文档文本内容
第04 讲认识实数
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 无理数的识别
题型2 无理数的大小估算
题型3 实数概念理解
题型4 实数的分类
题型5 实数的性质
题型6 实数的数轴
题型7 实数的大小比较
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
无理数、实数、一一对
应、无限不循环小数、
数系扩充。
1. 理解无理数和实数的概念，知道实数分为有理数和无理数。
2. 能识别常见无理数（如π、含根号开不尽的数、无限不循环小数）。
3. 知道实数与数轴上的点一一对应，能在数轴上估算并标出简单无理数的位
置。
4. 体会数系扩充的必要性，感受逼近思想与数形结合的数学方法。
学习重点：无理数与实数的概念，以及实数与数轴上点的一一对应关系。
学习难点：理解无理数是无限不循环小数，以及用数轴上的点表示无理数（如2的几何构造）。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 无理数的概念
概念：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式
(2)常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号
的数，但根号下的数字开方开不尽，如
5 .
【易错提醒】
无理数是无限不循环小数。常见形式：含π的数、开方开不尽的根式（如√2）、有规律但不循环小数（如
0.1010010001…）。注意分数（如1/3）是循环小数，不是无理数。
即时即练在实数4 ，0 ，12
7 ，0.125，0.1010010001（两个1之间依次多一个0 ），
3 ，π
2 中，无理数有
（
）
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
知识点02 实数
1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数.
2.实数的分类
按定义分：
按与0 的大小关系分：
实数
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
实数
0
正有理数
正数
正无理数
负有理数
负数
负无理数
3.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
【易错提醒】
实数包括有理数和无理数，不是仅指无理数。注意：所有开方运算结果不一定都是无理数（如√4=2），带
根号的数不一定是无理数。分类勿遗漏0。
即时即练把下列各数的序号填在相应的横线上：
①2
，②，③
1
3
，④3
，⑤22
7 ，⑥0.3
，⑦
5 ，⑧0，⑨1.1010010001（每两个1 之间依次
多一个0）．
整数_______________；
负分数_____________；
无理数_____________．
题型1 无理数的识别
【例1】下列各数是无理数的是（
）
A．11
3
B．1
2 π
C．0
D．9
【例2】下列四个实数中，是无理数的是（
）
A．
4
B．0.3
C．
1
2
D．2
【技巧归纳】
1. 定义法：无限不循环小数为无理数，常见π、e、开方开不尽的数（2）。
2. 排除法：整数、分数（含循环小数）为有理数，其余多为无理数。
3. 注意形式：
2
�仍无理，带根号但能开尽（4）则有理。
【变式1-1】在实数：3
3 4 ，3
，3，
27 ，
2
，0.1010010001（相邻每个1 之间依次多一个0），0.6 中，
无理数的个数是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式1-2】下列各数中：3
22
1,0,
0.4,
, 9,0.3,0.303003
7
（3 和3 之间的0 的个数依次增加1 个），π
2 ，
无理数有（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
题型2 无理数的大小估算
【例3】下列各数，比
3 大的是（
）
A．3
B．0
C．3
D．2
【例4】估计18
2
的值应在（
）
A．1 和2 之间
B．2 和3 之间
C．3 和4 之间
D．4 和5 之间
【技巧归纳】
1. 找邻近平方数：如5，因4<5<9，故2< 5<3。
2. 二分逼近：取中间值平方比较，逐步缩小范围到所需精度。
3. 保留近似值：常用1.414、1.732、2.236 等熟记。
【变式2-1】如图，数轴上点A 表示的数可能是（
）
A．2
B．
5
C．
7
D．10
【变式2-2】《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即
2
2
c
a
b
（a 为“勾”，b
为“股”，c 为“弦”）若“勾”为2 ，“股”为3，则“弦”在如图所示数轴上可表示在（
）
A．A 点
B．B 点
C．C 点
D．D 点
题型3 实数概念理解
【例5】已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数2 ；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③
实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的个数是（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【例6】下列说法正确的是（
）
A．正实数和负实数统称实数
B．正数、0 和负数统称有理数
C．带根号的数和负数统称实数
D．无理数和有理数统称实数
【技巧归纳】
1. 实数组成：有理数（整数、分数）与无理数（无限不循环小数）。
2. 与数轴关系：每个实数与数轴上点一一对应。
3. 分类标准：按定义（有理/无理）或性质（正/负/零）区分，注意0 既非正非负。
【变式3-1】下列说法正确的是（
）
A．两个无理数的和一定是无理数
B．无限小数都是无理数
C．实数可以用数轴上的点来表示
D．分数可能是无理数
【变式3-2】下列判断正确的是（
）
A．
5
2
是分数，是有理数
B．3 8 是整数，是有理数
C．22
7 是无限小数，是无理数
D．3.1415926 是小数，是无理数
题型4 实数的分类
【例7】把下列各数写入相应的括号中：
1
3
、3 16 、0.618
、π
2 、36 、0.1717717771（两个1 之间依
次增加一个7）．
(1)正实数：{
}；
(2)负实数：{
}；
(3)有理数：{
}；
(4)无理数：{
}．
【例8】请将下列各数分别填入相应的括号内：1.565565556
…（两个6 之间依次增加一个5），2.5
，0，
3 ，8，3
9
，π
2 ，3
4 ，0.05
，36 ，
10
．
正数：{
，…}；
有理数：{
，…}；
负数：{
，…}；
无理数：{
，…}．
【技巧归纳】
1. 二分法：实数分为有理数和无理数。
2. 三分法：正实数、零、负实数。
3. 有理数再分：整数（正整数、零、负整数）和分数（正负分数、有限小数、无限循环小数）。
4. 注意：无理数是无限不循环小数。
【变式4-1】在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．
7
8
，3 16 ，π
3 ，3.14，
3 8
，0，0.64 ，
3
7
，5.123
（小数部分由相继的正整数组成）．
(1)有理数集合：{
…}；
(2)无理数集合：{
…}；
(3)正实数集合：{
…}；
(4)负实数集合：{
…}．
【变式4-2】把下列各数填入相应的大括号内：
3 2 ，
3
2
，3
8
，0.5，2π，3.14159265，
25
，1.3030030003…（两个3 之间依次增加一个0）．
有理数：｛
｝；
无理数：｛
｝；
整数：｛
｝；
负实数：｛
｝．
题型5 实数的性质
【例9】实数
7
2
的相反数是__________．
【例10】1
2
的相反数是______，3
π
的绝对值是______．
【技巧归纳】
1. 运算封闭：加、减、乘、除（除数≠0）结果仍为实数。
2. 比较大小：正数>0>负数；两负数绝对值大的反而小。
3. 数轴对应：每个实数与数轴上的点一一对应。
4. 相反数、倒数、绝对值：定义与有理数相同。
【变式5-1】1
3
的相反数是______，1
3
的绝对值是______．
【变式5-2】（1）3
7 的倒数是__________．
（2）相反数和绝对值都为3
5
的实数是_____________．
（3）3 27
8
的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________．
题型6 实数的数轴
【例11】如图，数轴上的点M 表示的数为m ，则m
．
【例12】如图，在数轴上，点B 表示的数为2
，AB 垂直数轴，
3
AB ，连接OA，以点O为圆心，OA长
为半径作弧，交数轴的正半轴于点P ，则点P 表示的实数为
．
【技巧归纳】
1. 一一对应：每个实数对应数轴上唯一一点，反之亦然。
2. 比较大小：右点表示的数大于左点。
3. 表示无理数：用勾股定理作
2 等，以原点为心画弧取点。
4. 求距离：|a-b|。
【变式6-1】如图，数轴上点A 所表示的数为1，点B，C，D 是4 4
的正方形网格上的格点，以点A 为圆
心，AD 长为半径画圆交数轴于M，N 两点，则N 点所表示的数为
．
【变式6-2】如图，数轴上表示1,
2 的对应点分别为A，B，点B 到点A 的距离与点C 到点O 的距离相等，
设点C 所表示的数为x．
(1)写出实数x 的值．
(2)求
2
2
x
的值．
题型7 实数的大小比较
【例13】比较大小：
7
2 ．
【例14】比较大小：26
5．(填“ ”“”或“ ”)
【技巧归纳】
1. 数轴法：右大左小。
2. 近似法：取无理数近似值比较。
3. 平方法：平方后比较（正数）。
4. 作差法：差>0 则大。
5. 作商法：商>1 且正数则大。
6. 找中间量。注意分母有理化。
【变式7-1】比较大小：13
1
2 （选填“ ”，“”或“ ”）．
【变式7-2】（1）比较
5
1
与
2
2
的大小；
（2）比较
7 与3 29 的大小
一、单选题
1．实数
6
的相反数是（
）
A．
6
B．
5
C．6
D．6
2．如图，在数轴上表示13
2
的点可能是（
）
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
3．在22
7 ，0，π
2 ，10 ，3.14，3 9 ，
25 ，0.202002000…实数中，无理数有（
）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
4．如图，数轴上A，B 两点表示的数分别是2
和
5 ，A 是线段BC 的中点，则点C 所表示的实数为（
）
A．4
5
B．2
5
C．4
5
D．4
5
5．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c ，
记
2
a
b
c
P
，那么三角形的面积
S
P P
a
P
b
P
c
．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，
其面积S 介于整数
1
n 和n 之间，则n 的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
二、填空题
6．如图，在数轴上点A 表示的实数是________
7．比较大小：
7
______ 3
．
5
1
6
______ 1
6 ．
8．若n 为正整数，且满足
13
1
n
n
，则数轴上表示n 的数的点为______．（填字母）
9．在0 ，22
7 ，4 ，0.101001
（每两个1之间0 的个数依次增加1），π，5 中，无理数的个数有______
个．
10．斐波那契数列中的第n 项可以用1
1
5
1
5
2
2
5
n
n
表示，随着数列项数的增加，前一项与后一
项之比越来越逼近黄金分割的数值，因此斐波那契数列又称黄金分割数列．在上述式子中，1
5
2
最接近
的整数为______．
三、解答题
11．利用勾股定理在数轴上画出34 的点P
12．把下列各数的序号分别填入相应的集合内：
①
11
12
，②3 2 ，③1
4
，④0，⑤
0.4
，⑥3
125
，⑦
π
4
，⑧0.13030030003…（相邻的两个3 之间依
次多1 个0），⑨0.23
，⑩3.14．
(1)整数集合：{
…}；
(2)分数集合：{
…}；
(3)非负有理数集合：{
…}；
(4)无理数集合：{
…}．
13．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，以下画图要求
所画图形的顶点都在格点上．
(1)在图①中画一条长度为13 的线段；
(2)在图②中画一个面积为5 的正方形．
14．如图，数轴上A、B、C 三个点表示的数分别为a、b、c．
(1)若点B 为原点，点A 与点C 到点B 的距离相等，
3
c
，则a 的值为__________；
(2)若a，b，c 为三个连续的正整数，且他们的和为12，求
2
1
1
a a
a
的值．
15．勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．若设直角
三角形的两条直角边分别为a 和b，斜边为c，则满足
2
2
2
a
b
c
．
(1)若直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为__________；若直角三角形有两条边分别是3 和4，则第三
条边长为__________．
(2)请你以直角板和圆规为工具，在数轴上找到表示数字
5
2
的点P．
