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预习讲义 第十一章 三角形全章自学检测卷（学生版）
第 1 页 共 24 页
三角形全章自学检测卷
【人教版】
（考试时间：90 分钟 试卷满分：120 分）
考前须知：
1．本卷试题共24 题，单选10 题，填空6 题，解答8 题，满分120 分，限时90 分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10 小题，每小题3 分，共30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．（3 分）如图表示三角形的分类，关于P、Q 区域有甲、乙两种说法：甲：P 是锐角三角形；乙：Q 是等
边三角形，则对于这两种说法，正确的是（ ）
A．甲对
B．乙对
C．甲、乙均对
D．甲、乙均不对
2．（3 分）如图，借助直角三角板作△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）在长为2、3、4、5 的四根木条中，任选三根能组成三角形的选法有（ ）
A．1 种
B．2 种
C．3 种
D．4 种
4．（3 分）在下列条件：①∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶；②∠𝐴:∠𝐵:∠𝐶= 1:2:3；③∠𝐴= ∠𝐵= 2∠𝐶；④∠𝐴=
1
2∠𝐵=
1
3
∠𝐶；⑤∠𝐴= ∠𝐵=
1
2∠𝐶中，能确定△𝐴𝐵𝐶为直角三角形的条件有（ ）
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A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
5．（3 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐵= 10，𝐵𝐶= 6，𝐴𝐶= 8，点𝐷是线段𝐴𝐵上一点，则线段𝐶𝐷
的长度不可能是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
6．（3 分）如图是𝐴，𝐵两片木片放在地面上的情形，若∠3 = 100°，则∠2−∠1等于（ ）
A．55°
B．80°
C．90°
D．100°
7．（3 分）一副三角板按如图方式叠合在一起，𝐴𝐷与𝐵𝐸相交于点H，则∠𝐵𝐻𝐷的度数是（ ）
A．75°
B．70°
C．65°
D．55°
8．（3 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 40°，∠𝐵𝐴𝐶= 60°，𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的高，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，交𝐴𝐵于点𝐸，
交𝐴𝐷于点𝐹，则∠𝐴𝐹𝐸的大小为（ ）
A．40°
B．45°
C．50°
D．55°
9．（3 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶的平分线与△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐴𝐶𝐹的平分线交于点𝐺，△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐶𝐵𝐷
与∠𝐵𝐶𝐸的三等分线交于点𝐽，即∠𝐷𝐵𝐽= 2∠𝐶𝐵𝐽，∠𝐸𝐶𝐽= 2∠𝐽𝐶𝐵．若∠𝐽= 88°，则∠𝐺= （ ）
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A．42°
B．45°
C．48°
D．51°
10．（3 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐵= 6，𝐴𝐶= 8，𝐵𝐶= 10，𝐴𝐷是高，𝐵𝐸是中线，𝐶𝐹是角
平分线，𝐶𝐹交𝐴𝐷于点G，交𝐵𝐸于点H，给出以下结论：①𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐵𝐶𝐸；②∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐴𝐺𝐹；③
∠𝐹𝐴𝐺= 2∠𝐴𝐶𝐹；④𝐴𝐷= 2.4，以上说法正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题（共18 分）
11．（3 分）已知三角形的两边长分别是3cm和7cm，如果第三边长为𝑥cm（x 是整数），则三角形周长最大
为
cm．
12．（3 分）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为
．
13．（3 分）如图，已知∠𝐴= 60°,∠𝐵= 40°,∠𝐶= 30°，则∠𝐷+ ∠𝐸等于
．
14．（3 分）定义：如果一个三角形有两个内角的差为90°，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．若△𝐴𝐵𝐶
是“准直角三角形”，且∠𝐴= 40°，∠𝐶> 90°，则∠𝐵的度数为
．
15．（3 分）如图，𝐷，𝐸，𝐹分别是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐴𝐶的中点，连接𝐴𝐸，𝐵𝐹，𝐶𝐷交于点𝐺，△𝐴𝐵𝐶
的面积为6，设△𝐵𝐷𝐺的面积为𝑆1，△𝐶𝐺𝐹的面积为𝑆2，则𝑆1 + 𝑆2 =
．
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16．（3 分）如图，A，B 两点都在直线𝑀𝑁的上方，𝐴𝐵= 5，点A 到直线𝑀𝑁的距离𝐴𝐶= 8，点B 到直线𝑀𝑁
的距离𝐵𝐷= 5，点P 在直线𝑀𝑁上运动，则|𝑃𝐴−𝑃𝐵|的最大值等于
．
三、解答题（共72 分）
17．（8 分）已知𝑎,𝑏,𝑐是三角形的三边长．
(1)化简：|𝑎−𝑏−𝑐| +3|𝑎+ 𝑐−𝑏|；
(2)𝑎,𝑏满足|𝑎−7| + (𝑏−2)2 = 0，且三角形的周长是16，判断此三角形的形状，并说明理由．
18．（8 分）如图，四边形ABCD 是任意四边形，AC 与BD 相交于点O．试说明：𝐴𝐶+ 𝐵𝐷>
1
2
(𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐷𝐴)．
19．（8 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，中线𝐴𝐷将这个三角形的周长分成15 和12 两部分，求这个三
角形三边的长．
20．（8 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为D，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶．
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(1)已知∠𝐵= 74°，∠𝐶= 26°，求∠𝐷𝐴𝐸的度数；
(2)已知∠𝐵> ∠𝐶，猜想∠𝐷𝐴𝐸与∠𝐵，∠𝐶之间的关系，并证明．
21．（10 分）把三角形纸片𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸折叠．
(1)如图①，当点A 落在四边形𝐵𝐶𝐷𝐸内部时，∠𝐴，∠1，∠2有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你
的结论．
(2)如图②，当点A 落在四边形𝐵𝐶𝐷𝐸外部时，∠𝐴，∠1，∠2有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你
的结论．
22．（10 分）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于𝐷，𝐴𝐹平分∠𝐶𝐴𝐵交𝐶𝐷于𝐸，交𝐵𝐶于F．
(1)如果∠𝐶𝐹𝐸= 70°，求∠𝐵的度数；
(2)试说明：∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐶𝐹𝐸．
23．（10 分）综合与探究
问题情境：
∠𝐷𝐶𝐴是△𝐴𝐵𝐶的一个外角，过点C 在射线𝐵𝐷的右侧作射线𝐶𝐸，使𝐶𝐸∥𝐵𝐴．
（1）如果𝐶𝐹平分∠𝐸𝐶𝐴,𝐵𝐹平分∠𝐶𝐵𝐴．
①如图1，若∠𝐴= 90°,∠𝐴𝐵𝐶= 30°，求∠𝐹的度数；
②如图2，若∠𝐵𝐶𝐴= 50°，则∠𝐹的度数为______°；
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深入探究：
（2）如图3，如果∠𝐴𝐵𝐹=
1
𝑛∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐸𝐶𝐹=
1
𝑛∠𝐸𝐶𝐴,∠𝐵𝐶𝐴= 𝛼，试用含n 和𝛼的式子表示∠𝐹（直接写出结
果）．
24．（10 分）△𝐴𝐵𝐶中，三个内角的平分线交于点𝑂，过点𝑂作𝑂𝐷⊥𝑂𝐵，交边𝐵𝐶于点𝐷．
(1)如图1，猜想∠𝐴𝑂𝐶与∠𝑂𝐷𝐶的关系，并说明你的理由；
(2)如图2，作∠𝐴𝐵𝐶外角∠𝐴𝐵𝐸的平分线交𝐶𝑂的延长线于点𝐹．
①求证：𝐵𝐹∥𝑂𝐷；
②若∠𝐹= 40°，求∠𝐵𝐴𝐶的度数．
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三角形全章自学检测卷（答案解析）
【人教版】
（考试时间：90 分钟 试卷满分：120 分）
考前须知：
1．本卷试题共24 题，单选10 题，填空6 题，解答8 题，满分120 分，限时90 分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10 小题，每小题3 分，共30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．（3 分）如图表示三角形的分类，关于P、Q 区域有甲、乙两种说法：甲：P 是锐角三角形；乙：Q 是等
边三角形，则对于这两种说法，正确的是（ ）
A．甲对
B．乙对
C．甲、乙均对
D．甲、乙均不对
【答案】B
【分析】主要考查三角形的分类．根据三角形按边分类，即可求解．
【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等
边三角形），
∴P 是等腰三角形；Q 是等边三角形，
∴只有乙说法正确，
故选：B．
2．（3 分）如图，借助直角三角板作△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】A
【分析】考查了三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
根据高线的定义即可得出答案．
【详解】解：∵从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，
∴借助直角三角板作△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高，直角三角板的位置摆放正确的是
，
故选：A．
3．（3 分）在长为2、3、4、5 的四根木条中，任选三根能组成三角形的选法有（ ）
A．1 种
B．2 种
C．3 种
D．4 种
【答案】C
【分析】考查了三角形的三边关系，先把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组
成三角形的组数．
【详解】解：四根木条的所有组合：2，3，4 和2，4，5 和3，4，5 和2，3，5；
根据三角形的三边关系，能组成三角形的有2，3，4 和2，4，5 和3，4，5．
故选：C．
4．（3 分）在下列条件：①∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶；②∠𝐴:∠𝐵:∠𝐶= 1:2:3；③∠𝐴= ∠𝐵= 2∠𝐶；④∠𝐴=
1
2∠𝐵=
1
3
∠𝐶；⑤∠𝐴= ∠𝐵=
1
2∠𝐶中，能确定△𝐴𝐵𝐶为直角三角形的条件有（ ）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【答案】B
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．
考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
【详解】解：①∵∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°
∴2∠𝐶= 180°，
∴∠𝐶= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
故本小题符合题意；
②∵∠𝐴:∠𝐵:∠𝐶= 1:2:3，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，
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∴最大角为∠𝐶=
3
1+2+3 × 180° = 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
故本小题符合题意；
③∵∠𝐴= ∠𝐵= 2∠𝐶，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，
∴2∠𝐶+ 2∠𝐶+ ∠𝐶= 180°，
∴∠𝐶= 36°，
∴∠𝐴= 72°，
∴△𝐴𝐵𝐶是锐角三角形，
故本小题不符合题意；
④∵∠𝐴=
1
2∠𝐵=
1
3∠𝐶，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，
∴最大角为∠𝐶=
3
1+2+3 × 180° = 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
故本小题符合题意；
⑤∵∠𝐴= ∠𝐵=
1
2∠𝐶，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，
∴最大角为∠𝐶=
2
1+2+1 × 180° = 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，
故本小题符合题意．
综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4 个．
故选：B．
5．（3 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐵= 10，𝐵𝐶= 6，𝐴𝐶= 8，点𝐷是线段𝐴𝐵上一点，则线段𝐶𝐷
的长度不可能是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【分析】考查垂线的性质，三角形面积，熟练掌握垂线段最短是解题的关键；
利用三角形面积关系求出𝐶𝐸的长度，利用垂线段最短即可求解；
【详解】解：如图，过C 作𝐶𝐸⊥𝐴𝐵交𝐴𝐵于点𝐸，
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∵ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴
1
2𝐴𝐵·𝐶𝐸=
1
2𝐴𝐶·𝐵𝐶，
∴
1
2 × 10·𝐶𝐸=
1
2 × 8 × 6，
𝐶𝐸=
24
5 ，
根据垂线段最短，可得𝐶𝐷≥𝐶𝐸，
线段𝐶𝐷的长度不可能是4；
故选：A．
6．（3 分）如图是𝐴，𝐵两片木片放在地面上的情形，若∠3 = 100°，则∠2−∠1等于（ ）
A．55°
B．80°
C．90°
D．100°
【答案】B
【分析】考查三角形外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求解．
【详解】解：如图，
∵ ∠3 = 100°，∠3 + ∠4 = 180°，
∴ ∠4 = 180°−∠3 = 80°，
∵ ∠1 + ∠4 = ∠2，
∴ ∠2−∠1 = ∠4 = 80°，
故选B．
7．（3 分）一副三角板按如图方式叠合在一起，𝐴𝐷与𝐵𝐸相交于点H，则∠𝐵𝐻𝐷的度数是（ ）
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A．75°
B．70°
C．65°
D．55°
【答案】A
【分析】主要考查了三角板中的角度计算，对顶角相等，以及直角三角形两锐角互余，由三角板可知
∠𝐸𝐴𝐵= 45°,∠𝐷𝐴𝐶= 30°，与角的和差可得出∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐵−∠𝐷𝐴𝐶= 15°，再根据对顶角相等以及直角三
角形两锐角互余∠𝐵𝐻𝐷= ∠𝐸𝐻𝐴= 90°−15° = 75°．
【详解】解：根据题意可知∠𝐸𝐴𝐵= 45°,∠𝐷𝐴𝐶= 30°，
则∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐵−∠𝐷𝐴𝐶= 15°，
∴∠𝐵𝐻𝐷= ∠𝐸𝐻𝐴= 90°−15° = 75°
故选∶A
8．（3 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 40°，∠𝐵𝐴𝐶= 60°，𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的高，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，交𝐴𝐵于点𝐸，
交𝐴𝐷于点𝐹，则∠𝐴𝐹𝐸的大小为（ ）
A．40°
B．45°
C．50°
D．55°
【答案】C
【分析】考查了三角形内角和定理，先求出∠𝐴𝐶𝐵的度数，再根据角平分线求出∠𝐵𝐶𝐸的度数，根据高线，
求出∠𝐶𝐹𝐷的度数，由此得出∠𝐴𝐹𝐸的大小．
【详解】解：∵∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°,∠𝐵𝐴𝐶= 60°,∠𝐵= 40°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−60°−40° = 80°，
∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐵𝐶𝐸=
1
2∠𝐴𝐶𝐵= 40°，
∵𝐴𝐷为边𝐵𝐶上的高，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐹𝐷= 90°−∠𝐵𝐶𝐸= 50°，
∴∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐶𝐹𝐷= 50°，
故选：C．
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9．（3 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶的平分线与△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐴𝐶𝐹的平分线交于点𝐺，△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐶𝐵𝐷
与∠𝐵𝐶𝐸的三等分线交于点𝐽，即∠𝐷𝐵𝐽= 2∠𝐶𝐵𝐽，∠𝐸𝐶𝐽= 2∠𝐽𝐶𝐵．若∠𝐽= 88°，则∠𝐺= （ ）
A．42°
B．45°
C．48°
D．51°
【答案】C
【分析】考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，根据三角形内角和定理求
出∠𝐶𝐵𝐽+ ∠𝐽𝐶𝐵= 92°，结合三等分线可求出∠𝐶𝐵𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐸= 276°，根据三角形外角的性质和三角形内角
和定理求出∠𝐴= 96°，根据三角形外角的性质求出∠𝐴𝐶𝐹−∠𝐴𝐶𝐵= 96°，根据角平分线定义和三角形外角的
性质可求出∠𝐺=
1
2∠𝐴𝐶𝐹−
1
2∠𝐴𝐶𝐵，即可求解．
【详解】解：∵∠𝐽= 88°，
∴∠𝐶𝐵𝐽+ ∠𝐽𝐶𝐵= 92°，
∵∠𝐷𝐵𝐽= 2∠𝐶𝐵𝐽，∠𝐸𝐶𝐽= 2∠𝐽𝐶𝐵，
∴∠𝐶𝐵𝐷= 3∠𝐶𝐵𝐽，∠𝐵𝐶𝐸= 3∠𝐵𝐶𝐽，
∴∠𝐶𝐵𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐸= 3∠𝐶𝐵𝐽+ 3∠𝐵𝐶𝐽= 276°，∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180°，
又∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶，
∠𝐶𝐵𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴= 180° + ∠𝐴，
∴180° + ∠𝐴= 276°，
∴∠𝐴= 96°，
又∠𝐴= ∠𝐴𝐶𝐹−∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐹−∠𝐴𝐶𝐵= 96°，
∵∠𝐴𝐵𝐶的平分线与△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐴𝐶𝐹的平分线交于点𝐺，
∴∠𝐺𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐺𝐶𝐹=
1
2∠𝐴𝐶𝐹，
又∠𝐺= ∠𝐺𝐶𝐹−∠𝐺𝐵𝐶，
∴∠𝐺=
1
2∠𝐴𝐶𝐹−
1
2∠𝐴𝐶𝐵= 48°，
故选：C．
10．（3 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐵= 6，𝐴𝐶= 8，𝐵𝐶= 10，𝐴𝐷是高，𝐵𝐸是中线，𝐶𝐹是角
平分线，𝐶𝐹交𝐴𝐷于点G，交𝐵𝐸于点H，给出以下结论：①𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐵𝐶𝐸；②∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐴𝐺𝐹；③
∠𝐹𝐴𝐺= 2∠𝐴𝐶𝐹；④𝐴𝐷= 2.4，以上说法正确的个数是（ ）
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；
根据三角形的中线和面积公式可确定△𝐴𝐵𝐸和△𝐵𝐶𝐸的面积关系以及求出𝐴𝐷的长度，从而可得答案．
【详解】解：∵𝐵𝐸 是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐸的面积等于△𝐵𝐶𝐸的面积，
故①正确；
∵∠𝐵𝐴𝐶= 90° ，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，
∴∠𝐴𝐹𝐺+ ∠𝐴𝐶𝐺= 90° ，∠𝐷𝐶𝐺+ ∠𝐷𝐺𝐶= 90°，
∵𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐴𝐶𝐺= ∠𝐷𝐶𝐺 ，
∴∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐷𝐺𝐶，
又∵∠𝐷𝐺𝐶= ∠𝐴𝐺𝐹 ，
∴∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐴𝐺𝐹 ，
故②正确；
∵∠𝐹𝐴𝐺+ ∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐷 = 90°，
∴∠𝐹𝐴𝐺= ∠𝐴𝐶𝐷 ，
∵∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐹+ ∠𝐷𝐶𝐹 = 2∠𝐴𝐶𝐹，
∴∠𝐹𝐴𝐺= 2∠𝐴𝐶𝐹
故③正确；
∵2𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶= 𝐵𝐶⋅𝐴𝐷，
∴𝐴𝐷=
𝐴𝐵⋅𝐴𝐶
𝐵𝐶
=
6×8
10 = 4.8 ，
故④错误；
故选：C
二、填空题（共18 分）
11．（3 分）已知三角形的两边长分别是3cm和7cm，如果第三边长为𝑥cm（x 是整数），则三角形周长最大
为
cm．
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【答案】19
【分析】考查了三角形的三边关系，求不等式组的整数解，根据题意得出𝑥的范围，进而根据𝑥是整数，求
得最大整数解，即可求解．
【详解】解：∵三角形的两边长分别是3cm和7cm，如果第三边长为𝑥cm
∴7−3 < 𝑥< 7 + 3
∴4 < 𝑥< 10
∵𝑥是整数，则最大整数为9，
∴三角形周长最大为为3 + 7 + 9 = 19 cm
故答案为：19．
12．（3 分）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为
．
【答案】三角形具有稳定性
【分析】考查三角形稳定性的实际应用．熟练掌握常见的三角形的稳定性在实际生活中的应用，如钢架桥、
房屋架梁等是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答．
【详解】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
13．（3 分）如图，已知∠𝐴= 60°,∠𝐵= 40°,∠𝐶= 30°，则∠𝐷+ ∠𝐸等于
．
【答案】50°/50 度
【分析】此题考查了三角形内角和定理．连接𝐵𝐶．设𝐷𝐶与𝐵𝐸交于点𝐹，由三角形内角定理求出
∠1 + ∠2 = 50°．再由三角形内角和定理和对顶角相等即可求出∠𝐷+ ∠𝐸= ∠1 + ∠2 = 50°．
【详解】解：如图，连接𝐵𝐶．设𝐷𝐶与𝐵𝐸交于点𝐹，
∵∠𝐴= 60°,∠𝐴𝐵𝐸= 40°,∠𝐴𝐶𝐷= 30°，
∴∠1 + ∠2 = 180°−∠𝐴−∠𝐴𝐵𝐸−∠𝐴𝐶𝐷= 180°−60°−40°−30° = 50°，
∵∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐷𝐹𝐸= 180°，∠1 + ∠2 + ∠𝐵𝐹𝐶= 180°，∠𝐵𝐹𝐶= ∠𝐷𝐹𝐸，
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∴∠𝐷+ ∠𝐸= ∠1 + ∠2 = 50°，
故答案为：50°．
14．（3 分）定义：如果一个三角形有两个内角的差为90°，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．若△𝐴𝐵𝐶
是“准直角三角形”，且∠𝐴= 40°，∠𝐶> 90°，则∠𝐵的度数为
．
【答案】10°或25°
【分析】考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．根据新定义，分类讨论，∠𝐶−∠𝐴= 90°或
∠𝐶−∠𝐵= 90°，根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶是“准直角三角形”，
∴∠𝐶−∠𝐴= 90°或∠𝐶−∠𝐵= 90°，
当∠𝐶−∠𝐴= 90°，
而∠𝐴= 40°，
∴∠𝐶= 90° + 40° = 130°，
∵∠𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐴= 180°，
∴∠𝐵= 180°−130°−40° = 10°，
当∠𝐶−∠𝐵= 90°，
∵∠𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐴= 180°，
∴∠𝐶+ ∠𝐵= 180°−40° = 140°，
∴2∠𝐵= 50°，
解得∠𝐵= 25°，
综上所述，∠𝐵的度数为10°或25°．
故答案为：10°或25°．
15．（3 分）如图，𝐷，𝐸，𝐹分别是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐴𝐶的中点，连接𝐴𝐸，𝐵𝐹，𝐶𝐷交于点𝐺，△𝐴𝐵𝐶
的面积为6，设△𝐵𝐷𝐺的面积为𝑆1，△𝐶𝐺𝐹的面积为𝑆2，则𝑆1 + 𝑆2 =
．
【答案】2
【分析】考查了三角形中线的性质，解题的关键是利用三角形中线性质找出各部分三角形面积之间的关系．
利用三角形中线平分面积性质，得出𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐵𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐹= 𝑆△𝐵𝐶𝐹= 3 ．根据中点及等底等高三角形面
积相等，得到𝑆△𝐴𝐷𝐺= 𝑆△𝐵𝐷𝐺= 𝑆1，𝑆△𝐶𝐹𝐺= 𝑆△𝐴𝐹𝐺= 𝑆2 ．分别表示出𝑆△𝐴𝐵𝐹= 2𝑆1 + 𝑆2，𝑆△𝐴𝐶𝐷= 2𝑆2 +
𝑆1 ，将二者相加构建关于𝑆1 + 𝑆2的等式并求解．
【详解】∵𝐷，𝐹分别是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵，𝐴𝐶的中点，△𝐴𝐵𝐶的面积为6，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2𝑆△𝐴𝐵𝐶= 3，𝑆△𝐴𝐵𝐹= 𝑆△𝐵𝐶𝐹=
1
2𝑆△𝐴𝐵𝐶= 3．
预习讲义 第十一章 三角形全章自学检测卷（解析版）
第 16 页 共 24 页
∵𝐹是𝐴𝐶中点，𝐷是𝐴𝐵中点，△𝐵𝐷𝐺的面积为𝑆1，△𝐶𝐺𝐹的面积为𝑆2，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐺= 𝑆△𝐵𝐷𝐺= 𝑆1，𝑆△𝐶𝐹𝐺= 𝑆△𝐴𝐹𝐺= 𝑆2
∴𝑆△𝐴𝐵𝐹= 𝑆△𝐴𝐷𝐺+ 𝑆△𝐵𝐷𝐺+ 𝑆△𝐴𝐹𝐺= 2𝑆1 + 𝑆2 = 3
𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐺𝐹+ 𝑆△𝐶𝐺𝐹+ 𝑆△𝐴𝐷𝐺= 2𝑆2 + 𝑆1 ．
∴𝑆△𝐴𝐵𝐹+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 2𝑆2 + 𝑆1 +2𝑆1 + 𝑆2 = 3 + 3，即3(𝑆1 + 𝑆2) = 6，
解得𝑆1 + 𝑆2 = 2．
故答案为：2．
16．（3 分）如图，A，B 两点都在直线𝑀𝑁的上方，𝐴𝐵= 5，点A 到直线𝑀𝑁的距离𝐴𝐶= 8，点B 到直线𝑀𝑁
的距离𝐵𝐷= 5，点P 在直线𝑀𝑁上运动，则|𝑃𝐴−𝑃𝐵|的最大值等于
．
【答案】5
【分析】考查三角形三边关系的应用，正确作出辅助线，并理解当点P 运动到𝑃′点时，|𝑃𝐴−𝑃𝐵|最大，即为
𝐴𝐵的长是解题关键．延长𝐴𝐵交𝑀𝑁于点𝑃′，由题意可知𝑃′𝐴−𝑃′𝐵= 𝐴𝐵≥|𝑃𝐴−𝑃𝐵|，即说明当点P 运动到𝑃′
点时，|𝑃𝐴−𝑃𝐵|最大，即为𝐴𝐵的长．
【详解】解：如图，延长𝐴𝐵交𝑀𝑁于点𝑃′，
∵𝑃′𝐴−𝑃′𝐵= 𝐴𝐵，𝐴𝐵≥|𝑃𝐴−𝑃𝐵|，
∴当点P 运动到𝑃′点时，|𝑃𝐴−𝑃𝐵|最大，即为𝐴𝐵的长．
∵𝐴𝐵= 5，
∴|𝑃𝐴−𝑃𝐵|的最大值等于5．
故答案为：5．
三、解答题（共72 分）
17．（8 分）已知𝑎,𝑏,𝑐是三角形的三边长．
(1)化简：|𝑎−𝑏−𝑐| +3|𝑎+ 𝑐−𝑏|；
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第 17 页 共 24 页
(2)𝑎,𝑏满足|𝑎−7| + (𝑏−2)2 = 0，且三角形的周长是16，判断此三角形的形状，并说明理由．
【答案】(1)2𝑎−2𝑏+ 4𝑐
(2)此三角形是等腰三角形，详见解析
【分析】考查了三角形三边关系定理，化简绝对值及绝对值的非负性，熟练掌握三角形三边关系定理是解
题的关键．
（1）根据三角形三边关系定理可得𝑎−𝑏−𝑐< 0，𝑎+ 𝑐−𝑏> 0，再去绝对值符号即可；
（2）根据|𝑎−7| + (𝑏−2)2 = 0及三角形的周长是16 求得a，b，c 的值即可判断三角形的形状．
【详解】（1）解：∵𝑎,𝑏,𝑐是三角形的三边长，
∴𝑏+ 𝑐> 𝑎,𝑎+ 𝑐> 𝑏．
∴𝑎−𝑏−𝑐< 0，𝑎+ 𝑐−𝑏> 0．
∴|𝑎−𝑏−𝑐| + 3|𝑎+ 𝑐−𝑏|
= (𝑏+ 𝑐−𝑎) + 3(𝑎+ 𝑐−𝑏)
= 𝑏+ 𝑐−𝑎+ 3𝑎+ 3𝑐−3𝑏
= 2𝑎−2𝑏+ 4𝑐．
（2）此三角形是等腰三角形．
理由如下：
∵|𝑎−7| + (𝑏−2)2 = 0，
∴𝑎−7 = 0,𝑏−2 = 0．
∴𝑎= 7,𝑏= 2．
∵三角形的周长是16，
∴𝑐= 16−7−2 = 7．
∴𝑎= 𝑐．
∴此三角形是等腰三角形．
18．（8 分）如图，四边形ABCD 是任意四边形，AC 与BD 相交于点O．试说明：𝐴𝐶+ 𝐵𝐷>
1
2
(𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐷𝐴)．
【答案】见解析
【详解】解：因为在△OAB 中，𝑂𝐴+ 𝑂𝐵> 𝐴𝐵，在△OAD 中，𝑂𝐴+ 𝑂𝐷> 𝐷𝐴，
在△ODC 中，𝑂𝐷+ 𝑂𝐶> 𝐶𝐷，在△OBC 中，𝑂𝐵+ 𝑂𝐶> 𝐵𝐶，
所以𝑂𝐴+ 𝑂𝐵+ 𝑂𝐴+ 𝑂𝐷+ 𝑂𝐷+ 𝑂𝐶+ 𝑂𝐵+ 𝑂𝐶> 𝐴𝐵+ 𝐷𝐴+ 𝐶𝐷+ 𝐵𝐶，
即2(𝐴𝐶+ 𝐵𝐷) > 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐷𝐴，所以𝐴𝐶+ 𝐵𝐷>
1
2(𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐷𝐴)．
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第 18 页 共 24 页
19．（8 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，中线𝐴𝐷将这个三角形的周长分成15 和12 两部分，求这个三
角形三边的长．
【答案】这个三角形的三边的长分别为：10、10、7 或8、8、11
【分析】考查了三角形中线的性质及三角形三边关系，𝐵𝐷= 𝑥，𝐴𝐶= 𝑦，根据中线的性质可得𝐵𝐷= 𝐷𝐶，分
类讨论：当𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 15，即3𝑥= 15时，当𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 12即3𝑥= 12时，根据题意列式计算，再利用三角
形三边关系检验即可求解，掌握三角形三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：∵𝐴𝐷为中线，
∴𝐵𝐷= 𝐷𝐶，
∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶，
∴𝐴𝐵= 2𝐵𝐷= 2𝐷𝐶，
设𝐵𝐷= 𝑥，𝐴𝐶= 𝑦，
当𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 15，即3𝑥= 15时，则𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 12，即𝑥+ 𝑦= 12，
∴𝑥= 5时，𝑦= 7；
当𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 12即3𝑥= 12时，则𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 15，即𝑥+ 𝑦= 15．
∴𝑥= 4时，𝑦= 11．
∴𝐴𝐵= 10，𝐵𝐶= 10，𝐴𝐶= 7；或𝐴𝐵= 8，𝐵𝐶= 8，𝐴𝐶= 11．
10 + 7 = 17 > 10，10−7 = 3 < 10，则能构成三角形；
8 + 8 = 16 > 11，11−8 = 3 < 8，则能构成三角形；
所以这个三角形的三边的长分别为：10、10、7 或8、8、11．
20．（8 分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为D，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶．
(1)已知∠𝐵= 74°，∠𝐶= 26°，求∠𝐷𝐴𝐸的度数；
(2)已知∠𝐵> ∠𝐶，猜想∠𝐷𝐴𝐸与∠𝐵，∠𝐶之间的关系，并证明．
【答案】(1)∠𝐷𝐴𝐸= 24°；
(2)∠𝐷𝐴𝐸=
1
2(∠𝐵−∠𝐶)，见解析
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【分析】考查角平分线的定义，三角形内角和定理，垂直的定义．
（1）根据三角形内角和定理，角平分线的定义以及垂直的定义进行计算即可；
（2）根据三角形内角和定理，角平分线的定义以及垂直的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：∵∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，∠𝐵= 74°，∠𝐶= 26°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−74°−26° = 80°，
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶．
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 40°，
又∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∵∠𝐶= 26°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 90°−26° = 64°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= 64°−40° = 24°；
（2）解：∠𝐷𝐴𝐸=
1
2(∠𝐵−∠𝐶)，理由如下，
∵∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐶，
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶．
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 90°−
1
2(∠𝐵+ ∠𝐶)，
又∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 90°−∠𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝐸= 90°−
1
2(∠𝐵+ ∠𝐶)−(90°−∠𝐶) =
1
2(∠𝐵−∠𝐶)．
21．（10 分）把三角形纸片𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸折叠．
(1)如图①，当点A 落在四边形𝐵𝐶𝐷𝐸内部时，∠𝐴，∠1，∠2有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你
的结论．
(2)如图②，当点A 落在四边形𝐵𝐶𝐷𝐸外部时，∠𝐴，∠1，∠2有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你
的结论．
【答案】(1)∠𝐴=
1
2(∠1 + ∠2)，证明见解析
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(2)∠𝐴=
1
2(∠1−∠2)，证明见解析
【分析】主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键．
（1）根据翻折的性质以及平角的定义表示出∠3、∠4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出∠3、∠4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】（1）解：∠𝐴=
1
2(∠1 + ∠2)，理由如下：
如图，
根据翻折以及平角的意义可得，∠3 = ∠𝐴𝐸𝐷=
1
2(180°−∠1)，∠4 = ∠𝐴𝐷𝐸=
1
2(180°−∠2)，
∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸= 180°，
∴∠𝐴+
1
2(180°−∠1) +
1
2(180°−∠2) = 180°，
整理得，∠𝐴=
1
2(∠1 + ∠2)；
（2）解：∠𝐴=
1
2(∠1−∠2)，理由如下：
如图：
根据翻折以及平角的意义可得，∠3 =
1
2(180°−∠1)，∠4 = ∠𝐴𝐷𝐸=
1
2(180° + ∠2)，
∵∠𝐴+ ∠3 + ∠𝐴𝐷𝐸= 180°，
∴∠𝐴+
1
2(180°−∠1) +
1
2(180° + ∠2) = 180°，
整理得，∠𝐴=
1
2(∠1−∠2)．
22．（10 分）如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于𝐷，𝐴𝐹平分∠𝐶𝐴𝐵交𝐶𝐷于𝐸，交𝐵𝐶于F．
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(1)如果∠𝐶𝐹𝐸= 70°，求∠𝐵的度数；
(2)试说明：∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐶𝐹𝐸．
【答案】(1)50°
(2)见解析
【分析】考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性质是
解题的关键．
（1）根据三角形内角和 可得∠𝐶𝐴𝐹的度数，根据角平分线的定义可得∠𝐶𝐴𝐵的度数，根据直角三角形的性
质可得∠𝐵的度数；
（2）根据直角三角形的两锐角互余可得∠𝐶𝐴𝐹+ ∠𝐶𝐹𝐸= 90°，∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷= 90°，根据角平分线的定义
可得∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐸，从而可得∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷，即可得证．
【详解】（1）解：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐶𝐹𝐸= 70°，
∴∠𝐶𝐴𝐹= 180°−90°−70° = 20°，
∵𝐴𝐹平分∠𝐶𝐴𝐵交𝐶𝐷于𝐸，
∴∠𝐶𝐴𝐵= 2∠𝐶𝐴𝐹= 40°，
∴∠𝐵= 90°−40° = 50°；
（2）证明：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐹+ ∠𝐶𝐹𝐸= 90°，
∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐸= 90°，
∴∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷= 90°，
∵𝐴𝐹平分∠𝐶𝐴𝐵交𝐶𝐷于𝐸，
∴∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷，
∵∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶𝐸𝐹，
∴∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐶𝐹𝐸．
23．（10 分）综合与探究
问题情境：
∠𝐷𝐶𝐴是△𝐴𝐵𝐶的一个外角，过点C 在射线𝐵𝐷的右侧作射线𝐶𝐸，使𝐶𝐸∥𝐵𝐴．
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（1）如果𝐶𝐹平分∠𝐸𝐶𝐴,𝐵𝐹平分∠𝐶𝐵𝐴．
①如图1，若∠𝐴= 90°,∠𝐴𝐵𝐶= 30°，求∠𝐹的度数；
②如图2，若∠𝐵𝐶𝐴= 50°，则∠𝐹的度数为______°；
深入探究：
（2）如图3，如果∠𝐴𝐵𝐹=
1
𝑛∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐸𝐶𝐹=
1
𝑛∠𝐸𝐶𝐴,∠𝐵𝐶𝐴= 𝛼，试用含n 和𝛼的式子表示∠𝐹（直接写出结
果）．
【答案】（1）①60°；②65；（2）∠𝐹=
180°−𝛼
𝑛
．
【分析】考查了三角形内角和外角，角平分线的定义，平行的性质．
（1）①先由三角形内角和定理得∠𝐵𝐶𝐴= 60°，再由平行的性质得∠𝐸𝐶𝐴= ∠𝐴= 90°，再由角平分线的性质
得∠𝐶𝐵𝐹=
1
2∠𝐴𝐵𝐶= 15°，∠𝐴𝐶𝐹=
1
2∠𝐸𝐶𝐴= 45°，最后由三角形内角和定理可得结论；
②先由平行的性质得∠𝐸𝐶𝐴= ∠𝐴，再由角平分线的性质得∠𝐶𝐵𝐹=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐹=
1
2∠𝐸𝐶𝐴=
1
2∠𝐴，再由外
角的性质得∠𝐷𝐶𝐴= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴= 130°，再推出∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐶𝐹=
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴) +50° = 115°，再由三角形
内角和定理可求得∠𝐹的度数；
（2）同（1）②中的方法，先由平行的性质得∠𝐸𝐶𝐴= ∠𝐴，再由∠𝐴𝐵𝐹=
1
𝑛∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐸𝐶𝐹=
1
𝑛∠𝐸𝐶𝐴得
∠𝐶𝐵𝐹=
𝑛−1
𝑛∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐹=
𝑛−1
𝑛∠𝐸𝐶𝐴=
𝑛−1
𝑛∠𝐴，再由外角的性质得∠𝐷𝐶𝐴= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴= 180°−𝛼，再推出
∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐶𝐹=
𝑛−1
𝑛(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴) +𝛼= 180°−
180°−𝛼
𝑛
，再由三角形内角和定理可求得∠𝐹的度数．
【详解】解：（1）①∵∠𝐴= 90°,∠𝐴𝐵𝐶= 30°，
∴∠𝐵𝐶𝐴= 60°，
∵𝐶𝐸∥𝐵𝐴，
∴∠𝐸𝐶𝐴= ∠𝐴= 90°，
∵𝐶𝐹平分∠𝐸𝐶𝐴，𝐵𝐹平分∠𝐶𝐵𝐴，
∴∠𝐶𝐵𝐹=
1
2∠𝐴𝐵𝐶= 15°，∠𝐴𝐶𝐹=
1
2∠𝐸𝐶𝐴= 45°，
∴∠𝐵𝐶𝐹= ∠𝐵𝐶𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐹= 60° + 45° = 105°，
∴∠𝐹= 180°−∠𝐶𝐵𝐹−∠𝐵𝐶𝐹= 180°−15°−105° = 60°；
②∵𝐶𝐸∥𝐵𝐴，
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∴∠𝐸𝐶𝐴= ∠𝐴，
∵𝐶𝐹平分∠𝐸𝐶𝐴，𝐵𝐹平分∠𝐶𝐵𝐴，
∴∠𝐶𝐵𝐹=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐹=
1
2∠𝐸𝐶𝐴=
1
2∠𝐴，
∵∠𝐷𝐶𝐴是△𝐴𝐵𝐶的一个外角，∠𝐵𝐶𝐴= 50°，
∴∠𝐷𝐶𝐴= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴= 180°−∠𝐵𝐶𝐴= 130°，
∴∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐶𝐹= ∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐶𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐹=
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴) +50° = 115°，
∴∠𝐹= 180°−(∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐶𝐹) = 65°，
故答案为：65；
（2）∵𝐶𝐸∥𝐵𝐴，
∴∠𝐸𝐶𝐴= ∠𝐴，
∵∠𝐴𝐵𝐹=
1
𝑛∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐸𝐶𝐹=
1
𝑛∠𝐸𝐶𝐴，
∴∠𝐶𝐵𝐹=
𝑛−1
𝑛∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐹=
𝑛−1
𝑛∠𝐸𝐶𝐴=
𝑛−1
𝑛∠𝐴，
∵∠𝐷𝐶𝐴是△𝐴𝐵𝐶的一个外角，∠𝐵𝐶𝐴= 𝛼，
∴∠𝐷𝐶𝐴= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴= 180°−∠𝐵𝐶𝐴= 180°−𝛼，
∴∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐶𝐹
= ∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐶𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐹
= 𝑛−1
𝑛
(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴) + 𝛼
= 𝑛−1
𝑛
(180°−𝛼) + 𝛼
= 180°−
180°−𝛼
𝑛
，
∴∠𝐹= 180°−(∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐶𝐹) =
180°−𝛼
𝑛
．
24．（10 分）△𝐴𝐵𝐶中，三个内角的平分线交于点𝑂，过点𝑂作𝑂𝐷⊥𝑂𝐵，交边𝐵𝐶于点𝐷．
(1)如图1，猜想∠𝐴𝑂𝐶与∠𝑂𝐷𝐶的关系，并说明你的理由；
(2)如图2，作∠𝐴𝐵𝐶外角∠𝐴𝐵𝐸的平分线交𝐶𝑂的延长线于点𝐹．
①求证：𝐵𝐹∥𝑂𝐷；
②若∠𝐹= 40°，求∠𝐵𝐴𝐶的度数．
【答案】(1)∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝑂𝐷𝐶．理由见解析
(2)①见解析；②∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐹= 80°．
【分析】考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌
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握三角形的外角的性质是解题的关键．
（1）利用角平分线的定义和三角形的内角和定理，结合三角形的外角性质得到∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝑂𝐷𝐶= 90°即可；
（2）①利用角平分线的定义和平角定义求得∠𝐹𝐵𝑂= 90°，据此求解即可；
②由角平分线的性质得到∠𝐹𝐵𝐸=
1
2(∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)，∠𝐹𝐶𝐵=
1
2𝐴𝐶𝐵，根据三角形的外角的性质即可得到结
论．
【详解】（1）解：∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝑂𝐷𝐶．理由为：
∵△𝐴𝐵𝐶中，三个内角的平分线交于点𝑂，
∴∠𝑂𝐴𝐶=
1
2∠𝐵𝐴𝐶，∠𝑂𝐶𝐴=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，∠𝑂𝐵𝐴= ∠𝑂𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝑂𝐶= 180°−(∠𝑂𝐴𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐴) = 180°−
1
2(∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 180°−
1
2(180∘−∠𝐴𝐵𝐶) = 90∘+
1
2∠𝐴𝐵𝐶，
∵𝑂𝐷⊥𝑂𝐵，
∴∠𝐵𝑂𝐷= 90∘，
∴∠𝑂𝐷𝐶= 90∘+∠𝑂𝐵𝐶= 90∘+
1
2∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝑂𝐷𝐶；
（2）①证明：∵𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐸，𝐵𝑂平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐹=
1
2∠𝐴𝐵𝐸，∠𝐴𝐵𝑂=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐹𝐵𝑂= ∠𝐴𝐵𝐹+ ∠𝐴𝐵𝑂=
1
2(∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐶) = 90°，
∴𝐵𝐹⊥𝐵𝑂，
∵𝑂𝐷⊥𝑂𝐵，
∴𝐵𝐹∥𝑂𝐷；
解：②∵𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐸，
∴∠𝐹𝐵𝐸=
1
2∠𝐴𝐵𝐸=
1
2(∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)，
∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠𝐹𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∵∠𝐹= ∠𝐹𝐵𝐸−∠𝐵𝐶𝐹=
1
2(∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)−
1
2∠𝐴𝐶𝐵=
1
2∠𝐵𝐴𝐶，
∵∠𝐹= 40°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐹= 80°．
