第01 讲探索勾股定理
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 以直角三角形三边为边长的图形面积
题型2 已知直角三角形的两边，求第三边长
题型3 等面积法求斜边上的高问题
题型4 勾股定理与网格问题
题型5 勾股定理与折叠问题
题型6 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
题型7 利用勾股定理证明线段平方关系
题型8 勾股定理的验证方法
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
勾股定理
勾股定理验证
1.经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意
识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简
单推理的意识及能力。
3.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动发展学生的探
究意识和合作交流的习惯
4.掌握勾股定理和它的简单应用。
学习重点
（1）了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题；
（2）能熟练应用拼图法证明勾股定理。
学习难点
（1）勾股定理的发现；
（2）用面积证勾股定理。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如图：直角三角形ABC 的两直角边长分别为a
b
，，斜边长为c ，那么
2
2
2
a
b
c
.
注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就
将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
2
2
2
a
c
b
，
2
2
2
b
c
a
，
2
2
2
c
a
b
ab
.
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.利用勾股定理，作出长为
n 的线段
【方法总结】
1. 面积法证定理：通过拼图或割补图形，利用面积相等关系验证勾股定理。
2. 代数法求边长：已知直角三角形两边，利用公式a2+b2=c2 列方程求第三边。
3. 逆定理由边判形：若三角形三边满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形（用于判定垂直）。
即时即练1．如图，Rt
ABC
△
中，
90
ACB
．以Rt
ABC
△
的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为
1
2
3
S
S
S
，，
，若
1
2
3
40
S
S
S
，则
1S 的值为（
）
A．18
B．20
C．22
D．25
【答案】B
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】此题主要考查了勾股定理，根据正方形的面积公式得
2
1S
AB
，
2
2
S
BC
，
2
3S
AC
，进而得
2
2
2
40
AB
BC
AC
，再由勾股定理得：
2
2
2
BC
AC
AB
，则
2
20
AB
，进而得
2
1
20
S
AB
，由此即可得
出答案．熟练掌握正方形的面积公式，勾股定理是解决问题的关键．
【详解】解：根据正方形的面积公式得：
2
1S
AB
，
2
2
S
BC
，
2
3S
AC
，
1
2
3
40
S
S
S
，
2
2
2
40
AB
BC
AC
，
在Rt
ABC
△
中，
2
2
2
BC
AC
AB
，
2
2
40
AB
，
2
20
AB
，
2
1
20
S
AB
．
故选：B．
2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，
3
AB ，
5
AC
，将
ABC
折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，
(1)求CE 的长；
(2)求点B 到斜边AC 的距离；
【答案】(1)
25
8
CE
；
(2)点B 到斜边AC 的距离为12
5 ．
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质．
（1）根据勾股定理求出
4
BC
，由折叠的性质可得AE
CE
，设BE
x
，则
4
AE
CE
x
，利用勾股定
理可得方程
2
2
2
3
4
x
x
，解方程即可得到答案；
（2）利用等积法求解即可．
【详解】（1）解：在Rt
ABC
△
中，
90
B
Ð
=
°，
3
AB ，
5
AC
，
∴
2
2
BC
AC
AB
4
，
由折叠的性质可得AE
CE
，
设BE
x
，则
4
AE
CE
x
，
在Rt
ABE
△
中，由勾股定理得
2
2
2
AB
BE
AE
，
∴
2
2
2
3
4
x
x
，
解得
7
8
x
，
∴
7
8
BE
，
∴
25
4
8
CE
x
；
（2）解：点B 到斜边AC 的距离为h ，
∵
1
1
2
2
ABC
S
AC
h
BC
AB
△
，
∴
4 3
12
5
5
BC
AB
h
AC
，
答：点B 到斜边AC 的距离为12
5 ．
知识点02
勾股定理验证
（1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中
，所以
.
（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中
，所以
.
（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以
.
【方法总结】
拼图割补：通过不同图形的面积相等验证，如赵爽弦图、毕达哥拉斯图、总统证法。核心是用两种方法表
示同一图形面积，得到a2+b2=c2。
即时即练【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1 所示图形，其中四边形ABED 和四边形
CFGH 都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c 之间的一个重要结论：
2
2
2
a
b
c
．
【深入思考】
如图2，在△ABC 中，
90
C
，BC
a
，AC
b
，AB
c
，以AB 为直角边在AB 的右侧作等腰直角
ABD
△
，
其中AB
BD
，∠ABD=90°，过点D 作DE
CB
，垂足为点E．
（1）求证：DE
a
，BE
b
；
（2）请你用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：
2
2
2
a
b
c
；
【实际应用】
（3）将图1 中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3 所示的“数学风车”，
若
12
a
，
9
b
，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
【答案】（1）见解析；（2）方法一：
2
1
2
ab
c
；方法二：
2
1
2 a
b
；见解析；（3）393
【知识点】勾股定理的证明方法、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）
【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，全等三角形的性质与判定，理解勾股定理解决问题的关键．
（1）依据题意，通过证明
,
ABC
BDE
≌
即可判断得解；
（2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形
2
1
2
ABC
ABD
BED
ACED
S
S
S
ab
c
和
2
1
1
2
2
ACED
S
AC
DE
CB
BE
a
b
梯形
，再列式变形即可得解；
（3）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓(图中实线部分)的总长度为108，可得
108
4
27.
AD
BD
又设
,
AD
x
故
27
.
BD
x
又在
BCD
△
中，
2
2
2
BC
CD
BD
，则求出x 后可列式计算得解．
【详解】（1）证明∶∵DE
BC
，
∴
90
E
，
∴
90
DBE
BDE
，
∵∠ABD=90°，
∴
90
ABC
DBE
，
∴
ABC
BDE
，
又
90
C
BED
，
AB
BD
，
∴
AAS
ABC
BDE
≌
．
∴
,
BC
DE
a AC
BE
b ；
（2）证明：由题意得，第一种方法：
梯形
ABC
ABD
BED
ACED
S
S
S
S
2
1
1
1
2
2
2
ab
c
ab
2
1
2
ab
c
，
第二种方法：
1
2
ACED
S
AC
DE
CB
BE
梯形
1
2 a
b
a
b
2
1
2 a
b
，
2
2
1
1
2
2
a
b
ab
c
，
2
2
2
2
2
a
ab
b
ab
c
，
2
2
2
a
b
c
；
（3）由题意，如图，
∵“数学风车”外围轮廓(图中实线部分)的总长度为108，
108
4
27
AD
BD
，
设
,
AD
x
则
27
BD
x
，
在
BCD
△
中，
2
2
2
BC
CD
BD
，
2
2
2
27
a
b
x
x
，
将
12,
9
a
b
代入可得，
2
2
9
144
27
x
x
，
7
x
，
∴小正方形的边长等于
12
9
3
a
b
∴风车的面积为：1
1
4
3 3
12 16
4
3 3
393
2
2
BC
CD
．
题型1 以直角三角形三边为边长的图形面积
【例1】现有四块正方形纸片，其面积分别是4，6，8，10，从中选取三块按图所示的方式组成图案．若要
使所围成的三角形是直角三角形，则要选取的三块纸片的面积分别是_____．
【答案】4，6，10
【分析】根据勾股定理，直角三角形中两直角边的平方等于斜边的平方，即2 个小正方形的面积等于大正
方形的面积，据此分析判断即可
【详解】解：∵要使围成的三角形是直角三角形，
∴2 个小正方形的面积等于大正方形的面积，
∵4
6
10
，
即选取的三块纸片的面积分别是4，6，10．
【例2】如图，
90 ,
3
ACB
AB
，以Rt
ABC
△
的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影
部分的面积为__________．
【答案】9
【分析】根据图形和题意，可知阴影部分的面积为
2
2
2
2
2
2
BC
AC
AB
，然后根据勾股定理可知
2
2
2
23
9
BC
AC
AB
，进而可以求得图中阴影部分的面积．
【详解】解：由已知可得，阴影部分的面积为
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
BC
AC
AB
BC
AC
AB
，
∵
90
ACB
，
3
AB ，
∴
2
2
2
23
9
BC
AC
AB
，
∴
2
2
2
2
2
2
BC
AC
AB
2
2
2
2
BC
AC
AB
9
9
2
9
．
【技巧归纳】
以直角三角形三边为边长向外作相似图形（如正方形、半圆、正多边形），则两条直角边上的图形面积之
和等于斜边上的图形面积。核心技巧：抓住“相似”关系，直接应用勾股定理的推广，无需单独计算。
【变式1-1】如图，直角三角形ABC 两直角边长分别为5 和12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则图
中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为________．
【答案】30
【分析】由图形的构成可得图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为以AC 为直径的半圆面积加上以
BC 为直径的半圆面积加上
ABC
的面积，再减去以AB 为直径的半圆面积．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
5
AC
，
12
BC
，
由勾股定理得：
2
2
2
2
5
12
13
AB
AC
BC
，
∴图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和
2
2
2
1
1
1
1
π
π
π
2
2
2
2
2
2
2
AC
BC
AB
AC BC
2
2
2
1
5
1
12
1
1
13
π
π
5 12
π
2
2
2
2
2
2
2
169
169
π
30
π
8
8
30
．
【变式1-2】如图，
90 ,
3,
4
ACB
AC
BC
，以Rt ABC
的三边为边向外分别作正方形．然后以两个小
正方形的边向外分别作两直角边之比为3: 4 的直角三角形，再以得到的直角三角形的两直角边为边向外作正
方形，则图中所有的正方形的面积之和为____________．
【答案】75
【分析】先由勾股定理求出AB ，进而求出
ABC
三边构造的正方形面积，再由以直角三角形三边向外所作
的正方形面积关系求解即可．
【详解】解：如图所示：
在
ABC
中，
90 ,
3,
4
ACB
AC
BC
，则
2
2
3
4
5
AB
，
2
2
2
1
2
3
5
25,
4
16,
3
9
S
S
S
，
6
7
3
4
5
2
9,
16
S
S
S
S
S
S
，
1
2
3
4
5
6
7
25 16
9
9 16
75
S
S
S
S
S
S
S
．
题型2 已知直角三角形的两边，求第三边长
【例3】直角三角形斜边长13，一直角边长5，另一直角边长为____．
【答案】12
【分析】熟练掌握勾股定理，直接利用勾股定理计算即可．
【详解】解：由勾股定理得：另一直角边长
2
2
13
5
169
25
144
12
．
【例4】一个直角三角形的两条直角边分别为6 和8 ，则斜边的长为__________．
【答案】10
【详解】解：由勾股定理得，斜边的长为
2
2
6
8
10
．
【技巧归纳】
1. 明确斜边：若已知两边为直角边，第三边为斜边，用c = �2 + �2。
2. 识别斜边：若已知一边为斜边，另一边为直角边，则另一直角边用a = �2 −�2 。
3. 注意：斜边总是最长边。
【变式2-1】如图，在
ABC
中，
90
BAC
，AD
BC
于D ，
4
DC
，
9
BC
，则AC 为___．
【答案】6
【分析】根据勾股定理计算即可得出结果．
【详解】解：∵
4
DC
，
9
BC
，
∴
5
BD
BC
CD
，
设AD
x
，
∵AD
BC
，
∴
2
2
2
2
2
2
5
25
AB
AD
BD
x
x
，
2
2
2
2
2
2
4
16
AC
AD
CD
x
x
，
∵
90
BAC
，
∴
2
2
2
AB
AC
BC
，
∴
2
2
2
25
16
9
x
x
，
∴
2
20
x
，
∴
2
2
16
36
AC
x
，
∴
6
AC
（负值不符合题意，舍去）．
【变式2-2】如图，当笔记本电脑的张角为
BAF
时，顶部边缘B 处离桌面的高度
7cm
BC
，此时底部边
缘A 处与C 处之间的距离AC 为24cm ，则电脑屏幕的宽AB 为_____________cm．
【答案】25
【详解】解：由题意可知，
24cm
AC
，
7cm
BC
，
90
BCA
，
在Rt
ABC
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
24
7
25(cm)
AB
AC
BC
．
题型3 等面积法求斜边上的高问题
【例5】若直角三角形的斜边长为25cm，一条直角边长为20cm ，则斜边上的高为______cm．
【答案】12
【分析】先根据勾股定理求出另一条直角边的长度，再利用直角三角形面积的两种不同表示方法列方程，
求解斜边上的高．
【详解】解：∵直角三角形斜边长为25cm，一条直角边长为20cm ，
∴另一条直角边长为
2
2
25
20
625
400
15cm
，
∴直角三角形的面积
2
1 15 20
150cm
2
S
，
设斜边上的高为cm
h
，
则1
25
150
2
h
，
解得
12
h
．
【例6】在Rt
ABC
△
中，
90
C
，CD是斜边AB 上的高，
6
AC
，
8
BC ，则AD 的长为______．
【答案】18
5
【分析】利用勾股定理求出AB ，根据三角形的面积公式求出CD，最后根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，
在Rt
ABC
△
中，
90
C
，CD是斜边AB 上的高，
6
AC
，
8
BC ，
∴
2
2
10
AB
AC
BC
，
∵
1
1
2
2
ABC
S
AC
BC
AB
CD ，
∴1
1
6 8
10
2
2
CD
解得
24
5
CD
，
在Rt
ACD
△
中，
2
2
2
2
24
18
6
5
5
AD
AC
CD
．
【技巧归纳】
公式：a×b = c×h，即两直角边乘积等于斜边乘以斜边上的高。
步骤：1. 先用勾股定理求出斜边c；2. 代入公式h =
��
�即得。
【变式3-1】在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，若
5cm
12cm
AC
BC
，
，则Rt
ABC
△
斜边上的高CD的长为
__________．
【答案】60 cm
13
【分析】本题主要考查勾股定理，在直角三角形中，利用勾股定理求斜边长，再通过等面积法求斜边上的
高．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，
5cm
12cm
AC
BC
，
，
∴
2
2
2
2
5
12
25 144
169
13 cm
AB
AC
BC
Rt
ABC
△
的面积为：
2
1
1
5 12
30 cm
2
2
AC
BC
，
设斜边上的高CD的长为cm
h
，则1
1 13
2
2
AB
CD
h
，
∴1 13
30
2
h
，
解得，
60
13
h
，
故答案为：60 cm
13
．
【变式3-2】在
ABC
中，
15
AB
，
13
AC
，BC 边上的高为12，则
ABC
的周长为______．
【答案】32 或42
【分析】本题考查勾股定理的应用，由于BC 边上的高位置不确定，需分类讨论垂足是否在线段BC 上．
【详解】解：设BC 边上的高为AD ，垂足为D，则
12
AD
，
在Rt
ABD
△
中，
15
AB
，
12
AD
，由勾股定理
2
2
225 144
9
BD
AB
AD
，
在Rt
ACD
△
中，
13
AC
，
12
AD
，由勾股定理得
2
2
169 144
5
CD
AC
AD
，
当点D 在线段BC 上时，
9
5
14
BC
BD
CD
，
ABC
的周长为
15 13 14
42
AB
AC
BC
，
当点D 不在线段BC 上时，
9
5
4
BC
BD
CD
，
ABC
的周长为
15 13
4
32
AB
AC
BC
．
故答案为：32 或42．
题型4 勾股定理与网格问题
【例7】如图所示的网格是正方形网格，则
ABC
°（点A，B，C 是网格线交点）．
【答案】45
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
根据网格作出等腰直角三角形即可解答．
【详解】解：如图：取格点D，则
2
2
2
5,
5,
10
AD
AB
BD
，
∴AD
AB
，
2
2
AD
AB
BD
，
∴
ABD
△
是等腰直角三角形，
∴
ABC
．
故答案为：45．
【例8】在2 2
的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C 都在格点上，则BC 边上的高为
．
【答案】3
2
2
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，首先求出
ABC
的面积，再根据勾股定理可求出BC 的
长，进而根据面积公式即可求得BC 边上的高的长．
【详解】解：由题意可得
1
1
2
2
2 1 2
1 1
1.5
2
2
ABC
S
，
∵
2
2
1
1
2
BC
，
∴
ABC
中BC 边上的高长
1.5 2
3
2
2
2
．
故答案为：3
2
2
．
【技巧归纳】
1. 构造直角三角形：在网格中，以格点连线为斜边，沿网格线作直角边。
2. 计算边长平方：直角边长取水平、竖直格数，其平方和即为斜边平方。
3. 无需开方：比较长度或面积时，直接用平方值判断。
【变式4-1】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点
, ,
,
A B C E 均在小正方形的顶点上．以点A 为圆心，
AB 长为半径画弧，圆弧交CE 于点D ，则ED 的长为
．
【答案】
5
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】本题考查网格中求线段长，涉及勾股定理，由题中条件及网格可知在Rt AED
中，
90
E
，
3
AB ，
2
AE
，由勾股定理代值求解即可得到答案，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知，
3
AD
AB
，
2
AE
，
在Rt AED
中，
90
E
，则由勾股定理可得
2
2
2
2
3
2
5
ED
AD
AE
，
故答案为：
5 ．
【变式4-2】在边长为1 的正方形网格中，A
B
C
D
E
、、、、
均为格点，
(1) AE ___________，AC ___________
(2)求
ACE
△
中边AE 上的高h
【答案】(1) 10 ，
5
(2)
7 10
10
h
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理解三角形是解题的关键．
（1）对Rt ADE
和Rt
ABC
△
直接运用勾股定理即可求解；
（2）先由割补法求出
ACE
△
的面积，再由
1
2
ACE
S
AE
h
△
即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，
90
D
B
，
∴由勾股定理得：
2
2
2
2
3
1
10
AE
AD
DE
，
2
2
2
2
1
2
5
AC
AB
BC
，
故答案为：10 ，
5 ；
（2）解：由图可得：
1
1
1
7
2
4
1 2
1 3
1 4
2
2
2
2
ACE
S
，
∵
1
2
ACE
S
AE
h
△
，
10
AE
，
∴1
7
10
2
2
h
，
∴
7 10
10
h
．
题型5 勾股定理与折叠问题
【例9】如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，
4
AC
，
3
BC ，点D 为边AC 上一动点，DE
AB
交AB
于点E ，将
A
沿直线DE 折叠，点A 的对应点为F ，当
DFC
△
是直角三角形时，AD 的长为_____．
【答案】7
8 或25
8
【分析】本题考查了折叠问题，勾股定理，利用勾股定理求线段的长度是本题的关键．分两种情况讨论，
由勾股定理和折叠的性质可求解．
【详解】解：当
90
DFC
时，
∵将
A
沿直线DE 折叠，点A 的对应点为F．
∴
A
AFD
，AD
DF
，
∵
90
ACB
，
90
DFC
，
∴
90
A
B
，
90
AFD
BFC
，
∴
BFC
B
，
∴
3
FC
BC
，
在Rt
DFC
△
中，
2
2
2
DF
C
F
D
C
．
∴
2
2
4
9
AD
AD
，
∴
7
8
AD
，
当
90
DCF
时，点F 与点B 重合，AD
DF
，
∵
2
2
2
DF
BC
CD
，
∴
2
2
4
9
AD
AD
，
∴
25
8
AD
，
故答案为：7
8 或25
8 ．
【例10】如图，小明用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，长BC 为10cm ．当小
明折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．则此时
AEF
△
的面积为
2
cm ．
【答案】25
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，
ADE
AFE
△
≌△
，AF
AD
，ED
EF
，在Rt ABF
利用勾股定理可求得BF ，从而知道CF ，然后设
ED
x
EF
，
8
CE
CD
DE
x
，通过
2
2
2
CF
CE
EF ，求得ED ，最后利用
2
AEF
ADE
AD ED
S
S
算
得答案．
【详解】解：由题意可知，
ADE
AFE
△
≌△
，
AF
AD
，ED
EF
长方形ABCD ，宽AB 为8cm ，长BC 为10cm
8cm
AB
CD
，
10cm
BC
AD
，
90
B
C
10cm
AF
AD
2
2
2
2
10
8
6
BF
AF
AB
10
6
4cm
CF
BC
BF
设ED
x
EF
，
8
CE
CD
DE
x
2
2
2
CF
CE
EF
2
2
2
4
(8
)x
x
\
+
-
=
5
x
5cm
ED
2
10 5
25cm
2
2
AEF
ADE
AD ED
S
S
故答案为：25．
【技巧归纳】
1. 找相等线段：折叠前后对应边相等、对应角相等。
2. 设未知数：将所求线段设为x，用x 表示相关边长。
3. 构直角三角形：在折叠形成的直角三角形中，用勾股定理列方程求解。
【变式5-1】如图，三角形纸片ABC ，
90
C
，将纸片沿过点C 的直线折叠，使点A 落在边AB 上点D
处，再折叠纸片使点B 与点D 重合，折痕交BC 于点E．若
2
AC
，
4
BC
，则CE 的长为
．
【答案】5
2
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．由折叠的性质可证得CDE
是直角三角形，得到
2
AC
CD
，
设CE
x
，则
4
DE
BE
x
，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠可得
2
AC
CD
，BE
DE
，
A
CDA
，
B
BDE
，
∵
90
ACB
，
∴
A
B
+
90 ，
∴
90
CDA
BDE
∠
∠
，
∴
180
90
CDE
CDA
BDE
，
∴CDE
是直角三角形，
设CE
x
，则
4
DE
BE
x
，
由勾股定理得
2
2
2
DE
CD
CE
，即
2
2
2
4
2
x
x
，
解得
5
2
x
，
∴
5
2
CE
．
故答案为：5
2 ．
【变式5-2】在四边形ABCD 中，
90 ,
10,
8
DAB
B
C
D
AB
CD
BC
AD
．
(1)若P 为边BC 上一点，如图①将ABP
沿直线AP 翻折至
AEP
△
的位置，当点B 落在CD 边上点E 处时，
求PB的长；
(2)如图②，点Q 为射线DC 上的一个动点，将
ADQ
△
沿AQ 翻折，点D 恰好落在直线BQ 上的点D¢处，求
DQ 的长．
【答案】(1)5
(2)
4
DQ
或16
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理：
（1）设PB
x
，则
8
PC
x
，根据图形折叠的性质可知
10
AB
AE
，BP
EP
x
=
=
，根据勾股定理即可求
得答案；
（2）分两种情况计算：当点Q 在线段DC 上时；当点Q 在线段DC 的延长线上时．
【详解】（1）解：设PB
x
，则
8
PC
x
．
根据图形折叠的性质可知
10
AB
AE
，BP
EP
x
=
=
．
在Rt ADE
中，
2
2
2
2
10
8
6
DE
AE
AD
．
则
10
6
4
EC
CD
DE
．
在Rt PEC
中，
2
2
2
EP
EC
PC
，
即
2
2
2
4
8
x
x
．
解得
5
x
．
即
5
PB
；
（2）解：①如图所示，当点Q 在线段DC 上时．
设DQ
x
，则
10
QC
x
．
根据图形折叠的性质可知
QD
D Q
x
，
8
AD
AD
，
90
AD B
．
在Rt ABD
中
'
2
2
2
2
10
8
6
BD
AB
AD
．
则
6
BQ
BD
QD
x
．
在Rt
BQC
△
中
2
2
2
BQ
QC
BC
，即
2
2
2
6
10
8
x
x
解得
4
x
．
即
4
DQ
．
②如图所示，当点Q 在线段DC 的延长线上时．
根据图形折叠的性质可知
DQA
D QA
．
∵AB
CD
∥
，
∴
DQA
QAB
．
∴
D QA
QAB
．
∴
10
AB
BQ
．
在Rt
BCQ
△
中
2
2
2
2
10
8
6
CQ
BQ
BC
．
∴
16
DQ
CD
CQ
．
综上所述，
4
DQ
或16．
题型6 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
【例11】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，对角线AC
BD
，
交于点O，若
3
AD
，
8
BC ，则
2
2
AB
CD
．
【答案】73
【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
在Rt
COB
△
和Rt AOB
中，根据勾股定理得
2
2
2
2
2
2
BO
CO
CB
OD
OA
AD
，
，进一步得
2
2
2
2
64
9
73
BO
CO
OD
OA
，再根据
2
2
2
2
2
2
AB
BO
AO
CD
OC
OD
，
，然后根据等量代换即可
解答．
【详解】解：∵BD
AC
，
∴
90
COB
AOB
AOD
COD
，
在Rt
COB
△
和Rt AOB
中，根据勾股定理得：
2
2
2
2
2
2
BO
CO
CB
OD
OA
AD
，
，
∴
2
2
2
2
2
2
64
9
73
CB
AD
BO
CO
OD
OA
，
∵
2
2
2
2
2
2
AB
BO
AO
CD
OC
OD
，
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
73
AB
CD
BO
AO
OC
OD
BO
OD
AO
OC
CB
AD
.
故答案为：73．
【例12】Rt
ABC
△
中，斜边
1
AB ，则
2
2
2
AB
BC
AC
的值是
．
【答案】2
【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
【分析】先画图，再利用勾股定理可求
2
2
BC
AC
的值，从而易求
2
2
2
AB
BC
AC
的值．
【详解】解：如图所示，
在Rt
ABC
△
中，
2
2
2
AB
BC
AC
，
又∵
1
AB ，
∴
2
2
2
1
BC
AC
AB
，
∴
2
2
2
1 1
2
B
BC
AC
．
故答案是∶2．
【技巧归纳】
1. 构造直角三角形：以两线段为直角边，则平方和为斜边平方。
2. 求平方差：分别以两线段为斜边和直角边，另一直角边的平方即为平方差。
3. 借助网格或坐标：将线段放入网格或坐标系中计算。
【变式6-1】如图，四边形ABCD 的对角线AC
BD
，相交于点O．若
3
6
AB
CD
，则
2
2
AD
BC
．
【答案】40
【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得
2
2
2
2
2
2
2
2
AD
BC
AO
DO
BO
CO
AB
CD
，进
而可得到结论．
【详解】解：∵
3
6
AB
CD
，
∴
2
CD
，
∵AC
BD
，
∴
2
2
2
2
2
2
AD
BC
AO
DO
BO
CO
2
2
2
2
AO
BO
DO
CO
2
2
AB
CD
2
2
6
2
40
．
故答案为：40．
【变式6-2】如图，等腰直角
AOB
，等腰直角
COD
△
，
90 ,
3,
4
AOB
COD
AO
CO
，连接
,
AD BC
相交于点M，则
2
2
AC
BD
．
【答案】50
【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明
AOD
BOC
≌
△
△
是解题的关键．设BC 交OA于点F，由等腰直角三角形的性质得
3
AO
BO
，
4
DO
CO
，
90
AOB
COD
，可证明
AOD
BOC
，求得
2
2
2
18
AB
AO
BO
，
2
2
2
32
CD
DO
CO
，再证明
△
AOD
BOC
≌
△
△
，得
OAD
OBC
，则
90
AMC
OAD
AFM
OBC
BFO
，推导出
2
2
2
2
2
2
2
2
AC
BD
AB
CD
AM
BM
CM
DM
，求得
2
2
2
2
50
AC
BD
AB
CD
，于是得到问题的答
案．
【详解】解：设BC 交OA于点F，
∵
AOB
和
COD
△
都是等腰直角三角形，
90
AOB
COD
，
3
AO
，
4
CO
，
∴
3
AO
BO
，
4
DO
CO
，
90
AOD
BOC
AOC
，
∴
2
2
2
2
2
3
3
18
AB
AO
BO
，
2
2
2
2
2
4
4
32
CD
DO
CO
，
在
AOD
△
和BOC
中，
AO
BO
AOD
BOC
DO
CO
，
∴
SAS
AOD
BOC
≌
，
∴
OAD
OBC
，
∵
AFM
BFO
，
∴
90
AMC
OAD
AFM
OBC
BFO
，
∴
90
BMD
AMB
CMD
，
∵
2
2
2
AC
AM
CM
，
2
2
2
BD
BM
DM
，
2
2
2
AB
AM
BM
，
2
2
2
CD
CM
DM
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
2
AC
BD
AB
CD
AM
BM
CM
DM
，
∴
2
2
2
2
18
32
50
AC
BD
AB
CD
，
故答案为：50．
题型7 利用勾股定理证明线段平方关系
【例13】如图，
ABC
和CDE
都是等腰直角三角形，
90
ACB
ECD
，D 为AB 边上一点，
求证：
(1) ACE
BCD
≌
；
(2)
2
2
2
AD
AE
DE
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和SAS 综合（SAS）、利用勾股定理证明线段平方关系
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：
（1）利用SAS 证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质，推出
90
EAD
，利用勾股定理即可得证．
【详解】（1）证明：∵
ABC
和CDE
都是等腰直角三角形，
90
ACB
ECD
，
∴
,
AC
BC CE
CD
，
90
ACE
BCD
ACD
，
∴ACE
BCD
≌
；
（2）∵ACE
BCD
≌
，
∴
CAE
B
，
∴
90
CAE
CAB
B
CAB
，
∴
90
EAD
，
∴
2
2
2
AD
AE
DE
．
【例14】如图，在
ABC
中，AD
BC
．
(1)求证：
2
2
2
2
AB
AC
BD
CD
-
=
-
；
(2)当
8
AB
，
6
BC
，
2 13
AC
时，求AD 的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
4 3
AD
；
【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、用勾股定理解三
角形、几何问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股
定理是解决问题的关键．
（1）在Rt
ABD
△
和Rt ADC
中，分别运用勾股定理可得
2
2
2
AB
AD
BD
，
2
2
2
AC
AD
CD
，利用AD 边
相等，联立两式移项即得证．
（2）根据第一问的结论，可求出
2
2
BD
CD
-
的值，利用平方差公式，结合
6
BC
BD
CD
，可求得BD
CD
，
而
6
BD
CD
，由此可求得BD 、CD ，由勾股定理即可求出AD ．
【详解】（1）证明：
AD
BC
，
在Rt
ABD
△
和Rt ADC
中，根据勾股定理得，
2
2
2
AB
AD
BD
，
2
2
2
AC
AD
CD
，
2
2
2
2
2
=
=
AB
BD
AD
AC
CD
，
移项得：
2
2
2
2
AB
AC
BD
CD
-
=
-
．
故
2
2
2
2
AB
AC
BD
CD
-
=
-
．
（2）解：
2
2
2
2
AB
AC
BD
CD
-
=
-
，
8
AB
，
2 13
AC
2
2
2
2
2
2
8
(2 13)
64
52
12
BD
CD
AB
AC
-
=
-
=
-
=
-
=
，
2
2
(
)
)
12
BD
C
B
D
BD
C
D
C
D
D
（
-
=
+
-
=
，
6
BC
，即
6
BD
CD
，
2
BD
CD
，
6
2
BD
CD
BD
CD
，解得
4
2
BD
CD
，
2
2
2
2
2
8
4
64
16
48
AD
AB
BD
，
4 3
AD
．
【技巧归纳】
1. 找直角三角形：将待证线段转化为某直角三角形的边。
2. 转移平方项：若线段不在同一直角三角形中，通过全等、相似、垂直等构造等量代换。
3. 加减勾股式：对多个等式相加或相减，消去中间项得结论。
【变式7-1】如图，已知
ABC
与CDE
都是等腰直角三角形，其中
90
ACB
DCE
，D 为AB 边上一
点．
(1)试判断AD 与BE 的大小关系，并说明理由；
(2)试说明
2
2
2
,
,
AD
BD
DE 三者之间的关系．
【答案】(1) AD
BE
，理由见解析
(2)
2
2
2
AD
BD
DE
，理由见解析
【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、全等的性质和SAS 综合（SAS）
【分析】（1）证明
≌
ACD
BCE
即可；
（2）根据（1）可得
≌
ACD
BCE
，得到AD
BE
，
45
ABC
A
CBE
，得到DBE
是直角三角
形，根据勾股定理证明即可．
【详解】（1）AD
BE
．理由如下：
∵
ABC
与CDE
都是等腰直角三角形，
∴AC
BC
CE
CD
，
，
90
ACB
DCE
，
∴
90
ACD
BCE
BCD
．
∴
SAS
ACD
BCE
△
≌△
，
∴AD
BE
．
（2）
2
2
2
AD
BD
DE
．理由如下：
由（1）可得
≌
ACD
BCE
，
∴AD
BE
，
45
ABC
A
CBE
，
∴
90
DBE
，
∴
2
2
2
BE
BD
DE
，
∴
2
2
2
AD
BD
DE
．
【变式7-2】如图，在Rt
ABC
△
中，已知
90
A
，D 是斜边BC 的中点，DE
BC
交AB 于点E，连接
.
CE
(1)求证：
2
2
2
BE
AE
AC
；
(2)若
6
AC
，
5
BD
，求
ACE
△
的周长.
【答案】(1)见解析
(2)14
【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、用勾股定理解三角形
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得BE
CE
，在Rt ACE
利用勾股定理建立线段的平方关系，再
等量代换即可求证；
（2）在Rt
ABC
△
中，由勾股定理得AB 的长度，结合线段垂直平分线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵D 是斜边BC 的中点，DE
BC
，
∴DE 是线段BC 的垂直平分线，
∴BE
CE
.
在Rt ACE
中，由勾股定理得
2
2
2
CE
AC
AE
，
∴
2
2
2
BE
AC
AE
，
即
2
2
2
BE
AE
AC
.
（2）解：∵D 是斜边BC 的中点，
5
BD
，
∴
2
10
BC
BD
.
在Rt
ABC
△
中，由勾股定理得
2
2
2
2
10
6
8
AB
BC
AC
，
∴
8
AB
BE
AE
.
又∵BE
CE
，
∴
8
CE
AE
，
∴
ACE
△
的周长为
8
6
14
CE
AE
AC
.
题型8 勾股定理的验证方法
【例15】如图1 是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a 和b ，斜边长为c ，图2
是以c 为直角边的等腰直角三角形，用图1 和图2 可拼成图3 的图形．
(1)请指出图3 是什么图形，并用它证明勾股定理；
(2)请用若干个图1 中的直角三角形拼成一个能证明勾股定理的图形（画出图形，不用证明）．
【答案】(1)直角梯形，见解析
(2)见解析
【分析】（1）由图中给出的三个三角形组成一个直角梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为a
b
；利
用梯形的面积和三角形的面积公式进行计算，列出等式即可求出勾股定理；
（2）将4 个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示，即可得到答案．
【详解】（1）解：是直角梯形；
由图可知梯形的面积公式可知，梯形的面积
1
.
2 a
b
a
b
从图我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积和，即
2
1
1
1
2
2
2
ab
ab
c
，
∴
2
1
1
1
1
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
ab
c
整理得：
2
2
2
a
b
c
．
（2）解：将4 个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示：
【例16】如图，将一个长为a，宽为b 的长方形纸片（如图Ⅰ，a
b
）剪成2 个完全相同的直角三角形纸片
（如图Ⅱ）后，斜边记为c，并摆成图Ⅲ．两个直角三角形纸片分别记为
ABC
和DEB
，点D 在边BC 上，
DE 与AB 交于点F，连接AD 和AE ．
(1)写出AB 与DE 的位置关系及理由；
(2)利用图Ⅲ，验证
2
2
2
a
b
c
．
【答案】(1) AB
DE
；见解析；
(2)
2
2
2
a
b
c
．
【分析】（1）由题意得ABC
DEB
≌
，推出
DEB
ABC
，利用等角的余角相等即可求解；
（2）利用
ACD
ADBE
ACBE
S
S
S
四边形
梯形
△
，结合面积公式列式计算即可得证．
【详解】（1）解：AB
DE
．理由如下：
∵
ABC
DEB
≌
，
∴
DEB
ABC
，
∵
90
ABE
ABC
，
∴
90
DEB
ABE
，
∴
180
90
90
BFE
，
∴AB
DE
；
（2）证明：由题意得DE
AB
c
，BE
BC
a
，BD
AC
b
，
ADE
BDE
ADBE
S
S
S
四边形
2
1
1
2
2
DE AB
c
，
∵
ACD
ADBE
ACBE
S
S
S
四边形
梯形
△
，
∴
2
1
1
1
2
2
2
a
b a
a
b b
c
，
整理，得
2
2
2
a
b
c
．
【技巧归纳】
1. 面积割补：用四个全等直角三角形拼成正方形，通过大正方形面积减小正方形面积等于四个三角形面积，
导出a2 + b2= c2。
2. 总统证法：梯形面积等于三个直角三角形面积和，化简得勾股定理。
核心：利用等积变换。
【变式8-1】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周
髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦
图”（如图2），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)如图1，以直角三角形的三边为边分别向外部作正方形，已知
1
15
S
，
2
21
S
，求
3
S 的值；
(2)请根据图2 中的“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；
(3)如图3，以直角三角形的三边为直径分别向外部作半圆，已知
1
6
S
，
2
13
S
，求
3
S 的值．
【答案】(1)36
(2)见解析
(3)19
【分析】（1）根据题意得
2
2
2
a
b
c
，再分别计算正方形的面积，即可完成求解；
（2）图中各个几何图形的面积用两种方法表示出来，再利用面积相等列等式证明即可；
（3）结合题意，首先分别求出以a 为直径的半圆面积、以b 为直径的半圆面积、以c 为直径的半圆面积、
三角形的面积，根据图形特点表示出
1
2
S
S
，结合勾股定理，即可得到答案．
【详解】（1）解：由勾股定理可得：
2
2
2
c
a
b
，
∴
3
1
2
15
21
36
S
S
S
；
（2）解：∵
4
ADE
ABCD
EFGH
S
S
S
△
正方形
正方形
．
即
2
2
1
4
(
)
2
c
ab
b
a
，
化简得：
2
2
2
a
b
c
．
（3）解：由勾股定理可得：
2
2
2
c
a
b
．
∵
2
2
1
π
π 2
4
a
S
a
，
2
2
2
π
π 2
4
b
S
b
，
2
2
3
π
π 2
4
c
S
c
，
∴
2
2
2
3
1
2
π
π
π
4
4
4
S
c
a
b
S
S
，
∴
3
6 13
19
S
．
【变式8-2】【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1 是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用
它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于
2c ，另一种是等于四个直角三角形
与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，小正方形的边长为b
a
，即
2
1
4
2 ab
b
a
，从而得到等式
2
2
1
4
2
c
ab
b
a
，化简便得结论
2
2
2
a
b
c
．这里用两种求法来表示
同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】
(1)将两个全等的直角三角形按照图2 所示摆放（
ABC
CDE
△
≌△
，
90
B
D
），使BC 和CD在一条
直线上，连接AE ．请用a ，b ，c 分别表示出梯形ABDE ，
ABC
，CDE
，
ACE
△
的面积，再探究这四
个图形面积之间的关系，证明：
2
2
2
a
b
c
．
【方法迁移】
(2)如图3，在
ABC
中，AD 是BC 边上的高，
6
AB
，
7
AC
，
8
BC ，设CD
x
，求x 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 77
16
【分析】（1）根据全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余推出
90
ACE
，再根据
ABC
CDE
ACE
ABDE
S
S
S
S
梯形
可得证；
（2）在Rt
ABD
△
中得
2
2
2
2
2
6
8
AD
AB
BD
x
，在Rt
ACD
△
中得
2
2
2
2
2
7
AD
AC
CD
x
，据
此得到关于x 的方程，求解后可得答案．
【详解】（1）证明：∵
ABC
CDE
△
≌△
，
90
B
D
，
∴
ACB
CED
，
90
ECD
CED
，
∴
90
ECD
ACB
，
∴
180
90
ACE
ECD
ACB
，
∴
1
2
ABDE
S
a
b
a
b
梯形
，
1
2
ABC
S
ab
△
，
1
2
CDE
S
ab
，
2
1
2
ACE
S
c
△
，
观察图形可知：
ABC
CDE
ACE
ABDE
S
S
S
S
梯形
，
∴
2
1
1
1
1
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
ab
c
，
∴
2
2
2
a
b
c
；
（2）解：∵AD 是BC 边上的高，
∴
90
ADB
ADC
，
∵
6
AB
，
7
AC
，
8
BC ，设CD
x
，
∴
8
BD
BC
CD
x
，
在Rt
ABD
△
中，
2
2
2
2
2
6
8
AD
AB
BD
x
，
在Rt
ACD
△
中，
2
2
2
2
2
7
AD
AC
CD
x
，
∴
2
2
2
2
6
8
7
x
x
，
∴
77
16
x
，
即x 的值为77
16 ．
1．Rt
ABC
△
中，
90
C
，
6
AC
，
8
BC ，则AB （
）
A．10
B．14
C．12
D．5
【答案】A
【分析】已知直角三角形两条直角边的长度，直接利用勾股定理计算斜边长度即可．
【详解】解：在Rt ABC
中，
6
AC
，
8
BC ，
AB 为斜边，由勾股定理得
2
2
2
AB
AC
BC
，
6
AC
，
8
BC ，
2
2
2
6
8
36
64
100
AB
，
边长为正数，
100
10
AB
．
2．在直角三角形ABC 中，斜边
1
AB ，则
2
2
AC
BC
的值是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【详解】解：∵
ABC
是直角三角形，AB 是斜边，且
1
AB ，
∴
2
2
2
21
1
AC
BC
AB
．
3．如图，Rt
ABC
△
的两边往外作的正方形，其面积分别为
1S ，
2S ，若
1 100
S
，
2
36
S
，则BC 边长为（
）
A．8
B．64
C．7
D．49
【答案】A
【详解】解：由题意，
2
1
100
S
AC
，
2
2
36
S
AB
，
由勾股定理得：
2
2
2
AB
BC
AC
，
∴
2
100
36
64
BC
，
∴
8
BC ．
4．如图是一块正方形草地，在AB 边上取定一个点E，经测量知
20m
EC
，
10m
BE
．则这块草地的面
积是（
）
A．
2
200m
B．
2
300m
C．
2
400m
D．
2
500m
【答案】B
【分析】根据正方形ABCD 得到
90
B
Ð
=
°，再由勾股定理求出BC ，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴
90
B
Ð
=
°，
∵
20m
EC
，
10m
BE
，
∴
2
2
2
2
2
20
10
300
BC
EC
BE
，
∴
2
2
300 m
ABCD
S
BC
正方形
，
即这块草地的面积是
2
300m ．
5．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：A 、边长为a 正方形的面积边长为b 正方形的面积2 个长为a ，宽为b 的长方形的面积
大正方形的面积，
2
2
2
2
a
b
ab
a
b
，属于完全平方公式，不能用来证明勾股定理，符合题意；
B 、三个直角三角形的面积和梯形的面积，
2
1
1
1
2
2
2
2
ab
c
a
b
a
b
，整理得
2
2
2
a
b
c
，可以证明勾股定理，不符合题意；
C 、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，
2
2
1
4
2 ab
c
b
a
，整理得
2
2
2
a
b
c
，可以证明勾股定理，不符合题意；
D 、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，
2
2
1
4
2 ab
a
b
c
，整理得
2
2
2
a
b
c
，可以证明勾股定理，不符合题意．
6．在Rt
ABC
△
中，
90
C
，
17
AB
，
15
BC
，则AC ______．
【答案】8
【分析】在Rt
ABC
△
中，
90
C
，满足
2
2
2
AB
AC
BC
，把AB 和BC 的长度，代入即可求出AC 的长．
【详解】解：∵
90
C
，
17
AB
，
15
BC
，
∴
2
2
2
2
17
15
289
225
64
8
AC
AB
BC
．
7．如图，分别以Rt
ABC
△
的三条边为边向外作正方形，面积分别记为
1S ，
2S ，
3
S ．若
1
36
S
，
2
64
S
，
则
3
S ________．
【答案】100
【分析】根据正方形的面积公式及勾股定理可得
3
1
2
S
S
S
，进而可求出
3
S ．
【详解】解：∵分别以Rt
ABC
△
的三条边为边向外作正方形，面积分别记为
1S ，
2S ，
3
S ，
∴
2
1S
AB
，
2
2
S
AC
，
2
3S
BC
，
2
2
2
BC
AC
AB
，
∴
3
1
2
S
S
S
，
∵
1
36
S
，
2
64
S
，
∴
3
100
S
．
8．如图，一张三角形纸片ABC ，
90
C
，
6cm
BC =
，
10cm
AB
，．将纸片沿直线DE 折叠，使点A 与
点B 重合，则CD的长是______．
【答案】7 cm
4
【分析】利用勾股定理求出AC 的长，根据折叠的性质得到AD
BD
，设
cm
CD
x
，在Rt
BCD
△
中利用勾
股定理列方程求解即可．
【详解】解：
90
C
，
6cm
BC =
，
10cm
AB
，
2
2
2
2
10
6
8cm
AC
AB
BC
，
由折叠的性质可得，AD
BD
，
设
cm
CD
x
，则
8
cm
BD
AD
x
，
在Rt
BCD
△
中，
2
2
2
BC
CD
BD
，
2
2
2
6
(8
)
x
x
，
整理得
2
2
36
64 16
x
x
x
，
解得
7
4
x
，
7 cm
4
CD
．
9．已知Rt
ABC
△
的两条直角边分别为,a b ，斜边为c ，若
9,
7
a
b
c
，则
ABC
的面积为______．
【答案】8
【分析】先利用勾股定理得到
2
2
a
b
的值，再结合完全平方公式变形求出ab ，最后根据直角三角形面积公
式计算得到结果
【详解】解：∵Rt ABC
中，a，b 为直角边，c 为斜边，
∴
2
2
2
a
b
c
，
∵
7
c
，
∴
2
2
2
7
49
a
b
，
∵
9
a
b
，
∴
2
81
a
b
，
由完全平方公式展开得
2
2
2
81
a
ab
b
，
∴
2
2
2
81
81
49
32
ab
a
b
，
整理得
16
ab
，
∴ABC
的面积为1
1 16
8
2
2
ab
10．如图，平平同学从刘徽设计的“青朱出入图”出发，将两个边长不等的正方形纸片ABCD，GCEF 剪拼
成一个大正方形纸片BQPG ．P ，M ，N 为剪痕与原正方形边的交点，已知
12
AB
，
3
EN
．那么正方
形BQPG 的边长为_______．
【答案】20
【分析】由全等三角形的性质及正方形的性质可得出
12
HQ
，
9
HN ；②由勾股定理得出
2
2
2
2
BN
QN
BH
HQ
，设BH
x
，解方程，得出
16
BH
，进而根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵ABM
HQN
≌
，
∴
12
AB
HQ
，AM
HN
，
∵AM
HN
，
3
EN
DM
，
∴
12
3
9
AM
AD
DM
，
∴
9
HN ，
在Rt
QHN
△
中，
2
2
2
2
12
9
15
QN
HQ
HN
，
在Rt
BQN
△
中，
2
2
2
BN
QN
BQ
，
在Rt
BHQ
△
中，
2
2
2
BH
HQ
BQ
，
∴
2
2
2
2
BN
QN
BH
HQ
，
设BH
x
，
∴
2
2
2
2
9
15
12
x
x
，
解得
16
x
，
∴
16
BH
，
∴
2
2
2
2
12
12
16
20
BQ
BH
，
∴正方形BQPG 的边长是20 ．
11．如图，在
ABC
中，CD
AB
于点D ，
13
AC
，
14
AB
，高
12
CD
，求BC 的长．
【答案】15
【分析】由CD
AB
，则
90
ADC
BDC
，在Rt ADC
中，通过勾股定理得
2
2
AD
AC
CD
，从而
求得
9
BD
，最后由勾股定理即可求解．
【详解】解：∵CD
AB
，
∴
90
ADC
BDC
，
在Rt ADC
中，
2
2
2
2
13
12
5
AD
AC
CD
，
∴
14
5
9
BD
AB
AD
，
∴在Rt BDC
中，
2
2
2
2
9
12
15
BC
BD
CD
．
12．如图，在四边形ABCD 中，
90
A
C
，
15
AB
，
20
AD
，
7
CD
，求BC 的长．
【答案】24
【分析】根据勾股定理求出
2
2
BD
AB
AD
，再根据勾股定理求出答案即可．
【详解】解：∵在Rt
ABD
△
中，
90
A
，
15
AB
，
20
AD
，
∴
2
2
2
2
15
20
25
BD
AB
AD
．
∵在Rt
BCD
△
中，
90
C
，
7
CD
，
∴
2
2
2
2
25
7
24
BC
BD
CD
．
13．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，对角线AC ，BD 交
于点O．
(1)若
2
AO
，
3
BO
，
4
CO
，
5
DO
，请求出
2
AB ，
2
BC ，
2
CD ，
2
DA 的值；
(2)若
6
AB
，
10
CD
，求
2
2
BC
AD
的值．
【答案】(1)
2
13
AB
，
2
25
BC
，
2
41
CD
，
2
29
AD
(2)136
【分析】（1）由“垂美”四边形的定义得到AC
BD
，再由勾股定理即可求解；
（2）由（1）可得
2
2
BC
AD
2
2
2
2
BO
CO
AO
DO
2
2
AB
CD
，即可求解．
【详解】（1）解：四边形ABCD 是“垂美”四边形，
AC
BD
，
∴
90
AOB
BOC
COD
AOD
，
∴在Rt AOB
中，
2
2
2
2
2
2
3
13
AB
AO
BO
，
在Rt BOC
中，
2
2
2
2
2
3
4
25
BC
BO
CO
，
在Rt COD
中，
2
2
2
2
2
4
5
41
C
CO
DO
D
，
在Rt AOD
中，
2
2
2
2
2
2
5
29
AD
AO
DO
．
（2）解：由（1）有
2
2
2
AB
AO
BO
，
2
2
2
BC
BO
CO
，
2
2
2
CD
CO
DO
，
2
2
2
AD
AO
DO
．
∴
2
2
BC
AD
2
2
2
2
BO
CO
AO
DO
2
2
2
2
BO
AO
CO
DO
2
2
AB
CD
，
6
AB
，
10
CD
，
2
2
2
2
6
10
136
BC
AD
．
14．在
ABC
中，
90 ,
6,
2
ACB
AC
AB
BC
，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以2 个单位/s 的速度移
动，设运动的时间为t 秒；
(1)求线段BC 的长；
(2)当ABP
为直角三角形时，求t 的值．
【答案】(1)
8
BC
(2)4 或25
4
【分析】（1）根据勾股定理构建方程求解即可；
（2）先求出
2
BP
t
，再分①当
90
APB
，②当
90
BAP
两种情况，利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）解：设BC
x
，
∵
2
AB
BC
，
∴
2
AB
x
，
在直角三角形ABC 中，由勾股定理可得：
2
2
2
AC
BC
AB
，
∴
2
2
2
6
2
x
x
，
解得：
8
x
，即
8
BC ；
（2）解：由题意知
2
BP
t
．
①当
90
APB
时，如图1，点P 与点C 重合，
8
BP
BC
，
∴
8
2
4
t
．
②当
90
BAP
时，如图2，
2
8
CP
BP
BC
t
，
6
AC
．
在Rt ACP
中，
2
2
2
2
2
6
(2
8)
AP
AC
CP
t
，
在Rt
BAP
△
中，
2
2
2
2
2
(2 )
10
AP
BP
AB
t
，
因此
2
2
2
2
6
(2
8)
(2 )
10
t
t
，
解得
25
4
t
．
综上所述，当ABP
为直角三角形时，t 的值为4 或25
4 ．
15．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图
①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为a ，较长的直角边长都为b ，斜边长都为c ，大正
方形的面积可以表示为
2c ，也可以表示为
2
1
4
2 ab
a
b
，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条
直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，则
2
2
2
a
b
c
．
(1)【探索求证】
数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中
90
A
D
BCE
，请你利用图②推导
勾股定理．
(2)【问题解决】
同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知
HMN
△
中，
13,
15,
14
HM
MN
HN
，作MK
HN
，就可以计算出
HMN
△
的面积．请你完善解答过程，
求出
HMN
△
的面积．
【答案】(1)见解析
(2)84
【分析】（1）分别用梯形的面积公式，三个三角形面积相加得梯形面积，构造等量关系即可求解；
（2）根据勾股定理构造等量关系即可求得HK 的长度，即可求解面积．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
ABED
a
b
a
b
S
a
ab
b
a
ab
b
梯形
，
且
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
ABED
S
ab
c
ab
ab
c
梯形
，
2
2
2
1
1
1
2
2
2
a
ab
b
ab
c
，
2
2
2
a
b
c
．
（2）解：由题意设HK
x
，
13,
15,
14
HM
MN
HN
，
14
KN
HN
HK
x
．
MK
HN
，
90
MKH
MKN
．
在Rt MHK
中，
2
2
2
2
2
13
.
MK
HM
HK
x
在Rt MNK
中，
2
2
2
2
2
15
14
.
MK
MN
NK
x
2
2
2
2
13
15
14
x
x
，
解得
5
x
，
5
HK
，
2
2
13
5
12
MK
．
1 14 12
84
2
HMN
S
．
16．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算
经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”
（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有a ，b 和c 的式子表示三
者之间的等量关系）；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400 多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定
理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个
图形中面积关系满足
1
2
3
S
S
S
的有______个；
②如图7 所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别
为
1S ，
2S ，直角三角形面积为
3
S ，请判断
1S ，
2S ，
3
S 的关系并证明；
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这
一过程就可以得到如图8 所示的“勾股树”．在如图9 所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M 的边
长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d 已知
1
2
3
，则当
变化时，回答下列问题：（结果可用含m 的式子表示）
则：
2
2
2
2
a
b
c
d
______
【答案】(1)①
2
2
2
a
b
c
；②见解析
(2)①3；②
1
2
3
S
S
S
(3)
2
m
【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，以直角三角形三边为边长的图形面积，勾股定理的证明方法等
知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
（1）①根据勾股定理求解；
②在图1 中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得：
2
2
2
a
b
c
．在图2 中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即
可得：
2
2
2
a
b
c
．在图3 中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得：
2
2
2
a
b
c
．
（2）①根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足
1
2
3
S
S
S
的有3 个；
②根据半圆面积和勾股定理即可得结论：
1
2
3
S
S
S
；
（3）由（1）
（2）中的结论可知，面积的关系为：A
B
D
S
S
S
，C
D
P
S
S
S
，E
F
M
S
S
S
，从而可得
2
2
2
a
b
e
，
2
2
2
c
d
f
，
2
2
2
e
f
m
，于是可得
2
2
2
2
2
a
b
c
d
m
．
【详解】（1）①解：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么
2
2
2
a
b
c
，
故答案为：
2
2
2
a
b
c
．
②证明：在图1 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即
2
2
1
4
2
c
ab
b
a
，
化简得：
2
2
2
a
b
c
．
在图2 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即
2
2
1
4
2
a
b
c
ab
，
化简得：
2
2
2
a
b
c
．
在图3 中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即
2
1
1
1
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
c
，
化简得：
2
2
2
a
b
c
．
（2）①解：三个图形中面积关系满足
1
2
3
S
S
S
的有3 个；
故答案为：3；
②解：结论：
1
2
3
S
S
S
．
理由：以a 为直径的半圆面积为
2
2
1
1
2
2
8
a
a
，
以b 为直径的半圆面积为
2
2
1
1
2
2
8
b
b
，
以c 为直径的半圆面积为
2
2
1
1
2
2
8
c
c
，
三角形的面积为
3
1
2
S
ab
，
∴
1
2
3
2
2
2
1
1
1
8
8
8
S
S
S
a
b
c
，
∴
2
2
2
1
2
3
1
8
S
S
a
b
c
S
，
由（1）的结论可知：
2
2
2
a
b
c
，
∴
1
2
3
S
S
S
；
（3）解：如图9，
正方形A、B、C、D、E、F、M 中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：
A
B
E
S
S
S
，
C
D
F
S
S
S
，
E
F
M
S
S
S
，
∴
2
2
2
a
b
e
，
2
2
2
c
d
f
，
2
2
2
e
f
m
，
∴
2
2
2
2
2
a
b
c
d
m
，
故答案为：
2
m ．
