预习讲义 第12 讲 线段的垂直平分线的性质（学生版）
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析教材·学知识
【知识点1 线段垂直平分线的定义及性质】
1.定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。
如图，若点C 是AB 的中点且PC⊥AB，则直线l 是线段AB 的垂直平分线。
2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P 在l 上.求证PA=PB.
证明：当点P 与点C 不重合时，
∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB，又AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA=PB.
【知识点2 线段垂直平分线的判定】
方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。
方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。证明一个点到线段的两个端点的距
离相等。
【知识点3 作已知线段的垂直平分线】
已知：线段AB，求作：线段AB 的垂直平分线．
作法：
①以线段AB 两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于C、
D，如图。
②连接CD，过CD 的直线即为线段的垂直平分线。如图所示：
练题型·强知识
【题型1 利用线段垂直平分线的性质求线段长度】
【例1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝐸是𝐴𝐶的垂直平分线，交𝐵𝐶于点𝐷，交𝐴𝐶于点𝐸，𝐴𝐵= 4cm，𝐴𝐶= 5cm，
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𝐵𝐶= 6cm，则△𝐴𝐵𝐷周长为（ ）
A．9cm
B．10cm
C．11cm
D．12cm
【变式1-1】如图，DE 垂直平分AC，△ABD 的周长是8.5𝑐m，𝐴𝐶= 3cm，则△𝐴𝐵𝐶的周长是（ ）
A．8.5cm
B．9.5cm
C．10.5cm
D．11.5cm
【变式1-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 7，𝐴𝐵的垂直平分线分别交𝐴𝐵、𝐵𝐶于点D、E，𝐴𝐶的垂直平分线分
别交𝐴𝐶、𝐵𝐶于点F、G，则△𝐴𝐸𝐺的周长为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【变式1-3】如图，Δ𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐸𝐹垂直平分𝐴𝐶，交𝐴𝐶于点F，交𝐵𝐶于点E，且𝐵𝐷= 𝐷𝐸．若△𝐴𝐵𝐶
周长为13cm，𝐴𝐶= 6cm，𝐷𝐶=
cm．
【题型2 利用线段垂直平分线的性质求角度】
【例2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，分别以点𝐴、𝐵为圆心，大于
1
2𝐴𝐵的长为半径作弧，两弧相交于点
𝑀、𝑁，作直线𝑀𝑁交𝐵𝐶于点𝐷，连接𝐴𝐷．若∠𝐵= 13°，则∠𝐷𝐴𝐶的大小为（ ）
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A．26°
B．64°
C．74°
D．77°
【变式2-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 40∘，∠𝐶= 50∘． 通过观察尺规作图的痕迹，可以求得∠𝐷𝐴𝐸的度数
为（ ）．
A．20∘
B．25∘
C．30∘
D．35∘
【变式2-2】如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐵𝐶的中垂线交𝐵𝐶于点E，交𝐵𝐷于点F，连接𝐶𝐹、若
∠𝐴= 60°，∠𝐴𝐶𝐹= 48°，则∠𝐴𝐵𝐶的度数为 ．
【变式2-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 70°，𝑂𝐷、𝑂𝐸分别是𝐴𝐵、𝐴𝐶的垂直平分线，则∠𝑂𝐶𝐵的度数是
．
【题型3 作已知线段的垂直平分线】
【例3】如图，两条笔直的小路𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝐶，点𝐴、𝐶处分别为枫叶林景区和花卉景区，现打算在∠𝐴𝐶𝐷
内部修建一处观景台𝑃，使得观景台𝑃到𝐴𝐶的距离与观景台𝑃到𝐶𝐷的距离相等．且𝐴𝑃= 𝐶𝑃，请你找出观景
台𝑃的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
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【变式3-1】尺规作图：求作点P，使点P 到点M，N 的距离相等，同时到∠𝐴𝑂𝐵的两边𝑂𝐴,𝑂𝐵的距离也相
等．
【变式3-2】如图，直线𝐷𝐸与∠𝐴𝑂𝐵的两边𝑂𝐴，𝑂𝐵相交于𝐷，𝐸两点，（不写作法，可用一定工具，保留必
要的作图痕迹和相应符号表示）
(1)将线段𝐷𝐸平移，使𝐷点与𝑂点重合；
(2)过𝐷，𝐸分别作𝑂𝐴，𝐷𝐸的垂线，相交于𝑀；
(3)在𝑂𝐵边上求一点𝐹，使𝑀𝐹最短．
【变式3-3】请用没有刻度的直尺和圆规，按要求作图（写出必要的文字说明，保留作图痕迹）．
(1)已知△𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐶是钝角，𝐴𝐶< 𝐴𝐵< 𝐵𝐶，
①在图1 中求作点P，使得：点P 在边𝐵𝐶上，且𝑃𝐴+ 𝑃𝐶= 𝐵𝐶；
②在图2 中求作△𝐴𝑀𝑁，使得：点M、N 在边𝐵𝐶上，且△𝐴𝑀𝑁的周长等于𝐵𝐶的长；
(2)如图3，已知线段𝐵𝐶，求作Rt △𝐷𝐸𝐹，使得：直角边𝐷𝐹在线段𝐵𝐶上，且Rt △𝐷𝐸𝐹的周长等于𝐵𝐶的长．
【题型4 线段垂直平分线的判定的运用】
【例4】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵的垂直平分线𝑙1交𝐴𝐵于点M，交𝐵𝐶于点D，𝐴𝐶的垂直平分线𝑙2交𝐴𝐶于点
N，交𝐵𝐶于点E，𝑙1与𝑙2相交于点O，△𝐴𝐷𝐸的周长为10．
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(1)求𝐵𝐶的长；
(2)试判断点O 是否在边𝐵𝐶的垂直平分线上，并说明理由．
【变式4-1】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，点𝐸是𝐴𝐵的中点，连接𝐷𝐸并延长交𝐶𝐵的延长线于点𝐹，点
𝐺在线段𝐵𝐶上，且∠𝐺𝐷𝐹= ∠𝐴𝐷𝐹，连接𝐸𝐺．求证：
(1)𝐴𝐷= 𝐵𝐹；
(2)𝐸𝐺垂直平分𝐷𝐹．
【变式4-2】如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点D、E 分别在边𝐴𝐵、𝐵𝐶上，𝐴𝐶= 𝐴𝐷,𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，
𝐴𝐸= 𝐴𝐹，且𝐸𝐹⊥𝐵𝐶．
(1)求证：𝐶𝐸= 𝐷𝐹；
(2)连接𝐶𝐹，如果∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐵𝐹．求证：点F 在𝐵𝐶的垂直平分线上．
【变式4-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐶= 90°，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点E，点F 在𝐴𝐶上，𝐵𝐷= 𝐷𝐹．
(1)求证：𝐶𝐹= 𝐸𝐵．
(2)连接𝐶𝐸，求证：𝐴𝐷垂直平分𝐶𝐸．
(3)若𝐴𝐵= 10，𝐴𝐹= 6，求𝐶𝐹的长．
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【题型5 线段垂直平分线的性质与判定综合】
【例5】已知：如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷𝐵= 𝐷𝐶，点E 在𝐴𝐷上，求证：𝐸𝐵= 𝐸𝐶．
【变式5-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐵𝐷= 𝐷𝐶．线段𝐴𝐶的垂直平分线交𝐴𝐷于点𝐸，交𝐴𝐶于点𝐹，连
接𝐵𝐸．试问：线段𝐴𝐸与𝐵𝐸的长相等吗？请说明理由．
【变式5-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E，交AB 于点F，点D 为线段CE 的中
点，∠𝐶𝐴𝐷= 20°，∠𝐴𝐶𝐵= 70°．求证：𝐵𝐸= 𝐴𝐶．
【变式5-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，直线𝑙垂直平分边𝐵𝐶，分别交𝐴𝐶，𝐵𝐶于点𝐷，𝐸．
(1)若𝐴𝐵= 9，△𝐴𝐵𝐷的周长为19，求𝐴𝐶的长度；
(2)若∠𝐴𝐷𝐵= 90°，求∠𝐴𝐶𝐵的度数；
(3)已知点𝑃在线段𝐷𝐸上，且点𝑃在边𝐴𝐶的垂直平分线上，连接𝑃𝐶，试判断点𝑃是否在边𝐴𝐵的垂直平分线上，
若在，请证明；若不在，请说明理由．
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【题型6 线段垂直平分线的性质与角平分线的性质综合】
【例6】如图，点𝐴，𝐵分别在∠𝑀𝑂𝑁的边𝑂𝑀，𝑂𝑁上，∠𝑀𝑂𝑁的平分线𝑂𝐶与𝐴𝐵的垂直平分线𝐶𝐷交于点𝐶，
𝐶𝐸⊥𝑂𝑀于点𝐸，𝐶𝐹⊥𝑂𝑁于点𝐹．
(1)求证：𝐴𝐸= 𝐵𝐹；
(2)若𝑂𝐵= 8，𝑂𝐸= 6，求𝑂𝐴的长．
【变式6-1】在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐶，连接𝐶𝐸，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵．
(1)若∠𝐶𝐸𝐵= 46°，求∠𝐵的度数．
(2)若𝐵𝐶= 4，△𝐴𝐵𝐶的周长比△𝐸𝐵𝐶的周长多8，△𝐸𝐵𝐶的面积为6，则三角形𝐴𝐸𝐶的面积为多少？
【变式6-2】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐷所在的直线垂直平分线段𝐴𝐶，过点A 作𝐴𝐹∥𝐵𝐶交𝐶𝐷于F，延长
𝐴𝐵、𝐷𝐶交于点E．
(1)求证：𝐴𝐶平分∠𝐸𝐴𝐹；
(2)求证：∠𝐹𝐴𝐷= ∠𝐸；
(3)若∠𝐸𝐴𝐷= 90°,𝐴𝐸= 5，△𝐴𝐸𝐶的面积为
15
4 ，求𝐶𝐹的长．
【变式6-3】如图1，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点D 是𝐴𝐵上点，连接𝐶𝐷，∠𝐴𝐶𝐷的平分线交𝐴𝐵于点E，并
延长至点F，使得𝐸𝐹= 𝐴𝐹，且∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐸𝐶𝐵．
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(1)求证：𝐶𝐷⊥𝐴𝐵．
(2)如图2，若𝐸𝐺⊥𝐴𝐶，点H 为𝐶𝐷上一点，连接𝐴𝐻，K 为𝐴𝐻中点，且𝐸𝐾⊥𝐴𝐻，求证：𝐴𝐺= 𝐷𝐻．
串知识·识框架
过关测·稳提升
1．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶的垂直平分线分别交𝐵𝐶、𝐴𝐶于点D、E，连接𝐵𝐸．若𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，且
∠𝐴= 72°，则∠𝐶𝐸𝐷的度数为（ ）
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A．72°
B．64°
C．54°
D．36°
2．如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶的平分线𝐵𝐷和𝐴𝐶边的垂直平分线𝐷𝐸交于点D，𝐷𝑀⊥𝐵𝐴的延长线于点M，𝐷𝑁⊥𝐵𝐶
于点N．若𝐴𝑀= 2,𝐵𝐶= 7，则𝐴𝐵的长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵的垂直平分线分别交𝐴𝐵，𝐵𝐶于点𝑀，𝑃，𝐴𝐶的垂直平分线分别交𝐴𝐶，𝐵𝐶于点N，Q．若
𝐵𝐶= 10，𝑄𝑃= 2，则△𝐴𝑄𝑃的周长为（ ）
A．8 或14
B．12 或10
C．8 或10
D．10 或14
4．如图，线段𝐴𝐵，𝐷𝐸的垂直平分线交于点𝐶，且∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐸𝐷𝐶= 72°，∠𝐴𝐸𝐵= 92°，则∠𝐸𝐵𝐷的度数为
（ ）
A．168°
B．158°
C．128°
D．118°
5．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，按以下步骤作图：①分别以点𝐵，𝐶为圆心，大于
1
2𝐵𝐶的长为半径作弧，两弧相交于
𝑀，𝑁两点；②作直线𝑀𝑁交𝐴𝐵于点𝐷，连接𝐶𝐷．若𝐴𝐶= 4，𝐴𝐵= 10，则△𝐴𝐶𝐷的周长为
．
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6．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，边𝐴𝐵的垂直平分线𝐷𝐸分别与边𝐴𝐵，𝐴𝐶交于D，E 两点，边𝐵𝐶的垂直平分线𝐹𝐺分
别与边𝐵𝐶，𝐴𝐶交于F，G 两点，连接𝐵𝐸，𝐵𝐺．若△𝐵𝐸𝐺的周长为32，𝐴𝐶= 22，则𝐺𝐸的长为
．
7．如图，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，垂足为E，𝐵𝐹∥𝐴𝐶交𝐸𝐷的延长线于点F，若𝐵𝐶恰好平分∠𝐴𝐵𝐹．则下列
结论中：①𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高；②𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线；③𝐸𝐷= 𝐹𝐷；④𝐴𝐵= 𝐴𝐸+ 𝐵𝐹．其中正确的
有
．（填序号）
8．如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 130°，𝐴𝐵的垂直平分线𝑀𝐸交𝐵𝐶于点M，交𝐴𝐵于点E，𝐴𝐶的垂直平分
线𝑁𝐹交𝐵𝐶于点N，交𝐴𝐶于点F，求∠𝑀𝐴𝑁的度数．
9．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶＝2∠𝐶,𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶,𝐷𝐸⊥𝐴𝐵（E 在𝐴𝐵之间），𝐷𝐹⊥𝐵𝐶，已知
𝐵𝐷= 5,𝐷𝐸= 3,𝐶𝐹= 4，求△𝐷𝐹𝐶的周长．
10．如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐸𝐹垂直平分𝐴𝐶，交𝐴𝐶于点F，交𝐵𝐶于点E，且𝐵𝐷= 𝐷𝐸，连接𝐴𝐸．
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(1)若∠𝐵𝐴𝐸= 40°，求∠𝐶的度数；
(2)若△𝐴𝐵𝐶的周长为14cm,𝐴𝐶= 6cm，求𝐷𝐶的长．
11．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝑁垂直平分𝐵𝐶，交𝐵𝐶于点𝑁，点𝑀是𝐶𝐷中点．
(1)证明：𝐴𝑀是线段𝐶𝐷的垂直平分线；
(2)若∠𝑀𝐴𝑁= 70°，求∠𝐵𝐴𝐷的度数．
12．如图，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，连接𝐴𝐶，𝐵𝐶，𝐵𝐷，线段𝐴𝐶的垂直平分线与线段𝐵𝐷的垂直平分线交于点E，连接𝐵𝐸，
𝐷𝐸．试说明：∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸．
13．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 25°．
(1)在𝐵𝐶上求作一点D，连接𝐴𝐷，使得线段𝐴𝐷最短；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，李明作点D 关于𝐴𝐶的对称点E 点时，发现点E 恰好在𝐵𝐴的延长线上，求∠𝐵的度数．
14．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，边𝐴𝐵的垂直平分线分别交𝐴𝐵，𝐵𝐶于点M，D，边𝐴𝐶的垂直平分线分别交𝐴𝐶，𝐵𝐶
于点𝑁，𝐸，𝑀𝐷，𝑁𝐸的延长线交于点O．
(1)试判断点O 是否在𝐵𝐶的垂直平分线上，并说明理由；
(2)若∠𝐵𝐴𝐶= 110°，求∠𝐵𝑂𝐶的度数．
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15．实践与探究
在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 15，𝐴𝐶= 9．若点𝐷在∠𝐵𝐴𝐶的平分线所在的直线上．
(1)如图1，当点𝐷在△𝐴𝐵𝐶的外部时，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶交AC 的延长线于𝐹，且𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
①求证：点𝐷在BC 的垂直平分线上；
②𝐵𝐸= __________；
(2)如图2，当点𝐷在线段BC 上时，若∠𝐶= 90°，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，交AC 于点𝐸，交AD 与点𝐹，过点𝐹作
𝐹𝐺⊥𝐵𝐸，交BC 于点𝐺．
①∠𝐷𝐹𝐺= _________；
②若𝐵𝐶= 12，𝐸𝐶= 4，求CG 的长度；
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答案解析
练题型·强知识
【题型1 利用线段垂直平分线的性质求线段长度】
【例1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝐸是𝐴𝐶的垂直平分线，交𝐵𝐶于点𝐷，交𝐴𝐶于点𝐸，𝐴𝐵= 4cm，𝐴𝐶= 5cm，
𝐵𝐶= 6cm，则△𝐴𝐵𝐷周长为（ ）
A．9cm
B．10cm
C．11cm
D．12cm
【答案】B
【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据𝐷𝐸是𝐴𝐶的垂直平分线得𝐷𝐶= 𝐷𝐴，继而得到
𝐴𝐵+ 𝐴𝐷+ 𝐷𝐵= 𝐴𝐵+ 𝐶𝐷+ 𝐷𝐵= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶，可得答案．解题的关键是掌握：垂直平分线上的点到线段两端
点的距离相等．
【详解】解：∵𝐷𝐸是𝐴𝐶的垂直平分线，
∴𝐷𝐶= 𝐷𝐴，
∵𝐴𝐵= 4cm，𝐴𝐶= 5cm，𝐵𝐶= 6cm，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐷+ 𝐷𝐵= 𝐴𝐵+ 𝐶𝐷+ 𝐷𝐵= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 4 + 6 = 10(cm)，
∴△𝐴𝐵𝐷周长为10cm．
故选：B．
【变式1-1】如图，DE 垂直平分AC，△ABD 的周长是8.5𝑐m，𝐴𝐶= 3cm，则△𝐴𝐵𝐶的周长是（ ）
A．8.5cm
B．9.5cm
C．10.5cm
D．11.5cm
【答案】D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离
相等是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质定理，可得𝐴𝐷= 𝐶𝐷，从而得到𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷，再由△𝐴𝐵𝐷的周长为8.5cm，
可得到𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 8.5cm，即可求解．
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【详解】解：∵𝐷𝐸是𝐴𝐶的垂直平分线，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷，
∵△𝐴𝐵𝐷的周长为15cm，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷= 8.5cm，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 8.5cm
∵𝐴𝐶= 3cm，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 8.5 + 3 = 11.5cm．
故选：D．
【变式1-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 7，𝐴𝐵的垂直平分线分别交𝐴𝐵、𝐵𝐶于点D、E，𝐴𝐶的垂直平分线分
别交𝐴𝐶、𝐵𝐶于点F、G，则△𝐴𝐸𝐺的周长为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得𝐴𝐸= 𝐵𝐸，𝐴𝐺= 𝐶𝐺，再由三角
形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐵，𝐺𝐹垂直平分𝐴𝐶，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐸，𝐴𝐺= 𝐶𝐺，
∴△𝐴𝐸𝐺的周长为𝐴𝐸+ 𝐴𝐺+ 𝐸𝐺= 𝐵𝐸+ 𝐶𝐺+ 𝐸𝐺= 𝐵𝐶= 7，
故选：C．
【变式1-3】如图，Δ𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐸𝐹垂直平分𝐴𝐶，交𝐴𝐶于点F，交𝐵𝐶于点E，且𝐵𝐷= 𝐷𝐸．若△𝐴𝐵𝐶
周长为13cm，𝐴𝐶= 6cm，𝐷𝐶=
cm．
【答案】3.5
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，
先根据线段垂直平分线的性质和判定得𝐴𝐵= 𝐴𝐸= 𝐶𝐸，再根据△𝐴𝐵𝐶的周长为13cm，𝐴𝐶= 6cm，求出
𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 7cm，然后等量代换可得答案．
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【详解】解：∵𝐸𝐹是𝐴𝐶的垂直平分线，
∴𝐴𝐸= 𝐶𝐸．
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶,𝐵𝐷= 𝐷𝐸，
∴𝐴𝐷是𝐵𝐸的垂直平分线，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐸，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐸= 𝐶𝐸．
∵△𝐴𝐵𝐶的周长为13cm，𝐴𝐶= 6cm，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 13−6 = 7(cm)，
∴𝐴𝐵+ 𝐶𝐸+ 𝐵𝐷+ 𝐷𝐸= 7cm，
则2𝐶𝐸+ 2𝐷𝐸= 7，
∴𝐶𝐸+ 𝐷𝐸= 3.5cm，
即𝐶𝐷= 3.5cm．
故答案为：3.5．
【题型2 利用线段垂直平分线的性质求角度】
【例2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，分别以点𝐴、𝐵为圆心，大于
1
2𝐴𝐵的长为半径作弧，两弧相交于点
𝑀、𝑁，作直线𝑀𝑁交𝐵𝐶于点𝐷，连接𝐴𝐷．若∠𝐵= 13°，则∠𝐷𝐴𝐶的大小为（ ）
A．26°
B．64°
C．74°
D．77°
【答案】B
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，由作图可知：𝑀𝑁平分𝐴𝐵，由线段垂
直平分线的性质得出∠𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵= 13°，最后由三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：由作图可知：𝑀𝑁平分𝐴𝐵，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐷，
∴∠𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵= 13°，
∴∠𝐷𝐴𝐶= 180°−∠𝐶−∠𝐴−∠𝐷𝐴𝐵= 64°，
故选：B
【变式2-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 40∘，∠𝐶= 50∘． 通过观察尺规作图的痕迹，可以求得∠𝐷𝐴𝐸的度数
为（ ）．
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A．20∘
B．25∘
C．30∘
D．35∘
【答案】B
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握
线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键．
由题可得，直线𝐷𝐹是线段𝐴𝐵的垂直平分线，𝐴𝐸为∠𝐷𝐴𝐶的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分
线的定义以及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：由题可得∶直线𝐷𝐹是线段𝐴𝐵的垂直平分线，𝐴𝐸为∠𝐷𝐴𝐶的平分线，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐷,∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸，
∴∠𝐵= ∠𝐵𝐴𝐷= 40°，
∵∠𝐵= 40°，∠𝐶= 50°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐶= 90°，
∴∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐵𝐴𝐷= 50°
∴∠𝐷𝐴𝐸=
1
2∠𝐷𝐴𝐶= 25°．
故答案为：B．
【变式2-2】如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐵𝐶的中垂线交𝐵𝐶于点E，交𝐵𝐷于点F，连接𝐶𝐹、若
∠𝐴= 60°，∠𝐴𝐶𝐹= 48°，则∠𝐴𝐵𝐶的度数为 ．
【答案】48°/48 度
【分析】由角平分线的定义可得∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷，由垂直平分线的性质可得𝐵𝐹= 𝐶𝐹，从而得到
∠𝐹𝐵𝐶= ∠𝐹𝐶𝐵，进而得到∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐹𝐵𝐶= ∠𝐹𝐶𝐵，由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．本题主要
考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵ 𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝐶，
∵ 𝐸𝐹垂直平分𝐵𝐶，
∴𝐵𝐹= 𝐶𝐹，
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∴∠𝐹𝐵𝐶= ∠𝐹𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐹𝐵𝐶= ∠𝐹𝐶𝐵，
∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐹+ ∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐶𝐵𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐹= 180°，∠𝐴= 60°，∠𝐴𝐶𝐹= 48°，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐵𝐶𝐹= 24°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐴𝐵𝐷= 48°，
故答案为：48°．
【变式2-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 70°，𝑂𝐷、𝑂𝐸分别是𝐴𝐵、𝐴𝐶的垂直平分线，则∠𝑂𝐶𝐵的度数是
．
【答案】20°/20 度
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的
性质．连接𝑂𝐴、𝑂𝐵，根据线段垂直平分线的性质可得：𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝑂𝐴= 𝑂𝐶，推出𝑂𝐵= 𝑂𝐶，
∠𝑂𝐵𝐴= ∠𝑂𝐴𝐵，∠𝑂𝐶𝐴= ∠𝑂𝐴𝐶，得到∠𝑂𝐵𝐶= ∠𝑂𝐶𝐵，由∠𝐴= 70°，可得∠𝑂𝐵𝐴+ ∠𝑂𝐶𝐴= 70°，
∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴= 140°，即可求解．
【详解】解：如图，连接𝑂𝐴、𝑂𝐵，
∵ 𝑂𝐷、𝑂𝐸分别是𝐴𝐵、𝐴𝐶的垂直平分线，
∴ 𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝑂𝐴= 𝑂𝐶，
∴ 𝑂𝐵= 𝑂𝐶，∠𝑂𝐵𝐴= ∠𝑂𝐴𝐵，∠𝑂𝐶𝐴= ∠𝑂𝐴𝐶，
∴ ∠𝑂𝐵𝐶= ∠𝑂𝐶𝐵，
∵ ∠𝐴= 70°，即∠𝑂𝐴𝐵+ ∠𝑂𝐴𝐶= 70°，
∴ ∠𝑂𝐵𝐴+ ∠𝑂𝐶𝐴= 70°，∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴= 140°，
∴ ∠𝑂𝐶𝐵=
1
2[∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵−(∠𝑂𝐵𝐴+ ∠𝑂𝐶𝐴)] = 20°，
故答案为：20°．
【题型3 作已知线段的垂直平分线】
【例3】如图，两条笔直的小路𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝐶，点𝐴、𝐶处分别为枫叶林景区和花卉景区，现打算在∠𝐴𝐶𝐷
内部修建一处观景台𝑃，使得观景台𝑃到𝐴𝐶的距离与观景台𝑃到𝐶𝐷的距离相等．且𝐴𝑃= 𝐶𝑃，请你找出观景
台𝑃的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
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第 18 页 共 47 页
【答案】见解析．
【分析】本题考查了尺规作图，作角平分线和线段的垂直平分线，涉及角平分线的性质和线段的垂直平分
线的性质，正确理解题意是解题的关键．作线段𝐴𝐶的垂直平分线，∠𝐴𝐶𝐷的平分线，交点即为所求．
【详解】解：如图，作线段𝐴𝐶的垂直平分线，作∠𝐴𝐶𝐷的平分线，与𝐴𝐶的垂直平分线交于点𝑃，点𝑃即为所
求．
∵观景台𝑃到𝐴𝐶的距离与观景台𝑃到𝐶𝐷的距离相等，
∴点𝑃在∠𝐴𝐶𝐷的角平分线上，
∵𝐴𝑃= 𝐶𝑃，
∴点𝑃在线段𝐴𝐶的垂直平分线上，
∴∠𝐴𝐶𝐷的角平分线于线段𝐴𝐶的垂直平分线上的交点即为点𝑃．
【变式3-1】尺规作图：求作点P，使点P 到点M，N 的距离相等，同时到∠𝐴𝑂𝐵的两边𝑂𝐴,𝑂𝐵的距离也相
等．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的判定定理，垂直平分线的判定应用，作线段的垂直平分线，作角平分线．解
题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
由点P 到点M 和点N 的距离相等，可知点P 在线段𝑀𝑁的垂直平分线上，由点P 到∠𝐴𝑂𝐵两边的距离相等，
可知点P 在∠𝐴𝑂𝐵的平分线上，即点P 为线段𝑀𝑁的垂直平分线与∠𝐴𝑂𝐵的平分线的交点，如图作线段的垂
直平分线与角平分线即可．
【详解】解：如图：点P 即为所求．
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【变式3-2】如图，直线𝐷𝐸与∠𝐴𝑂𝐵的两边𝑂𝐴，𝑂𝐵相交于𝐷，𝐸两点，（不写作法，可用一定工具，保留必
要的作图痕迹和相应符号表示）
(1)将线段𝐷𝐸平移，使𝐷点与𝑂点重合；
(2)过𝐷，𝐸分别作𝑂𝐴，𝐷𝐸的垂线，相交于𝑀；
(3)在𝑂𝐵边上求一点𝐹，使𝑀𝐹最短．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】（1）如图，作∠𝐻𝑂𝑃= ∠𝑂𝐷𝐸，并在射线𝑂𝑃上截取𝑂𝐺= 𝐷𝐸，则𝑂𝐺即为所求；
（2）根据垂线的作法分别过点𝐷、𝐸作𝑂𝐴，𝐷𝐸的垂线，两垂线相交于𝑀即可；
（3）过点𝑀作𝑂𝐵的垂线，垂足为点𝐹，则垂线段𝑀𝐹即为所求；
本题考查了平移作图，过一点作已知直线的垂线，垂线段最短，掌握基本作图方法是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，线段𝑂𝐺即为所求；
（2）解：如图所示，直线𝐷𝑀、𝐸𝑀即为所求；
（3）解：如图所示，线段𝑀𝐹即为所求．
【变式3-3】请用没有刻度的直尺和圆规，按要求作图（写出必要的文字说明，保留作图痕迹）．
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(1)已知△𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐶是钝角，𝐴𝐶< 𝐴𝐵< 𝐵𝐶，
①在图1 中求作点P，使得：点P 在边𝐵𝐶上，且𝑃𝐴+ 𝑃𝐶= 𝐵𝐶；
②在图2 中求作△𝐴𝑀𝑁，使得：点M、N 在边𝐵𝐶上，且△𝐴𝑀𝑁的周长等于𝐵𝐶的长；
(2)如图3，已知线段𝐵𝐶，求作Rt △𝐷𝐸𝐹，使得：直角边𝐷𝐹在线段𝐵𝐶上，且Rt △𝐷𝐸𝐹的周长等于𝐵𝐶的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图：作垂线，作一线段等于已知线段，作线段的垂直平分线，掌握这些基本作
图是解题的关键．
（1）①作线段𝐴𝐵的垂直平分线，则𝑃𝐴+ 𝑃𝐶= 𝑃𝐵+ 𝑃𝐶= 𝐵𝐶；②分别作边𝐴𝐵,𝐴𝐶的垂直平分线与𝐵𝐶交点
为𝑀,𝑁，则𝐶△𝐴𝑀𝑁= 𝐴𝑀+ 𝐴𝑁+ 𝑀𝑁= 𝐵𝑀+ 𝑀𝑁+ 𝑁𝐶= 𝐵𝐶；
（2）在𝐵𝐶上取点𝐷，过点𝐷作𝐵𝐶的垂线，在垂线上取点𝐸使𝐷𝐸= 𝐷𝐵，连接𝐸𝐶，作𝐸𝐶的垂直平分线交𝐵𝐶于
点𝐹，则𝐷𝐸+ 𝐸𝐹+ 𝐷𝐹= 𝐷𝐵+ 𝐷𝐹+ 𝐶𝐹= 𝐵𝐶，则Rt △𝐷𝐸𝐹即为所求．
【详解】（1）解：①解：如图，点𝑃即为所求：
②如图，△𝐴𝑀𝑁即为所求：
（2）解：如图，Rt △𝐷𝐸𝐹即为所求：
【题型4 线段垂直平分线的判定的运用】
【例4】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵的垂直平分线𝑙1交𝐴𝐵于点M，交𝐵𝐶于点D，𝐴𝐶的垂直平分线𝑙2交𝐴𝐶于点
N，交𝐵𝐶于点E，𝑙1与𝑙2相交于点O，△𝐴𝐷𝐸的周长为10．
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(1)求𝐵𝐶的长；
(2)试判断点O 是否在边𝐵𝐶的垂直平分线上，并说明理由．
【答案】(1)𝐵𝐶= 10
(2)点𝑂在边𝐵𝐶的垂直平分线上，理由见解析
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到𝐷𝐵= 𝐷𝐴，同理𝐸𝐴= 𝐸𝐶，于是得到结论；
（2）连接𝐴𝑂，𝐵𝑂，𝐶𝑂，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论．
【详解】（1）∵𝑙1垂直平分𝐴𝐵，
∴𝐷𝐵= 𝐷𝐴，
同理𝐸𝐴= 𝐸𝐶，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐷𝐸+ 𝐸𝐶= 𝐷𝐴+ 𝐷𝐸+ 𝐸𝐴= 10；
（2）点𝑂在边𝐵𝐶的垂直平分线上，
理由：连接𝐴𝑂，𝐵𝑂，𝐶𝑂，
∵𝑙1与𝑙2是𝐴𝐵，𝐴𝐶的垂直平分线，
∴𝐴𝑂= 𝐵𝑂，𝐶𝑂= 𝐴𝑂，
∴𝑂𝐵= 𝑂𝐶，
∴点𝑂在边𝐵𝐶的垂直平分线上．
【变式4-1】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，点𝐸是𝐴𝐵的中点，连接𝐷𝐸并延长交𝐶𝐵的延长线于点𝐹，点
𝐺在线段𝐵𝐶上，且∠𝐺𝐷𝐹= ∠𝐴𝐷𝐹，连接𝐸𝐺．求证：
(1)𝐴𝐷= 𝐵𝐹；
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(2)𝐸𝐺垂直平分𝐷𝐹．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握三角形
全等的判定定理是解题关键．
（1）由平行线的性质可得出∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵𝐹𝐸，再根据点E 是𝐴𝐵的中点，即得出𝐴𝐸= 𝐵𝐸，由对顶角相等得
出∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐵𝐸𝐹，即证明△𝐴𝐸𝐷≌△𝐵𝐸𝐹(AAS)，得出𝐴𝐷= 𝐵𝐹；
（2）由△𝐴𝐸𝐷≌△𝐵𝐸𝐹，得出𝐸𝐷= 𝐸𝐹．根据题意又易证𝐺𝐹= 𝐺𝐷，结合𝐸𝐺= 𝐸𝐺，可证△𝐺𝐹𝐸≌△𝐺𝐷𝐸
(SSS)，即得出∠𝐺𝐸𝐹= ∠𝐺𝐸𝐷= 90°，即𝐸𝐺⊥𝐷𝐹，从而可得结论．
【详解】（1）证明：∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，即𝐴𝐷∥𝐶𝐹，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵𝐹𝐸．
∵点E 是𝐴𝐵的中点，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐸．
又∵∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐵𝐸𝐹，
∴△𝐴𝐸𝐷≌△𝐵𝐸𝐹(AAS)，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐹；
（2）证明：∵△𝐴𝐸𝐷≌△𝐵𝐸𝐹，
∴𝐸𝐷= 𝐸𝐹．
∵∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵𝐹𝐸，∠𝐺𝐷𝐹= ∠𝐴𝐷𝐹，
∴∠𝐺𝐹𝐷= ∠𝐺𝐷𝐹，
∴𝐺𝐹= 𝐺𝐷．
又∵𝐸𝐺= 𝐸𝐺，
∴△𝐺𝐹𝐸≌△𝐺𝐷𝐸(SSS)，
∴∠𝐺𝐸𝐹= ∠𝐺𝐸𝐷= 90°，即𝐸𝐺⊥𝐷𝐹．
∴𝐸𝐺垂直平分𝐷𝐹．
【变式4-2】如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点D、E 分别在边𝐴𝐵、𝐵𝐶上，𝐴𝐶= 𝐴𝐷,𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，
𝐴𝐸= 𝐴𝐹，且𝐸𝐹⊥𝐵𝐶．
(1)求证：𝐶𝐸= 𝐷𝐹；
(2)连接𝐶𝐹，如果∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐵𝐹．求证：点F 在𝐵𝐶的垂直平分线上．
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【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟记全等三角形的判定定理与性
质定理是解题的关键．
（1）利用HL证明Rt △𝐴𝐶𝐸≌Rt △𝐴𝐷𝐹，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据直角三角形的性质求出∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐸𝐶𝐹，利用ASA证明△𝐹𝐶𝐸≌△𝐵𝐹𝐷，根据全等三角形的性质求
出𝐹𝐶= 𝐹𝐵，结合𝐸𝐹⊥𝐵𝐶即可得证．
【详解】（1）证明：∵𝐷𝐹⊥𝐴𝐵,∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴△𝐴𝐷𝐹、△𝐴𝐶𝐸是直角三角形，
在Rt △𝐴𝐶𝐸和Rt △𝐴𝐷𝐹中，
𝐴𝐸= 𝐴𝐹
𝐴𝐶= 𝐴𝐷
，
∴Rt △𝐴𝐶𝐸≌Rt △𝐴𝐷𝐹(HL)，
∴𝐶𝐸= 𝐷𝐹；
（2）∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐶𝐸𝐹= 90°,∠𝐵𝐷𝐹= 90°，
∴∠𝐵𝐹𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐹= 90°，
又∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐹+ ∠𝐸𝐶𝐹= 90°,∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐵𝐹，
∴∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐸𝐶𝐹，
在△𝐹𝐶𝐸和△𝐵𝐹𝐷中，
∠𝐸𝐶𝐹= ∠𝐵𝐹𝐷
𝐶𝐸= 𝐷𝐹
∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐵𝐷𝐹= 90°
，
∴△𝐹𝐶𝐸≌△𝐵𝐹𝐷(ASA)，
∴𝐹𝐶= 𝐹𝐵，
又∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，
∴点F 在𝐵𝐶的垂直平分线上．
【变式4-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐶= 90°，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点E，点F 在𝐴𝐶上，𝐵𝐷= 𝐷𝐹．
(1)求证：𝐶𝐹= 𝐸𝐵．
(2)连接𝐶𝐸，求证：𝐴𝐷垂直平分𝐶𝐸．
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(3)若𝐴𝐵= 10，𝐴𝐹= 6，求𝐶𝐹的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)𝐶𝐹= 2
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题关键是在图形中找到正确的全
等三角形以及熟悉以上性质与判定．
（1）利用角平分线的性质可得𝐷𝐶= 𝐷𝐸，再利用“HL”证明Rt △𝐷𝐶𝐹≌Rt △𝐷𝐸𝐵，即可证明𝐶𝐹= 𝐸𝐵；
（2）利用“HL”证明Rt △𝐴𝐶𝐷≌Rt △𝐴𝐸𝐷，可得𝐴𝐶= 𝐴𝐸，所以点A 在𝐶𝐸的垂直平分线上，根据𝐷𝐶= 𝐷𝐸，
可得点D 在𝐶𝐸的垂直平分线上，进而可以解决问题；
（3）设𝐶𝐹= 𝐵𝐸= 𝑥，则𝐴𝐸= 𝐴𝐵−𝐵𝐸= 10−𝑥= 𝐴𝐶= 𝐴𝐹+ 𝐹𝐶= 6 + 𝑥，即可建立方程求解．
【详解】（1）证明：∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点E，
∴∠𝐷𝐸𝐵= 90°，
又𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐶= 90°，
∴𝐷𝐶= 𝐷𝐸，
在Rt △𝐷𝐶𝐹和Rt △𝐷𝐸𝐵中，
𝐷𝐹= 𝐷𝐵
𝐷𝐶= 𝐷𝐸
，
∴Rt △𝐷𝐶𝐹≌Rt △𝐷𝐸𝐵(HL)，
∴𝐶𝐹= 𝐸𝐵．
（2）证明：连接𝐶𝐸，如图，
在Rt △𝐴𝐶𝐷和Rt △𝐴𝐸𝐷中，
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
𝐷𝐶= 𝐷𝐸
，
∴Rt △𝐴𝐶𝐷≌Rt △𝐴𝐸𝐷(HL)，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐸
∴点A 在𝐶𝐸的垂直平分线上，
∵𝐷𝐶= 𝐷𝐸，
∴点D 在𝐶𝐸的垂直平分线上，
∴𝐴𝐷垂直平分𝐶𝐸；
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（3）解：设𝐶𝐹= 𝐵𝐸= 𝑥，
∵𝐴𝐵= 10，𝐴𝐹= 6，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐵−𝐵𝐸= 10−𝑥，𝐴𝐶= 𝐴𝐹+ 𝐹𝐶= 6 + 𝑥，
∵𝐴𝐸= 𝐴𝐶，
∴10−𝑥= 6 + 𝑥，
解得：𝑥= 2，
∴𝐶𝐹= 2．
【题型5 线段垂直平分线的性质与判定综合】
【例5】已知：如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷𝐵= 𝐷𝐶，点E 在𝐴𝐷上，求证：𝐸𝐵= 𝐸𝐶．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点
的距离相等和到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．根据线段的垂直平
分线的判定定理可知𝐴𝐷是线段𝐵𝐶的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质可知𝐸𝐵= 𝐸𝐶．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴点A 在𝐵𝐶的垂直平分线上，
∵𝐷𝐵= 𝐷𝐶，
∴点D 在𝐵𝐶的垂直平分线上，
∴𝐴𝐷是线段𝐵𝐶的垂直平分线，
∵点E 在𝐴𝐷上，
∴𝐸𝐵= 𝐸𝐶．
【变式5-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐵𝐷= 𝐷𝐶．线段𝐴𝐶的垂直平分线交𝐴𝐷于点𝐸，交𝐴𝐶于点𝐹，连
接𝐵𝐸．试问：线段𝐴𝐸与𝐵𝐸的长相等吗？请说明理由．
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【答案】相等，理由见解析
【分析】本题考查中垂线的判定和性质，连接𝐶𝐸，中垂线的性质，推出𝐴𝐸= 𝐶𝐸,𝐵𝐸= 𝐶𝐸，即可得出结论．
【详解】解：相等，理由如下：
连接𝐶𝐸，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶,𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∴𝐴𝐷垂直平分𝐶𝐵，
∴,𝐵𝐸= 𝐶𝐸，
∵线段𝐴𝐶的垂直平分线交𝐴𝐷于点𝐸，
∴𝐴𝐸= 𝐶𝐸，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐸．
【变式5-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E，交AB 于点F，点D 为线段CE 的中
点，∠𝐶𝐴𝐷= 20°，∠𝐴𝐶𝐵= 70°．求证：𝐵𝐸= 𝐴𝐶．
【答案】见解析
【分析】首先证明AD 是线段EC 的垂直平分线，即可得出AE=AC，根据AB 的垂直平分线EF，即可得出
AE=BE,即可证明．
【详解】证明：连接AE，
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∵∠𝐴𝐶𝐵= 70°，∠𝐷𝐴𝐶= 20°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 180°−∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐴𝐶𝐵= 180°−20°−70° = 90°，
∴𝐴𝐷⊥𝐸𝐶．
∵点D 为线段CE 的中点，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐶，
∴AD 垂直平分线段CE，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐶，
∵EF 垂直平分AB，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐸，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐶．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解决问题的关键．
【变式5-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，直线𝑙垂直平分边𝐵𝐶，分别交𝐴𝐶，𝐵𝐶于点𝐷，𝐸．
(1)若𝐴𝐵= 9，△𝐴𝐵𝐷的周长为19，求𝐴𝐶的长度；
(2)若∠𝐴𝐷𝐵= 90°，求∠𝐴𝐶𝐵的度数；
(3)已知点𝑃在线段𝐷𝐸上，且点𝑃在边𝐴𝐶的垂直平分线上，连接𝑃𝐶，试判断点𝑃是否在边𝐴𝐵的垂直平分线上，
若在，请证明；若不在，请说明理由．
【答案】(1)𝐴𝐶= 10
(2)∠𝐴𝐶𝐵= 45°
(3)点𝑃在边𝐴𝐵的垂直平分线上，理由见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌
握以上知识点是解答本题的关键．
（1）由线段垂直平分线的性质得𝐵𝐷= 𝐶𝐷，再根据△𝐴𝐵𝐷的周长为19、𝐴𝐵= 9得𝐵𝐷+ 𝐴𝐷= 10，所以
𝐶𝐷+ 𝐴𝐷= 10，即𝐴𝐶= 10；
（2）由∠𝐴𝐷𝐵= 90°得∠𝐵𝐷𝐶= 90°，由线段垂直平分线的性质得𝐵𝐷= 𝐶𝐷，所以∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶= 45°；
（3）由线段垂直平分线的性质得𝑃𝐵= 𝑃𝐶，𝑃𝐴= 𝑃𝐶，所以𝑃𝐴= 𝑃𝐵，即可得解．
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【详解】（1）解：∵直线𝑙垂直平分边𝐵𝐶，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∵△𝐴𝐵𝐷的周长为19，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷= 19，
∵𝐴𝐵= 9，
∴𝐵𝐷+ 𝐴𝐷= 10，
∴𝐶𝐷+ 𝐴𝐷= 10，
∴𝐴𝐶= 10；
（2）解：∵∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
∵直线𝑙垂直平分边𝐵𝐶，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶= 45°；
（3）解：点𝑃在边𝐴𝐵的垂直平分线上，理由如下：
连接𝑃𝐴、𝑃𝐵，
∵直线𝑙垂直平分边𝐵𝐶，点𝑃在直线𝑙上，
∴𝑃𝐵= 𝑃𝐶，
∵点𝑃在边𝐴𝐶的垂直平分线上，
∴𝑃𝐴= 𝑃𝐶，
∴𝑃𝐴= 𝑃𝐵，
∴点𝑃在边𝐴𝐵的垂直平分线上．
【题型6 线段垂直平分线的性质与角平分线的性质综合】
【例6】如图，点𝐴，𝐵分别在∠𝑀𝑂𝑁的边𝑂𝑀，𝑂𝑁上，∠𝑀𝑂𝑁的平分线𝑂𝐶与𝐴𝐵的垂直平分线𝐶𝐷交于点𝐶，
𝐶𝐸⊥𝑂𝑀于点𝐸，𝐶𝐹⊥𝑂𝑁于点𝐹．
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(1)求证：𝐴𝐸= 𝐵𝐹；
(2)若𝑂𝐵= 8，𝑂𝐸= 6，求𝑂𝐴的长．
【答案】(1)见解析
(2)𝑂𝐴= 4
【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是
掌握相关知识．
（1）连接𝐴𝐶，𝐵𝐶，由线段垂直平分线的性质可得𝐴𝐶= 𝐵𝐶，根据角平分线的性质可得𝐶𝐸= 𝐶𝐹，
∠𝐶𝐸𝐴= ∠𝐶𝐹𝐵= 90°，证明Rt △𝐶𝐸𝐴≌Rt △𝐶𝐹𝐵，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据角平分线的性质可得𝐶𝐸= 𝐶𝐹，∠𝐶𝐸𝑂= ∠𝐶𝐹𝑂= 90°，证明Rt △𝐶𝐸𝑂≌Rt △𝐶𝐹𝑂，得到
𝑂𝐸= 𝑂𝐹= 6，推出𝐵𝐹= 2，结合 𝐴𝐸= 𝐵𝐹= 2，
即可求解．
【详解】（1）证明：连接𝐴𝐶，𝐵𝐶，
∵ 𝐶𝐷垂直平分𝐴𝐵，
∴ 𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
∵ 𝐶𝐸⊥𝑂𝑀，𝐶𝐹⊥𝑂𝑁，𝑂𝐶平分∠𝑀𝑂𝑁，
∴ 𝐶𝐸= 𝐶𝐹，∠𝐶𝐸𝐴= ∠𝐶𝐹𝐵= 90°，
∴ Rt △𝐶𝐸𝐴≌Rt △𝐶𝐹𝐵(HL)，
∴ 𝐴𝐸= 𝐵𝐹；
（2）∵ 𝐶𝐸⊥𝑂𝑀，𝐶𝐹⊥𝑂𝑁，𝑂𝐶平分∠𝑀𝑂𝑁，
∴ 𝐶𝐸= 𝐶𝐹，∠𝐶𝐸𝑂= ∠𝐶𝐹𝑂= 90°，
∵ 𝑂𝐶= 𝑂𝐶，
∴ Rt △𝐶𝐸𝑂≌Rt △𝐶𝐹𝑂(HL)，
∴ 𝑂𝐸= 𝑂𝐹= 6，
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∴ 𝐵𝐹= 𝑂𝐵−𝑂𝐹= 8−6 = 2，
由（1）知，𝐴𝐸= 𝐵𝐹= 2，
∴ 𝑂𝐴= 𝑂𝐸−𝐴𝐸= 6−2 = 4．
【变式6-1】在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐶，连接𝐶𝐸，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵．
(1)若∠𝐶𝐸𝐵= 46°，求∠𝐵的度数．
(2)若𝐵𝐶= 4，△𝐴𝐵𝐶的周长比△𝐸𝐵𝐶的周长多8，△𝐸𝐵𝐶的面积为6，则三角形𝐴𝐸𝐶的面积为多少？
【答案】(1)111°
(2)12
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知相关性质是解题的关键．
（1）利用垂直平分线的性质得到∠𝐴= 23°，再得到∠𝐴𝐶𝐵= 46°，利用三角形内角和即可解答；
（2）过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐵𝐶交𝐵𝐶的延长线于点𝐹，根据题意求得𝐴𝐶,𝐸𝐹的长即可解答．
【详解】（1）解： ∵𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐶，
∴𝐸𝐴= 𝐸𝐶，
∴∠𝐴= ∠𝐴𝐶𝐸，
∵∠𝐵𝐸𝐶= 46°，
∴∠𝐴= ∠𝐴𝐶𝐸= 46° × 1
2 = 23°
∵𝐶𝐸为角平分线
∴∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴𝐶𝐸= 46°
∴∠𝐵= 180°−∠𝐴−∠𝐴𝐶𝐵 = 180°−46°−23° = 111°；
（2）解：如图，过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐵𝐶交𝐵𝐶的延长线于点𝐹
∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，𝐶𝐸为角分平线，
∴𝐸𝐹= 𝐷𝐸，
∴𝑆△𝐸𝐵𝐶=
1
2 × 𝐵𝐶⋅𝐸𝐹 =
1
2 × 4 × 𝐸𝐹= 6，
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∴𝐸𝐹= 𝐷𝐸= 3，
∵𝐶△𝐴𝐵𝐶= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶，𝐶△𝐸𝐵𝐶= 𝐸𝐵+ 𝐸𝐶+ 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶，且𝐶△𝐴𝐵𝐶−𝐶△𝐸𝐵𝐶= 8，
∴𝐴𝐶= 8
∴𝑆△𝐴𝐸𝐶=
1
2 × 𝐴𝐶× 𝐸𝐷 = 12，
∴△𝐴𝐸𝐶的面积为12．
【变式6-2】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐷所在的直线垂直平分线段𝐴𝐶，过点A 作𝐴𝐹∥𝐵𝐶交𝐶𝐷于F，延长
𝐴𝐵、𝐷𝐶交于点E．
(1)求证：𝐴𝐶平分∠𝐸𝐴𝐹；
(2)求证：∠𝐹𝐴𝐷= ∠𝐸；
(3)若∠𝐸𝐴𝐷= 90°,𝐴𝐸= 5，△𝐴𝐸𝐶的面积为
15
4 ，求𝐶𝐹的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
3
2
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到𝐵𝐴= 𝐵𝐶，根据等腰三角形的性质得到∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐶𝐴，根据
平行线的性质得到∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐵𝐶𝐴，等量代换证明结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到𝐷𝐴= 𝐷𝐶，根据等腰三角形的性质得到∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐶𝐴，再根据三角形
的外角性质证明即可；
（3）首先推导出𝐶𝐹⊥𝐴𝐹，过点C 作𝐶𝑀⊥𝐴𝐸，垂足为M，依据△𝐴𝐸𝐶的面积为
15
4 ，求得𝐶𝑀=
3
2，结合𝐴𝐶
平分∠𝐸𝐴𝐹，𝐶𝑀⊥𝐴𝐸,𝐶𝐹⊥𝐴𝐹，从而得到𝐶𝐹= 𝐶𝑀=
3
2．
【详解】（1）证明：∵在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐷所在的直线垂直平分线段𝐴𝐶，
∴𝐵𝐴= 𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐶𝐴，
∵过点A 作𝐴𝐹∥𝐵𝐶交𝐶𝐷于F，
∴∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐵𝐶𝐴，
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∴∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐶，
即𝐴𝐶平分∠𝐸𝐴𝐹；
（2）证明：∵在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐷所在的直线垂直平分线段𝐴𝐶，
∴𝐷𝐴= 𝐷𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐶𝐴，
∵∠𝐷𝐶𝐴是△𝐴𝐶𝐸的一个外角，
∴∠𝐷𝐶𝐴= ∠𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐶，
∴∠𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐹𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐹，
∵∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐸𝐴𝐶，
∴∠𝐹𝐴𝐷= ∠𝐸；
（3）解：过点C 作𝐶𝑀⊥𝐴𝐸，垂足为M，如图，
∵∠𝐸𝐴𝐷= 90°，
∴∠𝐸+ ∠𝐴𝐷𝐸= 90°，
又∵𝐹𝐴𝐷= ∠𝐸，
∴∠𝐹𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸= 90°，
∴∠𝐴𝐹𝐷= 90°，
∴𝐶𝐹⊥𝐴𝐹，
∵△𝐴𝐸𝐶的面积为
15
4 ，
∴
1
2𝐴𝐸·𝐶𝑀=
15
4 ，
又∵𝐴𝐸= 5，
∴𝐶𝑀=
3
2，
∵𝐴𝐶平分∠𝐸𝐴𝐹,𝐶𝑀⊥𝐴𝐸,𝐶𝐹⊥𝐴𝐹，
∴𝐶𝐹= 𝐶𝑀=
3
2．
【变式6-3】如图1，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点D 是𝐴𝐵上点，连接𝐶𝐷，∠𝐴𝐶𝐷的平分线交𝐴𝐵于点E，并
延长至点F，使得𝐸𝐹= 𝐴𝐹，且∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐸𝐶𝐵．
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第 33 页 共 47 页
(1)求证：𝐶𝐷⊥𝐴𝐵．
(2)如图2，若𝐸𝐺⊥𝐴𝐶，点H 为𝐶𝐷上一点，连接𝐴𝐻，K 为𝐴𝐻中点，且𝐸𝐾⊥𝐴𝐻，求证：𝐴𝐺= 𝐷𝐻．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线定义设∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐷𝐶𝐸= 𝛼，则∠𝐸𝐶𝐷= 𝛼+ ∠1，根据𝐸𝐹= 𝐴𝐹得
∠𝐸𝐴𝐹= ∠3 = 𝛼+ ∠2，再根据∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐸𝐶𝐵得∠1 = ∠2，然后根据∠2 + ∠𝐵= 90°得∠1 + ∠𝐵= 90°，据此即
可得出结论；
（2）连接𝐻𝐸，先根据角平分线的性质得𝐸𝐺= 𝐸𝐷，再证明𝐸𝐾是线段𝐴𝐻的垂直平分线，则𝐴𝐸= 𝐻𝐸，然后
可依据HL判定Rt △𝐴𝐸𝐺和Rt △𝐻𝐸𝐷全等，再根据全等三角形的性质可得出结论
【详解】（1）证明：如图1，
∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷，
∴设∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐷𝐶𝐸= 𝛼，
∴∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸+ ∠1 = 𝛼+ ∠1，
∵𝐸𝐹= 𝐴𝐹，
∴∠𝐸𝐴𝐹= ∠3
又∵∠3 = ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠2 = 𝛼+ ∠2
∴∠𝐸𝐴𝐹= 𝛼+ ∠2，
∴∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐸𝐶𝐵，
∴𝛼+ ∠1 = 𝛼+ ∠2
∴∠1 = ∠2，
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠2 + ∠𝐵= 90°
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∴∠1 + ∠𝐵= 90°，
在△𝐵𝐶𝐷中，∠𝐶𝐷𝐵= 180°−(∠1 + ∠𝐵) = 90°，
∴𝐶𝐷⊥𝐴𝐵；
（2）证明：连接𝐻𝐸，如图：
∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷，𝐸𝐺⊥𝐴𝐶,𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
∴𝐸𝐺= 𝐸𝐷，
∵点𝐾为𝐴𝐻中点，且𝐸𝐹⊥𝐴𝐾，
∴𝐸𝐾为𝐴𝐻的垂直平分线，
∴𝐴𝐸= 𝐻𝐸，
在Rt △𝐴𝐸𝐺和Rt △𝐻𝐸𝐷中，
𝐴𝐸= 𝐻𝐸
𝐸𝐺= 𝐸𝐷
，
∴Rt △𝐴𝐸𝐺≌Rt △𝐻𝐸𝐷(HL)，
∴𝐴𝐺= 𝐷𝐻．
过关测·稳提升
1．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶的垂直平分线分别交𝐵𝐶、𝐴𝐶于点D、E，连接𝐵𝐸．若𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，且
∠𝐴= 72°，则∠𝐶𝐸𝐷的度数为（ ）
A．72°
B．64°
C．54°
D．36°
【答案】C
【分析】本题考查中垂线的性质，与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形的内角和定理求出
∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶的度数，中垂线的性质，角平分线的定义，推出∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐶，进而求出∠𝐶的度数，再根据三角
形的内角和定理求出∠𝐶𝐸𝐷的度数即可．
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【详解】解：∵∠𝐴= 72°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶= 180°−72° = 108°，
∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸，
∵𝐵𝐶的垂直平分线分别交𝐵𝐶、𝐴𝐶于点D、E，
∴∠𝐸𝐷𝐶= 90°,𝐵𝐸= 𝐶𝐸，
∴∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶= 3∠𝐶= 108°，
∴∠𝐶= 36°，
∴∠𝐶𝐸𝐷= 90°−∠𝐶= 54°；
故选C．
2．如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶的平分线𝐵𝐷和𝐴𝐶边的垂直平分线𝐷𝐸交于点D，𝐷𝑀⊥𝐵𝐴的延长线于点M，𝐷𝑁⊥𝐵𝐶
于点N．若𝐴𝑀= 2,𝐵𝐶= 7，则𝐴𝐵的长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些
性质解决问题是解题的关键．
连接𝐴𝐷、𝐶𝐷，由𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝐶的平分线，可得𝐷𝑀= 𝐷𝑁，𝐵𝑀= 𝐵𝑁，由线段垂直平分线的性质的得到
𝐴𝐷= 𝐶𝐷，进而由“HL”可证Rt △𝐷𝑀𝐴≌Rt △𝐷𝑁𝐶，可得𝐴𝑀= 𝐶𝑁= 2，即得到𝐵𝑀= 𝐵𝑁= 5，据此即可求解．
【详解】解：连接𝐴𝐷、𝐶𝐷，如图所示，
，∵𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝐶的平分线，
∴𝐷𝑀= 𝐷𝑁，𝐵𝑀= 𝐵𝑁，
∵ 𝐷𝐸是𝐴𝐶的垂直平分线，
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∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
在Rt △𝐷𝑀𝐴和Rt △𝐷𝑁𝐶中𝐷𝑀= 𝐷𝑁
𝐴𝐷= 𝐶𝐷
，
∴Rt △𝐷𝑀𝐴≌Rt △𝐷𝑁𝐶(HL)，
∴𝐴𝑀= 𝐶𝑁= 2，
∴𝐵𝑀= 𝐵𝑁= 𝐵𝐶−𝐶𝑁= 𝐵𝐶−𝐴𝑀= 7−2 = 5，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝑀−𝐴𝑀= 𝐵𝑁−𝐴𝑀= 5−2 = 3，
故选：C．
3．在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵的垂直平分线分别交𝐴𝐵，𝐵𝐶于点𝑀，𝑃，𝐴𝐶的垂直平分线分别交𝐴𝐶，𝐵𝐶于点N，Q．若
𝐵𝐶= 10，𝑄𝑃= 2，则△𝐴𝑄𝑃的周长为（ ）
A．8 或14
B．12 或10
C．8 或10
D．10 或14
【答案】D
【分析】本题考查了垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质可得：𝐴𝑃= 𝐵𝑃，𝐴𝑄= 𝑄𝐶，分两种情
况：当点𝑃在点𝑄左侧时，当点𝑃在点𝑄的右侧时，根据三角形的周长公式求解即可得到答案．
【详解】解：当点𝑃在点𝑄左侧时，如图所示：
由垂直平分线性质可知𝐴𝑃= 𝐵𝑃，𝐴𝑄= 𝑄𝐶，
∴𝐶△𝐴𝑄𝑃= 𝐴𝑃+ 𝐴𝑄+ 𝑃𝑄= 𝐵𝑃+ 𝑄𝐶+ 𝑃𝑄= 𝐵𝐶= 10；
当点𝑃在点𝑄的右侧时，如图所示：
由垂直平分线性质可知𝐴𝑃= 𝐵𝑃，𝐴𝑄= 𝑄𝐶，
∴𝐶△𝐴𝑄𝑃= 𝐴𝑃+ 𝐴𝑄+ 𝑃𝑄= 𝐵𝑃+ 𝑄𝐶+ 𝑃𝑄
= 𝐵𝑃+ 𝐶𝑃+ 𝑃𝑄+ 𝑃𝑄
= 𝐵𝐶+ 2𝑃𝑄= 10 + 4 = 14；
综上所述，△𝐴𝑄𝑃的周长为10 或14，
故选：D．
4．如图，线段𝐴𝐵，𝐷𝐸的垂直平分线交于点𝐶，且∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐸𝐷𝐶= 72°，∠𝐴𝐸𝐵= 92°，则∠𝐸𝐵𝐷的度数为
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（ ）
A．168°
B．158°
C．128°
D．118°
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是依据全等
三角形的对应角相等，以及三角形内角和定理得出结论．
【详解】解：如下图所示，连接𝐶𝐸，
∵ 𝐶𝑀是𝐴𝐵的垂直平分线，𝐶𝑁是𝐷𝐸的垂直平分线，
∴𝐶𝐴= 𝐶𝐵，𝐶𝐸= 𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐴𝐵，∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐶𝐷𝐸，
∵ ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐸𝐷𝐶= 72°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐸𝐶= 72°，
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐵𝐴𝐶= 180°−72°−72° = 36°，
在△𝐸𝐷𝐶中，∠𝐸𝐶𝐷= 180°−∠𝐶𝐸𝐷−∠𝐶𝐷𝐸= 180°−72°−72° = 36°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸𝐶𝐷= 36°，
∴∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐸𝐶𝐷−∠𝐸𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷，
在△𝐴𝐶𝐸和△𝐵𝐶𝐷中，
𝐶𝐴= 𝐶𝐵
∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷
𝐶𝐸= 𝐶𝐷
，
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶，
设∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶= 𝛼，
则∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸−∠𝐵𝐷𝐶= 72°−𝛼，∠𝐶𝐸𝐵= ∠𝐴𝐸𝐵−∠𝐴𝐸𝐶= 92°−𝛼，
∴∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐷𝐸𝐶−∠𝐶𝐸𝐵= 72°−(92°−𝛼) = 𝛼−20°，
在△𝐵𝐷𝐸中，∠𝐸𝐵𝐷= 180°−∠𝐵𝐸𝐷−∠𝐸𝐷𝐵= 180°−(72°−𝛼)−(𝛼−20°) = 128°．
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故选：C．
5．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，按以下步骤作图：①分别以点𝐵，𝐶为圆心，大于
1
2𝐵𝐶的长为半径作弧，两弧相交于
𝑀，𝑁两点；②作直线𝑀𝑁交𝐴𝐵于点𝐷，连接𝐶𝐷．若𝐴𝐶= 4，𝐴𝐵= 10，则△𝐴𝐶𝐷的周长为
．
【答案】14
【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，推出△𝐴𝐶𝐷的周长等于𝐴𝐵+ 𝐴𝐶，即可得出结果．
【详解】解：由作图可知：𝑀𝑁垂直平分𝐵𝐶，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∴△𝐴𝐶𝐷的周长为:𝐴𝐶+ 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷= 𝐴𝐶+ 𝐴𝐷+ 𝐵𝐷= 𝐴𝐶+ 𝐴𝐵= 4 + 10 = 14；
故答案为：14．
6．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，边𝐴𝐵的垂直平分线𝐷𝐸分别与边𝐴𝐵，𝐴𝐶交于D，E 两点，边𝐵𝐶的垂直平分线𝐹𝐺分
别与边𝐵𝐶，𝐴𝐶交于F，G 两点，连接𝐵𝐸，𝐵𝐺．若△𝐵𝐸𝐺的周长为32，𝐴𝐶= 22，则𝐺𝐸的长为
．
【答案】5
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段
垂直平分线的性质得到𝐸𝐴= 𝐸𝐵，𝐺𝐵= 𝐺𝐶，然后根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵𝐷𝐸是𝐴𝐵边的垂直平分线，𝐹𝐺是𝐵𝐶边的垂直平分线，
∴𝐸𝐴= 𝐸𝐵，𝐺𝐵= 𝐺𝐶，
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∵△𝐵𝐸𝐺的周长为32，
∴𝐺𝐵+ 𝐸𝐵+ 𝐺𝐸= 32，
∴𝐸𝐴+ 𝐺𝐶+ 𝐺𝐸= 32，即𝐴𝐺+ 𝐺𝐸+ 𝐺𝐶+ 𝐺𝐸= 𝐴𝐶+ 2𝐺𝐸= 32，
∵𝐴𝐶= 22，
∴𝐺𝐸= (32−22) ÷ 2 = 5．
故答案为：5．
7．如图，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，垂足为E，𝐵𝐹∥𝐴𝐶交𝐸𝐷的延长线于点F，若𝐵𝐶恰好平分∠𝐴𝐵𝐹．则下列
结论中：①𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高；②𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线；③𝐸𝐷= 𝐹𝐷；④𝐴𝐵= 𝐴𝐸+ 𝐵𝐹．其中正确的
有
．（填序号）
【答案】①②③④
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形
的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键．由角平分线的定义及平行线的性质可得
∠𝐴𝐷𝐵= 90°，然后可证△𝐴𝐷𝐶≌△𝐴𝐷𝐵(ASA)，△𝐷𝐸𝐶≌△𝐷𝐹𝐵(AAS)，进而问题可求解．
【详解】解：∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐵𝐶恰好平分∠𝐴𝐵𝐹，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷=
1
2∠𝐶𝐴𝐵,∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐹𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐹，
∵𝐵𝐹∥𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐹= 180°，
∴∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐷= 90°，即∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，即𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，故①正确；
∵∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，𝐴𝐷= 𝐴𝐷，
∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐴𝐷𝐵(ASA)，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐵，𝐷𝐵= 𝐷𝐶，即𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，故②正确；
∵𝐵𝐹∥𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐹，
∵∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐵𝐷𝐹，
∴△𝐷𝐸𝐶≌△𝐷𝐹𝐵(AAS)，
∴𝐸𝐶= 𝐵𝐹，𝐸𝐷= 𝐹𝐷，故③正确；
∵𝐴𝐶= 𝐴𝐵，𝐸𝐶= 𝐵𝐹，𝐴𝐶= 𝐴𝐸+ 𝐶𝐸，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐸+ 𝐵𝐹，故④正确；
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故答案为：①②③④．
8．如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 130°，𝐴𝐵的垂直平分线𝑀𝐸交𝐵𝐶于点M，交𝐴𝐵于点E，𝐴𝐶的垂直平分
线𝑁𝐹交𝐵𝐶于点N，交𝐴𝐶于点F，求∠𝑀𝐴𝑁的度数．
【答案】80°
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质等知识，属于常考
题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
根据三角形的内角和定理可求出∠𝐵+ ∠𝐶= 180°−130° = 50°，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的
性质可得∠𝑀𝐴𝐵= ∠𝐵，∠𝑁𝐴𝐶= ∠𝐶，于是可得∠𝑀𝐴𝐵+ ∠𝑁𝐴𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐶= 50°，进而求解．
【详解】解：∵∠𝐵𝐴𝐶= 130°，
∴∠𝐵+ ∠𝐶= 180°−130° = 50°．
∵𝑀𝐸是线段𝐴𝐵的垂直平分线，𝑁𝐹是线段𝐴𝐶的垂直平分线，
∴𝑀𝐴= 𝑀𝐵，𝑁𝐴= 𝑁𝐶，
∴∠𝑀𝐴𝐵= ∠𝐵，∠𝑁𝐴𝐶= ∠𝐶，
∴∠𝑀𝐴𝐵+ ∠𝑁𝐴𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐶= 50°，
∴∠𝑀𝐴𝑁= 130°−50° = 80°．
9．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶＝2∠𝐶,𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶,𝐷𝐸⊥𝐴𝐵（E 在𝐴𝐵之间），𝐷𝐹⊥𝐵𝐶，已知
𝐵𝐷= 5,𝐷𝐸= 3,𝐶𝐹= 4，求△𝐷𝐹𝐶的周长．
【答案】12
【分析】本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角
形周长的计算，本题中求证𝐷𝐸= 𝐷𝐹是解题的关键．根据角平分线的性质可证∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷，即可求得
∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐶，即𝐵𝐷= 𝐶𝐷，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得𝐷𝐸= 𝐷𝐹，即可解题．
【详解】解：∵∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐶,𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐶，
∵ 𝐵𝐷= 5,𝐷𝐸= 3,𝐶𝐹= 4，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 5，
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∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹= 3，
∴△𝐷𝐹𝐶的周长= 𝐷𝐹+ 𝐶𝐷+ 𝐶𝐹= 𝐷𝐸+ 𝐵𝐷+ 𝐶𝐹= 3 + 5 + 4 = 12．
10．如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐸𝐹垂直平分𝐴𝐶，交𝐴𝐶于点F，交𝐵𝐶于点E，且𝐵𝐷= 𝐷𝐸，连接𝐴𝐸．
(1)若∠𝐵𝐴𝐸= 40°，求∠𝐶的度数；
(2)若△𝐴𝐵𝐶的周长为14cm,𝐴𝐶= 6cm，求𝐷𝐶的长．
【答案】(1)35°
(2)4cm
【分析】本题考查中垂线的判定和性质，三角形的外角：
（1）先证明𝐴𝐷是𝐵𝐸的垂直平分线，等边对等角求出∠𝐴𝐸𝐵的度数，再结合三角形的外交以及中垂线的性质，
等边对等角求出∠𝐶的度数即可；
（2）先求出𝐴𝐵+ 𝐵𝐶的长，再根据线段的转化，得到2𝐷𝐶= 8cm，进而求出𝐷𝐶的长即可．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶,𝐵𝐷= 𝐷𝐸，
∴𝐴𝐷是𝐵𝐸的垂直平分线，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐸，
∵∠𝐵𝐴𝐸= 40°，
∴∠𝐵= ∠𝐴𝐸𝐵=
1
2(180°−∠𝐵𝐴𝐸) = 70°，
∴∠𝐶+ ∠𝐸𝐴𝐶= 70°，
∵𝐸𝐹垂直平分𝐴𝐶，
∴𝐸𝐴= 𝐸𝐶，
∴∠𝐶= ∠𝐸𝐴𝐶= 35°，
∴∠𝐶的度数为35°；
（2）∵△𝐴𝐵𝐶的周长为14cm,𝐴𝐶= 6cm，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 14−6 = 8cm，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐷𝐶= 8cm，
∴𝐴𝐸+ 𝐷𝐸+ 𝐷𝐶= 8cm，
∴𝐸𝐶+ 𝐷𝐸+ 𝐷𝐶= 8cm，
∴2𝐷𝐶= 8cm，
∴𝐷𝐶= 4cm，
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∴𝐷𝐶的长为4cm．
11．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝑁垂直平分𝐵𝐶，交𝐵𝐶于点𝑁，点𝑀是𝐶𝐷中点．
(1)证明：𝐴𝑀是线段𝐶𝐷的垂直平分线；
(2)若∠𝑀𝐴𝑁= 70°，求∠𝐵𝐴𝐷的度数．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)140°
【分析】本题主要考查垂直平分线的判定和性质，三线合一等知识，掌握以上知识是关键．
（1）根据垂直平分线的性质，结合题意得到𝐴𝐶= 𝐴𝐷，即△𝐴𝐶𝐷是等腰三角形，由“三线合一”得到
𝐴𝑀⊥𝐶𝐷，由此即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到∠𝐵𝐴𝑁= ∠𝐶𝐴𝑁,∠𝐷𝐴𝑀= ∠𝐶𝐴𝑀，则∠𝐶𝐴𝑁+ ∠𝐶𝐴𝑀= ∠𝑀𝐴𝑁= 70°，所以
有∠𝐵𝐴𝑁+ ∠𝐷𝐴𝑀= ∠𝐶𝐴𝑁+ ∠𝐶𝐴𝑀= 70°，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵𝐴𝑁垂直平分𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝑁𝐵= ∠𝐴𝑁𝐶= 90°,𝐵𝑁= 𝐶𝑁,𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐷，即△𝐴𝐶𝐷是等腰三角形，
∵点𝑀是𝐶𝐷中点，
∴𝐴𝑀⊥𝐶𝐷，
∴𝐴𝑀是线段𝐶𝐷的垂直平分线；
（2）解：∵𝐴𝑁垂直平分𝐵𝐶，𝐴𝑀是线段𝐶𝐷的垂直平分线，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐴𝐷
∴∠𝐵𝐴𝑁= ∠𝐶𝐴𝑁,∠𝐷𝐴𝑀= ∠𝐶𝐴𝑀，
∵∠𝐶𝐴𝑁+ ∠𝐶𝐴𝑀= ∠𝑀𝐴𝑁= 70°，
∴∠𝐵𝐴𝑁+ ∠𝐷𝐴𝑀= ∠𝐶𝐴𝑁+ ∠𝐶𝐴𝑀= 70°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 140°．
12．如图，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，连接𝐴𝐶，𝐵𝐶，𝐵𝐷，线段𝐴𝐶的垂直平分线与线段𝐵𝐷的垂直平分线交于点E，连接𝐵𝐸，
𝐷𝐸．试说明：∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸．
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【答案】见解析
【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐸，推
出∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸，可得结论．
【详解】解：连接𝐴𝐸，𝐶𝐸，如图．
因为𝐴𝐶，𝐵𝐷的垂直平分线相交于点E，
所以𝐴𝐸= 𝐶𝐸，𝐵𝐸= 𝐷𝐸．
又因为𝐴𝐵= 𝐶𝐷，
所以△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐸(SSS)，
所以∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸．
13．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 25°．
(1)在𝐵𝐶上求作一点D，连接𝐴𝐷，使得线段𝐴𝐷最短；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，李明作点D 关于𝐴𝐶的对称点E 点时，发现点E 恰好在𝐵𝐴的延长线上，求∠𝐵的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)40°
【分析】本题考查作图-复杂作图、轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵
活运用所学知识解决问题．
（1）根据垂线的作图方法，过点A 作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，则点D 即为所求．
（2）连接𝐶𝐸，由题意得，点D 与点E 关于𝐴𝐶对称，可证明△𝐴𝐷𝐶≌△𝐴𝐸𝐶，得∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷= 25°，则∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐷= 50°，再根据∠𝐵= 180°−∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐴𝐸𝐶可得答案．
【详解】（1）解：如图，过点A 作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，
则点D 即为所求．
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（2）解：连接𝐶𝐸，
由（1）得𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°
由题意得，点D 与点E 关于𝐴𝐶对称，即𝐴𝐶为线段𝐷𝐸的垂直平分线，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐷，𝐶𝐸= 𝐶𝐷，
∵𝐴𝐶= 𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐴𝐸𝐶(SSS)，
∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷= 25°
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐷= 50°
∴∠𝐵= 180°−∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐴𝐸𝐶= 40°．
14．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，边𝐴𝐵的垂直平分线分别交𝐴𝐵，𝐵𝐶于点M，D，边𝐴𝐶的垂直平分线分别交𝐴𝐶，𝐵𝐶
于点𝑁，𝐸，𝑀𝐷，𝑁𝐸的延长线交于点O．
(1)试判断点O 是否在𝐵𝐶的垂直平分线上，并说明理由；
(2)若∠𝐵𝐴𝐶= 110°，求∠𝐵𝑂𝐶的度数．
【答案】(1)点O 在BC 的垂直平分线上，理由见解析.
(2)∠𝐵𝑂𝐶= 140°
【分析】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）连接𝐴𝑂，𝐵𝑂，𝐶𝑂，根据垂直平分线的性质可得出𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝑂𝐴= 𝑂𝐶，则𝑂𝐵= 𝑂𝐶，从而即可求解；
（2）由四边形内角和可得∠𝑀𝑂𝑁的度数，根据题意得∠𝐵𝑂𝐶= 2∠𝑀𝑂𝑁即可求解；.
【详解】（1）解：点𝑂在𝐵𝐶的垂直平分线上，理由如下：
如图所示，连接𝐴𝑂，𝐵𝑂，𝐶𝑂，
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∵𝐷𝑀，𝐸𝑁分别是𝐴𝐵，𝐴𝐶的垂直平分线，
∴𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝑂𝐴= 𝑂𝐶，
∴𝑂𝐵= 𝑂𝐶，
∴点𝑂在𝐵𝐶的垂直平分线上；
（2）解：∵𝑂𝑀，𝑂𝑁分别垂直平分𝐴𝐵，𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐵𝑂，△𝐴𝐶𝑂均为轴对称图形，
∴∠𝐵𝑂𝑀= ∠𝐴𝑂𝑀，∠𝐶𝑂𝑁= ∠𝐴𝑂𝑁，
∵𝑂𝑀⊥𝐴𝐵，𝑂𝑁⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝑀𝑂= ∠𝐴𝑁𝑂= 90°，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 110°，
∴∠𝑀𝑂𝑁= 360°−90°−90°−110° = 70°，
∴∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝑀+ ∠𝐴𝑂𝑀+ ∠𝐴𝑂𝑁+ ∠𝐶𝑂𝑁= 2∠𝑀𝑂𝑁= 140°．
15．实践与探究
在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 15，𝐴𝐶= 9．若点𝐷在∠𝐵𝐴𝐶的平分线所在的直线上．
(1)如图1，当点𝐷在△𝐴𝐵𝐶的外部时，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶交AC 的延长线于𝐹，且𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
①求证：点𝐷在BC 的垂直平分线上；
②𝐵𝐸= __________；
(2)如图2，当点𝐷在线段BC 上时，若∠𝐶= 90°，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，交AC 于点𝐸，交AD 与点𝐹，过点𝐹作
𝐹𝐺⊥𝐵𝐸，交BC 于点𝐺．
①∠𝐷𝐹𝐺= _________；
②若𝐵𝐶= 12，𝐸𝐶= 4，求CG 的长度；
【答案】(1)①证明见解析 ②3
预习讲义 第12 讲 线段的垂直平分线的性质（解析版）
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(2)①45° ②2
【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质
定理是解决问题的关键．
（1）①点D 在∠𝐵𝐴𝐶的平分线所在的直线上, 过点D 作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于E，作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶交𝐴𝐶的延长线于F，得出
𝐷𝐸= 𝐷𝐹，借助Rt △𝐵𝐷𝐸≌Rt △𝐶𝐷𝐹(SAS)，得到𝐵𝐷= 𝐶𝐷，即可证明点D 在𝐵𝐶的垂直平分线上；
②通过Rt △𝐴𝐷𝐸≌Rt △𝐴𝐷𝐹(HL)证出𝐴𝐸= 𝐴𝐹，从而有𝐴𝐵−𝐵𝐸= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐹，即可得出𝐵𝐸= 3；
（2）①先利用角平分线的定义求得∠𝐴𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐴𝐹= 45°，再利用三角形的外角性质求得
∠𝐷𝐹𝐵= ∠𝐴𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐴𝐹= 45°，即可求解；
②延长𝐹𝐺交𝐴𝐵于H，证明△𝐴𝐹𝐻≌△𝐴𝐹𝐸(ASA)，得到𝐴𝐻= 𝐴𝐸= 5，再由△𝐵𝐹𝐺≌△𝐵𝐹𝐻(ASA)，即可求
解；
【详解】（1）①证明：连接𝐵𝐷,𝐶𝐷，
∵点D 在∠𝐵𝐴𝐶的平分线所在的直线上, 过点D 作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于E，作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶交𝐴𝐶的延长线于F，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
在Rt △𝐵𝐷𝐸和Rt △𝐶𝐷𝐹中，
𝐵𝐸= 𝐶𝐹
∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐶𝐹𝐷= 90°
𝐷𝐸= 𝐷𝐹
，
∴Rt △𝐵𝐷𝐸≌Rt △𝐶𝐷𝐹(SAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∴点D 在𝐵𝐶的垂直平分线上；
②由①知：𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
在Rt △𝐴𝐷𝐸和Rt △𝐴𝐷𝐹中，
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
𝐷𝐸= 𝐷𝐹
，
∴Rt △𝐴𝐷𝐸≌Rt △𝐴𝐷𝐹(HL)，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐹，
∵𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐴𝐵−𝐵𝐸= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐹，
∴15−𝐵𝐸= 9 +𝐵𝐸，
∴𝐵𝐸= 3；
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故答案为：3；
（2）①∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐶= 90°，
∴
1
2∠𝐴𝐵𝐶+
1
2∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 × 90° = 45°，即∠𝐴𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐴𝐹= 45°，
∴∠𝐷𝐹𝐵= ∠𝐴𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐴𝐹= 45°，
∵𝐹𝐺⊥𝐵𝐸，即∠𝐵𝐹𝐺= 90°，
∴∠𝐷𝐹𝐺= 90°−∠𝐷𝐹𝐵= 45°；
故答案为：45°；
②延长𝐹𝐺交𝐴𝐵于H，
∵∠𝐴𝐹𝐻= ∠𝐷𝐹𝐺= 45°,∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐵𝐹𝐷= 45°，
∴∠𝐴𝐹𝐻= ∠𝐴𝐹𝐸，
∵∠𝐻𝐴𝐹= ∠𝐸𝐴𝐹,𝐴𝐹= 𝐴𝐹，
∴△𝐴𝐹𝐻≌△𝐴𝐹𝐸(ASA)，
∴𝐴𝐻= 𝐴𝐸，
∴𝐴𝐵= 15，𝐴𝐶= 9，𝐵𝐶= 12，𝐸𝐶= 4，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐶−𝐶𝐸= 9−4 = 5，
∴𝐴𝐻= 𝐴𝐸= 5，
∴𝐵𝐻= 𝐴𝐵−𝐴𝐻= 10，
∵∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐸，∠𝐵𝐹𝐻= ∠𝐵𝐹𝐺= 90°，𝐵𝐹= 𝐵𝐹，
∴△𝐵𝐹𝐺≌△𝐵𝐹𝐻(ASA)，
∴𝐵𝐻= 𝐵𝐺= 10，
∴𝐺𝐶= 𝐵𝐶−𝐵𝐺= 12−10 = 2；
