文档文本内容
第01 讲一元二次方程
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 判断是否是一元二次方程
题型2 利用一元二次方程的定义求参数
题型3 一元二次方程的一般形式
题型4 一元二次方程的解求参数的值
题型5 一元二次方程的解求代数式的值
题型6 一元二次方程的解的估算
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
一元二次方程、一般形
式、系数、整式方程、
建模思想
1. 理解一元二次方程的概念，掌握其定义的三要素（整式、一元、二次）。
2. 掌握一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0（a≠0），能准确识别二次项、
一次项、常数项及系数。
3. 理解一元二次方程根（解）的概念，能检验一个数是否为方程的根。
4. 经历由实际问题抽象出一元二次方程模型的过程，体会数学建模思想。
学习重点：一元二次方程的概念及其一般形式（a≠0），能准确识别各项系数。
学习难点：从实际问题中抽象出一元二次方程的数学模型，理解二次项系数a≠0 的意义。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 一元二次方程的概念
定义：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二
次方程．
要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高
次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
【易错提醒】
必须同时满足：整式、一个未知数、最高次数为2、二次项系数a ≠0。缺一不可。
即时即练1．下列方程是一元二次方程的有（
）
①
2
3
0
x
x
；②
2
0
0
ax
bx
c
a
；③
1
3
0
x
x
；④2
1
x
y
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，
然后看化简后是否是含有一个未知数且未知数的最高次数是是解题关键．根据一元二次方程的定义，只含
有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】解：①
2
3
0
x
x
，是一元二次方程；
②
2
0
0
ax
bx
c
a
，是一元二次方程；
③
1
3
0
x
x
，不是整式方程，不是一元二次方程；
④2
1
x
y
，含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1，不是一元二次方程；
故选：B．
2．关于x 的一元二次方程
2
2
1
1
0
a
x
x
a
的一个根是0，则a 的值为
．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．把
0
x
代入求解即可．
【详解】解：把
0
x
代入
2
2
1
1
0
a
x
x
a
，得
2
2
1
0
0
1
0
a
a
∴
2
1
0
a
∴
1
a
∵
1
0
a
∴
1
a
∴
1
a
故答案为：1
3．若
2 1
1
4
4
0
m
m
x
x
是关于x 的一元二次方程，则m 的值是
．
【答案】1
【知识点】由一元二次方程的定义求参数
【分析】本题考查了一元二次方程的概念．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】解：∵
2 1
1
4
4
0
m
m
x
x
是关于x 的一元二次方程，
∴
2
1
2
m
，
1
0
m
，
解得
1
m ，
故答案为：1．
知识点02
一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如ax2+bx+c=0（a≠0），这种形式叫做一元二次方程
的一般形式．其中ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．
要点：(1)只有当a≠0 时，方程ax2+bx+c=0 才是一元二次方程；
(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉
前面的性质符号.
【易错提醒】
一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）。务必先移项、合并化为右边为0，并注意各项需带符号，切勿漏写负号。
即时即练1．关于x 的一元二次方程
2
3
5
2
0
x
x
的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（
）
A．3, 5, 2
B．3, 5 ,2
x
C．3,5 , 2
x
D．3, 5,2
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，理解并掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式是关
键．
根据一元二次方程的概念及一般式“
2
0
0
ax
bx
c
a
”判定即可．
【详解】解：关于x 的一元二次方程
2
3
5
2
0
x
x
的二次项系数，一次项系数和常数项分别为3, 5,2
，
故选：D ．
2．把一元二次方程
2
1
4
x
x
x
化成一般式，则a ，b ，c 的值分别是(
)
A．1，4 ，1
B．2 ，5
，0
C．3，4 ，0
D．2
，5
，1
【答案】B
【知识点】化成一元二次方程的一般式
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：
2
0
ax
bx
c
(a ，b ，c 是
常数且
0)
a
特别要注意
0
a
的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中
2
ax 叫二次项，
bx 叫一次项，c 是常数项．其中a 、b 、c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，
找出a ，b ，c 的值即可．
【详解】解：方程整理得：
2
2
5
0
x
x
，
则a ，b ，c 的值分别是2 ，5
，0 ．
故选：B．
知识点03
一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
【易错提醒】
代入方程应使左右相等。注意等号两边都要算。若方程有根为0，则常数项c=0；若根为1，则a+b+c=0；
若根为-1，则a-b+c=0。
即时即练1．已知关于x 的一元二次方程
2
3
2
0
x
x
m
的一个根是
1
x ，则m 的值为
．
【答案】2
【知识点】由一元二次方程的解求参数
【分析】此题考查了一元二次方程，熟知一元二次方程的解满足方程是解题的关键．
根据一元二次方程解的定义，把
1
x 代入方程，即可解得m 的值．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
3
2
0
x
x
m
的一个根是
1
x ，
∴
2
3 1 2
0
1
m
，
∴
2
m
．
故答案为：2．
2．若m 是方程
2
2
4
0
x
x
的一个根，则代数式
2
2025
2
4
m
m
的值为
．
【答案】2033
【知识点】判断是否是一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，根据一元二次方程解是使方程左右两边相
等的未知数的值得到
2
2
4
0
m
m
，即
2
2
4
m
m
，再根据
2
2
2025
2
4
2025
2
2
m
m
m
m
进行求解
即可．
【详解】解；∵m 是方程
2
2
4
0
x
x
的一个根，
∴
2
2
4
0
m
m
，
∴
2
2
4
m
m
，
∴
2
2
2025
2
4
2025
2
2
2025
2 4
2033
m
m
m
m
，
故答案为：2033．
题型1 判断是否是一元二次方程
【例1】下列方程是一元二次方程的是(
)
A．
2
2
x
B．
2
1
2
x
x
C．
2
2
1
x
y
D．
2
2
3
mx
x
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义(整式方程、一个未知数、未知数最高
次数为2)逐一判断选项．
【详解】解：选项A：
2
2
x
，方程两边均为整式，仅含一个未知数x ，且x 的最高次数为2，符合一元二
次方程的定义．
选项B：
2
1
2
x
x
，方程中含分式项1
x ，不是整式方程，不符合要求．
选项C：
2
2
1
x
y
，含两个未知数x 和y ，不满足“一元”条件．
选项D：
2
2
3
mx
x
，当
0
m
时是二次方程，但题目未明确m 的取值范围，若
0
m
则变为一次方程，无
法确定．
综上，只有选项A 符合一元二次方程的定义．
故选：A．
【例2】下列方程是一元二次方程的是（
）
A．
2
1
7
x
B．
2
2
1
0
x
y
C．
2
2
2
1
5
x
x
x
D．
2
0
ax
bx
c
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握定义进行判断是解题的关键．
一元二次方程：含有一个未知数，含有未知数的项的最高次数是2，2，这样的整式方程是一元二次方程，
根据定义逐一判断即可．
【详解】选项A：
2
1
7
x
整理为
2
8
0
x
，是整式方程，仅含未知数x ，且x 的最高次数为2，符合定义；
选项B：
2
2
1
0
x
y
含两个未知数x 和y ，不符合“一个未知数”的条件，排除；
选项C：
2
2
2
1
5
x
x
x
化简：
2
2
2
1
5
0
x
x
x
2
4
0
x
，化简后为一次方程，排除；
选项D：
2
0
ax
bx
c
未明确
0
a
，当
0
a
时方程变为一次方程，不符合定义，排除．
故选：A．
【技巧归纳】
1. 整理：化为ax2+bx+c=0 形式。
2. 看条件：a≠0，最高次为2，且为整式方程（分母无未知数）。
【变式1-1】下列方程是一元二次方程的有（
）
①
2
3
0
x
x
；②
2
0
ax
bx
c
；③
1
3
0
x
x
；④
2
2
1
1
2
x
x
x
；⑤
2
5
2
3
7
15
x
x
x
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一
个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2 的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可
解答．
【详解】解：①
2
3
0
x
x
是一元二次方程；
②
2
0
ax
bx
c
，当
0,
0
a
b
时是一元一次方程，不是一元二次方程；
③
1
3
0
x
x
是分式方程，不是一元二次方程；
④
2
2
1
1
2
x
x
x
，整理得：
2
3
3
0
x
x
是一元二次方程；
⑤
2
5
2
3
7
15
x
x
x
，整理得：41
14
0
x
是一元一次方程，不是一元二次方程；
则共有2 个，
故选：B．
【变式1-2】关于x 的方程：①
2
0
ax
bx
c
，②
2
8
7
x
x
，③
2
3
4
5
0
x
x
，④
2
3
1
2
0
x
x
，其
中一元二次方程的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的概念是解题的关键．只有一个未知数且未
知数最高次数为2 的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是
2
0
ax
bx
c
（
0
a
）．特别要注意
0
a
的
条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：①
2
0
ax
bx
c
，当
0
a
时，该方程不是一元二次方程；
②
2
7
a
x
x
属于分式方程；
③
2
3
4
5
0
x
x
符合一元二次方程的定义；
④
2
3
1
2
0
x
x
的次数是3 次，不是一元二次方程，
综上所述，其中一元二次方程的个数是1 个．
故选：A．
题型2 利用一元二次方程的定义求参数
【例3】若方程
2
2
5
0
k
k
x
x
是一元二次方程，则k 的值是
．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫一元二
次方程．
根据一元二次方程的定义得到
2
0
k
且
2
k
，然后解不等式和方程得到满足条件的k 的值．
【详解】解：根据题意得
2
0
k
且
2
k
，
解得
2
k ．
故答案为：2
．
【例4】若关于x 的方程
2
1
3
1
0
m
x
x
（m 为常数）是一元二次方程，则m 的取值范围为
．
【答案】
1
m
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意二次项系数不为零；根据二次项系数不为零即可求解．
【详解】解：∵关于x 的方程
2
1
3
1
0
m
x
x
（m 为常数）是一元二次方程，
∴
1
0
m
，
∴
1
m ；
故答案为：
1
m ．
【技巧归纳】
1. 化标准式：整理为ax2+bx+c=0。
2. 列条件：二次项系数a≠0，最高次数为2。
3. 解参数：联立解得参数值，注意排除使a=0 的值。
【变式2-1】关于x 的方程
2 7
3
5
m
m
x
x
是一元二次方程，则m 的值为的
．
【答案】3
【分析】本题考查利用一元二次方程概念求参数，根据一元二次方程概念得到
3
0
m
，
2
7
2
m
求解，
即可解题．
【详解】解：关于x 的方程
2 7
3
5
m
m
x
x
是一元二次方程，
3
0
m
，
2
7
2
m
，
解得
3
m ，
3
m ，
综上，
3
m ，
故答案为：3
．
【变式2-2】若
1
5
0
m
x
x
是关于x 的一元二次方程，则m 的值为
．
【答案】3 或1
【分析】本题考查一元二次方程，只有一个未知数，且未知数最高次数为2 的整式方程叫做一元二次方程．
根据一元二次方程的定义，可知
1
2
m
，由此即可求得m 的值．
【详解】解：由题意可知，
1
2
m
，
解得
3
m
或
1
m ．
故答案为：3 或1
．
题型3 一元二次方程的一般形式
【例5】方程
5
4
10
x x
x
化为一元二次方程的一般形式是（
）
A．
2
9
10
0
x
x
B．
2
10
0
x
x
C．
2
9
10
0
x
x
D．
2
10
0
x
x
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，首先利用单项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把
等号右边化为0 ，再化简即可．解题的关键是掌握：任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如
下形式
2
0
0
ax
bx
c
a
，这种形式叫一元二次方程的一般形式．
【详解】解：
5
4
10
x x
x
，
2
5
4
10
x
x
x
，即
2
5
4
10
0
x
x
x
，
∴
2
9
10
0
x
x
，
∴方程
5
4
10
x x
x
化为一元二次方程的一般形式是
2
9
10
0
x
x
．
故选：A．
【例6】将方程
2
5
6
8
x
x
化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是
（
）
A．5
6, 8
，
B．5, 6,8
C．6, 5,8
D．6,5, 8
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：
2
0
ax
bx
c
，其中a，b，c 是常数，且
0
a
，分别方程
的是二次项系数，一次项系数和常数项；把方程化为一元二次方程的一般形式，据此即可求解．
【详解】解：方程
2
5
6
8
x
x
化为一元二次方程的一般形式为：
2
5
6
8
0
x
x
，则二次项系数，一次项系
数和常数项分别是5
6 8
，，；
故选：B．
【技巧归纳】
1. 移项排序：将所有项移到左边，按降幂排列：ax2+bx+c=0。
2. 明确字母：a 为二次项系数(a ≠0），b 为一次项系数，c 为常数项。
【变式3-1】方程
2
4
1
5
x
x
x
化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为（
）
A．1 和3
B．1 和6
C．3 和6
D．3 和4
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据
2
0
0
ax
bx
c
a
进行判定即可求解．
【详解】解：根据题意，
2
4
1
5
x
x
x
移项整理得，
2
3
6
0
x
x
，
∴一次项系数和常数项分别为3 和6
．
故选：C ．
【变式3-2】将一元二次方程
2
5
1
4
x
x
化为一般形式后二次项系数为5，常数项为1
，则一次项系数是（
）
A．5
B．4
C．4
D．1
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程
2
5
1
4
x
x
化成一般形式
2
5
4
1
0
x
x
进行解答即可．
【详解】解：将一元二次方程
2
5
1
4
x
x
化成一般形式
2
5
4
1
0
x
x
后，常数项为1
，一次项系数为4
，
故选：B．
题型4 一元二次方程的解求参数的值
【例7】已知关于x 的一元二次方程
2
5
0
x
x
p
的一个根为
1
x ，则p 的值为
．
【答案】4
【详解】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．把
1
x 代入一元二次方程得到1 5
0
p
，然后解关于m 的方程即可．
【分析】解：把
1
x 代入
2
5
0
x
x
p
得1 5
0
p
，
解得
4
p
，
故答案为：4．
【例8】已知关于x 的方程
2
1
4
0
2 x
kx
的一个根为
2
x
，则k
．
【答案】3
【分析】本题考查的是一元二次方程根的含义，掌握以上知识是解题的关键．把
2
x
代入原方程求k ．
【详解】解：把
2
x
代入原方程：
1
4
2
4
0
2
k
，
3
k
，
故答案为：3．
【技巧归纳】
1. 直接代入：将已知解代入原方程，得到关于参数的新方程。
2. 解方程：解出新方程，求出参数值。
3. 注意验根：确保二次项系数a ≠0，避免增根。
【变式4-1】关于x 的一元二次方程
2
5
2
0
x
x
k
的一个根是1，则k 的值是
．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意得出
21
5 1 2
0
k
，解方程即可得解，熟练掌握一元
二次方程的解的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
5
2
0
x
x
k
的一个根是1，
∴
21
5 1 2
0
k
，
∴
2
k ，
故答案为：2
．
【变式4-2】已知一元二次方程
2
5
2
0
x
x
m
有一个根为4，则m 为
．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，把
4
x
代入一元二次方程，得到关于m 的方程，即可求出m
的值．
【详解】解：一元二次方程
2
5
2
0
x
x
m
有一个根为4，
2
4
5 4
2
0
m
，
解得
2
m
，
故答案为：2．
题型5 一元二次方程的解求代数式的值
【例9】若a 是方程
2
1
0
x
x
的一个根，则
3
2
2025
a
a
的值为
．
【答案】2024
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键．
根据一元二次方程的解的定义可得
2
1
a
a
，
2
1
a
a
，然后代入计算，即可求解．
【详解】解：∵a 是方程
2
1
0
x
x
的一个根，
∴
2
1
0
a
a
，
∴
2
1
a
a
，
2
1
a
a
，
∴
3
2
2025
a
a
3
2025
a
a
a
2
1
2025
a a
a
2
2025
a
a
2
2025
a
a
1
2025
2024
故答案为：2024．
【例10】若m 是方程
2
2
3
1
0
x
x
的一个实数根，则
2
2024
6
9
m
m
的值为
．
【答案】2021
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的
值，据此把x
m
代入原方程中可得
2
2
3
1
m
m
，再根据
2
2
2024
6
9
2024
3
3
2
m
m
m
m
即可求出答
案．
【详解】解：∵m 是方程
2
2
3
1
0
x
x
的一个实数根，
∴
2
2
3
1
0
m
m
，
∴
2
2
3
1
m
m
，
∴
2
2024
6
9
m
m
2
2024
3
3
2m
m
2024
3 1
2021
，
故答案为：2021．
【技巧归纳】
1. 代入化简：将根代入原方程得关系式（如m2 = 2m+1），降次代入所求式。
2. 整体代换：利用韦达定理m+n、mn，整体求值。
【变式5-1】如果
1
x 是一元二次方程
2
2
1
0
ax
bx
的解，则2
4
2023
a
b
．
【答案】2025
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
利用一元二次方程解的定义得到
2
1
a
b
，再利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：
1
x 是一元二次方程
2
2
1
0
ax
bx
的解，
2
1
0
a
b
，
2
1
a
b
，
2
4
2023
2
2
2023
2 1 2023
2025
a
b
a
b
，
故答案为：2025 ．
【变式5-2】已知m 为方程
2
3
2025
0
x
x
的根，那么
3
2
2
2028
2025
m
m
m
的值为
．
【答案】0
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程两边相等的
未知数的值，则
2
3
2025
0
m
m
，进而可得
2
3
2025
m
m
，
2
2025
3
m
m
，进一步可得
2
3
3
2025
m
m
m
，
再把所求式子变形为
3
2
2
3
2028
2025
m
m
m
m
，据此求解即可．
【详解】解：∵m 为方程
2
3
2025
0
x
x
的根，
∴
2
3
2025
0
m
m
，
∴
2
3
2025
m
m
，
2
2025
3
m
m
，
∴
2
3
3
2025
m
m
m
，
∴
3
2
2
2028
2025
m
m
m
3
2
2
3
2028
2025
m
m
m
m
2025
2025
3
2028
2025
m
m
m
2025
2025
3
2028
2025
m
m
m
0
，
题型6 一元二次方程的解的估算
【例11】如果a 是方程
2
3
0
x
x
的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断
a
．
x
1.2
1.3
1.4
1.5
2
3
x
x
0.36
0.01
0.36
0.75
【答案】
1.3
1.4
【分析】观察表格可知，随x 的值逐渐增大，
2
3
x
x
的值在1.3
1.4
之间由负到正，故可判断
2
3
0
x
x
时，对应的x 的值在1.3
1.4
之间．
【详解】解：根据表格可知，
2
3
0
x
x
时，对应的x 的值在1.3
1.4
之间，
即：1.3
1.4
a
．
故答案为：1.3，1.4．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给
出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
【例12】根据下表得知，方程
2
2
10
0
x
x
的一个近似解为x
（精确到0.1）
x
…
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
…
2
2
10
y
x
x
…
1.39
0.76
0.11
0.56
1.25
1.96
…
【答案】4.3
【分析】看0 在相对应的哪两个y 的值之间，那么近似根就在这两个y 对应的x 的值之间．
【详解】解：
2
2
2
10
1
11
y
x
x
x
，
当
1
x 时，y 随x 增大而减小，
根据表格得，当4.4
4.3
x
时，0.11
0.56
y
，即
2
0.11
2
10
0.56
x
x
，
∵0 距0.11
近一些，
∴方程
2
2
10
0
x
x
的一个近似根是4.3
，
故答案为：4.3
．
【技巧归纳】
1. 找相邻整数：代入整数x，观察代数式值的正负变化。
2. 缩小范围：根在使值异号的两个整数之间，再取中点或小数逼近。
3. 结合图象：看抛物线与x 轴交点位置。
【变式6-1】探索一元二次方程
2
3
5
0
x
x
的一个正数解的过程如表：
x
1
0
1
2
3
4
2
3
5
x
x
7
5
1
5
13
23
可以看出方程的一个正数解应界于整数a 和整数b 之间，a
b
的值为
．
【答案】3
【分析】观察图表，确定
2
3
5
x
x
的值为0 时的范围，然后确定对应的x 的范围，进而可得结果．
【详解】解：由图表可知，1
5
，
∴对应的x 的范围为1
2
x
，
∴
1
a ，
2
b
，
∴
3
a
b
，
故答案为：3．
【变式6-2】根据表格对应值：
x
1
0
1
2
2
ax
bx
c
0.59
0.84
2.29
3.76
判断关于x 的方程
2
2
ax
bx
c
的一个解x 的范围是
．
【答案】0
1
x
【分析】结合表格可知：当
1
x 时，
2
2.29
2
ax
bx
c
；当
0
x
时，
2
0.84
2
ax
bx
c
；所以方程
2
2
ax
bx
c
的一个解x 的范围为：0
1
x
．
【详解】解：由表格可知：
当
1
x 时，
2
2.29
2
ax
bx
c
；
当
0
x
时，
2
0.84
2
ax
bx
c
；
∴方程
2
2
ax
bx
c
的一个解x 的范围为：0
1
x
．
故答案为：0
1
x
．
【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当
1
x 时，
2
2.29
2
ax
bx
c
；当
0
x
时，
2
0.84
2
ax
bx
c
．
一、单选题
1．一元二次方程
2
5
4
1
0
x
x
的二次项系数和一次项系数分别为（
）
A．5，1
B．5，4
C．5，4
D．
2
5x ，4x
【答案】C
【分析】一元二次方程的一般形式为
2
0
0
ax
bx
c
a
，其中a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是
常数项．
【详解】解：一元二次方程
2
5
4
1
0
x
x
的二次项系数和一次项系数分别为5 和4
．
2．若
1
x 是方程
2
2
x
a
的解，则a 的值是（
）
A．1
B．3
C．3
D．1
【答案】B
【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，即可计算出a 的值．
【详解】解：∵
1
x 是方程
2
2
x
a
的解，
∴将
1
x 代入原方程得
2
( 1)
2
a
计算得
1
2
3
a
．
3．下列方程中，一元二次方程共有（
）个．
①
2
2
1
0
x
x
；②
2
0
ax
bx
c
；③
2
1
3
5
0
x
x
；④
2
0
x
；⑤
2
2
1
2
x
y
；⑥
2
1
3
x
x
x
．
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】本题根据一元二次方程的定义逐个判断方程，统计符合条件的个数即可得到结果，一元二次方程
需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0．
【详解】解：∵①
2
2
1
0
x
x
满足所有条件，
∴①是一元二次方程
∵②
2
0
ax
bx
c
未说明
0
a
，当
0
a
时不是一元二次方程，
∴②不符合要求
∵③
2
1
3
5
0
x
x
是分式方程，不是整式方程，
∴③不符合要求
∵④
2
0
x
满足所有条件，
∴④是一元二次方程
∵⑤
2
2
1
2
x
y
含有x，y 两个未知数，
∴⑤不符合要求
∵⑥展开整理原方程得
2
2
(
1)(
3)
4
3
x
x
x
x
x
，化简得4
3
0
x
，未知数最高次数为1，
∴⑥不是一元二次方程；
综上，一元二次方程共有2 个．
4．若
1
x 是关于x 的一元二次方程
2
1
0
ax
bx
的一个根，则2026
2
2
a
b
的值为（
）
A．2024
B．2025
C．2027
D．2028
【答案】D
【详解】解：把
1
x 代入方程
2
1
0
ax
bx
得：
1
0
a
b
，
∴
1
a
b
，
∴
2026
2
2
2026
2
2026
2
2028
a
b
a
b
．
5．已知关于x 的一元二次方程
2
0(a
0)
ax
bx
c
．
①若
0
a
b
c
，则该方程一定有一个根为
1
x ；
②若方程的两个根为1
和2，则a 和c 的数量关系为2
0
a
c
．
下列判断正确的是（
）
A．①②的说法都正确
B．①②的说法都错误
C．①的说法错误，②的说法正确
D．①的说法正确，②的说法错误
【答案】A
【详解】解：①．∵将
1
x 代入
2
0
0
ax
bx
c
a
，可得
2
( 1)
1
a
b
c
a
b
c
，
又∵
0
a
b
c
，
∴
1
x 满足方程，即方程一定有一个根为
1
x ，故①说法正确．
②．∵方程的两个根为1
和2 ，两根都满足方程，代入得：
0
4
2
0
a
b
c
a
b
c
①
②，
2
①
②，得
6
3
0
a
c
，
∴2
0
a
c
，故②说法正确．
综上①②都正确．
二、填空题
6．将一元二次方程
2
1
x x
化为一般式为______．
【答案】
2
2
1
0
x
x
【分析】先根据单项式乘多项式法则展开方程左边，再通过移项整理得到一元二次方程的一般式．
【详解】解：
2
1
x x
，
2
2
1
x
x
，
移项，得
2
2
1
0
x
x
．
7．已知
2 1
1
2
1
0
m
m
x
mx
是关于x 的一元二次方程，则m 的值为________．
【答案】1
【分析】根据一元二次方程的定义，得到未知数最高次数为2 ，且二次项系数不为0 ，据此列方程即可求解．
【详解】解：方程
2 1
(
1)
2
1
0
m
m
x
mx
是关于x 的一元二次方程；
∴�2 + 1 = 2
�−1 ≠0
解
2
1
2
m
得
2
1
m ，即
1
m ；
由
1
0
m
得
1
m ．
1
m
．
8．关于x 的一元二次方程
2
1
0
ax
bx
有一个根为
1
x ，则实数a ，b 之间的关系为________．
【答案】
1
a
b
【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根
1
x 代入原方程，化简整理即可得到a 与b 的关系．
【详解】∵
1
x 是一元二次方程
2
1
0
ax
bx
的根，
∴将
1
x 代入方程
2
1
0
ax
bx
得，
2
1
1
1
0
a
b
，
整理得
1
a
b
．
9．若
2
x
是关于x 的一元二次方程
2
2026
0
0
ax
bx
a
的一个解，则1
2a
b
的值为______．
【答案】1012
【分析】本题可先将方程的解代入一元二次方程，求出含a 、b 的代数式的值，再通过整体代入法求出目标
代数式的值．
【详解】解：∵
2
x
是关于x 的一元二次方程
2
2026
0
ax
bx
（
0
a
）的一个解，
∴4
2
2026
0
a
b
，
∴2
1013
a
b
，
∴
1 2
1
2
1 1013
1012
a
b
a
b
．
10．在一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
中，实数a，b，c 满足4
2
0
a
b
c
，则此方程必有一根为________．
【答案】2
【分析】将
2
x 代入方程求解判断即可．
【详解】解：将
2
x 代入
2
0
ax
bx
c
得，4
2
0
a
b
c
，
此方程必有一根为2
．
三、解答题
11．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
(1)
3
1
4
2
x x
x
；
(2)
2
3
2
4
1
x
x
x
；
(3)
2
2
5
1
8
y
y
y
；
(4)
2
2
1
t
t
．
【答案】(1)
2
3
8
0
x
x
，二次项系数为3，一次项系数为1
，常数项8 ；
(2)
2
3
11
0
x
x
，二次项系数为3，一次项系数为1，常数项11
；
(3)
2
8
2
0
y
y
，二次项系数为1，一次项系数为8 ，常数项2
；
(4)
2
1
0
t
，二次项系数为1，一次项系数为0 ，常数项1．
【分析】（1）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可；
（2 ）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可；
（3）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可；
（4 ）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可．
【详解】（1）解：
3
1
4
2
x x
x
，
2
3
3
4
8
x
x
x
2
3
3
4
8
0
x
x
x
2
3
8
0
x
x
，
∴二次项系数为3，一次项系数为1
，常数项8；
（2）解：
2
3
2
4
1
x
x
x
，
2
2
6
9
4
8
2
x
x
x
x
x
2
2
6
9
4
7
2
x
x
x
x
2
2
4
7
2
6
9
x
x
x
x
2
2
4
7
6
2
9
0
x
x
x
x
2
3
11
0
x
x
，
∴二次项系数为3，一次项系数为1，常数项11
；
（3）解：
2
2
5
1
8
y
y
y
2
2
2
5
5
8
y
y
y
y
2
2
2
2
10
10
8
0
y
y
y
y
2
8
2
0
y
y
，
∴二次项系数为1，一次项系数为8，常数项2
；
（4）解：
2
2
1
t
t
2
2
2
1
t
t
t
2
2
1
2
t
t
t
2
2
2
1
0
t
t
t
2
1
0
t
，
∴二次项系数为1，一次项系数为0 ，常数项1．
12．当m 为何值时，方程
| | 1
1
5
1
0
m
m
x
m
x
m
是关于x 的一元二次方程？
【答案】
1
m
【分析】本题主要考查了一元二次方程，一元二次方程的一般形式
2
0
0
ax
bx
c
a
下，注意二次项系
数不等于零是解题的关键．
直接根据一元二次方程的定义列方程求解即可．
【详解】解：根据题意，得|
| 1
2
m
且
1
0
m
．
解|
| 1
2
m
，得
1
m ，
解
1
0
m
，得
1
m ，
所以
1
m ．
所以当
1
m 时，原方程是关于x 的一元二次方程．
13．已知a 是一元二次方程
2
1
0
x
x
的一个根：
(1)求
2
2
2
a
a
的值
(2)求
3
2
2026
a
a
的值．
【答案】(1)2
(2)2025
【分析】（1）根据a 是一元二次方程
2
1
0
x
x
的一个根，得到
2
1
a
a
，整体代入法求值即可；
（2）利用降幂和整体代入法进行计算即可.
【详解】（1）解：∵a 是一元二次方程
2
1
0
x
x
的一个根，
∴
2
1
0
a
a
，
∴
2
1
a
a
，
∴
2
2
2
2
2
2
a
a
a
a
；
（2）解：∵
2
1
a
a
，
∴
2
1
a
a
，
∴
3
2
2
2026
·
2
2026
a
a
a a
a
· 1
2
2026
a
a
a
2
2
2026
a
a
a
2
2026
a
a
2
2026
a
a
1 2026
2025
.
14．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为
2
*
a b
a
ab
．如
2
: 2*1
2
2 1
2
．
(1)判断
2 * 2
1
0
t
t
是否为一元二次方程．
(2)判断
3
x 和
2
x
是否是方程(
1)*3
2
x
的根．
【答案】(1)是
(2)
3
x 不是
2
x
是
【分析】本题考查了新定义运算、一元二次方程的定义以及方程根的检验方法，掌握新运算的转化规则和
方程根的验证方法是解题的关键．
（1）根据新运算“*” 的法则，将
2
2
1
t
t
展开并整理成整式方程形式，再根据一元二次方程的定义进
行判断；
（2）先根据新运算将
1
3
2
x
转化为整式方程，再将
3
x 和
2
x
分别代入方程，通过检验等式是否
成立来判断是否为方程的根．
【详解】（1）解：由题意可得
2
(
2)
2
2
1
0
t
t
t
，
整理，得
2
2
0
t
t
，
2 * 2
1
0
t
t
是一元二次方程．
（2）解：由题意可得
2
(
1)
3
1
2
x
x
，
整理，得
2
5
6
0
x
x
．
当
3
x 时，
2
5
6
9
15
6
0
x
x
，
3
x
不是方程
1 *3
2
x
的根．
当
2
x
时，
2
5
6
4
10
6
0
x
x
，
2
x
是方程
1 *3
2
x
的根．
15．定义：方程
2
0
cx
bx
a
是一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的倒方程，其中a，b，c 为常数（且a ，
0
c
）．根
据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程
2
4
3
1
0
x
x
的“倒方程”是；
(2)若
1
x 是一元二次方程
2
2
0
x
x
c
的“倒方程”的解，求出c 的值；
(3)若m 是一元二次方程
2
6
1
0
x
x
的“倒方程”的一个实数根，则
3
2
6
2025
m
m
m
的值为．
【答案】(1)
2
3
4
0
x
x
(2)
3
c
(3)2025
【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念
以及根与系数关系，是解题的关键．
（1）根据新定义的含义可得答案；
（2）根据题意得到方程
2
2
0
x
x
c
的倒方程为
2
2
1
0
cx
x
，把
1
x 代入即可得到c 的值；
（3）根据题意得到方程
2
6
1
0
x
x
的倒方程为
2
6
0
x
x
，再结合方程根的定义得到
2
6
0
m
m
，得
到
3
2
6
0
m
m
m
，然后整体代入求解即可．
【详解】（1）解：根据新定义，方程
2
4
3
1
0
x
x
的倒方程是：
2
3
4
0
x
x
；
（2）解：由题知，方程
2
2
0
x
x
c
的倒方程为
2
2
1
0
cx
x
，
将
1
x 代入此方程得，
2
1
0
c
，
解得
3
c ；
（3）解：由题知，一元二次方程
2
6
1
0
x
x
的倒方程是
2
6
0
x
x
，
∵m 是此方程的一个实数根，
∴
2
6
0
m
m
，
∴
3
2
6
0
m
m
m
，
∴
3
2
6
2025
0
2025
2025
m
m
m
．
