第04 讲认识实数
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 无理数的识别
题型2 无理数的大小估算
题型3 实数概念理解
题型4 实数的分类
题型5 实数的性质
题型6 实数的数轴
题型7 实数的大小比较
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
无理数、实数、一一对
应、无限不循环小数、
数系扩充。
1. 理解无理数和实数的概念，知道实数分为有理数和无理数。
2. 能识别常见无理数（如π、含根号开不尽的数、无限不循环小数）。
3. 知道实数与数轴上的点一一对应，能在数轴上估算并标出简单无理数的位
置。
4. 体会数系扩充的必要性，感受逼近思想与数形结合的数学方法。
学习重点：无理数与实数的概念，以及实数与数轴上点的一一对应关系。
学习难点：理解无理数是无限不循环小数，以及用数轴上的点表示无理数（如2的几何构造）。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 无理数的概念
概念：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式
(2)常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号
的数，但根号下的数字开方开不尽，如
5 .
【易错提醒】
无理数是无限不循环小数。常见形式：含π的数、开方开不尽的根式（如√2）、有规律但不循环小数（如
0.1010010001…）。注意分数（如1/3）是循环小数，不是无理数。
即时即练在实数4 ，0 ，12
7 ，0.125，0.1010010001（两个1之间依次多一个0 ），
3 ，π
2 中，无理数有
（
）
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
【答案】C
【知识点】无理数
【分析】此题考查无理数的定义，解题关键在于掌握无理数为开方开不尽的数，以及像0.1010010001（两
个1之间依次多一个0 ），等有这样规律的数．
无理数：无限不循环的小数是无理数，根据无理数的定义依次判断即可；
【详解】解：上述数中，是无理数的有：0.1010010001（两个1之间依次多一个0 ），
3 ，π
2 ，共3个；
故选：C．
知识点02 实数
1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数.
2.实数的分类
按定义分：
按与0 的大小关系分：
实数
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
实数
0
正有理数
正数
正无理数
负有理数
负数
负无理数
3.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
【易错提醒】
实数包括有理数和无理数，不是仅指无理数。注意：所有开方运算结果不一定都是无理数（如√4=2），带
根号的数不一定是无理数。分类勿遗漏0。
即时即练把下列各数的序号填在相应的横线上：
①2
，②，③
1
3
，④3
，⑤22
7 ，⑥0.3
，⑦
5 ，⑧0，⑨1.1010010001（每两个1 之间依次
多一个0）．
整数_______________；
负分数_____________；
无理数_____________．
【答案】①④⑧；③⑥；②⑦⑨
【知识点】实数的分类
【分析】本题考查实数的分类，根据实数的分类即可求得答案．
【详解】解：整数：①④⑧；
负分数：③⑥；
无理数：②⑦⑨；
故答案为：①④⑧；③⑥；②⑦⑨．
题型1 无理数的识别
【例1】下列各数是无理数的是（
）
A．11
3
B．1
2 π
C．0
D．
9
【答案】B
【分析】本题考查无理数的识别，涉及无理数定义：无限不循环小数或无法表示为分数的数，熟记无理数
定义是解决问题的关键．根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或无法表示为分数的数即
可得到答案．
【详解】解：A、11
3 是分数，属于有理数，不符合题意；
B、1
2 π 中，π是无理数，有理数
1
2 与无理数π相乘仍为无理数，符合题意；
C、0 是整数，属于有理数，不符合题意；
D、
9
3
，是整数，属于有理数，不符合题意0
故选：B．
【例2】下列四个实数中，是无理数的是（
）
A．
4
B．0.3
C．
1
2
D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无理数的定义，即无限不循环小数，逐一判断各选项是否为
有理数或无理数．
【详解】A、
4
2
，是整数，属于有理数，不符合题意；
B、0.3是有限小数，可表示为分数3
10 ，属于有理数，不符合题意；
C、
1
2
是分数，属于有理数，不符合题意；
D、2 是无限不循环小数，属于无理数，符合题意；
故选：D．
【技巧归纳】
1. 定义法：无限不循环小数为无理数，常见π、e、开方开不尽的数（2）。
2. 排除法：整数、分数（含循环小数）为有理数，其余多为无理数。
3. 注意形式：
2
�仍无理，带根号但能开尽（4）则有理。
【变式1-1】在实数：3
3 4 ，3
，3，
27 ，
2
，0.1010010001（相邻每个1 之间依次多一个0），0.6 中，
无理数的个数是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义．
根据无理数的定义（无限不循环小数）逐一判断各数是否为无理数．
【详解】解：
3
3 4 （即3.75 ）：有限小数，属于有理数；
3
：整数，属于有理数；
3：整数，属于有理数；
27 ：化简为3 3 ，
3 是无理数，故
27 为无理数；
2
：是无理数，减去有理数2 仍为无理数；
0.1010010001（无限不循环）：符合无理数定义；
0.6 ：有限小数，可化为分数3
5 ，属于有理数；
综上，无理数共3 个，
故选：A．
【变式1-2】下列各数中：3
22
1,0,
0.4,
, 9,0.3,0.303003
7
（3 和3 之间的0 的个数依次增加1 个），π
2 ，
无理数有（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】D
【分析】此题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
【详解】解：3
1
1
，
9
3
，
10
0.4
5
，
∴3
1
、0 、9 是整数，22
7 是分数，0.3是小数，它们不是无理数；
0.4
，0.303003（3 和3 之间的0 的个数依次增加1 个），π
2 是无限不循环小数，它们是无理数，一共
3 个；
故选：D．
题型2 无理数的大小估算
【例3】下列各数，比
3 大的是（
）
A．3
B．0
C．3
D．2
【答案】C
【分析】本题考查了实数的大小比较，先估算2 和
3 的大小，再比较即可求解，掌握实数的大小比较方
法是解题的关键．
【详解】解：∵
2
1.414
，
3
1.732
，
∴比
3 大的是3，
故选：C ．
【例4】估计18
2
的值应在（
）
A．1 和2 之间
B．2 和3 之间
C．3 和4 之间
D．4 和5 之间
【答案】B
【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；通过估算18 的值，再减去2，
确定结果所在区间．
【详解】解：∵4
18
5
，
∴2
18
2
3
，
∴18
2
的值应在2 和3 之间；
故选B．
【技巧归纳】
1. 找邻近平方数：如5，因4<5<9，故2< 5<3。
2. 二分逼近：取中间值平方比较，逐步缩小范围到所需精度。
3. 保留近似值：常用1.414、1.732、2.236 等熟记。
【变式2-1】如图，数轴上点A 表示的数可能是（
）
A．2
B．
5
C．
7
D．10
【答案】A
【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解决本题的关键．
设点A 表示的数为a ，根据点A 在数轴上的位置，判断出a 的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可．
【详解】解：设点A 表示的数为a ，由图可知：1
2
a
，
∵1
2
4
，即：1
2
2
，故选项A 符合题意；
∵
4
5
9
，即：2
5
3
，故选项B 不符合题意；
∵
4
7
9
，即：2
7
3
，故选项C 不符合题意；
∵9
10
16
，即：3
10
4
，故选项D 不符合题意；
故选：A．
【变式2-2】《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即
2
2
c
a
b
（a 为“勾”，b
为“股”，c 为“弦”）若“勾”为2 ，“股”为3，则“弦”在如图所示数轴上可表示在（
）
A．A 点
B．B 点
C．C 点
D．D 点
【答案】C
【分析】本题考查无理数的估算，实数与数轴，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．根据题意列式
计算后估算其大小，然后确定其在数轴上的位置即可．
【详解】解：若“勾”为2 ，“股”为3，则
2
2
2
3
13
，
9
13
16
，
3
13
4
，
则“弦”在如图所示数轴上可表示在C 点，
故选：C．
题型3 实数概念理解
【例5】已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数2 ；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③
实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的个数是（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【知识点】实数与数轴、实数概念理解
【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的
概念和性质是解决问题的关键．根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概
念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得．
【详解】解：数轴上除了
2 还能表示有理数与其它无理数，故①错误；
任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②正确；
实数与数轴上的点一一对应，故③正确；
整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数，
∴有理数有无限个，无理数也有无限个，故④错误．
∴正确的是②③共2 个．
故选：B．
【例6】下列说法正确的是（
）
A．正实数和负实数统称实数
B．正数、0 和负数统称有理数
C．带根号的数和负数统称实数
D．无理数和有理数统称实数
【答案】D
【知识点】实数的分类、实数概念理解
【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可．
【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0 也是实数，故不符合题意；
B、正数、0 和负数统称有理数，错误，正数、0 和负数统称实数，故不符合题意；
C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意；
D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意；
故选：D．
【技巧归纳】
1. 实数组成：有理数（整数、分数）与无理数（无限不循环小数）。
2. 与数轴关系：每个实数与数轴上点一一对应。
3. 分类标准：按定义（有理/无理）或性质（正/负/零）区分，注意0 既非正非负。
【变式3-1】下列说法正确的是（
）
A．两个无理数的和一定是无理数
B．无限小数都是无理数
C．实数可以用数轴上的点来表示
D．分数可能是无理数
【答案】C
【知识点】实数概念理解、实数与数轴
【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可．
【详解】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数2 和
2
，它
们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意；
B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意；
C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意；
D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意．
故选：C．
【变式3-2】下列判断正确的是（
）
A．
5
2
是分数，是有理数
B．3 8 是整数，是有理数
C．22
7 是无限小数，是无理数
D．3.1415926 是小数，是无理数
【答案】B
【分析】本题考查有理数与无理数的定义．逐一分析各选项中的数是否属于所述类别，结合有理数与无理
数的定义判断正误．
【详解】解：A．
5 是无理数，其除以2 仍为无理数，故不是有理数，判断错误．
B．3 8
2
，是整数且属于有理数，判断正确．
C．22
7 是分数，属于有理数，判断错误．
D．3.1415926 是有限小数，属于有理数，判断错误．
故选：B．
题型4 实数的分类
【例7】把下列各数写入相应的括号中：
1
3
、3 16 、0.618
、π
2 、36 、0.1717717771（两个1 之间依
次增加一个7）．
(1)正实数：{
}；
(2)负实数：{
}；
(3)有理数：{
}；
(4)无理数：{
}．
【答案】(1) 3 16 ，π
2 ，36 ，0.1717717771（两个1 之间依次增加一个7）
(2)
1
3
，0.618
(3)
1
3
，0.618
，36
(4) 3 16 ，π
2 ，0.1717717771（两个1 之间依次增加一个7）
【分析】（1）根据正实数的定义确定，正实数包括正有理数和正无理数；
（2）根据负实数的定义确定，负实数包括负有理数和负无理数；
（3）根据有理数的定义确定，有理数包括整数和分数；
（4）根据无理数的定义确定，无理数是无限不循环小数．
【详解】（1）正实数：{ 3 16 ，π
2 ，36 ，0.1717717771（两个1 之间依次增加一个7）}；
（2）负实数：{
1
3
，0.618
}；
（3）
36
6
有理数：{
1
3
，0.618
，36 }；
（4）无理数：{ 3 16 ，π
2 ，0.1717717771（两个1 之间依次增加一个7）}．
【例8】请将下列各数分别填入相应的括号内：1.565565556
…（两个6 之间依次增加一个5），2.5
，0，
3 ，8，3
9
，π
2 ，3
4 ，0.05
，36 ，
10
．
正数：{
，…}；
有理数：{
，…}；
负数：{
，…}；
无理数：{
，…}．
【答案】正数：
π 3
3,8,
,
, 36,
2 4
；
有理数：
3
2.5,0,8,
, 0.05, 36,
4
；
负数：{ 1.565565556
（两个6 之间依次增加一个5），2.5
，3
9
，0.05
，
10
，…}；
无理数：{ 1.565565556
（两个6 之间依次增加一个5），
3 ，3
9
，π
2 ，
10
，…}．
【分析】根据正数、有理数、负数、无理数的定义进行分类．正数是大于0 的数；有理数是整数、有限小
数或无限循环小数；负数是小于0 的数；无理数是无限不循环小数．
本题考查了实数的分类，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
【详解】解：正数：
π 3
3,8,
,
, 36,
2 4
；
有理数：
3
2.5,0,8,
, 0.05, 36,
4
；
负数：{ 1.565565556
（两个6 之间依次增加一个5），2.5
，3
9
，0.05
，
10
，…}；
无理数：{ 1.565565556
（两个6 之间依次增加一个5），
3 ，3
9
，π
2 ，
10
，…}．
【技巧归纳】
1. 二分法：实数分为有理数和无理数。
2. 三分法：正实数、零、负实数。
3. 有理数再分：整数（正整数、零、负整数）和分数（正负分数、有限小数、无限循环小数）。
4. 注意：无理数是无限不循环小数。
【变式4-1】在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．
7
8
，3 16 ，π
3 ，3.14，
3 8
，0，0.64 ，
3
7
，5.123
（小数部分由相继的正整数组成）．
(1)有理数集合：{
…}；
(2)无理数集合：{
…}；
(3)正实数集合：{
…}；
(4)负实数集合：{
…}．
【答案】(1)
3
7 ,3.14,
8,0, 0.64
8
(2) 3 16 ，π
3 ，5.123
…（小数部分由相继的正整数组成），
3
7
(3)
3
π
16,
,3.14, 0.64
3
(4) 5.123
（小数部分由相继的正整数组成），
7
8
，
3 8
，
3
7
【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
（1）（2）（3）（4）根据有理数、无理数、正实数、负实数的定义分类即可．
【详解】（1）解：有理数集合：
3
7 3.14
8 0
0.64
8
，
，
，，
；
（2）解：无理数集合：{ 3 16 ，π
3 ，5.123
…（小数部分由相继的正整数组成），
3
7
，}；
（3）解：正实数集合：
3
π
16
3.14
0.64
3
，，
，
；
（4）解：负实数集合：{ 5.123
（小数部分由相继的正整数组成），
7
8
，
3 8
，
3
7
，}．
【变式4-2】把下列各数填入相应的大括号内：
3 2 ，
3
2
，3
8
，0.5，2π，3.14159265，
25
，1.3030030003…（两个3 之间依次增加一个0）．
有理数：｛
｝；
无理数：｛
｝；
整数：｛
｝；
负实数：｛
｝．
【答案】有理数：
3
3
8 0.5 3.14159265
25
2
，
，，
，
；
无理数：
3 2,2 ,1.3030030003...
；
整数：
3
8
25
，
负实数：
3
3
8
25
2
，
，
．
【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实数
包括负有理数和负无理数解答．
【详解】解：有理数：
3
3
8 0.5 3.14159265
25
2
，
，，
，
；
无理数：
3 2,2 ,1.3030030003...
；
整数：
3
8
25
，
负实数：
3
3
8
25
2
，
，
．
题型5 实数的性质
【例9】实数
7
2
的相反数是__________．
【答案】2 7
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此即可获得答案．
【详解】解：实数
7
2
的相反数是2 7 ．
【例10】1
2
的相反数是______，3
π
的绝对值是______．
【答案】
2
1
π
3
【详解】解：1
2
的相反数为
1
2
2
1
.
π
3.14
3
，
3
π
0
，则
3
π
3
π
π
3
．
【技巧归纳】
1. 运算封闭：加、减、乘、除（除数≠0）结果仍为实数。
2. 比较大小：正数>0>负数；两负数绝对值大的反而小。
3. 数轴对应：每个实数与数轴上的点一一对应。
4. 相反数、倒数、绝对值：定义与有理数相同。
【变式5-1】1
3
的相反数是______，1
3
的绝对值是______．
【答案】
3
1
/ 1
3
3
1
/ 1
3
【详解】解：1
3
的相反数为
1
3
3
1
．
∵1
3
2
，
∴1
3
0
，
∴
1
3
1
3
3
1
．
【变式5-2】（1）3
7 的倒数是__________．
（2）相反数和绝对值都为3
5
的实数是_____________．
（3）3 27
8
的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________．
【答案】
7
3
5
3
3
2
3
2
2
3
【分析】本题考查实数的性质，包括倒数、相反数和绝对值的定义和计算．
（1）根据倒数的定义求解即可；
（2）根据相反数和绝对值的定义求解即可；
（3）先化简3 27
8
，再根据相反数、倒数和绝对值的定义求解即可．
【详解】解：（1）3
7 的倒数是
7
3
；
故答案为：
7
3
；
（2）设该实数为x ，则相反数为x
，绝对值为x ，且
3
5
x
x
，由于3
5
0
，
∴
3
5
5
3
x
；
故答案为：5
3
；
（3）3 27
8
= 3
2 ，其相反数为
3
2
，绝对值为3
2 ，倒数为2
3 ；
故答案为：
3
2
，3
2 ，2
3 ．
题型6 实数的数轴
【例11】如图，数轴上的点M 表示的数为m ，则m
．
【答案】
5
【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴．根据勾股定理求出AB 的长，即可得到AM 的长，再根据
数轴上两点距离计算公式求解即可．
【详解】解：如图，
2
2
1
2
5
AM
AB
，
∴
5
m
，
故答案为：
5 ．
【例12】如图，在数轴上，点B 表示的数为2
，AB 垂直数轴，
3
AB ，连接OA，以点O为圆心，OA长
为半径作弧，交数轴的正半轴于点P ，则点P 表示的实数为
．
【答案】13
【分析】本题主要考查了实数，勾股定理，正确记忆勾股定理的公式解题关键．先根据题意确定AB ，OB ，
再根据勾股定理求出OA，即可得答案．
【详解】解：由题意可知
3
AB ，
2
OB
，
根据勾股定理，得
2
2
2
2
2
3
13
OA
OB
AB
，
点P 在正半轴，且OP
OA
点P 对应的实数为13 ，
故答案为：13 ．
【技巧归纳】
1. 一一对应：每个实数对应数轴上唯一一点，反之亦然。
2. 比较大小：右点表示的数大于左点。
3. 表示无理数：用勾股定理作
2 等，以原点为心画弧取点。
4. 求距离：|a-b|。
【变式6-1】如图，数轴上点A 所表示的数为1，点B，C，D 是4 4
的正方形网格上的格点，以点A 为圆
心，AD 长为半径画圆交数轴于M，N 两点，则N 点所表示的数为
．
【答案】1
10
/ 10
1
【分析】本题考查了实数与数轴，直接利用勾股定理得出AD 的长，再利用数轴得出答案．
【详解】解：由图知，
90
AOD
，
∴
AOD
△
是直角三角形，
∵
1
OA ，
3
OD ，
∴
2
2
3
1
10
AD
，
∴
10
AN
AM
AD
，
∴N 点所表示的数为：1
10
．
故答案为：1
10
．
【变式6-2】如图，数轴上表示1,
2 的对应点分别为A，B，点B 到点A 的距离与点C 到点O 的距离相等，
设点C 所表示的数为x．
(1)写出实数x 的值．
(2)求
2
2
x
的值．
【答案】(1)
2
1
x
(2)1
【分析】本题考查了实数与数轴．
（1）先求出
2
1
AB
，再根据点B 到点A 的距离与点C 到点O 的距离相等作答即可；
（2）将
2
1
x
代入
2
2
x
计算即可．
【详解】（1）解：∵点A，B 分别表示1，
2，
2
1
AB
，
∵点B 到点A 的距离与点C 到点O 的距离相等，
2
1
x
；
（2）解：
2
1
x
2
2
2
2
1
2
1
x
题型7 实数的大小比较
【例13】比较大小：
7
2 ．
【答案】
【分析】本题考查的是实数的大小比较．利用平方法将两个数都转化为有理数是解决此题的关键．因为两
个数均大于0，将二者平方后比较大小，平方大的数就大．
【详解】解：∵7
4
，
∴
7
2
故答案为：．
【例14】比较大小：26
5．(填“ ”“”或“ ”)
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，根据
26
25
5
，即可求解．
【详解】解：∵
26
25
5
，
∴
26
5
．
故答案为：．
【技巧归纳】
1. 数轴法：右大左小。
2. 近似法：取无理数近似值比较。
3. 平方法：平方后比较（正数）。
4. 作差法：差>0 则大。
5. 作商法：商>1 且正数则大。
6. 找中间量。注意分母有理化。
【变式7-1】比较大小：13
1
2 （选填“ ”，“”或“ ”）．
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，正确估算出13 的取值是解题关键．先判断出3
13
4
，即可判断
出2
13 1
3
，问题得解．
【详解】解：∵3
13
4
，
∴2
13 1
3
．
故答案为：
【变式7-2】（1）比较
5
1
与
2
2
的大小；
（2）比较
7 与3 29 的大小
【答案】（1）
2
5
1
2
；（2）
3
7
29
【分析】本题考查了实数的大小比较．
（1）先确定
5
1
的范围，再确定
2
2
的范围，即可比较；
（2）先确定
7 和3 29 的范围，即可比较．
【详解】解：（1）因为2
5
3
，
所以3
5
2
，
所以2
5
1
1
，
因为1
2
2
，
所以2
2
1
- < -
< - ，
所以
2
1
1
2
2
，
所以
5
2
1
2
；
（2）因为2
7
3
，
3
3
29
4
，
所以
3
7
29
．
一、单选题
1．实数
6
的相反数是（
）
A．
6
B．
5
C．6
D．6
【答案】A
【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数，
∴
6
的相反数为(
6)
6
．
2．如图，在数轴上表示13
2
的点可能是（
）
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
【答案】B
【分析】先判断出13 的取值范围，进而可得出结论．
【详解】解：
3
13
4
，
1
13
2
2
，
B
点符合题意．
故选：B．
3．在22
7 ，0，π
2 ，10 ，3.14，3 9 ，
25 ，0.202002000…实数中，无理数有（
）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【答案】B
【分析】根据无理数定义（无限不循环小数是无理数），逐个判断给定实数，统计无理数个数得到结果，
常见无理数包括含π的数、开方开不尽的数、无限不循环小数三类．
【详解】∵22
7 是分数，0 是整数，3.14 是有限小数，
25
5
是整数，以上都属于有理数；
又∵π
2 中π是无限不循环小数，
∴π
2 是无理数，
∵10 开平方开不尽，是无限不循环小数，
∴是无理数，
∵3 9 开立方开不尽，
∴是无理数，
∵0.202002000…是无限不循环小数，
∴是无理数，
22
7 是分数、0 是整数、3.14 是有限小数、
25 5
＝是整数，这些都是有理数，
∴无理数共有4 个．
4．如图，数轴上A，B 两点表示的数分别是2
和
5 ，A 是线段BC 的中点，则点C 所表示的实数为（
）
A．4
5
B．2
5
C．4
5
D．4
5
【答案】A
【分析】根据题意可得AB
AC
，再根据右边的点减去左边的点表示数轴上两点之间的距离，据此求解即
可．
【详解】解：设C 点表示的数为x ，
∵点B 关于点A 的对称点为C，
AB
AC
，即5
2
2
x
，
解得
4
5
x
，
点C 所表示的实数为4
5
．
5．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c ，
记
2
a
b
c
P
，那么三角形的面积
S
P P
a
P
b
P
c
．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，
其面积S 介于整数
1
n 和n 之间，则n 的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】先根据公式计算出三角形面积，再估算面积的范围即可得到n 的值．
【详解】解：根据题意，三角形三边长为2 ，3，3，
则
2
3
3
4
2
P
，
∴
4
4
2
4
3
4
3
8
S
，
∵4
8
9
，
∴2
8
3
，
∵面积S 介于整数
1
n 和n 之间，
∴
3
n
．
二、填空题
6．如图，在数轴上点A 表示的实数是________
【答案】10
【分析】先由勾股定理求解
2
2
10
OB
OC
BC
，再由实数与数轴的对应关系即可得到点A 表示的实数．
【详解】解：由勾股定理可得，
2
2
2
2
3
1
10
OB
OC
BC
∴
10
OA
∴在数轴上点A 表示的实数是10 ．
7．比较大小：
7
______ 3
．
5
1
6
______ 1
6 ．
【答案】
【分析】通过比较
7
和3
的绝对值的大小，再根据两个负数比较大小绝对值大的反而小即可；先比较
5
和
4 的大小，然后比较5
1
和
4
1
的大小即可．
【详解】解：①
7
7
，
3
3
9
，
7
9
，
∴
7
3
．
5
4
2
，
∴
5
1
2 1 1
，
∴
5
1
1
6
6
．
8．若n 为正整数，且满足
13
1
n
n
，则数轴上表示n 的数的点为______．（填字母）
【答案】C
【分析】通过平方法估算13 的范围即可求解．
【详解】解：
23
9
，
2
4
16
，
∵9
13
16
，
∴
9
13
16
，即3
13
4
，
∵n 为正整数，且满足
13
1
n
n
，
∴
3
n
，
∴数轴上表示n 的数的点为C ．
9．在0 ，22
7 ，4 ，0.101001
（每两个1之间0 的个数依次增加1），π，5 中，无理数的个数有______
个．
【答案】
3
【分析】先将
4 化简，再根据无理数的定义逐个判断各数即可求解．
【详解】解：0 是整数，属于有理数；
22
7 是分数，属于有理数；
4
2
，是整数，属于有理数；
0.101001
（每两个1之间0 的个数依次增加1）是无限不循环小数，是无理数；
π是无限不循环小数，是无理数；
5 是开方开不尽的数，是无理数；
无理数有3个．
10．斐波那契数列中的第n 项可以用1
1
5
1
5
2
2
5
n
n
表示，随着数列项数的增加，前一项与后一
项之比越来越逼近黄金分割的数值，因此斐波那契数列又称黄金分割数列．在上述式子中，1
5
2
最接近
的整数为______．
【答案】2
【分析】估算出2
5
3
，从而可得3
1
5
2
2
2
，由此即可得出结果．
【详解】解：∵
4
5
9
，
∴2
5
3
，
∴3
1
5
4
，
∴3
1
5
2
2
2
，
∴1
5
2
最接近的整数为2．
三、解答题
11．利用勾股定理在数轴上画出34 的点P
【答案】
【分析】在数轴原点O的正半轴上取点A ，使
5
OA （单位长度）；过点A 作数轴的垂线，在垂线上截取
3
AB
（单位长度）；连接OB ，由勾股定理得
2
2
5
3
34
OB
，再以原点O为圆心，OB 长为半径画弧，交
数轴正半轴于点P ，点P 就是表示
34 的点．
【详解】略
12．把下列各数的序号分别填入相应的集合内：
①
11
12
，②3 2 ，③1
4
，④0，⑤
0.4
，⑥3
125
，⑦
π
4
，⑧0.13030030003…（相邻的两个3 之间依
次多1 个0），⑨0.23
，⑩3.14．
(1)整数集合：{
…}；
(2)分数集合：{
…}；
(3)非负有理数集合：{
…}；
(4)无理数集合：{
…}．
【答案】(1)③④⑥
(2)①⑨⑩
(3)④⑨⑩
(4)②⑤⑦⑧
【分析】（1）根据整数的定义作答即可；
（2）根据分数的定义作答即可；
（3）根据非负有理数的定义作答即可；
（4）根据无理数的定义作答即可．
【详解】（1）解：③1
4
1 2
1
是整数，④0 是整数，⑥3
125
5
是整数，
整数集合：③④⑥；
（2）解：①
11
12
是分数，⑨0.23
是分数，⑩3.14 是分数．
分数集合：①⑨⑩；
（3）解：④0 是非负有理数，⑨0.23
是非负有理数，⑩3.14 是非负有理数；
非负有理数集合：④⑨⑩；
（4）解：②3 2 是无理数，⑤
0.4
是无理数，⑦
4
是无理数，
⑧0.13030030003(相邻的两个3 之间依次多1 个0)是无理数，
无理数集合：②⑤⑦⑧．
13．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，以下画图要求
所画图形的顶点都在格点上．
(1)在图①中画一条长度为13 的线段；
(2)在图②中画一个面积为5 的正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）找一个长3 格宽2 格的长方形的对角线长即为
2
2
2
3
13
AB
；
（2）根据勾股定理得出边长为
5 的正方形即可；
【详解】（1）解：如图，
2
2
2
3
13
AB
，
（2）解：如图，正方形CDEF 边长为
2
2
1
2
5
，则面积为5
14．如图，数轴上A、B、C 三个点表示的数分别为a、b、c．
(1)若点B 为原点，点A 与点C 到点B 的距离相等，
3
c
，则a 的值为__________；
(2)若a，b，c 为三个连续的正整数，且他们的和为12，求
2
1
1
a a
a
的值．
【答案】(1)
3
(2)2，见详解
【分析】（1）根据题意可得AB
BC
，求出BC 的长即可求解；
（2）首先根据三个数的和为12 求出a 的值，然后把所求的整式化简，最后代入求值即可．
【详解】（1）解：
3
．
由题意得，AB
BC
．
点
B 为原点，
3
c
，
3
AB
BC
，
3
a
；
（2）解：
a
、b 、c 为三个连续的正整数，
1
2
b
a
c
a
，
．
又
12
a
b
c
，
1
2
12
a
a
a
，
3
a
．
化简
2
1
1
a a
a
，得
原式=
2
2
(
2
1)
a
a
a
a
=
1
a ．
把
3
a
代入，得
原式=3 1
2
．
15．勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．若设直角
三角形的两条直角边分别为a 和b，斜边为c，则满足
2
2
2
a
b
c
．
(1)若直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为__________；若直角三角形有两条边分别是3 和4，则第三
条边长为__________．
(2)请你以直角板和圆规为工具，在数轴上找到表示数字
5
2
的点P．
【答案】(1) 2 ，5或
7
(2)
【分析】（1）根据勾股定理进行计算，即可求解；
（2）过原点作数轴的垂线，截取线段OB
1
，连接AB ，以A 为圆心AB 为半径在A 点的右侧作弧，交数
轴于点P ，则点P 表示的数为
5
2
．
【详解】（1）解：直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为
2
2
1
1
2
；
直角三角形有两条边分别是3 和4，
当4 直角边时，则第三条边长为
2
2
3
4
5
，
当4 斜边时，则第三条边长为
2
2
4
3
7
，
（2）略
