预习讲义 第09 讲 角的平分线（学生版）
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析教材·学知识
【知识点1 作已知角的平分线】
已知：∠AOB，求作：∠AOB 的平分线．
作法：
（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M，交OB 于点N．
（2）分别以点M，N 为圆心，大于1/2MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C．
（3）画射线OC．射线OC 即为所求．
如图所示：
★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．
【知识点2 角的平分线的性质】
内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
如图，OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
结论：PD=PE.
【提示】
（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其
他结论．
【知识点3 角的平分线的判定】
内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
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如图，△ABC 的角平分线BM，CN 相交于点P.
结论：①点P 到三边AB，BC，CA 的距离相等；②△ABC 的三条角平分线交于一点.
【提示】角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线
上，角的外部的点不会在角的平分线上．
练题型·强知识
【题型1 角平分线的性质直接应用】
【例1】如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，垂足为点E，𝐴𝐷= 6，𝐴𝐶= 10，则𝐷𝐸
的长是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【变式1-1】如图，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶交𝐴𝐶于𝐷，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝐸𝐷的延长线交𝐵𝐶的延长线于𝐹．求
证：𝐴𝐸= 𝐶𝐹．
【变式1-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于E，F 在𝐴𝐶上，且𝐵𝐷= 𝐷𝐹．
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(1)求证：𝐶𝐹= 𝐸𝐵；
(2)试判断𝐴𝐵与𝐴𝐹，𝐸𝐵之间存在的数量关系．并说明理由．
【变式1-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为∠𝐵𝐴𝐶的平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹，△𝐴𝐵𝐶面积是56cm2，
𝐴𝐵= 20 cm，𝐴𝐶= 8cm，求𝐷𝐸的长．
【题型2 作一边的垂线】
【例2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为∠𝐵𝐴𝐶的平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于点𝐸，𝐷𝐸= 2，𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 16，则△𝐴𝐵𝐶的
面积为（ ）
A．32
B．20
C．16
D．8
【变式2-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的中线，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝐴𝐷，𝐶𝐸相交于点𝐹，连接𝐵𝐹．若𝐵𝐹
平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐸𝐹= 3，𝐵𝐶= 9，则△𝐶𝐷𝐹的面积为（ ）
A．
27
2
B．
9
2
C．
27
4
D．6
【变式2-2】如图，𝐴𝐵平行𝐶𝐷，𝑃𝐵和𝑃𝐶分别平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐷𝐶𝐵，𝐴𝐷过点P，且与𝐴𝐵垂直，若𝐴𝐷= 8cm，
𝐵𝐶= 10cm，求四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积？
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【变式2-3】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷,𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸,∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐵= 180°．
(1)求证：2𝐴𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐷．
(2)当𝐴𝐷= 4,𝐵𝐸= 3时，𝐴𝐵= ______（直接写出结果）
【题型3 作两边的垂线】
【例3】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐷是它的对角线，𝐴𝐷= 𝐶𝐷，若𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴= 119°，则∠𝐷𝐶𝐵的
度数为（ ）
A．62°
B．61°
C．60°
D．59°
【变式3-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是它的角平分线，𝐴𝐸是它的中线，𝐴𝐵= 5，𝐴𝐶= 3，𝐵𝐶= 7，则𝐸𝐷长
为（ ）
A．
15
7
B．
7
15
C．
7
8
D．
15
8
【变式3-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑂，𝐶𝑂分别平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵，𝑂𝐷⊥𝐵𝐶于点D．若𝑂𝐷= 3，△𝐴𝐵𝐶的
面积是50，则△𝐴𝐵𝐶的周长为（ ）
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A．
50
3
B．25
C．
100
3
D．50
【变式3-3】已知𝑂𝑀是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，P 是射线𝑂𝑀上一点，点C，D 分别在射线𝑂𝐴,𝑂𝐵上，连接𝑃𝐶,𝑃𝐷．
(1)如图①，当𝑃𝐶⊥𝑂𝐴，𝑃𝐷⊥𝑂𝐵时，𝑃𝐶与𝑃𝐷的数量关系是______；
(2)如图②，点C，D 分别在射线𝑂𝐴,𝑂𝐵上运动，且∠𝐴𝑂𝐵= 90°．当∠𝑃𝐶𝑂+ ∠𝑃𝐷𝑂= 180°时，𝑃𝐶与𝑃𝐷在
（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由．
【题型4 尺规作角平分线】
【例4】尺规作图：已知点𝑀、𝑁和∠𝐴𝑂𝐵．
(1)画直线𝑀𝑁；
(2)在直线𝑀𝑁上求作点P，使点P 到∠𝐴𝑂𝐵的两边的距离相等．
【变式4-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中.
(1)尺规作图：作∠𝐵𝐴𝐶的平分线𝐴𝐷交𝐵𝐶于点D.（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若𝐴𝐵= 8，𝐴𝐶= 6，△𝐴𝐵𝐷的面积为12，求△𝐴𝐵𝐶的面积
【变式4-2】如图，已知在△𝐴𝐵𝐶中．
(1)分别作∠𝐵，∠𝐶的平分线，它们交于点O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
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(2)当∠𝐴= 60°时，∠𝐵𝑂𝐶的度数为______．
(3)当∠𝐴= 𝛼时，用含𝛼的代数式表示∠𝐵𝑂𝐶的度数．
【变式4-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，用圆规和无刻度直尺在AB 上方作∠𝑃𝐵𝐴=
1
2∠𝐶．（保留作图痕迹，不要求
写作图过程）
【题型5 证角平分线】
【例5】如图，∠𝐵= ∠𝐶= 90°，M 是𝐵𝐶的中点，𝐷𝑀平分∠𝐴𝐷𝐶．求证：𝐴𝑀平分∠𝐷𝐴𝐵．
【变式5-1】如图，𝐵𝐸= 𝐹𝐷，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于点E，𝐶𝐷⊥𝐴𝐹交𝐴𝐹的延长线于点D，且𝐵𝐶= 𝐹𝐶，求证：𝐴𝐶是∠𝐵𝐴𝐹
的平分线．
【变式5-2】如图，𝐵𝑃是∠𝐴𝐵𝐶内部的一条射线，点𝐷在𝐵𝑃上，连接𝐴𝐷、𝐶𝐷，𝐴𝐷= 𝐶𝐷，过点𝑃作𝑃𝑀⊥𝐴𝐷，
𝑃𝑁⊥𝐶𝐷，𝑀，𝑁分别是垂足，且𝑃𝑀= 𝑃𝑁，求证：𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶．
【变式5-3】如图：𝐴𝐸⊥𝐴𝐵，𝐴𝐹⊥𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐵，𝐴𝐹= 𝐴𝐶，
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(1)图中𝐸𝐶、𝐵𝐹有怎样的位置关系？试证明你的结论．
(2)连接𝐴𝑀，求证：𝑀𝐴平分∠𝐸𝑀𝐹．
【题型6 角平分线的判定与性质综合】
【例6】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵= 50°，点𝐷在△𝐴𝐵𝐶的外部，且𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，交𝐴𝐶
的延长线于点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐵𝐶，交𝐵𝐶于点𝐹，连接𝐵𝐷．若∠𝐵𝐶𝐸= 104°，𝐷𝐸= 𝐷𝐹，求∠𝐷𝐵𝐶的度数
【变式6-1】如图，𝐵𝑃，𝐶𝑃分别是△ABC 的一个内角及一个外角的平分线，𝑃𝑄⊥𝐴𝐶，垂足为点Q，连接
𝐴𝑃．
(1)若∠𝐵𝐴𝐶= 60°，求∠𝑃𝐴𝐶的度数；
(2)设𝐵𝐶= 𝑎，𝐴𝐶= 𝑏，𝐴𝐵= 𝑐，求线段𝐴𝑄、𝐶𝑄的长度（用含𝑎，𝑏，𝑐的式子表示）．
【变式6-2】如图在△𝐴𝐵𝐶中，点D 在𝐵𝐶边上，∠𝐵𝐴𝐷= 40°，∠𝐴𝐵𝐶的平分线交𝐴𝐶于点E，过点E 作
𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，交𝐵𝐴的延长线于点F，且∠𝐴𝐸𝐹= 20°，连接𝐷𝐸．
(1)求证：𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶；
(2)若𝐴𝐵= 6,𝐴𝐷= 5,𝐶𝐷= 7，且𝑆△𝐴𝐶𝐷= 12，求△𝐴𝐵𝐸的面积．
【变式6-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D 在𝐵𝐶边上，∠𝐵𝐴𝐷= 110°，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶交𝐴𝐶于点E，过点E 作𝐸𝐹⊥𝐴𝐵
交𝐵𝐴的延长线于点F，且∠𝐴𝐸𝐹= 55°，连接𝐷𝐸．
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(1)求∠𝐶𝐴𝐷的度数；
(2)求证：𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶；
(3)若𝐴𝐷= 4，𝐶𝐷= 8，且𝑆△𝐴𝐶𝐷= 15，求𝐸𝐹的长．
串知识·识框架
过关测·稳提升
1．如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，以点A 为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交𝐴𝐶、𝐴𝐵于点M、N，再
分别以点M、N 为圆心，大于
1
2𝑀𝑁的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线𝐴𝑃交边𝐵𝐶于点D，点E 在边
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𝐴𝐵上，连结𝐷𝐸，则下列结论错误的是（ ）
A．𝐴𝑀= 𝐴𝑁
B．连结𝑃𝑀、𝑃𝑁，根据SAS可判定△𝐴𝑀𝑃≌△𝐴𝑁𝑃
C．∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷
D．𝐷𝐸的最小值是𝐷𝐶的长
2．如图，𝐴𝑃平分∠𝐶𝐴𝐵，𝑃𝐷⊥𝐴𝐶于点D，若𝑃𝐷= 4.5，点E 是边𝐴𝐵上一动点，关于线段𝑃𝐸叙述正确的是
（ ）
A．𝑃𝐸= 4.5
B．𝑃𝐸> 4.5
C．𝑃𝐸≤4.5
D．𝑃𝐸≥4.5
3．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 18，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸．若𝐷𝐸= 4，则△𝐴𝐵𝐶的面积为
（ ）
A．12
B．18
C．24
D．36
4．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D 是𝐶𝐵延长线上一点，∠𝐴𝐶𝐵与∠𝐴𝐵𝐷的角平分线交于点E，连接𝐴𝐸．若要求∠𝐵𝐴𝐸
的度数，只需要知道下列哪个角的度数（ ）
A．∠𝐴𝐵𝐶
B．∠𝐴𝐶𝐵
C．∠𝐵𝐴𝐶
D．∠𝐴𝐸𝐵
5．如图，△𝐴𝐵𝐶的角平分线为𝐴𝐷，过点D 作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，垂足为F，E 是线段𝐵𝐶的中点．若𝑆△𝐴𝐸𝐶= 6，
𝐷𝐹= 2，𝐴𝐶= 7.5，则△𝐴𝐵𝐷的面积是（ ）
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A．3.5
B．4
C．4.5
D．5
6．如图，Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点D，E 为线段𝐴𝐶上一点，连接𝐷𝐸，且
∠𝐵= ∠𝐶𝐸𝐷．若𝐴𝐵= 16，𝐶𝐸= 7，则𝐴𝐸的长为
；
7．如图，△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐷𝐴𝐶和∠𝐴𝐶𝐸的平分线相交于点𝑀，点𝑀到𝐵𝐸的距离为4．若𝐴𝐵= 7，𝐵𝐶= 9，则
四边形𝐴𝐵𝐶𝑀的面积为
．
8．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 3，𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝐶的平分线，如果△𝐴𝐵𝐶的面积为
3
2，那么△𝐷𝐵𝐶的面
积为
．
9．如图，在锐角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 60°，𝐵𝐸，𝐶𝐷分别为△𝐴𝐵𝐶的角平分线．𝐵𝐸，𝐶𝐷相交于点𝐹，𝐹𝐺
平分∠𝐵𝐹𝐶，已知𝐵𝐷= 3，𝐶𝐸= 2，△𝐵𝐹𝐶的面积= 2.5，求△𝐵𝐶𝐷的面积= ．
10．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵∥𝐷𝐶，∠𝐷𝐴𝐵的平分线交𝐵𝐶于点𝐸，𝐷𝐸⊥𝐴𝐸，若𝐴𝐷= 12，𝐵𝐶= 8，则四
边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长为 ．
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11．如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为D．
(1)求作∠𝐴𝐵𝐶的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；）
(2)若∠𝐴𝐵𝐶的平分线分别交𝐴𝐷，𝐴𝐶于𝑃，𝑄两点，证明：∠𝐴𝑃𝑄= ∠𝐴𝑄𝑃．
12．如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐵𝐶= 𝐷𝐶，𝐶𝐸⊥𝐴𝐷于点𝐸，𝐴𝐷= 12，𝐴𝐵= 7，则求线段𝐷𝐸的
长为多少？
13．如图，点D 为△𝐴𝐵𝐶外一点，G 为𝐵𝐶的中点，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点E，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶交𝐴𝐶的延长线于点F，连接
𝐷𝐺，𝐴𝐷，且𝐷𝐺⊥𝐵𝐶，𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
(1)求证：𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶；
(2)若𝐴𝐵= 15，𝐴𝐶= 9，求𝐴𝐸的长．
14．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 120°，𝐵𝐸，𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，它们相交于点𝐼．
(1)如图1，连接𝐴𝐼，求证：点𝐼在∠𝐵𝐴𝐶的平分线上；
(2)如图2，延长𝐴𝐼交𝐵𝐶于点𝐷，过点𝐹作𝐹𝑇⊥𝐵𝐶于点𝑇，𝐹𝐿⊥𝐴𝐷于点𝐿．求证：𝐹𝑇= 𝐹𝐿．
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15．教材呈现：
我们在教材第28 页已经学习过：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．我们可以用演绎推理的数学
方法来证明这一定理．
定理证明：
（1）请结合图（1）写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程；
已知：
求证：
证明：
知识应用：
（2）如图（2）在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵= ∠𝐶，点𝐸在边𝐵𝐶上，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶．
①求证：𝐵𝐸= 𝐶𝐸；
②若四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长为20，面积为26，𝐵𝐸= 2，则△𝐴𝐵𝐸的边𝐴𝐵上高的长度为 ．
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答案解析
练题型·强知识
【题型1 角平分线的性质直接应用】
【例1】如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，垂足为点E，𝐴𝐷= 6，𝐴𝐶= 10，则𝐷𝐸
的长是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及线段的和差关系，根据角平分线的性质得出𝐷𝐸= 𝐷𝐶，再利用
线段的和差关系可求出结果．
【详解】解：∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐸𝐷= 90°，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐶= 90°，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐶，
∵𝐴𝐷= 6，𝐴𝐶= 10，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐶= 𝐴𝐶−𝐴𝐷= 10−6 = 4，
故选：C．
【变式1-1】如图，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶交𝐴𝐶于𝐷，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝐸𝐷的延长线交𝐵𝐶的延长线于𝐹．求
证：𝐴𝐸= 𝐶𝐹．
【答案】证明见解析．
【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，由角平分线的性质可求得𝐷𝐶= 𝐷𝐸，则
可证得△𝐴𝐷𝐸≌△𝐹𝐷𝐶(ASA)，再利用全等三角形的性质可证得结论，熟练掌握角平分线的性质，全等三角
形的判定与性质是解题的关键．
【详解】证明：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
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∴𝐷𝐶⊥𝐵𝐹，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐶⊥𝐵𝐹，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐶，∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐹𝐶𝐷= 90°，
在△𝐴𝐷𝐸和△𝐹𝐷𝐶中，
∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐹𝐶𝐷= 90°
𝐷𝐸= 𝐷𝐶
∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐹𝐷𝐶
，
∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐹𝐷𝐶(ASA)，
∴𝐴𝐸= 𝐶𝐹．
【变式1-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于E，F 在𝐴𝐶上，且𝐵𝐷= 𝐷𝐹．
(1)求证：𝐶𝐹= 𝐸𝐵；
(2)试判断𝐴𝐵与𝐴𝐹，𝐸𝐵之间存在的数量关系．并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)𝐴𝐵= 𝐴𝐹+ 2𝐵𝐸，理由见解析
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质得到𝐷𝐶= 𝐷𝐸，证明Rt △𝐹𝐶𝐷≌Rt △𝐵𝐸𝐷，根据全等三角形的性质证明；
（2）证明Rt △𝐴𝐶𝐷≌Rt △𝐴𝐸𝐷，根据全等三角形的性质证明．
【详解】（1）证明：∵𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，∠𝐶= 90°，
∴𝐷𝐶= 𝐷𝐸，
在Rt △𝐹𝐶𝐷和Rt △𝐵𝐸𝐷中，
𝐷𝐶= 𝐷𝐸
𝐷𝐹= 𝐷𝐵
，
∴Rt △𝐹𝐶𝐷≌Rt △𝐵𝐸𝐷(HL)，
∴𝐶𝐹= 𝐸𝐵；
（2）解：𝐴𝐵= 𝐴𝐹+ 2𝐵𝐸，
理由如下：在Rt △𝐴𝐶𝐷和Rt △𝐴𝐸𝐷中，
𝐷𝐶= 𝐷𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
，
∴Rt △𝐴𝐶𝐷≌Rt △𝐴𝐸𝐷(HL)，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐸，
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∴𝐴𝐵= 𝐴𝐸+ 𝐵𝐸= 𝐴𝐹+ 𝐹𝐶+ 𝐵𝐸= 𝐴𝐹+ 2𝐵𝐸．
【变式1-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为∠𝐵𝐴𝐶的平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹，△𝐴𝐵𝐶面积是56cm2，
𝐴𝐵= 20 cm，𝐴𝐶= 8cm，求𝐷𝐸的长．
【答案】𝐷𝐸= 4cm
【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
根据角平分线的性质得出𝐷𝐸= 𝐷𝐹，根据三角形面积公式推出𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷=
1
2𝐷𝐸(𝐴𝐵+ 𝐴𝐶)，代
入数据求解即可．
【详解】解：∵𝐴𝐷为∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵,𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷
= 1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸+ 1
2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐹
= 1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸+ 1
2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐸
=
1
2𝐷𝐸⋅(𝐴𝐵+ 𝐴𝐶)，
∵△𝐴𝐵𝐶的面积是56cm2,𝐴𝐵= 20cm,𝐴𝐶= 8cm，
∴56 =
1
2𝐷𝐸(20 + 8)，
解得：𝐷𝐸= 4cm．
【题型2 作一边的垂线】
【例2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为∠𝐵𝐴𝐶的平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于点𝐸，𝐷𝐸= 2，𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 16，则△𝐴𝐵𝐶的
面积为（ ）
A．32
B．20
C．16
D．8
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点D 作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于𝐹，根据角
平分线的性质定理得到𝐷𝐹= 𝐷𝐸= 2，再结合𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 16，即可求出面积．
【详解】解：如图，过点D 作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于𝐹，
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∵𝐴𝐷为∠𝐵𝐴𝐶的平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于𝐹，𝐷𝐸= 2，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐸= 2，
∵𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 16，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2𝐴𝐶× 𝐷𝐸+
1
2𝐴𝐵× 𝐷𝐹=
1
2(𝐴𝐵+ 𝐴𝐶)·𝐷𝐸= 16，
故选：C．
【变式2-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的中线，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝐴𝐷，𝐶𝐸相交于点𝐹，连接𝐵𝐹．若𝐵𝐹
平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐸𝐹= 3，𝐵𝐶= 9，则△𝐶𝐷𝐹的面积为（ ）
A．
27
2
B．
9
2
C．
27
4
D．6
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的性质定理、三角形的中线性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性
质定理以及三角形一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键．
过F 作𝐹𝐺⊥𝐵𝐶于G，根据角平分线的性质求得𝐹𝐺= 𝐸𝐹= 3，再根据三角形一边上的中线将三角形面积平
分求解即可．
【详解】解：过F 作𝐹𝐺⊥𝐵𝐶于G，
∵𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐹𝐺⊥𝐵𝐶，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，
∴𝐹𝐺= 𝐸𝐹= 3，
∵𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的𝐵𝐶边上的中线，
∴𝐹𝐷为△𝐵𝐹𝐶的𝐵𝐶边上在中线，
又∵𝐵𝐶= 9，
∴𝑆△𝐶𝐷𝐹=
1
2𝑆△𝐵𝐹𝐶=
1
2 ×
1
2 × 𝐵𝐶·𝐹𝐺=
1
2 ×
1
2 × 9 × 3 =
27
4 ，
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故选：C．
【变式2-2】如图，𝐴𝐵平行𝐶𝐷，𝑃𝐵和𝑃𝐶分别平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐷𝐶𝐵，𝐴𝐷过点P，且与𝐴𝐵垂直，若𝐴𝐷= 8cm，
𝐵𝐶= 10cm，求四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积？
【答案】40cm2
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，过P 作𝑃𝑄⊥𝐵𝐶于Q，根据角平分
线的性质可得出𝑃𝐴= 𝑃𝑄= 𝑃𝐷，根据HL证明Rt △𝐴𝐵𝑃≌Rt △𝑄𝐵𝑃，得出𝐴𝐵= 𝑄𝐵，同理得出𝐶𝐷= 𝐶𝑄，则
𝐴𝐵+ 𝐶𝐷= 10cm，然后根据梯形面积公式求解即可．
【详解】解：过P 作𝑃𝑄⊥𝐵𝐶于Q，
∵𝐴𝐵平行𝐶𝐷，𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，
∴𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，
∵𝑃𝐵和𝑃𝐶分别平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐷𝐶𝐵，
∴𝑃𝐴= 𝑃𝑄= 𝑃𝐷，
∵𝐴𝑃= 𝑄𝑃，𝐵𝑃= 𝐵𝑃，
∴Rt △𝐴𝐵𝑃≌Rt △𝑄𝐵𝑃，
∴𝐴𝐵= 𝑄𝐵，
同理𝐶𝐷= 𝐶𝑄，
∴𝐶𝐷+ 𝐴𝐵= 𝐶𝑄+ 𝐵𝑄= 𝐵𝐶= 10cm，
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为
1
2(𝐴𝐵+ 𝐶𝐷) ⋅𝐴𝐷=
1
2 × 10 × 8 = 40cm2．
【变式2-3】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷,𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸,∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐵= 180°．
(1)求证：2𝐴𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐷．
(2)当𝐴𝐷= 4,𝐵𝐸= 3时，𝐴𝐵= ______（直接写出结果）
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【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质，正确的作出辅助线
是解题的关键；
（1）过点𝐶作𝐶𝐹⊥𝐴𝐷，根据角平分线的性质可得𝐶𝐹= 𝐶𝐸，先根据HL证Rt △𝐴𝐹𝐶≌Rt △𝐴𝐸𝐶，再根据AAS
证明△𝐹𝐷𝐶≌△𝐸𝐵𝐶，即可证明2𝐴𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐷；
（2）由（1）可知𝐷𝐹= 𝐵𝐸= 3，则𝐴𝐸= 𝐴𝐹= 7，即可求出𝐴𝐵．
【详解】（1）证明：过点𝐶作𝐶𝐹⊥𝐴𝐷，
∵ 𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷,𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，𝐶𝐹⊥𝐴𝐷，
∴𝐶𝐹= 𝐶𝐸，∠𝐷𝐹𝐶= ∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐵𝐸𝐶= 90°，
∵𝐴𝐶= 𝐴𝐶，
∴Rt △𝐴𝐹𝐶≌Rt △𝐴𝐸𝐶(HL)，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐸，
∵∠𝐹𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°,∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐵= 180°，
∴∠𝐹𝐷𝐶= ∠𝐵，
∵∠𝐷𝐹𝐶= ∠𝐵𝐸𝐶，𝐶𝐹= 𝐶𝐸，
∴△𝐹𝐷𝐶≌△𝐸𝐵𝐶(AAS)，
∴𝐷𝐹= 𝐵𝐸，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐷= 𝐴𝐸+ 𝐸𝐵+ 𝐴𝐷= 𝐴𝐸+ 𝐷𝐹+ 𝐴𝐷= 𝐴𝐸+ 𝐴𝐹= 2𝐴𝐸，
∴2𝐴𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐷；
（2）解：∵𝐷𝐹= 𝐵𝐸， 𝐵𝐸= 3，
∴𝐷𝐹= 3，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐹= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐹= 4 + 3 = 7，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐸+ 𝐵𝐸= 7 + 3 = 10，
故答案为：10．
【题型3 作两边的垂线】
【例3】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐷是它的对角线，𝐴𝐷= 𝐶𝐷，若𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴= 119°，则∠𝐷𝐶𝐵的
度数为（ ）
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第 19 页 共 48 页
A．62°
B．61°
C．60°
D．59°
【答案】B
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定
理是关键．过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐵𝐴,𝐷𝐹⊥𝐵𝐶，垂足分别为𝐸,𝐹，证明Rt △𝐴𝐷𝐸≌Rt △𝐶𝐷𝐹(HL)，即可得到答案．
【详解】解：过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐵𝐴,𝐷𝐹⊥𝐵𝐶，垂足分别为𝐸,𝐹，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
∵∠𝐵𝐴𝐷= 119°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= 180°−∠𝐵𝐴𝐷= 61°，
∵𝐴𝐷= 𝐶𝐷，𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
∴Rt △𝐴𝐷𝐸≌Rt △𝐶𝐷𝐹(HL)，
∴∠𝐷𝐶𝐵= ∠𝐷𝐴𝐸= 61°，
故选：B
【变式3-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是它的角平分线，𝐴𝐸是它的中线，𝐴𝐵= 5，𝐴𝐶= 3，𝐵𝐶= 7，则𝐸𝐷长
为（ ）
A．
15
7
B．
7
15
C．
7
8
D．
15
8
【答案】C
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理，等高的三角形面积的计算方法是
关键．
如图，过点𝐷作𝐷𝐺⊥𝐴𝐵于𝐺，𝐷𝐻⊥𝐴𝐶于𝐻，
𝑆△𝐵𝐴𝐷
𝑆△𝐶𝐴𝐷=
𝐴𝐵
𝐴𝐶=
5
3，
𝐵𝐷
𝐷𝐶=
5
3，𝐵𝐷=
35
8 ，由中点得到𝐵𝐸=
7
2，根据
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𝐷𝐸= 𝐵𝐷−𝐷𝐸= 𝐵𝐷−𝐵𝐸=
35
8 −
7
2 =
7
8即可求解．
【详解】解：如图，过点𝐷作𝐷𝐺⊥𝐴𝐵于𝐺，𝐷𝐻⊥𝐴𝐶于𝐻，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐺⊥𝐴𝐵，𝐷𝐻⊥𝐴𝐶，
∴𝐷𝐺= 𝐷𝐻，
∴
𝑆△𝐵𝐴𝐷
𝑆△𝐶𝐴𝐷=
𝐴𝐵
𝐴𝐶=
5
3，
∴
𝐵𝐷
𝐷𝐶=
5
3，
∵𝐵𝐶= 7，
∴𝐵𝐷=
35
8 ，
∵𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐶= 7，
∴𝐵𝐸=
7
2，
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐷−𝐵𝐸=
35
8 −
7
2 =
7
8，
故选：C．
【变式3-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑂，𝐶𝑂分别平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵，𝑂𝐷⊥𝐵𝐶于点D．若𝑂𝐷= 3，△𝐴𝐵𝐶的
面积是50，则△𝐴𝐵𝐶的周长为（ ）
A．
50
3
B．25
C．
100
3
D．50
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，连接𝑂𝐴，作𝑂𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝑂𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹，由角平分线的性质定理
可得𝑂𝐸= 𝑂𝐷= 3，𝑂𝐹= 𝑂𝐷= 3，再结合三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质定理是
解此题的关键．
【详解】解：如图，连接𝑂𝐴，作𝑂𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝑂𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹，
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，
∵𝐵𝑂，𝐶𝑂分别平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵，𝑂𝐷⊥𝐵𝐶于点D，𝑂𝐷= 3，
∴𝑂𝐸= 𝑂𝐷= 3，𝑂𝐹= 𝑂𝐷= 3，
∵△𝐴𝐵𝐶的面积是50，
∴𝑆△𝑂𝐴𝐵+ 𝑆△𝑂𝐵𝐶+ 𝑆△𝑂𝐴𝐶= 50，
∴
1
2𝐴𝐵⋅𝑂𝐸+
1
2𝐵𝐶⋅𝑂𝐷+
1
2𝐴𝐶⋅𝑂𝐹= 50，
∴3𝐴𝐵+ 3𝐵𝐶+ 3𝐴𝐶= 100，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶=
100
3 ，即△𝐴𝐵𝐶的周长为
100
3 ，
故选：C．
【变式3-3】已知𝑂𝑀是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，P 是射线𝑂𝑀上一点，点C，D 分别在射线𝑂𝐴,𝑂𝐵上，连接𝑃𝐶,𝑃𝐷．
(1)如图①，当𝑃𝐶⊥𝑂𝐴，𝑃𝐷⊥𝑂𝐵时，𝑃𝐶与𝑃𝐷的数量关系是______；
(2)如图②，点C，D 分别在射线𝑂𝐴,𝑂𝐵上运动，且∠𝐴𝑂𝐵= 90°．当∠𝑃𝐶𝑂+ ∠𝑃𝐷𝑂= 180°时，𝑃𝐶与𝑃𝐷在
（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由．
【答案】(1)𝑃𝐶= 𝑃𝐷
(2)成立，理由见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定
理是解题的关键；
（1）根据角平分线的性质定理即可作出判断；
（2）过点P 作𝑃𝐸⊥𝑂𝐵于E，𝑃𝐹⊥𝑂𝐶于F，如图，可得𝑃𝐹= 𝑃𝐸，根据补角的性质得出∠𝑃𝐶𝑂= ∠𝑃𝐷𝐸，证
明△𝑃𝐹𝐶≌△𝑃𝐸𝐷(AAS)，进而得到结论．
【详解】（1）解：∵𝑃𝐶⊥𝑂𝐴,𝑃𝐷⊥𝑂𝐵,𝑂𝑀是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，
∴𝑃𝐶= 𝑃𝐷；
故答案为：𝑃𝐶= 𝑃𝐷；
（2）解：成立，理由如下：
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如图，过点P 作𝑃𝐸⊥𝑂𝐵于E，𝑃𝐹⊥𝑂𝐶于F，
∴∠𝑃𝐹𝐶= ∠𝑃𝐸𝐷= 90°，
∵𝑂𝑀是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，
∴𝑃𝐹= 𝑃𝐸，
∵∠𝑃𝐶𝑂+ ∠𝑃𝐷𝑂= 180°，∠𝑃𝐷𝑂+ ∠𝑃𝐷𝐸= 180°，
∴∠𝑃𝐶𝑂= ∠𝑃𝐷𝐸，
在△𝑃𝐹𝐶和△𝑃𝐸𝐷中
∠𝑃𝐹𝐶= ∠𝑃𝐸𝐷
∠𝑃𝐶𝐹= ∠𝑃𝐷𝐸
𝑃𝐹= 𝑃𝐸
∴△𝑃𝐹𝐶≌△𝑃𝐸𝐷(AAS)，
∴𝑃𝐶= 𝑃𝐷．
【题型4 尺规作角平分线】
【例4】尺规作图：已知点𝑀、𝑁和∠𝐴𝑂𝐵．
(1)画直线𝑀𝑁；
(2)在直线𝑀𝑁上求作点P，使点P 到∠𝐴𝑂𝐵的两边的距离相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了作直线，尺规作角平分线，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据直线的定义求解即可；
（2）尺规作出∠𝐴𝑂𝐵的平分线与𝑀𝑁交于点P 即为所求．
【详解】（1）如图所示，直线𝑀𝑁即为所求；
（2）如图所示，点P 即为所求；
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【变式4-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中.
(1)尺规作图：作∠𝐵𝐴𝐶的平分线𝐴𝐷交𝐵𝐶于点D.（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若𝐴𝐵= 8，𝐴𝐶= 6，△𝐴𝐵𝐷的面积为12，求△𝐴𝐵𝐶的面积
【答案】(1)见解析
(2)21
【分析】本题考查了作图——角平分线，角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的
距离相等是解题关键．
（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵、𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，根据角平分线的性质，得到𝐷𝐹= 𝐷𝐸，再根据三角形面积公式，求得
𝐷𝐸= 𝐷𝐹= 3，再由𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷，即可求解．
【详解】（1）解：如图，射线𝐴𝐷即为所求：
（2）解：如图，过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵交𝐴𝐵与点𝐹，作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶交𝐴𝐶与点𝐸，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐸，
∵△𝐴𝐵𝐷的面积为12，
∴
1
2𝐴𝐵⋅𝐷𝐹=
1
2 × 8 × 𝐷𝐹= 12，
∴𝐷𝐹= 3 = 𝐷𝐸，
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∵𝐴𝐵= 8，𝐴𝐶= 6，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 12 +
1
2𝐴𝐶⋅𝐷𝐸= 12 +
1
2 × 6 × 3 = 21．
【变式4-2】如图，已知在△𝐴𝐵𝐶中．
(1)分别作∠𝐵，∠𝐶的平分线，它们交于点O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)当∠𝐴= 60°时，∠𝐵𝑂𝐶的度数为______．
(3)当∠𝐴= 𝛼时，用含𝛼的代数式表示∠𝐵𝑂𝐶的度数．
【答案】(1)见解析
(2)120°
(3)90° +
1
2𝛼
【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．
（1）根据作角平分线的方法按要求作出图形即可；
（2）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵，可得结论；
（3）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵，可得结论．
【详解】（1）解：图形如图所示；
（2）
解：∵∠𝐴= 60°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴= 120°，
∵𝐵𝑂平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑂平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐵𝐶+
1
2∠𝐴𝐶𝐵=
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 60°，
∴∠𝐵𝑂𝐶= 180°−(∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵) = 120°，
故答案为：120°；
（3）解：∵∠𝐴= 𝛼，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴= 180°−𝛼，
∵𝐵𝑂平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑂平分∠𝐴𝐶𝐵，
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∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐵𝐶+
1
2∠𝐴𝐶𝐵=
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 90°−
1
2𝛼，
∴∠𝐵𝑂𝐶= 180°−(∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵) = 90° +
1
2𝛼．
【变式4-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，用圆规和无刻度直尺在AB 上方作∠𝑃𝐵𝐴=
1
2∠𝐶．（保留作图痕迹，不要求
写作图过程）
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及作一个角等于已知角，先作∠𝐵𝐶𝐴的角平分线，得出∠𝐵𝐶𝑁=
1
2
∠𝐵𝐶𝐴，再结合作一个角等于已知角的尺规作图过程，得∠𝑃𝐵𝑁= ∠𝐵𝐶𝑁，故∠𝑃𝐵𝐴=
1
2∠𝐵𝐶𝐴，即可作答．
【详解】解：如图，∠𝑃𝐵𝐴即为所求．
【题型5 证角平分线】
【例5】如图，∠𝐵= ∠𝐶= 90°，M 是𝐵𝐶的中点，𝐷𝑀平分∠𝐴𝐷𝐶．求证：𝐴𝑀平分∠𝐷𝐴𝐵．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线性质和判定的应用，熟练掌握它们的性质是解题的关键；
过M 作𝑀𝐸⊥𝐴𝐷于E，根据角平分线性质求出𝑀𝐸= 𝑀𝐶= 𝑀𝐵，再根据角平分线的判定即可．
【详解】证明：过M 作𝑀𝐸⊥𝐴𝐷于E，
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∵𝐷𝑀平分∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐶= 90°，𝑀𝐸⊥𝐴𝐷，
∴𝑀𝐶= 𝑀𝐸，
∵M 为𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝑀= 𝑀𝐶= 𝑀𝐸，
∵∠𝐵= 90°，𝑀𝐸⊥𝐴𝐷，
∴𝐴𝑀平分∠𝐷𝐴𝐵．
【变式5-1】如图，𝐵𝐸= 𝐹𝐷，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于点E，𝐶𝐷⊥𝐴𝐹交𝐴𝐹的延长线于点D，且𝐵𝐶= 𝐹𝐶，求证：𝐴𝐶是∠𝐵𝐴𝐹
的平分线．
【答案】见解析．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到Rt △𝐵𝐶𝐸≌Rt △𝐹𝐶𝐷.
证明Rt △𝐵𝐶𝐸≌Rt △𝐹𝐶𝐷得𝐶𝐸= 𝐶𝐷，可得点C 在∠𝐵𝐴𝐹的平分线上，进而可以解决问题．
【详解】证明：∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，𝐶𝐷⊥𝐴𝐹，
∴∠𝐶𝐸𝐵= ∠𝐷= 90°，
在Rt △𝐵𝐶𝐸和Rt △𝐹𝐶𝐷中，
𝐵𝐶= 𝐹𝐶
𝐵𝐸= 𝐹𝐷
，
∴Rt △𝐵𝐶𝐸≌Rt △𝐹𝐶𝐷(HL)，
∴𝐶𝐸= 𝐶𝐷，
∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，𝐶𝐷⊥𝐴𝐹，
点C 在∠𝐵𝐴𝐹的平分线上，
∴𝐴𝐶是∠𝐵𝐴𝐹的平分线．
【变式5-2】如图，𝐵𝑃是∠𝐴𝐵𝐶内部的一条射线，点𝐷在𝐵𝑃上，连接𝐴𝐷、𝐶𝐷，𝐴𝐷= 𝐶𝐷，过点𝑃作𝑃𝑀⊥𝐴𝐷，
𝑃𝑁⊥𝐶𝐷，𝑀，𝑁分别是垂足，且𝑃𝑀= 𝑃𝑁，求证：𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理
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是解题关键；
先由角平分线的性质定理得到∠𝐴𝐷𝑃= ∠𝐶𝐷𝑃，再证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐷(SAS)，得到∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐶𝐵𝑃，即可证
明结论．
【详解】证明：∵ 𝑃𝑀⊥𝐴𝐷，𝑃𝑁⊥𝐶𝐷，𝑃𝑀= 𝑃𝑁，
∴ 𝐷𝑃为∠𝐴𝐷𝐶的角平分线，
∴ ∠𝐴𝐷𝑃= ∠𝐶𝐷𝑃，
∴ ∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶𝐷𝐵，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐶𝐵𝐷中，
𝐴𝐷= 𝐶𝐷,
∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶𝐷𝐵,
𝐵𝐷= 𝐵𝐷,
∴ △𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐷(SAS)，
∴ ∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐶𝐵𝑃，
∴ 𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶．
【变式5-3】如图：𝐴𝐸⊥𝐴𝐵，𝐴𝐹⊥𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐵，𝐴𝐹= 𝐴𝐶，
(1)图中𝐸𝐶、𝐵𝐹有怎样的位置关系？试证明你的结论．
(2)连接𝐴𝑀，求证：𝑀𝐴平分∠𝐸𝑀𝐹．
【答案】(1)𝐸𝐶⊥𝐵𝐹，证明见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，作辅助线构造
全等三角形是解题关键．
（1）令𝐴𝐵与𝐸𝐶的交点为G，证明△𝐴𝐶𝐸≌△𝐴𝐹𝐵(SAS)，得到∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐴𝐵𝐹，进而得出
∠𝐵𝑀𝐺= ∠𝐸𝐴𝐺= 90°，即可得到结论；
（2）过点𝐴作𝐴𝑃⊥𝐶𝐸于点𝑃，𝐴𝑄⊥𝐵𝐹于点𝑄，证明△𝐴𝐶𝑃≌△𝐴𝐹𝑄(AAS)，得到𝐴𝑃= 𝐴𝑄，即可证明结论．
【详解】（1）解：𝐸𝐶⊥𝐵𝐹，证明如下：
令𝐴𝐵与𝐸𝐶的交点为G，如图，
∵𝐴𝐸⊥𝐴𝐵，𝐴𝐹⊥𝐴𝐶，
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∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐶𝐴𝐹+ ∠𝐵𝐴𝐶，即∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐵，
在△𝐴𝐶𝐸和△𝐴𝐹𝐵中，
𝐴𝐶= 𝐴𝐹
∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐵
𝐴𝐸= 𝐴𝐵
，
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐴𝐹𝐵(SAS)，
∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐴𝐵𝐹，
∵∠𝐴𝐺𝐸= ∠𝐵𝐺𝑀，
∴∠𝐵𝑀𝐺= ∠𝐸𝐴𝐺= 90°，
∴𝐸𝐶⊥𝐵𝐹；
（2）证明：如图，过点𝐴作𝐴𝑃⊥𝐶𝐸于点𝑃，𝐴𝑄⊥𝐵𝐹于点𝑄，
∴∠𝐴𝑃𝐶= ∠𝐴𝑄𝐹= 90°，
∵△𝐴𝐶𝐸≌△𝐴𝐹𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝑃= ∠𝐴𝐹𝑄，
在△𝐴𝐶𝑃和𝐴𝐹𝑄中，
∠𝐴𝑃𝐶= ∠𝐴𝑄𝐹
∠𝐴𝐶𝑃= ∠𝐴𝐹𝑄
𝐴𝐹= 𝐴𝐶
，
∴△𝐴𝐶𝑃≌△𝐴𝐹𝑄(AAS)，
∴𝐴𝑃= 𝐴𝑄，
又∵𝐴𝑃⊥𝑀𝐸，𝐴𝑄⊥𝑀𝐹，
∴𝑀𝐴平分∠𝐸𝑀𝐹．
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【题型6 角平分线的判定与性质综合】
【例6】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵= 50°，点𝐷在△𝐴𝐵𝐶的外部，且𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，交𝐴𝐶
的延长线于点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐵𝐶，交𝐵𝐶于点𝐹，连接𝐵𝐷．若∠𝐵𝐶𝐸= 104°，𝐷𝐸= 𝐷𝐹，求∠𝐷𝐵𝐶的度数
【答案】63°
【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质，连接𝐶𝐷，过点𝐷作𝐷𝐺⊥𝐴𝐵，交𝐴𝐵的延
长线于点𝐺，证明𝐶𝐷平分∠𝐵𝐶𝐸，𝐵𝐷平分∠𝐶𝐵𝐺，利用三角形的外角性质求得∠𝐴𝐵𝐶= 54°，进一步计算即可
求解．
【详解】解：如图，连接𝐶𝐷，过点𝐷作𝐷𝐺⊥𝐴𝐵，交𝐴𝐵的延长线于点𝐺，
∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，𝐷𝐹⊥𝐵𝐶，𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
∴𝐶𝐷平分∠𝐵𝐶𝐸，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，𝐷𝐺⊥𝐴𝐵，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐺，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐺，
∴𝐵𝐷平分∠𝐶𝐵𝐺，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐸−𝐶𝐴𝐵= 104°−50° = 54°，
∴∠𝐶𝐵𝐺= 180°−∠𝐴𝐵𝐶= 126°，
∴∠𝐷𝐵𝐶=
1
2∠𝐶𝐵𝐺= 63°．
【变式6-1】如图，𝐵𝑃，𝐶𝑃分别是△ABC 的一个内角及一个外角的平分线，𝑃𝑄⊥𝐴𝐶，垂足为点Q，连接
𝐴𝑃．
(1)若∠𝐵𝐴𝐶= 60°，求∠𝑃𝐴𝐶的度数；
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(2)设𝐵𝐶= 𝑎，𝐴𝐶= 𝑏，𝐴𝐵= 𝑐，求线段𝐴𝑄、𝐶𝑄的长度（用含𝑎，𝑏，𝑐的式子表示）．
【答案】(1)60°
(2)𝐴𝑄=
𝑎+𝑏−𝑐
2
，𝐶𝑄=
𝑏+𝑐−𝑎
2
．
【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定；
（1）过点𝑃作𝑃𝐸⊥𝐴𝐵，𝑃𝐹⊥𝐵𝐶，垂足分别为𝐸，𝐹．根据角平分线的性质得出𝑃𝐸= 𝑃𝑄，进而可得𝐴𝑃平分
∠𝐶𝐴𝐸，即可求解；
(2)证明△𝐸𝐵𝑃≌△𝐹𝐵𝑃得出𝐵𝐸= 𝐵𝐹．同理可得．𝐴𝐸= 𝐴𝑄，𝐶𝑄= 𝐶𝐹．根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）过点𝑃作𝑃𝐸⊥𝐴𝐵，𝑃𝐹⊥𝐵𝐶，垂足分别为𝐸，𝐹．
∵𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐷，𝑃𝑄⊥𝐵𝐷，
∴𝑃𝐸= 𝑃𝐹，𝑃𝑄= 𝑃𝐹．
∴𝑃𝐸= 𝑃𝑄．
∴𝐴𝑃平分∠𝐶𝐴𝐸．
∵∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
∴∠𝑃𝐴𝐶= 1
2 ∠𝐶𝐴𝐸= 60°
（2）∵𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐶𝐵𝑃．
∵𝑃𝐸⊥𝐴𝐵，𝑃𝐹⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐸= ∠𝑃𝐹𝐵．
∵𝐵𝑃= 𝐵𝑃，
∴△𝐸𝐵𝑃≌△𝐹𝐵𝑃．
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐹．
同理可得．𝐴𝐸= 𝐴𝑄，𝐶𝑄= 𝐶𝐹．
∴𝑐+ 𝐴𝑄= 𝑎+ 𝐶𝑄，𝐴𝑄+ 𝐶𝑄= 𝑏．
∴𝐴𝑄= 𝑎+ 𝑏−𝑐
2
，𝐶𝑄= 𝑏+ 𝑐−𝑎
2
．
【变式6-2】如图在△𝐴𝐵𝐶中，点D 在𝐵𝐶边上，∠𝐵𝐴𝐷= 40°，∠𝐴𝐵𝐶的平分线交𝐴𝐶于点E，过点E 作
𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，交𝐵𝐴的延长线于点F，且∠𝐴𝐸𝐹= 20°，连接𝐷𝐸．
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(1)求证：𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶；
(2)若𝐴𝐵= 6,𝐴𝐷= 5,𝐶𝐷= 7，且𝑆△𝐴𝐶𝐷= 12，求△𝐴𝐵𝐸的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)𝑆△𝐴𝐵𝐸= 6．
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）过点𝐸作𝐸𝐺⊥𝐴𝐷于点𝐺，𝐸𝐻⊥𝐵𝐶于点𝐻，由𝐵𝐸是∠𝐴𝐵𝐶的平分线，得到 𝐸𝐹= 𝐸𝐻，再证明𝐴𝐸是∠𝐹𝐴𝐺
的平分线，得到𝐸𝐹= 𝐸𝐺，进而得到𝐸𝐺= 𝐸𝐻，即可得出结论；
（2）由𝑆△𝐴𝐶𝐷= 12，得到
1
2𝐶𝐷⋅𝐸𝐻+
1
2𝐴𝐷⋅𝐸𝐺= 12，求出𝐸𝐹= 𝐸𝐻= 𝐸𝐺= 2，即可求解．
【详解】（1）证明：过点𝐸作𝐸𝐺⊥𝐴𝐷于点𝐺，𝐸𝐻⊥𝐵𝐶于点𝐻，如图：
∵𝐵𝐸是∠𝐴𝐵𝐶的平分线，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，𝐸𝐻⊥𝐵𝐶，
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐻，
∵∠𝐴𝐸𝐹= 20°，∠𝐹= 90°，
∴∠𝐹𝐴𝐸= 90°−20° = 70° ，
∴∠𝐺𝐴𝐸= 180°−∠𝐹𝐴𝐸−∠𝐵𝐴𝐷= 70°，
∴∠𝐺𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐸，
∴𝐴𝐸是∠𝐹𝐴𝐺的平分线，
又∵𝐸𝐺⊥𝐴𝐷，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐺，
∴𝐸𝐺= 𝐸𝐻，
又∵𝐸𝐺⊥𝐴𝐷，𝐸𝐻⊥𝐵𝐶，
∴𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶；
（2）解：如图：
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∵𝑆△𝐴𝐶𝐷= 12
∴
1
2𝐶𝐷⋅𝐸𝐻+
1
2𝐴𝐷⋅𝐸𝐺= 12，
∵𝐴𝐷= 5,𝐶𝐷= 7，𝐸𝐻= 𝐸𝐺，
∴
1
2 × 7 × 𝐸𝐺+
1
2 × 5 × 𝐸𝐺= 12，
解得：𝐸𝐻= 𝐸𝐺= 2，
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐻= 2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸=
1
2𝐴𝐵⋅𝐸𝐹=
1
2 × 6 × 2 = 6．
【变式6-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D 在𝐵𝐶边上，∠𝐵𝐴𝐷= 110°，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶交𝐴𝐶于点E，过点E 作𝐸𝐹⊥𝐴𝐵
交𝐵𝐴的延长线于点F，且∠𝐴𝐸𝐹= 55°，连接𝐷𝐸．
(1)求∠𝐶𝐴𝐷的度数；
(2)求证：𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶；
(3)若𝐴𝐷= 4，𝐶𝐷= 8，且𝑆△𝐴𝐶𝐷= 15，求𝐸𝐹的长．
【答案】(1)35°
(2)见解析
(3)
5
2
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的
性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
(1)根据垂直得到∠𝐴𝐹𝐸= 90°，利用三角形外角的性质得到∠𝐵𝐴𝐸= 145°，再根据∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷，
即可求出∠𝐶𝐴𝐷的度数；
(2)过点E 作𝐸𝐺⊥𝐴𝐷，𝐸𝐻⊥𝐵𝐶，根据角平分线的性质得到𝐸𝐹= 𝐸𝐺，𝐸𝐹= 𝐸𝐻，进而得到𝐸𝐺= 𝐸𝐻，再根
据角平分线的判定定理即可证明结论；
(3)根据三角形的面积公式求出𝐸𝐻=
5
2，再根据角平分线的性质即可求得答案．
【详解】（1）解：∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐹= 90°，
∵∠𝐴𝐸𝐹= 55°，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐹+ ∠𝐴𝐸𝐹= 90° + 55° = 145°，
∵∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷= 110°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐸−∠𝐵𝐴𝐷= 145°−110° = 35°；
（2）证明：过点E 作𝐸𝐺⊥𝐴𝐷交𝐴𝐷于点G，𝐸𝐻⊥𝐵𝐶交𝐵𝐶于点H，
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∵∠𝐹= 90°，∠𝐴𝐸𝐹= 55°，
∴∠𝐸𝐴𝐹= 90°−55° = 35°，
由(1)可知，∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐶𝐴𝐷= 35°，
∴𝐴𝐸平分∠𝐹𝐴𝐷，
∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐹，𝐸𝐺⊥𝐴𝐷，
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐺，
∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐸𝐹⊥𝐵𝐹，𝐸𝐻⊥𝐵𝐶，
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐻，
∴𝐸𝐺= 𝐸𝐻，
∵𝐸𝐺⊥𝐴𝐷，𝐸𝐻⊥𝐵𝐶，
∴𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶；
（3）解：∵𝑆△𝐴𝐶𝐷= 15，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐸+ 𝑆△𝐶𝐷𝐸= 15，
∴
1
2𝐴𝐷⋅𝐸𝐺+
1
2𝐶𝐷⋅𝐸𝐻= 15，
∵𝐴𝐷= 4，𝐶𝐷= 8，𝐸𝐺= 𝐸𝐻，
∴
1
2 × 4 ⋅𝐸𝐻+
1
2 × 8 ⋅𝐸𝐻= 15，
∴𝐸𝐻=
15
6 =
5
2，
∴𝐸𝐹= 5
2 ．
过关测·稳提升
1．如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，以点A 为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交𝐴𝐶、𝐴𝐵于点M、N，再
分别以点M、N 为圆心，大于
1
2𝑀𝑁的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线𝐴𝑃交边𝐵𝐶于点D，点E 在边
𝐴𝐵上，连结𝐷𝐸，则下列结论错误的是（ ）
A．𝐴𝑀= 𝐴𝑁
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B．连结𝑃𝑀、𝑃𝑁，根据SAS可判定△𝐴𝑀𝑃≌△𝐴𝑁𝑃
C．∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷
D．𝐷𝐸的最小值是𝐷𝐶的长
【答案】B
【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定、角平分线的性质，由作图过程可得，𝐴𝑀= 𝐴𝑁，
𝑀𝑃= 𝑁𝑃，可得△𝐴𝑀𝑃≌△𝐴𝑁𝑃(SSS)，即可判断A，B 选项；由作图过程可知，射线𝐴𝑃为∠𝐵𝐴𝐶的平分线，
可得∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷，即可判断C 选项；由题意知，当𝐷𝐸⊥𝐴𝐵时，𝐷𝐸取得最小值，此时结合角平分线的性
质可得𝐶𝐷= 𝐷𝐸，即𝐷𝐸的最小值是𝐷𝐶的长，即可判断D 选项．
【详解】解：连接𝑃𝑀，𝑃𝑁，
由作图过程可得，𝐴𝑀= 𝐴𝑁，𝑀𝑃= 𝑁𝑃，
∵𝐴𝑃= 𝐴𝑃，
∴△𝐴𝑀𝑃≌△𝐴𝑁𝑃(SSS)，
∴根据SSS可判定△𝐴𝑀𝑃≌△𝐴𝑁𝑃，
故A 选项正确，不符合题意，B 选项不正确，符合题意；
由作图过程可知，射线𝐴𝑃为∠𝐵𝐴𝐶的平分线，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷，
故C 选项正确，不符合题意；
由题意知，当𝐷𝐸⊥𝐴𝐵时，𝐷𝐸取得最小值，
∵𝐴𝑃为∠𝐵𝐴𝐶的平分线，∠𝐶= 90°，
∴此时𝐶𝐷= 𝐷𝐸，
即𝐷𝐸的最小值是𝐷𝐶的长，
故D 选项正确，不符合题意．
故选：B．
2．如图，𝐴𝑃平分∠𝐶𝐴𝐵，𝑃𝐷⊥𝐴𝐶于点D，若𝑃𝐷= 4.5，点E 是边𝐴𝐵上一动点，关于线段𝑃𝐸叙述正确的是
（ ）
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A．𝑃𝐸= 4.5
B．𝑃𝐸> 4.5
C．𝑃𝐸≤4.5
D．𝑃𝐸≥4.5
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．过
P 点作𝑃𝐻⊥𝐴𝐵于𝐻， 如图，根据角平分线的性质得到𝑃𝐻= 𝑃𝐷= 4.5， 然后根据垂线段最短可对各选项进
行判断．
【详解】解：过P 点作𝑃𝐻⊥𝐴𝐵于𝐻， 如图，
∵𝐴𝑃平分∠𝐶𝐴𝐵,𝑃𝐷⊥𝐴𝐶,𝑃𝐻⊥𝐴𝐵，
∴𝑃𝐻= 𝑃𝐷= 4.5，
∵点E 是边𝐴𝐵上一动点，
根据垂线段最短可知：𝑃𝐸≥4.5.
故选D．
3．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 18，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸．若𝐷𝐸= 4，则△𝐴𝐵𝐶的面积为
（ ）
A．12
B．18
C．24
D．36
【答案】D
【分析】此题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是采用面积的割补法．
如图，过𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹，利用角平分线的性质可以证明𝐷𝐸= 𝐷𝐹，然后利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：过𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸．
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
∵ 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐷𝐶
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= 1
2 × 𝐷𝐸× 𝐴𝐵+ 1
2 × 𝐷𝐹× 𝐴𝐶
= 1
2 × 𝐷𝐸(𝐴𝐶+ 𝐴𝐵)
又∵𝐴𝐵+ 𝐴𝐶= 18，𝐷𝐸= 4，
∴△𝐴𝐵𝐶的面积为：
1
2 × 4 × 18 = 36
故选：D．
4．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D 是𝐶𝐵延长线上一点，∠𝐴𝐶𝐵与∠𝐴𝐵𝐷的角平分线交于点E，连接𝐴𝐸．若要求∠𝐵𝐴𝐸
的度数，只需要知道下列哪个角的度数（ ）
A．∠𝐴𝐵𝐶
B．∠𝐴𝐶𝐵
C．∠𝐵𝐴𝐶
D．∠𝐴𝐸𝐵
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的性质和判定，作𝐸𝐻⊥𝐵𝐷于点𝐻，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵于点𝐹，𝐸𝐺⊥𝐴𝐶交𝐶𝐴的延长线于点
𝐺，根据角平分线的性质，推出𝐸𝐹= 𝐸𝐺，进而得到𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐺，得到∠𝐵𝐴𝐸=
1
2∠𝐵𝐴𝐺=
1
2(180°−∠𝐵𝐴𝐶)，
即可得出结果．
【详解】解：作𝐸𝐻⊥𝐵𝐷于点𝐻，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵于点𝐹，𝐸𝐺⊥𝐴𝐶交𝐶𝐴的延长线于点𝐺，
∵∠𝐴𝐶𝐵与∠𝐴𝐵𝐷的角平分线交于点E，
∴𝐸𝐻= 𝐸𝐹,𝐸𝐻= 𝐸𝐺，
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐺，
∴𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐺，
∴∠𝐵𝐴𝐸=
1
2∠𝐵𝐴𝐺=
1
2(180°−∠𝐵𝐴𝐶)，
∴只需要知道∠𝐵𝐴𝐶的度数即可求出∠𝐵𝐴𝐸的度数；
故选C．
5．如图，△𝐴𝐵𝐶的角平分线为𝐴𝐷，过点D 作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，垂足为F，E 是线段𝐵𝐶的中点．若𝑆△𝐴𝐸𝐶= 6，
𝐷𝐹= 2，𝐴𝐶= 7.5，则△𝐴𝐵𝐷的面积是（ ）
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A．3.5
B．4
C．4.5
D．5
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理和三角形中线性质，作𝐷𝐻⊥𝐴𝐶于𝐻，先利用角平分线的性质得到
𝐷𝐹= 𝐷𝐻= 2，由三角形中线可知𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐴𝐸𝐶= 2 × 6 = 12，再根据𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶即可得．
【详解】解：如图，作𝐷𝐻⊥𝐴𝐶于𝐻，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵,𝐷𝐻⊥𝐴𝐶,𝐷𝐹= 2，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐻= 2，
∵ 𝐸是线段𝐵𝐶的中点，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐴𝐸𝐶= 2 × 6 = 12
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 12，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐷+
1
2𝐴𝐶⋅𝐷𝐻= 𝑆△𝐴𝐵𝐶，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷+
1
2 × 7.5 × 2 = 12
解得：𝑆△𝐴𝐵𝐷= 4.5，
故选：C．
6．如图，Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点D，E 为线段𝐴𝐶上一点，连接𝐷𝐸，且
∠𝐵= ∠𝐶𝐸𝐷．若𝐴𝐵= 16，𝐶𝐸= 7，则𝐴𝐸的长为
；
【答案】2
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是
解题关键．过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于点𝐹，先证出△𝐵𝐷𝐹≌△𝐸𝐷𝐶，根据全等三角形的性质可得𝐵𝐹= 𝐶𝐸= 7，从
而可得𝐴𝐹= 9，再证出Rt △𝐴𝐶𝐷≌Rt △𝐴𝐹𝐷，根据全等三角形的性质可得𝐴𝐶= 𝐴𝐹= 9，然后根据
𝐴𝐸= 𝐴𝐶−𝐶𝐸求解即可得．
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【详解】解：如图，过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于点𝐹，
∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐶，
在△𝐵𝐷𝐹和△𝐸𝐷𝐶中，
∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐶= 90°
∠𝐵= ∠𝐶𝐸𝐷
𝐷𝐹= 𝐷𝐶
，
∴△𝐵𝐷𝐹≌△𝐸𝐷𝐶(AAS)，
∴𝐵𝐹= 𝐶𝐸= 7，
∵𝐴𝐵= 16，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐵−𝐵𝐹= 16−7 = 9，
在Rt △𝐴𝐶𝐷和Rt △𝐴𝐹𝐷中，
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
𝐷𝐶= 𝐷𝐹
，
∴Rt △𝐴𝐶𝐷≌Rt △𝐴𝐹𝐷(HL)，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐹= 9，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐶−𝐶𝐸= 9−7 = 2，
故答案为：2．
7．如图，△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐷𝐴𝐶和∠𝐴𝐶𝐸的平分线相交于点𝑀，点𝑀到𝐵𝐸的距离为4．若𝐴𝐵= 7，𝐵𝐶= 9，则
四边形𝐴𝐵𝐶𝑀的面积为
．
【答案】32
【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．如图，过点𝑀
作𝑀𝐹⊥𝐵𝐸于𝐹，𝑀𝐺⊥𝐴𝐶于𝐺，𝑀𝐻⊥𝐵𝐷于𝐻，连接𝐵𝑀，根据角平分线的性质得出𝑀𝐹= 𝑀𝐺= 𝑀𝐻= 4，根
据𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝑀= 𝑆△𝐴𝐵𝑀+ 𝑆△𝐶𝐵𝑀，结合三角形面积公式即可得答案．
【详解】解：如图，过点𝑀作𝑀𝐹⊥𝐵𝐸于𝐹，𝑀𝐺⊥𝐴𝐶于𝐺，𝑀𝐻⊥𝐵𝐷于𝐻，连接𝐵𝑀，
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∵△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐷𝐴𝐶和∠𝐴𝐶𝐸的平分线相交于点𝑀，点𝑀到𝐵𝐸的距离为4，
∴𝑀𝐹= 𝑀𝐺= 4，𝑀𝐺= 𝑀𝐻，
∴𝑀𝐻= 4，
∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝑀= 𝑆△𝐴𝐵𝑀+ 𝑆△𝐶𝐵𝑀=
1
2𝐴𝐵⋅𝑀𝐻+
1
2𝐵𝐶⋅𝑀𝐹，
∵𝐴𝐵= 7，𝐵𝐶= 9，
∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝑀=
1
2 × 7 × 4 +
1
2 × 9 × 4 = 32．
故答案为：32
8．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 3，𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝐶的平分线，如果△𝐴𝐵𝐶的面积为
3
2，那么△𝐷𝐵𝐶的面
积为
．
【答案】
9
10/0.9
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D 分别作𝐴𝐵，𝐵𝐶的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性
质可得𝐷𝐸= 𝐷𝐹，则可证明
𝑆△𝐴𝐵𝐷
𝑆△𝐶𝐵𝐷=
𝐴𝐵
𝐵𝐶=
2
3，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D 分别作𝐴𝐵，𝐵𝐶的垂线，垂足为E、F，
∵𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝐶的平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥𝐵𝐶，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
∵
𝑆△𝐴𝐵𝐷
𝑆△𝐶𝐵𝐷=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸
1
2 𝐵𝐶⋅𝐷𝐹=
𝐴𝐵
𝐵𝐶=
2
3，
∴𝑆△𝐶𝐵𝐷=
3
3+2𝑆△𝐴𝐵𝐶=
9
10，
故答案为；
9
10．
9．如图，在锐角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 60°，𝐵𝐸，𝐶𝐷分别为△𝐴𝐵𝐶的角平分线．𝐵𝐸，𝐶𝐷相交于点𝐹，𝐹𝐺
平分∠𝐵𝐹𝐶，已知𝐵𝐷= 3，𝐶𝐸= 2，△𝐵𝐹𝐶的面积= 2.5，求△𝐵𝐶𝐷的面积= ．
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【答案】4
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，过点𝐹作𝐹𝑁⊥𝐵𝐶于点𝑁，𝐹𝑀⊥𝐴𝐵于点
𝑀，根据角平分线性质定理求出𝐹𝑀= 𝐹𝑁，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出
∠𝐵𝐹𝐷= 60° = ∠𝐵𝐹𝐺，利用ASA证明△𝐵𝐷𝐹≌△𝐵𝐺𝐹，△𝐶𝐸𝐹≌△𝐶𝐺𝐹，则𝐵𝐷= 𝐵𝐺，𝐶𝐸= 𝐶𝐺，
𝐵𝐶= 𝐵𝐺+ 𝐶𝐺= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐸= 5，根据三角形面积公式求出𝐹𝑁= 1 = 𝐹𝑀，𝑆Δ𝐵𝐷𝐹=
1
2𝐵𝐷⋅𝐹𝑀=
3
2，再根据
△𝐵𝐶𝐷的面积= 𝑆Δ𝐵𝐷𝐹+ 𝑆Δ𝐵𝐹𝐶求解即可，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关
键．
【详解】解：如图，过点𝐹作𝐹𝑁⊥𝐵𝐶于点𝑁，𝐹𝑀⊥𝐴𝐵于点𝑀，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 60°，𝐵𝐸、𝐶𝐷为三角形𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐵𝐶+
1
2∠𝐴𝐶𝐵=
1
2 × (180°−∠𝐵𝐴𝐶) = 60°，𝐹𝑀= 𝐹𝑁，
∴∠𝐵𝐹𝐶= 180°−(∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵) = 120°，
∴∠𝐵𝐹𝐷= 60°，
∵𝐹𝐺平分∠𝐵𝐹𝐶，
∴∠𝐵𝐹𝐺=
1
2∠𝐵𝐹𝐶= 60° = ∠𝐷𝐹𝐵，
在△𝐵𝐷𝐹和△𝐵𝐺𝐹中，
∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐵𝐹𝐺
𝐵𝐹= 𝐵𝐹
∠𝐷𝐵𝐹= ∠𝐺𝐵𝐹
，
∴△𝐵𝐷𝐹≌△𝐵𝐺𝐹(ASA)，
∴𝐵𝐷= 𝐵𝐺，
同理可得△𝐶𝐸𝐹≌△𝐶𝐺𝐹(ASA)，
∴𝐶𝐸= 𝐶𝐺，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐺+ 𝐶𝐺= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐸，
∵𝐵𝐷= 𝐵𝐺= 3，𝐶𝐸= 𝐶𝐺= 2，
∴𝐵𝐶= 5，
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∵△𝐵𝐹𝐶的面积= 2.5，
∴
1
2𝐵𝐶⋅𝐹𝑁= 2.5，
∴𝐹𝑁= 1，
∴𝐹𝑀= 1，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐹=
1
2𝐵𝐷⋅𝐹𝑀=
1
2 × 3 × 1 =
3
2，
∴△𝐵𝐶𝐷的面积= 𝑆Δ𝐵𝐷𝐹+ 𝑆Δ𝐵𝐹𝐶= 4，
故答案为：4．
10．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵∥𝐷𝐶，∠𝐷𝐴𝐵的平分线交𝐵𝐶于点𝐸，𝐷𝐸⊥𝐴𝐸，若𝐴𝐷= 12，𝐵𝐶= 8，则四
边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长为 ．
【答案】32
【分析】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题
的关键．
延长𝐴𝐵、𝐷𝐸相交于点𝐹，根据得到𝐷𝐸= 𝐸𝐹，𝐴𝐷= 𝐴𝐹，再证明△𝐷𝐸𝐶≌△𝐹𝐸𝐵得到𝐷𝐶= 𝐵𝐹，从而推算出
四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长等于2𝐴𝐷+ 𝐵𝐶；
【详解】解：延长𝐴𝐵、𝐷𝐸相交于点𝐹，
∵∠𝐷𝐴𝐵的平分线交𝐵𝐶于点𝐸，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐸，
∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐸
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐸𝐹= 90°，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐸，
△𝐴𝐸𝐷≌△𝐴𝐸𝐹，
∴𝐷𝐸= 𝐸𝐹，
𝐴𝐹= 𝐴𝐷= 12，
∵𝐴𝐵∥𝐷𝐶，
∴∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐸𝐹𝐵，
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∴
∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐸𝐹𝐵
𝐷𝐸= 𝐸𝐹
∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐹𝐸𝐵
，
△𝐷𝐸𝐶≌△𝐹𝐸𝐵，
𝐷𝐶= 𝐵𝐹，
∵𝐴𝐵+ 𝐷𝐶= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐹= 𝐴𝐹= 12，
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长为𝐴𝐷+ 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐷𝐶= 𝐴𝐷+ 𝐴𝐹+ 𝐵𝐶= 12 + 12 + 8 = 32；
故答案为：32
11．如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为D．
(1)求作∠𝐴𝐵𝐶的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；）
(2)若∠𝐴𝐵𝐶的平分线分别交𝐴𝐷，𝐴𝐶于𝑃，𝑄两点，证明：∠𝐴𝑃𝑄= ∠𝐴𝑄𝑃．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线尺规作图，角平分线定义，同角的余角互余等．
（1）根据题意以点𝐵为圆心，任意长为半径画弧交𝐵𝐴,𝐵𝐶于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点长的一
半为半径画弧，两弧交于一点，再连接𝐵和两弧的交点，即为∠𝐴𝐵𝐶的平分线；
（2）根据题意利用角平分线定义可得∠𝐵𝑃𝐷+ ∠𝑃𝐵𝐷= 90°，后得到∠𝐵𝑃𝐷= ∠𝐴𝑄𝑃，继而得到本题答案．
【详解】（1）解：以点𝐵为圆心，任意长为半径画弧交𝐵𝐴,𝐵𝐶于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点长
的一半为半径画弧，两弧交于一点，再连接𝐵和两弧的交点，如下图即为∠𝐴𝐵𝐶的平分线：
；
（2）解：根据题意画图如下：
，∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝑃𝐷+ ∠𝑃𝐵𝐷= 90°．
∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
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∴∠𝐴𝑄𝑃+ ∠𝐴𝐵𝑄= 90°．
∵∠𝐴𝐵𝑄= ∠𝑃𝐵𝐷，
∴∠𝐵𝑃𝐷= ∠𝐴𝑄𝑃．
∵∠𝐵𝑃𝐷= ∠𝐴𝑃𝑄，
∴∠𝐴𝑃𝑄= ∠𝐴𝑄𝑃．
12．如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐵𝐶= 𝐷𝐶，𝐶𝐸⊥𝐴𝐷于点𝐸，𝐴𝐷= 12，𝐴𝐵= 7，则求线段𝐷𝐸的
长为多少？
【答案】𝐷𝐸=
5
2．
【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识．过点C 作𝐶𝐹⊥𝐴𝐵交𝐴𝐵的延长线
于点F，证明Rt △𝐴𝐶𝐹≌Rt △𝐴𝐶𝐸(HL)，则𝐴𝐸= 𝐴𝐹= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐹，证明Rt △𝐵𝐶𝐹≌Rt △𝐷𝐶𝐸(HL)，则
𝐷𝐸= 𝐵𝐹，得到𝐴𝐷= 𝐴𝐵+ 2𝐷𝐸，即可得到𝐷𝐸的长．
【详解】解：过点C 作𝐶𝐹⊥𝐴𝐵交𝐴𝐵的延长线于点F，
∵𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐶𝐸⊥𝐴𝐷于点E，𝐶𝐹⊥𝐴𝐵于F，
∴𝐶𝐸= 𝐶𝐹，
∵𝐴𝐶= 𝐴𝐶，
∴Rt △𝐴𝐶𝐹≌Rt △𝐴𝐶𝐸(HL)，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐹= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐹，
∵𝐶𝐸= 𝐶𝐹，𝐵𝐶= 𝐷𝐶，
∴Rt △𝐵𝐶𝐹≌Rt △𝐷𝐶𝐸(HL)，
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐹，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐸+ 𝐷𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐹+ 𝐷𝐸= 𝐴𝐵+ 2𝐷𝐸，
∴12 = 7 + 2𝐷𝐸，
∴𝐷𝐸=
5
2．
13．如图，点D 为△𝐴𝐵𝐶外一点，G 为𝐵𝐶的中点，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点E，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶交𝐴𝐶的延长线于点F，连接
𝐷𝐺，𝐴𝐷，且𝐷𝐺⊥𝐵𝐶，𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
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(1)求证：𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶；
(2)若𝐴𝐵= 15，𝐴𝐶= 9，求𝐴𝐸的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)𝐴𝐸= 12
【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理、三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的证明，
是解题的关键．
（1）连接𝐵𝐷,𝐶𝐷，证明𝐵𝐷= 𝐶𝐷，在直角三角形中利用HL可证△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹，得到𝐷𝐸= 𝐷𝐹，利用角平
分线的判定定理，得到点D 在∠𝐵𝐴𝐶的平分线上，即𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶；
（2）证明Rt △𝐴𝐷𝐸≌Rt △𝐴𝐷𝐹(HL)，可得𝐴𝐸= 𝐴𝐹，再进一步求解即可．
【详解】（1）证明：连接𝐵𝐷,𝐶𝐷，
∵𝐺是𝐵𝐶的中点，𝐷𝐺⊥𝐵𝐶，
∴𝐵𝐺= 𝐶𝐺，𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
又∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐶𝐹𝐷= 90°，
在Rt △𝐵𝐷𝐸与Rt △𝐶𝐷𝐹中：𝐵𝐷= 𝐶𝐷，𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
∴Rt △𝐵𝐷𝐸≌Rt △𝐶𝐷𝐹(HL)，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
∴点𝐷在∠𝐵𝐴𝐶的平分线上，
∴𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶；
（2）解：在Rt △𝐴𝐷𝐸和Rt △𝐴𝐷𝐹中，
𝐴𝐷= 𝐴𝐷，𝐷𝐸= 𝐷𝐹．
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∴Rt △𝐴𝐷𝐸≌Rt △𝐴𝐷𝐹(HL)．
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐹，
∵𝐵𝐸= 𝐶𝐹，𝐴𝐵= 15，𝐴𝐶= 9，
∴𝐴𝐵−𝐴𝐸= 𝐴𝐸−𝐴𝐶．
即15−𝐴𝐸= 𝐴𝐸−9，
解得𝐴𝐸= 12．
14．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 120°，𝐵𝐸，𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，它们相交于点𝐼．
(1)如图1，连接𝐴𝐼，求证：点𝐼在∠𝐵𝐴𝐶的平分线上；
(2)如图2，延长𝐴𝐼交𝐵𝐶于点𝐷，过点𝐹作𝐹𝑇⊥𝐵𝐶于点𝑇，𝐹𝐿⊥𝐴𝐷于点𝐿．求证：𝐹𝑇= 𝐹𝐿．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的性质和判定．
(1)因为𝐵𝐸，𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，过点𝐼作𝐴𝐵，𝐴𝐶，𝐵𝐶的垂线段，分别交于点𝑀、𝑁、𝐾，根据角平分
线上的点到角两边的距离相等可得𝐼𝐾= 𝐼𝑁= 𝐼𝑀，再根据到角两边距离相等的点在角平分线上可证结论成立；
(2)首先过点𝐹作𝐴𝐶的垂线段，交𝐶𝐴的延长线于点𝐺，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证
𝐹𝑇= 𝐹𝐺、𝐹𝐿= 𝐹𝐺，等量代换可证𝐹𝑇= 𝐹𝐿．
【详解】（1）证明：如图1所示，
过点𝐼作𝐴𝐵，𝐴𝐶，𝐵𝐶的垂线段，分别交于点𝑀、𝑁、𝐾，
∵𝐵𝐸，𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴𝐼𝐾= 𝐼𝑀，𝐼𝐾= 𝐼𝑁，
∴𝐼𝑁= 𝐼𝑀，
∴点𝐼在∠𝐵𝐴𝐶的角平分线上；
（2）证明：如图2所示，
过点𝐹作𝐴𝐶的垂线段，交𝐶𝐴的延长线于点𝐺，
预习讲义 第09 讲 角的平分线（解析版）
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∵𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐹𝑇⊥𝐵𝐶，𝐹𝐺⊥𝐶𝐴，
∴𝐹𝑇= 𝐹𝐺，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 120°，
∴∠𝐺𝐴𝐹= 180°−∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
∵𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐷=
1
2∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 × 120° = 60°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐺𝐴𝐹，
∴𝐹𝐿= 𝐹𝐺，
即𝐹𝑇= 𝐹𝐿．
15．教材呈现：
我们在教材第28 页已经学习过：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．我们可以用演绎推理的数学
方法来证明这一定理．
定理证明：
（1）请结合图（1）写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程；
已知：
求证：
证明：
知识应用：
（2）如图（2）在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵= ∠𝐶，点𝐸在边𝐵𝐶上，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶．
①求证：𝐵𝐸= 𝐶𝐸；
②若四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长为20，面积为26，𝐵𝐸= 2，则△𝐴𝐵𝐸的边𝐴𝐵上高的长度为 ．
【答案】（1）射线𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵的角平分线，𝑃𝐸⊥𝑂𝐵于𝐸，𝑃𝐷⊥𝑂𝐴于𝐷；𝑃𝐸= 𝑃𝐷；见解析；（2）①见解
析；②3.25
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识；构造全等三角形是解题的关
键．
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（1）由角平分线的性质定理，通过作辅助线构造全等三角形，通过证明三角形全等，得出𝐵𝐸= 𝐸𝐶；
（2）证明Rt △𝐴𝐸𝐹≌Rt △𝐴𝐸𝐺(HL)，得出𝐴𝐹= 𝐴𝐺，同理𝐷𝐺= 𝐷𝐻，由①得出△𝐵𝐸𝐹≌△𝐶𝐸𝐻，得出
𝐵𝐹= 𝐶𝐻，设𝐵𝐹= 𝐶𝐻= 𝑥，𝐴𝐹= 𝐴𝐺= 𝑦，𝐷𝐺= 𝐷𝐻= 𝑧，由四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长得出𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 8，由四边
形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积得出(𝑥+ 𝑦+ 𝑧)•𝐸𝐹= 26，求出𝐸𝐹= 3.25即可．
【详解】（1）已知：𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，点P 是𝑂𝐶上的任意一点，𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，𝑃𝐸⊥𝑂𝐵，垂足分别是点D
和E；
求证：𝑃𝐷= 𝑃𝐸；
证明：∵𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，
∴∠𝑃𝑂𝐷= ∠𝑃𝑂𝐸，
∵𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，𝑃𝐸⊥𝑂𝐵，
∴∠𝑃𝐷𝑂= ∠𝑃𝐸𝑂= 90°，
在△𝑃𝑂𝐷和△𝑃𝑂𝐸中，
∠𝑃𝑂𝐷= ∠𝑃𝑂𝐸
∠𝑃𝐷𝑂= ∠𝑃𝐸𝑂
𝑂𝑃= 𝑂𝑃
，
∴△𝑃𝑂𝐷≌△𝑃𝑂𝐸(AAS)，
∴𝑃𝐷= 𝑃𝐸；
（2）①证明：过E 作𝐸𝐹⊥𝐴𝐵于F，𝐸𝐺⊥𝐴𝐷于G，𝐸𝐻⊥𝐶𝐷于H，
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶，
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐺= 𝐸𝐻，
在△𝐵𝐸𝐹与△𝐶𝐸𝐻中，
∠𝐵= ∠𝐶
∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐶𝐻𝐸= 90°
𝐸𝐹= 𝐸𝐻
，
∴△𝐵𝐸𝐹≌△𝐶𝐸𝐻(AAS)，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐸；
②解：由①得：𝐸𝐹= 𝐸𝐺= 𝐸𝐻，
在Rt △𝐴𝐸𝐹和Rt △𝐴𝐸𝐺中，
𝐴𝐸= 𝐴𝐸
𝐸𝐹= 𝐸𝐺
，
∴Rt △𝐴𝐸𝐹≌Rt △𝐴𝐸𝐺(HL)，
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∴𝐴𝐹= 𝐴𝐺，
同理：𝐷𝐺= 𝐷𝐻，
由①得：△𝐵𝐸𝐹≌△𝐶𝐸𝐻，
∴𝐵𝐹= 𝐶𝐻，
设𝐵𝐹= 𝐶𝐻= 𝑥，𝐴𝐹= 𝐴𝐺= 𝑦，𝐷𝐺= 𝐷𝐻= 𝑧，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长为20，𝐶𝐸= 𝐵𝐸= 2，
∴𝑥+ 𝑦+ 𝑦+ 𝑧+ 𝑧+ 𝑥+ 2 + 2 = 20，
∴𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 8，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为30，
∴
1
2(𝑥+ 𝑦) ⋅𝐸𝐹+
1
2(𝑦+ 𝑧) ⋅𝐸𝐺+
1
2(𝑧+ 𝑥) ⋅𝐸𝐷= 26，
整理得：(𝑥+ 𝑦+ 𝑧) ⋅𝐸𝐹= 26，即8 × 𝐸𝐹= 26，
∴𝐸𝐹= 3.25，
即△𝐴𝐵𝐸的边𝐴𝐵的高的长为3.25．
