预习讲义 第十三章 轴对称全章自学检测卷（学生版）
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轴对称全章自学检测卷
【人教版】
（考试时间：90 分钟 试卷满分：120 分）
考前须知：
1．本卷试题共24 题，单选10 题，填空6 题，解答8 题，满分120 分，限时90 分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10 小题，每小题3 分，共30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．（3 分）下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3 分）如图，这是4 × 4的正方形网格，选择一空白小正方形，其与阴影部分组成的图形是轴对称图形
的情况有（ ）
A．1 种
B．2 种
C．3 种
D．4 种
3．（3 分）在平面直角坐标系中，若点𝑃(4,𝑚−1)与点𝑄(2𝑚+ 3𝑛,5)关于𝑥轴对称，则𝑛−𝑚的值为（ ）
A．8
B．−4
C．0
D．−8
4．（3 分）下列命题的逆命题的表述正确的有（ ）
①“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”
②“等边对等角”的逆命题是“如果有两条边相等，那么这两条所对的角也相等”；
③“全等三角形的对应边相等”的逆命题是“一组对应边相等的两个三角形是全等三角形”；
④ “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角
形”．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
5．（3 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 8，𝐵𝐶= 5，线段𝐴𝐵的垂直平分线交𝐴𝐵于点E，交𝐴𝐶于点D，
则△𝐵𝐷𝐶的周长为（ ）
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A．21
B．14
C．13
D．9
6．（3 分）如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′关于直线𝑀𝑁对称，P 为𝑀𝑁上任一点，下列结论中错误的是（ ）
A．直线𝐴𝐵、𝐴′𝐵′的交点不一定在𝑀𝑁上
B．△𝐴𝐴′𝑃是等腰三角形
C．△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′面积相等
D．𝑀𝑁垂直平分𝐴𝐴′,𝐶𝐶′
7．（3 分）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷= 7，𝐵𝐶= 2，∠𝐴= 30°，∠𝐵= 90°，∠𝐴𝐷𝐶= 120°，则𝐶𝐷的长为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
8．（3 分）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B 是格点，以A、B、C 为等腰三角形顶点的所有
格点C 的个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
9．（3 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵= 50°，𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，且𝐴𝐶= 𝐶𝐷，则∠𝐵𝐴𝐷的度数为（ ）
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A．50°
B．60°
C．65°
D．70°
10．（3 分）如图，𝐶为线段𝐴𝐸上一动点（不与𝐴、𝐸重合），在𝐴𝐸同侧分别作等边△𝐴𝐵𝐶和等边△𝐸𝐶𝐷，
𝐴𝐷与𝐵𝐸交于点𝑂，𝐴𝐷与𝐵𝐶交于点𝑃，𝐵𝐸与𝐶𝐷交于点，连接𝑃𝑄，则有以下五个结论：①𝐴𝐷= 𝐵𝐸；②𝑃𝑄∥
𝐴𝐸；③𝐴𝑃= 𝐵𝑄；④𝐷𝐸= 𝐷𝑃；⑤∠𝐴𝑂𝐵= 60°其中正确的有（ ）
A．①③⑤
B．①③④⑤
C．①②③⑤
D．①②③④⑤
二、填空题（共18 分）
11．（3 分）将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中不能看成是轴对称变换得
到的是 ．（填序号）
12．（3 分）若等腰三角形的一个角等于110°，则它的另外两个角的度数为
．
13．（3 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐸𝐷∥𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线分别交𝐸𝐷于点G、F，若𝐵𝐸= 3，
𝐶𝐷= 4，𝐸𝐷= 5，则𝐹𝐺的长为 ．
14．（3 分）如图，若𝐵，𝐷，𝐹在𝐴𝑁上，𝐶，𝐸在𝐴𝑀上，且𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐶𝐷= 𝐸𝐷= 𝐸𝐹，∠𝐴= 20°，则
∠𝐹𝐸𝑀=
．
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15．（3 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐴= 𝐵𝐶，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，交𝐴𝐶于点𝐷，点𝑀、𝑁分别为𝐵𝐷、𝐵𝐶上的动点，
若𝐵𝐶= 4，△𝐴𝐵𝐶的面积为6，则𝐶𝑀+ 𝑀𝑁的最小值为
．
16．（3 分）在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐴= 30°，𝐷是直线𝐴𝐵上的一点，且满足𝐵𝐷=
1
2𝐴𝐵，则∠𝐶𝐷𝐵的度
数为
．
三、解答题（共72 分）
17．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，C 三点的坐标分别是𝐴(1,6)，𝐵(2,2)，𝐶(4,7)．
(1)求△𝐴𝐵𝐶的面积：
(2)我们把所有横坐标为−1的点构成的直线叫作直线𝑥= −1，画出△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑥= −1对称的△𝐴1𝐵1𝐶1
（并标注顶点字母）；
(3)若在y 轴上取点D，使△𝐴𝐵𝐷为等腰三角形，则这样的点D 共有______个．
18．（8 分）（1）如图，𝐴,𝐵,𝐶为三个住宅小区，为方便这三个小区居民购买日常生活用品，计划建一个超
市𝐷，使𝐷到𝐴,𝐵,𝐶三个小区的距离相等，请你用尺规作图在下图中作出点𝐷．
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（2）已知点𝐴，点𝐵和直线𝑙，在直线𝑙上求作一点𝑃，使𝑃𝐴+ 𝑃𝐵最小．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作
法）
19．（8 分）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，E 为𝐶𝐷中点，连接𝐴𝐸并延长𝐴𝐸交𝐵𝐶的延长线于点F．
(1)求证：𝐶𝐹= 𝐴𝐷；
(2)已知𝐴𝐷= 2，𝐵𝐶= 6．当𝐴𝐵为何值时，点E 在∠𝐵的平分线上？请说明理由．
20．（8 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶的中点，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶交∠𝐵𝐴𝐶的平分线𝐴𝐸于𝐸，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵于𝐹，𝐸𝐺⊥𝐴𝐶
交𝐴𝐶延长线于𝐺.
(1)求证：𝐵𝐹= 𝐶𝐺.
(2)猜想𝐴𝐵、𝐴𝐶、𝐴𝐹的数量有什么关系？并证明你的猜想；
(3)若𝐴𝐵= 10cm，𝐴𝐶= 6cm，则𝐵𝐹= ________cm.
21．（8 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 8，∠𝐶𝐵𝐴= 45°
(1)求证：𝐴𝐶⊥𝐴𝐵；
(2)以𝐴𝐶为边，作等边三角形△𝐴𝐶𝐷，且点𝐷在𝐴𝐶的左侧，连接𝐶𝐷，𝐴𝐷，𝐵𝐷．求△𝐴𝐵𝐷的面积．
22．（10 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，M 是△𝐴𝐵𝐶内的一点，且∠𝐴𝑀𝐵= 120°，以𝑀𝐶
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为直角边作等腰直角△𝑀𝐶𝑁，使∠𝑀𝐶𝑁= 90°，𝑀𝑁交线段𝐵𝐶于点𝐷，连接𝐵𝑁．
(1)求证：𝐴𝑀= 𝐵𝑁．
(2)求∠𝑀𝐵𝑁的度数．
(3)当∠𝐴𝑀𝐶为多少度时，△𝐵𝑀𝑁是等腰三角形？
23．（10 分）已知，在等边三角形𝐴𝐵𝐶中，点𝐸在𝐴𝐵上，点𝐷在𝐶𝐵的延长线上，且𝐸𝐷= 𝐸𝐶．
【特例证明】
（1）如图1，当点𝐸为𝐴𝐵的中点时，确定线段𝐴𝐸与𝐷𝐵的大小关系，请你直接写出结论：𝐴𝐸__________𝐷𝐵
（填“>”、“<”或“=”）．
【类比探究】
（2）如图2，当点𝐸为𝐴𝐵边上任意一点时，确定线段𝐴𝐸与𝐷𝐵的大小关系，请你写出结论，并说明理由．
解：𝐴𝐸__________𝐷𝐵（填“>”、“<”或“=”），理由如下：
过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐵𝐶，交𝐴𝐶于点𝐹．（请你完成以下解答过程）．
【拓展运用】
（3）点𝐸在直线𝐴𝐵上运动，当∠𝐷𝐸𝐶= 120°时，若𝐵𝐶= 2，请直接写出𝐶𝐷的长．
24．（12 分）【推理】（1）如图1，已知在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，直线m 经过点A，𝐵𝐷⊥𝑚
于点D，𝐶𝐸⊥𝑚于点E，求证：𝐷𝐸= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐸．
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【拓展】（2）如图2，将【推理】中的条件改为：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，D，A，E 三点都在直线m 上，
且∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼，𝛼为任意锐角或钝角，请问结论𝐷𝐸= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐸是否成立？如成立，请给出证
明；若不成立，请说明理由．
【应用】（3）如图3，D，E 是直线m 上的两个动点（D，A，E 三点互不重合），且△𝐴𝐵𝐹和△𝐴𝐶𝐹均为
等边三角形，连接𝐵𝐷，𝐶𝐸，𝐷𝐹，𝐸𝐹，若∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶，△𝐷𝐸𝐹的周长为60，直接写出𝐵𝐷+ 𝐶𝐸
的值．
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轴对称全章自学检测卷（答案解析）
【人教版】
（考试时间：90 分钟 试卷满分：120 分）
考前须知：
1．本卷试题共24 题，单选10 题，填空6 题，解答8 题，满分120 分，限时90 分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10 小题，每小题3 分，共30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．（本题3 分）下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的定义即可求解．
【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（本题3 分）如图，这是4 × 4的正方形网格，选择一空白小正方形，其与阴影部分组成的图形是轴对称
图形的情况有（ ）
A．1 种
B．2 种
C．3 种
D．4 种
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【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的变换，正确把握轴对称图形的性质是解答本题的关键．
在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义求解即可．
【详解】如图所示，有四种情况使之成为轴对称图形∶
①
②
③
④
故选：D．
3．（本题3 分）在平面直角坐标系中，若点𝑃(4,𝑚−1)与点𝑄(2𝑚+ 3𝑛,5)关于𝑥轴对称，则𝑛−𝑚的值为（ ）
A．8
B．−4
C．0
D．−8
【答案】A
【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的特征，根据关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反
数，即可得出答案．
【详解】解：∵点𝑃(4,𝑚−1)与点𝑄(2𝑚+ 3𝑛,5)关于𝑥轴对称，
∴2𝑚+ 3𝑛= 4,𝑚−1 = −5
∴𝑚= −4,𝑛= 4
∴𝑛−𝑚 = 4−(−4) = 8
故选：A．
4．（本题3 分）下列命题的逆命题的表述正确的有（ ）
①“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”
②“等边对等角”的逆命题是“如果有两条边相等，那么这两条所对的角也相等”；
③“全等三角形的对应边相等”的逆命题是“一组对应边相等的两个三角形是全等三角形”；
④ “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角
形”．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换即可得到原命题的逆命题，据此
可得答案．
【详解】解：①“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，原说法正确；
②“等边对等角”的逆命题是“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”，原说法错误；
③“全等三角形的对应边相等”的逆命题是“三组对应边相等的两个三角形是全等三角形”，原说法错误；
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④ “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角
形”，原说法正确．
故选：C．
5．（本题3 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 8，𝐵𝐶= 5，线段𝐴𝐵的垂直平分线交𝐴𝐵于点E，交𝐴𝐶于点
D，则△𝐵𝐷𝐶的周长为（ ）
A．21
B．14
C．13
D．9
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得𝐴𝐷= 𝐵𝐷，据此根据三角
形周长计算公式求解即可．
【详解】解：∵线段𝐴𝐵的垂直平分线交𝐴𝐵于点E，交𝐴𝐶于点D，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐷，
∴△𝐵𝐷𝐶的周长= 𝐵𝐷+ 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 8 + 5 = 13，
故选：C．
6．（本题3 分）如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′关于直线𝑀𝑁对称，P 为𝑀𝑁上任一点，下列结论中错误的是（ ）
A．直线𝐴𝐵、𝐴′𝐵′的交点不一定在𝑀𝑁上
B．△𝐴𝐴′𝑃是等腰三角形
C．△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′面积相等
D．𝑀𝑁垂直平分𝐴𝐴′,𝐶𝐶′
【答案】A
【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握图形轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的性质是
解题的关键．
由轴对称的性质可知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′,𝐴𝐴′ ⊥𝑀𝑁,𝐶𝐶′ ⊥𝑀𝑁，即可求解．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′关于直线𝑀𝑁对称，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′,𝐴𝐴′ ⊥𝑀𝑁,𝐶𝐶′ ⊥𝑀𝑁，
∵由轴对称的性质，可知直线𝐴𝐵,𝐴′𝐵′的交点一定在𝑀𝑁上，
∴A 选项符合题意；
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∵P 为𝑀𝑁上任一点，
∴𝐴𝑃= 𝐴′𝑃，
∴△𝐴𝐴′𝑃是等腰三角形，
∴B 选项不符合题意；
∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′，
∴△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′面积相等，
∴C 选项不符合题意；
∵𝐴𝑃= 𝐴′𝑃,𝐶𝑃= 𝐶′𝑃，
∴𝑀𝑁垂直平分𝐴𝐴′,𝐶𝐶′，
∴D 选项不符合题意；
故选：A．
7．（本题3 分）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷= 7，𝐵𝐶= 2，∠𝐴= 30°，∠𝐵= 90°，∠𝐴𝐷𝐶= 120°，则𝐶𝐷的
长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质等知识，延
长𝐷𝐶、𝐴𝐵，交于点𝐸，利用等角对等边得𝐴𝐷= 𝐸𝐷，再利用含30°角的直角三角形的性质和线段和差可得答
案，作辅助线构造特殊的三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，延长𝐷𝐶、𝐴𝐵，交于点𝐸，
∵∠𝐴= 30°，∠𝐴𝐷𝐶= 120°，
∴∠𝐴= ∠𝐸= 30°，
∴𝐴𝐷= 𝐸𝐷= 7，
∵∠𝐶𝐵𝐸= 180°−∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴𝐵𝐶=
1
2𝐶𝐸= 2，
∴𝐶𝐸= 4，
∴𝐶𝐷= 𝐷𝐸−𝐸𝐶= 7−4 = 3，
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故选：B．
8．（本题3 分）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B 是格点，以A、B、C 为等腰三角形顶点
的所有格点C 的个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、格点问题等知识点，根据题意画出符合题意的图形是解题的
关键．
根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形，然后统计即可解答．
【详解】解：如图:根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形如下：
以A、B、C 为等腰三角形顶点的所有格点C 的个数为8 个．
故选C．
9．（本题3 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵= 50°，𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，且𝐴𝐶= 𝐶𝐷，则∠𝐵𝐴𝐷的度数为（ ）
A．50°
B．60°
C．65°
D．70°
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及角的和差运算．解题关键是利用等腰三角形
性质求出相关角的度数．
根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠𝐵𝐴𝐶；再由𝐵𝐶⊥𝐶𝐷得出∠𝐵𝐶𝐷，进而求出∠𝐴𝐶𝐷；接着依据
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等腰三角形𝐴𝐶= 𝐴𝐷求出∠𝐷𝐴𝐶；最后通过∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐷𝐴𝐶的差求出∠𝐵𝐴𝐷．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵= 50°，
∴∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵= 50°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐴𝐶𝐵= 80°，
∵𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐶𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐶𝐷= 140°，
∵𝐴𝐶= 𝐴𝐷，
∴∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶=
180°−∠𝐴𝐶𝐷
2
= 20°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐶= 60°．
故选：B．
10．（本题3 分）如图，𝐶为线段𝐴𝐸上一动点（不与𝐴、𝐸重合），在𝐴𝐸同侧分别作等边△𝐴𝐵𝐶和等边
△𝐸𝐶𝐷，𝐴𝐷与𝐵𝐸交于点𝑂，𝐴𝐷与𝐵𝐶交于点𝑃，𝐵𝐸与𝐶𝐷交于点，连接𝑃𝑄，则有以下五个结论：
①𝐴𝐷= 𝐵𝐸；②𝑃𝑄∥𝐴𝐸；③𝐴𝑃= 𝐵𝑄；④𝐷𝐸= 𝐷𝑃；⑤∠𝐴𝑂𝐵= 60°其中正确的有（ ）
A．①③⑤
B．①③④⑤
C．①②③⑤
D．①②③④⑤
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，①由于
△𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝐷𝐸是等边三角形，可知𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐶𝐷= 𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 60°，从而证出
△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸，可推知𝐴𝐷= 𝐵𝐸；②由△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸得∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶，加之∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 60°，
𝐴𝐶= 𝐵𝐶，得到△𝐶𝑄𝐵≌△𝐶𝑃𝐴(ASA)，再根据∠𝑃𝐶𝑄= 60° 推出△𝑃𝐶𝑄为等边三角形，又由
∠𝑃𝑄𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③根据② 中△𝐶𝑄𝐵≌△𝐶𝑃𝐴(ASA)，可知③
正确；④根据∠𝐷𝑄𝐸= ∠𝐸𝐶𝑄+ ∠𝐶𝐸𝑄= 60° + ∠𝐶𝐸𝑄,∠𝐶𝐷𝐸= 60°可知∠𝐷𝑄𝐸≠∠𝐶𝐷𝐸，可知④错误；⑤由
𝐵𝐶∥𝐷𝐸，得到∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐵𝐸𝐷，由∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸，得到∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝑂𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐸𝑂= 60°，同理可得出
∠𝐴𝑂𝐸= 120°，进而得出∠𝐴𝑂𝐵= 60°，故⑤正确．熟记相关几何性质与判定，灵活运用是解决问题的关键．
【详解】解：∵ △𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝐷𝐸是等边三角形，∴𝐴𝐶= 𝐵𝐶,𝐶𝐷= 𝐶𝐸,∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐷，即∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，
在△𝐴𝐶𝐷和△𝐵𝐶𝐸中，
𝐴𝐶= 𝐵𝐶
∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸
𝐶𝐷= 𝐶𝐸
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∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(SAS)，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐸，故①正确；
∵△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(SAS)，
∴∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶，
又∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 60°，
∴∠𝐵𝐶𝐷= 60°，即∠𝐴𝐶𝑃= ∠𝐵𝐶𝑄，
又∵𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
∴△𝐶𝑄𝐵≌△𝐶𝑃𝐴(ASA)，
∴𝐶𝑃= 𝐶𝑄，
又∵∠𝑃𝐶𝑄= 60°，可知△𝑃𝐶𝑄为等边三角形，
∴∠𝑃𝑄𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸= 60°，
∴𝑃𝑄∥𝐴𝐸，故②正确；
∵△𝐶𝑄𝐵≌△𝐶𝑃𝐴(ASA)，
∴𝐴𝑃= 𝐵𝑄，故③正确；
∵𝐴𝐷= 𝐵𝐸，𝐴𝑃= 𝐵𝑄，
∵𝐴𝐷−𝐴𝑃= 𝐵𝐸−𝐵𝑄，即𝐷𝑃= 𝑄𝐸，
∵∠𝐷𝑄𝐸= ∠𝐸𝐶𝑄+ ∠𝐶𝐸𝑄= 60° + ∠𝐶𝐸𝑄，∠𝐶𝐷𝐸= 60°，
∴∠𝐷𝑄𝐸≠∠𝐶𝐷𝐸，则𝐷𝐸≠𝐷𝑃，故④错误；
∵𝐵𝐶∥𝐷𝐸，
∴∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐵𝐸𝐷，
∵∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝑂𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐸𝑂= 60°，
同理可得出∠𝐴𝑂𝐸= 120°，
∴∠𝐴𝑂𝐵= 60°，故⑤正确；
故选：C．
二、填空题（共18 分）
11．（本题3 分）将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中不能看成是轴对称
变换得到的是 ．（填序号）
【答案】②
【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，熟记轴对称图形的定义是解题的关键．
依据轴对称图形的定义判断即可．
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【详解】解：①③④都可以沿一条竖直线翻折，使左右重合，所以都可以看出轴对称变换，
而②不是轴对称变换，
故答案为：②．
12．（本题3 分）若等腰三角形的一个角等于110°，则它的另外两个角的度数为
．
【答案】35°，35°
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答的关
键．先判断出已知角为等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵等腰三角形的一个角等于110°，
∴110°是等腰三角形的顶角，
∴另外两个角相等，且度数为
1
2 × (180°−110°) = 35°，
故答案为：35°，35°．
13．（本题3 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐸𝐷∥𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线分别交𝐸𝐷于点G、F，若𝐵𝐸= 3，
𝐶𝐷= 4，𝐸𝐷= 5，则𝐹𝐺的长为 ．
【答案】2
【分析】根据平行线的性质得到∠𝐸𝐺𝐵= ∠𝐺𝐵𝐶，∠𝐷𝐹𝐶= ∠𝐹𝐶𝐵，由角平分线的定义得到 ∠𝐺𝐵𝐶= ∠𝐺𝐵𝐸，
∠𝐹𝐶𝐵= ∠𝐹𝐶𝐷，于是得到𝐵𝐸= 𝐸𝐺，𝐶𝐷= 𝐷𝐹，代入数据即可得到结论．
本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的
证明，属于基础题．
【详解】解：∵𝐸𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝐺𝐵= ∠𝐺𝐵𝐶，∠𝐷𝐹𝐶= ∠𝐹𝐶𝐵，
∵∠ABC 和∠ACB 的平分线分别交ED 于点G、F，
∴∠𝐺𝐵𝐶= ∠𝐺𝐵𝐸，∠𝐹𝐶𝐵= ∠𝐹𝐶𝐷，
∴∠𝐸𝐺𝐵= ∠𝐸𝐵𝐺，∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝐷𝐹𝐶，
∴𝐵𝐸= 𝐸𝐺，𝐶𝐷= 𝐷𝐹，
∵𝐵𝐸= 3，𝐶𝐷= 4，𝐸𝐷= 5，
∴𝐸𝐵+ 𝐶𝐷= 𝐸𝐺+ 𝐷𝐹= 𝐸𝐹+ 𝐹𝐺+ 𝐹𝐺+ 𝐷𝐺= 𝐸𝐷+ 𝐹𝐺，即3 + 4 = 5 + 𝐹𝐺，
∴𝐹𝐺= 2，
故答案为：2．
14．（本题3 分）如图，若𝐵，𝐷，𝐹在𝐴𝑁上，𝐶，𝐸在𝐴𝑀上，且𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐶𝐷= 𝐸𝐷= 𝐸𝐹，∠𝐴= 20°，则
∠𝐹𝐸𝑀=
．
预习讲义 第十三章 轴对称全章自学检测卷（解析版）
第 16 页 共 31 页
【答案】100°
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的一个外角和的性质等知识点，正确运用三角形外角
的性质成为解题的关键．
根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸= 60°、∠𝐸𝐷𝐹= ∠𝐷𝐹𝐸= 80°，进而得到
∠𝐷𝐸𝐹= 20°，最后根据平角的定义求解即可．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐶𝐷= 𝐸𝐷= 𝐸𝐹，∠𝐴= 20°，
∴∠𝐵𝐶𝐴= 20°，
∴∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐵𝐷𝐶= 40°，
∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐶𝐸𝐷= 60°，
∴∠𝐸𝐷𝐹= ∠𝐷𝐹𝐸= 80°，
∴∠𝐷𝐸𝐹= 180°−80°−80° = 20°，
∴∠𝐹𝐸𝑀= 180°−∠𝐷𝐸𝐶−∠𝐷𝐸𝐹= 180°−60°−20° = 100°．
故答案为：100°．
15．（本题3 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐴= 𝐵𝐶，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，交𝐴𝐶于点𝐷，点𝑀、𝑁分别为𝐵𝐷、𝐵𝐶上的
动点，若𝐵𝐶= 4，△𝐴𝐵𝐶的面积为6，则𝐶𝑀+ 𝑀𝑁的最小值为
．
【答案】3
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，根据
等腰三角形的性质可知，𝐵𝐷垂直平分𝐴𝐶，根据垂直平分线的性质得出𝐶𝑀= 𝐴𝑀，由此可得
𝐶𝑀+ 𝑀𝑁= 𝐴𝑀+ 𝑀𝑁，又由“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可得当𝐴、𝑀、𝑁三点共线且𝐴𝑁⊥𝐵𝐶时
𝐴𝑀+ 𝑀𝑁最短，根据三角形的面积公式可求出𝐴𝑁的长，即𝐶𝑀+ 𝑀𝑁的最小值，熟练掌握知识点的应用是解
题的关键．
【详解】解：如图，连接𝐴𝑀，
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∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐴= 𝐵𝐶，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
∴𝐵𝐷垂直平分𝐴𝐶，
∴𝐶𝑀= 𝐴𝑀，
∴𝐶𝑀+ 𝑀𝑁= 𝐴𝑀+ 𝑀𝑁，
如图，当𝐴、𝑀、𝑁三点共线且𝐴𝑁⊥𝐵𝐶时， 𝐶𝑀+ 𝑀𝑁= 𝐴𝑀+ 𝑀𝑁= 𝐴𝑁，此时𝐴𝑁最小，即𝐶𝑀+ 𝑀𝑁的值
最小，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2𝐵𝐶× 𝐴𝑁= 6，
∴
1
2 × 4 × 𝐴𝑁= 6，
解得𝐴𝑁= 3，
∴𝐶𝑀+ 𝑀𝑁的最小值为3，
故答案为：3．
16．（本题3 分）在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐴= 30°，𝐷是直线𝐴𝐵上的一点，且满足𝐵𝐷=
1
2𝐴𝐵，则∠𝐶𝐷𝐵
的度数为
．
【答案】30°或60°/60°或30°
【分析】此题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，分
两种情况考虑：当点𝐷在线段𝐴𝐵上和点𝐷在𝐴𝐵延长线上，分别画出图形解答即可，利用分类讨论的思想解
答是解题的关键．
【详解】解：当点𝐷在线段𝐴𝐵上时，如图1所示，
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在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐴= 30°，
∴𝐵𝐶=
1
2𝐴𝐵，∠𝐵= 60°，
∵𝐵𝐷=
1
2𝐴𝐵，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷，
∴△𝐵𝐶𝐷为等边三角形，
∴∠𝐵𝐷𝐶= 60°；
当点𝐷在𝐴𝐵延长线上时，如图2所示，
同理可得𝐵𝐷= 𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐵𝐷𝐶
∵∠𝐴𝐵𝐶= 60°，∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷= 30°；
综上，∠𝐵𝐷𝐶= 30°或60°，
故答案为：30°或60°．
三、解答题（共72 分）
17．（本题8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，C 三点的坐标分别是𝐴(1,6)，𝐵(2,2)，𝐶(4,7)．
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(1)求△𝐴𝐵𝐶的面积：
(2)我们把所有横坐标为−1的点构成的直线叫作直线𝑥= −1，画出△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑥= −1对称的△𝐴1𝐵1𝐶1
（并标注顶点字母）；
(3)若在y 轴上取点D，使△𝐴𝐵𝐷为等腰三角形，则这样的点D 共有______个．
【答案】(1)
13
2
(2)见解析
(3)4
【分析】（1）用矩形的面积减去周边三个三角形的面积即可；
（2）分别作出三个顶点关于直线𝑙的对称点，再首尾顺次连接即可；
（3）根据等腰三角形的概念求解即可．
【详解】（1）解：△𝐴𝐵𝐶的面积为3 × 5−
1
2 × 1 × 3−
1
2 × 1 × 4−
1
2 × 2 × 5 =
13
2 ；
（2）如图所示，
（3）如图所示：
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观察图形，点𝐷1与A、B 不构成△𝐴𝐵𝐷，
∴在y 轴上这样的点𝐷共有4 个，
故答案为：4．
18．（本题8 分）（1）如图，𝐴,𝐵,𝐶为三个住宅小区，为方便这三个小区居民购买日常生活用品，计划建一
个超市𝐷，使𝐷到𝐴,𝐵,𝐶三个小区的距离相等，请你用尺规作图在下图中作出点𝐷．
（2）已知点𝐴，点𝐵和直线𝑙，在直线𝑙上求作一点𝑃，使𝑃𝐴+ 𝑃𝐵最小．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作
法）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查作图－应用与设计作图，轴对称求最短距离．
（1）由题意可得，作出线段𝐴𝐵、𝐵𝐶的垂直平分线𝐷𝐸、𝐺𝐻的交点D，即可求解；
（2）作点𝐵关于直线𝑙的对称点𝐵′，连接𝐴𝐵′，交直线𝑙于点𝑃，连接𝐵𝑃，则点𝑃即为所求．
【详解】解：如图，点D 即为所求，
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；
（2）点P 即为所求，
；
19．（本题8 分）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，E 为𝐶𝐷中点，连接𝐴𝐸并延长𝐴𝐸交𝐵𝐶的延长线于点F．
(1)求证：𝐶𝐹= 𝐴𝐷；
(2)已知𝐴𝐷= 2，𝐵𝐶= 6．当𝐴𝐵为何值时，点E 在∠𝐵的平分线上？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)8，见解析
【分析】（1）由平行线的性质推出∠𝐷= ∠𝐸𝐶𝐹，∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐹，由AAS判定△𝐷𝐴𝐸≌△𝐶𝐹𝐸，推出𝐶𝐹= 𝐴𝐷；
（2）由△𝐷𝐴𝐸≌△𝐶𝐹𝐸，推出𝐴𝐸= 𝐹𝐸，由等腰三角形的性质推出𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，得到点E 在∠𝐴𝐵𝐶的平分
线上．
【详解】（1）证明：∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐷= ∠𝐸𝐶𝐹，∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐹，
∵E 为𝐶𝐷中点，
∴𝐷𝐸= 𝐶𝐸，
∴△𝐷𝐴𝐸≌△𝐶𝐹𝐸(AAS)，
∴𝐶𝐹= 𝐴𝐷；
（2）解：当𝐴𝐵= 8时，点E 在∠𝐴𝐵𝐶的平分线上，理由如下：
连接𝐵𝐸，
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由（1）知𝐶𝐹= 𝐴𝐷= 2，
∵𝐵𝐶= 6，
∴𝐵𝐹= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐹= 8，
∵𝐴𝐵= 8，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐹，
∵△𝐷𝐴𝐸≌△𝐶𝐹𝐸），
∴𝐴𝐸= 𝐹𝐸，
∴𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴点E 在∠𝐴𝐵𝐶的平分线上．
20．（本题8 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶的中点，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶交∠𝐵𝐴𝐶的平分线𝐴𝐸于𝐸，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵于𝐹，𝐸𝐺⊥𝐴𝐶
交𝐴𝐶延长线于𝐺.
(1)求证：𝐵𝐹= 𝐶𝐺.
(2)猜想𝐴𝐵、𝐴𝐶、𝐴𝐹的数量有什么关系？并证明你的猜想；
(3)若𝐴𝐵= 10cm，𝐴𝐶= 6cm，则𝐵𝐹= ________cm.
【答案】(1)见解析
(2)2𝐴𝐹= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶，见解析
(3)2
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．
（1）连接𝐵𝐸、𝐸𝐶，先根据线段垂直平分线的性质的性质得𝐵𝐸= 𝐸𝐶，再根据角平分线的性质得𝐹𝐸= 𝐸𝐺，
然后根据HL证明Rt △𝐵𝐹𝐸≌Rt △𝐶𝐺𝐸，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）证明Rt △𝐴𝐸𝐹≌Rt △𝐴𝐸𝐺(HL)得𝐴𝐹= 𝐴𝐺，再结合（1）的结论𝐵𝐹= 𝐶𝐺，得
𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 𝐴𝐹+ 𝐵𝐹+ 𝐴𝐺−𝐶𝐺= 2𝐴𝐹；
（3）根据（2）的结论得𝐴𝐹= 8cm，再根据𝐵𝐹= 𝐴𝐵−𝐴𝐹可得答案.
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【详解】（1）证明：如图，连接𝐵𝐸、𝐸𝐶，
∵𝐸𝐷⊥𝐵𝐶，D 为𝐵𝐶中点，
∴𝐵𝐸= 𝐸𝐶，
∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，𝐸𝐺⊥𝐴𝐺，且𝐴𝐸平分∠𝐹𝐴𝐺，
∴𝐹𝐸= 𝐸𝐺，
在Rt △𝐵𝐹𝐸和Rt △𝐶𝐺𝐸中，
𝐵𝐸= 𝐶𝐸
𝐸𝐹= 𝐸𝐺
，
∴Rt △𝐵𝐹𝐸≌Rt △𝐶𝐺𝐸(HL)，
∴𝐵𝐹= 𝐶𝐺；
（2）解：2𝐴𝐹= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶，证明如下：
在Rt △𝐴𝐸𝐹和Rt △𝐴𝐸𝐺中，
𝐴𝐸= 𝐴𝐸
𝐸𝐹= 𝐸𝐺
，
∴Rt △𝐴𝐸𝐹≌Rt △𝐴𝐸𝐺(HL)，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐺，
由（1）知𝐵𝐹= 𝐶𝐺，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 𝐴𝐹+ 𝐵𝐹+ 𝐴𝐺−𝐶𝐺= 2𝐴𝐹．
即2𝐴𝐹= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶；
（3）解：由（2）知2𝐴𝐹= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶，
∵𝐴𝐵= 10cm，𝐴𝐶= 6cm，
∴2𝐴𝐹= 10 + 6 = 16(cm)，
∴𝐴𝐹= 8cm，
∴𝐵𝐹= 𝐴𝐵−𝐴𝐹= 10−8 = 2(cm)，
故答案为：2．
21．（本题8 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 8，∠𝐶𝐵𝐴= 45°
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(1)求证：𝐴𝐶⊥𝐴𝐵；
(2)以𝐴𝐶为边，作等边三角形△𝐴𝐶𝐷，且点𝐷在𝐴𝐶的左侧，连接𝐶𝐷，𝐴𝐷，𝐵𝐷．求△𝐴𝐵𝐷的面积．
【答案】(1)证明见详解
(2)16
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角
形的判定与性质是解题的关键；
（1）利用等腰三角形的性质可得∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐴𝐶𝐵= 45°，然后利用三角形内角和定理求出∠𝐶𝐴𝐵= 90°，即可
解答；
（2）过点D 作𝐷𝐸⊥𝐵𝐴，交𝐵𝐴的延长线于点𝐸，由等边三角形的性质得∠𝐷𝐴𝐶= 60°，𝐴𝐶= 𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 8，
再利用30°所对直角边是斜边的一半得出𝐷𝐸=
1
2𝐴𝐷= 4，最后由三角形面积公式即可求解；
【详解】（1）证明：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐴𝐶𝐵= 45°，
∴∠𝐶𝐴𝐵= 180°−∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐶𝐵𝐴= 90°，
∴𝐴𝐶⊥𝐴𝐵；
（2）解：过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐵𝐴，交𝐵𝐴的延长线于点𝐸，
∵△𝐴𝐶𝐷是等边三角形，
∴∠𝐷𝐴𝐶= 60°，𝐴𝐶= 𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 8，
∴∠𝐷𝐴𝐸= 180°−∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐵= 30°，
∴𝐷𝐸=
1
2𝐴𝐷= 4，
∴△𝐴𝐵𝐷的面积=
1
2𝐴𝐵·𝐷𝐸=
1
2 × 8 × 4 = 16，
∴△𝐴𝐵𝐷的面积为16；
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22．（本题10 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，M 是△𝐴𝐵𝐶内的一点，且∠𝐴𝑀𝐵= 120°，
以𝑀𝐶为直角边作等腰直角△𝑀𝐶𝑁，使∠𝑀𝐶𝑁= 90°，𝑀𝑁交线段𝐵𝐶于点𝐷，连接𝐵𝑁．
(1)求证：𝐴𝑀= 𝐵𝑁．
(2)求∠𝑀𝐵𝑁的度数．
(3)当∠𝐴𝑀𝐶为多少度时，△𝐵𝑀𝑁是等腰三角形？
【答案】(1)见解析
(2)30°
(3)75°或120°或165°
【分析】本题考查了等腰三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，解题的关键在于利用分类讨论的思
想解决问题．
（1）利用等腰三角形性质证明△𝐴𝐶𝑀≌△𝐵𝐶𝑁，结合全等三角形性质求解，即可解题；
（2）利用全等三角形性质得到∠𝐴𝑀𝐶= ∠𝐵𝑁𝐶，进而求出∠𝐵𝑀𝐶+ ∠𝐵𝑁𝐶，再结合四边形内角和得到
∠𝑀𝐵𝑁= 360°−∠𝐵𝑀𝐶−∠𝐵𝑁𝐶−∠𝑀𝐶𝑁进行求解，即可解题；
（3）设∠𝐴𝑀𝐶= 𝑥时，△𝐵𝑀𝑁是等腰三角形，结合全等三角形性质得到∠𝐵𝑁𝐶= ∠𝐴𝑀𝐶= 𝑥，进而得到
∠𝐵𝑁𝑀= 𝑥−45°，再根据△𝐵𝑀𝑁是等腰三角形，分三种情况①当𝑀𝑁= 𝑀𝐵时，②当𝐵𝑀= 𝐵𝑁时，③当
𝑀𝑁= 𝐵𝑁时，结合等腰三角形性质讨论求解，即可解题．
【详解】（1）证明：∵ ∠𝐴𝐶𝐵= 90° = ∠𝑀𝐶𝑁，
∴∠𝐴𝐶𝐵−∠𝑀𝐶𝐵= ∠𝑀𝐶𝑁−∠𝑀𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝑀= ∠𝐵𝐶𝑁，
∵ △𝑀𝐶𝑁为等腰直角三角形，
∴𝑀𝐶= 𝑁𝐶，
∵𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐶𝑀≌△𝐵𝐶𝑁(SAS)，
∴𝐴𝑀= 𝐵𝑁；
（2）解：∵ △𝐴𝐶𝑀≌△𝐵𝐶𝑁，
∴∠𝐴𝑀𝐶= ∠𝐵𝑁𝐶，
∵∠𝐴𝑀𝐵= 120°，
∴∠𝐵𝑀𝐶+ ∠𝐵𝑁𝐶= ∠𝐵𝑀𝐶+ ∠𝐴𝑀𝐶= 360°−∠𝐴𝑀𝐵= 240°，
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∵∠𝑀𝐶𝑁= 90°，
∴∠𝑀𝐵𝑁= 360°−∠𝐵𝑀𝐶−∠𝐵𝑁𝐶−∠𝑀𝐶𝑁
= 360°−(∠𝐵𝑀𝐶+ ∠𝐵𝑁𝐶)−90°
= 360°−240°−90° = 30°；
（3）解：设∠𝐴𝑀𝐶= 𝑥时，△𝐵𝑀𝑁是等腰三角形，
∵ △𝐴𝐶𝑀≌△𝐵𝐶𝑁，
∴∠𝐵𝑁𝐶= ∠𝐴𝑀𝐶= 𝑥，
∴∠𝐵𝑁𝑀= 𝑥−45°，
①当𝑀𝑁= 𝑀𝐵时，有∠𝐵𝑁𝑀= ∠𝑀𝐵𝑁= 30°，
∴𝑥−45° = 30°，
解得𝑥= 75°，即∠𝐴𝑀𝐶= 75°；
②当𝐵𝑀= 𝐵𝑁时，有∠𝐵𝑁𝑀= ∠𝐵𝑀𝑁=
180°−30°
2
= 75°，
∴𝑥−45° = 75°，
解得𝑥= 120°，即∠𝐴𝑀𝐶= 120°；
③当𝑀𝑁= 𝐵𝑁时，有∠𝐵𝑀𝑁= ∠𝑀𝐵𝑁= 30°，
∴∠𝐵𝑁𝑀= 180°−2 × 30° = 120°，
∴𝑥−45° = 120°，
解得𝑥= 165°，即∠𝐴𝑀𝐶= 165°；
综上所述，∠𝐴𝑀𝐶= 75°或120°或165°，△𝐵𝑀𝑁是等腰三角形．
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23．（本题10 分）已知，在等边三角形𝐴𝐵𝐶中，点𝐸在𝐴𝐵上，点𝐷在𝐶𝐵的延长线上，且𝐸𝐷= 𝐸𝐶．
【特例证明】
（1）如图1，当点𝐸为𝐴𝐵的中点时，确定线段𝐴𝐸与𝐷𝐵的大小关系，请你直接写出结论：𝐴𝐸__________𝐷𝐵
（填“>”、“<”或“=”）．
【类比探究】
（2）如图2，当点𝐸为𝐴𝐵边上任意一点时，确定线段𝐴𝐸与𝐷𝐵的大小关系，请你写出结论，并说明理由．
解：𝐴𝐸__________𝐷𝐵（填“>”、“<”或“=”），理由如下：
过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐵𝐶，交𝐴𝐶于点𝐹．（请你完成以下解答过程）．
【拓展运用】
（3）点𝐸在直线𝐴𝐵上运动，当∠𝐷𝐸𝐶= 120°时，若𝐵𝐶= 2，请直接写出𝐶𝐷的长．
【答案】（1）=
（2）= ，过程见解析
（3）𝐶𝐷的长为3 或6
【分析】（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠𝐷= ∠𝐸𝐶𝐵= 30°，求出∠𝐷𝐸𝐵= 30°，求出
𝐵𝐷= 𝐵𝐸即可；
（2）过𝐸作𝐸𝐹∥𝐵𝐶交𝐴𝐶于𝐹，求出等边三角形𝐴𝐸𝐹，证△𝐷𝐸𝐵和△𝐸𝐶𝐹全等，求出𝐵𝐷= 𝐸𝐹即可；
（3）点𝐸在𝐴𝐵延长线上时，如图所示，同理可得△𝐷𝐵𝐸≌△𝐸𝐹𝐶，由𝐵𝐶+ 𝐷𝐵求出𝐶𝐷的长即可．
【详解】解：∵点𝐸是等边△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵的中点，
∴𝐶𝐸⊥𝐴𝐶,∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= 30°，
∵𝐸𝐷= 𝐸𝐶，
∴∠𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸= 30°，
∴∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐷= 30° = ∠𝐷，
∴𝐵𝐷= 𝐵𝐸，
∵点𝐸是𝐴𝐵的中点，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐸，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐸，
故答案为：= ；
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（2）𝐴𝐸= 𝐷𝐵，理由如下：
过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐵𝐶，交𝐴𝐶于点𝐹，
∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，
∴△𝐴𝐸𝐹为等边三角形，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐹,𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
∵𝐸𝐷= 𝐸𝐶，
∴∠𝐷= ∠𝐸𝐶𝐷，
∵∠𝐷𝐸𝐵= 60°−∠𝐷,∠𝐸𝐶𝐹= 60°−∠𝐸𝐶𝐷，
∴∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐸𝐶𝐹，
在△𝐷𝐵𝐸和△𝐸𝐹𝐶中，
𝐷𝐸= 𝐶𝐸
∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐸𝐶𝐹
𝐵𝐸= 𝐹𝐶
，
∴△𝐷𝐵𝐸≌△𝐸𝐹𝐶(SAS)，
∴𝐷𝐵= 𝐸𝐹，
则𝐴𝐸= 𝐷𝐵；
故答案为：= ；
（3）解：分两种情况：
①如图3，点𝐸在𝐴𝐵上时，
∵𝐸𝐷= 𝐸𝐶,∠𝐷𝐸𝐶= 120°，
∴∠𝐷= ∠𝐸𝐶𝐵= 30°，
∵∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∴∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐷= 60°−30° = 30°，
∴∠𝐷= ∠𝐷𝐸𝐵,∠𝐶𝐸𝐵= ∠𝐷𝐸𝐶−∠𝐷𝐸𝐵= 120°−30° = 90°，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐷,𝐵𝐸=
1
2𝐵𝐶=
1
2 × 2 = 1，
∴𝐵𝐷= 𝐵𝐸= 1，
∴𝐶𝐷= 𝐵𝐷+ 𝐵𝐶= 1 + 2 = 3；
②如图4，点𝐸在𝐴𝐵的延长线上时，
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∵𝐸𝐷= 𝐸𝐶,∠𝐷𝐸𝐶= 120°，
∴∠𝐷= ∠𝐸𝐶𝐵= 30°，
∵∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∴∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐸𝐶𝐵= 60°−30° = 30°，
∴∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐸𝐶𝐵= 30°,∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐷𝐸𝐶−∠𝐵𝐸𝐶= 120°−30° = 90°，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐶= 2，
∴𝐵𝐷= 2𝐵𝐸= 4,𝐶𝐷= 𝐵𝐷+ 𝐵𝐶= 4 + 2 = 6；
综上所述，𝐶𝐷的长为3或6．
24．（本题12 分）【推理】（1）如图1，已知在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，直线m 经过点A，𝐵𝐷⊥𝑚
于点D，𝐶𝐸⊥𝑚于点E，求证：𝐷𝐸= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐸．
【拓展】（2）如图2，将【推理】中的条件改为：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，D，A，E 三点都在直线m 上，
且∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼，𝛼为任意锐角或钝角，请问结论𝐷𝐸= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐸是否成立？如成立，请给出证
明；若不成立，请说明理由．
【应用】（3）如图3，D，E 是直线m 上的两个动点（D，A，E 三点互不重合），且△𝐴𝐵𝐹和△𝐴𝐶𝐹均为
等边三角形，连接𝐵𝐷，𝐶𝐸，𝐷𝐹，𝐸𝐹，若∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶，△𝐷𝐸𝐹的周长为60，直接写出𝐵𝐷+ 𝐶𝐸
的值．
【答案】（1）见解析；
（2）结论𝐷𝐸= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐸成立，证明见解析；
（3）20．
【分析】本题主要考查全等三角形的判断和性质，等边三角形的盘点过以及性质，掌握全等三角形的判定
方法，性质，等边三角形的性质是解题的关键．
（1）证明△𝐴𝐷𝐵≌△𝐶𝐸𝐴(AAS)，可得𝐵𝐷= 𝐴𝐸，𝐴𝐷= 𝐶𝐸，𝐷𝐸= 𝐴𝐸+ 𝐴𝐷，由此即可求解；
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（2）证明△𝐴𝐷𝐵≌△𝐶𝐸𝐴(AAS)，可知𝐵𝐷= 𝐴𝐸，𝐴𝐷= 𝐶𝐸，由此即可求证；
（3）△𝐴𝐵𝐹和△𝐴𝐶𝐹都是等边三角形，△𝐷𝐵𝐹≌△𝐸𝐴𝐹(SAS)，再证明△𝐷𝐸𝐹为等边三角形，由此即可求
解．
【详解】（1）证明：∵𝐵𝐷⊥𝑚，𝐶𝐸⊥𝑚，
∴∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐴𝐸𝐶= 90°．
∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸= 90°．
∵∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸．
在△𝐴𝐷𝐵和△𝐶𝐸𝐴中，
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸,
∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐴𝐸𝐶,
𝐴𝐵= 𝐶𝐴,
∴△𝐴𝐷𝐵≌△𝐶𝐸𝐴(AAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐸，𝐴𝐷= 𝐶𝐸，
∴𝐷𝐸= 𝐴𝐸+ 𝐴𝐷= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐸．
（2）解：结论𝐷𝐸= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐸成立．
证明如下：
∵∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼，
∴∠𝐷𝐵𝐴+ ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸= 180°−𝛼，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐴𝐵𝐷．
在△𝐴𝐷𝐵和△𝐶𝐸𝐴中，
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸,
∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐴𝐸𝐶,
𝐴𝐵= 𝐶𝐴
∴△𝐴𝐷𝐵≌△𝐶𝐸𝐴(AAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐸，𝐴𝐷= 𝐶𝐸，
∴𝐷𝐸= 𝐴𝐸+ 𝐴𝐷= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐸．
（3）解：20．提示：
与（2）同理，可得△𝐴𝐷𝐵≌△𝐶𝐸𝐴，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐷𝐵𝐴= ∠𝐶𝐴𝐸．
∵△𝐴𝐵𝐹和△𝐴𝐶𝐹均为等边三角形，
∴𝐹𝐵= 𝐹𝐴，∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐶𝐴𝐹= 60°，
∴∠𝐷𝐵𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐹，
∴∠𝐹𝐵𝐷= ∠𝐹𝐴𝐸．
在△𝐷𝐵𝐹和△𝐸𝐴𝐹中，
预习讲义 第十三章 轴对称全章自学检测卷（解析版）
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𝐹𝐵= 𝐹𝐴,
∠𝐹𝐵𝐷= ∠𝐹𝐴𝐸,
𝐵𝐷= 𝐴𝐸,
∴△𝐷𝐵𝐹≌△𝐸𝐴𝐹(SAS)，
∴𝐷𝐹= 𝐸𝐹，∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐴𝐹𝐸，
∴∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐷𝐹𝐴+ ∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐷𝐹𝐴+ ∠𝐵𝐹𝐷= 60°，
∴△𝐷𝐸𝐹为等边三角形．
∵△𝐷𝐸𝐹的周长为60，
∴D𝐷𝐸=
1
3 × 60 = 20．
由（2）可知，𝐵𝐷+ 𝐶𝐸= 𝐷𝐸= 20．
