预习讲义 第07 讲 全等三角形及其性质（学生版）
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析教材·学知识
【知识点1 全等形的概念】
定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
【提示】（1）全等形的形状相同，大小相等．
（2）两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关．
（3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合．
【知识点2 全等三角形的概念和表示方法】
1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2.全等三角形的对应元素：
①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全
等三角形中，能够重合的角．
3.全等三角形的表示方法：
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置
上．
【知识点3 全等三角形的性质】
1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
2.数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'．
3.全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的
中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三
角形也不一定全等．
练题型·强知识
【题型1 全等形的定义】
【例1】下列四个图形中，有两个是全等形，它们是（ ）
A．①和②
B．①和③
C．②和④
D．③和④
A
C
B
'
A
'
C
'
B
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【变式1-1】如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷与四边形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′全等，则∠𝐷′ =
，∠𝐴=
，𝐵′𝐶′ =
，
𝐴𝐷=
．
【变式1-2】（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否
．
（2）试找出图中的全等图形：
．
【题型2 将已知图形分割成几个全等图形】
【例2】把如图所示的由16 个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形．
【变式2-1】知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．”
理解应用：我们可以把4 × 4的正方形网格图形划分为两个全等图形．
范例：如图1 和图2 是两种不同的划分方法，其中图3 与图1 视为同一种划分方法．
要求：请你再提供2 种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来．
（请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑）
【变式2-2】手工劳动课上，老师给每个小组发一张硬纸板（如图），要求每个小组把它分成四个形状相同、
面积相等的图形．他们该怎么分？请你试一试．
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【题型3 全等三角形的对应元素】
【例3】如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐴．下列结论：①𝐴𝐵与𝐴𝐷是对应边；②𝐴𝐶与𝐶𝐴是对应边；③∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐷𝐴𝐶
是对应角；④∠𝐶𝐴𝐵与∠𝐴𝐶𝐷是对应角．其中正确的是
．（填序号）
【变式3-1】如图所示，在两个全等三角形中，点A 和点E 是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边
和对应角．
【变式3-2】如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，试找出对应边，对应角．
【变式3-3】如图，点𝐸，𝐹在线段𝐵𝐶上，△𝐴𝐵𝐹与△𝐷𝐶𝐸全等，点𝐴与点𝐷，点𝐵与点𝐶是对应顶点，𝐴𝐹与𝐷𝐸
交于点𝑀．
(1)表示这两个三角形全等；
(2)写出对应边及对应角．
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【题型4 全等三角形的性质求线段长度】
【例4】如图，点𝐵，𝐸在线段𝐴𝐷上，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，若𝐴𝐷= 9，𝐵𝐸= 6，则𝐴𝐵的长为（ ）
A．7
B．7.5
C．8
D．8.5
【变式4-1】如图，𝐴𝐶⊥𝐵𝐸,𝐷𝐸⊥𝐵𝐸，若△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐷𝐸,𝐴𝐶= 8,𝐷𝐸= 3，则𝐶𝐸等于（ ）
A．4
B．4.5
C．5
D．5.5
【变式4-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是高，点𝐸在线段𝐴𝐷上．若△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐸𝐷，𝐴𝐵= 10，𝐵𝐶= 14，则△𝐶𝐸𝐷
的周长为（ ）
A．10
B．20
C．24
D．28
【变式4-3】如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶，B、C、D 在同一直线上，且𝐶𝐸= 3，𝐴𝐶= 5．求𝐵𝐷长．
【题型5 全等三角形的性质求角度】
【例5】如图，点𝐹，𝐵，𝐸，𝐶在同一条直线上，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，若∠𝐴= 30°,∠𝐹= 26°，则∠𝐷𝐸𝐶的度数
为（ ）
A．54°
B．56°
C．58°
D．60°
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【变式5-1】如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸，若∠𝐷= 35°，∠𝐴𝐶𝐵= 45°，则∠𝐷𝐶𝐸的度数为（ ）
A．45°
B．75°
C．80°
D．100°
【变式5-2】如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐸，点𝐷在边𝐴𝐶上，𝐵𝐶与𝐷𝐸相交于点𝑃，已知∠𝐴𝐵𝐸= 162°，
∠𝐷𝐵𝐶= 30°，∠𝐶= 27°，求∠𝐵𝐷𝐸的度数．
【变式5-3】如图，△𝐴𝐷𝐶≌△𝐴𝐹𝐵，连接𝐵𝐶，𝐵𝐹与𝐶𝐷交于点𝐸，𝐴𝐷∥𝐵𝐹，∠𝐷𝐴𝐵= 25°，∠𝐹𝐸𝐶= 75°．
(1)求∠𝐹𝐴𝐶的度数；
(2)求∠𝐷𝐴𝐹的度数．
【题型6 全等三角形的性质判断两线段的位置关系】
【例6】如图，已知△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，𝐴𝐸与𝐵𝐷交于点𝐹，试探究𝐴𝐸与𝐵𝐷有怎样的大小关系和位
置关系，并说明理由．
【变式6-1】如图所示，已知△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐹𝐷,𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于D．
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(1)判断𝐶𝐸与𝐴𝐵的位置关系，并说明理由．
(2)已知𝐵𝐶= 7,𝐴𝐷= 5，求𝐴𝐹的长．
【变式6-2】如图：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐸、𝐶𝐹分别是𝐴𝐶、𝐴𝐵两边上的高．
(1)求证：∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐶𝐹；
(2)当△𝐴𝐵𝐷≌△𝐺𝐶𝐴时，𝐴𝐷与𝐴𝐺的位置关系如何，请说明理由．
【变式6-3】如图，已知△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐵𝐶，𝐴𝐵= 3cm，𝐵𝐶= 4.5cm，且点𝐵在线段𝐴𝐶上．
(1)求𝐷𝐸的长．
(2)求证：𝐴𝐶⊥𝐵𝐷．
(3)猜想𝐴𝐷与𝐶𝐸的位置关系，并说明理由．
串知识·识框架
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过关测·稳提升
1．下列说法中正确的是（ ）
A．两个面积相等的三角形是全等三角形B．三个对应角都相等的三角形是全等三角形
C．两个周长相等的三角形是全等三角形D．两个完全重合的三角形是全等三角形
2．如图，已知∠1 = ∠2，∠𝐵= ∠𝐷，△𝐴𝐵𝐶和△𝐸𝐴𝐷全等，则下列表示正确的是（ ）
A．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷 B．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐴𝐷
C．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐴
D．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸
3．如图，△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，若𝐴𝐵= 6，𝐴𝐸= 3，则𝐶𝐷的长度为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
4．如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸，若∠𝐷= 35°，∠𝐴𝐶𝐵= 45°，则∠𝐷𝐶𝐸的度数为（ ）
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A．35°
B．45°
C．80°
D．100°
5．如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，连接𝐵𝐷，若∠𝐶𝐴𝐸= 90°,𝐴𝐵= 2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．如图，已知图中两个三角形全等，则∠1的度数是 ．
7．如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐵，点𝐴、𝐵、𝐶的对应点分别是点𝐷、𝐸、𝐵，点𝐸在𝐴𝐵边上，𝐷𝐸与𝐴𝐶交于点
𝐹．如果𝐴𝐸= 8，𝐵𝐶= 12，则线段𝐷𝐸的长是
．
8．如果△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为3，5，7，△𝐷𝐸𝐹的三边长分别为3，𝑥−2，2𝑦−1，若这两个三角形全等，
则𝑥+ 𝑦=
．
9．如图，∠𝐴𝐶𝐵= 90°,𝐴𝐶= 8,𝐵𝐶= 4，动点P 从点A 出发（不含点A），以2 个单位长度/秒的速度沿射线
𝐴𝐶运动，Q 为射线𝐶𝐵上一动点，点P 的运动时间为t 秒，若以点P，Q，C 为顶点的三角形与△𝐴𝐵𝐶全等，
则t 的值为
．
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10．如图：𝐷、𝐸是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶、𝐵𝐶上的点，△𝐴𝐷𝐵≌△𝐸𝐷𝐵≌△𝐸𝐷𝐶，下列结论：①𝐴𝐷= 𝐸𝐷；
②𝐵𝐶= 2𝐴𝐵；③∠1 = ∠2 = ∠3；④∠4 = ∠5 = ∠6．其中正确的有
（填序号）．
11．如图，在边长为1 的4 × 4正方形网格中，A，B，C，D，E 是网格线交点．
(1)求△𝐴𝐵𝐶的面积；
(2)在网格内画出一个△𝐷𝐸𝐹，使得△𝐷𝐸𝐹与△𝐴𝐵𝐶全等．
12．如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐹，点𝐴，𝐹，𝐶，𝐸在一条直线上．
(1)求证：𝐴𝐹= 𝐶𝐸；
(2)连接𝐴𝐷．若∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐴𝐷𝐸= 2∠𝐵，求∠𝐸的度数．
13．如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，点𝐸在边𝐵𝐶上（不与点𝐵，𝐶重合），𝐷𝐸与𝐴𝐵交于点𝐹．
(1)若∠𝐶𝐴𝐷= 110°，∠𝐵𝐴𝐸= 30°，求∠𝐵𝐴𝐷的度数；
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(2)若𝐴𝐷= 10，𝐵𝐸= 𝐶𝐸= 4.5，求△𝐴𝐷𝐹与△𝐵𝐸𝐹的周长和；
14．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷、𝐸分别在边𝐵𝐶、𝐴𝐵上，连接𝐴𝐷、𝐶𝐸交于点𝐹，且△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐹𝐷．
(1)求证：△𝐴𝐷𝐶是等腰直角三角形；
(2)若𝑆△𝐵𝐶𝐸= 15，𝑆△𝐴𝐸𝐹= 3，求四边形𝐵𝐸𝐹𝐷的面积．
15．如图，𝐴，𝐷，𝐸三点在同一直线上，且△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸．
(1)若∠𝐵= 25°，∠𝐴𝐸𝐶= 80°，求∠𝐵𝐴𝐶的度数；
(2)试判断𝐵𝐷，𝐷𝐸，𝐶𝐸之间的数量关系，并说明理由；
(3)当△𝐴𝐵𝐷满足____________时，𝐵𝐷∥𝐶𝐸．
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答案解析
练题型·强知识
【题型1 全等形的定义】
【例1】下列四个图形中，有两个是全等形，它们是（ ）
A．①和②
B．①和③
C．②和④
D．③和④
【答案】D
【分析】本题考查全等形的定义，能够完全重合的两个图形叫做全等形．据此即可解答．
【详解】解：图③和④是全等形．
故选：D
【变式1-1】如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷与四边形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′全等，则∠𝐷′ =
，∠𝐴=
，𝐵′𝐶′ =
，
𝐴𝐷=
．
【答案】
120°；
70°；
12；
6．
【分析】本题考查了全等图形的性质，如果两个图形全等，那么这两个图形的对应角相等、对应边相等．
【详解】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷与四边形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′全等，
∴∠𝐷′ = ∠𝐷= 120°，∠𝐴= ∠𝐴′ = 70°，𝐵′𝐶′ = 𝐵𝐶= 12，𝐴𝐷= 𝐴′𝐷′ = 6．
故答案为：①120°；②70°；③12；④6 ．
【变式1-2】（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否
．
（2）试找出图中的全等图形：
．
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【答案】
完全重合
②与⑦；③与⑫；⑤与⑨
【分析】本题考查全等图形的定义和性质，熟练掌握全等图形的定义和性质是解题的关键．
（1）根据全等图形的定义求解即可；
（2）根据题意，找到图中的全等图形，即可求解；
【详解】解：（1）判断两个图形是全等图形的关键是看两个图形能否完全重合；
（2）图中的全等图形的有②与⑦；③与⑫；⑤与⑨．
故答案为：（1）完全重合；
（2）②与⑦；③与⑫；⑤与⑨．
【题型2 将已知图形分割成几个全等图形】
【例2】把如图所示的由16 个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，结合图形的对称性和互补性，利用面积相等以及图形全等分
别分割即可．
【详解】解：分割线如图所示：
【变式2-1】知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．”
理解应用：我们可以把4 × 4的正方形网格图形划分为两个全等图形．
范例：如图1 和图2 是两种不同的划分方法，其中图3 与图1 视为同一种划分方法．
要求：请你再提供2 种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来．
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（请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑）
【答案】见解析（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等图形的概念，根据能够完全重合的图形为全等图形，在图中画出即可，熟知全等
图形的概念是解题的关键．
【详解】解：如图所示：
（答案不唯一）．
【变式2-2】手工劳动课上，老师给每个小组发一张硬纸板（如图），要求每个小组把它分成四个形状相同、
面积相等的图形．他们该怎么分？请你试一试．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了分割大小形状的图像，先将图根据标记的数字画出等面积的小格，然后以阴影部
分为基本图形，画出形状相同、面积相等的图形．
【详解】解：先将图根据标记的数字画出等面积的小格，然后以阴影部分为基本图形，可以分别得出下图
所示的四种分法：
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【题型3 全等三角形的对应元素】
【例3】如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐴．下列结论：①𝐴𝐵与𝐴𝐷是对应边；②𝐴𝐶与𝐶𝐴是对应边；③∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐷𝐴𝐶
是对应角；④∠𝐶𝐴𝐵与∠𝐴𝐶𝐷是对应角．其中正确的是
．（填序号）
【答案】②④
【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角．
根据全等三角形的有关概念，即可求解．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐴，
∴𝐴𝐵与𝐶𝐷是对应边，故①错误；
𝐴𝐶与𝐶𝐴是对应边，故②正确；
∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐴𝐶𝐷是对应角，故③错误；
∠𝐶𝐴𝐵与∠𝐴𝐶𝐷是对应角，故④正确．
所以正确的有②④．
故答案为：②④
【变式3-1】如图所示，在两个全等三角形中，点A 和点E 是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边
和对应角．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的有关概念，关键是掌握全等三角形的对应顶点，对应边，对应角的定义．由
全等三角形的对应顶点，对应边、对应角的定义，即可得到答案．
【详解】解：对应顶点是点C 和点C、点B 和点D，对应边是𝐴𝐶和𝐸𝐶、𝐵𝐶和𝐷𝐶、𝐴𝐵和𝐸𝐷，对应角是∠𝐴
和∠𝐸、∠𝐵和∠𝐷、∠𝐴𝐶𝐵和∠𝐸𝐶𝐷．
【变式3-2】如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，试找出对应边，对应角．
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【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的相关概念．把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，
重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．据此即可解答．
【详解】解：对应边是𝐴𝐶与𝐴𝐸，𝐴𝐵与𝐴𝐷，𝐵𝐶与𝐷𝐸．
对应角是∠𝐴与∠𝐴，∠𝐵与∠𝐷，∠𝐴𝐶𝐵与∠𝐴𝐸𝐷．
【变式3-3】如图，点𝐸，𝐹在线段𝐵𝐶上，△𝐴𝐵𝐹与△𝐷𝐶𝐸全等，点𝐴与点𝐷，点𝐵与点𝐶是对应顶点，𝐴𝐹与𝐷𝐸
交于点𝑀．
(1)表示这两个三角形全等；
(2)写出对应边及对应角．
【答案】(1) △𝐴𝐵𝐹≌△𝐷𝐶𝐸
(2)𝐴𝐵与𝐷𝐶，𝐴𝐹与𝐷𝐸，𝐵𝐹与𝐶𝐸；∠𝐴与∠𝐷，∠𝐵与∠𝐶，∠𝐴𝐹𝐵与∠𝐷𝐸𝐶
【分析】本题主要考查全等三角形的对应边，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
（1）根据题意写出全等三角形即可；
（2）根据全等三角形的表示找出对应边与对应角．
【详解】（1）解：∵点𝐴与点𝐷，点𝐵与点𝐶是对应顶点，
∴ △𝐴𝐵𝐹≌△𝐷𝐶𝐸；
（2）解：∵ △𝐴𝐵𝐹≌△𝐷𝐶𝐸，
故𝐴𝐵与𝐷𝐶，𝐴𝐹与𝐷𝐸，𝐵𝐹与𝐶𝐸为对应边；∠𝐴与∠𝐷，∠𝐵与∠𝐶，∠𝐴𝐹𝐵与∠𝐷𝐸𝐶为对应角．
【题型4 全等三角形的性质求线段长度】
【例4】如图，点𝐵，𝐸在线段𝐴𝐷上，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，若𝐴𝐷= 9，𝐵𝐸= 6，则𝐴𝐵的长为（ ）
A．7
B．7.5
C．8
D．8.5
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，到局全等三角形的对应边相等得出𝐴𝐵= 𝐷𝐸，进而得出𝐴𝐸= 𝐵𝐷，
结合已知条件可得出𝐴𝐸+ 6 + 𝐴𝐸= 9，求出𝐴𝐸，即可求解．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴𝐴𝐵= 𝐷𝐸，
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∴𝐴𝐸= 𝐵𝐷，
∵𝐴𝐷= 9，𝐵𝐸= 6，
∴𝐴𝐸+ 6 + 𝐴𝐸= 9，
∴𝐴𝐸= 1.5，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐸+ 𝐵𝐸= 7.5，
故选：B．
【变式4-1】如图，𝐴𝐶⊥𝐵𝐸,𝐷𝐸⊥𝐵𝐸，若△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐷𝐸,𝐴𝐶= 8,𝐷𝐸= 3，则𝐶𝐸等于（ ）
A．4
B．4.5
C．5
D．5.5
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，结合△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐷𝐸,𝐴𝐶= 8,𝐷𝐸= 3，得𝐵𝐸= 8,𝐶𝐵= 3，再结合线
段的和差关系列式计算，即可作答．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐷𝐸,𝐴𝐶= 8,𝐷𝐸= 3，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐶= 8,𝐶𝐵= 𝐸𝐷= 3，
∴𝐶𝐸= 8−3 = 5，
故选：C
【变式4-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是高，点𝐸在线段𝐴𝐷上．若△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐸𝐷，𝐴𝐵= 10，𝐵𝐶= 14，则△𝐶𝐸𝐷
的周长为（ ）
A．10
B．20
C．24
D．28
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，求三角形的周长，正确理解全等三角形的性质是解题的关键．根
据△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐸𝐷得出𝐷𝐸= 𝐵𝐷,𝐴𝐵= 𝐸𝐶，△𝐶𝐷𝐸的周长𝐷𝐸+ 𝐷𝐶+ 𝐸𝐶= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐵问题可解．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐸𝐷，
∴𝐸𝐷= 𝐵𝐷,𝐸𝐶= 𝐴𝐵，
∵△𝐶𝐸𝐷的周长= 𝐸𝐷+ 𝐷𝐶+ 𝐸𝐶,𝐵𝐶= 14,𝐴𝐵= 10，
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∴△𝐶𝐸𝐷的周长= 𝐵𝐷+ 𝐷𝐶+ 𝐴𝐵= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐵= 14 + 10 = 24，
故选：C．
【变式4-3】如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶，B、C、D 在同一直线上，且𝐶𝐸= 3，𝐴𝐶= 5．求𝐵𝐷长．
【答案】8
【分析】本题考查了全等三角形的性质内容，全等三角形对应边相等，难度较小，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．根据△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶，得𝐷𝐶= 𝐴𝐶= 5，𝐵𝐶= 𝐸𝐶= 3，即可得𝐵𝐷的长．
【详解】解：因为△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶，𝐶𝐸= 3，𝐴𝐶= 5．
所以𝐷𝐶= 𝐴𝐶= 5，𝐵𝐶= 𝐸𝐶= 3，
则𝐵𝐷= 𝐷𝐶+ 𝐶𝐵= 5 + 3 = 8．
【题型5 全等三角形的性质求角度】
【例5】如图，点𝐹，𝐵，𝐸，𝐶在同一条直线上，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，若∠𝐴= 30°,∠𝐹= 26°，则∠𝐷𝐸𝐶的度数
为（ ）
A．54°
B．56°
C．58°
D．60°
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角，根据全等三角形的性质，得到∠𝐷= ∠𝐴= 30°，再根
据三角形的外角的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴∠𝐷= ∠𝐴= 30°，
∵∠𝐹= 26°，
∴∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐹+ ∠𝐷= 56°；
故选B．
【变式5-1】如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸，若∠𝐷= 35°，∠𝐴𝐶𝐵= 45°，则∠𝐷𝐶𝐸的度数为（ ）
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A．45°
B．75°
C．80°
D．100°
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．
由全等三角形的对应角相等得到∠𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵= 45°，再由三角形内角和定理即可求出∠𝐷𝐶𝐸的度数．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸，
∴∠𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵= 45°，
∵∠𝐷= 35°，
∴∠𝐷𝐶𝐸= 180°−45°−35° = 100°，
故选：D．
【变式5-2】如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐸，点𝐷在边𝐴𝐶上，𝐵𝐶与𝐷𝐸相交于点𝑃，已知∠𝐴𝐵𝐸= 162°，
∠𝐷𝐵𝐶= 30°，∠𝐶= 27°，求∠𝐵𝐷𝐸的度数．
【答案】57°
【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，根据全等性质证明∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐸是解题关
键．先求出∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐶𝐵𝐸= 132°，再根据三角形全等得到∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐸，∠𝐶= ∠𝐸= 27°，进而求出
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐸= 66°，∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝐸= 96°，然后根据三角形内角和定理可求结果．
【详解】解：∵∠𝐴𝐵𝐸= 162°，∠𝐷𝐵𝐶= 30°，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐸−∠𝐷𝐵𝐶= 162°−30° = 132°，
∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐸，∠𝐶= ∠𝐸= 27°，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐸= 132° ×
1
2 = 66°，
∴∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝐸= 30° + 66° = 96°，
∴∠𝐵𝐷𝐸= 180°−∠𝐷𝐵𝐸−∠𝐸= 180°−96°−27° = 57°，
∴∠𝐵𝐷𝐸= 57°．
【变式5-3】如图，△𝐴𝐷𝐶≌△𝐴𝐹𝐵，连接𝐵𝐶，𝐵𝐹与𝐶𝐷交于点𝐸，𝐴𝐷∥𝐵𝐹，∠𝐷𝐴𝐵= 25°，∠𝐹𝐸𝐶= 75°．
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(1)求∠𝐹𝐴𝐶的度数；
(2)求∠𝐷𝐴𝐹的度数．
【答案】(1)25°
(2)105°
【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性
质是解题关键．
（1）先根据全等三角形的性质可得∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐹𝐴𝐵，再根据角的和差可得∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐹𝐴𝐶，由此即可得；
（2）先根据平行线的性质可得∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐷𝐴𝐵= 25°，∠𝐷= ∠𝐹𝐸𝐶= 75°，再根据全等三角形的性质可得
∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐵𝐹= 25°，然后根据三角形的内角和定理可得∠𝐷𝐴𝐶= 80°，最后根据∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐹𝐴𝐶求
解即可得．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐷𝐶≌△𝐴𝐹𝐵，
∴∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐹𝐴𝐵，
∴∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐹𝐴𝐵−∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐹𝐴𝐶，
∵∠𝐷𝐴𝐵= 25°，
∴∠𝐹𝐴𝐶= 25°．
（2）解：∵𝐴𝐷∥𝐵𝐹，∠𝐷𝐴𝐵= 25°，∠𝐹𝐸𝐶= 75°，
∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐷𝐴𝐵= 25°，∠𝐷= ∠𝐹𝐸𝐶= 75°，
∵△𝐴𝐷𝐶≌△𝐴𝐹𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐵𝐹= 25°，
∴∠𝐷𝐴𝐶= 180°−∠𝐷−∠𝐴𝐶𝐷= 80°，
由（1）已得：∠𝐹𝐴𝐶= 25°，
∴∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐹𝐴𝐶= 80° + 25° = 105°．
【题型6 全等三角形的性质判断两线段的位置关系】
【例6】如图，已知△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，𝐴𝐸与𝐵𝐷交于点𝐹，试探究𝐴𝐸与𝐵𝐷有怎样的大小关系和位
置关系，并说明理由．
【答案】𝐴𝐸= 𝐵𝐷且𝐴𝐸⊥𝐵𝐷，理由见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，垂直的定义和余角等相关知识，熟知相关知识是解题的
预习讲义 第07 讲 全等三角形及其性质（解析版）
第 20 页 共 32 页
关键．
根据全等三角形的性质得到对应角相等，根据垂直的定义得出互余的角，最后根据90°角即可得出结果．
【详解】解：𝐴𝐸= 𝐵𝐷且𝐴𝐸⊥𝐵𝐷，理由如下：
∵△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐶𝐷，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐷,∠𝐴= ∠𝐵，
设𝐴𝐸与𝐵𝐶交于点𝐺，
∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐺𝐶= 90°，∠𝐴𝐺𝐶= ∠𝐵𝐺𝐹，
∴∠𝐵𝐺𝐹+ ∠𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐹𝐺= 90°，
即𝐴𝐸⊥𝐵𝐷．
【变式6-1】如图所示，已知△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐹𝐷,𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于D．
(1)判断𝐶𝐸与𝐴𝐵的位置关系，并说明理由．
(2)已知𝐵𝐶= 7,𝐴𝐷= 5，求𝐴𝐹的长．
【答案】(1)𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，理由见解析
(2)3
【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练应用全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据垂线的定义得到∠𝐴𝐷𝐶= 90°，由全等三角形的性质得到∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐷𝐶𝐹，据此可利用三角形内角
和定理证明∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐶𝐷𝐹= 90°，据此可得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得𝐵𝐷= 𝐹𝐷，𝐴𝐷= 𝐷𝐶= 5，从而求得𝐵𝐷= 𝐹𝐷= 2，即可求解．
【详解】（1）解：𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，理由如下：
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐹𝐷，
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∴∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐷𝐶𝐹，
又∵∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐶𝐹𝐷，∠𝐴𝐸𝐹+ ∠𝐴𝐹𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐷𝐹𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐹+ ∠𝐶𝐷𝐹= 180°，
∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐶𝐷𝐹= 90°，即𝐶𝐸⊥𝐴𝐵。
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐹𝐷，
∴𝐵𝐷= 𝐹𝐷，𝐴𝐷= 𝐷𝐶，
∵𝐵𝐶= 7，𝐴𝐷= 𝐷𝐶= 5，
∴𝐵𝐷= 𝐵𝐶−𝐷𝐶= 7−5 = 2，
∴𝐹𝐷= 2，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐷−𝐹𝐷= 5−2 = 3．
【变式6-2】如图：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐸、𝐶𝐹分别是𝐴𝐶、𝐴𝐵两边上的高．
(1)求证：∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐶𝐹；
(2)当△𝐴𝐵𝐷≌△𝐺𝐶𝐴时，𝐴𝐷与𝐴𝐺的位置关系如何，请说明理由．
【答案】(1)∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐶𝐹
(2)𝐴𝐷⊥𝐴𝐺，理由见详解
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，三角形的高线，全等三角形的性质，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．
（1）先由三角形的高线，得出∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶= 90°，再结合直角三角形的两个锐角互余，即可作答．
（2）先由△𝐴𝐵𝐷≌△𝐺𝐶𝐴得出∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐷𝐴𝐹，根据三角形的高线，得出∠𝐴𝐹𝐶= 90°，再结合直角三角形
的两个锐角互余，以及角的等量代换，即可作答．
【详解】（1）解：∵𝐵𝐸、𝐶𝐹分别是𝐴𝐶、𝐴𝐵两边上的高．
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶= 90°，
∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐸= 90°−∠𝐵𝐴𝐶,∠𝐴𝐶𝐹= 90°−∠𝐵𝐴𝐶,
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐶𝐹；
（2）解：𝐴𝐷⊥𝐴𝐺，理由如下：
∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐺𝐶𝐴，
∴∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐷𝐴𝐹，
∵𝐶𝐹是𝐴𝐵两边上的高．
∴∠𝐴𝐹𝐺= 90°，
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∴∠𝐴𝐺𝐹+ ∠𝐺𝐴𝐹= 90°，
即∠𝐷𝐴𝐹+ ∠𝐺𝐴𝐹= 90°，
∴∠𝐺𝐴𝐷= 90°，
∴𝐴𝐷⊥𝐴𝐺．
【变式6-3】如图，已知△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐵𝐶，𝐴𝐵= 3cm，𝐵𝐶= 4.5cm，且点𝐵在线段𝐴𝐶上．
(1)求𝐷𝐸的长．
(2)求证：𝐴𝐶⊥𝐵𝐷．
(3)猜想𝐴𝐷与𝐶𝐸的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)𝐷𝐸= 1.5cm；
(2)证明见解析；
(3)直线𝐴𝐷与直线𝐶𝐸垂直，理由见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的
关键．
（1）根据全等三角形的性质得出𝐵𝐷= 𝐵𝐶= 4.5cm，𝐵𝐸= 𝐴𝐵= 3cm，然后通过线段和差即可求解；
（2）根据全等三角形的性质得出∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐸𝐵𝐶， 然后由平角定义即可求证；
（3）延长𝐶𝐸交𝐴𝐷于点𝐹，根据全等三角形的性质得出∠𝐷= ∠𝐶，最后由三角形内角和即可求解．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐵𝐶，
∴𝐵𝐷= 𝐵𝐶= 4.5cm，𝐵𝐸= 𝐴𝐵= 3cm，
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐷−𝐵𝐸= 1.5(cm)；
（2）证明：∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐸𝐵𝐶，
∵点𝐵在线段𝐴𝐶上，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐸𝐵𝐶= 180°
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐸𝐵𝐶= 90°，
∴𝐷𝐵⊥𝐴𝐶；
（3）解：直线𝐴𝐷与直线𝐶𝐸垂直，理由：
如图，延长𝐶𝐸交𝐴𝐷于点𝐹，
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∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐵𝐶，
∴∠𝐷= ∠𝐶，
∵Rt △𝐴𝐵𝐷中，∠𝐴+ ∠𝐷= 90°，
∴∠𝐴+ ∠𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐹𝐶= 90°，
∴𝐶𝐸⊥𝐴𝐷．
过关测·稳提升
1．下列说法中正确的是（ ）
A．两个面积相等的三角形是全等三角形B．三个对应角都相等的三角形是全等三角形
C．两个周长相等的三角形是全等三角形D．两个完全重合的三角形是全等三角形
【答案】D
【分析】根据全等三角形的定义进行判断即可.
【详解】解：A、两个面积相等的三角形不一定是全等三角形，说法错误；
B、三个对应角都相等的三角形是全等三角形不一定是全等三角形，说法错误；
C、两个周长相等的三角形是全等三角形不一定是全等三角形，说法错误；
D、两个完全重合的三角形是全等三角形，说法正确；
故选D.
【点睛】本题考查全等三角形的判定和定义，熟练掌握两个完全重合的三角形是全等三角形，是解题的关
键.
2．如图，已知∠1 = ∠2，∠𝐵= ∠𝐷，△𝐴𝐵𝐶和△𝐸𝐴𝐷全等，则下列表示正确的是（ ）
A．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷 B．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐴𝐷
C．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐴
D．△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出
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对应点，即可解题．
【详解】解：∵ ∠1 = ∠2，
∴ 𝐸与𝐶相对应，
∵ ∠𝐵= ∠𝐷，
∴ 𝐵与𝐷相对应，
∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，
故选：D．
3．如图，△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，若𝐴𝐵= 6，𝐴𝐸= 3，则𝐶𝐷的长度为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质“对应边相等”是关键．
根据全等三角形的性质得到𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 6,𝐴𝐷= 𝐴𝐸= 3，由𝐴𝐶−𝐴𝐷即可求解．
【详解】解：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 6,𝐴𝐷= 𝐴𝐸= 3，
∴𝐶𝐷= 𝐴𝐶−𝐴𝐷= 6−3 = 3，
故选：D ．
4．如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸，若∠𝐷= 35°，∠𝐴𝐶𝐵= 45°，则∠𝐷𝐶𝐸的度数为（ ）
A．35°
B．45°
C．80°
D．100°
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相
等．由全等三角形的对应角相等得到∠𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵= 45°，再由三角形内角和定理即可求出∠𝐷𝐶𝐸的度数．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸，
∴∠𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵= 45°，
∵∠𝐷= 35°，
∴∠𝐷𝐶𝐸= 180°−45°−35° = 100°，
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故选：D．
5．如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，连接𝐵𝐷，若∠𝐶𝐴𝐸= 90°,𝐴𝐵= 2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形
的性质可得𝐴𝐷= 𝐴𝐵= 2，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐷𝐸，从而可得∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 90°，再根据图中阴
影部分的面积等于△𝐴𝐵𝐷的面积求解即可得．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，𝐴𝐵= 2，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐵= 2，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐷𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐷𝐴𝐶，即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
∵∠𝐶𝐴𝐸= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90°，
又∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐷𝐸，
∴图中阴影部分的面积等于𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2𝐴𝐵⋅𝐴𝐷=
1
2 × 2 × 2 = 2，
故选：B．
6．如图，已知图中两个三角形全等，则∠1的度数是 ．
【答案】48°
【分析】本题考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．由
三角形内角和及全等的性质可得∠1 = ∠𝐵= 180°−60°−72° = 48°，即可求解．
【详解】解：如图，
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已知图中的两个三角形全等，
∴∠1 = ∠𝐵= 180°−60°−72° = 48°，
所以∠1的度数为48°．
故答案为：48°．
7．如图，已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐵，点𝐴、𝐵、𝐶的对应点分别是点𝐷、𝐸、𝐵，点𝐸在𝐴𝐵边上，𝐷𝐸与𝐴𝐶交于点
𝐹．如果𝐴𝐸= 8，𝐵𝐶= 12，则线段𝐷𝐸的长是
．
【答案】20
【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐵，得出𝐵𝐸= 𝐵𝐶= 12，𝐷𝐸= 𝐴𝐵，根据
𝐴𝐸= 8，得出𝐴𝐵= 𝐴𝐸+ 𝐵𝐸= 12 + 8 = 20，即可得出答案．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐵，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐶= 12，𝐷𝐸= 𝐴𝐵，
∵𝐴𝐸= 8，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐸+ 𝐵𝐸= 12 + 8 = 20，
∴𝐷𝐸= 20．
故答案为：20．
8．如果△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为3，5，7，△𝐷𝐸𝐹的三边长分别为3，𝑥−2，2𝑦−1，若这两个三角形全等，
则𝑥+ 𝑦=
．
【答案】11 或12/12 或11
【分析】此题考查的是根据全等三角形的性质求字母的值，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关
键．
根据全等三角形的对应边相等分类讨论，分别求出x，y 值判断即可．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹全等，
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∴当𝑥−2 = 5
2𝑦−1 = 7
时，解得：𝑥= 7
𝑦= 4
，
∴𝑥+ 𝑦= 7 + 4 = 11；
当𝑥−2 = 7
2𝑦−1 = 5
时，解得：𝑥= 9
𝑦= 3
，
∴𝑥+ 𝑦= 9 + 3 = 12；
∴综上所述，𝑥+ 𝑦= 11或12．
故答案为：11 或12．
9．如图，∠𝐴𝐶𝐵= 90°,𝐴𝐶= 8,𝐵𝐶= 4，动点P 从点A 出发（不含点A），以2 个单位长度/秒的速度沿射线
𝐴𝐶运动，Q 为射线𝐶𝐵上一动点，点P 的运动时间为t 秒，若以点P，Q，C 为顶点的三角形与△𝐴𝐵𝐶全等，
则t 的值为
．
【答案】2或6或8
【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况．根据已知条件分
△𝐴𝐵𝐶≌△𝑃𝑄𝐶，△𝐴𝐵𝐶≌△𝑄𝑃𝐶，两种情况，根据𝐴𝐶= 𝑃𝐶= 8和𝐵𝐶= 𝑃𝐶= 4列方程求出t 值即可．
【详解】解：∵𝐴𝐶= 8,𝐵𝐶= 4，
∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝑃𝐶𝑄= 90°，
∴当△𝐴𝐵𝐶≌△𝑃𝑄𝐶时，𝐴𝐶= 𝑃𝐶= 8，𝑄𝐶= 𝐵𝐶= 4，
∴点𝐵,𝑄重合，点𝑃在点𝐶右侧，
此时，𝑃𝐶= 𝐴𝑃−𝐴𝐶= 2𝑡−8，
∴2𝑡−8 = 8，
解得：𝑡= 8；
当△𝐴𝐵𝐶≌△𝑄𝑃𝐶时，𝐵𝐶= 𝑃𝐶= 4，
当点𝑃在点𝐶左侧时，
此时，𝑃𝐶= 𝐴𝐶−𝐴𝑃= 8−2𝑡，
∴8−2𝑡= 4，
解得：𝑡= 2；
当点𝑃在点𝐶右侧时，
此时，𝑃𝐶= 𝐴𝑃−𝐴𝐶= 2𝑡−8，
∴2𝑡−8 = 4，
解得：𝑡= 6；
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综上：则t 的值为2或6或8时，△𝐴𝐵𝐶与以点𝑃，𝑄，𝐶为顶点的三角形全等，
故答案为：2或6或8．
10．如图：𝐷、𝐸是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶、𝐵𝐶上的点，△𝐴𝐷𝐵≌△𝐸𝐷𝐵≌△𝐸𝐷𝐶，下列结论：①𝐴𝐷= 𝐸𝐷；
②𝐵𝐶= 2𝐴𝐵；③∠1 = ∠2 = ∠3；④∠4 = ∠5 = ∠6．其中正确的有
（填序号）．
【答案】①②③④
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，逐项分析判断，即可求解．
【详解】∵△𝐴𝐷𝐵≌△𝐸𝐷𝐵，
∴𝐴𝐷= 𝐸𝐷，𝐴𝐵= 𝐵𝐸，∠1 = ∠2，∠5 = ∠4，故①正确
∵△𝐸𝐷𝐵≌△𝐸𝐷𝐶，
∴∠2 = ∠3，∠5 = ∠6，
∴∠1 = ∠2 = ∠3，∠4 = ∠5 = ∠6，故③④正确
∵𝐸是𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐶= 2𝐵𝐸，
又𝐴𝐵= 𝐵𝐸，
∴𝐵𝐶= 2𝐴𝐵；所以②正确
故答案为：①②③④．
11．如图，在边长为1 的4 × 4正方形网格中，A，B，C，D，E 是网格线交点．
(1)求△𝐴𝐵𝐶的面积；
(2)在网格内画出一个△𝐷𝐸𝐹，使得△𝐷𝐸𝐹与△𝐴𝐵𝐶全等．
【答案】(1)
1
2
(2)见解析
【分析】本题考查网格中求三角形面积，利用全等三角形的性质作图．
（1）直接利用三角形面积公式求解即可；
（2）根据网格的特征结合全等三角形的性质即可解答．
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【详解】（1）解：𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 1 × 1 =
1
2，
∴△𝐴𝐵𝐶的面积为
1
2；
（2）解：画图如图所示．（答案不唯一）
12．如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐹，点𝐴，𝐹，𝐶，𝐸在一条直线上．
(1)求证：𝐴𝐹= 𝐶𝐸；
(2)连接𝐴𝐷．若∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐴𝐷𝐸= 2∠𝐵，求∠𝐸的度数．
【答案】(1)见详解
(2)36°
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，正确理解全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐹得出𝐴𝐶= 𝐸𝐹,根据𝐴𝐹+ 𝐹𝐶= 𝐶𝐸+ 𝐶𝐹，问题得证；
（2）根据全等三角形的性质得出∠𝐵= ∠𝐸𝐷𝐹，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐹，
∴𝐴𝐶= 𝐸𝐹，即𝐴𝐹+ 𝐹𝐶= 𝐶𝐸+ 𝐶𝐹，
∴𝐴𝐹= 𝐶𝐸；
（2）∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐹，
∴∠𝐵= ∠𝐸𝐷𝐹，
∵∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐴𝐷𝐸= 2∠𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐸= 2∠𝐸𝐷𝐹，
∴𝐷𝐹平分∠𝐴𝐷𝐸，
∠𝐴𝐷𝐹=
1
2∠𝐴𝐷𝐸，
设∠𝐴𝐷𝐹= 𝑥°，则∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐴𝐷𝐸= 2𝑥°
在△𝐴𝐷𝐹中，根据三角形内角和定理，得
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∴𝑥+ 2𝑥+ 2𝑥= 180，
∴∠𝐸= 36°
13．如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，点𝐸在边𝐵𝐶上（不与点𝐵，𝐶重合），𝐷𝐸与𝐴𝐵交于点𝐹．
(1)若∠𝐶𝐴𝐷= 110°，∠𝐵𝐴𝐸= 30°，求∠𝐵𝐴𝐷的度数；
(2)若𝐴𝐷= 10，𝐵𝐸= 𝐶𝐸= 4.5，求△𝐴𝐷𝐹与△𝐵𝐸𝐹的周长和；
【答案】(1)40°
(2)33.5
【分析】本题考查了全等三角形的性质等知识，解题的关键是：
（1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷，然后利用角的和差关系求解即可；
（2）利用全等三角形的性质可求出𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 10，𝐵𝐶= 𝐷𝐸= 9，然后利用三角形的周长公式求解即可．
【详解】（1）解∶∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷，
∵∠𝐶𝐴𝐷= 110°，∠𝐵𝐴𝐸= 30°，
∴∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐵𝐴𝐸= 80°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷= 40°；
（2）解：∵𝐴𝐷= 10，𝐵𝐸= 𝐶𝐸= 4.5，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 10，𝐵𝐶= 𝐷𝐸= 𝐵𝐸+ 𝐶𝐸= 9，
△𝐴𝐷𝐹与△𝐵𝐸𝐹的周长和为𝐴𝐷+ 𝐷𝐹+ 𝐴𝐹+ 𝐵𝐹+ 𝐸𝐹+ 𝐵𝐸
= 𝐴𝐷+ (𝐷𝐹+ 𝐸𝐹) + (𝐴𝐹+ 𝐵𝐹) + 𝐵𝐸
= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐸+ 𝐴𝐵+ 𝐵𝐸
= 10 + 9 + 10 + 4.5
= 33.5．
14．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷、𝐸分别在边𝐵𝐶、𝐴𝐵上，连接𝐴𝐷、𝐶𝐸交于点𝐹，且△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐹𝐷．
(1)求证：△𝐴𝐷𝐶是等腰直角三角形；
(2)若𝑆△𝐵𝐶𝐸= 15，𝑆△𝐴𝐸𝐹= 3，求四边形𝐵𝐸𝐹𝐷的面积．
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【答案】(1)证明见解析
(2)6
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质可知∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐹𝐷𝐶，𝐴𝐷= 𝐶𝐷，结合∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐹𝐷𝐶= 180°，即可证明；
（2）根据题意可知𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐶𝐷𝐹= 𝑆△𝐵𝐶𝐸+ 𝑆△𝐴𝐸𝐹，再由全等三角形的性质可得到𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐶𝐷𝐹= 9，最
后由四边形𝐵𝐸𝐹𝐷的面积= 𝑆△𝐴𝐵𝐷−𝑆△𝐴𝐸𝐹即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐹𝐷，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐹𝐷𝐶，𝐴𝐷= 𝐶𝐷，
∵∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐹𝐷𝐶= 180°，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∴△𝐴𝐷𝐶是等腰直角三角形；
（2）解：∵𝑆△𝐵𝐶𝐸= 15，𝑆△𝐴𝐸𝐹= 3，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐶𝐷𝐹= 𝑆△𝐵𝐶𝐸+ 𝑆△𝐴𝐸𝐹= 15 + 3 = 18，
∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐹𝐷，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐶𝐷𝐹=
1
2 × 18 = 9，
∴四边形𝐵𝐸𝐹𝐷的面积= 𝑆△𝐴𝐵𝐷−𝑆△𝐴𝐸𝐹= 9−3 = 6．
15．如图，𝐴，𝐷，𝐸三点在同一直线上，且△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸．
(1)若∠𝐵= 25°，∠𝐴𝐸𝐶= 80°，求∠𝐵𝐴𝐶的度数；
(2)试判断𝐵𝐷，𝐷𝐸，𝐶𝐸之间的数量关系，并说明理由；
(3)当△𝐴𝐵𝐷满足____________时，𝐵𝐷∥𝐶𝐸．
【答案】(1)∠𝐵𝐴𝐶= 100°；
(2)𝐵𝐷= 𝐶𝐸+ 𝐷𝐸，见解析
(3)∠𝐴𝐷𝐵= 90°
【分析】本题主要考查全等三角形的性质、平行线的判定．
（1）由全等三角形的性质求得∠𝐵= ∠𝐸𝐴𝐶= 25°，∠𝐵𝐴𝐷= 75°，据此求解即可；
（2）由△𝐵𝐴𝐷≌△𝐴𝐶𝐸得出𝐵𝐷= 𝐴𝐸，𝐴𝐷= 𝐶𝐸，再进行相应等量代换；
（3）当∠𝐴𝐷𝐵= 90°时，𝐵𝐷∥𝐶𝐸．由△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，得出∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶𝐸𝐴= 90°，进而
∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐶𝐸𝐴= 90°，从而得证𝐵𝐷∥𝐶𝐸．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，
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∴∠𝐵= ∠𝐸𝐴𝐶= 25°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 180°−∠𝐸𝐴𝐶−∠𝐴𝐸𝐶= 75°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐸𝐴𝐶= 100°；
（2）解：𝐵𝐷= 𝐶𝐸+ 𝐷𝐸，理由如下：
证明：∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐸，𝐴𝐷= 𝐶𝐸，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐸= 𝐶𝐸+ 𝐷𝐸；
（3）解：当∠𝐴𝐷𝐵= 90°时，𝐵𝐷∥𝐶𝐸．理由如下：
∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶𝐸𝐴= 90°，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐵𝐷𝐸= 90°，
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐶𝐸𝐴= 90°，
∴𝐵𝐷∥𝐶𝐸．
故答案为：∠𝐴𝐷𝐵= 90°．
