文档文本内容
第01 讲探索勾股定理
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 以直角三角形三边为边长的图形面积
题型2 已知直角三角形的两边，求第三边长
题型3 等面积法求斜边上的高问题
题型4 勾股定理与网格问题
题型5 勾股定理与折叠问题
题型6 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
题型7 利用勾股定理证明线段平方关系
题型8 勾股定理的验证方法
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
勾股定理
勾股定理验证
1.经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意
识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简
单推理的意识及能力。
3.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动发展学生的探
究意识和合作交流的习惯
4.掌握勾股定理和它的简单应用。
学习重点
（1）了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题；
（2）能熟练应用拼图法证明勾股定理。
学习难点
（1）勾股定理的发现；
（2）用面积证勾股定理。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如图：直角三角形ABC 的两直角边长分别为a
b
，，斜边长为c ，那么
2
2
2
a
b
c
.
注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就
将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
2
2
2
a
c
b
，
2
2
2
b
c
a
，
2
2
2
c
a
b
ab
.
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.利用勾股定理，作出长为
n 的线段
【方法总结】
1. 面积法证定理：通过拼图或割补图形，利用面积相等关系验证勾股定理。
2. 代数法求边长：已知直角三角形两边，利用公式a2+b2=c2 列方程求第三边。
3. 逆定理由边判形：若三角形三边满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形（用于判定垂直）。
即时即练1．如图，Rt
ABC
△
中，
90
ACB
．以Rt
ABC
△
的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为
1
2
3
S
S
S
，，
，若
1
2
3
40
S
S
S
，则
1S 的值为（
）
A．18
B．20
C．22
D．25
2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，
3
AB ，
5
AC
，将
ABC
折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，
(1)求CE 的长；
(2)求点B 到斜边AC 的距离；
知识点02
勾股定理验证
（1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中
，所以
.
（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中
，所以
.
（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以
.
【方法总结】
拼图割补：通过不同图形的面积相等验证，如赵爽弦图、毕达哥拉斯图、总统证法。核心是用两种方法表
示同一图形面积，得到a2+b2=c2。
即时即练【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1 所示图形，其中四边形ABED 和四边形
CFGH 都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c 之间的一个重要结论：
2
2
2
a
b
c
．
【深入思考】
如图2，在△ABC 中，
90
C
，BC
a
，AC
b
，AB
c
，以AB 为直角边在AB 的右侧作等腰直角
ABD
△
，
其中AB
BD
，∠ABD=90°，过点D 作DE
CB
，垂足为点E．
（1）求证：DE
a
，BE
b
；
（2）请你用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：
2
2
2
a
b
c
；
【实际应用】
（3）将图1 中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3 所示的“数学风车”，
若
12
a
，
9
b
，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
题型1 以直角三角形三边为边长的图形面积
【例1】现有四块正方形纸片，其面积分别是4，6，8，10，从中选取三块按图所示的方式组成图案．若要
使所围成的三角形是直角三角形，则要选取的三块纸片的面积分别是_____．
【例2】如图，
90 ,
3
ACB
AB
，以Rt
ABC
△
的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影
部分的面积为__________．
【技巧归纳】
以直角三角形三边为边长向外作相似图形（如正方形、半圆、正多边形），则两条直角边上的图形面积之
和等于斜边上的图形面积。核心技巧：抓住“相似”关系，直接应用勾股定理的推广，无需单独计算。
【变式1-1】如图，直角三角形ABC 两直角边长分别为5 和12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则图
中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为________．
【变式1-2】如图，
90 ,
3,
4
ACB
AC
BC
，以Rt ABC
的三边为边向外分别作正方形．然后以两个小
正方形的边向外分别作两直角边之比为3: 4 的直角三角形，再以得到的直角三角形的两直角边为边向外作正
方形，则图中所有的正方形的面积之和为____________．
题型2 已知直角三角形的两边，求第三边长
【例3】直角三角形斜边长13，一直角边长5，另一直角边长为____．
【例4】一个直角三角形的两条直角边分别为6 和8 ，则斜边的长为__________．
【技巧归纳】
1. 明确斜边：若已知两边为直角边，第三边为斜边，用c = �2 + �2。
2. 识别斜边：若已知一边为斜边，另一边为直角边，则另一直角边用a = �2 −�2 。
3. 注意：斜边总是最长边。
【变式2-1】如图，在
ABC
中，
90
BAC
，AD
BC
于D ，
4
DC
，
9
BC
，则AC 为___．
【变式2-2】如图，当笔记本电脑的张角为
BAF
时，顶部边缘B 处离桌面的高度
7cm
BC
，此时底部边
缘A 处与C 处之间的距离AC 为24cm ，则电脑屏幕的宽AB 为_____________cm．
题型3 等面积法求斜边上的高问题
【例5】若直角三角形的斜边长为25cm，一条直角边长为20cm ，则斜边上的高为______cm．
【例6】在Rt
ABC
△
中，
90
C
，CD是斜边AB 上的高，
6
AC
，
8
BC ，则AD 的长为______．
【技巧归纳】
公式：a×b = c×h，即两直角边乘积等于斜边乘以斜边上的高。
步骤：1. 先用勾股定理求出斜边c；2. 代入公式h =
��
�即得。
【变式3-1】在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，若
5cm
12cm
AC
BC
，
，则Rt
ABC
△
斜边上的高CD的长为
__________．
【变式3-2】在
ABC
中，
15
AB
，
13
AC
，BC 边上的高为12，则
ABC
的周长为______．
题型4 勾股定理与网格问题
【例7】如图所示的网格是正方形网格，则
ABC
°（点A，B，C 是网格线交点）．
【例8】在2 2
的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C 都在格点上，则BC 边上的高为
．
【技巧归纳】
1. 构造直角三角形：在网格中，以格点连线为斜边，沿网格线作直角边。
2. 计算边长平方：直角边长取水平、竖直格数，其平方和即为斜边平方。
3. 无需开方：比较长度或面积时，直接用平方值判断。
【变式4-1】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点
, ,
,
A B C E 均在小正方形的顶点上．以点A 为圆心，
AB 长为半径画弧，圆弧交CE 于点D ，则ED 的长为
．
【变式4-2】在边长为1 的正方形网格中，A
B
C
D
E
、、、、
均为格点，
(1) AE ___________，AC ___________
(2)求
ACE
△
中边AE 上的高h
题型5 勾股定理与折叠问题
【例9】如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，
4
AC
，
3
BC ，点D 为边AC 上一动点，DE
AB
交AB
于点E ，将
A
沿直线DE 折叠，点A 的对应点为F ，当
DFC
△
是直角三角形时，AD 的长为_____．
【例10】如图，小明用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，长BC 为10cm ．当小
明折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．则此时
AEF
△
的面积为
2
cm ．
【技巧归纳】
1. 找相等线段：折叠前后对应边相等、对应角相等。
2. 设未知数：将所求线段设为x，用x 表示相关边长。
3. 构直角三角形：在折叠形成的直角三角形中，用勾股定理列方程求解。
【变式5-1】如图，三角形纸片ABC ，
90
C
，将纸片沿过点C 的直线折叠，使点A 落在边AB 上点D
处，再折叠纸片使点B 与点D 重合，折痕交BC 于点E．若
2
AC
，
4
BC
，则CE 的长为
．
【变式5-2】在四边形ABCD 中，
90 ,
10,
8
DAB
B
C
D
AB
CD
BC
AD
．
(1)若P 为边BC 上一点，如图①将ABP
沿直线AP 翻折至
AEP
△
的位置，当点B 落在CD 边上点E 处时，
求PB的长；
(2)如图②，点Q 为射线DC 上的一个动点，将
ADQ
△
沿AQ 翻折，点D 恰好落在直线BQ 上的点D¢处，求
DQ 的长．
题型6 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
【例11】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，对角线AC
BD
，
交于点O，若
3
AD
，
8
BC ，则
2
2
AB
CD
．
【例12】Rt
ABC
△
中，斜边
1
AB ，则
2
2
2
AB
BC
AC
的值是
．
【技巧归纳】
1. 构造直角三角形：以两线段为直角边，则平方和为斜边平方。
2. 求平方差：分别以两线段为斜边和直角边，另一直角边的平方即为平方差。
3. 借助网格或坐标：将线段放入网格或坐标系中计算。
【变式6-1】如图，四边形ABCD 的对角线AC
BD
，相交于点O．若
3
6
AB
CD
，则
2
2
AD
BC
．
【变式6-2】如图，等腰直角
AOB
，等腰直角
COD
△
，
90 ,
3,
4
AOB
COD
AO
CO
，连接
,
AD BC
相交于点M，则
2
2
AC
BD
．
题型7 利用勾股定理证明线段平方关系
【例13】如图，
ABC
和CDE
都是等腰直角三角形，
90
ACB
ECD
，D 为AB 边上一点，
求证：
(1) ACE
BCD
≌
；
(2)
2
2
2
AD
AE
DE
．
【例14】如图，在
ABC
中，AD
BC
．
(1)求证：
2
2
2
2
AB
AC
BD
CD
-
=
-
；
(2)当
8
AB
，
6
BC
，
2 13
AC
时，求AD 的值．
【技巧归纳】
1. 找直角三角形：将待证线段转化为某直角三角形的边。
2. 转移平方项：若线段不在同一直角三角形中，通过全等、相似、垂直等构造等量代换。
3. 加减勾股式：对多个等式相加或相减，消去中间项得结论。
【变式7-1】如图，已知
ABC
与CDE
都是等腰直角三角形，其中
90
ACB
DCE
，D 为AB 边上一
点．
(1)试判断AD 与BE 的大小关系，并说明理由；
(2)试说明
2
2
2
,
,
AD
BD
DE 三者之间的关系．
【变式7-2】如图，在Rt
ABC
△
中，已知
90
A
，D 是斜边BC 的中点，DE
BC
交AB 于点E，连接
.
CE
(1)求证：
2
2
2
BE
AE
AC
；
(2)若
6
AC
，
5
BD
，求
ACE
△
的周长.
题型8 勾股定理的验证方法
【例15】如图1 是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a 和b ，斜边长为c ，图2
是以c 为直角边的等腰直角三角形，用图1 和图2 可拼成图3 的图形．
(1)请指出图3 是什么图形，并用它证明勾股定理；
(2)请用若干个图1 中的直角三角形拼成一个能证明勾股定理的图形（画出图形，不用证明）．
【例16】如图，将一个长为a，宽为b 的长方形纸片（如图Ⅰ，a
b
）剪成2 个完全相同的直角三角形纸片
（如图Ⅱ）后，斜边记为c，并摆成图Ⅲ．两个直角三角形纸片分别记为
ABC
和DEB
，点D 在边BC 上，
DE 与AB 交于点F，连接AD 和AE ．
(1)写出AB 与DE 的位置关系及理由；
(2)利用图Ⅲ，验证
2
2
2
a
b
c
．
【技巧归纳】
1. 面积割补：用四个全等直角三角形拼成正方形，通过大正方形面积减小正方形面积等于四个三角形面积，
导出a2 + b2= c2。
2. 总统证法：梯形面积等于三个直角三角形面积和，化简得勾股定理。
核心：利用等积变换。
【变式8-1】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周
髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦
图”（如图2），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)如图1，以直角三角形的三边为边分别向外部作正方形，已知
1
15
S
，
2
21
S
，求
3
S 的值；
(2)请根据图2 中的“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；
(3)如图3，以直角三角形的三边为直径分别向外部作半圆，已知
1
6
S
，
2
13
S
，求
3
S 的值．
【变式8-2】【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1 是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用
它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于
2c ，另一种是等于四个直角三角形
与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，小正方形的边长为b
a
，即
2
1
4
2 ab
b
a
，从而得到等式
2
2
1
4
2
c
ab
b
a
，化简便得结论
2
2
2
a
b
c
．这里用两种求法来表示
同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】
(1)将两个全等的直角三角形按照图2 所示摆放（
ABC
CDE
△
≌△
，
90
B
D
），使BC 和CD在一条
直线上，连接AE ．请用a ，b ，c 分别表示出梯形ABDE ，
ABC
，CDE
，
ACE
△
的面积，再探究这四
个图形面积之间的关系，证明：
2
2
2
a
b
c
．
【方法迁移】
(2)如图3，在
ABC
中，AD 是BC 边上的高，
6
AB
，
7
AC
，
8
BC ，设CD
x
，求x 的值．
1．Rt
ABC
△
中，
90
C
，
6
AC
，
8
BC ，则AB （
）
A．10
B．14
C．12
D．5
2．在直角三角形ABC 中，斜边
1
AB ，则
2
2
AC
BC
的值是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．如图，Rt
ABC
△
的两边往外作的正方形，其面积分别为
1S ，
2S ，若
1 100
S
，
2
36
S
，则BC 边长为（
）
A．8
B．64
C．7
D．49
4．如图是一块正方形草地，在AB 边上取定一个点E，经测量知
20m
EC
，
10m
BE
．则这块草地的面
积是（
）
A．
2
200m
B．
2
300m
C．
2
400m
D．
2
500m
5．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．在Rt
ABC
△
中，
90
C
，
17
AB
，
15
BC
，则AC ______．
7．如图，分别以Rt
ABC
△
的三条边为边向外作正方形，面积分别记为
1S ，
2S ，
3
S ．若
1
36
S
，
2
64
S
，
则
3
S ________．
8．如图，一张三角形纸片ABC ，
90
C
，
6cm
BC =
，
10cm
AB
，．将纸片沿直线DE 折叠，使点A 与
点B 重合，则CD的长是______．
9．已知Rt
ABC
△
的两条直角边分别为,a b ，斜边为c ，若
9,
7
a
b
c
，则
ABC
的面积为______．
10．如图，平平同学从刘徽设计的“青朱出入图”出发，将两个边长不等的正方形纸片ABCD，GCEF 剪拼
成一个大正方形纸片BQPG ．P ，M ，N 为剪痕与原正方形边的交点，已知
12
AB
，
3
EN
．那么正方
形BQPG 的边长为_______．
11．如图，在
ABC
中，CD
AB
于点D ，
13
AC
，
14
AB
，高
12
CD
，求BC 的长．
12．如图，在四边形ABCD 中，
90
A
C
，
15
AB
，
20
AD
，
7
CD
，求BC 的长．
13．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，对角线AC ，BD 交
于点O．
(1)若
2
AO
，
3
BO
，
4
CO
，
5
DO
，请求出
2
AB ，
2
BC ，
2
CD ，
2
DA 的值；
(2)若
6
AB
，
10
CD
，求
2
2
BC
AD
的值．
14．在
ABC
中，
90 ,
6,
2
ACB
AC
AB
BC
，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以2 个单位/s 的速度移
动，设运动的时间为t 秒；
(1)求线段BC 的长；
(2)当ABP
为直角三角形时，求t 的值．
15．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图
①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为a ，较长的直角边长都为b ，斜边长都为c ，大正
方形的面积可以表示为
2c ，也可以表示为
2
1
4
2 ab
a
b
，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条
直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，则
2
2
2
a
b
c
．
(1)【探索求证】
数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中
90
A
D
BCE
，请你利用图②推导
勾股定理．
(2)【问题解决】
同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知
HMN
△
中，
13,
15,
14
HM
MN
HN
，作MK
HN
，就可以计算出
HMN
△
的面积．请你完善解答过程，
求出
HMN
△
的面积．
16．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算
经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”
（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有a ，b 和c 的式子表示三
者之间的等量关系）；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400 多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定
理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个
图形中面积关系满足
1
2
3
S
S
S
的有______个；
②如图7 所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别
为
1S ，
2S ，直角三角形面积为
3
S ，请判断
1S ，
2S ，
3
S 的关系并证明；
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这
一过程就可以得到如图8 所示的“勾股树”．在如图9 所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M 的边
长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d 已知
1
2
3
，则当
变化时，回答下列问题：（结果可用含m 的式子表示）
则：
2
2
2
2
a
b
c
d
______
