文档文本内容
第05 讲算术平方根
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 算术平方根概念理解
题型2 求一个数的算术平方根
题型3 算术平方根中的数值转换器问题
题型4 利用算术平方根的非负性解题
题型5 求算术平方根的整数部分和小数部分
题型6 利用算术平方根的性质化简
题型7 与算术平方根有关的规律探索题
题型8 算术平方根的实际应用
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
算术平方根、
、
双重非负性、被开
方数、估算、逼近。
1. 理解算术平方根的概念，能说出一个非负数的算术平方根的含义。
2. 掌握算术平方根的符号表示（
），能正确读、写并计算完全平方数的算术
平方根。
3. 理解算术平方根的双重非负性（被开方数≥0，结果≥0），并能运用它解决问
题。
4. 能估算无理数算术平方根（如2）的大致范围，培养数感和逼近思想。
学习重点：算术平方根的概念、符号表示及其双重非负性。
学习难点：理解算术平方根的双重非负性（特别是被开方数为非负数），以及估算无理数算术平方根
的大小。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 算术平方根
（1）定义：一般地，如果一个正数x 的平方根等于a,即：
2
,
x
a
那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，
记作
a ，读作“根号a”,
（2）表示方法：非负数a 的算术平方根记作
a ，读作根号a,
（3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0 的算术平方根为0，即
0
0
；③负数没有
算术平方根，当式子
a 有意义时，a 一定是一个非负数。
【易错提醒】
a 表示a 的算术平方根，结果非负。注意：�2=|a|，勿直接写成a。0 的算术平方根是0，负数没有算术
平方根。
即时即练1.下列各数没有算术平方根的是（
）
A．0
B．
2
3
C．
3
2
D．
1
2
【答案】C
【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了算术平方根的定义，分别计算出选项B、C、D 中的数值，根据负数没有算术平方根解
答即可．
【详解】解：
2
3
9
，
3
2
8
，
1
1
2
2
根据负数没有算术平方根得C 选项符合题意．
故选：C．
2.4 的算术平方根是
．
【答案】2
【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了求算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的非负性，根据正数的算术平方根为正
数即可求解．
【详解】解：4 的算术平方根是
4
2
，
故答案为：2 ．
3.计算
36 的结果为
．
【答案】6
【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键．根据算术平方根的定义即可
求解．
【详解】解：36
6
，
故答案为：6．
4.探究发散：
(1)完成下列填空①
23
3
，②
2
0.5
0.5
，③
2
6
___________．
④
2
0
0
，⑤
2
3
3
4
4
，⑥
2
1
3
___________．
(2)根据上述计算结果，若a
b
，则
2
a
b
___________．
(3)利用你发现的规律完成下题：有理数, ,
a b c 在数轴上的位置如图所示．
化简：
2
b
c
a
b
a
c
【答案】(1)6 ；1
3
(2)b
a
(3) 2c
【知识点】求一个数的算术平方根、整式的加减运算、带有字母的绝对值化简问题
【分析】（1）先确定乘方的符号，再计算算术平方根即可；
（2）结合（1）中计算可知，
2
a 不一定等于a，并发现其中规律即可；
（3）由a、b、c 在数轴上的位置可知，
0
a
b
c
，a
b
，进而判断式子正负，再结合（2）所得规律
化简算术平方根，同时去绝对值符号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：③
2
2
6
6
6
；⑥
2
2
1
1
1
3
3
3
；
（2）解：由（1）总结归纳可得：
当a
b
，则
2
a
b
a
b
b
a
；
（3）解：由数轴可得：
0
a
b
c
，a
b
，
∴
0
b
c
，
0
a b
+
<
，
0
a
c
，
∴
2
b
c
a
b
a
c
b
c
a
b
a
c
b
c
a
b
a
c
2c
．
题型1 算术平方根概念理解
【例1】下列说法正确的是（
）
A．25 表示25 的算术平方根
B．
2
表示2 的算术平方根
C．2 的算术平方根记作
2
D．2 是2 的算术平方根
【答案】A
【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的意义可得答案．
【详解】A、25 表示25 的算术平方根，故A 正确；
B、
2
不是2 的算术平方根，故B 错误；
C、2 的算术平方根为2 ，故C 错误；
D、2 是2 的算术平方根，故D 错误；
故选：A．
【例2】算术平方根是它本身的数是（
）
A．0 和1
B．1 和1
C．2 和2
D．0 和1
【答案】A
【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质，进行判断即可．
【详解】解：算术平方根是它本身的数是0 和1；
故选A．
【技巧归纳】
1. 定义：非负数a 的算术平方根
�是非负的平方根（�≥0）。
2. 双重非负：a ≥0 且
�≥0。
3. 运算：�)2 = a，�2 = |a|（不能直接等于a）。
【变式1-1】如果2
6a
有算术平方根，那么a 可以取的值为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】D
【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相
反数，零的平方根是零，负数没有平方根．根据负数没有平方根，即可解答此题．
【详解】解：∵2
6a
有算术平方根，
∴2
6
0
a
，
解得：
1
3
a
，
a
可以取的值为0．
故选：D．
【变式1-2】下列说法正确的有（）
①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③
2
a 的算术平方根是a；④
2
4
的算术平
方根是4
；⑤算术平方根不可能是负数．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】本题主要考查了平方根概念的运用．如果
2
(
0)
x
a a
，则x 是a 的平方根．若
0
a
，则它有两个
平方根，我们把正的平方根叫a 的算术平方根；若
0
a
，则它有一个平方根，即0 的平方根是0，0 的算术
平方根也是0，负数没有平方根．分别根据平方根和算术平方根的概念即可判断．
【详解】解：根据平方根概念可知：①负数没有算术平方根，故错误；
②反例：0 的算术平方根是0，故错误；
③当
0
a
时，
2
a 的算术平方根是a
，故错误；
④
2
4
的算术平方根是4，故错误；
⑤算术平方根不可能是负数，故正确．
所以正确的有⑤，共1 个．
故选：A．
题型2 求一个数的算术平方根
【例3】16
49 的算术平方根是
．
【答案】4
7
【分析】本题考查了算术平方根，根据正的平方根是算术平方根，进行作答即可．
【详解】解：∵
2
4
16
=
7
49
，
∴16
49 的算术平方根为4
7 ．
故答案为：4
7 ．
【例4】0.09 的算术平方根是
．
【答案】0.3/ 3
10
【分析】本题考查了算术平方根的定义．一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，其中正的平方根叫
它的算术平方根；据此进行求解即可．
【详解】解：∵
2
0.3
0.09
0.09 的算术平方根是0.3．
故答案为：0.3．
【技巧归纳】
1. 分解质因数：将数分解，成对因子提出根号外。
2. 先看完全平方：如0,1,4,9 直接写根。
3. 分数开方：分子分母分别开方。
4. 非负数范围：结果≥0，负数无算术平方根。
【变式2-1】
9
4
的算术平方根是
．
【答案】
6
2
【分析】根据算术平方根的概念计算即可．
【详解】解：
9
3
4
2
，
3
2
的算术平方根是
3
6
2
2
．
故答案为：
6
2
．
【变式2-2】若2
1
x 的算术平方根是5，则x ____________．
【答案】13
【分析】本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
根据算术平方根的定义，由2
1
x 的算术平方根是5，可得2
1
25
x
，解方程即可求出x ．
【详解】解：∵2
1
x 的算术平方根是5，
∴2
1
25
x
，
解得
13
x
．
故答案为：13．
题型3 算术平方根中的数值转换器问题
【例5】一个数值转换器的原理如图．当输入的x 为64 时，输出的y 是（
）
A．8
B．18
C．12
D．8
【答案】A
【分析】根据数值转换器的原理，输入x 后先取算术平方根，若结果为有理数则继续取算术平方根，若结果
为无理数则输出，据此逐步计算即可求解．
【详解】解：当
64
x
时，
64
8
是有理数，
∴需重新输入8 进行计算，
8
是无理数，
∴输出
8
y
．
【例6】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x 的值为81 时，输出y 的值是_______________．
【答案】
3
【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，
若结果是无理数就输出．据此作答即可．
【详解】解：当输入是81 时，取算术平方根是9，9 是有理数；
再把9 输入，9 的算术平方根是3，3 是有理数；
再把3 输入，3 的算术平方根是
3 ，
3 是无理数，
所以输出是
3 ．
【技巧归纳】
1. 明确运算顺序：先输入\(x\)，按流程计算（如平方、取反、加常数）。
2. 列方程：已知输出值，逆向倒推或列方程求输入值。
3. 注意非负：算术平方根输出非负，输出负数时无解或换路径。
【变式3-1】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x 的值为16 时，输出y 的值为_________
【答案】2
【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，
若结果是无理数就输出．据此作答即可．
【详解】解：当输入是16 时，取算术平方根是4，4 是有理数；
再把4 输入，4 的算术平方根是2，2 是有理数；
再把2 输入，2 的算术平方根是2 ，2 是无理数，
所以输出y 的值是2 ．
【变式3-2】根据图所示的程序计算，若输入x 的值为64，则输出结果为_____．
【答案】2.5
【分析】先求算术平方根，再求除以2 得到的商，再减去3，然后与0 比较，直至结果小于0 即可．
【详解】解：若输入x 的值为64，则
64
2
3
8
2
3
1
0
，
此时输入的x 的值为1，则1
2
3
1 2
3
2.5
0
，
∴输出的结果为2.5
．
题型4 利用算术平方根的非负性解题
【例7】已知x ，y 为实数，且
2
1
0
x
y
，则
xy 的值为
．
【答案】1
【分析】本题考查绝对值的非负性，算术平方根的非负性，乘方运算，掌握非负数原理是解题的关键．
根据非负数原理求解即可．
【详解】解：∵
2
1
0
x
y
，
2
0
x
，
1
0
y
，
∴
2
0
x
，
1
0
y
，
解得：
2
x
，
1
y ，
∴
2
( 1)
1
xy
，
故答案为：1．
【例8】已知有理数a ，b 满足
1
3
0
a
a
b
，则
2025
a
b
．
【答案】1
【分析】本题考查了绝对值的非负性和二次根式的非负性．
先根据绝对值的非负性和二次根式的非负性求出a、b 的值，再代入
2025
a
b
计算即可．
【详解】解：∵
1
0
a
，
3
0
a
b
，
1
3
0
a
a
b
∴
1
0
3
0
a
a
b
，
解得：
1
2
a
b
，
∴
2025
2025
2025
1
2
1
1
a
b
，
故答案为：1
．
【技巧归纳】
1. 非负性：�≥0，且a ≥0。
2. 常见题型：多个非负式（如
�+ |b| + c2 = 0）和为零，则每项为零。
3. 列方程：利用非负性求参数值或解范围。注意被开方数非负。
【变式4-1】若a
b
c
，，是
ABC
的三边，且
2
8
(
15)
17
0
a
b
c
，则
ABC
的面积为
．
【答案】60
【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积，先根据绝对值、平方、二次根式
的非负性求出a
b
c
，，的值，再根据勾股定理的逆定理得出
ABC
是直角三角形，进而利用三角形面积公式
计算即可，掌握非负数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵
2
8
(
15)
17
0
a
b
c
，
∴
8
0
a
，
15
0
b
，
17
0
c
，
解得
8
a
，
15
b
，=17
c
，
∵
2
2
2
8
15
17
，
∴
ABC
是直角三角形，
∴
ABC
的面积
1
8 15
60
2
，
故答案为：60 ．
【变式4-2】若实数x，y，z 满足
2
4
2
2
0
x
y
z
，则xyz 的算术平方根是______．
【答案】4
【分析】根据非负数的性质列方程求出x、y、z 的值，然后代入代数式进行计算，再根据算术平方根的定义
解答．
【详解】解：由题意得，
4
0,
2
0,
2
0
x
y
z
，
解得
4,
2,
2
x
y
z
，
∴
4
2
2
16
xyz
，
∵16
4
，
∴xyz 的算术平方根是4．
题型5 求算术平方根的整数部分和小数部分
【例9】若设4
3
的整数部分为a ，则a 的值为
．
【答案】5
【分析】本题主要考查了无理数的估算，涉及算术平方根的大小比较，熟练掌握“夹逼法”确定无理数的取值
范围是解题的关键．先确定3 的取值范围，再据此推出4
3
的取值范围，从而得到其整数部分a ．
【详解】解：∵
21
1
，
2
2
4
，1
3
4
，
∴1
3
2
，
在不等式两边同时加4 ，可得4 1
4
3
4
2
，
即5
4
3
6
，
∴4
3
的整数部分
5
a
．
故答案为：5 ．
【例10】
3 的整数部分是a，小数部分是b，则a
b
的值是
．
【答案】2
3
/
3
2
【分析】本题考查了无理数的估算能力，能够正确的估算出无理数的大小，是解答此类题的关键．只需首
先对3 估算出大小，从而求出其整数部分a ，再进一步表示出其小数部分b ，最后代入a
b
中计算即可．
【详解】解：∵1
3
4
∴1
3
4
，即1
3
2
，
∴
1,
3
1
a
b
，
∴
1
3
1
2
3
a
b
．
故答案为：2
3
．
【技巧归纳】
1. 找整数部分：找到两个相邻整数n、n+1，使n2 ≤a < (n+1)2，则整数部分为n。
2. 小数部分：小数部分=
�- n。
3. 注意范围：a 非负，小数部分在[0,1)内。
【变式5-1】已知：m 、n 为两个连续的整数，且
10
m
n
，则m
n
．
【答案】1
【分析】本题考查的是估算无理数的大小等知识点，先估算10 的取值范围，得出m、n 的值，进而可得出
结论，先根据题意估算出10 的取值范围是解答此题的关键．
【详解】∵9
10
16
，
∴3
10
4
，
∵m 、n 为两个连续的整数，且
10
m
n
∴
3
m
，
4
n
，
∴
3
4
1
m
n
．
故答案为：1
．
【变式5-2】已知x，y 满足等式
2
1
0,
x
y
m
是
5 的小数部分，则
xy
m
的值为__________
【答案】
5
1
【分析】利用算术平方根的非负性与绝对值的非负性求出x ，y 的值，估算
5 的取值范围得到m 的值，代
入代数式计算即可得到结果．
【详解】解：
2
0
x
，
1
0
y ≥
，且
2
1
0
x
y
，
2
0
x
，
1
0
y
，
解得
2
x
，
1
y ，
m
是
5 的小数部分，且2
4
5
9
3
，
5
2
m
，
将
2
x
，
1
y ，
5
2
m
代入
xy
m
得：
2
1
5
2
1
5
2
5
1
xy
m
．
题型6 利用算术平方根的性质化简
【例11】实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简
2
2
a
a
的结果为
．
【答案】2a
【分析】题目主要考查数轴上的数的大小，算术平方根的求法等，理解题意，熟练掌握算术平方根的化简
方法是解题关键．
根据数轴得出
0
a
，根据算术平方根化简即可得．
【详解】解：由数轴可得
0
a
，
∴
2
2
2
a
a
a
a
a
，
故答案为：2a
．
【例12】已知实数a
b
c
，，在数轴上的位置如图所示，化简：
2
2
2
3
a
b
b
c
a
c
．
【答案】2
4
a
c
【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，整式的加减计算，根据数轴可得
0
0
0
a
b
b
c
a
c
，
，
，据此计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可．
【详解】解：根据数轴上点的位置得：
0
a
b
c
，且b
a
c
，
0
0
0
a
b
b
c
a
c
，
，
，
∴
2
2
2
3
a
b
b
c
a
c
3
a
b
b
c
a
c
3
3
a
b
b
c
a
c
2
4
a
c
．
【技巧归纳】
1. 公式：�2 = |a|\)，结合a 的符号去绝对值。
2. 拆积：��= �∙
�(a,b≥0)。
3. 拆商：
�
�=
�
�(a≥0,b>0)。
4. 化为最简：被开方数不含能开得尽方的因子。
【变式6-1】（1）计算
23
；
2
( 6)
；
2
1
(
)
2
；
2
0
（2）根据（1）中的计算结果可知，
2
a __________．
（3）利用上述规律计算：实数a 、b 在数轴上的位置，化简
2
2
2
a
b
a
b
．
【答案】（1）3，6，
1
2 ，0；（2）a ；（3）2b
【分析】（1）根据算术平方根的定义分别计算即可；
（2）根据计算结果归纳可得；
（3）根据数轴得到a，b 的关系和符号，再结合（2）中结论去绝对值化简．
【详解】解：（1）
23 3，
2
( 6)
6，
2
1
(
)
2
1
2 ，
2
0 0；
（2）由计算结果可知：
2
a a ；
（3）由数轴可得：a＜0＜b，
∴a-b＜0，
∴
2
2
2
a
b
a
b
= a
b
a
b
= a
b
a
b
= 2b
【变式6-2】探究以下问题：
(1)【特例探究】
25 _______，
2
0 _______，
2
( 6)
______．
(2)【规律总结】
对于实数a，当
0
a
时，
2
a _______，当
0
a
时，
2
a ______．
(3)【学以致用】
计算：
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
4
3
2026
2025
．
【答案】(1)5，0，6
(2)a，a
(3) 2025
2026
【分析】（1）根据算术平方根的性质即可求出各数的值；
（2）根据正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数，求解即可．
（3）运用（2）得出的规律进行运算即可．
【详解】（1）解：
25
25
5
，
2
0
0
0
，
2
6
36
6
．
（2）解：根据算术平方根的非负性，
2
a
a
，
当
0
a
时，
2
a
a
；
当
0
a
时，
2
a
a
．
（3）解：∵1
1
0
2
，1
1
0
3
2
，...，
1
1
0
2026
2025
，
∴
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
4
3
2026
2025
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
2025
2026
1
1
2026
=
-
2025
2026
=
．
题型7 与算术平方根有关的规律探索题
【例13】观察下表，并解决问题．
a
0.0004
0.04
4
400
40000
a
0.02
0.2
2
20
200
(1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或
向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位．
(2)已知
0.2
0.4472
，
2
1.414
，则
20 ______．
(3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知3 0.3
0.6694
，3 3
1.442
，3 30
3.107
，则
3 300 ______．
【答案】(1)一
(2) 4.472
(3) 6.694
【分析】本题考查了数字类规律探索、算术平方根、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出
规律是解此题的关键．
（1）根据表格中的数据总结规律即可；
（2）根据所得规律即可求得答案；
（3）由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得立方根的规律，从而求得答案．
【详解】（1）解：由表格数据可得：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的
小数点就相应地向右（或向左）移动一位；
（2）解：∵
0.2
0.4472
，
∴
20
4.472
；
（3）解：由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得：若被开立方数的小数点
向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位；
∵3 0.3
0.6694
，
∴3 300
6.694
．
【例14】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
(1)观察算式规律，计算5 9
4
＝；16
20
4
＝．
(2)用含正整数n 的式子表示上述算式的规律：．
(3)计算：1 5
4
2 6
4
3 7
4
4 8
4
2021 2025
4
．
【答案】(1)7 ；18
(2)
2
4
4
(
2)
2
n n
n
n
(3)1013
【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键．
（1）根据算术平方根进行计算即可求解；
（2）从数字找规律，即可解答；
（3）从数字找规律，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：
5 9
4
49
7, 16
20
4
324
18
，
故答案为：7,18；
（2）解：用含正整数n 的式子表示上述算式的规律：
2
4
4
2
2
n n
n
n
；
故答案为：
2
4
4
2
2
n n
n
n
；
（3）解：1 5
4
2 6
4
3 7
4
4 8
4
2021 2025
4
3
4
5
6
...
2023
( 1) 1010
2023
1010
2023
1013
．
【技巧归纳】
1. 计算前几项：化简算术平方根，观察结果整数部分、小数变化。
2. 找递推：看相邻项差或比，猜想含n 的通项公式。
3. 验证与推广：代入首项验证，用平方或根式性质证明规律。
【变式7-1】（1）填表：
m
0
0.000001
0.0001
0.01
1
100
10000
m
0
0.001
______
0.1
1
______
100
（2）规律归纳：
①若正数m 的小数点向左（或右）移动______位，则
m 的小数点就相应地______移动______位；
②当
1
m 时，若正数m 越大，则
m 也越大．
（3）尝试运用：已知169
13
，
1300
m
，求m 的值；
（4）灵活应用：当
0
m
时，比较
m 和m 的大小．
【答案】（1）0.01，10；（2）两，向左（或右），一；（3）
1690000
m
；（4）①0
1
m
时：m
m
；
②
0
m
或
1
m 时：
m
m
；③
1
m 时：
m
m
【分析】本题考查了算术平方根的应用．
（1）根据算术平方根计算即可；
（2）根据表格作答即可；
（3）根据（2）的规律作答即可；
（4）分0
1
0
m
m
；
或
1
1
m
m
；
三种情况作答即可．
【详解】解：（1）
0.0001
0.01
，100
10
；
故答案为：0.01，10；
（2）由表格可知，若正数m 的小数点向左（或右）移动两位，则
m 的小数点就相应地向左（或右）移动
一位；
故答案为：两，向左（或右），一；
（3）
169
13
，
1690000
1300
，
1690000
m
．
（4）由表格可知，①0
1
m
时：
2
m
m
，则
m
m
；
②
0
m
或
1
m 时：
m
m
；
③
1
m 时：
2
m
m
，则
m
m
．
【变式7-2】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：
5
9
3
1
4
4
2
，
7
16
4
1
9
9
3
，
9
25
5
1 16
16
4
；…
实践探究：
(1)按照此规律，计算：
11
1
25
；
17
1
64
；
(2)计算：
5
7
9
21
1
1
1
1
4
9
16
100
；
迁移应用：
(3)若
2
2025
1
x
n
符合上述规律，请直接写出x 的值：．
【答案】(1) 6
5 ；9
8
(2)11
2
(3)1013
1012
【分析】（1）根据题中所给方法可进行求解；
（2）利用题中所给规律可进行求解；
（3）找出规律
2
2
1
1
1
n
n
n
n
，据此即可求解．
【详解】（1）解：
2
11
36
6
6
1
25
25
5
5
2
17
81
9
9
1
64
64
8
8
；
（2）解：由题意得：
5
7
9
21
3
4
5
11
11
1
1
1
1
4
9
16
100
2
3
4
10
2
；
（3）解：∵
2
5
9
3
3
1
4
4
2
2
；
2
7
16
4
4
1
9
9
3
3
；
2
9
25
5
5
1 16
16
4
4
；
……；
∴
2
2
1
1
1
n
n
n
n
（n 为正整数），
∵
2
2025
1
x
n
，
∴2
1
2025
n
，
解得：
1012
n
，
∴
1
1013
1012
n
x
n
．
题型8 算术平方根的实际应用
【例15】天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s（单位：千米）可用公式
2
125
8
s
h
来估计，其中h
（单位：米）是眼睛离海平面的高度．
(1)如果小天站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是1.6 米时，能看到多远？
(2)若小天登上岸边的一个观望台A，已知小天眼睛离观望台地面的高度是1.6米，他想看到距离岸边大约10
千米处的一个货轮B，则观望台至少离海平面高多少米才可以看得见？
【答案】(1)5 千米
(2) 4.8 米
【分析】本题主要考查了求代数式的值和平方根，解题的关键是正确理解题意，掌握平方根的定义．
（1）将
1.6
代入，即可求解；
（2）根据题意代入
10
s
求出h 的值，即可求解．
【详解】（1）解：因为
2
125
8
s
h
，
所以
2
125 1.6
25
8
s
，
所以
5
s （舍）或
5
s
，
答：能看到5 千米远；
（2）解：当
10
s
时，可得
2
125
10
8 h
，
解得
6.4
，
6.4 1.6
4.8
（米）．
则观望台至少离海平面高为4.8 米．
【例16】在综合实践课上，某同学用一根铁丝围成了一个面积为
2
400cm 的正方形框架，该同学计划用同样
长的一根铁丝围一个面积为
2
300cm 的长方形框架，且长与宽的比为5:3．
(1)求正方形框架的边长．
(2)该同学能围出这个长方形框架吗？请通过计算说明你的判断．
【答案】(1) 20cm
(2)不能围出这个长方形框架，理由见解析
【分析】本题考查算术平方根，利用开平方解方程，无理数的估算，熟练根据题意列出等式并利用开平方
求解长方形边长是解题的关键．
（1）根据正方形的面积公式即可得出答案；
（2）设长方形的长为5x ，宽为3x ，由其面积为
2
300cm ，所以5
3
300
x
x
，利用平方根解方程求出x ，比
较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可．
【详解】（1）解：由题意得正方形框架的边长为
400
20 cm
；
（2）解：不能围出这个长方形框架，理由如下：
由（1）得这根铁丝长为
20 4
80 cm
，
由修改后的长方形的长、宽之比为5:3，
设长方形的长为5xcm，宽为3xcm，
由其面积为
2
300cm ，得
5
3
300
x
x
，
即
2
20
x
，
解得
2 5 cm
x
（负值舍），
长方形的周长为
2
5
3
16
32 5 cm
x
x
x
，
∵32 5
80
，
∴不能围出这个长方形框架．
【技巧归纳】
1. 建模：将实际问题转化为算术平方根表达式（如面积求边长）。
2. 计算近似值：用估算或计算器求值，结果符合实际精度。
3. 取正值：算术平方根非负，舍去负值，注意单位统一。
【变式8-1】小悦和小涵利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系．
实验一：小悦从80 米高处释放小球，记录小球下落时间1t ；
实验二：小涵从20 米高处释放小球，记录小球下落时间2t ．
已知一个物体从高处自由下落时，下落高度h（米）和下落时间t（秒）可以用公式
5
h
t
来表示．
(1)请利用公式，求1t 的值．
(2)实验后，小涵对小悦说：“我记录的时间2t 刚好是你记录的时间1t 的一半．”小悦说：“你一定是记录错了．”
两位同学谁的说法正确？请通过计算说明理由．
【答案】(1) 1
4s
t
；
(2)小涵说得对．
【分析】本题考查算术平方根的应用．
（1）把
80
h
代入
5
h
t
进行计算即可；
（2）根据
5
h
t
求出1t ，2t 即可判断．
【详解】（1）解：当
80
h
米时，
1
80
16
4 s
5
5
h
t
，
答：小悦从80 米高处释放小球，小球下落时间1
4s
t
；
（2）解：小涵说得对．理由：由（1）得1
4s
t
，
当
2
h
0 米时，
2
20
4
2 s
5
5
h
t
，
即小涵从20 米高处释放小球，小球下落时间2
2s
t
，
∵1
4s
t
，
∴2
1
1
2
t
t
，
【变式8-2】综合与实践
(1)【问题发现】：如图1，把两个边长为1 的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4 个直角三角形拼在
一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的边长为_____．
(2)【知识迁移】：爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，
将两个长和宽分别为3 和2 的长方形沿对角线剪开，将所得到的4 个直角三角形拼出了一个中间有一个镂
空小正方形的大正方形，所得到的小正方形EFGH 的边长为_____；大正方形ABCD 的面积为_____；长方
形的对角线长为_____．
(3)【拓展延伸】：小明同学想用一块面积为
2
14cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为
2
12cm 的长
方形纸片，使它的长与宽之比为2 :1．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大
的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对．
【答案】(1) 2
(2)1；13；13
(3)小思说得对，小明说得不对；说明见解析
【分析】（1）根据大正方形的面积
2
个小正方形的面积和，即可得解；
（2）根据大正方形的面积
4
个直角三角形的面积小正方形的面积即可解答；
（3）设截出的长方形纸片的长为2 cm
x
，宽为cm
x
，则2
12
x x
=
，计算、比较即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：所得到的大正方形面积为2 ，边长为2 ；这个大正方形的边长就是原先边
长为1的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为2 ；
（2）解：由题意得：所得到的小正方形EFGH 的边长为：3
2
1
；
大正方形ABCD 的面积为：
2
1
4
3 2 1
13
2
；长方形的对角线长为13 ；
（3）小思说得对，小明说得不对，理由如下：
设截出的长方形纸片的长为2 cm
x
，宽为cm
x
，
则2
12
x x
=
，
∴
6
x
（负值舍去），
∴截出的长方形纸片的长为2 6cm ，
∵2
6
3
，
∴4
2 6
6
，
由于面积为
2
14cm 的正方形纸片边长为3
14
4
，
∴14
2 6
∴不能用一块面积为
2
14cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为
2
12cm 的长方形纸片，使它的长与
宽之比为2 :1．
一、单选题
1．4 的算术平方根是（
）
A．2
B．2
C．4
D．4
【答案】A
【详解】解：
2
2
4
，
4
的算术平方根是2 ．
2．估计19
2
的值在（
）
A．1 和2 之间
B．2 和3 之间
C．3 和4 之间
D．4 和5 之间
【答案】B
【分析】本题使用夹逼法估算无理数的范围，先找出与19 相邻的两个完全平方数，确定19 的范围，再推
导出19
2
的范围即可；
【详解】解：
16
19
25
16
19
25
，即4
19
5
不等式各项同时减2 得
4
2
19
2
5
2
即2
19
2
3
因此19
2
的值在2 和3之间；
3．若
2
1
35
0
a
b
，则a
b
的值是（
）
A．6
B．6
C．
34
D．
34
【答案】A
【分析】几个非负数的和为0，则这些非负数都是0，据此求解即可．
【详解】解：∵
2
1
0,
35
0
a
b
，
2
1
35
0
a
b
，
∴
2
1
0,
35
0
a
b
，
∴
1
a ，
35
b
，
1 35
36
6
a
b
．
4．已知,x y 满足等式
2
1
0
x
y
，m 是
5 的小数部分，则
xy
m
的值为（
）
A．3
5
B．1
5
C．1
D．3
【答案】B
【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性可知
2
0
x
，
1
0
y
，得到x、y，然后根据
4
5
9
，
得到m，再代入计算即可．
【详解】解：∵
2
1
0
x
y
，
2
0
x
，
1
0
y
，
∴
2
0
x
，
1
0
y
，
∴
2
x
，
1
y ，
∵
4
5
9
，即2
5
3
，m 是
5 的小数部分，
∴
5 的整数部分为2，即
5
2
m
，
∴
2
1
5
2
1
5
2
1
5
x
y
m
．
5．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
…
0.0625
0.625
6.25
62.5
625
6250
62500
…
…
0.25
0.7906
2.5
7.906
25
79.06
250
…
根据以上规律，若1.69
1.30
，16.9
4.11
，169
13.0
，则1690 （
）
A．130
B．1300
C．41.1
D．411
【答案】C
【分析】先从表格中总结被开方数与算术平方根的小数点移动规律，再利用规律计算得到结果．
【详解】解：观察表格可得规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，其算术平方根的小数点向相
同方向移动一位．
∵1690
16.9 100
，即16.9 的小数点向右移动两位得到1690，
∴
1690
10
16.9
10 4.11
41.1
．
二、填空题
6．计算：
2
5
________．
【答案】5
【分析】先计算被开方数的平方，再求其算术平方根即可．
【详解】原式
25
5
．
7．若
1
28
n
n
，其中n 为正整数，则n _______．
【答案】6
【分析】找到与28 相邻的两个完全平方数，确定
28 的取值范围，再结合已知不等式求出正整数n 的值．
【详解】解：
25
28
36
，
25
28
36
，
即5
28
6
，
又
1
28
n
n
，且n 为正整数，
6
n
．
8．实数a，b 在数轴上的位置如图所示，化简
2
a
b
b
的结果是______．
【答案】
2
a
b
【分析】根据数轴可知
0
b
，
0
a
b
>
，根据非负数的性质计算即可．
【详解】解：观察数轴可知：
0
b
a
，b
a
，
∴
0
a
b
>
，
∴
2
a
b
b
a
b
b
a
b
b
2
a
b
．
9．若x ，y 为实数，且满足
3
6
0
x
x
y
，则
2026
x
y
的值是____________．
【答案】1
【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性，求出x 和y 的值，再代入
2026
x
y
计算即可．
【详解】解：∵
3
0
x
，6
0
x
y
，
3
6
0
x
x
y
，
∴
3
0
x
且6
0
x
y
，
∴
3
0
x
，解得
3
x
，
则
6
0
x
y
可化为3
0
y
，即3
0
y
，解得=
3
y
，
∴
2026
2026
2026
3
1
1
3
x
y
．
10．若3
5
的整数部分是a，3
5
的整数部分是b，则a
b
的值为________．
【答案】
5
【分析】先估算出
5 的取值范围，再分别求出3
5
和3
5
的整数部分a 和b ，最后代入计算a
b
的值
即可．
【详解】解：
2
2
4
，
23
9
，
2
5
3
，
∴5
3
5
6
，0
3
5
1
，
3
5
的整数部分
5
a
，3
5
的整数部分
0
b
，
则
5
0
5
a
b
．
三、解答题
11．计算求值
(1)计算：
2026
1
16
3
2
；
(2)求x 的值：
2
2
1
8
0
x
．
【答案】(1)1
3
；
(2)
3
x
或
1
x ．
【分析】（1）先根据有理数的乘方、算术平方根、绝对值的性质进行化简，然后计算即可得到结果；
（2 ）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解．
【详解】（1）解：
2026
1
16
3
2
1
4
2
3
1
4
2
3
1
3
；
（2）解：
2
2
1
8
0
x
2
2
1
8
x
2
1
4
x
1
2
x
1
2
x
或
1
2
x ，
∴
3
x
或
1
x ．
12．若实数,a b 满足
4
3
0
a
b
．
(1)求a 和b 的值；
(2)求
2
2
a
b
的算术平方根．
【答案】(1)
4,
3
a
b
(2)5
【分析】（1）根据非负数的性质即可求解；
（2 ）根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵
4
3
0
a
b
，
∴4
0,
3
0
a
b
，
解得
4,
3
a
b
．
（2）解：∵
4,
3
a
b
，
∴
2
2
2
2
4
3
25
a
b
，
∴
2
2
25
5
a
b
．
13．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示：
(1)比较大小：a ________0，a
b
________0，b
a
________0；
(2)化简
2
2
a
a
b
b
a
．
【答案】(1)
0
a
，
0
a b
+
<
，
0
b
a
(2) 3a
【分析】（1）由图可知，
0
a
b
，a
b
，再逐个比较大小即可；
（2）结合（1）的结论，根据二次根式和绝对值的性质化简即可．
【详解】（1）解：由图可知，
0
a
b
，a
b
，
∴
0
a
，
0
a b
+
<
，
0
b
a
；
（2）解：由（1）知
0
a
，
0
a b
+
<
，
0
b
a
，
∴
2
2
a
a
b
b
a
a
a
b
b
a
a
a
b
b
a
3a
．
14．如图，用两个边长为18cm的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．
(1)求大正方形的边长；
(2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为3: 2 且面积为
2
12cm 的长方形纸片，若
能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
【答案】(1)6cm
(2)能，长为3 2 ，宽为2 2
【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；
（2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可．
【详解】（1）解：由题意可得大正方形的面积为
2
2
2
18
36 cm
，
所以大正方形的边长为
36
6 cm
；
（2）能，理由如下：
设裁得的长方形的纸片的长为3xcm，宽为2xcm ，
由题意可得，3
2
12
x
x
，
解得：
2
x
，
0
x
>
，
2
x
，
3
3 2
x
，
1
2
2
，
3
3 2
6
，
能裁得一个长宽之比为3: 2 且面积为
2
12cm 的长方形纸片．
15．根据下表回答下列问题：
x
14
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
14.7
14.8
14.9
x²
196
198.81
201.64
204.49
207.36
210.25
213.16
216.09
219.04
222.01
(1)
213.16 _______，
20736 __________，0.020164 __________
(2)
22000 与哪个整数最接近？求
2.1 的近似值（结果精确到0.01）；
(3)若143
144
n
，则满足条件的整数n 有__________个．
【答案】(1)14.6；144；0.142
(2)148；1.45
(3)286
【分析】观察表格中数据，找到对应的数据即可解决问题．
【详解】（1）解：观察表格中数据，发现：当
14.6
x
时，
2
213.16
x
，
∴
213.16
14.6
；
当
14.4
x
时，
2
207.36
x
，
∴
20736
207.36 100
207.36
100
14.4 10
144
；
当
14.2
x
时，
2
201.64
x
，
∴
0.020164
201.64
10000
201.64
10000
14.2
100
0.1 42
；
（2）解：∵21904
22000
22201
，
∴148
22000
149
，
∵22000 与21904 更接近，
∴与
22000 最接近的整数是148；
∵2.0736
2.1
2.1025
，且2.1 与2.1025 更接近，
且
2.1025
210.25 100
210.25
100
14.5 10
1.45
，
∴
2.1
1.45
；
（3）解：∵
204.49
14.3
，
207.36
14.4
，
∴
20449
143
，
20736
144
，
∵143
144
n
，
∴
20449
20736
n
，
∴20449
20736
n
，
∴整数n 的个数为：20736
20449
1
286
．
16．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律．
第①个等式：
4 9
36
6
2 3
；
第②个等式：9 16
144
12
3 4
；
第③个等式：16 25
400
20
4 5
；
第④个等式：
25 36
900
30
5 6
；
．．．
【规律发现】
(1)计算：36 49
；100 121
；
(2)若
2
2
(
1)
210
a
a
，则正整数a
；
【规律应用】
(3)根据上述等式规律，化简：
1
1
1
4 9
9 16
16 25
81 100
1
．
【答案】(1)
42，110
(2)
14
(3)
2
5
【分析】本题考查了二次根式的规律探索与应用，解题的关键是通过观察等式特征，归纳出一般规律并用
于计算与化简．
（1）直接利用规律计算；
（2）利用规律列方程求解；
（3）先根据规律化简每一项，再用裂项相消法求和．
【详解】（1）解：
36 49
6 7
42
，
100 121
10 11
110
．
（2）解：
2
2
(
1)
(
1)
a
a
a a
，
(
1)
210
a a
，
即
2
210
0
a
a
，
解得
14
a
（
15
a
舍去）．
（3）解：原式
1
1
1
1
2 3
3 4
4 5
9 10
1
1
1
1
1
1
2
3
3
4
9
10
1
1
2
10
2
5
．
