预习讲义 第05 讲 三角形的外角（学生版）
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析教材·学知识
【知识点 三角形的外角】
1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD 是△ABC 的一个外角.
2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
求证：∠ACD=∠A+∠B；
证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD.
②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；
如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B.
③三角形的外角和等于360°．
求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°；
证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2；
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°.
练题型·强知识
【题型1 三角形的外角的定义】
【例1】如图，点𝐷在线段𝐵𝐶的延长线上，过点𝐵作射线𝐵𝐹交𝐴𝐶于点𝐸，则下列是△𝐴𝐵𝐸的外角的是（ ）
A．∠𝐴𝐶𝐷
B．∠𝐴𝐸𝐵
C．∠𝐴𝐸𝐹
D．∠𝐶𝐸𝐹
【变式1-1】下图中∠1 是三角形一个外角的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【变式1-2】如图，点𝐷在△𝐴𝐵𝐶的𝐴𝐶边上，点𝐹在𝐵𝐶延长线上，下列是△𝐴𝐵𝐷的外角的是（ ）
A．∠𝐴𝐶𝐵
B．∠𝐴𝐶𝐹
C．∠𝐵𝐷𝐶
D．∠𝐴𝐵𝐶
【变式1-3】如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠ACD 是△ABC 的一个内角；
B．∠BAD 是△ABD 的一个内角；
C．∠BEC 是△ACE 的一个外角；
D．∠AOC 是△ABD 的一个外角；
【题型2 三角形的外角性质简单应用】
【例2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点E 在𝐶𝐵的延长线上，过点E 作𝐸𝐷⊥𝐴𝐵，交𝐴𝐵于点D，交𝐴𝐶于点F，
∠𝐴𝐵𝐸= 60°，∠𝐶= 35°，则∠𝐴的度数为（ ）
A．35°
B．25°
C．20°
D．15°
【变式2-1】如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（ ）
A．45°
B．60°
C．105°
D．120°
【变式2-2】将一副三角板按如图方式放置，使𝐸𝐹∥𝐴𝐵，则∠𝛼= （ ）
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A．90°
B．95°
C．100°
D．105°
【变式2-3】如图，∠𝐵= 20°，∠𝐶= 31°，∠𝐵𝑃𝐶= 123°，则∠𝐴=
°．
【题型3 利用三角形的外角性质比较角的大小】
【例3】如图，∠𝐴、∠𝐷𝑂𝐸和∠𝐵𝐸𝐶的大小关系是( ).
A．∠𝐴> ∠𝐷𝑂𝐸> ∠𝐵𝐸𝐶
B．∠𝐷𝑂𝐸> ∠𝐴> ∠𝐵𝐸𝐶
C．∠𝐵𝐸𝐶> ∠𝐷𝑂𝐸> ∠𝐴
D．∠𝐷𝑂𝐸> ∠𝐵𝐸𝐶> ∠𝐴
【变式3-1】如图，有下列结论：①∠𝐴> ∠𝐴𝐶𝐷；②∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴；③∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵< 180°；
④∠𝐻𝐸𝐶> ∠𝐵．其中，正确的是
（填序号）．
【变式3-2】如图所示，P 是△𝐴𝐵𝐶内一点，延长𝐵𝑃交𝐴𝐶于点D，连接𝑃𝐶．
(1)∠1、∠2、∠𝐴的大小关系是： ＞ ＞ ；
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(2)若∠3 = 25°，∠𝐴= 67°，∠4 = 40°，嘉嘉想求∠1的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成
求解．
思路一
先利用三角形内角和求出∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵的度数，
再利用三角形内角和求出∠1的度数．
思路二
先利用三角形外角求出∠2的度数．再
利用三角形外角求出∠1的度数．
【题型4 三角形的外角性质与折叠问题】
【例4】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点𝐷，𝐸分别是𝐵𝐶，𝐴𝐶延长线上的一点，连接𝐷𝐸，𝐷𝐴，将△𝐴𝐷𝐸
沿𝐴𝐷折叠得到△𝐴𝐷𝐹，若∠𝐸= 50°，则∠𝐹𝐴𝐷的度数是（ ）
A．30°
B．25°
C．20°
D．35°
【变式4-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 40∘，将△𝐴𝐵𝐶沿着直线𝑙折叠，点𝐶在落点𝐷的位置，则∠1−∠2的大
小是
度．
【变式4-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，D，E 分别为𝐴𝐵，𝐴𝐶上一点，将△𝐵𝐶𝐷，△𝐴𝐷𝐸分别沿
𝐶𝐷，𝐷𝐸折叠，点A、B 恰好重合于点𝐴′处．若∠𝐴𝐶𝐴′ = 16°，则∠𝐴𝐸𝐷= ．
【变式4-3】将△𝐴𝐵𝐶的顶角A 沿直线DE 折叠（如图），点A 的对应点为点𝐴′，记∠𝐶𝐷𝐴′为∠1，∠𝐵𝐸𝐴′为
∠2．
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(1)如图1，当点A 的对应点𝐴′落在△𝐴𝐵𝐶内部时，试探求∠1，∠2与∠𝐴的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点A 的对应点𝐴′落在△𝐴𝐵𝐶外部时，∠1，∠2与∠𝐴又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给
予证明．
【题型5 三角形的外角性质与单角平分线】
【例5】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的高，𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐵的平分线，𝐵𝐷，𝐶𝐸交于点𝐹．若
∠𝐴𝐸𝐶= 80°,∠𝐷𝐹𝐶= 52°，则∠𝐴𝐵𝐶的度数是（ ）
A．28°
B．38°
C．42°
D．62°
【变式5-1】如图，△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐴𝐶𝐷的平分线𝐶𝐸交𝐵𝐴的延长线于点𝐸，若∠𝐵𝐶𝐴= 88°，则∠𝐵+ ∠𝐸的值
是（ ）
A．44°
B．46°
C．45°
D．43°
【变式5-2】如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，B、C、E 共线，则𝛼、𝛽、𝛾之间的数量关系是（ ）
A．𝛼+ 𝛽= 𝛾
B．2𝛼−𝛽= 𝛾
C．2𝛽−𝛼= 𝛾
D．2𝛾−𝛼= 𝛽
【变式5-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐸和𝐹分别是𝐴𝐶，𝐵𝐶上一点，𝐸𝐹∥𝐴𝐵，∠𝐵𝐶𝐴的平分线交𝐴𝐵于点𝐷，∠𝑀𝐴𝐶
是△𝐴𝐵𝐶的外角，若∠𝐸𝐹𝐶= 𝛼，∠𝑀𝐴𝐶= 𝛽，∠𝐴𝐷𝐶= 𝛾，则𝛼，𝛽，𝛾三者间的数量关系是（ ）
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A．𝛽= 𝛼+ 𝛾
B．𝛽= 2𝛼−2𝛾
C．𝛽= 𝛼+ 2𝛾
D．𝛽= 2𝛾−𝛼
【题型6 三角形的外角性质与双角平分线】
【例6】在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于点O，∠𝐴𝐶𝐵的外角平分线所在直线与∠𝐴𝐵𝐶的平分线交
于点D，与∠𝐴𝐵𝐶的外角平分线交于点𝐸，下列结论：①∠𝐵𝑂𝐶= 90° +
1
2∠𝐴；②∠𝐷=
1
2∠𝐴；③∠𝐴=
2
3∠𝐸；
④∠𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐹= 90° + ∠𝐴𝐵𝐷．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．③④
C．①②④
D．①②③④
【变式6-1】如图，∠𝑀𝐴𝑁= 100∘，点𝐵，𝐶是射线𝐴𝑀，𝐴𝑁上的动点，∠𝐴𝐶𝐵的平分线和∠𝑀𝐵𝐶的平分线所
在直线相交于点𝐷，则∠𝐵𝐷𝐶的大小为（ ）
A．50∘
B．60∘
C．80∘
D．随点𝐵，𝐶的移动而变化
【变式6-2】如图，AB∥CD，∠𝐴𝐵𝐺的平分线𝐵𝐸和∠𝐺𝐶𝐷的平分线𝐶𝐹的反向延长交于点E，且
3∠𝐸−5∠𝐺= 172°，则∠𝐺=
度．
【变式6-3】【数学模型】
“8 字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，𝐴𝐷,𝐵𝐶
交于𝑂点，根据“三角形内角和是180°”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①∠𝐷𝑂𝐶= ∠𝐴𝑂𝐵（对
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顶角相等）；②∠𝐷+ ∠𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵．
【提出问题】分别作出∠𝐵𝐴𝐷和∠𝐵𝐶𝐷的平分线，两条角平分线交于点𝐸，如图2，∠𝐸与∠𝐷，∠𝐵之间是否存
在某种数量关系呢？
【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知∠𝐵𝐴𝐷的平分线与∠𝐵𝐶𝐷的平分线交于点𝐸．
(1)如图2，∠𝐷= 30°，∠𝐵= 50°，则∠𝐸的度数是多少呢？
易证∠𝐷+ ∠1 = ∠𝐸+ ∠3，∠𝐵+ ∠4 = ∠𝐸+ ∠2
请你完成后续的推理过程：
∴∠𝐷+ ∠1 + ∠𝐵+ ∠4 = ______
∵𝐶𝐸，𝐴𝐸分别是∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝐷的平分线
∴∠1 = ∠2，∠3=∠4
∴2∠𝐸= ______
又∵∠𝐷= 30°，∠𝐵= 50°
∴∠𝐸= ______度．
(2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出∠𝐸与∠𝐷，∠𝐵之间的数量关系是： ______．
【类比应用】
(3)如图3，∠𝐵𝐴𝐷的平分线𝐴𝐸与∠𝐵𝐶𝐷的平分线𝐶𝐸交于点𝐸．
已知：∠𝐷= 𝛼，∠𝐵= 𝛽，(𝛼< 𝛽)则∠𝐸= ______．（用𝛼、𝛽表示）
【题型7 求多个角度度数的和】
【例7】如图，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸=
．
【变式7-1】如图，已知∠𝐵𝑂𝐹= 120°，则∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹为
°．
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【变式7-2】用三种不同的方法求图中五角星形∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸的度数．
【变式7-3】计算不规程图形中多个角的度数和：
(1)如图①所示是一个五角星𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸，你能计算出∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸的大小吗？
(2)在图②③④⑤中，上面的结论还成立吗？不必说明理由．
（注：在图②中，∠𝐸𝐵𝐷相当于图①中的∠𝐵）
串知识·识框架
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过关测·稳提升
1．如图，点B，C 分别在∠EAF 的边AE，AF 上，点D 在线段AC 上，则下列是△ABD 的外角的是（ ）
A．∠BCF
B．∠CBE
C．∠DBC
D．∠BDF
2．如图，D，E 两点分别在△𝐴𝐵𝐶的两边𝐴𝐵，𝐴𝐶上，连接𝐷𝐸，已知∠1 + ∠2 = 𝛼，则∠𝐴= （ ）
A．𝛼−90°
B．180°−𝛼
C．𝛼−180°
D．360°−𝛼
3．一副三角板如图放置，若∠2 = 75°，则∠1的度数为（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．90°
4．如图𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐺𝐴𝐵的平分线𝐴𝐸与∠𝐴𝐶𝐹的平分线𝐶𝐸交于点E，且∠𝐸= ∠𝐵𝐴𝐹= 14°，则∠𝐹=（ ）
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A．28°
B．42°
C．56°
D．58°
5．如图，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸等于（ ）
A．100°
B．200°
C．180°
D．360°
6．已知：∠𝐴= 49°，点B、C 在∠𝐴的两边上，点P 为平面内一点，且∠𝑃𝐵𝐴= 38°，∠𝑃𝐶𝐴= 30°，则
∠𝐵𝑃𝐶=
．
7．如图．𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐶𝐴𝐸的平分线．∠𝐵= 35°，∠𝐷𝐴𝐸= 55°．则∠𝐴𝐶𝐵的度数是
度．
8．如图是可调躺椅示意图，𝐴𝐸与𝐵𝐷的交点为𝐶，∠𝐶𝐴𝐵= 50°，∠𝐶𝐵𝐴= 60°，∠𝐶𝐷𝐹= 20°，∠𝐶𝐸𝐹= 30°，
为了舒适，需调整∠𝐷的大小，使∠𝐸𝐹𝐷= 135°，且∠𝐶𝐴𝐵、∠𝐶𝐵𝐴、∠𝐸保持不变，则∠𝐷应调整为
度．
9．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐹= 17∘，𝐵𝐷、𝐶𝐷分别平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵，𝑀、𝑁、𝑄分别在𝐷𝐵、𝐷𝐶、𝐵𝐶的延长
线上，𝐵𝐸、𝐶𝐸分别平分∠𝑀𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑁，𝐵𝐹、𝐶𝐹分别平分∠𝐸𝐵𝐶、∠𝐸𝐶𝑄，则∠𝐴=
．
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10．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如
图，将△𝐴𝐵𝐶纸片沿𝐷𝐸折叠，使点A 落在点𝐴′处，𝐷𝐴′交𝐴𝐵于点F，若𝐴′𝐷∥𝐵𝐶，且∠𝐵−∠𝐴= 20°，则∠𝐴𝐸𝐷
的度数为
．
11．如图，已知∠𝐵𝐶𝐷= 130°，𝐸𝐹∥𝐷𝐶，∠𝐸𝐴𝐹= 100°，∠𝐸𝐹𝐴= 20°，求∠𝐵的度数．
12．在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 80°，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，点𝑃在射线𝐵𝐸上，连接𝐶𝑃，点𝐷在𝐵𝐶的延长线上．
(1)如图，∠𝐴𝐶𝐷= 140°．
①若𝐶𝑃∥𝐴𝐵，分别求∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐵𝑃𝐶的度数；
②若直线𝐶𝑃与△𝐴𝐵𝐶的一条边垂直，求∠𝐴𝐶𝑃的度数；
(2)若𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐷，请直接写出∠𝐵𝑃𝐶的度数．
13．如图，点C、D 分别在∠𝐴𝑂𝐵的𝑂𝐴、𝑂𝐵边上运动（不与点O 重合）．射线𝐶𝐸与射线𝐷𝐹分别在∠𝐴𝐶𝐷和
∠𝐶𝐷𝑂内部，延长𝐸𝐶与𝐷𝐹交于点F．
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(1)若∠𝐴𝑂𝐵= 90°，𝐶𝐸、𝐷𝐹分别是∠𝐴𝐶𝐷和∠𝐶𝐷𝑂的平分线，猜想：∠𝐹的度数是否随C，D 的运动发生变化？
请说明理由．
(2)若∠𝐴𝑂𝐵= 𝛼°(0 < 𝛼< 180)，∠𝐸𝐶𝐷=
1
𝑛∠𝐴𝐶𝐷，∠𝐶𝐷𝐹=
1
𝑛∠𝐶𝐷𝑂，则∠𝐹= °．（用含α、n 的代数式表示）
14．（1）如图，求出∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹的度数．
（2）如图，求出∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹的度数．
15．△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 70°，点D，E 分别是△𝐴𝐵𝐶边𝐴𝐶，𝐵𝐶上的点，点P 是一动点，令∠𝑃𝐷𝐴= ∠1，
∠𝑃𝐸𝐵= ∠2，∠𝐷𝑃𝐸= ∠𝛼．
初探：
（1）如图1，若点P 在线段𝐴𝐵上，且∠𝛼= 60°，则∠1 + ∠2 = ________°；
（2）如图2，若点P 在线段𝐴𝐵上运动，则∠1，∠2，∠𝛼之间的关系为__________；
（3）如图3，若点P 在线段𝐴𝐵的延长线上运动，则∠1，∠2，∠𝛼之间的关系为__________．
再探：
（4）如图4，若点P 运动到△𝐴𝐵𝐶的内部，写出此时∠1，∠2，∠𝛼之间的关系，并说明理由．
（5）若点P 运动到△𝐴𝐵𝐶的外部，请在图5 中画出一种情形，写出此时∠1，∠2，∠𝛼之间的关系，并说明
理由．
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答案解析
练题型·强知识
【题型1 三角形的外角的定义】
【例1】如图，点𝐷在线段𝐵𝐶的延长线上，过点𝐵作射线𝐵𝐹交𝐴𝐶于点𝐸，则下列是△𝐴𝐵𝐸的外角的是（ ）
A．∠𝐴𝐶𝐷
B．∠𝐴𝐸𝐵
C．∠𝐴𝐸𝐹
D．∠𝐶𝐸𝐹
【答案】C
【分析】本题考查了三角形外角的定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，据此
即可求解．
【详解】解：根据三角形外角的定义可知：
∠𝐴𝐸𝐹是△𝐴𝐵𝐸的外角，
故选：C．
【变式1-1】下图中∠1 是三角形一个外角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，进行判断即可．
【详解】解：由三角形外角的定义，可知，D 选项中的∠1 是三角形一个外角，其他的都不符合题意；
故选D．
【变式1-2】如图，点𝐷在△𝐴𝐵𝐶的𝐴𝐶边上，点𝐹在𝐵𝐶延长线上，下列是△𝐴𝐵𝐷的外角的是（ ）
A．∠𝐴𝐶𝐵
B．∠𝐴𝐶𝐹
C．∠𝐵𝐷𝐶
D．∠𝐴𝐵𝐶
【答案】C
【分析】根据三角形的外角的定义得出即可．
【详解】解：△𝐴𝐵𝐷的一个外角是∠𝐵𝐷𝐶，
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故选：C．
【变式1-3】如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠ACD 是△ABC 的一个内角；
B．∠BAD 是△ABD 的一个内角；
C．∠BEC 是△ACE 的一个外角；
D．∠AOC 是△ABD 的一个外角；
【答案】D
【分析】根据三角形内角、外角的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、∠ACD 是△ABC 的一个内角，说法正确；
B、∠BAD 是△ABD 的一个内角，说法正确；
C、∠BEC 是△ACE 的一个外角，说法正确；
D、∠AOC 是△AEO 的一个外角，原说法错误；
故选：D．
【题型2 三角形的外角性质简单应用】
【例2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点E 在𝐶𝐵的延长线上，过点E 作𝐸𝐷⊥𝐴𝐵，交𝐴𝐵于点D，交𝐴𝐶于点F，
∠𝐴𝐵𝐸= 60°，∠𝐶= 35°，则∠𝐴的度数为（ ）
A．35°
B．25°
C．20°
D．15°
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质，根据∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴+ ∠𝐶，结合∠𝐴𝐵𝐸= 60°，∠𝐶= 35°，即可
求解．
【详解】解：∵∠𝐴𝐵𝐸为△𝐴𝐵𝐶的外角，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴+ ∠𝐶，
∵∠𝐴𝐵𝐸= 60°，∠𝐶= 35°，
∴∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝐸−∠𝐶= 60°−35° = 25°．
故选：B．
【变式2-1】如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（ ）
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A．45°
B．60°
C．105°
D．120°
【答案】C
【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的
关键．首先求出∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐷−∠𝐶𝐵𝐷= 45°，然后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：将一副三角板按如图方式叠放，如图，𝐴、𝐵、𝐶、𝐷标记如下：
由题意知：∠𝐴𝐵𝐷= 90°，∠𝐶𝐵𝐷= 45°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐷−∠𝐶𝐵𝐷= 45°，
∵∠𝐴= 60°，
∴∠1 = ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶= 60° + 45° = 105°
故选：C
【变式2-2】将一副三角板按如图方式放置，使𝐸𝐹∥𝐴𝐵，则∠𝛼= （ ）
A．90°
B．95°
C．100°
D．105°
【答案】D
【分析】本题考查了三角板的认识，三角形的外角，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由
题意可知，∠𝐸= 60°，∠𝐵= 45°，由𝐸𝐹∥𝐴𝐵，得到∠𝐵𝐺𝐻= ∠𝐸= 60°，再结合∠𝛼= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐺𝐻，得到答案．
【详解】解：设𝐷𝐸与𝐴𝐵，𝐵𝐶分别交于点𝐺，𝐻，如图所示：
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由题意可知，∠𝐸= 60°，∠𝐵= 45°，
∵𝐸𝐹∥𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐺𝐻= ∠𝐸= 60°，
∵∠𝛼是△𝐵𝐻𝐺的外角，
∴∠𝛼= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐺𝐻= 45° + 60° = 105°．
故选：D．
【变式2-3】如图，∠𝐵= 20°，∠𝐶= 31°，∠𝐵𝑃𝐶= 123°，则∠𝐴=
°．
【答案】72°
【分析】本题考查三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的
关键．连接𝐴𝑃并延长至点𝐷，利用∠𝐵𝑃𝐷= ∠𝐵𝐴𝑃+ ∠𝐵，∠𝐶𝑃𝐷= ∠𝐶𝐴𝑃+ ∠𝐶，得
∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝐵𝑃𝐷+ ∠𝐶𝑃𝐷= ∠𝐵𝐴𝑃+ ∠𝐵+ ∠𝐶𝐴𝑃+ ∠𝐶= 123°，即∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 123°，代入∠𝐵= 20°，
∠𝐶= 31°，即可求解．
【详解】解：如图，连接𝐴𝑃并延长至点𝐷，
∵∠𝐵𝑃𝐷= ∠𝐵𝐴𝑃+ ∠𝐵，∠𝐶𝑃𝐷= ∠𝐶𝐴𝑃+ ∠𝐶，
∴∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝐵𝑃𝐷+ ∠𝐶𝑃𝐷= ∠𝐵𝐴𝑃+ ∠𝐵+ ∠𝐶𝐴𝑃+ ∠𝐶= 123°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 123°，
∵∠𝐵= 20°，∠𝐶= 31°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 123°−∠𝐵−∠𝐶= 72°，
故答案为：72°．
【题型3 利用三角形的外角性质比较角的大小】
【例3】如图，∠𝐴、∠𝐷𝑂𝐸和∠𝐵𝐸𝐶的大小关系是( ).
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A．∠𝐴> ∠𝐷𝑂𝐸> ∠𝐵𝐸𝐶
B．∠𝐷𝑂𝐸> ∠𝐴> ∠𝐵𝐸𝐶
C．∠𝐵𝐸𝐶> ∠𝐷𝑂𝐸> ∠𝐴
D．∠𝐷𝑂𝐸> ∠𝐵𝐸𝐶> ∠𝐴
【答案】D
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐸中，∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵，
∴∠𝐵𝐸𝐶> ∠𝐴，
在△𝐶𝑂𝐸中，∠𝐷𝑂𝐸= ∠𝐵𝐸𝐶+ ∠𝐶，
∴∠𝐷𝑂𝐸> ∠𝐵𝐸𝐶，
∴∠𝐷𝑂𝐸> ∠𝐵𝐸𝐶> ∠𝐴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
【变式3-1】如图，有下列结论：①∠𝐴> ∠𝐴𝐶𝐷；②∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴；③∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵< 180°；
④∠𝐻𝐸𝐶> ∠𝐵．其中，正确的是
（填序号）．
【答案】②③④
【分析】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系；
根据三角形的外角大于不相邻的内角，三角形的内角和定理即可求解；
【详解】解：①∠𝐴< ∠𝐴𝐶𝐷，故①错误；
②∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴，故②正确；
③∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵< 180°，故③正确；
④∠𝐻𝐸𝐶= ∠𝐴𝐸𝐷> ∠𝐴𝐶𝐷> ∠𝐵，则∠𝐻𝐸𝐶> ∠𝐵；故④正确；
故答案为：②③④
【变式3-2】如图所示，P 是△𝐴𝐵𝐶内一点，延长𝐵𝑃交𝐴𝐶于点D，连接𝑃𝐶．
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(1)∠1、∠2、∠𝐴的大小关系是： ＞ ＞ ；
(2)若∠3 = 25°，∠𝐴= 67°，∠4 = 40°，嘉嘉想求∠1的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成
求解．
思路一
先利用三角形内角和求出∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵的度数，
再利用三角形内角和求出∠1的度数．
思路二
先利用三角形外角求出∠2的度数．再
利用三角形外角求出∠1的度数．
【答案】(1)∠1；∠2；∠𝐴
(2)∠1 = 132°
【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理；
（1）根据三角形外角的性质可得∠2 = ∠3 + ∠𝐴，∠1 = ∠2 + ∠4，然后可得答案；
（2）思路一：先在△𝐴𝐵𝐶中利用三角形内角和定理求出∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵的度数，再在△𝑃𝐵𝐶中利用三角形
内角和定理求出∠1的度数；
思路二：先利用三角形外角的性质求出∠2的度数，再利用三角形外角的性质求出∠1的度数．
【详解】（1）解：∵∠2是△𝐴𝐵𝐷的外角，∠1是△𝐶𝐷𝑃的外角，
∴∠2 = ∠3 + ∠𝐴，∠1 = ∠2 + ∠4，
∴∠2 > ∠𝐴，∠1 > ∠2
∴∠1 > ∠2 > ∠𝐴，
故答案为：∠1；∠2；∠𝐴；
（2）思路一：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠3 + ∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵+ ∠4 = 180°，
∴∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵= 180°−∠𝐴−∠3−∠4 = 180°−67°−25°−40° = 48°，
在△𝑃𝐵𝐶中，∠1 + ∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵= 180°，
∴∠1 = 180°−(∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵) = 180°−48° = 132°；
思路二：∵∠2是△𝐴𝐵𝐷的外角，
∴∠2 = ∠3 + ∠𝐴= 25° + 67° = 92°，
∵∠1是△𝐶𝐷𝑃的外角，
∴∠1 = ∠2 + ∠4 = 92° + 40° = 132°．
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【题型4 三角形的外角性质与折叠问题】
【例4】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点𝐷，𝐸分别是𝐵𝐶，𝐴𝐶延长线上的一点，连接𝐷𝐸，𝐷𝐴，将△𝐴𝐷𝐸
沿𝐴𝐷折叠得到△𝐴𝐷𝐹，若∠𝐸= 50°，则∠𝐹𝐴𝐷的度数是（ ）
A．30°
B．25°
C．20°
D．35°
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是折叠性质、外角性质，几何图形中角度计算问题，解题关键是熟练掌握折叠
性质．
由折叠性质可得，∠𝐹= ∠𝐸= 50°，∠𝐹𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐷，再由外角性质推得∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐹𝐴𝐷+ ∠𝐹即可得
解．
【详解】解：由折叠性质可得，∠𝐹= ∠𝐸= 50°，∠𝐹𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐷，
∵点𝐷，𝐸分别是𝐵𝐶，𝐴𝐶延长线上的一点，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐷𝐶𝐸= 90°，
∵∠𝐴𝐷𝐶、∠𝐷𝐶𝐸分别是△𝐴𝐷𝐹、△𝐴𝐶𝐷的外角，
∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐹𝐴𝐷+ ∠𝐹，
∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐹𝐴𝐷+ ∠𝐹，
即2∠𝐹𝐴𝐷+ 50° = 90°，
∴∠𝐹𝐴𝐷= 20°．
故选：C．
【变式4-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 40∘，将△𝐴𝐵𝐶沿着直线𝑙折叠，点𝐶在落点𝐷的位置，则∠1−∠2的大
小是
度．
【答案】80
【分析】此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，根据折叠得到∠𝐷= ∠𝐶= 40°，
∠5 = ∠4 + ∠2，利用∠5 + ∠4 = 180°得到∠4 = 90°−
1
2∠2，∠5 = 90° +
1
2∠2，根据三角形内角和定理得到
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第 20 页 共 48 页
∠3 = 50°−
1
2∠2，再利用外角性质得到∠1 + ∠3 = ∠5 + ∠𝐶，由此求出∠1−∠2的度数．
【详解】解：如图，
由折叠得∠𝐷= ∠𝐶= 40°，∠5 = ∠4 + ∠2，
∵∠5 + ∠4 = 180°，
∴∠5 = 180°−∠4，
∴180°−∠4 = ∠4 + ∠2，得∠4 = 90°−
1
2∠2，
∴∠5 = 90° +
1
2∠2，
∵∠4 + ∠2 + ∠3 + ∠𝐷= 180°，即90°−
1
2∠2 + ∠2 + ∠3 + 40° = 180°，
∴∠3 = 50°−
1
2∠2，
∵∠1 + ∠3 = ∠5 + ∠𝐶,
∴∠1 + 50°−
1
2∠2 = 90° +
1
2∠2 + 40°
∴∠1−∠2 = 80°
故答案为80．
【变式4-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，D，E 分别为𝐴𝐵，𝐴𝐶上一点，将△𝐵𝐶𝐷，△𝐴𝐷𝐸分别沿
𝐶𝐷，𝐷𝐸折叠，点A、B 恰好重合于点𝐴′处．若∠𝐴𝐶𝐴′ = 16°，则∠𝐴𝐸𝐷= ．
【答案】127°/127 度
【分析】由折叠性质结合三角形外角的性质分析计算．
【详解】解：由折叠性质可得∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐷𝐶𝐴，∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐴′𝐷𝐶，∠𝐴′𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐸，
∴∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐴′𝐷𝐶+ 𝐴′𝐷𝐸= 90°
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴𝐶𝐴′ = 16°
∴∠𝐴′𝐶𝐵= 106°
∴∠𝐷𝐶𝐴′ = 53°
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∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐷𝐶𝐴′−∠𝐴′𝐶𝐴= 37°，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐸𝐷𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐸= 127°，
故答案为：127°．
【变式4-3】将△𝐴𝐵𝐶的顶角A 沿直线DE 折叠（如图），点A 的对应点为点𝐴′，记∠𝐶𝐷𝐴′为∠1，∠𝐵𝐸𝐴′为
∠2．
(1)如图1，当点A 的对应点𝐴′落在△𝐴𝐵𝐶内部时，试探求∠1，∠2与∠𝐴的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点A 的对应点𝐴′落在△𝐴𝐵𝐶外部时，∠1，∠2与∠𝐴又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给
予证明．
【答案】(1)∠1 + ∠2 = 2∠𝐷𝐴𝐸，理由见解析
(2)∠1−∠2 = 2∠𝐷𝐴𝐸，证明见解析
【分析】此题主要考查折叠的性质、三角形外角的性质，掌握折叠前后图形对应角度相等和三角形的外角
等于与它不相邻两个内角的和是解题的关键．
（1）利用三角形两次外角定理得出结论；
（2）由三角形外角定理，再由折叠可得∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴′𝐸即可得出结论．
【详解】（1）解：∠1 + ∠2 = 2∠𝐷𝐴𝐸，理由见解析：
如图1，连接𝐴𝐴′，
∵∠1是△𝐴𝐷𝐴′的外角，
∴∠1 = ∠𝐷𝐴𝐴′ +∠𝐷𝐴′𝐴．
同理，∠2 = ∠𝐸𝐴𝐴′ + ∠𝐸𝐴′𝐴．
∴∠1 + ∠2 = ∠𝐷𝐴𝐴′ +∠𝐷𝐴′𝐴+ ∠𝐸𝐴𝐴′ +∠𝐸𝐴′𝐴．
由折叠性质得∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴′𝐸．
∴∠1 + ∠2 = 2∠𝐷𝐴𝐸．
（2）∠1−∠2 = 2∠𝐷𝐴𝐸，证明如下：
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如图2，连接𝐴𝐴′，
∵∠1是△𝐴𝐷𝐴′的外角，
∴∠1 = ∠𝐷𝐴𝐴′ +∠𝐷𝐴′𝐴．
同理，∠2 = ∠𝐸𝐴𝐴′ + ∠𝐸𝐴′𝐴．
∴∠1 = ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐴′ +∠𝐸𝐴′𝐴+ ∠𝐷𝐴′𝐸．
由折叠性质得∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴′𝐸．
∴∠1 = 2∠𝐷𝐴𝐸+ ∠2，
∴∠1−∠2 = 2∠𝐷𝐴𝐸．
【题型5 三角形的外角性质与单角平分线】
【例5】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的高，𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐵的平分线，𝐵𝐷，𝐶𝐸交于点𝐹．若
∠𝐴𝐸𝐶= 80°,∠𝐷𝐹𝐶= 52°，则∠𝐴𝐵𝐶的度数是（ ）
A．28°
B．38°
C．42°
D．62°
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的有关计算，三角形的外角性质，熟练掌握各知识点并
灵活运用是解题的关键．
由直角三角形锐角互余以及角平分线得到∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐹= 38°，再由三角形的外角性质得到
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐸𝐶−∠𝐸𝐶𝐵，即可求解．
【详解】解：∵𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的高，
∴∠𝐹𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐹𝐶𝐷= 90°−∠𝐷𝐹𝐶= 90°−52° = 38°，
∵𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐵的平分线，
∴∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐹= 38°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐸𝐶−∠𝐸𝐶𝐵= 80°−38° = 42°，
故选：C．
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【变式5-1】如图，△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐴𝐶𝐷的平分线𝐶𝐸交𝐵𝐴的延长线于点𝐸，若∠𝐵𝐶𝐴= 88°，则∠𝐵+ ∠𝐸的值
是（ ）
A．44°
B．46°
C．45°
D．43°
【答案】B
【分析】本题考查了三角形外角的性质，关键在于能够巧妙的运用三角形外角的性质及角平分线的定义求
解．
先根据邻补角的定义求得∠𝐴𝐶𝐷的度数，再利用角平分线的定义求得∠𝐸𝐶𝐷的度数，根据三角形外角的性质：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．可知∠𝐸𝐶𝐷的度数即为∠𝐵+ ∠𝐸的值．
【详解】解：∵ ∠𝐵𝐶𝐴= 88°．
∴∠𝐴𝐶𝐷= 180°−∠𝐵𝐶𝐴= 180°−88° = 92° ．
∵ 𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷．
∴∠𝐸𝐶𝐷=
1
2∠𝐴𝐶𝐷=
1
2 × 92° = 46° ．
∵ ∠𝐸𝐶𝐷是△𝐵𝐶𝐸的外角．
∴∠𝐵+ ∠𝐸= ∠𝐸𝐶𝐷= 46°．
故选：B．
【变式5-2】如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，B、C、E 共线，则𝛼、𝛽、𝛾之间的数量关系是（ ）
A．𝛼+ 𝛽= 𝛾
B．2𝛼−𝛽= 𝛾
C．2𝛽−𝛼= 𝛾
D．2𝛾−𝛼= 𝛽
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的角平分线的定义，三角形的外角的性质，先设∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 𝑥°，利用外
角可得𝛽= 𝛼+ 𝑥，𝛾= 𝛼+ 2𝑥，再进一步可得结论．
【详解】解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴设∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 𝑥°，
∴𝛽= 𝛼+ 𝑥，𝛾= 𝛼+ 2𝑥，
∴𝑥= 𝛽−𝛼，
∴𝛾= 𝛼+ 2(𝛽−𝛼) = 2𝛽−𝛼，
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故选C
【变式5-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐸和𝐹分别是𝐴𝐶，𝐵𝐶上一点，𝐸𝐹∥𝐴𝐵，∠𝐵𝐶𝐴的平分线交𝐴𝐵于点𝐷，∠𝑀𝐴𝐶
是△𝐴𝐵𝐶的外角，若∠𝐸𝐹𝐶= 𝛼，∠𝑀𝐴𝐶= 𝛽，∠𝐴𝐷𝐶= 𝛾，则𝛼，𝛽，𝛾三者间的数量关系是（ ）
A．𝛽= 𝛼+ 𝛾
B．𝛽= 2𝛼−2𝛾
C．𝛽= 𝛼+ 2𝛾
D．𝛽= 2𝛾−𝛼
【答案】D
【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的性质、平行线的性质，根据三角形外角的性质可知
∠𝐴𝐶𝐷= 𝛽−𝛾，根据角平分线的性质可知∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴𝐶𝐷= 2(𝛽−𝛾)，根据平行线的性质可知
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐸𝐹𝐶= 𝛼，利用三角形外角的性质可知𝛽= 𝛼+ 2(𝛽−𝛾)，整理可得：𝛽= 2𝛾−𝛼．
【详解】解：∵ 𝐶𝐷是∠𝐵𝐶𝐴的平分线，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴𝐶𝐷，
∵∠𝑀𝐴𝐶是△𝐴𝐷𝐶的外角，
∴∠𝑀𝐴𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝑀𝐴𝐶−∠𝐴𝐷𝐶= 𝛽−𝛾，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 2(𝛽−𝛾)，
∵𝐸𝐹∥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐸𝐹𝐶= 𝛼，
又∵∠𝑀𝐴𝐶是△𝐴𝐵𝐶的外角，
∴∠𝑀𝐴𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵，
∴𝛽= 𝛼+ 2(𝛽−𝛾)，
整理得：𝛽= 2𝛾−𝛼．
故选：D ．
【题型6 三角形的外角性质与双角平分线】
【例6】在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于点O，∠𝐴𝐶𝐵的外角平分线所在直线与∠𝐴𝐵𝐶的平分线交
于点D，与∠𝐴𝐵𝐶的外角平分线交于点𝐸，下列结论：①∠𝐵𝑂𝐶= 90° +
1
2∠𝐴；②∠𝐷=
1
2∠𝐴；③∠𝐴=
2
3∠𝐸；
④∠𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐹= 90° + ∠𝐴𝐵𝐷．
其中所有正确结论的序号是（ ）
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A．①②
B．③④
C．①②④
D．①②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的
定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键；
由角平分线的定义可得∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵=
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 90°−
1
2∠𝐴，再由三角形的内角和定理可求解
∠𝐵𝑂𝐶= 180°−(∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵) = 90° +
1
2∠𝐴，即可判定①；由角平分线的定义可得∠𝐷𝐶𝐹=
1
2∠𝐴𝐶𝐹，结合
三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得∠𝑀𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵= 180° + ∠𝐴，再利用角平分线的定
义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得∠𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐹= 90° + ∠𝐷𝐵𝐶，结合
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝐶可判定④；
【详解】解：∵∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于点𝑂，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝑂𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝑂=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵=
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)=
1
2(180°−∠𝐴) = 90°−
1
2∠𝐴，
∴∠𝐵𝑂𝐶= 180°−(∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵) = 180°−90°−
1
2 ∠𝐴= 90° +
1
2∠𝐴，
故①正确，符合题意；
∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐹，
∴∠𝐷𝐶𝐹=
1
2∠𝐴𝐶𝐹，
∵∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴，∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝐷，
∴2∠𝑂𝐵𝐶+ 2∠𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴，
∴∠𝐷=
1
2∠𝐴，
故②正确，符合题意；
如图，
∵∠𝑀𝐵𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵𝐶𝑁= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180°，
∴∠𝑀𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴= 180° + ∠𝐴，
∵𝐵𝐸平分∠𝑀𝐵𝐶，𝐶𝐸平分∠𝐵𝐶𝑁，
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∴∠𝑀𝐵𝐶= 2∠𝐸𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑁= 2∠𝐵𝐶𝐸，
∴∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵= 90° +
1
2∠𝐴，
∴∠𝐸= 180°−(∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵)−90°−
1
2∠𝐴，
∴∠𝐴= 180°−2∠𝐸，
故③错误，不符合题意；
∵∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐷，
∴∠𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐹= 90°−
1
2∠𝐴+ ∠𝐷𝐵𝐶+
1
2∠𝐴= 90° + ∠𝐷𝐵𝐶，
∵∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝐶，
∴∠𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐹= 90° + ∠𝐴𝐵𝐷，
故④正确，符合题意；
综上正确的有：①②④；
故选：C
【变式6-1】如图，∠𝑀𝐴𝑁= 100∘，点𝐵，𝐶是射线𝐴𝑀，𝐴𝑁上的动点，∠𝐴𝐶𝐵的平分线和∠𝑀𝐵𝐶的平分线所
在直线相交于点𝐷，则∠𝐵𝐷𝐶的大小为（ ）
A．50∘
B．60∘
C．80∘
D．随点𝐵，𝐶的移动而变化
【答案】A
【分析】本题考查了三角形外角性质和角平分线定义的应用．根据角平分线定义得出∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐷𝐶𝐵，
∠𝑀𝐵𝐶= 2∠𝐶𝐵𝐸，根据三角形外角性质得出2∠𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵，求出∠𝐴= 2∠𝐷，即可求出答案．
【详解】解：∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝐸平分∠𝑀𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐷𝐶𝐵，∠𝑀𝐵𝐶= 2∠𝐶𝐵𝐸，
∵∠𝑀𝐵𝐶= 2∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐷+ ∠𝐷𝐶𝐵，
∴2∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐷+ ∠𝐷𝐶𝐵，
∴∠𝑀𝐵𝐶= 2∠𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐵，
∴2∠𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴= 2∠𝐷，
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∵∠𝐴= 100°，
∴∠𝐷= 50°．
故选：A．
【变式6-2】如图，AB∥CD，∠𝐴𝐵𝐺的平分线𝐵𝐸和∠𝐺𝐶𝐷的平分线𝐶𝐹的反向延长交于点E，且
3∠𝐸−5∠𝐺= 172°，则∠𝐺=
度．
【答案】28
【分析】延长DC，交BG 于M，设BG、EC 交于点N，设∠𝐴𝐵𝐺= 2𝑥,∠𝐺𝐶𝐷= 2𝑦，利用平行线的性质及外
角的性质可得2𝑥= 180°−2𝑦+ ∠𝐺①，利用角平分线的定义和三角形的内角和定理可得
𝑥+ ∠𝐸= 180°−𝑦+ ∠𝐺②，再由①②整理得出3∠𝐸−∠𝐺= 180°③，结合已知条件即可求解．
【详解】
延长DC，交BG 于M，设BG、EC 交于点N，
设∠𝐴𝐵𝐺= 2𝑥,∠𝐺𝐶𝐷= 2𝑦，
∴∠𝑀𝐶𝐺= 180°−2𝑦，
∵ AB∥CD，
∴∠𝑁𝑀𝐶= ∠𝐴𝐵𝑀= 2𝑥，
∴∠𝑁𝑀𝐶= ∠𝑀𝐶𝐺+ ∠𝐺，即2𝑥= 180°−2𝑦+ ∠𝐺①，
∵ ∠𝐴𝐵𝐺的平分线𝐵𝐸和∠𝐺𝐶𝐷的平分线𝐶𝐹的反向延长交于点E，
∴∠𝐸𝐵𝐺= 𝑥,∠𝐺𝐶𝐹= 𝑦，
∴∠𝑁𝐶𝐺= 180°−∠𝐺𝐶𝐹= 180°−𝑦，
在△𝐵𝐸𝑁和△𝐺𝐶𝑁中，∠𝐵𝑁𝐸= ∠𝐺𝑁𝐶，
∴∠𝑁𝐵𝐸+ ∠𝐸= ∠𝑁𝐶𝐺+ ∠𝐺，即𝑥+ ∠𝐸= 180°−𝑦+ ∠𝐺②，
联立①②，可整理得3∠𝐸−∠𝐺= 180°③，
∵3∠𝐸−5∠𝐺= 172°④，
联立③④，可整理得7∠𝐺= 196°，
∴∠𝐺= 28°，
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故答案为：28．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义及三角形的内角和定理，熟练掌
握知识点并准确作出辅助线是解题的关键．
【变式6-3】【数学模型】
“8 字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，𝐴𝐷,𝐵𝐶
交于𝑂点，根据“三角形内角和是180°”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①∠𝐷𝑂𝐶= ∠𝐴𝑂𝐵（对
顶角相等）；②∠𝐷+ ∠𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵．
【提出问题】分别作出∠𝐵𝐴𝐷和∠𝐵𝐶𝐷的平分线，两条角平分线交于点𝐸，如图2，∠𝐸与∠𝐷，∠𝐵之间是否存
在某种数量关系呢？
【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知∠𝐵𝐴𝐷的平分线与∠𝐵𝐶𝐷的平分线交于点𝐸．
(1)如图2，∠𝐷= 30°，∠𝐵= 50°，则∠𝐸的度数是多少呢？
易证∠𝐷+ ∠1 = ∠𝐸+ ∠3，∠𝐵+ ∠4 = ∠𝐸+ ∠2
请你完成后续的推理过程：
∴∠𝐷+ ∠1 + ∠𝐵+ ∠4 = ______
∵𝐶𝐸，𝐴𝐸分别是∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝐷的平分线
∴∠1 = ∠2，∠3=∠4
∴2∠𝐸= ______
又∵∠𝐷= 30°，∠𝐵= 50°
∴∠𝐸= ______度．
(2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出∠𝐸与∠𝐷，∠𝐵之间的数量关系是： ______．
【类比应用】
(3)如图3，∠𝐵𝐴𝐷的平分线𝐴𝐸与∠𝐵𝐶𝐷的平分线𝐶𝐸交于点𝐸．
已知：∠𝐷= 𝛼，∠𝐵= 𝛽，(𝛼< 𝛽)则∠𝐸= ______．（用𝛼、𝛽表示）
【答案】(1)2∠𝐸+ ∠3 + ∠2，∠𝐵+ ∠𝐷，40°
(2)∠𝐸=
1
2(∠𝐷+ ∠𝐵)
(3)∠𝐸=
1
2(𝛽−𝛼)°
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，掌握角平分
线的性质和等量代换是解题的关键．
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（1）由题意易得∠𝐷+ ∠1 = ∠𝐸+ ∠3，∠𝐵+ ∠4 = ∠𝐸+ ∠2，然后再两式相加后，再根据角平分线的定义进
行化简，最后将∠𝐷= 30°、∠𝐵= 50°代入计算即可；
（2）利用（1）的相关结论即可解答；
（3）如图3，延长𝐵𝐶交𝐴𝐷于点F，由三角形外角的性质，可得∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐷，又由角平分线
的性质可得∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐸𝐶𝐵=
1
2∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐵=
1
2∠𝐵𝐴𝐷，再代入∠𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐸𝐴𝐵−∠𝐸𝐶𝐵进行化简
可得∠𝐸=
1
2(∠𝐵−∠𝐷),最后将∠𝐷= 𝛼、∠𝐵= 𝛽代入即可解答．
【详解】（1）解：如图2，∵∠𝐷+ ∠1 = ∠𝐸+ ∠3，∠𝐸+ ∠2 = ∠𝐵+ ∠4，
∴∠𝐷+ ∠1 + ∠𝐵+ ∠4 = 2∠𝐸+ ∠3 + ∠2，
∵𝐸𝐶平分∠𝐸𝐶𝐵，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，
∴2∠𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐷，
∵∠𝐷= 30°，∠𝐵= 50°
∴∠𝐸=
1
2(∠𝐷+ ∠𝐵) =
1
2(30° + 50°) = 40°
故答案为：2∠𝐸+ ∠3 + ∠2，∠𝐵+ ∠𝐷，40°；
（2）解：由（1）可得2∠𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐷，即∠𝐸=
1
2(∠𝐷+ ∠𝐵)
故答案为∠𝐸=
1
2(∠𝐷+ ∠𝐵)；
（3）解：如图3，延长𝐵𝐶交𝐴𝐷于F，
∵∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐵𝐹𝐷+ ∠𝐷= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐷，
∵𝐶𝐸平分∠𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐷,
∴∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐸𝐶𝐵=
1
2∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐵=
1
2∠𝐵𝐴𝐷，
∵∠𝐸+ ∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐵+ ∠𝐸𝐴𝐵，
∴∠𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐸𝐴𝐵−∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸−
1
2∠𝐵𝐶𝐷
= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸−
1
2(∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐷) =
1
2(∠𝐵−∠𝐷)，
∵∠𝐷= 𝛼，∠𝐵= 𝛽，
∴∠𝐸=
1
2(𝛽−𝛼)．
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故答案为∠𝐸=
1
2(𝛽−𝛼)．
【题型7 求多个角度度数的和】
【例7】如图，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸=
．
【答案】180°
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得
∠𝐷+ ∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶𝐺𝐹,∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶𝐹𝐺，则由三角形内角和定理可得答案．
【详解】解； ∵∠𝐷+ ∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶𝐺𝐹,∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶𝐹𝐺，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸= ∠𝐶𝐺𝐹+ ∠𝐶+ ∠𝐶𝐹𝐺= 180°．
故答案为：180°．
【变式7-1】如图，已知∠𝐵𝑂𝐹= 120°，则∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹为
°．
【答案】240
【分析】本题考查了三角形的外角性质，由三角形外角性质得∠1 = ∠𝐴+ ∠𝐶，∠2 = ∠𝐵+ ∠𝐷，
∠𝐸+ ∠𝐹= ∠1 + ∠2 = ∠𝐵𝑂𝐹= 120°，即得∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷= ∠1 + ∠2 = 120°，进而即可求解，正确识
图是解题的关键．
【详解】解：由三角形外角性质可得，∠1 = ∠𝐴+ ∠𝐶，∠2 = ∠𝐵+ ∠𝐷，
∠𝐸+ ∠𝐹= ∠1 + ∠2 = ∠𝐵𝑂𝐹= 120°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷= ∠1 + ∠2 = 120°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹= 120° + 120° = 240°，
故答案为：240．
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【变式7-2】用三种不同的方法求图中五角星形∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸的度数．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质；
解法一：如图①，证明∠𝐸𝐹𝐺= ∠𝐵+ ∠𝐷，∠𝐸𝐺𝐹= ∠𝐴+ ∠𝐶．结合∠𝐸𝐹𝐺+ ∠𝐸𝐺𝐹+ ∠𝐸= 180°，即可得到
答案；
解法二：如图②，作射线𝐴𝐹，同理可得：∠𝐶𝐹𝐷= ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷，结合∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐶𝐹𝐷，可得
∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷，再结合三角形的内角和定理可得答案；
解法三：如图③，连接𝐶𝐷，证明∠𝐹𝐶𝐷+ ∠𝐹𝐷𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐸，结合∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°，进一步可得
答案．
【详解】解法一：如图①，
∵∠𝐸𝐹𝐺，∠𝐸𝐺𝐹分别是△𝐵𝐷𝐹，△𝐴𝐶𝐺的外角，
∴∠𝐸𝐹𝐺= ∠𝐵+ ∠𝐷，∠𝐸𝐺𝐹= ∠𝐴+ ∠𝐶．
在△𝐸𝐹𝐺中，∠𝐸𝐹𝐺+ ∠𝐸𝐺𝐹+ ∠𝐸= 180°，
∴∠𝐵+ ∠𝐷+ ∠𝐴+ ∠𝐶+ ∠𝐸= 180°．
即∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸= 180°．
解法二：如图②，作射线𝐴𝐹，
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同理可得：∠𝐶𝐹𝐷= ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷，
∵∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐶𝐹𝐷，
∴∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷，
又∵∠𝐵+ ∠𝐵𝐹𝐸+ ∠𝐸= 180°，
∴∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸= 180°．
解法三：如图③，连接𝐶𝐷，
在△𝐶𝐷𝐹中，∠𝐹𝐶𝐷+ ∠𝐹𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐹𝐷= 180°，
在△𝐵𝐸𝐹中，∠𝐵+ ∠𝐸+ ∠𝐵𝐹𝐸= 180°，
∵∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐶𝐹𝐷，
∴∠𝐹𝐶𝐷+ ∠𝐹𝐷𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐸．
在△𝐴𝐶𝐷中，∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶= 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐹+ ∠𝐹𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐹+ ∠𝐹𝐷𝐶= 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐹+ ∠𝐴𝐷𝐹+ ∠𝐵+ ∠𝐸= 180°，
即∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐹+ ∠𝐴𝐷𝐹+ ∠𝐸= 180°．
【变式7-3】计算不规程图形中多个角的度数和：
(1)如图①所示是一个五角星𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸，你能计算出∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸的大小吗？
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(2)在图②③④⑤中，上面的结论还成立吗？不必说明理由．
（注：在图②中，∠𝐸𝐵𝐷相当于图①中的∠𝐵）
【答案】(1)180°
(2)成立
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角和定理．
（1）根据三角形外角和定理将五个角转化到一个三角形内，可得答案；
（2）仿照（1），解答②，再连接𝐷𝐸，标注𝐴𝐷和𝐶𝐸的交点为F，根据三角形内角和定理解答③，再仿照③
解答④⑤即可．
【详解】（1）解：如图11-3-12①所示，
∵∠𝐶+ ∠𝐸= ∠1，∠𝐵+ ∠𝐷= ∠2，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸= ∠1 + ∠2 + ∠𝐴= 180°．
（2）解：图②成立，
∵∠𝐶𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐷的外角，
∴∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐷，
∵∠𝐶+ ∠𝐶𝐵𝐷+ ∠𝐷𝐵𝐸+ ∠𝐸= 180°，
∴∠𝐶+ ∠𝐴+ ∠𝐷+ ∠𝐷𝐵𝐸+ ∠𝐸= 180°，
图②成立；
如图③，连接𝐷𝐸，标注𝐴𝐷和𝐶𝐸的交点为F，
∵∠𝐴+ ∠𝐶+ ∠𝐴𝐹𝐶= 180°，∠𝐹𝐷𝐸+ ∠𝐹𝐸𝐷+ ∠𝐸𝐹𝐷= 180°，且∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐸𝐹𝐷，
∴∠𝐴+ ∠𝐶= ∠𝐷𝐸𝐹+ ∠𝐸𝐷𝐹．
∵∠𝐵+ ∠𝐵𝐸𝐹+ ∠𝐵𝐷𝐹+ ∠𝐷𝐸𝐹+ ∠𝐸𝐷𝐹= 180°，
∴∠𝐵+ ∠𝐵𝐸𝐹+ ∠𝐵𝐷𝐹+ ∠𝐴+ ∠𝐶= 180°．
图③成立；
如图④，连接𝐶𝐷，标注𝐵𝐷和𝐶𝐸的交点为F，
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∵∠𝐵+ ∠𝐸+ ∠𝐵𝐹𝐸= 180°，∠𝐶𝐷𝐹+ ∠𝐷𝐶𝐹+ ∠𝐶𝐹𝐷= 180°，且∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐶𝐹𝐷，
∴∠𝐵+ ∠𝐸= ∠𝐶𝐷𝐹+ ∠𝐷𝐶𝐹．
∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐹+ ∠𝐴𝐷𝐹+ ∠𝐶𝐷𝐹+ ∠𝐷𝐶𝐹= 180°，
∴∠𝐵+ ∠𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐹+ ∠𝐴= 180°，
图④成立；
如图⑤，连接𝐶𝐷，标注𝐵𝐷和𝐶𝐸的交点为F，
∵∠𝐵+ ∠𝐸+ ∠𝐵𝐹𝐸= 180°，∠𝐶𝐷𝐹+ ∠𝐷𝐶𝐹+ ∠𝐶𝐹𝐷= 180°，且∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐶𝐹𝐷，
∴∠𝐵+ ∠𝐸= ∠𝐶𝐷𝐹+ ∠𝐷𝐶𝐹．
∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐹+ ∠𝐴𝐷𝐹+ ∠𝐶𝐷𝐹+ ∠𝐷𝐶𝐹= 180°，
∴∠𝐵+ ∠𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐹+ ∠𝐴= 180°．
图⑤成立．
过关测·稳提升
1．如图，点B，C 分别在∠EAF 的边AE，AF 上，点D 在线段AC 上，则下列是△ABD 的外角的是（ ）
A．∠BCF
B．∠CBE
C．∠DBC
D．∠BDF
【答案】D
【分析】三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．
【详解】解：△ABD 的一个外角是∠BDF，
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故选：D．
2．如图，D，E 两点分别在△𝐴𝐵𝐶的两边𝐴𝐵，𝐴𝐶上，连接𝐷𝐸，已知∠1 + ∠2 = 𝛼，则∠𝐴= （ ）
A．𝛼−90°
B．180°−𝛼
C．𝛼−180°
D．360°−𝛼
【答案】C
【分析】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
先根据邻补角性质求得∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷= 360°−𝛼，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵∠𝐴𝐷𝐸= 180°−∠1，∠𝐴𝐸𝐷= 180°−∠2，
∴∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷= 360°−(∠1 + ∠2) = 360°−𝛼，
∵∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐴= 180°，
∴∠𝐴= 180°−(∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷) = 180°−(360°−𝛼) = 𝛼−180°，
故选：C．
3．一副三角板如图放置，若∠2 = 75°，则∠1的度数为（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．90°
【答案】D
【分析】本题考查了三角形外角的性质，对顶角相等，三角形内角和定理等知识．明确角度之间的数量关
系是解题的关键．如图，由题意知，∠𝐴= 30°,∠𝐷= 45°，由三角形外角的性质得到∠2 = ∠𝐴+ ∠𝐴𝐺𝐸，求出
∠𝐴𝐺𝐸= 45°，由对顶角的定义得到∠𝐻𝐺𝐷= ∠𝐴𝐺𝐸= 45°，再根据三角形内角和定理得到
∠𝐺𝐻𝐷= 180°−∠𝐷−∠𝐻𝐺𝐷，最后由对顶角的定义即可得到结果．
【详解】解：如图，由题意知，∠𝐴= 30°,∠𝐷= 45°，
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∵∠2 = ∠𝐴+ ∠𝐴𝐺𝐸，∠2 = 75°
∴∠𝐴𝐺𝐸= 45°，
∴∠𝐻𝐺𝐷= ∠𝐴𝐺𝐸= 45°，
∴∠𝐺𝐻𝐷= 180°−∠𝐷−∠𝐻𝐺𝐷= 90°，
∴∠1 = ∠𝐺𝐻𝐷= 90°．
故选：D．
4．如图𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐺𝐴𝐵的平分线𝐴𝐸与∠𝐴𝐶𝐹的平分线𝐶𝐸交于点E，且∠𝐸= ∠𝐵𝐴𝐹= 14°，则∠𝐹=（ ）
A．28°
B．42°
C．56°
D．58°
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是关键．
过点F 作𝐹𝑃∥𝐴𝐵，由𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝑃𝐹得∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐵𝐴𝐹+ ∠𝐹𝐶𝐷，
∠𝐷𝐶𝐹= 2∠𝐺𝐴𝐸−2∠𝐴𝐶𝐸= 2(∠𝐺𝐴𝐸−∠𝐴𝐶𝐸) = 28°，即可解答．
【详解】解：过点F 作𝐹𝑃∥𝐴𝐵，如图
∴∠𝐴𝐹𝑃= ∠𝐵𝐴𝐹= 14°，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐺𝐴𝐵的平分线𝐴𝐸与∠𝐴𝐶𝐹的平分线𝐶𝐸交于点E
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝑃𝐹，∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐴𝐶𝐷，∠𝐺𝐴𝐵= 2∠𝐺𝐴𝐸,∠𝐴𝐶𝐹= 2∠𝐴𝐶𝐸，
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∴∠𝑃𝐹𝐶= ∠𝐹𝐶𝐷，2∠𝐺𝐴𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐹+ ∠𝐷𝐶𝐹，
即2∠𝐺𝐴𝐸= 2∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐹，
∵∠𝐺𝐴𝐸= ∠𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐸，
∴∠𝐺𝐴𝐸−∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐸= 14°，
∴∠𝐷𝐶𝐹= 2∠𝐺𝐴𝐸−2∠𝐴𝐶𝐸= 2(∠𝐺𝐴𝐸−∠𝐴𝐶𝐸) = 28°，
∴∠𝑃𝐹𝐶= ∠𝐹𝐶𝐷= 28°，
∴∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐴𝐹𝑃+ ∠𝐶𝐹𝑃= 14° + 28° = 42°
故选B．
5．如图，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸等于（ ）
A．100°
B．200°
C．180°
D．360°
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
由三角形外角的性质得到∠𝐵+ ∠𝐸= ∠𝐵𝐹𝐶，∠𝐴+ ∠𝐷= ∠𝐷𝐺𝐶，继而得到
∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸= ∠𝐶+ ∠𝐺𝐹𝐶+ ∠𝐹𝐺𝐶= 180°，即可得到答案．
【详解】解：如图，
∵∠𝐵+ ∠𝐸= ∠𝐵𝐹𝐶，∠𝐴+ ∠𝐷= ∠𝐷𝐺𝐶，
∴ ∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸= ∠𝐶+ ∠𝐺𝐹𝐶+ ∠𝐹𝐺𝐶= 180°，
故选：C．
6．已知：∠𝐴= 49°，点B、C 在∠𝐴的两边上，点P 为平面内一点，且∠𝑃𝐵𝐴= 38°，∠𝑃𝐶𝐴= 30°，则
∠𝐵𝑃𝐶=
．
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【答案】117°或41°或57°
【分析】本题考查了三角形的内角和与三角形的外角性质，全面分类、熟练掌握三角形的内角和与三角形
的外角性质是解题的关键；
分三种情况：当点P 在∠𝐴的内部时，当点P 在∠𝐴的外部时，若点P 在𝐴𝐵上方，当点P 在∠𝐴的外部时，若
点P 在𝐴𝐶下方，分别画出图形，利用三角形的内角和与三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：当点P 在∠𝐴的内部时，如图，延长𝐵𝑃交𝐴𝐶于点D，
则∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵= 87°，
∴∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝑃𝐷𝐶+ ∠𝐶= 117°；
当点P 在∠𝐴的外部时，若点P 在𝐴𝐵上方，如图，设𝐴𝐵,𝑃𝐶交于点E，
∵∠𝑃𝐸𝐵= ∠𝐴𝐸𝐶，
∴∠𝑃+ ∠𝐵= ∠𝐴+ ∠𝐶，
∴∠𝑃= 49° + 30°−38° = 41°；
当点P 在∠𝐴的外部时，若点P 在𝐴𝐶下方，如图，设𝐴𝐶,𝑃𝐵交于点E，
∵∠𝑃𝐸𝐶= ∠𝐴𝐸𝐵，
∴∠𝑃+ ∠𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵，
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∴∠𝑃= 49° + 38°−30° = 57°；
综上：∠𝐵𝑃𝐶= 117°或41°或57°；
故答案为：117°或41°或57°．
7．如图．𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐶𝐴𝐸的平分线．∠𝐵= 35°，∠𝐷𝐴𝐸= 55°．则∠𝐴𝐶𝐵的度数是
度．
【答案】75
【分析】本题主要查了三角形外角的性质．先根据角平分线的定义可得∠𝐶𝐴𝐸= 2∠𝐷𝐴𝐸= 110°，然后根据
三角形外角的性质解答，即可．
【详解】解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐶𝐴𝐸的平分线，∠𝐷𝐴𝐸= 55°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= 2∠𝐷𝐴𝐸= 110°，
∵∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵= 35°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐵= 75°．
故答案为：75
8．如图是可调躺椅示意图，𝐴𝐸与𝐵𝐷的交点为𝐶，∠𝐶𝐴𝐵= 50°，∠𝐶𝐵𝐴= 60°，∠𝐶𝐷𝐹= 20°，∠𝐶𝐸𝐹= 30°，
为了舒适，需调整∠𝐷的大小，使∠𝐸𝐹𝐷= 135°，且∠𝐶𝐴𝐵、∠𝐶𝐵𝐴、∠𝐸保持不变，则∠𝐷应调整为
度．
【答案】35
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关
键．连接𝐶𝐹，并延长至点𝑀，由内角和定理可得∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵= 70°，由三角形外角的性质可得
∠𝐸𝐹𝐷= ∠𝐷𝐶𝐹+ ∠𝐸𝐶𝐹+ ∠𝐷+ ∠𝐸，求出∠𝐷的度数即可．
【详解】解：如图，连接𝐶𝐹，并延长至点𝑀，
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在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵= 50°，∠𝐶𝐵𝐴= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐶𝐴𝐵−∠𝐶𝐵𝐴= 70°，
∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵= 70°，
∵∠𝐷𝐹𝑀= ∠𝐷𝐶𝐹+ ∠𝐷，∠𝐸𝐹𝑀= ∠𝐸𝐶𝐹+ ∠𝐸，
∴∠𝐸𝐹𝐷= ∠𝐷𝐶𝐹+ ∠𝐸𝐶𝐹+ ∠𝐷+ ∠𝐸，
∵∠𝐸𝐹𝐷= 135°，∠𝐶𝐸𝐹= 30°，
∴135° = 70° + ∠𝐷+ 30°，
∴∠𝐷= 35°，
∴∠𝐷应调整为35°．
故答案为：35．
9．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐹= 17∘，𝐵𝐷、𝐶𝐷分别平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵，𝑀、𝑁、𝑄分别在𝐷𝐵、𝐷𝐶、𝐵𝐶的延长
线上，𝐵𝐸、𝐶𝐸分别平分∠𝑀𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑁，𝐵𝐹、𝐶𝐹分别平分∠𝐸𝐵𝐶、∠𝐸𝐶𝑄，则∠𝐴=
．
【答案】44°/44 度
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和，三角形外角的性质，
先根据角平分线的定义得∠5 = ∠6,∠2 = ∠3 + ∠4，进而求出∠𝐸= 34°，再根据角平分线的定义得
∠5 + ∠6 =
1
2∠𝑀𝐵𝐶,∠1 =
1
2∠𝑁𝐶𝐵，即可求出∠5 + ∠6 + ∠1 = 146°，接下来得出∠𝑀𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵= 292°，然后
根据角平分线的定义得∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵，最后根据∠𝐴= 180°−(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)得出答案．
【详解】解：∵𝐵𝐹,𝐶𝐹分别平分∠𝐸𝐵𝐶,∠𝐸𝐶𝑄，
∴∠5 = ∠6,∠2 = ∠3 + ∠4．
∵∠3 + ∠4 = ∠5 + ∠𝐹,∠2 + ∠3 + ∠4 = ∠5 + ∠6 + ∠𝐸，
即∠2 = ∠5 + ∠𝐹,2∠2 = 2∠5 + ∠𝐸，
∴2∠𝐹= ∠𝐸= 34°．
∵𝐵𝐸,𝐶𝐸分别平分∠𝑀𝐵𝐶,∠𝐵𝐶𝑁，
∴∠5 + ∠6 =
1
2∠𝑀𝐵𝐶,∠1 =
1
2∠𝑁𝐶𝐵，
∴∠5 + ∠6 + ∠1 =
1
2(∠𝑀𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵)．
∵∠𝐸= 180°−(∠5 + ∠6 + ∠1) = 34°，
∴∠5 + ∠6 + ∠1 = 146°，
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∴∠𝑀𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵= 2(∠5 + ∠6 + ∠1) = 292°．
∵𝐵𝐷,𝐶𝐷分别平分∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐷𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐷𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵= 180°−∠𝑀𝐵𝐶+ 180°−∠𝑁𝐶𝐵= 360°−(∠𝑀𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵) = 68°，
∴∠𝐴= 180°−(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 180°−2(∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵) = 44°．
故答案为：44°．
10．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如
图，将△𝐴𝐵𝐶纸片沿𝐷𝐸折叠，使点A 落在点𝐴′处，𝐷𝐴′交𝐴𝐵于点F，若𝐴′𝐷∥𝐵𝐶，且∠𝐵−∠𝐴= 20°，则∠𝐴𝐸𝐷
的度数为
．
【答案】100°/100 度
【分析】本题考查了三角形外角性质，三角形内角和定理，折叠性质，平行线性质；由两直线平行同位角
相等可得∠1 = ∠𝐵，由折叠性质可得∠𝐴= ∠𝐴′，∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴′𝐸𝐷，再根据三角形外角性质可得
∠2 = ∠𝐵−∠𝐴= 20°，再根据折叠的性质即可得出最后结果．
【详解】解：如图：
∵𝐴′𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠1 = ∠𝐵，
∵将△𝐴𝐵𝐶纸片沿𝐷𝐸折叠，使点A 落在点𝐴′处，
∴∠𝐴= ∠𝐴′，∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴′𝐸𝐷，
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∴∠1 = ∠𝐵= ∠2 + ∠𝐴′ = ∠2 + ∠𝐴，
∴∠2 = ∠𝐵−∠𝐴= 20°，
∵2∠𝐴𝐸𝐷−∠2 = 180°，
∴∠𝐴𝐸𝐷= 100°，
故答案为：100°．
11．如图，已知∠𝐵𝐶𝐷= 130°，𝐸𝐹∥𝐷𝐶，∠𝐸𝐴𝐹= 100°，∠𝐸𝐹𝐴= 20°，求∠𝐵的度数．
【答案】∠𝐵= 30°
【分析】本题主要考查三角形外角性质、平行线性质、三角形内角和定理等知识点，弄清楚角之间的关系
是解题的关键，
由三角形内角和定理以及已知条件可得∠𝐸= 60°，再根据平行线的性质可得∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐸= 60°，易得
∠𝐴𝐶𝐵= 70°，最后根据三角形外角的性质即可解答．
【详解】证明：∵∠𝐸𝐹𝐴+ ∠𝐸𝐴𝐹+ ∠𝐸= 180°，∠𝐸𝐴𝐹= 100°，∠𝐸𝐹𝐴= 20°，
∴∠𝐸= 180°−∠𝐸𝐹𝐴−∠𝐸𝐴𝐹= 60°，
∵𝐸𝐹∥𝐷𝐶，
∴∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐸= 60°（两直线平行，内错角相等）
∵∠𝐵𝐶𝐷= 130°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐶𝐷−∠𝐸𝐶𝐷= 70°，
∵∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠𝐵= ∠𝐸𝐴𝐹−∠𝐴𝐶𝐵= 30°．
12．在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 80°，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，点𝑃在射线𝐵𝐸上，连接𝐶𝑃，点𝐷在𝐵𝐶的延长线上．
(1)如图，∠𝐴𝐶𝐷= 140°．
①若𝐶𝑃∥𝐴𝐵，分别求∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐵𝑃𝐶的度数；
②若直线𝐶𝑃与△𝐴𝐵𝐶的一条边垂直，求∠𝐴𝐶𝑃的度数；
(2)若𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐷，请直接写出∠𝐵𝑃𝐶的度数．
【答案】(1)①∠𝐴𝐵𝐶= 60°，∠𝐵𝑃𝐶= 30°；②∠𝐴𝐶𝑃的度数为90°，50°或10°
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(2)∠𝐵𝑃𝐶的度数为40°．
【分析】（1）①根据三角形外角的性质可以求出∠𝐴𝐵𝐶= 60°，根据角平分线的定义可以求出∠𝐴𝐵𝑃= 30°，
根据平行线的性质可得∠𝐵𝑃𝐶= 30°；②若直线𝐶𝑃与△𝐴𝐵𝐶的一条边垂直，则要分当𝐶𝑃⊥𝐴𝐶时、当𝐶𝑃⊥𝐵𝐶
时、当𝐶𝑃⊥𝐴𝐵时三种情况分类讨论；
（2）根据三角形外角的性质和角平分线的定义可知∠𝑃𝐶𝐷=
1
2∠𝐴𝐶𝐷=
1
2(∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶)，再利用三角形外角等
于与它不相邻的两内角之和可以求出结果．
【详解】（1）解：①∵∠𝐴= 80°，∠𝐴𝐶𝐷= 140°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐴= 60°；
∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴ ∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐶𝐵𝑃=
1
2∠𝐴𝐵𝐶= 30°，
∵𝐶𝑃∥𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝐴𝐵𝑃= 30°；
②∵∠𝐴𝐶𝐷= 140°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴𝐶𝐷= 40°，
当𝐶𝑃⊥𝐴𝐶时，如下图所示，∠𝐴𝐶𝑃= 90°；
当𝐶𝑃⊥𝐵𝐶时，如图，∠𝐵𝐶𝑃= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝑃= ∠𝐵𝐶𝑃−∠𝐴𝐶𝐵= 50°；
当𝐶𝑃⊥𝐴𝐵时，如图，
∴∠𝐴𝐶𝑃= 90°−∠𝐵𝐴𝐶= 10°．
综上，当直线𝐶𝑃与△𝐴𝐵𝐶的一条边垂直时，∠𝐴𝐶𝑃的度数为90°，50°或10°；
（2）解：∠𝐵𝑃𝐶= 40°，
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∵𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐷，
∴ ∠𝑃𝐶𝐷=
1
2∠𝐴𝐶𝐷=
1
2(∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶)，
∴ ∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝑃𝐶𝐷−∠𝐶𝐵𝑃=
1
2(∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶)−
1
2∠𝐴𝐵𝐶=
1
2∠𝐴= 40°，
即∠𝐵𝑃𝐶的度数为40°．
13．如图，点C、D 分别在∠𝐴𝑂𝐵的𝑂𝐴、𝑂𝐵边上运动（不与点O 重合）．射线𝐶𝐸与射线𝐷𝐹分别在∠𝐴𝐶𝐷和
∠𝐶𝐷𝑂内部，延长𝐸𝐶与𝐷𝐹交于点F．
(1)若∠𝐴𝑂𝐵= 90°，𝐶𝐸、𝐷𝐹分别是∠𝐴𝐶𝐷和∠𝐶𝐷𝑂的平分线，猜想：∠𝐹的度数是否随C，D 的运动发生变化？
请说明理由．
(2)若∠𝐴𝑂𝐵= 𝛼°(0 < 𝛼< 180)，∠𝐸𝐶𝐷=
1
𝑛∠𝐴𝐶𝐷，∠𝐶𝐷𝐹=
1
𝑛∠𝐶𝐷𝑂，则∠𝐹= °．（用含α、n 的代数式表示）
【答案】(1)∠𝐹的度数不变，∠𝐹= 45°
(2)
𝛼
𝑛
【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义．
（1）依据∠𝐴𝐶𝐷是△𝑂𝐶𝐷的外角，即可得到∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐶𝐷𝑂= ∠𝐴𝑂𝐵，再根据𝐶𝐸、𝐷𝐹分别是∠𝐴𝐶𝐷和∠𝐶𝐷𝑂的
平分线，可得∠𝐸𝐶𝐷=
1
2∠𝐴𝐶𝐷，∠𝐶𝐷𝐹=
1
2∠𝐶𝐷𝑂，再根据∠𝐸𝐶𝐷是△𝐶𝐷𝐹的外角，即可得到
∠𝐹= ∠𝐸𝐶𝐷−∠𝐶𝐷𝐹，进而得到∠𝐹的度数不变；
（2）利用（1）中的方法进行计算即可得到∠𝐹的度数．
【详解】（1）解：∠𝐹的度数不变．
∵∠𝐴𝐶𝐷是△𝑂𝐶𝐷的外角，
∴∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐶𝐷𝑂= ∠𝐴𝑂𝐵，
∵𝐶𝐸、𝐷𝐹分别是∠𝐴𝐶𝐷和∠𝐶𝐷𝑂的平分线，
∴∠𝐸𝐶𝐷=
1
2∠𝐴𝐶𝐷，∠𝐶𝐷𝐹=
1
2∠𝐶𝐷𝑂，
∵∠𝐸𝐶𝐷是△𝐶𝐷𝐹的外角，
∴∠𝐹= ∠𝐸𝐶𝐷−∠𝐶𝐷𝐹
= 1
2 ∠𝐴𝐶𝐷−1
2 ∠𝐶𝐷𝑂
= 1
2 (∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐶𝐷𝑂)
= 1
2 ∠𝐴𝑂𝐵
预习讲义 第05 讲 三角形的外角（解析版）
第 45 页 共 48 页
= 45°，
∴∠𝐹的度数不变．
（2）如图，∵∠𝐴𝐶𝐷是△𝑂𝐶𝐷的外角，
∴∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐶𝐷𝑂= ∠𝐴𝑂𝐵，
∵∠𝐸𝐶𝐷=
1
𝑛∠𝐴𝐶𝐷，∠𝐶𝐷𝐹=
1
𝑛∠𝐶𝐷𝑂，且∠𝐸𝐶𝐷是△𝐶𝐷𝐹的外角，
∴∠𝐹= ∠𝐸𝐶𝐷−∠𝐶𝐷𝐹
= 1
𝑛∠𝐴𝐶𝐷−1
𝑛∠𝐶𝐷𝑂
= 1
𝑛(∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐶𝐷𝑂)
= 1
𝑛∠𝐴𝑂𝐵
=
𝛼°
𝑛；
故答案为：
𝛼
𝑛．
14．（1）如图，求出∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹的度数．
（2）如图，求出∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹的度数．
【答案】（1）360°；（2）360°
【分析】此题考查了三角形外角的性质、多边形的外角和定理、四边形的内角和定理等知识．
（1）根据三角形外角的性质得到∠𝐷𝑂𝑄= ∠𝐷+ ∠𝐸，∠𝐴𝑄𝑂= ∠𝐴+ ∠𝐹,∠𝑂𝑃𝐵= ∠𝐵+ ∠𝐶，再用多边形外角
和定理即可求解；
（2）根据三角形外角的性质得到∠𝐴𝑂𝑄= ∠𝐶+ ∠𝐷,∠𝐵𝑄𝑂= ∠𝐸+ ∠𝐹，再用四边形内角和为360°即可求解．
【详解】解：（1）∵∠𝐷𝑂𝑄是△𝐷𝐸𝑂的外角，
∴∠𝐷𝑂𝑄= ∠𝐷+ ∠𝐸，
同理∠𝐴𝑄𝑂= ∠𝐴+ ∠𝐹,∠𝑂𝑃𝐵= ∠𝐵+ ∠𝐶，
∵三角形的外角和为360°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹= ∠𝐷𝑂𝑄+ ∠𝐴𝑄𝑂+ ∠𝑂𝑃𝐵= 360°，
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第 46 页 共 48 页
（2）∵∠𝐴𝑂𝑄是△𝐶𝐷𝑂的外角，∠𝐵𝑄𝑂是△𝑃𝐸𝐹的外角，
∴∠𝐴𝑂𝑄= ∠𝐶+ ∠𝐷,∠𝐵𝑄𝑂= ∠𝐸+ ∠𝐹，
∵四边形内角和为360°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹= ∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝑂𝑄+ ∠𝐵𝑄𝑂= 360°
15．△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 70°，点D，E 分别是△𝐴𝐵𝐶边𝐴𝐶，𝐵𝐶上的点，点P 是一动点，令∠𝑃𝐷𝐴= ∠1，
∠𝑃𝐸𝐵= ∠2，∠𝐷𝑃𝐸= ∠𝛼．
初探：
（1）如图1，若点P 在线段𝐴𝐵上，且∠𝛼= 60°，则∠1 + ∠2 = ________°；
（2）如图2，若点P 在线段𝐴𝐵上运动，则∠1，∠2，∠𝛼之间的关系为__________；
（3）如图3，若点P 在线段𝐴𝐵的延长线上运动，则∠1，∠2，∠𝛼之间的关系为__________．
再探：
（4）如图4，若点P 运动到△𝐴𝐵𝐶的内部，写出此时∠1，∠2，∠𝛼之间的关系，并说明理由．
（5）若点P 运动到△𝐴𝐵𝐶的外部，请在图5 中画出一种情形，写出此时∠1，∠2，∠𝛼之间的关系，并说明
理由．
【答案】（1）130
（2）∠1 + ∠2 = 70° + ∠𝛼
（3）∠1 = ∠2 + ∠𝛼+ 70°
（4）∠1 + ∠2 = 430°−∠𝛼，理由见解析
（5）∠1−∠2 = 70°−∠𝛼或∠2−∠1 = ∠𝛼−70°，图见解析，理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，对顶角相等等，熟知三角形外角的性质是解题的关键．
（1）如图1 所示，连接𝐶𝑃，证明∠1 + ∠2 = ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐷𝑃𝐸即可得到答案；
（2）只需要证明∠1 + ∠2 = ∠𝐶+ ∠𝐷𝑃𝐸即可得到答案；
（3）利用三角形外角的性质求解即可；
（4）利用三角形外角的性质求解即可；
（5）根据题意画出图形，利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：（1）如图1 所示，连接𝐶𝑃，
∵∠1 = ∠𝐷𝐶𝑃+ ∠𝐶𝑃𝐷，∠2 = ∠𝐶𝑃𝐸+ ∠𝐸𝐶𝑃，
∴∠1 + ∠2 = ∠𝐷𝐶𝑃+ ∠𝐶𝑃𝐷+ ∠𝐶𝑃𝐸+ ∠𝐸𝐶𝑃= ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐷𝑃𝐸，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 70°，∠𝐷𝑃𝐸= 60°，
∴∠1 + ∠2 = 130°，
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故答案为：130；
（2）解：∵∠1 + ∠𝐶𝐷𝑃= 180°，∠2 + ∠𝐶𝐸𝑃= 180°，
∴∠1 + ∠2 + ∠𝐶𝐷𝑃+ ∠𝐶𝐸𝑃= 360°，
∵∠𝐶= 70°，∠𝐷𝑃𝐸= ∠𝛼，∠𝐶𝐷𝑃+ ∠𝐶𝐸𝑃+ ∠𝐶+ ∠𝐷𝑃𝐸= 360°，
∴∠1 + ∠2 = ∠𝐶+ ∠𝐷𝑃𝐸= 70° + 𝛼
故答案为：∠1 + ∠2 = 70° + ∠𝛼；
（3）解：设𝐷𝑃与𝐵𝐶交于F，
∵∠𝐶+ ∠𝐶𝐹𝐷=∠1，∠𝐶𝐹𝐷=∠2 + ∠𝛼，
∴∠1=∠2 + ∠𝛼+ 70°，
故答案为：∠1=∠2 + ∠𝛼+ 70°；
（4）解：如图所示，连接𝐶𝑃，
∵∠1 = ∠𝐷𝐶𝑃+ ∠𝐶𝑃𝐷，∠2 = ∠𝐶𝑃𝐸+ ∠𝐸𝐶𝑃，
∴∠1 + ∠2 = ∠𝐷𝐶𝑃+ ∠𝐷𝑃𝐶+ ∠𝐸𝐶𝑃+ ∠𝐶𝑂𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵+ 360°−∠𝐷𝑃𝐸，
∴∠1 + ∠2=430°−∠𝛼；
（5）解：如图5-1 所示，
∵∠1 = ∠𝐶+ ∠𝐶𝑂𝐷，∠2 = ∠𝑃+ ∠𝑃𝑂𝐸，∠𝐶𝑂𝐷= ∠𝑃𝑂𝐸，
∴∠1−∠2 = ∠𝐶−∠𝑃=70°−∠𝛼
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如图5-2 所示，
∵∠1 = ∠𝑃+ ∠𝑃𝑂𝐷，∠2 = ∠𝐶+ ∠𝐶𝑂𝐸，∠𝑃𝑂𝐷= ∠𝐶𝑂𝐸，
∴∠2−∠1=∠𝑃−∠𝐶=∠𝛼−70°
