DC，
∵ ，
∴∠B＝∠C，
∵∠CDF＝∠BEF＝90°，
∴△BEF≌△CDF（ASA），
∴EF＝DF，
∵AF＝AF， ，
∴△AEF≌△ADF（HL）．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定定理和性质定理．
23．（2021·山东青岛·一模）已知，在 中， ， ．
（1）在BC上找一点E，使得点E到AB，AC的距离相等（尺规作图，保留痕迹）
（2）若 ，求 的度数．【答案】（1）作图见解析；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）作 的平分线交 于 ，则点 满足条件；
（2）利用角平分线的性质定理的逆定理可判断点 在 的平分线上，则 ，然后利用
与 互余，计算 的度数．
【详解】
解：（1）如图，点 为所作；
（2） 点 到 ， 的距离相等，
点 在 的平分线上，即 平分 ，
，
，
．
【点睛】
本题考查了作图 基本作图，角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
24．（2021·宁夏西吉实验中学八年级期中）如图，四边形ACDB中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中
点，且AO平分∠BAC，OE⊥AC，垂足为点E．
(1)求证：CO平分∠ACD；
(2)求证：OA⊥OC；
(3)判断AB，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AB＋CD＝AC，理由见解析【解析】
【分析】
（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB＝OE，从而求出OE＝OD，然后根据到角的两边
距离相等的点在角的平分线上证明；
（2）利用“HL”证明△ABO和△AEO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOB＝∠AOE，同理求出
∠COD＝∠COE，然后求出∠AOC＝90°，再根据垂直的定义即可证明；
（3）根据全等三角形对应边相等可得AB＝AE，CD＝CE，然后证明即可．
(1)证明：∵∠ABD＝90°，OA平分∠BAC，OE⊥AC，
∴OB＝OE，
∵点O为BD的中点，
∴OB＝OD，
∴OE＝OD，
又∵EO⊥AC，∠D＝90°，
∴OC平分∠ACD．
(2)证明：在Rt ABO和Rt AEO中，
△ △
，
∴Rt ABO≌Rt AEO（HL），
∴∠△AOB＝∠A△OE，
同理求出∠COD＝∠COE，
∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝ ×180°＝90°，
∴OA⊥OC．
(3)结论：AB＋CD＝AC．
理由：∵Rt ABO≌Rt AEO，
∴AB＝AE，△ △
同理可得CD＝CE，
∵AC＝AE＋CE，
∴AB＋CD＝AC．
故答案为：AB＋CD＝AC．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，以
及全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
25．（2022·黑龙江哈尔滨·七年级期末）已知：在 中， 于点D， 于点E， 与
交于点G．
(1)如图，求证： ；
(2)如图，若 ，求证： ；
(3)如图，在（2）的条件下，连接 ，若 ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)四边形 的面积为18
【解析】【分析】
（1）根据垂直得出直角三角形，再利用三角形的内角和进行证明即可；
（2）利用角角边证明 ，再根据全等三角形的性质得到结论即可；
（3）过点D作 交 于点F，（如图见详解），利用角边角证明 ，从而得到
，且 ，再将四边形 的面积转化为计算 的面积进行计算即可．
（1）证明：∵ ，
∴ 和 是直角三角形．
在 和 中，
， ，
∵ ，∴ ；
（2）证明：∵ ， ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，∴ ；
（3）解：过点D作 交 于点F，如图所示
，
∵ ， ，
∴ ．
由（2）可知：
∴ ，在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和与全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理并能正确进行
证明是解题的关键．
26．（2021·广东潮州·八年级期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】（1）如图1， ， ，过点 作 于点 ，过点 作 于点
.由 ，得 .又 ，可以推理得到 .进而得
到 ， .我们把这个数学模型称为“ 字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】（2）①如图2， ， ， ，连接 ， ，且
于点 ， 与直线 交于点 .求证：点 是 的中点；②如图3，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 为平面内任一点.若 是以 为斜边的
等腰直角三角形，请直接写出点 的坐标.
【答案】（1）DE，AE；（2）①见解析；② ，
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①作DM⊥AH于M，EN⊥AH于N，根据余角的性质得到∠B=∠1，根据全等三角形的性质得到
AH=DM，同理AH=EN，求得EN=DM，由全等三角形的性质得到DG=EG，于是得到点G是DE的中点；
②过A作AM⊥y轴，过B作BN⊥x轴于N，AM与BN相交于M，根据余角的性质得到
∠OBN=∠BAM，根据全等三角形的性质得到AM=BN，ON=BM，设AM=x，则BN=AM=x，从而得到结
论．
【详解】
解：（1）AC=DE，BC=AE；
故答案为： ，
（2）①如图，作 于 ， 于 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中， ， ， ，
∴ （ ），∴ ，
同理 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中， ， ， ，
∴ （ ），
∴ ，
∴点 是 的中点；
②如图，过A作AM⊥y轴，过B作BN⊥x轴于N，AM与BN相交于M，
∴∠M=90°，
∵∠OBA=90°，
∴∠ABM+∠OBN=90°，
∵∠ABM+∠BAM=90°，
∴∠OBN=∠BAM，在△OBN与△BAM中， ，
∴△OBN≌△BAM（AAS），
∴AM=BN，ON=BM，
设AM=x，则BN=AM=x，
∴ON= x+2，
∴MB+NB=x+x+2=MN=4，
∴x=1，x+2=3，
∴点B的坐标（3,1）；
如图
同理可得，点B的坐标（-1,3），
综上所述，点B的坐标为 ，
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，余角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
