文档文本内容
第07 讲立方根
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 立方根概念理解
题型2 求一个数的立方根
题型3 已知一个数的立方根，求这个数
题型4 立方根的性质
题型5 与立方根有关的程序运算问题
题型6 利用开立方解方程
题型7 平方根与立方根的综合
题型8 立方根的应用
题型9 与立方根有关的规律探究问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
立方根、三次根号、立
方运算、性质、负数立
方根、开立方。
1. 理解立方根的概念，掌握立方根的符号表示（
3 �），能求出一个数的立方
根。
2. 掌握立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立
方根是0。
3. 理解平方根与立方根的区别（如负数有立方根而无平方根），能正确区分
二者。
4. 能用立方根解决简单的实际问题，体会数系扩充的必要性与数学的实用性。
学习重点:立方根的概念及其性质，特别是负数也有立方根（区别于平方根）。
学习难点:理解立方根与平方根的区别与联系（如负数立方根的存在性、
3 −�= −3 �的恒等变形），
以及立方根的估算与近似计算。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 立方根的定义
1.定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根.这就是说，如果
3x
a
，那么
x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
注意：一个数a 的立方根，用3 a 表示，其中a 是被开方数，3 是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
2.立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是0.
注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个
互为相反数的数的立方根也互为相反数.
【易错提醒】
立方根定义易错警示：若x3=a，则x 是a 的立方根，记作
3 �。任何实数都有唯一立方根，符号与被开方数
相同（正、负、0 均可）。注意与平方根区分（负数没有平方根）。
即时即练1．计算：3
64
．
2．已知a 的立方根为
2
3
，则a 的值为
．
知识点02 立方根的性质
3
3
a
a
3
3
a
a
3
3 a
a
注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
【易错提醒】
立方根性质易错警示：
3 −�= −3 �；
3 �3=a（对任意实数成立）。注意与平方根性质区分（平方根有
�2=
|a|，立方根则无需绝对值）。勿混淆。
即时即练若3
3
(8
)
(2
3)
a
a
，则a 的平方根是
．
知识点03 立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3 位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1 位.例如，
3 0.000 216 0.06
＝
，3 0. 216 0.6
＝
，3 216 6
＝，3 216000
60
＝
.
【易错提醒】
立方根小数点移位易错警示：被开方数小数点每移动三位，立方根小数点向相同方向移动一位。注意与平
方根（移动两位）区分。仅适用于小数位数移动，且被开方数需为完全立方数附近。
即时即练完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题．
x
…
0.064
0.64
64
6400
64000
…
x
…
0.25298
0.8
8
m
252.98
…
3 x
…
0.4
0.8618
n
18.566
40
…
(1)表格中的m ______，n ______；
(2)已知15
3.873
1.5
1.22474
，
，估计150 和
0.15 的值；(结果保留四位小数)
(3)若
3
14.1421,
700
a
b
，估计a
b
的值．（参考数据：
3
3
2
1.41421,
20
4.4721,
7
1.9129,
0.7
0.88790
)．（结果保留四位小数）
题型1 立方根概念理解
【例1】下列语句正确的是（
）
A．负数没有立方根
B．64 的立方根是2
C．立方根等于本身的数只有1
D．3
3
8
8
【例2】下列选项正确的是（
）
A．8 的立方根是2
B．
3
3
3
3
C．3
1
1
27
3
D．立方根等于本身的数只有1 和0
【技巧归纳】
若x3=a，则x 是a 的立方根，记作
3 �。任何实数都有唯一立方根，符号与原数相同。负数立方根为负，0
立方根为0。
3 −�= −
3 �。
【变式1-1】下列说法中，正确的是（
）
A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B．一个非零数的立方根与这个数同号
C．负数没有平方根也没有立方根
D．算术平方根一定是正数
【变式2】下列说法正确的是（
）
A．64 的立方根是4
B．27
没有立方根
C．立方根等于本身的数是0 和1
D．3
27
3
题型2 求一个数的立方根
【例3】64 的立方根是
．
【例4】计算：3
27
．
【技巧归纳】
求立方根：正数立方根为正，负数为负。可将数分解质因数，找出三个相同因子，提取一个。分数则分子
分母分别开立方，小数化分数。
【变式1-1】3 64 的平方根是
．
81 的立方根是
．
2．填空题．
（1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是_________ ．
（2）3
1
27
___________________ ；
3
3 8
_____ ．
（3）3 64 的平方根是_______ ；
64 的立方根是_____ ．
题型3 已知一个数的立方根，求这个数
【例5】已知一个数的立方根为
1
5
，则这个数为
．
【例6】一个正数的平方根分别是2
5
a 和2
1
a ，
30
b
的立方根是3
，则a
b
的算术平方根为
．
【技巧归纳】
已知立方根求原数，直接将立方根进行立方运算。注意立方根符号与原数一致，负数的立方根为负，立方
后仍得负数。如
3 �=2，则a=8；若
3 �=-3\)，则a=-27。
【变式1-1】已知a 的立方根是1
，b 的算术平方根是3，则a
b
的立方根为____．
【变式2】已知：2
7
a
和
4
a +
是正数M 的平方根，
7
b
的立方根为2
，则3
2
a
b
的算术平方根
．
题型4 立方根的性质
【例7】已知3
3
3
a
a
，则a 的值为
．
【例8】数a、b、c 在数轴上对应的位置如图，化简
2
2
3
3
(
)
(
)
a
b
c
b
b
的结果为
．
【技巧归纳】
立方根性质：
3 �3=a。负数立方根性质：
3 −�= −
3 �。用于化简、比较大小。
【变式1-1】根据立方根的意义填空：
3
3
2 _____，
3
3
2
3
_____，3
3
0 ______，
3
3 ( 2)
_____，
3
3
2
3
_____．
观察上述结果，猜想对于实数
3
3
,a
a 等于什么？对于式子n
n
a （
2,
n
n
是整数）的化简，你有怎样的认识？
8．已知实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示：
(1)化简：
2
b
a
b
a
b
(2)若实数a ，b 满足
3
2
3
0
a
b
，求3
4 ab 的立方根．
题型5 与立方根有关的程序运算问题
【例9】如图是一个数值转换器，当输入数值8 时，输出的是______．
【例10】按如图所示的程序计算，若开始输入的x 的值是729，则输出的y 的值是_____．
【技巧归纳】
按流程图顺序执行，输入数值后依次开立方、加减乘除等。注意立方根符号可能改变正负，可用性质
3 −�=
−
3 �简化。遇到循环结构，多次开立方可能趋近于1 或-1。列表跟踪中间值。
【变式1-1】小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x 的值是64 时，输出的y 值是_________．
7．小明编写了一个程序，如图，若输入
8
x ，则输出的值为_____．
题型6 利用开立方解方程
【例11】解下列方程：
(1)
2
16
1
49
x
；
(2)
3
8 1
125
x
．
【例12】求下列各式中的x
(1)
3
3
4
375
x
；
(2)
3
2
1
8
0
x
；
【技巧归纳】
解形如x3=a 的方程：两边同时开立方得x=
3 �。若方程为(ax+b)3=c，则开立方得ax+b=
3 �，再解一次方程。
注意实根唯一，无增根。
【变式1-1】解下列方程：
(1)
2
1
9
0
x
；
(2)
3
1
2
3
0
4
x
．
【变式2】求下列各式中x 的值：
(1)
2
3 5
1
48
0
x
；
(2)
3
125
2
1
4
x
．
题型7 平方根与立方根的综合
【例13】已知3
2
m 的平方根是2
2
4
m
n
，
的立方根是2．
(1)求m
n
，的值；
(2)求2
5
mn
的算术平方根．
【例14】已知实数3
10
a
的算术平方根是2，a
b
的立方根是2．
(1)求a ，b 的值；
(2)求5
2
a
b
的平方根．
【技巧归纳】
平方根非负，立方根保号。混合运算时注意运算顺序，先开方再加减乘除。解方程时，平方根需考虑正负，
立方根唯一。化简要区分�2= |a|与
3 �3=a。
【变式1-1】已知正数2
1
a 的算术平方根是3，
1
b 的立方根是2 ．
(1)求a ，b 的值；
(2)求4
5
a
b
的平方根．
【变式2】已知3
5
a 的立方根是2
，
1
b 的算术平方根是3．
(1)求a，b 的值；
(2)若
15
1
c
c
，且c 是整数，求
2
2
b
a
c
的平方根．
题型8 立方根的应用
【例15】如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积为
3
216cm ，它的棱长是多少？
【例16】将棱长为6cm的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8 个大小形状相同的长方体铁块，且长方体
铁块的长、宽、高的比为1:1:8，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少cm？
【技巧归纳】
立方根应用：求立方体边长（体积开立方）、球体半径（体积反推）、缩放比例。实际问题中注意单位一
致，结果取正根。如体积为V 的正方体，边长a=
3 �。比较大小也用立方根。
【变式1-1】如图是一块体积为343 立方厘米的正方体铁块．
(1)求该正方体铁块的棱长；
(2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3 厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方
体铁块．若长方体铁块的高为1 厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长．
【变式2】在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆
柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为
3
216cm ，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降
了0.5cm．
(1)铁块的棱长为多少厘米？
(2)杯内部的底面直径为多少厘米（π取3）？
题型9 与立方根有关的规律探究问题
【例17】观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题：
b
0.004096
4.096
4096
4096000
4096000000
3 b
0.16
1.6
16
160
1600
(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的
小数点就向___________移动___________位；
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知3 13
2.35
，则3 0.013 ___________，3 13000 ___________．
(3)类比上述立方根运算：已知
3.66
1.913
，则
366 ___________，36600 ___________．
【例18】观察下列规律回答问题：
3
3
3
0.001
0.1,
1
1,
1000
3
3
3
10, 0.001
0.1, 1
1, 1000
10,
(1) 3 0.000001 _______，3
6
10 _______；
(2)已知3
1.587
x
，若3
0.1587
y
，用含x 的代数式表示y，则y _______；
(3)根据规律写出3 a 与a 的大小情况．
【技巧归纳】
计算若干立方根值，观察结果整数部分、小数变化或循环。猜想含n 的通项公式，如
3 �3=n。验证递推关
系，并用立方运算法则证明规律。
【变式1-1】（1）填表：
a
0.000008
0.008
8
8000
3 a
（2）观察上表，表中数a 的小数点的移动与它的立方根3 a 的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述
这个规律：______；
（3）根据你发现的规律解答：
①已知3 0.214
0.5981
，3 2.14
1.289
，3 21.4
2.776
，则3 2140 介于哪两个整数之间？
②已知3 0.001843
0.1226
，则3 1843 ______；
③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843 立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01
平方米）
a
0.000008
0.008
8
8000
3 a
0.02
0.2
2
20
12．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出1728
的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为
3
10
1000
，
3
100
1000000
，所以3 1728 是两位数；
②其次观察了立方数：31
1
，
3
2
8
，33
27
，
3
4
64
，35
125
，
3
6
216
，
3
7
343
，38
512
，3
9
729
；
猜想3 1728 的个位数字是2 ；
③接着将1728往前移动3位小数点后约为1，因为
31
1
，
3
2
8
，所以3 1728 的十位数字应为1，于是猜想
3 1728
12
，验证得：1728的立方根是12；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到3
1728
12
，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个
数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1) 3
3375
；
(2)若3
3
5
4
10
x
x
，则x ；
(3)已知3
2
2
x
x
，且3 3
1
y 与3 1 2x
互为相反数，求x ，y 的值．
一、单选题
1．式子3
8
2
表示的意义是（
）
A．8
的平方根是2
B．2
的立方根是8
C．8
的立方根是2
D．2
的平方根是8
2．在下列实数中：
4 ，22
7 ，，0.6 ，3
1
27
，2.010010001
…（每两个1 之间多一个0）其中无理数有
（
）
A．1
B．2 个
C．3个
D．4 个
3．下列结论正确的是（
）
A．
3
3
9
9
B．36
的平方根是6
C．若
3
a
a
，则
1
a
D．64 的立方根是4
4．x 是
2
9
的平方根，y 是8
的立方根，则x
y
的值为（
）
A．1 或5
B．5
C．1
D．1
或5
5．如果3
3
2.37
1.333, 23.7
2.872
，那么3 23700 约等于（）
A．28.72
B．0.2872
C．13.33
D．0.1333
二、填空题
6．9 的平方根是________，
27
125
的立方根是________．
7．已知
9
a
，则3
17
a
的值是_____．
8．已知2
1
a 的平方根是3
，3
2
4
a
b
的立方根是3，则a
b
的算术平方根是___．
9．已知a 的立方根是2，b 是15 的整数部分，c 是9 的平方根，则a
b
c
的算术平方根是___________．
10．（1）已知
7
2.646
，则
0.07 _______；（2）已知
3
3
0.3
0.669,
6.69,
x
则x ________．
三、解答题
11．求下列各式中x 的值：
(1)
2
(
1)
4
x
；
(2)
3
64(
1)
125
x
．
12．已知一个正数的两个平方根分别为2
4
a
和3
a
，b 是
6 的整数部分．
(1)求a 的值，并求这个正数；
(2)求3
3
a
b
的立方根．
13．已知2
1
a 的平方根为3
，3
1
a
b
的立方根为2 ．
(1)求3a
b
的算术平方根；
(2)若c 是
7 的整数部分，求
2
5
a
b
c
的立方根．
14．如图①是由8 个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
(1)求出这个魔方的棱长；
(2)图①中阴影部分是一个正方形ABCD ，求出阴影部分的面积及其边长；
(3)把正方形ABCD 放到数轴上，如图②，使得点A 与表示2
的点重合，那么点D 在数轴上表示的数为
_____________．
15．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题：
a
…
0.0001
0.01
1
100
10000
…
a
…
0.01
x
1
y
100
…
(1)表格中x ________，y ________；
(2)从表格中探究a 与
a 数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知10
3.16
，则1000≈________；
②已知3.24
1.8
，若
180
a
，则a ________；
(3)拓展：已知3 0.214
0.5981
，3 2.14
1.289
，3 21.4
2.776
，则3 2140 ________．
16．【观察】
①
3
3
1
1
1
1
0
；
②
3
3
8
8
2
2
0
；
③
3
3
1000
1000
10
10
0
；
④3
3
1
1
1
1
0
64
64
4
4
．
【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
（1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________；
（2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数,a b ，
若3
3
0
a
b
，则a
b
___________，反之也成立；
【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若3
3
2
5
1
0
x
x
，求2
1
x 的算术平方根．
