文档文本内容
第07 讲立方根
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 立方根概念理解
题型2 求一个数的立方根
题型3 已知一个数的立方根，求这个数
题型4 立方根的性质
题型5 与立方根有关的程序运算问题
题型6 利用开立方解方程
题型7 平方根与立方根的综合
题型8 立方根的应用
题型9 与立方根有关的规律探究问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
立方根、三次根号、立
方运算、性质、负数立
方根、开立方。
1. 理解立方根的概念，掌握立方根的符号表示（
3 �），能求出一个数的立方
根。
2. 掌握立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立
方根是0。
3. 理解平方根与立方根的区别（如负数有立方根而无平方根），能正确区分
二者。
4. 能用立方根解决简单的实际问题，体会数系扩充的必要性与数学的实用性。
学习重点:立方根的概念及其性质，特别是负数也有立方根（区别于平方根）。
学习难点:理解立方根与平方根的区别与联系（如负数立方根的存在性、
3 −�= −3 �的恒等变形），
以及立方根的估算与近似计算。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 立方根的定义
1.定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根.这就是说，如果
3x
a
，那么
x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
注意：一个数a 的立方根，用3 a 表示，其中a 是被开方数，3 是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
2.立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是0.
注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个
互为相反数的数的立方根也互为相反数.
【易错提醒】
立方根定义易错警示：若x3=a，则x 是a 的立方根，记作
3 �。任何实数都有唯一立方根，符号与被开方数
相同（正、负、0 均可）。注意与平方根区分（负数没有平方根）。
即时即练1．计算：3
64
．
【答案】4
【知识点】求一个数的立方根
【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，理解立方根的含义是解本题的关键．根据立方根的含义求解
即可．
【详解】解：3
64
4
．
故答案为：4
．
2．已知a 的立方根为
2
3
，则a 的值为
．
【答案】
8
27
【知识点】已知一个数的立方根，求这个数
【分析】此题主要考查了已知一个数的立方根，求这个数，根据a 的立方根为
2
3
，可得：
3
2
(
)
3
a
，据此
求出a 的值是多少即可．
【详解】解∵a 的立方根为
2
3
，
∴
3
7
2
(
)
3
8
2
a
．
故答案为：
8
27
．
知识点02 立方根的性质
3
3
a
a
3
3
a
a
3
3 a
a
注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
【易错提醒】
立方根性质易错警示：
3 −�= −3 �；
3 �3=a（对任意实数成立）。注意与平方根性质区分（平方根有
�2=
|a|，立方根则无需绝对值）。勿混淆。
即时即练若3
3
(8
)
(2
3)
a
a
，则a 的平方根是
．
【答案】
11
【知识点】求一个数的平方根、立方根概念理解
【分析】本题考查的是立方根及平方根的定义，掌握立方根及平方根的定义是解题的关键．根据题意列出
关于a 的方程，求出a 的值，即可求解．
【详解】解：3
3
(8
)
(2
3)
a
a
，
8
2
3
a
a
，
解得：
11
a
，
a 的平方根是
11
，
故答案为：
11
．
知识点03 立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3 位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1 位.例如，
3 0.000 216 0.06
＝
，3 0. 216 0.6
＝
，3 216 6
＝，3 216000
60
＝
.
【易错提醒】
立方根小数点移位易错警示：被开方数小数点每移动三位，立方根小数点向相同方向移动一位。注意与平
方根（移动两位）区分。仅适用于小数位数移动，且被开方数需为完全立方数附近。
即时即练完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题．
x
…
0.064
0.64
64
6400
64000
…
x
…
0.25298
0.8
8
m
252.98
…
3 x
…
0.4
0.8618
n
18.566
40
…
(1)表格中的m ______，n ______；
(2)已知15
3.873
1.5
1.22474
，
，估计150 和
0.15 的值；(结果保留四位小数)
(3)若
3
14.1421,
700
a
b
，估计a
b
的值．（参考数据：
3
3
2
1.41421,
20
4.4721,
7
1.9129,
0.7
0.88790
)．（结果保留四位小数）
【答案】(1)80，4
(2)12.2474，0.3873
(3) 208.8790
【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题、求一个数的立方根、与立方根有关
的规律探索
【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关
键．
（1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解．
（2）根据表格得出算术平方根的规律，即可求解．
（3）根据（2）中规律求出a，根据表格得出立方根的规律，然后求出b，即可求解．
【详解】（1）解：∵
2
80
6400
，
∴
6400
80
，
∴
80
m
，
∵
3
4
64
，
∴3 64
4
，
∴
4
n
，
故答案为：80，4；
（2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的
算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．
∵15
3.873
1.5
1.22474
，
，
∴150
12.2474
，
0.15
0.3873
；
（3）解：根据平方根的变化规律得：
∵
2
1.41421
，
∴
200
14.1421
又
14.1421
a
，
∴
200
a
，
从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或
向右）移动一位．
∵3 0.7
0.88790
∴
3 700
8.8790
b
，
∴
200
8.8790
208.8790
a
b
．
题型1 立方根概念理解
【例1】下列语句正确的是（
）
A．负数没有立方根
B．64 的立方根是2
C．立方根等于本身的数只有1
D．3
3
8
8
【答案】D
【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根
【分析】本题主要考查了立方根的概念和求一个数的立方根，对于两个实数a、b 若满足
3
a
b
，那么a 就
叫做b 的立方根，据此逐一求解判断即可．
【详解】解：∵正数、0 和负数都有立方根，
∴选项A 不符合题意；
∵64 的立方根是4，
∴选项B 不符合题意；
∵立方根等于本身的数有1
和0，
∴选项C 不符合题意；
∴3
3
8
8
，
∴选项D 符合题意，
故选：D．
【例2】下列选项正确的是（
）
A．8 的立方根是2
B．
3
3
3
3
C．3
1
1
27
3
D．立方根等于本身的数只有1 和0
【答案】C
【分析】根据立方根的定义分别判断即可．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根．
【详解】解：A. 8 的立方根是2 ，故该选项不正确，不符合题意；
B.
3
3
3
3
，故该选项不正确，不符合题意；
C.
3
1
1
27
3
，故该选项正确，符合题意；
D. 立方根等于本身的数只有1
和0，故该选项不正确，不符合题意．
【技巧归纳】
若x3=a，则x 是a 的立方根，记作
3 �。任何实数都有唯一立方根，符号与原数相同。负数立方根为负，0
立方根为0。
3 −�= −
3 �。
【变式1-1】下列说法中，正确的是（
）
A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B．一个非零数的立方根与这个数同号
C．负数没有平方根也没有立方根
D．算术平方根一定是正数
【答案】B
【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、立方根概念理解
【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，根据平方根，立方根，算术平方根的定义逐项
判断即可．
【详解】解：A、一个数的立方根只有1 个，故原说法不正确，不符合题意；
B、一个非零数的立方根与这个数同号，正确，符合题意；
C、负数没有平方根但是有立方根，故原说法不正确，不符合题意；
D、0 的算术平方根是0，不是正数，故原说法不正确，不符合题意；
故选：B．
【变式2】下列说法正确的是（
）
A．64 的立方根是4
B．27
没有立方根
C．立方根等于本身的数是0 和1
D．3
27
3
【答案】D
【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根
【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是正确理解一个正数有一个正的立方根、0 的立方根是0 ，
一个负数有一个负的立方根．
利用立方根的定义及求法逐项判断即可．
【详解】解：A 、64 的立方根是4 ，原选项说法错误，不符合题意；
B 、27
有立方根，为3
，原选项说法错误，不符合题意；
C 、立方根等于本身的数是0 ，1和1
，原选项说法错误，不符合题意；
D 、3
27
3
，原选项说法正确，符合题意；
故选：D ．
题型2 求一个数的立方根
【例3】64 的立方根是
．
【答案】4
【分析】本题考查的是立方根的含义，根据立方根的含义求解即可．
【详解】解：64 的立方根是4 ，
故答案为：4 ．
【例4】计算：3
27
．
【答案】3
【分析】此题考查了求一个数的立方根，熟记立方根定义是解题的关键．
根据立方根的性质求解即可．
【详解】3
27
3
．
故答案为：3
．
【技巧归纳】
求立方根：正数立方根为正，负数为负。可将数分解质因数，找出三个相同因子，提取一个。分数则分子
分母分别开立方，小数化分数。
【变式1-1】3 64 的平方根是
．
81 的立方根是
．
【答案】
2
3 9
【分析】本题主要考查平方根、立方根的计算，解题的关键是掌握平方根和立方根的求解过程．
根据平方根、立方根的定义计算即可．
【详解】解：3 64
4
，
4
2
；
81
9
，
3
3
9
9
；
故答案为：2
，3 9 ．
2．填空题．
（1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是_________ ．
（2）3
1
27
___________________ ；
3
3 8
_____ ．
（3）3 64 的平方根是_______ ；
64 的立方根是_____ ．
【答案】
0 或1
1
3
8
2
2
【分析】（1）结合立方根的性质，得出0 或1
都满足自身的立方根等于它本身，即可作答．
（2）结合立方根的性质，进行计算，即可作答．
（3）先开立方根再算平方根得出3 64 的平方根是2
；先求出64 的算术平方根，再求出其立方根，即可作
答．
【详解】解：（1）0 的立方根等于0，1的立方根等于1，1
的立方根等于1
即如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是0 或1
；
（2）3
1
1
27
3
，
3
3
3 8
2
8
（3）先化简得3 64
4
，4 的平方根为
4
2
；
化简
64
8
，8 的立方根为2 ．
题型3 已知一个数的立方根，求这个数
【例5】已知一个数的立方根为
1
5
，则这个数为
．
【答案】
1
125
【分析】本题考查了立方根的定义，属于基础题型，熟练掌握立方根的概念是关键．
根据立方根的定义解答即可．
【详解】解：∵一个数的立方根为
1
5
，
∴这个数是
3
1
1
5
125
．
故答案为：
1
125
．
【例6】一个正数的平方根分别是2
5
a 和2
1
a ，
30
b
的立方根是3
，则a
b
的算术平方根为
．
【答案】2
【分析】本题考查平方根、立方根的综合运用，先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出a
b
、值，代
入a
b
求值后由算术平方根定义求解即可得到答案．熟记平方根、立方根定义是解决问题的关键．
【详解】解：一个正数的平方根分别是2
5
a 和2
1
a ，
分两种情况：①2
5
2
1
a
a
；②
2
5
2
1
0
a
a
；
当2
5
2
1
a
a
时，方程无解；
当
2
5
2
1
0
a
a
时，解得
1
a ；
30
b
的立方根是3
，
3
30
3
27
b
，解得
3
b
；
1 3
4
2
a
b
，
则a
b
的算术平方根为2 ，
故答案为：2 ．
【技巧归纳】
已知立方根求原数，直接将立方根进行立方运算。注意立方根符号与原数一致，负数的立方根为负，立方
后仍得负数。如
3 �=2，则a=8；若
3 �=-3\)，则a=-27。
【变式1-1】已知a 的立方根是1
，b 的算术平方根是3，则a
b
的立方根为____．
【答案】2
【分析】根据立方根、算术平方根的定义求出a 、b 的值，进而求出a
b
的值，再求其立方根即可．
【详解】解：∵a 的立方根是1
，b 的算术平方根是3，
∴
3
1
1
a
，
23
9
b
，
∴
1 9
8
a
b
，
∴a
b
的立方根为3 8
2
．
【变式2】已知：2
7
a
和
4
a +
是正数M 的平方根，
7
b
的立方根为2
，则3
2
a
b
的算术平方根
．
【答案】1或
31
【分析】本题主要考查了根据立方根求原数，平方根的定义，求一个数的算术平方根，根据2
7
a
和
4
a +
是
正数M 的平方根可得2
7
a
与
4
a +
相等或2
7
a
与
4
a +
互为相反数，据此求出a 的值，再由立方根的定义
求出b 的值，则可求出3
2
a
b
的值，最后根据算术平方根的定义即可求出答案．
【详解】解：当2
7
4
a
a
时，则
11
a
，
当2
7
a
与
4
a +
不相等时，
∵2
7
a
和
4
a +
是正数M 的平方根，
∴2
7
4
0
a
a
，
∴
1
a ；
综上所述，
1
a 或
11
a
；
∵
7
b
的立方根为2
，
∴
3
7
2
8
b
，
∴
1
b ，
∴
3
2
3 1 2
1
1
a
b
或
3
2
3 11 2
1
31
a
b
，
∴3
2
a
b
的算术平方根是1或
31，
故答案为；1或
31．
题型4 立方根的性质
【例7】已知3
3
3
a
a
，则a 的值为
．
【答案】2 或3或4
【知识点】已知一个数的立方根，求这个数
【分析】本题考查了立方根的计算，掌握立方根的性质是关键．
根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是0，列式求解即可．
【详解】解：3
3
3
a
a
，即一个数的立方根等于它本身，
∴当
3
1
a
时，
解得，
2
a
；
当
3
0
a
时，
解得，
3
a ；
当
3
1
a
时，
解得，
4
a
；
综上所述，a 的值为2 或3或4 ，
故答案为：2 或3或4 ．
【例8】数a、b、c 在数轴上对应的位置如图，化简
2
2
3
3
(
)
(
)
a
b
c
b
b
的结果为
．
【答案】a
b
c
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、整式的加
减运算
【分析】本题考查绝对值的性质，算术平方根以及立方根的性质；根据有理数a 、b 、c 在数轴上的位置，
得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果．
【详解】解：根据有理数a 、b 、c 在数轴上的位置，得到
0
b
a
c
，且b
c
a
，
∴
0,
0
a
b
c
b
，
∴
2
2
3
3
(
)
(
)
a
b
c
b
b
a
b
c
b
b
a
b
c
b
b
a
b
c
．
故答案是：a
b
c
．
【技巧归纳】
立方根性质：
3 �3=a。负数立方根性质：
3 −�= −
3 �。用于化简、比较大小。
【变式1-1】根据立方根的意义填空：
3
3
2 _____，
3
3
2
3
_____，3
3
0 ______，
3
3 ( 2)
_____，
3
3
2
3
_____．
观察上述结果，猜想对于实数
3
3
,a
a 等于什么？对于式子n
n
a （
2,
n
n
是整数）的化简，你有怎样的认识？
【答案】2，2
3 ，0，2
，
2
3
；3
3
a
a
；当n 为偶数时，
,
0
,
0
n
n
a a
a
a
a a
；当n 为奇数时，n
n
a
a
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与立方根有关的规律探索
【分析】此题考查立方根的定义及性质，求一个数的立方根，探究实数的计算规律，正确求出一个数的立
方根是解题的关键．
先根据立方根定义填空，以此总结出3
3
a 的结果；对于式子n
n
a （
2,
n
n
是整数）需要分n 为偶数和奇数
进行讨论，得到偶次方根和奇次方根的结果．
【详解】解：3
32
2
；
3
3
2
2
3
3
；3
30
0
；
3
3 ( 2)
2
；
3
3
2
2
3
3
，
则对于实数
3
3
,a
a
a
；
对于式子n
n
a （
2,
n
n
是整数），
当n 为偶数时，
,
0
,
0
n
n
a a
a
a
a a
；
当n 为奇数时，n
n
a
a
．
8．已知实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示：
(1)化简：
2
b
a
b
a
b
(2)若实数a ，b 满足
3
2
3
0
a
b
，求3
4 ab 的立方根．
【答案】(1) b
(2)
3
2
【分析】（1）由图可知，
0
b
，
0
a
b
，
0
a b
+
<
，根据二次根式的性质、绝对值的性质求解即可；
（2）根据非负数的性质求得实数a ，b 的值，再代入求解即可．
【详解】（1）解：由图可知，
0
b
，
0
a
b
，
0
a b
+
<
，
∴
2
b
a
b
a
b
b
a
b
a
b
b
a
b
a
b
b
；
（2）解：
3
2
3
0
a
b
，
3
0
a ≥，
2
3
0
b
，
3
0
a
，
2
3
0
b
，
3
a ，
3
2
b
，
3
3
3
27
3
4
4
2
8
ab
故3
4 ab 的立方根为：3
27
3
8
2
．
题型5 与立方根有关的程序运算问题
【例9】如图是一个数值转换器，当输入数值8 时，输出的是______．
【答案】3 2
【分析】先把
8
x
输入计算出8 的立方根为2，由于2 是有理数，则把
2
x
作为新数输入，再求出2 开立
方的结果，若结果为有理数，则重复上述过程，若结果为无理数，则把结果输出即可．
【详解】解：第一次输入8 时，3 8
2
是有理数，
第二次输入2 时，3 2 是无理数，则输出的结果为3 2 ．
【例10】按如图所示的程序计算，若开始输入的x 的值是729，则输出的y 的值是_____．
【答案】3 3
【分析】根据程序流程图，先取729 的立方根为9，再取9 的算术平方根为3，然后取3 的立方根即可．
【详解】解：若开始输入的x 的值是729，取立方根为3 729
9
，是有理数，
取算术平方根为
9
3
，是有理数，
取立方根为3 3 ，是无理数，则输出
3 3
y
．
【技巧归纳】
按流程图顺序执行，输入数值后依次开立方、加减乘除等。注意立方根符号可能改变正负，可用性质
3 −�=
−3 �简化。遇到循环结构，多次开立方可能趋近于1 或-1。列表跟踪中间值。
【变式1-1】小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x 的值是64 时，输出的y 值是_________．
【答案】2
【分析】按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可．
【详解】解：当x 值为64 时，取算术平方根得8，取立方根得2，取算术平方根得2 ，是无理数，所以输
出的数为2 ．
故答案为：2 ．
7．小明编写了一个程序，如图，若输入
8
x ，则输出的值为_____．
【答案】1
2 /0.5
【分析】根据流程图和实数运算法则即可求解．
【详解】解：输入
8
x ，则
2
2
8
64
x
，然后3 64
4
，4 的倒数为1
4 ，然后得到
1
1
4
2
，
∴输出的数为
1
2 ．
题型6 利用开立方解方程
【例11】解下列方程：
(1)
2
16
1
49
x
；
(2)
3
8 1
125
x
．
【答案】(1)
3
4
x
或
11
4
x
(2)
3
2
x
【分析】本题考查了利用平方根，立方根定义求解方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）先整理为
2
49
1
16
x
，再利用平方根定义解方程即可；
（2）先整理为
3
125
1
8
x
，再利用立方根定义解方程即可；
【详解】（1）解：由
2
16
1
49
x
，得
2
49
1
16
x
，
所以
49
1
16
x
，
所以
7
1
4
x
或
7
1
4
x
，
解得
3
4
x
或
11
4
x
．
（2）解：由
3
8 1
125
x
，得
3
125
1
8
x
，
所以
3 125
1
8
x
，
所以
5
1
2
x
，
解得
3
2
x
．
【例12】求下列各式中的x
(1)
3
3
4
375
x
；
(2)
3
2
1
8
0
x
；
【答案】(1)
1
x
(2)
1
2
x
【分析】（1）先把方程两边同时除以3，再把方程两边同时开立方得到一个一元一次方程，解方程即可得
到答案；
（2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开立方得到一个一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵
3
3
4
375
x
，
∴
3
4
125
x
，
∴
4
5
x
，
∴
1
x ；
（2）解：∵
3
2
1
8
0
x
，
∴
3
2
1
8
x
，
∴2
1
2
x ，
∴
1
2
x
．
【技巧归纳】
解形如x3=a 的方程：两边同时开立方得x=
3 �。若方程为(ax+b)3=c，则开立方得ax+b=
3 �，再解一次方程。
注意实根唯一，无增根。
【变式1-1】解下列方程：
(1)
2
1
9
0
x
；
(2)
3
1
2
3
0
4
x
．
【答案】(1)
2
x 或
4
x
(2)
5
2
x
【分析】（1）把9
移到右边，再根据平方根的定义解答即可；
（2 ）把1
4 移到右边，再根据立方根的定义解答即可；
本题考查了利用平方根和立方根解答方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：∵
2
1
9
0
x
，
∴
2
1
9
x
，
∴
1
3
x ，
∴
2
x 或
4
x
；
（2）解：∵
3
1
2
3
0
4
x
，
∴
3
1
2
3
4
x
，
∴
3
1
3
8
x
，
∴
1
2
3
x
，
∴
5
2
x
．
【变式2】求下列各式中x 的值：
(1)
2
3 5
1
48
0
x
；
(2)
3
125
2
1
4
x
．
【答案】(1)
1
x 或
3
5
x
(2)
3
2
x
【分析】本题考查由平方根运算、立方根运算解方程，熟练掌握平方根及立方根运算是解决问题的关键．
（1）由平方根运算，直接开平方求解即可得到答案；
（2）由立方根运算，直接开立方求解即可得到答案．
【详解】（1）解：
2
3 5
1
48
0
x
，
2
3 5
1
48
x
，
即
2
5
1
16
x
，
5
1
4
x ，
解得
1
x 或
3
5
x
；
（2）解：
3
125
2
1
4
x
，
3
125
1
8
x
，
即
5
1
2
x
，
解得
3
2
x
．
题型7 平方根与立方根的综合
【例13】已知3
2
m 的平方根是2
2
4
m
n
，
的立方根是2．
(1)求m
n
，的值；
(2)求2
5
mn
的算术平方根．
【答案】(1)
2
m
，
1
n
(2)3
【分析】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可；
（2）先求出2
5
mn
的值，然后根据算术平方根的定义求解．
【详解】（1）解：
3
2
m
的平方根是2
，
3
2
4
m
，
解得：
2
m
，
2
4
m
n
的立方根是2，
2
4
8
m
n
．
解得：
1
n ；
（2）解：把
2
1
m
n
、
代入2
5
mn
中得：2
2 1
5
9
，
2
5
mn
的算术平方根为3．
【例14】已知实数3
10
a
的算术平方根是2，a
b
的立方根是2．
(1)求a ，b 的值；
(2)求5
2
a
b
的平方根．
【答案】(1)
2
a ；
10
b
；
(2)5
2
a
b
的平方根是
10
±
．
【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其运算方法是关键．
（1）根据算术平方根，立方根的计算列式求解即可；
（2）把,a b 的值代入，根据平方根的计算求解即可．
【详解】（1）解：
3
10
a
的算术平方根是2，
3
10
4
a
，
解得
2
a ；
a
b
的立方根是2，
8
a
b
，即2
8
b
，
解得
10
b
．
（2）解：由（1）知，
2
a ，
10
b
，
5
2
10
20
10
a
b
；
而10 的平方根是
10
±
，
5
2
a
b
的平方根是
10
±
．
【技巧归纳】
平方根非负，立方根保号。混合运算时注意运算顺序，先开方再加减乘除。解方程时，平方根需考虑正负，
立方根唯一。化简要区分�2= |a|与
3 �3=a。
【变式1-1】已知正数2
1
a 的算术平方根是3，
1
b 的立方根是2 ．
(1)求a ，b 的值；
(2)求4
5
a
b
的平方根．
【答案】(1)
5
9
a
b
，
(2)± 4
【分析】（1）根据平方根和立方根的定义可得
2
3
2
1
3
9
1
2
8
a
b
，
，解方程即可得到答案；
（2 ）根据（1）所求求出4
5
a
b
的值，再根据平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可知，
2
3
2
1
3
9
1
2
8
a
b
，
，
5
9
a
b
，
；
（2）解：
5
9
a
b
，
，
4
5
4 5
9
5
16
a
b
，
4
5
a
b
的平方根为4
．
【变式2】已知3
5
a 的立方根是2
，
1
b 的算术平方根是3．
(1)求a，b 的值；
(2)若
15
1
c
c
，且c 是整数，求
2
2
b
a
c
的平方根．
【答案】(1)
1
a ，
8
b
(2) 4
【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算：
（1）根据立方根和算术平方根的定义，进行求解即可；
（2）夹逼法求出c 的值，进而求出
2
2
b
a
c
的值，再利用平方根的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：
3
2
3
5
2
8,
1
3
9
a
b
，
∴
1
a ，
8
b
；
（2）解：∵9
15
16
，
∴3
15
4
，
∴
3
c ，
∴
2
2
8
2 1 2 3
16
b
a
c
，
∴
2
2
b
a
c
的平方根为4
．
题型8 立方根的应用
【例15】如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积为
3
216cm ，它的棱长是多少？
【答案】6cm
【分析】本题主要考查了立方根的实际应用．根据立方根的性质解答即可求解．
【详解】解：∵它的体积为
3
216cm ，
∴它的棱长是3 216
6cm
．
【例16】将棱长为6cm的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8 个大小形状相同的长方体铁块，且长方体
铁块的长、宽、高的比为1:1:8，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少cm？
【答案】长方体铁块的长、宽、高分别为3 cm
2
，3 cm
2
和12cm ．
【分析】设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为cm
x
，cm
x
，8 cm
x
．根据“将棱长为6cm的正方体铁块在
炉火中熔化，重新铸成8 个大小形状相同的长方体铁块”列方程求解即可．
【详解】解：设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为cm
x
，cm
x
，8 cm
x
．
则
3
8
8
6
x x
x
，
∴
3
64
216
x
，
∴
3
27
8
x
=
，
∴
3 27
3
8
2
x
，
∴
2
3
8
8
1
2
x
．
答：长方体铁块的长、宽、高分别为3 cm
2
，3 cm
2
和12cm ．
【技巧归纳】
立方根应用：求立方体边长（体积开立方）、球体半径（体积反推）、缩放比例。实际问题中注意单位一
致，结果取正根。如体积为V 的正方体，边长a=
3 �。比较大小也用立方根。
【变式1-1】如图是一块体积为343 立方厘米的正方体铁块．
(1)求该正方体铁块的棱长；
(2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3 厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方
体铁块．若长方体铁块的高为1 厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长．
【答案】(1)7 厘米
(2)17 厘米
【分析】本题考查立方根和算术平方根的实际应用，熟练掌握立方根和算术平方根的计算是解此题的关键．
（1）根据正方体的体积公式进行求解即可；
（2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积求出长方体的底面面积，再根据长方体的
底面面积求出底面正方形的边长即可．
【详解】（1）解：由题意得，该正方体铁块的棱长为3 343
7
（厘米），
∴该正方体铁块的棱长为7 厘米．
（2）解：由题意，长方体的体积为：343
2 3 3 3
289
（立方厘米），
∴长方体的底面面积为：289 1
289
（平分厘米），
∴长方体铁块的底面正方形的边长为：
289
17
（厘米），
∴长方体铁块的底面正方形的边长为17 厘米．
【变式2】在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆
柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为
3
216cm ，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降
了0.5cm．
(1)铁块的棱长为多少厘米？
(2)杯内部的底面直径为多少厘米（π取3）？
【答案】(1)6cm
(2)24cm
【分析】本题考查了立方根以及平方根的实际应用，根据题意正确列出含平方根、立方根的式子是解答本
题的关键．
（1）设正方体棱长为cm
x
，根据正方体的体积公式得
3
216
x
，解出x 的值即可；
（2）设直径为cm
d
，根据“用量筒量得从杯中溢出的水的体积为
3
216cm ”得
2
3
0.5
216
2
d
，解出d 的值，
即可解答．
【详解】（1）解：设正方体棱长为cm
x
，
则
3
216
x
，
解得：
6
x
，
答：正方体棱长6cm；
（2）解：设直径为cm
d
，
则
2
3
0.5
216
2
d
，
解得：
24
d
，
24
d
不符合实际，
直径为24cm ，
答：直径为24cm ．
题型9 与立方根有关的规律探究问题
【例17】观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题：
b
0.004096
4.096
4096
4096000
4096000000
3 b
0.16
1.6
16
160
1600
(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的
小数点就向___________移动___________位；
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知3 13
2.35
，则3 0.013 ___________，3 13000 ___________．
(3)类比上述立方根运算：已知
3.66
1.913
，则
366 ___________，36600 ___________．
【答案】(1)右；一；
(2)0.235；23.5
(3)19.13；191.3
【分析】本题考查数字的变化类、立方根、算术平方根，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特
点，求得所求数字的值．
（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律；
（2）根据（1）的规律可得结论；
（3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值．
【详解】（1）解：用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，
相应的立方根的小数点就向右移动一位．
故答案为：右；一；
（2）解：∵3 13
2.35
，结合立方根小数点的规律，
∴3 0.013
0.235
，3 13000
23.5
，
故答案为：0.235；23.5 ；
（3）解：在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一
位．
∵
3.66
1.913
，
∴366
19.13
，36600
191.3
．
故答案为：19.13；191.3．
【例18】观察下列规律回答问题：
3
3
3
0.001
0.1,
1
1,
1000
3
3
3
10, 0.001
0.1, 1
1, 1000
10,
(1) 3 0.000001 _______，3
6
10 _______；
(2)已知3
1.587
x
，若3
0.1587
y
，用含x 的代数式表示y，则y _______；
(3)根据规律写出3 a 与a 的大小情况．
【答案】(1)0.01，100
(2)
1000
x
(3)当1
0
a
或
1
a 时，3 a
a
；当
1
a 或
1
a 或
0
a
时，3 a
a
；当
1
a 或0
1
a
时，3 a
a
【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归
纳．
（1）根据立方根的概念进行求解、归纳；
（2）运用（1）题规律进行求解；
（3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳．
【详解】（1）解：（1）3 0.000001
0.01
；3
6
10
100
；
按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位，
故答案为：0.01、100；
（2）已知3
1.587
x
，若3
0.1587
y
，用含x 的代数式表示y ，则
1000
x
y
，
故答案为：
1000
x
；
（3）3
0.001
0.1
，3
1
1
，3
1000
10
，3 0.001
0.1
，3 1
1
，3 1000
10
3 a 与a 的大小情况为：
当1
0
a
或
1
a 时，3 a
a
；
当
1
a 或
1
a 或
0
a
时，3 a
a
；
当
1
a 或0
1
a
时，3 a
a
．
【技巧归纳】
计算若干立方根值，观察结果整数部分、小数变化或循环。猜想含n 的通项公式，如
3 �3=n。验证递推关
系，并用立方运算法则证明规律。
【变式1-1】（1）填表：
a
0.000008
0.008
8
8000
3 a
（2）观察上表，表中数a 的小数点的移动与它的立方根3 a 的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述
这个规律：______；
（3）根据你发现的规律解答：
①已知3 0.214
0.5981
，3 2.14
1.289
，3 21.4
2.776
，则3 2140 介于哪两个整数之间？
②已知3 0.001843
0.1226
，则3 1843 ______；
③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843 立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01
平方米）
【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a 的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根3 a 的小
数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12 和13 之间；②12.26；③需要大约9.02 平方米的铁皮
【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积
的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键．
（1）利用立方根的定义填表即可；
（2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解；
（3）①结合表格信息，对3 2.14
1.289
进行变形分析即可；②结合表格信息，对3 0.001843
0.1226
进行
变形分析即可；③设正方体的棱长为a 米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方
法即可求解．
【详解】解：（1）填表如下：
a
0.000008
0.008
8
8000
3 a
0.02
0.2
2
20
（2）规律：数a 的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根3 a 的小数点就相应地向右或向左移动一位；
（3）①
3 2.14
1.289
，
3 2140
12.89
，
3 2140
介于整数12 和13 之间；
②
3 0.001843
0.1226
，
3 1843
12.26
；
③设正方体的棱长为a 米，则
3
1.843
a
，
由②知3 0.001843
0.1226
，
3 1.843
1.226
；
1.226
a
，
2
6
9.02
a
（平方米），
答：需要大约9.02 平方米的铁皮．
12．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出1728
的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为
3
10
1000
，
3
100
1000000
，所以3 1728 是两位数；
②其次观察了立方数：31
1
，
3
2
8
，33
27
，
3
4
64
，35
125
，
3
6
216
，
3
7
343
，38
512
，3
9
729
；
猜想3 1728 的个位数字是2 ；
③接着将1728往前移动3位小数点后约为1，因为
31
1
，
3
2
8
，所以3 1728 的十位数字应为1，于是猜想
3 1728
12
，验证得：1728的立方根是12；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到3
1728
12
，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个
数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1) 3
3375
；
(2)若3
3
5
4
10
x
x
，则x ；
(3)已知3
2
2
x
x
，且3 3
1
y 与3 1 2x
互为相反数，求x ，y 的值．
【答案】(1)
15
-
(2)
5
(3)
1
2
3
x
y
或
2
4
3
x
y
或
3
2
x
y
【分析】（1）依照题干中的解题思路求出3 3375 ；
（2）由3
3
5
4
10
x
x
可得关于x 的一元一次方程，解方程即可求出x 的值；
（3）根据3
2
2
x
x
可得3
2
2
x
x
，由立方根等于它本身的数有0 和1
，可得：
2
x
或3或1，分
别求出当
2
x
或3或1时，3 1 2x
的值，再根据3 3
1
y 与3 1 2x
互为相反数，求出y 的值．
【详解】（1）解：
3
10
1000
，
3
100
1000000
，1000
3375
1000000
，
3 3375
是两位数，
35
125
，
3 3375
的个位数字应是5，
将3375 的小数点向前移动3后约为3，
31
1
，
3
2
8
，
3 3375
的十位数字应为1，
3 3375
15
，
依据“负数的立方根是负数”得到：3
3375
15
；
（2）解：
3
3
5
4
10
x
x
，
5
4
10
x
x
，
解得：
5
x
；
（3）解：
3
2
2
x
x
，
3
2
2
x
x
，
3
2
2
x
x
，
2
0
x
或1或1
，
2
x
或3或1，
当
1
x 时，可得：
3
3 1 2
1
1
x
，
3 3
1
y
与3 1 2x
互为相反数，
3 3
1
1
y
，
解得：
2
3
y
，
即
1
2
3
x
y
；
当
2
x
时，可得：3
3
3
1 2
3
3
x
，
3 3
1
y
与3 1
2x
互为相反数，
3
3 3
1
3
y
，
即3
1
3
y
，
解得：
4
3
y
，
即
2
4
3
x
y
；
当
3
x
时，可得：3
3
3
1 2
5
5
x
，
3 3
1
y
与3 1 2x
互为相反数，
3
3 3
1
5
y
，
即3
1
5
y
，
解得：
2
y
．
一、单选题
1．式子3
8
2
表示的意义是（
）
A．8
的平方根是2
B．2
的立方根是8
C．8
的立方根是2
D．2
的平方根是8
【答案】C
【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
根据立方根的定义判断即可．
【详解】∵3 a 表示a 的立方根，
∴3
8
2
表示8
的立方根是2
，
故选：C．
2．在下列实数中：
4 ，22
7 ，，0.6 ，3
1
27
，2.010010001
…（每两个1 之间多一个0）其中无理数有
（
）
A．1
B．2 个
C．3个
D．4 个
【答案】B
【分析】先化简可开方的数，再根据无理数是无限不循环小数逐个判断即可．
【详解】解：先化简给出的数：
4
2
，3
1
1
27
3
，
由整数，分数，有限小数都属于有理数，即2 ，22
7 ，0.6 ，
1
3
都是有理数；
无理数为无限不循环小数，是无限不循环小数，2.010010001
（每两个1 之间多一个0）是无限不循环
小数，均为无理数．
综上，无理数共有2 个．
3．下列结论正确的是（
）
A．
3
3
9
9
B．36
的平方根是6
C．若
3
a
a
，则
1
a
D．64 的立方根是4
【答案】A
【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握立方根、平方根、算术平方根的定义是解题
的关键．根据立方根、平方根、算术平方根的定义逐项分析判断即可．
【详解】解：A、
3
3
9
9
，故此选项结论正确，符合题意；
B、36
没有平方根，故此选项结论不正确，不符合题意；
C、若
3
a
a
，则
1
a 或
0
a
，故此选项结论不正确，不符合题意；
D、64 的立方根是4，故此选项结论不正确，不符合题意；
故选：A．
4．x 是
2
9
的平方根，y 是8
的立方根，则x
y
的值为（
）
A．1 或5
B．5
C．1
D．1
或5
【答案】A
【分析】先计算出
2
9
的值，再根据平方根和立方根的定义求出x 和y ，分情况计算x
y
即可．
【详解】解：∵
9
3
，
∴
2
2
9
3
9
，
∵x 是9的平方根，
∴
3
x ，
∵y 是8
的立方根，
∴
2
y ，
当
3
x
时，
3
2
1
x
y
，
当
3
x 时，
3
2
5
x
y
，
因此x
y
的值为1或5
．
5．如果3
3
2.37
1.333, 23.7
2.872
，那么3 23700 约等于（）
A．28.72
B．0.2872
C．13.33
D．0.1333
【答案】A
【分析】本题考查立方根的性质，一个数的小数点向左（或向右）每移动3 位，其立方根也相应向左（或
向右）移动1 位．据此即可解答．
【详解】解：∵3 23.7
2.872
，
∴3 23700
28.72
．
故选：A．
二、填空题
6．9 的平方根是________，
27
125
的立方根是________．
【答案】
3
3
5
/ 0.6
【详解】解：
2
( 3)
9
，
9
的平方根是3
；
3
3
27
5
125
，
27
125
的立方根是
3
5
．
7．已知
9
a
，则3
17
a
的值是_____．
【答案】4
【分析】先根据算术平方根的定义求出a 的值，再将a 代入所求式子，根据立方根的定义计算得到结果．
【详解】解：∵
9
a
，
∴
2
9
81
a
，
∴
17
81 17
64
a
，
∴3
3
17
64
4
a
．
8．已知2
1
a 的平方根是3
，3
2
4
a
b
的立方根是3，则a
b
的算术平方根是___．
【答案】3
【分析】先根据题意，列式
7
2
3
1
2
9
2
4
a
b
a
,
，解得
5,
a
4
b
，再求出a
b
的值，最后求出9的算
术平方根，即可作答．
【详解】解：∵2
1
a 的平方根是3
，3
2
4
a
b
的立方根是3，
∴
7
2
3
1
2
9
2
4
a
b
a
,
，
解得
5,
a
则3 5
2
4
27
b
，
解得
4
b
，
∴
5
4
9
a
b
，
∵9的算术平方根是3．
∴a
b
的算术平方根是3．
9．已知a 的立方根是2，b 是15 的整数部分，c 是9 的平方根，则a
b
c
的算术平方根是___________．
【答案】14 或2 2 / 2 2 或14
【分析】根据立方根的定义求出a，估算无理数的大小得到b 的值，根据平方根的定义得到c 的值，代入代
数式求值再求算术平方根即可．
【详解】解：∵a 的立方根是2，
∴
8
a
，
∵9
15
16
，
∴3
15
4
，
∴
3
b
，
∵c 是9 的平方根，
∴
3
c ，
当
3
c 时，
8
3
3
14
a
b
c
，算术平方根为14 ；
当
3
c 时，
8
3 3
8
a
b
c
，算术平方根为2 2 ；
综上分析可知，a
b
c
的算术平方根为14 或2 2 ．
故答案为：14 或2 2 ．
【点睛】本题考查了无理数的估算，平方根，考查分类讨论的思想，掌握一个正数的平方根有2 个是解题
的关键，不要漏解．
10．（1）已知
7
2.646
，则
0.07 _______；（2）已知
3
3
0.3
0.669,
6.69,
x
则x ________．
【答案】
0.2646
300
【详解】解：（1）∵
7
2.646
，则
0.07
0.2646
；
（2）已知
3
3
0.3
0.669,
6.69,
x
则
300
x
．
三、解答题
11．求下列各式中x 的值：
(1)
2
(
1)
4
x
；
(2)
3
64(
1)
125
x
．
【答案】(1)
3
x
或
1
x
(2)
9
4
x
【详解】（1）解：
2
(
1)
4
x
开平方，得
1
2
x ．
当
1
2
x
时，解得
3
x
；
当
1
2
x 时，解得
1
x ．
所以
3
x
或
1
x ；
（2）解：
3
64(
1)
125
x
整理，得
3
125
(
1)
64
x
．
开立方，得
5
1
4
x
．
解得
9
4
x
．
12．已知一个正数的两个平方根分别为2
4
a
和3
a
，b 是
6 的整数部分．
(1)求a 的值，并求这个正数；
(2)求3
3
a
b
的立方根．
【答案】(1)
7
a
，这个正数为100；
(2)3；
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出关于a 的方程求出a 的值，进而求出这个正数；
（2）先根据无理数的估算，求得b 的值，再把a，b 的值代入3
3
a
b
中进行计算，最后求出它的立方根即
可解答．
【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是2
4
a
和3
a
，
∴
2
4
3
0
a
a
，
解得
7
a
，
∴2
4
2 7
4
10
a
，
∴这个正数是100，
（2）解：∵4
6
9
，
∴2
6
3
，
∵b 是
6 的整数部分，
∴
2
b
；
当
7
a
，
2
b
时，
3
3
3 7
3 2
27
a
b
，
∴3
3
a
b
的立方根3 27
3
．
13．已知2
1
a 的平方根为3
，3
1
a
b
的立方根为2 ．
(1)求3a
b
的算术平方根；
(2)若c 是
7 的整数部分，求
2
5
a
b
c
的立方根．
【答案】(1)3
(2)3
【分析】（1）根据题意计算得
5
a
，
6
b
，则3
9
a
b
，计算9的算术平方根即可；
（2）根据题意计算得
2
c
，则
2
5
27
a
b
c
，计算27 的立方根即可．
【详解】（1）解：∵2
1
a 的平方根为3
，
∴
2
2
1
3
9
a
，解得
5
a
，
∵3
1
a
b
的立方根为2 ，
∴
3
3
1
2
8
a
b
，
将
5
a
代入3
1
8
a
b
，
得15
1
8
b
，
解得
6
b
，
∴3
3 5
6
9
a
b
，
∴3a
b
的算术平方根为9
3
；
（2）解：∵2
7
3
，
∴
2
c
，
∴
2
5
5
2 6
5 2
27
a
b
c
，
∴
2
5
a
b
c
的立方根为3 27
3
．
14．如图①是由8 个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
(1)求出这个魔方的棱长；
(2)图①中阴影部分是一个正方形ABCD ，求出阴影部分的面积及其边长；
(3)把正方形ABCD 放到数轴上，如图②，使得点A 与表示2
的点重合，那么点D 在数轴上表示的数为
_____________．
【答案】(1)这个魔方的棱长为2
(2)阴影部分的面积为2 ，边长为2
(3) 2
2
- -
【分析】（1）设这个魔方的棱长为a ，根据正方体的体积公式列方程，利用立方根解方程即可；
（2）根据魔方的棱长，得到每个小立方体的棱长，进而得到每个小正方形的面积，再由魔方的一面的面积
的一半，求出阴影部分的面积，再结合正方形面积公式，即可求出边长；
（3）由（2）可知正方形ABCD 边长为2 ，用点A 表示的数减去边长求解即可．
【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为a ，则
3
8
a
，
解得：
2
a
，
即这个魔方的棱长为2；
（2）解：∵魔方的棱长为2，则每个小立方体的棱长都为1，
每个小正方形的面积都为1，
魔方的一面的面积为1 4
4
，
阴影部分的面积
1
4
2
2
，
∵正方形ABCD 的面积为2 ，
它的边长为2 ；
（3）解：由（2）可知正方形ABCD 边长为2 ，
2
AD
，
∵点A 与2
重合，
点D 在数轴上表示的数为2
2
- -
．
15．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题：
a
…
0.0001
0.01
1
100
10000
…
a
…
0.01
x
1
y
100
…
(1)表格中x ________，y ________；
(2)从表格中探究a 与
a 数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知10
3.16
，则1000≈________；
②已知3.24
1.8
，若
180
a
，则a ________；
(3)拓展：已知3 0.214
0.5981
，3 2.14
1.289
，3 21.4
2.776
，则3 2140 ________．
【答案】(1)0.1；10；
(2)①31.6；②32400；
(3)12.89
【分析】本题考查了被开方数和算术平方根以及被开方数和立方根之间的小数点位移关系．
【详解】（1）解：
0.01
0.1
x
；
100
10
y
．
（2）解：①根据表格观察发现，被开方数左/右移动两位，算术平方根左/右移动一位．
被开方数从10到1000，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位．
10
3.16
，
1000
31.6
≈
．
②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位．
算术平方根从1.8变成180．小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位．
3.24
1.8
，
32400
a
．
（3）解：被开方数左/右移动三位，立方根左/右移动一位．
3 2.14
1.289
，
∵被开方数从2.14 变为2140 ，小数点向右移动三位，
立方根小数点向右移动一位，
∴3 2140
12.89
．
16．【观察】
①
3
3
1
1
1
1
0
；
②
3
3
8
8
2
2
0
；
③
3
3
1000
1000
10
10
0
；
④3
3
1
1
1
1
0
64
64
4
4
．
【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
（1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________；
（2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数,a b ，
若3
3
0
a
b
，则a
b
___________，反之也成立；
【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若3
3
2
5
1
0
x
x
，求2
1
x 的算术平方根．
【答案】（1）
3
3
64
64
4
4
0
（答案不唯一）；（2）0；（3）3
【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义；
（1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式；
（2）由归纳可得当3
3
0
a
b
时，则
0
a
b
；
（3）由3 2
5
x
与3 1
x
的值互为相反数，可得2
5 1
0
x
x
，再进一步求解可得答案．
【详解】解：（1）
3
3
64
64
4
4
0
；
故答案为：
3
3
64
64
4
4
0
（答案不唯一）
（2）对于任意两个不相等的有理数,a b ，若3
3
0
a
b
，则
0
a
b
，反之也成立；
故答案为：0
（3）由（2）知，
3
3
2
5
1
0
x
x
，
2
5 1
0
x
x
，
解得
4
x
，
2
1
9
x
，
2
1
3
x
．
