预习讲义 第13 讲 画轴对称图形（学生版）
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析教材·学知识
【知识点1 轴对称变换】
1.定义：由一个平面图形得到与它关于某一条直线对称的图形的这一过程叫做轴对称变换。
2.性质：
①由一个平面图形可以得到与它关于某一条直线对称的图形，这两个图形全等。
②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点。
③连接任意一组对应点的线段一定被对称轴垂直平分。
【知识点2 作轴对称图形】
1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形
中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形.
2.具体步骤：
①找图形的关键点。
②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的
对应点 。
③按照原图形连接各对应点。
例：如图(1)，已知△ABC 和直线l，画出与△ABC 关于直线对称的图形.
（1）过点A 画直线l 的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'=OA，A'就是点A 关于直线l 的对称点；
（2）同理，分别画出点B，C 关于直线l 的对称点B'，C'；
（3）连接A'B'，B'C'，C'A'，则△A'B'C'即为所求.
【知识点3 关于坐标轴对称的点的坐标的特点】
1.特点：点(x，y)关于x 轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于y 轴对称的点的坐标为(-x，y).
2.在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法
（1）写出坐标—写出对称点的坐标；
（2）描点—根据对称点的坐标描点；
（3）连接—按原图形对应连接所描各点得到所求的图形.
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练题型·强知识
【题型1 画轴对称图形】
【例1】如图是某设计师在方格纸中设计的图案的一部分，请你帮他完成余下的工作，以直线AB 为对称轴，
画出图案的另一半．
【变式1-1】如图．在方格纸上画出了一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半．
【变式1-2】图①、图②、图③均是6×6 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．图
①、图②中点A、B 均为格点，图③中点A 为格点、点B 在网格线上且不是格点．只用无刻度的直尺，分
别在图①、图②、图③中画出线段AB 关于直线l 的对称图形，保留作图痕迹．
【变式1-3】如图，已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷和直线l，画出与四边形𝐴𝐵𝐶𝐷关于直线l 对称的图形．
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【题型2 设计轴对称图案】
【例2】如图的3×3 的正方形网格中，△𝐴𝐵𝐶的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角
形，在网格中与△𝐴𝐵𝐶成轴对称的格点三角形一共有（ ）个
A．5
B．6
C．7
D．8
【变式2-1】如图，这是由8 个边长相等的正六边形组成的图形，若在5 个白色的正六边形中，选择2 个涂
黑，使涂黑的2 个正六边形和原来3 个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有
种．
【变式2-2】如图，方格纸上画有𝐴𝐵和𝐶𝐷两条线段，请仅用无刻度的直尺在图中添上一条线段，使图中的3
条线段组成一个轴对称图形（画出4 种，不写作法）．
【变式2-3】如图，点 A，B，C 都在方格纸的格点上．请你再找一个格点 D，使点 A，B，C，D 组成一
个轴对称图形，并画出对称轴．（请在备用图中画出设计方案，尽可能多地设计出不同的图形）
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【题型3 关于𝐱轴、𝐲轴对称的点的坐标特征】
【例3】若点𝐴(1 + 𝑚,1−𝑛)与点𝐵(3,−2)关于𝑦轴对称，则(𝑚+ 𝑛)2025的值是
．
【变式3-1】已知𝑃(1−2𝑎,5)，𝑃点关于𝑥轴对称的点𝑃1的坐标是(𝑏,𝑎−𝑏)，则𝑎=
，𝑏=
．
【变式3-2】已知实数𝑎，𝑏满足(𝑎−2)2 +
𝑏+ 3 = 0，则点𝑀(𝑎,2𝑎+ 𝑏)与点𝑁(𝑏+ 1,𝑎−1)关于 轴对称．
【变式3-3】剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪
纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点𝐸的坐标为(2𝑚,𝑛)，其关于𝑦轴对称的点𝐹的
坐标(3 + 𝑛,1)，则(𝑚+ 𝑛)2025的值为
．
【题型4 坐标系中轴对称变换】
【例4】在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，△𝐴𝐵𝐶三个顶点的坐标分别是𝐴(1,2),𝐵(3,0),𝐶(6,3)．
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(1)画出△𝐴𝐵𝐶关于y 轴对称的△𝐴1𝐵1𝐶1，并写出点𝐴1的坐标为______．
(2)在（1）问条件下，求△𝐴1𝐵1𝐶1的面积．
【变式4-1】△𝐴𝐵𝐶在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中的位置如图所示．
(1)画出△𝐴𝐵𝐶关于y 轴的对称图形△𝐴1𝐵1𝐶1．
(2)将△𝐴𝐵𝐶沿y 轴向下平移3 个单位长度得到△𝐴2𝐵2𝐶2，画出△𝐴2𝐵2𝐶2．
(3)在y 轴上作一点P，使△𝑃𝐴𝐶的周长最小．
【变式4-2】如图，在由边长为1 个单位长度的正方形网格中，△𝐴𝐵𝐶的顶点为𝐴(0,5)，𝐵(−2,2)，𝐶(2,1)．
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(1)将△𝐴𝐵𝐶先向右平移4 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，得到△𝐴1𝐵1𝐶1，画出△𝐴1𝐵1𝐶1（𝐴1，
𝐵1，𝐶1分别是𝐴，𝐵，𝐶的对应点），写出点𝐶1的坐标；
(2)画出△𝐴1𝐵1𝐶1关于𝑥轴对称的△𝐴2𝐵2𝐶2，写出点𝐶2的坐标；
(3)若点𝑃(𝑚,𝑛)为△𝐴𝐵𝐶内一点，按（1）中的方式平移后𝑃的对应点为𝑃1，点𝑃1关于𝑥轴对称的点为点𝑃2，
写出点𝑃2的坐标．
【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，点𝐴的坐标为(−4,2)、𝐵的坐标为(−2,6)、𝐶的坐标为(0,4)．
(1)将△𝐴𝐵𝐶向右平移6 个单位，再向下平移4 个单位得到△𝐴1𝐵1𝐶1；
(2)以𝑥轴为对称轴，作出△𝐴𝐵𝐶的轴对称图形△𝐴2𝐵2𝐶2；
(3)连接𝐴2𝐵1，利用无刻度直尺过点𝐶作𝐶𝐻⊥𝐴2𝐵1，垂足为𝐻．
【题型5 点的坐标轴对称变换规律】
【例5】已知第一象限内有一点𝑃(2,3)，点P 关于𝑥轴的对称点为𝑃1，𝑃1关于𝑦轴的对称点为𝑃2，𝑃2关于𝑥轴
的对称点为𝑃3，按此规律继续重复前面的操作，依次得到𝑃4，𝑃5，𝑃6，…，则点𝑃2025的坐标为（ ）
A．(2,3)
B．(2,−3)
C．(−2,−3)
D．(−2,3)
【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，△𝐴𝑂𝐵的顶点𝐴(2,1)，𝐵(2,0)，第1 次变换：先将△𝐴𝑂𝐵关于x
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轴对称，再向右移动1 个单位长度，得到△𝐴1𝑂1𝐵1；第2 次变换：先将△𝐴1𝑂1𝐵1关于x 轴对称，再向右
移动1 个单位长度，得到△𝐴2𝑂2𝐵2；…，依此规律，得到△𝐴2020𝑂2020𝐵2020，则点𝐴2020的坐标是（ ）．
A．(2020,1)
B．(2021,−1)
C．(4042,1)
D．(2022,1)
【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，对△𝐴𝐵𝐶进行循环往复的轴对称变换，若原来点A 坐标是(𝑎,𝑏)，
则经过第2025 次变换后所得的A 点坐标是
．
【变式5-3】如图，在直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为：𝐴(−2,0)，𝐵(1,2)，𝐶(1,−2)．已知𝑁
(−1,0)，作点N 关于点A 的对称点𝑁1，点𝑁1关于点B 的对称点𝑁2，点𝑁2关于点C 的对称点𝑁3，点𝑁3关于
点A 的对称点𝑁4，点𝑁4关于点B 的对称点𝑁5，…，按照此规律，则点𝑁2023的坐标为
．
串知识·识框架
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过关测·稳提升
1．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的
部分号码为（
）
A．E9362
B．E9365
C．E6395
D．E6392
2．点𝐴与点𝐵关于𝑥轴对称，点𝐵与点𝐶关于𝑦轴对称．若点𝐴坐标为(𝑚,𝑛)，则点𝐶坐标为（ ）
A．(−𝑚,𝑛)
B．(𝑚,−𝑛)
C．(−𝑚,−𝑛)
D．(𝑚,𝑛)
3．在如图所示的正方形网格中，画出格点△𝐷𝐸𝐹，使得△𝐷𝐸𝐹与△𝐴𝐵𝐶成轴对称，则不同位置的△𝐷𝐸𝐹
有（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
4．如图，在图形T 上补上一个正方形，不能使它成为一个轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
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5．如图，小敏将等腰直角三角板𝐴𝐵𝐶放置于直角坐标系中，直角顶点C 与x 轴上表示−1的点重合，点B 坐
标为(2,1)，则点A 关于y 轴的对称点𝐴′的坐标为（ ）
A．(−2,3)
B．(2,3)
C．(3,3)
D．(−2,−3)
6．已知点(𝑚−1,𝑛+ 2)与点(2𝑚−4,2)关于x 轴对称，则(𝑚+ 𝑛)2025的值为
．
7．在平面直角坐标系中，点𝐴(3𝑎+ 2𝑏,3𝑎)和点𝐵(𝑎−𝑏,−3)关于y 轴对称，则𝑏=
．
8．如图是4 × 4的正方形网格，其中已有3 个小方格涂成了灰色，请你从其余的13 个白色小方格中选出一
个也涂灰，使整个灰色部分的图形成为轴对称图形，可选择的小方格序号为
．
9．如图，在平面直角坐标系内，依次作点𝑃(−3,1)关于直线l（横、纵坐标相等的所有点组成的直线）的对
称点𝑃1，𝑃1关于x 轴的对称点𝑃2，𝑃2关于y 轴的对称点𝑃3，𝑃3关于直线l 的对称点𝑃4，𝑃4关于x 轴的对称
点𝑃5，𝑃5关于y 轴的对称点𝑃6，…，按照上述变换规律继续作下去，则点𝑃2024的坐标为
．
10．如图，弹性小球从点𝑃(0,1)出发，沿箭头所示方向运动，每当小球碰到正方形𝑂𝐴𝐵𝐶的边时反弹，反弹
的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1 次碰到正方形的边时接触的点为𝑃1
(2,0)，第2 次碰到正方形的边时接触的点为𝑃2…，第n 次碰到正方形的边时接触的点为𝑃𝑛，则点𝑃2025的坐
标为
．
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11．如图，在方格纸中（每个小方格是边长均等的正方形）画出四边形𝐴𝐵𝐶𝐷关于直线l 对称的四边形𝐴′𝐵′𝐶′
𝐷′．
12．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）
𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴，𝐶的坐标分别为−1，4 ，−4，3 ．
(1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
(2)作出△𝐴𝐵𝐶关于𝑦轴对称的△𝐴′𝐵′𝐶′，再作出△𝐴′𝐵′𝐶′关于𝑥轴对称的△𝐴″𝐵″𝐶″；
(3)将△𝐴𝐵𝐶内一点𝑃𝑎，𝑏按照（2）中图形的变换规律进行变换后所得点的坐标为 ．
13．如图，是相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形已涂色，请你在图中再涂两个小正
方形，并满足：①4个涂色的小正方形中，每个小正方形至少与其余3个小正方形中的1个有公共点；②连
同空白小正方形一起构成轴对称图形，即阴影部分呈轴对称，空白部分也呈轴对称，且共用一条对称轴．
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(1)在正方形网格中画出你的3种涂法；
(2)共有______种涂法．（8个图不一定全用到）
14．如图，在长度为1 个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C 在正方形的顶点上．
(1)在图中画出与△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑀𝑁成轴对称的△𝐴′𝐵′𝐶′；
(2)在直线𝑀𝑁上找一点P，使∠𝑀𝑃𝐶= ∠𝑁𝑃𝐵，说明主要依据；
(3)在𝑀𝑁上找一点Q，使|𝑄𝐶−𝑄𝐵|值最大，说明主要依据．（在图中标出点P、Q，保留作图痕迹，不写作
法．）
15．（1）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格中有一个△𝐴𝐵𝐶，该三角形的三个顶点均在格
点上．
①计算△𝐴𝐵𝐶的面积 ；
②在图（1）中作出△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑙对称的△𝐴1𝐵1𝐶1；
③若点𝑃为直线𝑙上的一点，请在图（1）中标出使𝑃𝐴+ 𝑃𝐵的值最小时点𝑃的位置．
（2）如图（2），在3 × 3的正方形网格中，点𝐴、𝐵在格点（网格线的交点）上．
①请在网格中找出一个格点𝐶，使△𝐴𝐵𝐶成为轴对称图形，画出△𝐴𝐵𝐶；
②符合条件的格点𝐶有 个．
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答案解析
练题型·强知识
【题型1 画轴对称图形】
【例1】如图是某设计师在方格纸中设计的图案的一部分，请你帮他完成余下的工作，以直线AB 为对称轴，
画出图案的另一半．
【答案】见解析
【分析】要画出以直线 𝐴𝐵 为对称轴的图案另一半，需找到已知图案各顶点关于直线 𝐴𝐵 的对称点，再依
次连接这些对称点．本题主要考查了轴对称图形的画法，熟练掌握找已知点关于对称轴的对称点的方法是
解题的关键．
【详解】解：如图，
【变式1-1】如图．在方格纸上画出了一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是作图﹣轴对称变换，根据轴对称的性质画出图形即可．
【详解】解：如图所示：
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【变式1-2】图①、图②、图③均是6×6 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．图
①、图②中点A、B 均为格点，图③中点A 为格点、点B 在网格线上且不是格点．只用无刻度的直尺，分
别在图①、图②、图③中画出线段AB 关于直线l 的对称图形，保留作图痕迹．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了格点作图、轴对称作图等知识点，掌握轴对称图形的定义成为解题的关键．
根据轴对称的性质可直接画出图①图②；在图③中，先取点A 关于直线l 的对称点C，连接BC 交直线l
于点O，连接AO 并延长与网格线交于点D，连接CD 即可．
【详解】解：分别如图①②③所示．
【变式1-3】如图，已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷和直线l，画出与四边形𝐴𝐵𝐶𝐷关于直线l 对称的图形．
【答案】见解析
【分析】本题考查作轴对称图形，熟练掌握作轴对称的方法是解题的关键．
根据轴对称的性质作出图形即可．
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【详解】解：（1）过点A 作直线𝑙的垂线，垂足为𝑂，在垂线上截取𝑂𝐴′ = 𝑂𝐴，点𝐴′就是点A 关于直线𝑙的对
称点；（2）用同样的方法作出点𝐵,𝐶关于直线𝑙的对称点𝐵′,𝐶′；（3）点𝐷关于直线𝑙的对称点就是点𝐷；（4）
连接𝐴′𝐵′,𝐵′𝐶′,𝐶′𝐷,𝐷𝐴′，得到的四边形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷就是所要作的图形．
【题型2 设计轴对称图案】
【例2】如图的3×3 的正方形网格中，△𝐴𝐵𝐶的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角
形，在网格中与△𝐴𝐵𝐶成轴对称的格点三角形一共有（ ）个
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【分析】此题考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案．
【详解】解：如图所示：
．
故选：D．
【变式2-1】如图，这是由8 个边长相等的正六边形组成的图形，若在5 个白色的正六边形中，选择2 个涂
黑，使涂黑的2 个正六边形和原来3 个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有
种．
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【答案】8
【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．将五块空白的正六边形变号，逐个判断即
可作答．
【详解】如图，
涂黑的方案有：选择𝐴𝐵、𝐴𝐶、𝐴𝐷、𝐴𝐸、𝐵𝐶、𝐵𝐷、𝐶𝐷、𝐷𝐸时，均可得到轴对称图形，
即共计有8 种；
故答案为：8．
【变式2-2】如图，方格纸上画有𝐴𝐵和𝐶𝐷两条线段，请仅用无刻度的直尺在图中添上一条线段，使图中的3
条线段组成一个轴对称图形（画出4 种，不写作法）．
【答案】见解析
【分析】此题考查了轴对称图案设计．如果一个图形沿某条直线折叠后，图形的两部分能够完全重合，则
这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形定义进行作图即可．
【详解】解：如图所示，即为所求，
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【变式2-3】如图，点 A，B，C 都在方格纸的格点上．请你再找一个格点 D，使点 A，B，C，D 组成一
个轴对称图形，并画出对称轴．（请在备用图中画出设计方案，尽可能多地设计出不同的图形）
【答案】见解析
【分析】本题考查利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质，利用轴对称的作图方法作图是解此题的
关键．
如图1，以线段𝐴𝐵的垂直平分线为对称轴，找出点C 的对称点D，然后顺次连接即可；
如图2，以线段𝐴𝐵所在的直线为对称轴，找出点C 的对称点D，然后顺次连接即可；
如图3，以线段𝐵𝐶的垂直平分线为对称轴，找出点A 的对称点D，然后顺次连接即可；
如图4，以线段𝐵𝐶所在的直线为对称轴，找出点A 的对称点D，然后顺次连接即可．
【详解】解∶如图所示∶
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【题型3 关于𝐱轴、𝐲轴对称的点的坐标特征】
【例3】若点𝐴(1 + 𝑚,1−𝑛)与点𝐵(3,−2)关于𝑦轴对称，则(𝑚+ 𝑛)2025的值是
．
【答案】−1
【分析】本题考查了关于y 轴对称的点坐标的特征，由题意得，1 + 𝑚+ 3 = 0，1−𝑛= −2，可求𝑚= −4，
𝑛= 3，然后代值求解即可．
【详解】解：由条件可知1 + 𝑚+ 3 = 0，1−𝑛= −2，
解得𝑚= −4，𝑛= 3，
∴(𝑚+ 𝑛)2025 = (−4 + 3)2025 = (−1)2025 = −1，
故答案为：−1．
【变式3-1】已知𝑃(1−2𝑎,5)，𝑃点关于𝑥轴对称的点𝑃1的坐标是(𝑏,𝑎−𝑏)，则𝑎=
，𝑏=
．
【答案】
−
4
3
11
3
【分析】本题考查了关于𝑥轴、𝑦轴对称的点的坐标特征，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：①
关于𝑥轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于𝑦轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反
数．根据“关于𝑥轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”可得𝑎、𝑏的值．
【详解】解：∵𝑃(1−2𝑎,5)与𝑃1(𝑏,𝑎−𝑏)关于𝑥轴对称，
∴1−2𝑎= 𝑏
5 = −𝑎+ 𝑏
，
解得：
𝑎= −4
3
𝑏= 11
3
，
故答案为：−
4
3；
11
3 ．
【变式3-2】已知实数𝑎，𝑏满足(𝑎−2)2 +
𝑏+ 3 = 0，则点𝑀(𝑎,2𝑎+ 𝑏)与点𝑁(𝑏+ 1,𝑎−1)关于 轴对称．
【答案】𝑦
【分析】本题考查了偶次方和算术平方根的非负性、轴对称的性质．先根据偶次方和算术平方根的非负性
求出𝑎，𝑏的值，再求得点𝑀和点𝑁的坐标即可得．
【详解】解：∵(𝑎−2)2 +
𝑏+ 3 = 0，且(𝑎−2)2 ≥0，𝑏+ 3 ≥0，
∴𝑎−2 = 0，𝑏+ 3 = 0，
解得𝑎= 2，𝑏= −3，
∴点𝑀(2,1)，点𝑁(−2,1)
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∴点𝑀(2,1)与点𝑁(−2,1)关于𝑦轴对称．
故答案为：𝑦．
【变式3-3】剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪
纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点𝐸的坐标为(2𝑚,𝑛)，其关于𝑦轴对称的点𝐹的
坐标(3 + 𝑛,1)，则(𝑚+ 𝑛)2025的值为
．
【答案】−1
【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征、代数式求值等知识，理解并掌握关于𝑦轴对称的
点的坐标特征是解题关键．首先根据关于𝑦轴对称的点的坐标特征“纵坐标相等，横坐标互为相反数”，可得
2𝑚= −(3 + 𝑛)
𝑛= 1
，求得𝑚,𝑛的值，然后代入求值即可．
【详解】解：∵点(2𝑚,𝑛) 𝐸关于𝑦轴对称的点𝐹的坐标为(3 + 𝑛,1)，
∴2𝑚= −(3 + 𝑛)
𝑛= 1
，解得𝑚= −2
𝑛= 1
，
∴(𝑚+ 𝑛)2025 = (−2 + 1)2025 = (−1)2025 = −1．
故答案为：−1．
【题型4 坐标系中轴对称变换】
【例4】在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，△𝐴𝐵𝐶三个顶点的坐标分别是𝐴(1,2),𝐵(3,0),𝐶(6,3)．
(1)画出△𝐴𝐵𝐶关于y 轴对称的△𝐴1𝐵1𝐶1，并写出点𝐴1的坐标为______．
(2)在（1）问条件下，求△𝐴1𝐵1𝐶1的面积．
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【答案】(1)画图见解答；(−1,2)
(2)6
【分析】本题考查作图-轴对称变换，平面直角坐标系中点的特征等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解答
本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，△𝐴1𝐵1𝐶1即为所求．
由图可得，点𝐴1的坐标为−1，2 ．
故答案为：−1，2 ；
（2）解：△𝐴1𝐵1𝐶1的面积为
1
2 × (2 + 3) × 5−
1
2 × 2 × 2−
1
2 × 3 × 3 =
25
2 −2−
9
2 = 6．
【变式4-1】△𝐴𝐵𝐶在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中的位置如图所示．
(1)画出△𝐴𝐵𝐶关于y 轴的对称图形△𝐴1𝐵1𝐶1．
(2)将△𝐴𝐵𝐶沿y 轴向下平移3 个单位长度得到△𝐴2𝐵2𝐶2，画出△𝐴2𝐵2𝐶2．
(3)在y 轴上作一点P，使△𝑃𝐴𝐶的周长最小．
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【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了轴对称变换、平移变换、利用轴对称求最短路线等知识点，利用相关定义确定对
应点位置是解题关键．
（1）先根据轴对称的性质确定A、B、C 的对应点𝐴1、𝐵1、𝐶1，然后顺次连接即可；
（2）先根据平移的性质确定A、B、C 的对应点𝐴2、𝐵2、𝐶2，然后顺次连接即可；
（3）如图：连接𝐴𝐶1与y 轴的交点即为所求．
【详解】（1）解：如图：△𝐴1𝐵1𝐶1即为所求．
（2）解：如图：△𝐴2𝐵2𝐶2即为所求．
（3）解：如图：点P 即为所求．
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【变式4-2】如图，在由边长为1 个单位长度的正方形网格中，△𝐴𝐵𝐶的顶点为𝐴(0,5)，𝐵(−2,2)，𝐶(2,1)．
(1)将△𝐴𝐵𝐶先向右平移4 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，得到△𝐴1𝐵1𝐶1，画出△𝐴1𝐵1𝐶1（𝐴1，
𝐵1，𝐶1分别是𝐴，𝐵，𝐶的对应点），写出点𝐶1的坐标；
(2)画出△𝐴1𝐵1𝐶1关于𝑥轴对称的△𝐴2𝐵2𝐶2，写出点𝐶2的坐标；
(3)若点𝑃(𝑚,𝑛)为△𝐴𝐵𝐶内一点，按（1）中的方式平移后𝑃的对应点为𝑃1，点𝑃1关于𝑥轴对称的点为点𝑃2，
写出点𝑃2的坐标．
【答案】(1)见解析，点𝐶1的坐标为(6,−1)
(2)见解析，点𝐶2的坐标为(6,1)
(3)点𝑃2的坐标(𝑚+ 4,−𝑛+ 2)
【分析】本题主要考查了轴对称作图，平移作图，解题的关键是作出对应点平移、轴对称的对应点．
（1）根据平移的性质作图即可，再写出𝐶1的坐标即可．
（2）根据轴对称的性质作图即可，再写出𝐶2的坐标即可．
（3）先根据平移的性质写出𝑃1的坐标，再根据关于x 轴对称的点的特点写出𝑃2的坐标即可．
【详解】（1）解：如下图，△𝐴1𝐵1𝐶1就是所画的图形，点𝐶1的坐标为(6,−1)；
（2）解：如图，△𝐴2𝐵2𝐶2就是所画的图形，点𝐶2的坐标为(6,1)；
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（3）解：∵𝑃(𝑚,𝑛)，
∴𝑃1(𝑚+ 4,𝑛−2)，
∵点𝑃1和点𝑃2关于x 轴对称
∴点𝑃2的坐标(𝑚+ 4,−𝑛+ 2)．
【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，点𝐴的坐标为(−4,2)、𝐵的坐标为(−2,6)、𝐶的坐标为(0,4)．
(1)将△𝐴𝐵𝐶向右平移6 个单位，再向下平移4 个单位得到△𝐴1𝐵1𝐶1；
(2)以𝑥轴为对称轴，作出△𝐴𝐵𝐶的轴对称图形△𝐴2𝐵2𝐶2；
(3)连接𝐴2𝐵1，利用无刻度直尺过点𝐶作𝐶𝐻⊥𝐴2𝐵1，垂足为𝐻．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了作图—平移变换、轴对称变换，作垂线，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的
关键．
（1）根据平移的性质作图即可；
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（2）根据轴对称的性质作图即可；
（3）根据垂线的定义作图即可．
【详解】（1）解：如图，△𝐴1𝐵1𝐶1即为所作，
；
（2）解：如图，△𝐴2𝐵2𝐶2即为所求，
；
（3）解：如图，取格点𝐷，连接𝐶𝐷交𝐴2𝐵1于𝐻，点𝐻即为所求．
．
【题型5 点的坐标轴对称变换规律】
【例5】已知第一象限内有一点𝑃(2,3)，点P 关于𝑥轴的对称点为𝑃1，𝑃1关于𝑦轴的对称点为𝑃2，𝑃2关于𝑥轴
的对称点为𝑃3，按此规律继续重复前面的操作，依次得到𝑃4，𝑃5，𝑃6，…，则点𝑃2025的坐标为（ ）
A．(2,3)
B．(2,−3)
C．(−2,−3)
D．(−2,3)
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【答案】B
【分析】本题考查了点的坐标规律探索、点的坐标—轴对称，得出每4个点一循环即可得解．
【详解】解：∵第一象限内有一点𝑃(2,3)，点P 关于𝑥轴的对称点为𝑃1，
∴𝑃1(2,−3)，
∵𝑃1关于𝑦轴的对称点为𝑃2，
∴𝑃2(−2,−3)，
∵𝑃2关于𝑥轴的对称点为𝑃3，
∴𝑃3(−2,3)，
∵𝑃3关于𝑦轴的对称点为𝑃4，
∴𝑃4(2,3)，
∵𝑃4关于𝑥轴的对称点为𝑃5，
∴𝑃5(2,−3)，
……，
由此可得，每4个点一循环，
∵2025 ÷ 4 = 506…1，
∴点𝑃2025的坐标为(2,−3)，
故选：B．
【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，△𝐴𝑂𝐵的顶点𝐴(2,1)，𝐵(2,0)，第1 次变换：先将△𝐴𝑂𝐵关于x
轴对称，再向右移动1 个单位长度，得到△𝐴1𝑂1𝐵1；第2 次变换：先将△𝐴1𝑂1𝐵1关于x 轴对称，再向右
移动1 个单位长度，得到△𝐴2𝑂2𝐵2；…，依此规律，得到△𝐴2020𝑂2020𝐵2020，则点𝐴2020的坐标是（ ）．
A．(2020,1)
B．(2021,−1)
C．(4042,1)
D．(2022,1)
【答案】D
【分析】本题主要考查图形类规律探索，先根据前面几个点的坐标发现并总结出规律是解题的关键．根据
题意得出𝐴1(3,−1)，𝐴2(4,1)，𝐴3(5,−1)，𝐴4(6,1)，总结得出坐标规律，则𝐴𝑛[𝑛+ 2,(−1)𝑛]，最后写出结果
即可．
【详解】解：由题意可得，点𝐴(2,1)，将△𝐴𝑂𝐵先关于x 轴对称，再向右平移一个单位长度得到𝐴1(3,−1)，
继续对称平移后得到𝐴2(4,1)，𝐴3(5,−1)，𝐴4(6,1)，
∴由点坐标规律可得𝐴𝑛[𝑛+ 2,(−1)𝑛]，
∴𝐴2020的坐标为(2022,1)．
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故选：D．
【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，对△𝐴𝐵𝐶进行循环往复的轴对称变换，若原来点A 坐标是(𝑎,𝑏)，
则经过第2025 次变换后所得的A 点坐标是
．
【答案】(𝑎,−𝑏)
【分析】本题考查了轴对称变换．观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2025 除以4，然后
根据商和余数的情况确定出变换后的点A 所在的象限，然后解答即可．
【详解】解：第一次变化后点A 的坐标为(𝑎,−𝑏)；
第二次变化后点A 的坐标为(−𝑎,−𝑏)；
第三次变化后点A 的坐标为(−𝑎,𝑏)；
第四次变化后点A 的坐标为(𝑎,𝑏)；
每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2025 ÷ 4 = 506…1，
∴经过第2025 次变换后所得的A 点与第一次变换的位置相同，坐标为(𝑎,−𝑏)．
故答案为：(𝑎,−𝑏)．
【变式5-3】如图，在直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为：𝐴(−2,0)，𝐵(1,2)，𝐶(1,−2)．已知𝑁
(−1,0)，作点N 关于点A 的对称点𝑁1，点𝑁1关于点B 的对称点𝑁2，点𝑁2关于点C 的对称点𝑁3，点𝑁3关于
点A 的对称点𝑁4，点𝑁4关于点B 的对称点𝑁5，…，按照此规律，则点𝑁2023的坐标为
．
【答案】(−3,0)
【分析】本题考查了平面直角坐标系内点的规律探究问题．先求出N1 至N6 点的坐标，找出其循环的规律为
每6 个点循环一次即可求解．
【详解】解：由题意得，作出如下图形：
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N 点坐标为(−1,0)，
𝑁点关于A 点对称的𝑁1点的坐标为(−3,0)，
𝑁1点关于B 点对称的𝑁2点的坐标为(5,4)，
𝑁2点关于C 点对称的𝑁3点的坐标为(−3,8)，
𝑁3点关于A 点对称的𝑁4点的坐标为(−1,8)，
𝑁4点关于B 点对称的𝑁5点的坐标为(3,−4)，
𝑁5点关于C 点对称的𝑁6点的坐标为(−1,0)，此时刚好回到最开始的点N 处，
∴其每6 个点循环一次，
∴2023 ÷ 6=337⋯⋯1，
∴𝑁2023的坐标与𝑁1点的坐标相同，其坐标为(−3,0)．
故答案为：(−3,0)．
过关测·稳提升
1．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的
部分号码为（
）
A．E9362
B．E9365
C．E6395
D．E6392
【答案】C
【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
利用镜面对称的性质求解即可．
【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成轴对称，
则该汽车的号码是E6395，
故选：C．
2．点𝐴与点𝐵关于𝑥轴对称，点𝐵与点𝐶关于𝑦轴对称．若点𝐴坐标为(𝑚,𝑛)，则点𝐶坐标为（ ）
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A．(−𝑚,𝑛)
B．(𝑚,−𝑛)
C．(−𝑚,−𝑛)
D．(𝑚,𝑛)
【答案】C
【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于𝑥轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于𝑦轴对称
的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行求解即可．
【详解】解：点𝐴坐标为(𝑚,𝑛)，则点𝐵的坐标为(𝑚,−𝑛)，
∴点𝐶的坐标为：(−𝑚,−𝑛)；
故选C．
3．在如图所示的正方形网格中，画出格点△𝐷𝐸𝐹，使得△𝐷𝐸𝐹与△𝐴𝐵𝐶成轴对称，则不同位置的△𝐷𝐸𝐹
有（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【答案】D
【分析】此题考查利用轴对称设计图案，解题关键在于掌握作图法则．根据对称图形关于某直线对称，找
出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据确定的对称轴去画另一半对称图
形，那这两个图形一定是轴对称图形．
【详解】解：如图所示：
因此共有6 个不同位置，
故选：D．
4．如图，在图形T 上补上一个正方形，不能使它成为一个轴对称图形的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称的应用．直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．
【详解】解：如图，选项B，C，D 补上一个正方形，都能使它成为一个轴对称图形．
选项A 补上一个正方形，不能使它成为一个轴对称图形．
故选：A．
5．如图，小敏将等腰直角三角板𝐴𝐵𝐶放置于直角坐标系中，直角顶点C 与x 轴上表示−1的点重合，点B 坐
标为(2,1)，则点A 关于y 轴的对称点𝐴′的坐标为（ ）
A．(−2,3)
B．(2,3)
C．(3,3)
D．(−2,−3)
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，图形与坐标，关于𝑦轴对称点的性质，过点𝐴，点𝐵分别作𝐴𝐷，
𝐵𝐸垂直于𝑥轴，先证明△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐸𝐵(AAS)，得点𝐴的坐标，在根据关于𝑦轴对称点的坐标特点为纵坐标不
变，横坐标互为相反数解答即可．
【详解】解：过点𝐴，点𝐵分别作𝐴𝐷，𝐵𝐸垂直于𝑥轴，
∵点C 与x 轴上表示−1的点重合，点B 坐标为(2,1)，
∴𝑂𝐶= 1，𝑂𝐸= 2，𝐵𝐸= 1，即：𝐶𝐸= 3，
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由题意可知𝐴𝐶= 𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐸𝐵= 90°，
则∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐸𝐶𝐵，
∴∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐸𝐶𝐵，
∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐸𝐵(AAS)，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐸= 3，𝐶𝐷= 𝐵𝐸= 1，则𝑂𝐷= 𝐶𝐷+ 𝑂𝐶= 2，
∴点𝐴的坐标为(−2,3)，
∴点A 关于y 轴的对称点𝐴′的坐标为(2,3)，
故选：B．
6．已知点(𝑚−1,𝑛+ 2)与点(2𝑚−4,2)关于x 轴对称，则(𝑚+ 𝑛)2025的值为
．
【答案】−1
【分析】根据两点关于x 轴对称，纵坐标互为相反数，横坐标不变，列式计算即可．
本题考查了点的对称，根据对称点的坐标特点，规范计算即可．
【详解】解：∵点(𝑚−1,𝑛+ 2)与点(2𝑚−4,2)关于x 轴对称，
∴𝑚−1 = 2𝑚−4,𝑛+ 2 + 2 = 0，
解得𝑚= 3,𝑛= −4，
故(𝑚+ 𝑛)2025 = (3−4)2025 = −1，
故答案为：−1．
7．在平面直角坐标系中，点𝐴(3𝑎+ 2𝑏,3𝑎)和点𝐵(𝑎−𝑏,−3)关于y 轴对称，则𝑏=
．
【答案】4
【分析】此题主要考查了关于y 轴对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
根据关于y 轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数可得答案．
【详解】解：由题意可知3𝑎= −3，3𝑎+ 2𝑏+ 𝑎−𝑏= 0，
解得：𝑎= −1，𝑏= 4．
故答案为：4．
8．如图是4 × 4的正方形网格，其中已有3 个小方格涂成了灰色，请你从其余的13 个白色小方格中选出一
个也涂灰，使整个灰色部分的图形成为轴对称图形，可选择的小方格序号为
．
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【答案】③或④或⑦或⑬
【分析】本题考查的是轴对称图案的设计，掌握轴对称的定义是解题的关键．若两个图形关于某条直线对
折，直线两旁的部分能够完全重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴，根据定
义逐一分析可得答案．
【详解】解：由轴对称图形的定义可知，可以选③或④或⑦或⑬．
故答案为：③或④或⑦或⑬．
9．如图，在平面直角坐标系内，依次作点𝑃(−3,1)关于直线l（横、纵坐标相等的所有点组成的直线）的对
称点𝑃1，𝑃1关于x 轴的对称点𝑃2，𝑃2关于y 轴的对称点𝑃3，𝑃3关于直线l 的对称点𝑃4，𝑃4关于x 轴的对称
点𝑃5，𝑃5关于y 轴的对称点𝑃6，…，按照上述变换规律继续作下去，则点𝑃2024的坐标为
．
【答案】(1,3)
【分析】本题考查坐标与图形的变化-对称，探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：如图，
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观察图象可知，6 次一个循环，
∵2024 ÷ 6 = 337余2，
∴𝑃2024的坐标与𝑃2的坐标相同，坐标为(1,3)，
故答案为：(1,3)．
10．如图，弹性小球从点𝑃(0,1)出发，沿箭头所示方向运动，每当小球碰到正方形𝑂𝐴𝐵𝐶的边时反弹，反弹
的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1 次碰到正方形的边时接触的点为𝑃1
(2,0)，第2 次碰到正方形的边时接触的点为𝑃2…，第n 次碰到正方形的边时接触的点为𝑃𝑛，则点𝑃2025的坐
标为
．
【答案】(0,3)
【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，点的坐标．解题的关键是能够正确找到循环数值，从而得到规
律．
按照反弹规律依次画图再长出坐标的变化规律即可．
【详解】解：如图：
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根据反射角等于入射角画图，可知小球从𝑃2反射后到𝑃3(0,3)，再反射到𝑃4(2,4)，再反射到𝑃5(4,3)，再反射
到P 点(0,1)之后，再循环反射，每6 次一循环，
∵2025 ÷ 6 = 337…3，
∴点𝑃2025的坐标是(0,3)
故答案为：(0,3)．
11．如图，在方格纸中（每个小方格是边长均等的正方形）画出四边形𝐴𝐵𝐶𝐷关于直线l 对称的四边形𝐴′𝐵′𝐶′
𝐷′．
【答案】见解析
【分析】本题考查作轴对称图形，熟练掌握作轴对称的方法是解题的关键．
根据轴对称的性质作出图形即可．
【详解】解：（1）利用方格，作点A 关于直线𝑙的对称点𝐴′；（2）用同样的方法作出点𝐵，𝐶，D 关于直线
𝑙的对称点𝐵′，𝐶′，𝐷′；（3）连接𝐴′𝐵′，𝐵′𝐶′，𝐶′𝐷，𝐷′𝐴′，得到的四边形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′就是所要作的图形．
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12．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）
𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴，𝐶的坐标分别为−1，4 ，−4，3 ．
(1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
(2)作出△𝐴𝐵𝐶关于𝑦轴对称的△𝐴′𝐵′𝐶′，再作出△𝐴′𝐵′𝐶′关于𝑥轴对称的△𝐴″𝐵″𝐶″；
(3)将△𝐴𝐵𝐶内一点𝑃𝑎，𝑏按照（2）中图形的变换规律进行变换后所得点的坐标为 ．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3) −𝑎，−𝑏
【分析】本题考查直角坐标系，关于𝑥、𝑦轴对称的点的坐标特点，轴对称变换作图，熟知关于𝑥、𝑦轴对称
的点的坐标特点是解答此题的关键．
（1）根据𝐴、𝐶两点的坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）分别作出△𝐴𝐵𝐶各顶点关于𝑦轴的对称点，顺次连接即可得△𝐴′𝐵′𝐶′；分别作出△𝐴′𝐵′𝐶′各顶点关于𝑥
轴的对称点，顺次连接即可得△𝐴″𝐵″𝐶″；
（3）利用由关于𝑦轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，关于𝑥轴对称的点的横坐标不变，纵坐标
互为相反数，即可求解．
【详解】（1）解：由𝐴，𝐶的坐标分别为−1，4 ，−4，3 ，
可得直角坐标系如图：
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（2）解：如图，△𝐴′𝐵′𝐶′和△𝐴″𝐵″𝐶″即为所求作；
（3）解：由关于𝑦轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，
得点𝑃𝑎，𝑏关于𝑦轴对称的点的坐标为−𝑎，𝑏；
由关于𝑥轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，
得点−𝑎，𝑏关于𝑥轴对称的点的坐标为−𝑎，−𝑏；
故答案为：−𝑎，−𝑏．
13．如图，是相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形已涂色，请你在图中再涂两个小正
方形，并满足：①4个涂色的小正方形中，每个小正方形至少与其余3个小正方形中的1个有公共点；②连
同空白小正方形一起构成轴对称图形，即阴影部分呈轴对称，空白部分也呈轴对称，且共用一条对称轴．
(1)在正方形网格中画出你的3种涂法；
(2)共有______种涂法．（8个图不一定全用到）
【答案】(1)画图见解析
(2)7
【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的特点是解题的关键．
（1）根据轴对称图形的特点画图即可；
（2）根据（1）即可求解；
【详解】（1）解：画图如下：（任选3种）
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（2）解：由上图可知，共有7种不同的涂法，
故答案为：7．
14．如图，在长度为1 个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C 在正方形的顶点上．
(1)在图中画出与△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑀𝑁成轴对称的△𝐴′𝐵′𝐶′；
(2)在直线𝑀𝑁上找一点P，使∠𝑀𝑃𝐶= ∠𝑁𝑃𝐵，说明主要依据；
(3)在𝑀𝑁上找一点Q，使|𝑄𝐶−𝑄𝐵|值最大，说明主要依据．（在图中标出点P、Q，保留作图痕迹，不写作
法．）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，轴对称变换，轴对称最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运
用所学知识解决问题．
（1）利用轴对称变化的性质分别作出A，B，C 的对应点𝐴′，𝐵′，𝐶′即可；
（2）连接𝐵𝐶′交𝑀𝑁于点𝑃，连接𝐶𝑃，点𝑃即为所求；
（3）延长𝐶𝐵交𝑀𝑁于点𝑄，点𝑄即为所求．
【详解】（1）解：如图，△𝐴′𝐵′𝐶′即为所求；
（2）解：如图，连接𝐵𝐶′交𝑀𝑁于点𝑃，连接𝐶𝑃，点𝑃即为所求；
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理由：∵𝐶,𝐶′关于𝑀𝑁对称，
∴∠𝐴𝑃𝐶= ∠𝐴𝑃𝐶′，
∵∠𝑁𝑃𝐵= ∠𝐴𝑃𝐶′，
∴∠𝑀𝑃𝐶= ∠𝑁𝑃𝐵；
（3）解：如图，延长𝐶𝐵交𝑀𝑁于点𝑄，点𝑄即为所求．
理由：∵当𝐶,𝐵,𝑄不共线时，由三角形三边关系可得|𝑄𝐶−𝑄𝐵| < 𝐵𝐶，
当𝐶,𝐵,𝑄共线时，|𝑄𝐶−𝑄𝐵| = 𝐵𝐶，
∴当𝐶,𝐵,𝑄共线时，|𝑄𝐶−𝑄𝐵|的值最大．
15．（1）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格中有一个△𝐴𝐵𝐶，该三角形的三个顶点均在格
点上．
①计算△𝐴𝐵𝐶的面积 ；
②在图（1）中作出△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑙对称的△𝐴1𝐵1𝐶1；
③若点𝑃为直线𝑙上的一点，请在图（1）中标出使𝑃𝐴+ 𝑃𝐵的值最小时点𝑃的位置．
（2）如图（2），在3 × 3的正方形网格中，点𝐴、𝐵在格点（网格线的交点）上．
①请在网格中找出一个格点𝐶，使△𝐴𝐵𝐶成为轴对称图形，画出△𝐴𝐵𝐶；
②符合条件的格点𝐶有 个．
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【答案】（1）①5；②画图见解析；③画图见解析；（2）①画图见解析；②4
【分析】（1）①利用割补法计算即可；②根据轴对称图形的性质作图即可；③连接𝐴1𝑃，与直线𝑙相交于
点𝑃，点𝑃即为所求；
（2）①根据轴对称图形的性质画图即可；②根据①所画图形即可求解；
本题考查了利用网格求三角形的面积，作轴对称图形，轴对称−最短线段问题，掌握轴对称图形的性质是解
题的关键．
【详解】解：（1）①△𝐴𝐵𝐶的面积= 4 × 3−
1
2 × 4 × 1−
1
2 × 2 × 3−
1
2 × 2 × 2 = 5，
故答案为：5；
②如图所示，△𝐴1𝐵1𝐶1即为所求；
③如图所示，点𝑃即为所求；
（2）①如图所示，△𝐴𝐵𝐶即为所求；
②由图可知，符合条件的格点𝐶有4个，
故答案为：4．
