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第02 讲 三角形的边（学生版）
第 1 页 共 26 页
➢析教材 学知识
【知识点1 三角形的三边关系】
定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边；
②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可
组成三角形；反之则不能组成三角形。
【知识点2 三角形的稳定性】
性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.
➢练题型 强知识
【题型1 构成三角形的条件】
【例1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm
B．6cm，8cm，13cm
C．5cm，6cm，11cm
D．3cm，4cm，8cm
【变式1-1】老师让同学们分别将一根14cm长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形．下
列四位同学的剪法中符合要求的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】从长度分别为2，3，4，5，6 的五条线段中随机抽取三条，能围成三角形的组合共有（ ）
A．4 种
B．5 种
C．6 种
D．7 种
【变式1-3】满足下列条件的三条线段a，b，c 能组成三角形的是（ ）
A．𝑎:𝑏:𝑐= 1:2:3
B．𝑎+ 𝑏= 4，𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 9
C．𝑎= 3，𝑏= 4，𝑐= 5
D．𝑎= 3𝑡，𝑏= 2𝑡，𝑐= 𝑡
【题型2 确定第三边的取值范围】
【例2】若长度为4,6,𝑎的三条线段能组成一个三角形，则𝑎的值可以是（ ）
A．2
B．5
C．10
D．12
【变式2-1】在△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴𝐵= 2,𝐴𝐶= 4，且𝐵𝐶的长为整数，则△𝐴𝐵𝐶的周长可能是（ ）
A．8
B．11
C．12
D．15
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【变式2-2】在平面内，将长度分别为1，3，1，d 的四条线段，首尾顺次相接组成一个凸四边形，如图所
示，则d 的值可能是（ ）
A．1
B．3
C．5
D．6
【变式2-3】已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为𝑚−3，2𝑚+ 1，10．则𝑚的取值范围
．
【题型3 三角形三边关系的应用】
【例3】已知a、b、c 为△𝐴𝐵𝐶的三边长．
(1)化简|𝑎−𝑏+ 𝑐| + |𝑎−𝑏−𝑐|；
(2)若△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形，且周长为16，已知𝑎= 4，求b、c 的值．
【变式3-1】已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为𝑎，𝑏，𝑐．
(1)化简：|𝑎−𝑏−𝑐| + |𝑏−𝑐−𝑎| + |𝑎+ 𝑏−𝑐|；
(2)若𝑎= 2，𝑏= 5，第三边𝑐的长为奇数，判断△𝐴𝐵𝐶的形状．
【变式3-2】老师在讲“三角形的边”一节时，让每一位同学带来一根15 cm长的细铁丝，课堂上进行实验操
作，具体操作如下：在同一平面内将15 cm长的细铁丝弯折成一个三角形.
（1）量出𝐴𝑃= 4 cm；
（2）在点𝑃右侧取一点𝑄，使点𝑄满足𝑃𝑄> 4 cm；
（3）将𝐴𝑃向右翻折，𝐵𝑄向左翻折.
若要使𝐴、𝐵两点能在𝑀点处重合，则𝑃𝑄长可能为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【变式3-3】【问题探究】
数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系．
小明进行了以下探究；
已知，如图，△𝐴𝐵𝐶中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝐵𝐶，𝐴𝐵+𝐵𝐶> 𝐴𝐶，𝐵𝐶
+𝐴𝐶> 𝐴𝐵，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边．
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小红在小明的基础上进行了补充：
若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定
的三条线段能首尾相接构成三角形．
【问题解决】
(1)三角形的三边长分别为𝑥+ 4，𝑥−1，𝑥−2，求𝑥的取值范围；
(2)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值；
(3)在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐶= 10，已知这个三角形的周长不大于30，求𝐴𝐵的长度范围．
【题型4 利用三角形三边关系证不等关系】
【例4】如图，已知D、E 是△𝐴𝐵𝐶内的两点，问𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝐵𝐷+ 𝐷𝐸+ 𝐸𝐶成立吗？请说明理由．
【变式4-1】如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐵𝐴上一点，则𝐴𝐵+ 2𝐶𝐷> 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶成立吗？说明理由．
【变式4-2】已知，如图四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑂是𝐴𝐶与𝐵𝐷的交点，试说明：𝐴𝐶与𝐵𝐷的和小于四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周
长．
【变式4-3】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内找一点𝑂，使它与四边形四个顶点的距离的和𝑂𝐴+ 𝑂𝐵+ 𝑂𝐶+ 𝑂𝐷最小，
并说出你的理由．
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【题型5 三角形的稳定性】
【例5】下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】下列五边形具有稳定性的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】用螺丝连接四根木条构成一个四边形，四根木条长度如图所示，现添加一根木条，使这个图形
稳定，则添加的木条的长度不可以是（ ）
A．2
B．4
C．5
D．6
【变式5-3】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形，至少要钉上 根木条．
➢串知识 识框架
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➢过关测 稳提升
1．以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列各组条件中，不能组成三角形的是（ ）
A．2，𝑎+ 2，𝑎+ 3(𝑎> 0)
B．3 厘米，8 厘米，10 厘米
C．三条线段之比为1:2:3
D．6 厘米，6 厘米，6 厘米
3．如图，将长为14cm的铁丝折成三段，已知第一段长为4cm，第二段长为𝑎cm．若这三条线段恰好能围成
一个三角形，则𝑎的值可以是（ ）
A．3
B．6
C．7
D．8
4．已知一个三角形的两边长分别为3 和9，若第三边长为偶数，则第三边长为（ ）
A．7 或9
B．9 或11
C．6 或8
D．8 或10
5．等腰三角形周长为17，其中两条边长分别为x 和2𝑥+ 1，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．4 或7
B．4
C．6
D．7
6．数学活动小组制作了四个小木棍，长度分别是6cm，8cm，10cm，15cm，任意选取其中三个，能组成的
三角形的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
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7．如图，由三角形两边的和大于第三边，可得的结论错误的是（ ）
A．𝐴𝐵+ 𝐴𝐷> 𝐵𝐷
B．𝑃𝐷+ 𝐶𝐷> 𝑃𝐶
C．𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝐵𝑃+ 𝑃𝐶
D．𝐴𝑃+ 𝐵𝑃+ 𝐶𝑃> 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶
8．如图，具有稳定性的图形有
．（填序号）
9．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△𝐴𝐵𝐶是“倍长三角
形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为
．
10．如图，线段𝐴𝐵和线段𝐴𝐶是三角形𝐴𝐵𝐶的两条边，点D 在线段𝐴𝐵上，点E 在线段𝐴𝐶上，将三角形𝐴𝐵𝐶
沿𝐷𝐸所在直线裁去一个角得到四边形𝐷𝐵𝐶𝐸，则四边形𝐷𝐵𝐶𝐸的周长
（填“大于”，“等于”或“小于”）三
角形𝐴𝐵𝐶的周长，理由是
．
11．已知三角形三边𝑎、𝑏、𝑐的长均为整数，且𝑎≤𝑏< 𝑐，如果𝑏= 7，则符合条件的三角形共有
个．
12．已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为𝑎，𝑏，𝑐．
(1)化简：|𝑎−𝑏−𝑐|−|𝑏−𝑐−𝑎| + |𝑎+ 𝑏−𝑐|．
(2)若𝑎= 2，𝑏= 5，且三角形的周长为偶数，求𝑐的值．
13．在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根12cm长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一
个三角形木框．
(1)小明想把木棒剪成三段，第一段长𝑎cm，第二段的长比第一段的3 倍少2cm．试判断第一段的长能否为3
cm，并说明理由；
(2)小亮先把木棒剪成如图所示的𝐴𝐵= 4cm和𝐶𝐷= 8cm的两段，现要将木棒𝐶𝐷从𝑃处剪开，使得三根木棒首
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尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的𝐶𝑃的整数长度．
14．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在𝐴𝐵上，点𝑂在𝐶𝐷上．求证：𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝑂𝐵+ 𝑂𝐶．
15．如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉
几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n 边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？
请带着这些问题开始探究活动．
多边形木架的边数
4
5
6
…
𝑛
至少要钉木条的根数
1
…
▲
根据以上信息，解答下列问题．
（1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条．
（2）表格中的“▲”处填_____．（用含n 的代数式表示）
（3）有一个多边形，至少要钉上18 根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____．
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➢析教材 学知识
【知识点1 三角形的三边关系】
定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边；
②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可
组成三角形；反之则不能组成三角形。
【知识点2 三角形的稳定性】
性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.
➢练题型 强知识
【题型1 构成三角形的条件】
【例1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm
B．6cm，8cm，13cm
C．5cm，6cm，11cm
D．3cm，4cm，8cm
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是三角形三边关系，解题关键是熟练掌握三角形三边关系．
根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”逐项进行判断即可．
【详解】解：A选项，∵1 + 2 = 3，不符合三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，A选项错误；
B选项，符合三角形三边关系，能组成三角形，符合题意，B选项正确；
C选项，∵5 + 6 = 11，不符合三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，C选项错误；
D选项，∵3 + 4 < 8，不符合三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，D选项错误．
故选：B．
【变式1-1】老师让同学们分别将一根14cm长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形．下
列四位同学的剪法中符合要求的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的三边关系（构成三角形的条件），熟练掌握构成三角形的条件是解题的关键：
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三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边；简便方法是：看较小的两个数之
和是否大于第三个数．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 2 + 3 = 5 < 9，不能组成三角形，故选项A不符合题意；
B. 3.5 + 3.5 = 7，不能组成三角形，故选项B不符合题意；
C. 5 + 4 = 9 > 5，5−4 = 1 < 5，能组成三角形，故选项C符合题意；
D. 3 + 3 = 6 < 8，不能组成三角形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【变式1-2】从长度分别为2，3，4，5，6 的五条线段中随机抽取三条，能围成三角形的组合共有（ ）
A．4 种
B．5 种
C．6 种
D．7 种
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第
三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系求解即可得．
【详解】解：∵2 + 3 > 4，2 + 4 > 5，2 + 5 > 6，3 + 4 > 5，3 + 4 > 6，3 + 5 > 6，4 + 5 > 6，
∴能围成三角形的三条线段长度分别为2,3,4、2,4,5、2,5,6、3,4,5、3,4,6、3,5,6、4,5,6，组合共有7 种，
故选：D．
【变式1-3】满足下列条件的三条线段a，b，c 能组成三角形的是（ ）
A．𝑎:𝑏:𝑐= 1:2:3
B．𝑎+ 𝑏= 4，𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 9
C．𝑎= 3，𝑏= 4，𝑐= 5
D．𝑎= 3𝑡，𝑏= 2𝑡，𝑐= 𝑡
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形三条边的关系．根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和
大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【详解】解：A、设a，b，c 分别为𝑥，2𝑥，3𝑥(𝑥> 0)，则有𝑥+ 2𝑥= 3𝑥，即𝑎+ 𝑏= 𝑐，不符合三角形的三
边关系，故不能构成三角形；
B、当𝑎+ 𝑏= 4时，𝑐= 9−(𝑎+ 𝑏) = 5，4 < 5，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形；
C、当𝑎= 3，𝑏= 4，𝑐= 5时，3 + 4 > 5，符合三角形的三边关系，故能构成三角形；
D、𝑡+ 2𝑡= 3𝑡，即𝑐+ 𝑏= 𝑎，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形．
故选：C．
【题型2 确定第三边的取值范围】
【例2】若长度为4,6,𝑎的三条线段能组成一个三角形，则𝑎的值可以是（ ）
A．2
B．5
C．10
D．12
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第
三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系求解即可得．
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【详解】解：∵长度为4,6,𝑎的三条线段能组成一个三角形，
∴6−4 < 𝑎< 6 + 4，即2 < 𝑎< 10，
观察四个选项可知，只有选项B 符合，
故选：B．
【变式2-1】在△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴𝐵= 2,𝐴𝐶= 4，且𝐵𝐶的长为整数，则△𝐴𝐵𝐶的周长可能是（ ）
A．8
B．11
C．12
D．15
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，掌握两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题
的关键．
根据三角形的三边关系可得2 < 𝐵𝐶< 6，即可确定𝐵𝐶的长度可以为3、4、5，再求出三角形△𝐴𝐵𝐶的可能
取值即可解答．
【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴𝐵= 2,𝐴𝐶= 4，
∴𝐴𝐶−𝐴𝐵< 𝐵𝐶< 𝐴𝐶+ 𝐴𝐵，即4−2 < 𝐵𝐶< 4 + 2，
∴2 < 𝐵𝐶< 6，
∵𝐵𝐶的长度为整数，
∴𝐵𝐶的长度可以为3、4、5，
∴△𝐴𝐵𝐶的周长可能是9、10、11．
故选：B．
【变式2-2】在平面内，将长度分别为1，3，1，d 的四条线段，首尾顺次相接组成一个凸四边形，如图所
示，则d 的值可能是（ ）
A．1
B．3
C．5
D．6
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的三边关系定理．如图，设这个凸四边形为𝐴𝐵𝐶𝐷，连接𝐵𝐷，并设𝐵𝐷= 𝑎，先
在△𝐵𝐶𝐷中，根据三角形的三边关系定理可得2 < 𝑎< 4，再在△𝐴𝐵𝐷中，根据三角形的三边关系定理可得
𝑎−𝐴𝐵< 𝐴𝐷< 𝑎+ 𝐴𝐵，即𝑎−1 < 𝐴𝐷< 𝑎+ 1从而可得1 < 𝐴𝐷< 5，据此即可解答．
【详解】解：如图，设这个凸四边形为𝐴𝐵𝐶𝐷，连接𝐵𝐷，并设𝐵𝐷= 𝑎，
在△𝐵𝐶𝐷中，3−1 < 𝑎< 1 + 3，即2 < 𝑎< 4，
在△𝐴𝐵𝐷中，𝑎−𝐴𝐵< 𝐴𝐷< 𝑎+ 𝐴𝐵，即𝑎−1 < 𝐴𝐷< 𝑎+ 1，
所以1 < 𝐴𝐷< 5．
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观察四个选项可知，只有选项B 符合．
故选：B．
【变式2-3】已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为𝑚−3，2𝑚+ 1，10．则𝑚的取值范围
．
【答案】4 < 𝑚< 6
【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，由此得到关于𝑚的不等式组，即可求出𝑚
的取值范围．关键是掌握三角形三边关系定理．
【详解】解：由三角形三边关系定理得到：
𝑚−3 + 2𝑚+ 1 > 10①
𝑚−3 + 10 > 2𝑚+ 1②
2𝑚+ 1 + 10 > 𝑚−3③
，
解①得𝑚> 4，
解②得𝑚< 6，
解③得𝑚> −14，
∴不等式组的解集为4 < 𝑚< 6．
故答案为：4 < 𝑚< 6．
【题型3 三角形三边关系的应用】
【例3】已知a、b、c 为△𝐴𝐵𝐶的三边长．
(1)化简|𝑎−𝑏+ 𝑐| + |𝑎−𝑏−𝑐|；
(2)若△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形，且周长为16，已知𝑎= 4，求b、c 的值．
【答案】(1)2𝑐
(2)𝑏= 𝑐= 6
【分析】（1）根据三角形的三边关系得到：𝑎−𝑏+ 𝑐> 0，𝑎−𝑏−𝑐< 0，根据绝对值的性质进行化简，即可
求解；
（2）对𝑎= 4进行a 为腰长或a 为底边进行分类讨论，即可作答．
【详解】（1）解：因为a、b、c 为△𝐴𝐵𝐶的三边长，
所以𝑎+ 𝑐> 𝑏，𝑏+ 𝑐> 𝑎，
则𝑎−𝑏+ 𝑐= 𝑎+ 𝑐−𝑏> 0，𝑎−𝑏−𝑐= 𝑎−(𝑏+ 𝑐) < 0，
所以|𝑎−𝑏+ 𝑐| + |𝑎−𝑏−𝑐| = 𝑎−𝑏+ 𝑐−𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 2𝑐；
（2）解：因为△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形，且周长为16，
所以当𝑎= 4为腰长时，那么底边为16−4−4 = 8，
因为4 + 4 = 8，所以不能构成三角形，故𝑎= 4为腰长舍去；
所以当𝑎= 4为底边时，那么腰长为
16−4
2
= 6，
故4 为底边，腰长为6，符合三角形的三边关系，
则𝑏= 𝑐= 6．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简，三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两
边之差小于第三边．
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【变式3-1】已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为𝑎，𝑏，𝑐．
(1)化简：|𝑎−𝑏−𝑐| + |𝑏−𝑐−𝑎| + |𝑎+ 𝑏−𝑐|；
(2)若𝑎= 2，𝑏= 5，第三边𝑐的长为奇数，判断△𝐴𝐵𝐶的形状．
【答案】(1)𝑎+ 𝑏+ 𝑐
(2) △𝐴𝐵𝐶是等腰三角形
【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整
式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键；
（1）根据三角形的三边关系可得𝑎+ 𝑏> 𝑐,𝑏+ 𝑐> 𝑎,𝑎+ 𝑐> 𝑏，然后可去绝对值，进而问题可求解；
（2）根据三角形的三边关系可得3 < 𝑐< 7，则有𝑐= 5，然后问题可求解．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为𝑎，𝑏，𝑐，
∴𝑎+ 𝑏> 𝑐,𝑏+ 𝑐> 𝑎,𝑎+ 𝑐> 𝑏，
∴|𝑎−𝑏−𝑐| + |𝑏−𝑐−𝑎| + |𝑎+ 𝑏−𝑐|
= 𝑏+ 𝑐−𝑎+ 𝑐+ 𝑎−𝑏+ 𝑎+ 𝑏−𝑐
= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐；
（2）解：∵𝑎= 2，𝑏= 5，
∴根据三角形三边关系可得3 < 𝑐< 7，
∵第三边𝑐的长为奇数，
∴𝑐= 5，
∴𝑏= 𝑐= 5，
∴△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形．
【变式3-2】老师在讲“三角形的边”一节时，让每一位同学带来一根15 cm长的细铁丝，课堂上进行实验操
作，具体操作如下：在同一平面内将15 cm长的细铁丝弯折成一个三角形.
（1）量出𝐴𝑃= 4 cm；
（2）在点𝑃右侧取一点𝑄，使点𝑄满足𝑃𝑄> 4 cm；
（3）将𝐴𝑃向右翻折，𝐵𝑄向左翻折.
若要使𝐴、𝐵两点能在𝑀点处重合，则𝑃𝑄长可能为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的三边关系．根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案．
【详解】解：设𝑃𝑄= 𝑥(𝑥> 4)，
∵𝐴𝑃= 4,𝑃𝑄= 𝑥，
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∴𝐵𝑄= 𝐴𝐵−𝐴𝑃−𝑃𝑄= 15−4−𝑥= (11−𝑥)cm，
将𝐴𝑃向右翻折，𝐵𝑄向左翻折，
∴𝐴𝑃= 𝑀𝑃,𝑀𝑄= 𝐵𝑄，
∵△𝑀𝑃𝑄符合三角形三边关系，
∴𝑀𝑄−𝑀𝑃< 𝑃𝑄< 𝑀𝑄+ 𝑀𝑃，
即11−𝑥−4 < 𝑥< 11−𝑥+ 4，
解得7−𝑥< 𝑥< 15−𝑥，
解得
7
2 < 𝑥<
15
2 ，
观察四个选项，选项A 符合题意，
故选：A．
【变式3-3】【问题探究】
数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系．
小明进行了以下探究；
已知，如图，△𝐴𝐵𝐶中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝐵𝐶，𝐴𝐵+𝐵𝐶> 𝐴𝐶，𝐵𝐶
+𝐴𝐶> 𝐴𝐵，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边．
小红在小明的基础上进行了补充：
若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定
的三条线段能首尾相接构成三角形．
【问题解决】
(1)三角形的三边长分别为𝑥+ 4，𝑥−1，𝑥−2，求𝑥的取值范围；
(2)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值；
(3)在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐶= 10，已知这个三角形的周长不大于30，求𝐴𝐵的长度范围．
【答案】(1)𝑥> 7
(2)4
(3)5 < 𝐴𝐵≤10
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成
为解题的关键．
（1）直接根据三角形三边关系列不等式求解即可；
（2）设最短的边的长度为x，较长边的长度为𝑥+ 3，然后根据题意列不等式求得𝑥>
7
2，然后根据三边长都
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是整数即可解答；
（3）设𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝑥，然后根据题意列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为𝑥+ 4，𝑥−1，𝑥−2，
∴𝑥−2 + 𝑥−1 > 𝑥+ 4，解得：𝑥> 7．
（2）解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为𝑥+ 3，
由题意可得：𝑥+ 𝑥+ 3 > 10，解得：𝑥>
7
2，
∵一个三角形的三边长都是整数，
∴该三角形最短边的最小值4．
（3）解：设𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝑥，
由题意可得：
2𝑥> 10
2𝑥+ 10 ≤30
，解得：5 < 𝐴𝐵≤10．
【题型4 利用三角形三边关系证不等关系】
【例4】如图，已知D、E 是△𝐴𝐵𝐶内的两点，问𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝐵𝐷+ 𝐷𝐸+ 𝐸𝐶成立吗？请说明理由．
【答案】𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝐵𝐷+ 𝐷𝐸+ 𝐸𝐶成立，见解析
【分析】考查三角形的边的不等关系时，要注意三角形的三边关系结合图形，反复运用三角形的三边关系：
“两边之和大于第三边”进行证明．
【详解】解：𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝐵𝐷+ 𝐷𝐸+ 𝐸𝐶，理由如下：
延长𝐷𝐸交𝐴𝐵于点F、延长𝐷𝐸交𝐴𝐶于G，
在△𝐴𝐹𝐺中：𝐴𝐹+ 𝐴𝐺> 𝐹𝐺①，
在△𝐵𝐹𝐷中：𝐹𝐵+ 𝐹𝐷> 𝐵𝐷②，
在△𝐸𝐺𝐶中：𝐸𝐺+ 𝐺𝐶> 𝐸𝐶③，
∵𝐹𝐷+ 𝐸𝐷+ 𝐸𝐺= 𝐹𝐺，
∴①+ ②+ ③得：
𝐴𝐹+ 𝐹𝐵+ 𝐹𝐷+ 𝐸𝐺+ 𝐺𝐶+ 𝐴𝐺> 𝐹𝐺+ 𝐵𝐷+ 𝐸𝐶，
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第02 讲 三角形的边（解析版）
第 15 页 共 26 页
即：𝐴𝐵+ 𝐹𝐷+ 𝐸𝐺+ 𝐴𝐶> 𝐹𝐺+ 𝐵𝐷+ 𝐸𝐶，
𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝐹𝐺−𝐹𝐷−𝐸𝐺+ 𝐵𝐷+ 𝐸𝐶，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝐵𝐷+ 𝐸𝐷+ 𝐸𝐶．
【变式4-1】如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐵𝐴上一点，则𝐴𝐵+ 2𝐶𝐷> 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶成立吗？说明理由．
【答案】𝐴𝐵+ 2𝐶𝐷> 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶成立，理由见解析
【分析】本题考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，同时考查了不等式的性质．先根
据三角形三边关系定理可得𝐴𝐷+ 𝐶𝐷> 𝐴𝐶，𝐵𝐷+ 𝐶𝐷> 𝐵𝐶，再将两式相加得(𝐴𝐷+ 𝐵𝐷) +2𝐶𝐷> 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶，
即𝐴𝐵+ 2𝐶𝐷> 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶．
【详解】
解：𝐴𝐵+ 2𝐶𝐷> 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶成立，理由如下：
在△𝐴𝐷𝐶中，𝐴𝐷+ 𝐶𝐷> 𝐴𝐶，
在△𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐷+ 𝐶𝐷> 𝐵𝐶，
两式相加得：(𝐴𝐷+ 𝐵𝐷) +2𝐶𝐷> 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶，
即𝐴𝐵+ 2𝐶𝐷> 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶．
【变式4-2】已知，如图四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑂是𝐴𝐶与𝐵𝐷的交点，试说明：𝐴𝐶与𝐵𝐷的和小于四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周
长．
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形两边之和大于第三边得出𝐴𝐷+ 𝐴𝐵> 𝐵𝐷，
𝐶𝐷+ 𝐵𝐶> 𝐵𝐷，𝐴𝐷+ 𝐶𝐷> 𝐴𝐶，𝐴𝐵+ 𝐵𝐶> 𝐴𝐶，计算得出𝐴𝐷+ 𝐴𝐵+ 𝐶𝐷+ 𝐵𝐶> 𝐴𝐶+ 𝐵𝐷，即可得证，熟
练掌握三角形三边关系是解此题的关键．
【详解】证明：在△𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐷+ 𝐴𝐵> 𝐵𝐷，
在△𝐵𝐶𝐷中，𝐶𝐷+ 𝐵𝐶> 𝐵𝐷，
在△𝐴𝐶𝐷中，𝐴𝐷+ 𝐶𝐷> 𝐴𝐶，
在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵+ 𝐵𝐶> 𝐴𝐶，
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∴𝐴𝐷+ 𝐴𝐵+ 𝐶𝐷+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶> 𝐵𝐷+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐶+ 𝐴𝐶，
∴2(𝐴𝐷+ 𝐴𝐵+ 𝐶𝐷+ 𝐵𝐶) > 2(𝐴𝐶+ 𝐵𝐷)，
∴𝐴𝐷+ 𝐴𝐵+ 𝐶𝐷+ 𝐵𝐶> 𝐴𝐶+ 𝐵𝐷，
∴ 𝐴𝐶与𝐵𝐷的和小于四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长．
【变式4-3】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内找一点𝑂，使它与四边形四个顶点的距离的和𝑂𝐴+ 𝑂𝐵+ 𝑂𝐶+ 𝑂𝐷最小，
并说出你的理由．
【答案】见解析
【分析】本题考查三角形三边关系，两点之间直线最短．连接𝐴𝐶，𝐵𝐷，它们相交于点𝑂，则点𝑂到𝐴，𝐵，𝐶
，𝐷四个顶点的距离之和最小，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内任找一点（如点𝐸，且与点𝑂不重合），比较它与点𝑂到四
个顶点的距离之和即可得到结论．
【详解】解：连接𝐴𝐶，𝐵𝐷，它们相交于点𝑂，则点𝑂到𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四个顶点的距离之和最小．
理由如下：
∵𝑂𝐴+ 𝑂𝐶= 𝐴𝐶,𝑂𝐵+ 𝑂𝐷= 𝐵𝐷，且𝐴𝐶< 𝐸𝐴+ 𝐸𝐶, 𝐵𝐷< 𝐸𝐵+ 𝐸𝐷，
∴𝑂𝐴+ 𝑂𝐶< 𝐸𝐴+ 𝐸𝐶,𝑂𝐵+ 𝑂𝐷< 𝐸𝐵+ 𝐸𝐷，
∴𝑂𝐴+ 𝑂𝐶+ 𝑂𝐵+ 𝑂𝐷< 𝐸𝐴+ 𝐸𝐶+ 𝐸𝐵+ 𝐸𝐷，即四边形对角线的交点𝑂到四边形四个顶点的距离之和最小，
即我们所找的点．
【题型5 三角形的稳定性】
【例5】下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形不稳定，进行判断即可．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形不稳定，
∴不容易变形的是：B，
故选：B
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【变式5-1】下列五边形具有稳定性的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，解题的关键是理解只要图形由三角形构成，也
具有稳定性．根据三角形具有稳定性，进行解答即可．
【详解】解：根据三角形具有稳定性，只要图形由三角形构成，也具有稳定性，只有D 选项中的图形都是
由三角形构成．
故选：D．
【变式5-2】用螺丝连接四根木条构成一个四边形，四根木条长度如图所示，现添加一根木条，使这个图形
稳定，则添加的木条的长度不可以是（ ）
A．2
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】该题主要考查了三角形的三边关系的应用，解题的关键是掌握三角形的三边关系．
根据三角形的三边关系得出𝐴𝐶,𝐵𝐷的范围求解即可．
【详解】解：连接𝐴𝐶,𝐵𝐷，
根据题意可得，在△𝐵𝐶𝐷中，4−4 < 𝐵𝐷< 4 + 4，即0 < 𝐵𝐷< 8，
在△𝐴𝐵𝐷中，6−3 < 𝐵𝐷< 6 + 3，即3 < 𝐵𝐷< 9，
则3 < 𝐵𝐷< 8，
在△𝐴𝐶𝐷中，6−4 < 𝐴𝐶< 6 + 4，即2 < 𝐴𝐶< 10，
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在△𝐴𝐵𝐶中，4−3 < 𝐴𝐶< 4 + 3，即1 < 𝐴𝐶< 7，
则2 < 𝐴𝐶< 7，
故选：A．
【变式5-3】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形，至少要钉上 根木条．
【答案】3
【分析】本题考查三角形的稳定性，三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，
即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．根据过𝑛边形的一个顶点作对角
线，可以做(𝑛−3)条即可解答．
【详解】解：过六边形的一个顶点作对角线，有6−3 = 3(条)对角线，
所以至少要钉上3根木条．
故答案为3．
➢过关测 稳提升
1．以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形稳定性和四边形不稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛
的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过转化为三角形而获得．
【详解】解：A，B，D 是利用了三角形的稳定性，C 是利用了四边形的不稳定性．
故选：C．
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2．下列各组条件中，不能组成三角形的是（ ）
A．2，𝑎+ 2，𝑎+ 3(𝑎> 0)
B．3 厘米，8 厘米，10 厘米
C．三条线段之比为1:2:3
D．6 厘米，6 厘米，6 厘米
【答案】C
【分析】本题考查构成三角形的条件，解题的关键构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小
于第三边，只要验证较小两边长之和是否小于最长边．根据构成三角形的条件逐项判断即可．
【详解】解：A．由𝑎> 0得2 + (𝑎+ 2) = 𝑎+ 4 > 𝑎+ 3，能构成三角形，故此选项不合题意；
B．3 + 8 = 11 > 0，能构成三角形，故此选项不合题意；
C．设最小边为a，则剩余两边是2𝑎，3𝑎．𝑎+ 2𝑎= 3𝑎，不能构成三角形，故此选项符合题意；
D．因为6 + 6 = 12 > 6，能构成三角形，故此选项不合题意．
故选：C．
3．如图，将长为14cm的铁丝折成三段，已知第一段长为4cm，第二段长为𝑎cm．若这三条线段恰好能围成
一个三角形，则𝑎的值可以是（ ）
A．3
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握知识点是解题的关键．
逐项求出第三段长，再根据三角形的三边关系判断，即可解答．
【详解】解：A．当𝑎= 3时，第三段长为14−4−3 = 7，由3 + 4 = 7，得
3，4，7 不能组成三角形，故该选项错误；
B． 当𝑎= 6时，第三段长为14−4−6 = 4，由4 + 4 = 8 > 6，得
4，4，6 能组成三角形，故该选项正确；
C． 当𝑎= 7时，第三段长为14−4−7 = 3，由3 + 4 = 7，得
3，4，7 不能组成三角形，故该选项错误；
D． 当𝑎= 8时，第三段长为14−4−8 = 2，由4 + 2 = 6 < 8，得
2，4，8 不能组成三角形，故该选项错误；
故选B．
4．已知一个三角形的两边长分别为3 和9，若第三边长为偶数，则第三边长为（ ）
A．7 或9
B．9 或11
C．6 或8
D．8 或10
【答案】D
【分析】此题主要考查了三角形三边关系，利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以
求出第三边的长．
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【详解】解：设第三边为x，
则9−3 < 𝑥< 9 + 3，
即6 < 𝑥< 12，
∵第三边长为偶数，
∴第三边长是8 或10．
故选：D．
5．等腰三角形周长为17，其中两条边长分别为x 和2𝑥+ 1，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．4 或7
B．4
C．6
D．7
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的三条边的关系和一元一次方程的应用的问题．
根据三角形的两边之和大于第三边，可得判断出底边是x，腰长是2𝑥+ 1，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：若x 是腰，则底边长是2𝑥+ 1，应该满足两腰之和大于底，但是2𝑥< 2𝑥+ 1，
所以只能x 是底边，则腰长是2𝑥+ 1，
由题意得𝑥+ 2(2𝑥+ 1) = 17，
解得𝑥= 3，
∴2𝑥+ 1 = 7，
故答案为：D．
6．数学活动小组制作了四个小木棍，长度分别是6cm，8cm，10cm，15cm，任意选取其中三个，能组成的
三角形的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
根据三角形三边关系即可得到答案．
【详解】解：∵ 6 + 8 > 10，
∴长度分别是6cm，8cm，10cm的三个小木棍能组成三角形；
∵ 6 + 8 < 15，
∴长度分别是6cm，8cm， 15cm的三个小木棍不能组成三角形；
∵6 + 10 > 15，
∴长度分别是6cm，10cm，15cm的三个小木棍能组成三角形；
∵8 + 10 > 15，
∴长度分别是8cm，10cm，15cm的三个小木棍能组成三角形；
∴能组成的三角形的个数是3个，
故选：C ．
7．如图，由三角形两边的和大于第三边，可得的结论错误的是（ ）
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A．𝐴𝐵+ 𝐴𝐷> 𝐵𝐷
B．𝑃𝐷+ 𝐶𝐷> 𝑃𝐶
C．𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝐵𝑃+ 𝑃𝐶
D．𝐴𝑃+ 𝐵𝑃+ 𝐶𝑃> 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形三边关系，在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三
边．根据三角形的三边关系和不等式的性质解答．
【详解】解：由三角形两边的和大于第三边，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐷> 𝐵𝐷；𝑃𝐷+ 𝐶𝐷> 𝑃𝐶，
A、B 选项正确，不符合题意；
将不等式左边，右边分别相加，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐷+ 𝑃𝐷+ 𝐶𝐷> 𝐵𝐷+ 𝑃𝐶，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐷+ 𝐶𝐷> 𝑃𝐶+ 𝐵𝐷−𝑃𝐷
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝑃𝐶+ 𝐵𝑃．
C 选项正确，不符合题意；
𝐴𝑃+ 𝐵𝑃> 𝐴𝐵
𝐵𝑃+ 𝐶𝑃> 𝐵𝐶
𝐴𝑃+ 𝐶𝑃> 𝐴𝐶
将不等式左边，右边分别相加，
∴2（𝐴𝑃+ 𝐵𝑃+ 𝐶𝑃）> 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶
D 项无法推出𝐴𝑃+ 𝐵𝑃+ 𝐶𝑃> 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶，符合题意．
故选D．
8．如图，具有稳定性的图形有
．（填序号）
【答案】①④⑤
【分析】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．只要图形
分割成了三角形，则具有稳定性．
【详解】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
显然图①④⑤具有稳定性．
故答案为：①④⑤．
9．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△𝐴𝐵𝐶是“倍长三角
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形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为
．
【答案】1.5或4
【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为𝑥，先根据三角形三边关系定理得1 < 𝑥< 5，再根据
△𝐴𝐵𝐶是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是解
题的关键．
【详解】解：设第三边的长为𝑥，
则3−2 < 𝑥< 3 + 2，即1 < 𝑥< 5，
∵△𝐴𝐵𝐶是“倍长三角形”，则：
①若2𝑥= 2，则𝑥= 1（不符合题意，舍去）；
②若2𝑥= 3，则𝑥= 1.5；
③若𝑥= 2 × 2，则𝑥= 4；
④若𝑥= 2 × 3，则𝑥= 6（不符合题意，舍去）；
综上所述，第三条边的长为1.5或4．
故答案为：1.5或4．
10．如图，线段𝐴𝐵和线段𝐴𝐶是三角形𝐴𝐵𝐶的两条边，点D 在线段𝐴𝐵上，点E 在线段𝐴𝐶上，将三角形𝐴𝐵𝐶
沿𝐷𝐸所在直线裁去一个角得到四边形𝐷𝐵𝐶𝐸，则四边形𝐷𝐵𝐶𝐸的周长
（填“大于”，“等于”或“小于”）三
角形𝐴𝐵𝐶的周长，理由是
．
【答案】
小于
三角形两边之和大于第三边
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边．直接根据三角形的三边关系解答
即可．
【详解】解：∵线段𝐴𝐷，𝐴𝐸，𝐷𝐸是△𝐴𝐷𝐸的三条边，
∴根据三角形的两边之和大于第三边，得𝐷𝐸< 𝐴𝐷+ 𝐴𝐸，
∴四边形𝐷𝐵𝐶𝐸的周长小于△𝐴𝐵𝐶的周长．
故答案为：小于，三角形两边之和大于第三边．
11．已知三角形三边𝑎、𝑏、𝑐的长均为整数，且𝑎≤𝑏< 𝑐，如果𝑏= 7，则符合条件的三角形共有
个．
【答案】21
【分析】本题考查三角形三边关系，要注意根据“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第
三边”进行分析计算．根据题意，𝑎可取的值为1、2、3、…7，由三角形的三边关系，有7 < 𝑐< 7 + 𝑎，对𝑎
分情况讨论，分析可得𝑐可取的情况，即可得这种情况下符合条件的三角形的个数即可得答案．
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【详解】根据题意，𝑎可取的值为1、2、3、…7，
根据三角形的三边关系，有7 < 𝑐< 7 + 𝑎，
当𝑎= 1时，有7 < 𝑐< 8，则𝑐值不存在，
当𝑎= 2时，有7 < 𝑐< 9，则𝑐= 8，有1 种情况，
当𝑎= 3时，有7 < 𝑐< 10，则𝑐= 8、9，有2 种情况，
当𝑎= 4时，有7 < 𝑐< 11，则𝑐= 8、9、10，有3 种情况，
…
当𝑎= 7时，有7 < 𝑐< 14，则𝑐= 8、9、10…13，有6 种情况，
则符合条件的三角形共有1 + 2 + 3 + 4 + … + 6 = 21．
故答案为：21．
12．已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为𝑎，𝑏，𝑐．
(1)化简：|𝑎−𝑏−𝑐|−|𝑏−𝑐−𝑎| + |𝑎+ 𝑏−𝑐|．
(2)若𝑎= 2，𝑏= 5，且三角形的周长为偶数，求𝑐的值．
【答案】(1)−𝑎+ 3𝑏−𝑐
(2)𝑐= 5
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此
题的关键．
（1）利用三角形的三边关系得到𝑎−𝑏−𝑐<0，𝑏−𝑐−𝑎<0，𝑎+ 𝑏−𝑐>0，然后去绝对值符号后化简即可；
（2）由𝑎= 2，𝑏= 5，三角形的周长为偶数，求解即可求得答案．
【详解】（1）解：由三角形三边关系可知：
𝑎−𝑏−𝑐< 0，𝑏−𝑐−𝑎< 0，𝑎+ 𝑏−𝑐> 0，
∴原式= −𝑎+ 𝑏+ 𝑐+ 𝑏−𝑐−𝑎+ 𝑎+ 𝑏−𝑐= −𝑎+ 3𝑏−𝑐；
（2）∵𝑎= 2，𝑏= 5，
∴3 < 𝑐< 7，
∵三角形得周长为偶数，𝑎+ 𝑏= 7为奇数，
∴𝑐= 5；
13．在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根12cm长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一
个三角形木框．
(1)小明想把木棒剪成三段，第一段长𝑎cm，第二段的长比第一段的3 倍少2cm．试判断第一段的长能否为3
cm，并说明理由；
(2)小亮先把木棒剪成如图所示的𝐴𝐵= 4cm和𝐶𝐷= 8cm的两段，现要将木棒𝐶𝐷从𝑃处剪开，使得三根木棒首
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尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的𝐶𝑃的整数长度．
【答案】(1)第一段的长不能为3cm，理由见解析
(2)符合条件的𝐶𝑃的整数长度为3cm或4cm或5cm
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键．
（1）先计算出三个木棒的长度，然后根据三角形三边关系判断即可得解；
（2）设𝐶𝑃= 𝑥cm，则𝑃𝐷= (8−𝑥)cm，先求出2 < 𝑥< 6，即可得解．
【详解】（1）解：第一段的长不能为3cm；
理由如下：
根据题意，第一段长𝑎cm，第二段的长(3𝑎−2)cm，第三段的长为12−𝑎−(3𝑎−2) = (14−4𝑎)cm，
当𝑎= 3cm时，3𝑎−2 = 7cm，14−4𝑎= 2cm，
∵3 + 2 < 7，
∴三个木棒不能制作一个三角形木框，
∴第一段的长不能为3cm；
（2）解：设𝐶𝑃= 𝑥cm，则𝑃𝐷= (8−𝑥)cm，
∵𝐴𝐵、𝐶𝑃、𝑃𝐷能组成三角形，
∴𝑥+ 4 > 8−𝑥且4 + 8−𝑥> 𝑥，
解得2 < 𝑥< 6，
∴整数𝑥为3或4或5，
即符合条件的𝐶𝑃的整数长度为3cm或4cm或5cm．
14．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在𝐴𝐵上，点𝑂在𝐶𝐷上．求证：𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝑂𝐵+ 𝑂𝐶．
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质，掌握三角形的任意两边之和大于第三边吗，
任意两边之差小于第三边是解题关键．延长𝐵𝑂交𝐴𝐶于点𝐸，由三角形的三边关系可得𝐸𝑂+ 𝐸𝐶> 𝑂𝐶，
𝐴𝐵+ 𝐴𝐸> 𝐸𝐵，进而得到𝐸𝐵+ 𝐸𝐶> 𝑂𝐶+ 𝑂𝐵，𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝐸𝐵+ 𝐸𝐶，即可证明结论．
【详解】证明：延长𝐵𝑂交𝐴𝐶于点𝐸，如图．
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在△𝐸𝑂𝐶中，𝐸𝑂+ 𝐸𝐶> 𝑂𝐶，
∴𝐸𝑂+ 𝐸𝐶+ 𝑂𝐵> 𝑂𝐶+ 𝑂𝐵，
即𝐸𝐵+ 𝐸𝐶> 𝑂𝐶+ 𝑂𝐵．
在△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐵+ 𝐴𝐸> 𝐸𝐵，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐸+ 𝐸𝐶> 𝐸𝐵+ 𝐸𝐶，
即𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝐸𝐵+ 𝐸𝐶，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝑂𝐵+ 𝑂𝐶．
15．如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉
几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n 边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？
请带着这些问题开始探究活动．
多边形木架的边数
4
5
6
…
𝑛
至少要钉木条的根数
1
…
▲
根据以上信息，解答下列问题．
（1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条．
（2）表格中的“▲”处填_____．（用含n 的代数式表示）
（3）有一个多边形，至少要钉上18 根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____．
【答案】（1）9（2）𝑛−3（3）21
【分析】本题考查三角形的稳定性，图形类规律问题；
（1）利用三角形具有稳定性即可解答；
（2）根据（1）中的结论代入计算即可求解；
（3）根据（1）中的结论可知，有18 根木条，则多边形的边数为18 + 3，即可求解．
【详解】解：（1）如下表：
多边形木架的边数
4
5
6
…
n
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至少钉木条的根数
1
2
3
…
𝑛−3
12−3 = 9（根），
∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9 根木条，
故答案为：12．
（2）由（1）进而得表格中的“▲”处填𝑛−3
故答案为：𝑛−3．
（3）解：18 + 3 = 21，
∴这个多边形的边数是21，
故答案为：21．
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