预习讲义 第14 讲 等腰三角形（学生版）
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析教材·学知识
【知识点1 等腰三角形的性质】
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
如图，在ABC 中，AB=AC，作底边BC 的中线AD，则BD=CD.
在△ABD 和△ACD 中，∵AB=AC，BD=CD，AD=AD。∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠B=∠C。这样就证明了“等边对等角”.
由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC
底边上的中线AD 平分顶角∠A 并垂直于底边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分
底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边，这也就证明了等腰三角形“三线合一”.
【知识点2 等腰三角形的判定】
1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC 中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
【知识点3 作一个等腰三角形】
尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图），求作这个等腰三角形.
作法：如图（2）
①作线段AB=a；②作线段AB 的垂直平分线MN，与AB 相交于点D；③在MN 上取一点C，使DC=h；
④连接AC，BC，则△ABC 就是所求作的等腰三角形.
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练题型·强知识
【题型1 利用等边对等角直接求角度】
【例1】如图，在等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线．若∠𝐵𝐴𝐶= 40°，则∠𝐵𝐸𝐶的度数为
（ ）
A．70°
B．75°
C．105°
D．125°
【变式1-1】如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶> ∠𝐵，∠𝐶= 70°，将△𝐴𝐵𝐶折叠，使得点B 与点A 重合，折痕𝐸𝐷交𝐴𝐵
于D，交𝐵𝐶于E，若𝐴𝐸= 𝐴𝐶，则∠𝐵的度数为
．
【变式1-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶上一点，且𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐷𝐶，𝐴𝐷= 𝐵𝐷，求∠𝐵的度数．
【变式1-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵> 𝐴𝐶，𝐴𝐷是角平分线，𝐴𝐸是高，𝐴𝐸= 𝐶𝐸，∠𝐷𝐴𝐸= 10°，求∠𝐶𝐴𝐸和
∠𝐵的度数．
【题型2 方程思想求角度】
【例2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 54°，P 为△𝐴𝐵𝐶内一点，过点P 的直线𝑀𝑁分别交𝐴𝐵，𝐵𝐶于点M，
N，若M 在𝑃𝐴的垂直平分线上，N 在𝑃𝐶的垂直平分线上，则∠𝐴𝑃𝐶的度数为（ ）
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A．104°
B．106°
C．117°
D．136°
【变式2-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝑀、𝐸𝑁分别垂直平分𝐴𝐵和𝐴𝐶，垂足为M，N．且分别交𝐵𝐶于点D，
E．若∠𝐷𝐴𝐸= 40°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数为（ ）
A．100°
B．105°
C．110°
D．120°
【变式2-2】如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 67°，𝑃𝐷垂直平分𝐴𝐵，𝑃𝐸垂直平分𝐴𝐶，则∠𝑃𝐵𝐶的度数为
．
【变式2-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷、𝐸分别为𝐴𝐵、𝐴𝐶边上的点，𝐷𝐴= 𝐷𝐸，𝐷𝐵= 𝐵𝐸= 𝐸𝐶．若
∠𝐴𝐵𝐶= 130°，则∠𝐶的度数为 ．
【题型3 分类讨论思想求角度】
【例3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角的度数为（ ）
A．40°
B．40°或130°
C．40°或140°
D．140°
【变式3-1】已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐶𝐴𝐷= 50°，则∠𝐵的度数为
．
【变式3-2】△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐵边的垂直平分线𝐷𝑀交直线𝐵𝐶于点M，交𝐴𝐵于点D，若𝐶𝐴= 𝐶𝑀，则
∠𝐴𝐵𝐶的度数为
．
【变式3-3】如图，∠𝑀𝑂𝑁= 32°，点A 在𝑂𝑁上，𝐵𝐶垂直平分𝑂𝐴分别交𝑂𝑀、𝑂𝑁于点B、C．点D 在射线𝑂𝑀
上，不与点O、B 重合，当△𝐴𝐵𝐷是等腰三角形时，求∠𝑂𝐴𝐷的度数．
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【题型4 “三线合一”的应用】
【例4】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷、𝐸在边𝐵𝐶上，𝐵𝐷= 𝐶𝐸，𝐴𝐷= 𝐴𝐸．求证：𝐴𝐵= 𝐴𝐶．
【变式4-1】如图，已知：∠1 = ∠2，𝐷𝐴= 𝐷𝐵，𝐴𝐶=
1
2𝐴𝐵．求∠𝐴𝐶𝐷度数．
【变式4-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，D、E、F 分别在三边上，且𝐵𝐸= 𝐶𝐷，𝐵𝐷= 𝐶𝐹，G 为𝐸𝐹的中
点．
(1)若∠𝐴= 40°，求∠𝐴𝐵𝐶的度数；
(2)求证：𝐷𝐺垂直平分𝐸𝐹．
【变式4-3】如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵= 90°，点𝐷是边𝐵𝐶的中点，以𝐴𝐷为底边向上作等腰△𝐴𝐷𝐻，使
得∠𝐴𝐷𝐻= ∠𝐶，𝐷𝐻交𝐴𝐵于点𝐾．
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(1)若∠𝐵= 20°，求∠𝐻的度数；
(2)若𝐻𝐷= 𝐵𝐶，求证：𝐴𝐷= 2𝐴𝐶．
【题型5 确定等腰三角形的个数】
【例5】在平面直角坐标系中，若点𝐴(2,0)，点𝐵(0,1)，在坐标轴上找一点C，使得△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，
这样的点C 可以找到的个数是（ ）
A．3
B．5
C．6
D．8
【变式5-1】如图的正方形网格中，像点𝐴、点𝐵这样网格线的交点称为格点．以𝐴𝐵为边的等腰三角形𝐴𝐵𝐶
的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（ ）
A．10个
B．8个
C．6个
D．4个
【变式5-2】如图，直线𝑎,𝑏相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为𝑂，点𝐴在直线𝑎上，直线𝑏上存在点𝐵，
使以点𝑂,𝐴,𝐵为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点𝐵有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式5-3】如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 6，𝐴𝐶= 10，𝐵𝐶= 14，若过△𝐴𝐵𝐶的顶点的一条直线将△𝐴𝐵𝐶
分割成两个三角形，使其中有一个边长为6 的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．2 条
B．3 条
C．4 条
D．5 条
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【题型6 尺规作等腰三角形】
【例6】如图，已知∠𝛼，线段𝑎．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
(1)作出一个等腰三角形𝐴𝐵𝐶，使其底角= ∠𝛼，底边长= 𝑎；
(2)作出一个等腰三角形𝐷𝐸𝐹，使其底角= ∠𝛼，底边上的高= 𝑎．
【变式6-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 40°，点𝐷在边𝐶上．请用尺规作图法，在△𝐴𝐵𝐶内求作一点𝐹，使
∠𝐶𝐹𝐷= 70°．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式6-2】如图，𝐴为直线𝑙外一点，点𝐵，𝐶在直线𝑙上，已知∠𝐴𝐵𝐶为锐角．请用尺规作图法，在直线𝑙上
求作一点𝐷，使得∠𝐴𝐷𝐵= 2∠𝐴𝐵𝐶，（保留作图痕迹，不写作法）
【变式6-3】线段𝑂𝐴和C、D 两点的位置如图所示，请用尺规作图法在线段𝑂𝐴上作一点B，连接
𝐵𝐶、𝐵𝐷、𝐶𝐷，使得△𝐵𝐶𝐷是以𝐶𝐷为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
【题型7 等腰三角形的判定与性质】
【例7】如图，已知点𝐴，𝐶分别是△𝐹𝐵𝐸的边𝐵𝐹和𝐵𝐸延长线上的点，作∠𝐴𝐹𝐸的平分线𝐹𝐷，若𝐹𝐷∥𝐵𝐶．
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(1)求证：△𝐹𝐵𝐸是等腰三角形；
(2)作∠𝐹𝐸𝐶的平分线交𝐹𝐷于点𝐻，若∠𝐵= 50°，求∠𝐹𝐻𝐸的度数．
【变式7-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点D 为𝐵𝐶的中点，连接𝐴𝐷，𝐴𝐵的垂直平分线EF 交𝐴𝐵于点E，
交𝐴𝐷于点O，交𝐴𝐶于点F，连接𝑂𝐵，𝑂𝐶．
(1)求证：△𝐴𝑂𝐶为等腰三角形；
(2)若∠𝐵𝐴𝐷= 20°，求∠𝐶𝑂𝐹的度数．
【变式7-2】已知如图△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐶= 6cm，𝐴𝐵= 8cm，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，过𝐷作直线平行于
𝐵𝐶，交𝐴𝐵，𝐴𝐶于𝐸，𝐹．
(1)求证：△𝐷𝐹𝐶是等腰三角形；
(2)求△𝐴𝐸𝐹的周长．
【变式7-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，点𝐹为𝐴𝐵的中点，边𝐴𝐶的垂直平分线交𝐴𝐶，𝐶𝐹，𝐶𝐵于点𝐷，
𝑂，𝐸，连接𝑂𝐴、𝑂𝐵．
(1)求证：△𝑂𝐵𝐶为等腰三角形；
(2)若∠𝐴𝐶𝐹= 25°，求∠𝐵𝑂𝐸的度数．
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【题型8 等腰三角形与全等三角形的综合】
【例8】如图，△𝐵𝐴𝐷和△𝐶𝐴𝐸是等腰直角三角形，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 90°，𝐴𝐹⊥𝐶𝐵，垂足为F．
(1)求证：∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐴𝐷𝐶；
(2)判断𝐴𝐹和𝐶𝐸的位置关系，并说明理由；
(3)求证：𝐶𝐷= 2𝐵𝐹+ 𝐷𝐸．
【变式8-1】如图1，△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐶𝐸均为等腰直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 90°，点A、D、E 在同一直
线上，连接𝐵𝐸．
(1)①求证：𝐴𝐷= 𝐵𝐸；
②求∠𝐴𝐸𝐵的度数；
(2)如图2，若𝐶𝑀为△𝐷𝐶𝐸中𝐷𝐸边上的高，𝐵𝐸= 4，𝐶𝑀= 3，请直接写出四边形𝐴𝐵𝐸𝐶的面积．
【变式8-2】【常见类型】
（1）如图1，已知：𝐵𝐶= 𝐴𝐷，且∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷．求证：𝐴𝐶= 𝐵𝐷．
【变式拓展】
（2）某同学改变（1）中的条件和图形，提出下面的问题，请你解答．
如图2，△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝑂为𝐵𝐶中点，𝐵𝐷⊥𝐴𝑂交𝐴𝑂延长线于点𝐷，
𝐶𝐸⊥𝐴𝑂于点𝐸．
求证：①𝐶𝐸= 𝐵𝐷；②𝐴𝐸= 2𝐵𝐷．
【变式8-3】在等腰直角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，点D 在边𝐵𝐶上，过点B 作射线𝐴𝐷的垂线，垂足为点E．
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(1)如图1，过点C 作射线𝐴𝐷的垂线，垂足为点F，求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐹；
(2)在射线𝐸𝐵上取点G，使𝐸𝐺= 𝐴𝐸，连接𝐴𝐺，𝐶𝐺，𝐶𝐺与𝐴𝐷交于点H．如图2，若∠𝐴𝐺𝐶= 90°，𝐴𝐸= 4，
求线段𝐵𝐺的长．
串知识·识框架
过关测·稳提升
1．等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（ ）
A．70°
B．70°或40°
C．110°
D．110°或40°
2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐷𝐶，𝐷在𝐵𝐶上，且𝐴𝐷= 𝐷𝐵，则∠𝐵𝐴𝐶的度数是（ ）
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A．100°
B．105°
C．108°
D．120°
3．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸折叠，使点B 落在边𝐴𝐶上的点F 处，若∠𝐶𝐹𝐷= 57°，且
△𝐴𝐸𝐹为等腰三角形，则∠𝐴是度数为（ ）
A．49°
B．52°
C．52°或41°
D．49°或38°
4．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B 是两个格点，如果点C 也是图中的格
点，且使△𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形，那么点C 的个数是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
5．如图，已知𝐴𝐵= 𝐴1𝐵,𝐴1𝐵1 = 𝐴1𝐴2,𝐴2𝐵2 = 𝐴2𝐴3,𝐴3𝐵3 = 𝐴3𝐴4…，若∠𝐴= 68°，则∠𝐴5𝐴6𝐵5的度数为
（ ）
A．
68
23
B．
68
24
C．
68
25
D．
68
26
6．如图，∠𝐵= ∠𝐶= 36°，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷= 72°，则图中的等腰三角形有
个．
7．如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑂、CO分别平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵，过点𝑂平行于𝐵𝐶的直线分别交𝐴𝐵、𝐴𝐶于点𝐷、𝐸，
已知𝐴𝐵= 9cm，𝐴𝐶= 8cm，△𝐴𝐷𝐸的周长为
．
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8．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐵的平分线，且𝐶𝐸= 𝐶𝐵，𝐷是𝐵𝐸的中点，若∠𝐵𝐶𝐷= 20°，则∠𝐴=
．
9．如图，∠𝐴= 15°，𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐶𝐷= 𝐷𝐸= 𝐸𝐹，则∠𝐹𝐸𝐺=
．
10．已知等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐵边的垂直平分线交直线𝐴𝐶于点𝐷，若∠𝐵𝐷𝐶= 48°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数
为
．
11．（1）如图①，在△ABC 中，∠C＝90°，请用尺规作图作一条直线，把△ABC 分割成两个等腰三角形，
并说明理由（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）已知内角度数的两个三角形如图②、图③所示，能否分别画一条直线把他们分割成两个等腰三角形？
若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．
12．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷、𝐸、𝐹分别在边𝐴𝐵、𝐵𝐶、𝐴𝐶上，且𝐵𝐸= 𝐶𝐹，∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐶𝐸𝐹．
(1)求证：△𝐷𝐸𝐹是等腰三角形；
(2)当∠𝐴= 40°时，求∠𝐷𝐸𝐹的度数．
13．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高线，𝐶𝐸是中线，且𝐷𝐺⊥𝐶𝐸于𝐺，2𝐶𝐷= 𝐴𝐵．
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(1)求证：𝐺是𝐶𝐸的中点；
(2)求证∠𝐵= 2∠𝐵𝐶𝐸．
14．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐴𝐶的垂直平分线分别交𝐴𝐶、𝐴𝐷、𝐴𝐵于点𝐸、𝑂、
𝐹，连接𝑂𝐵，𝑂𝐶．
(1)试说明：𝐵𝑂= 𝐴𝑂；
(2)若∠𝐶𝐴𝐷= 25°，求∠𝐵𝑂𝐹的度数．
15．在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点D 是直线𝐵𝐶上一点（不与B、C 重合），以𝐴𝐷为一边在𝐴𝐷的右侧作
△𝐴𝐷𝐸，使𝐴𝐷= 𝐴𝐸,∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶，连接𝐶𝐸．
(1)如图1，当点D 在线段𝐵𝐶上，且∠𝐵𝐴𝐶= 90°．
①证明：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸；
②证明：𝐴𝐶平分∠𝐵𝐶𝐸．
(2)如图2，当点D 在直线𝐵𝐶上，设∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼,∠𝐵𝐶𝐸= 𝛽．则𝛼，𝛽之间有怎样的数量关系？请直接写出你的
结论．
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答案解析
练题型·强知识
【题型1 利用等边对等角直接求角度】
【例1】如图，在等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线．若∠𝐵𝐴𝐶= 40°，则∠𝐵𝐸𝐶的度数为
（ ）
A．70°
B．75°
C．105°
D．125°
【答案】B
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点．熟练掌握等腰
三角形的性质和三角形的外角性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质，得到∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵=
180°−40°
2
= 70°，再根据𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线得到∠𝐴𝐶𝐸=
1
2
∠𝐴𝐶𝐵= 35°，然后利用三角形外角性质计算即可．
【详解】解：∵等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 40°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵=
180°−40°
2
= 70°，
∵𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐴𝐶𝐸=
1
2∠𝐴𝐶𝐵= 35°，
∴∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐴= 35° + 45° = 75°．
故选：B．
【变式1-1】如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶> ∠𝐵，∠𝐶= 70°，将△𝐴𝐵𝐶折叠，使得点B 与点A 重合，折痕𝐸𝐷交𝐴𝐵
于D，交𝐵𝐶于E，若𝐴𝐸= 𝐴𝐶，则∠𝐵的度数为
．
【答案】35°/35度
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，利用三角形的内
角和定理、等腰三角形的性质先求出∠AEC 的度数，再利用折叠的性质和三角形的内角和定理求出∠𝐵．
【详解】解：由折叠的性质知：∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐴𝐸𝐷=
1
2∠𝐵𝐸𝐴，∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐸= 90°，
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∵𝐴𝐸= 𝐴𝐶，∠𝐶= 70°，
∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐶= 70°，
∴∠𝐵𝐸𝐷=
1
2(180°−∠𝐴𝐸𝐶) = 55°，
∴∠𝐵= 90°−55° = 35°，
故答案为：35°．
【变式1-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶上一点，且𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐷𝐶，𝐴𝐷= 𝐵𝐷，求∠𝐵的度数．
【答案】36°
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握等边对等角的性质
是解题关键．由等边对等角的性质可得∠𝐵= ∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐶= ∠𝐵，∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶= 2∠𝐵，再利用三角形内角
和定理求解即可．
【详解】解：∵𝐴𝐷= 𝐵𝐷，
∴∠𝐵= ∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐵，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐷𝐶，
∴∠𝐶= ∠𝐵，∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶= 2∠𝐵，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷= 3∠𝐵，
∵∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180°，
∴5∠𝐵= 180°，
∴∠𝐵= 36°
【变式1-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵> 𝐴𝐶，𝐴𝐷是角平分线，𝐴𝐸是高，𝐴𝐸= 𝐶𝐸，∠𝐷𝐴𝐸= 10°，求∠𝐶𝐴𝐸和
∠𝐵的度数．
【答案】∠𝐶𝐴𝐸= 45°，∠𝐵= 25°
【分析】本题考查了三角形的高与角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三
角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得∠𝐶= ∠𝐶𝐴𝐸= 45°，从而可得∠𝐶𝐴𝐷= 55°，再根据角
平分线的定义可得∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐶𝐴𝐷= 110°，然后根据三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐸是高，𝐴𝐸= 𝐶𝐸，
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∴∠𝐶= ∠𝐶𝐴𝐸= 45°，
∵∠𝐷𝐴𝐸= 10°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐸= 55°，
∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是角平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐶𝐴𝐷= 110°，
∴∠𝐵= 180°−∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶= 25°．
【题型2 方程思想求角度】
【例2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 54°，P 为△𝐴𝐵𝐶内一点，过点P 的直线𝑀𝑁分别交𝐴𝐵，𝐵𝐶于点M，
N，若M 在𝑃𝐴的垂直平分线上，N 在𝑃𝐶的垂直平分线上，则∠𝐴𝑃𝐶的度数为（ ）
A．104°
B．106°
C．117°
D．136°
【答案】C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质，熟练掌
握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解答的关键．先根据三角形的内角和定理求得
∠𝐵𝑀𝑁+ ∠𝐵𝑁𝑀= 126°，再根据线段垂直平分线的性质和等边对等角求得∠𝑀𝐴𝑃= ∠𝑀𝑃𝐴，∠𝑁𝑃𝐶= ∠𝑁𝐶𝑃，
再利用三角形的外角性质和平角定义求解即可．
【详解】解：∵在△𝐵𝑀𝑁中，∠𝐴𝐵𝐶= 54°，
∴∠𝐵𝑀𝑁+ ∠𝐵𝑁𝑀= 180°−∠𝐵= 126°，
∵M 在𝑃𝐴的垂直平分线上，N 在𝑃𝐶的垂直平分线上，
∴𝑀𝐴= 𝑀𝑃，𝑁𝑃= 𝑁𝐶，
∴∠𝑀𝐴𝑃= ∠𝑀𝑃𝐴，∠𝑁𝑃𝐶= ∠𝑁𝐶𝑃，
∴∠𝐵𝑀𝑁+ ∠𝐵𝑁𝑀= 2∠𝑀𝑃𝐴+ 2∠𝑁𝑃𝐶= 126°，
∴∠𝑀𝑃𝐴+ ∠𝑁𝑃𝐶= 63°，
∴∠𝐴𝑃𝐶= 180°−(∠𝑀𝑃𝐴+ ∠𝑁𝑃𝐶) = 117°，
故选C．
【变式2-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝑀、𝐸𝑁分别垂直平分𝐴𝐵和𝐴𝐶，垂足为M，N．且分别交𝐵𝐶于点D，
E．若∠𝐷𝐴𝐸= 40°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数为（ ）
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A．100°
B．105°
C．110°
D．120°
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和等知识点，灵活运用等边
对等角成为解题的关键．
由线段垂直平分线的性质得𝐷𝐵= 𝐷𝐴，𝐸𝐴= 𝐸𝐶，则∠𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵，∠𝐶= ∠𝐸𝐴𝐶，再由三角形内角和定理得
∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸= 80°，进而完成解答．
【详解】解：∵𝐷𝑀、𝐸𝑁分别垂直平分𝐴𝐵和𝐴𝐶，
∴𝐷𝐵= 𝐷𝐴，𝐸𝐴= 𝐸𝐶，
∴∠𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵，∠𝐶= ∠𝐸𝐴𝐶，
∵∠𝐷𝐴𝐸= 40°，∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180°，
∵∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶+ ∠𝐸𝐴𝐶= 180°−40° = 140°，
∴2∠𝐵𝐴𝐷+ 2∠𝐸𝐴𝐶= 140°，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸= 70°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐸= 70° + 40° = 110°．
故选：C．
【变式2-2】如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 67°，𝑃𝐷垂直平分𝐴𝐵，𝑃𝐸垂直平分𝐴𝐶，则∠𝑃𝐵𝐶的度数为
．
【答案】23°/ 23度
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直
平分线的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得到
∠𝑃𝐵𝐴= ∠𝑃𝐴𝐵，∠𝑃𝐴𝐶= ∠𝑃𝐶𝐴，∠𝑃𝐵𝐶= ∠𝑃𝐶𝐵，再根据三角形的内角和定理进行计算求解即可．
【详解】解：∵ 𝑃𝐷垂直平分𝐴𝐵，𝑃𝐸垂直平分𝐴𝐶，
∴ 𝐴𝑃= 𝐵𝑃，𝐴𝑃= 𝑃𝐶，
∴𝐴𝑃= 𝐵𝑃= 𝑃𝐶，
∴ ∠𝑃𝐵𝐴= ∠𝑃𝐴𝐵，∠𝑃𝐴𝐶= ∠𝑃𝐶𝐴，∠𝑃𝐵𝐶= ∠𝑃𝐶𝐵，
∵ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶+ 𝐴𝐶𝐵= 180°
∴ 2∠𝑃𝐴𝐵+ 2∠𝑃𝐴𝐶+ 2∠𝑃𝐵𝐶= 180°，即2(∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝑃𝐴𝐶) +2∠𝑃𝐵𝐶= 180°，
∵∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝑃𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶= 67°，
∴2∠𝑃𝐵𝐶= 180°−2 × 67° = 46°，
∴∠𝑃𝐵𝐶= 1
2 × 46° = 23°
故答案为：23°．
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第 17 页 共 55 页
【变式2-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷、𝐸分别为𝐴𝐵、𝐴𝐶边上的点，𝐷𝐴= 𝐷𝐸，𝐷𝐵= 𝐵𝐸= 𝐸𝐶．若
∠𝐴𝐵𝐶= 130°，则∠𝐶的度数为 ．
【答案】30°
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，设∠𝐴= 𝑥，由𝐷𝐴= 𝐷𝐸可得
∠𝐷𝐸𝐴= ∠𝐴= 𝑥，即得∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴+ ∠𝐷𝐸𝐴= 2𝑥，得到∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐵𝐷𝐸= 2𝑥，进而可得∠𝐷𝐵𝐸= 180°−4𝑥，
∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐷𝐸𝐴+ ∠𝐵𝐸𝐵= 3𝑥，再得到∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐶=
3
2𝑥，最后根据∠𝐴𝐵𝐶= 130°列出方程即可求解，掌握以
上知识点是解题的关键．
【详解】解：设∠𝐴= 𝑥，
∵𝐷𝐴= 𝐷𝐸，
∴∠𝐷𝐸𝐴= ∠𝐴= 𝑥，
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴+ ∠𝐷𝐸𝐴= 2𝑥，
∵𝐷𝐵= 𝐵𝐸，
∴∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐵𝐷𝐸= 2𝑥，
∴∠𝐷𝐵𝐸= 180°−2𝑥−2𝑥= 180°−4𝑥，∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐷𝐸𝐴+ ∠𝐵𝐸𝐵= 𝑥+ 2𝑥= 3𝑥，
∵𝐵𝐸= 𝐸𝐶，
∴∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐶，
∵∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐶= ∠𝐴𝐸𝐵，
∴∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐶=
3
2𝑥，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐸𝐵𝐶= 180°−4𝑥+
3
2𝑥= 180°−
5
2𝑥,
∵∠𝐴𝐵𝐶= 130°，
∴180°−
5
2𝑥= 130°，
∴𝑥= 20°，
∴∠𝐶=
3
2 × 20° = 30°，
故答案为：30°．
【题型3 分类讨论思想求角度】
【例3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角的度数为（ ）
A．40°
B．40°或130°
C．40°或140°
D．140°
【答案】C
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【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以
做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解决本题的关键．分别从此等腰三角形为锐角三角形与钝角三角
形去分析求解即可求得答案．
【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1，
∵∠𝐴𝐵𝐷= 50°，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴= 90°−50° = 40°，
∴三角形的顶角为40°；
②当为钝角三角形时，如图2，
∵∠𝐴𝐵𝐷= 50°，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90°−50° = 40°，
∵∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 140°
∴三角形的顶角为140°，
故选C．
【变式3-1】已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐶𝐴𝐷= 50°，则∠𝐵的度数为
．
【答案】20°或70°
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的
关键．当高𝐴𝐷在等腰三角形外部时；当高𝐴𝐷在等腰三角形内部时；然后分别进行计算即可解答．
【详解】解：当高𝐴𝐷在等腰三角形外部时，如图：
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∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∵∠𝐶𝐴𝐷= 50°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 90°−∠𝐷𝐴𝐶= 40°，
∵∠𝐴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶是的外角，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐵= 40°，
∵𝐶𝐴= 𝐶𝐵，
∴∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐵= 20°；
当高𝐴𝐷在等腰三角形内部时，如图：
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∵∠𝐶𝐴𝐷= 50°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 90°−∠𝐶𝐴𝐷= 40°，
∵𝐶𝐴= 𝐶𝐵，
∴∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐵=
180°−∠𝐶
2
= 70°，
综上所述：∠𝐵的度数为20°或70°，
故答案为：20°或70°
【变式3-2】△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐵边的垂直平分线𝐷𝑀交直线𝐵𝐶于点M，交𝐴𝐵于点D，若𝐶𝐴= 𝐶𝑀，则
∠𝐴𝐵𝐶的度数为
．
【答案】36°或72°
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识
点，根据题意画出示意图是解题的关键．根据题意，分2 种情况①点M 在边𝐵𝐶上，②点M 在𝐵𝐶延长线上，
连接𝐴𝑀，利用线段垂直平分线的性质得到𝐴𝑀= 𝐵𝑀，再由等腰三角形的性质分别得到∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐴𝑀，∠𝐶𝐴𝑀= ∠𝐴𝑀𝐶，设∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐴𝑀= 𝛼，结合图形利用三角形内角和定理列出方
程，解出𝛼的值即可得出答案．
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【详解】解：①若点M 在边𝐵𝐶上，如图，连接𝐴𝑀，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
∵𝐷𝑀是𝐴𝐵边的垂直平分线，
∴𝐴𝑀= 𝐵𝑀，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐴𝑀，
∴∠𝐴𝑀𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝑀= 2∠𝐴𝐵𝐶，
∵𝐶𝐴= 𝐶𝑀，
∴∠𝐶𝐴𝑀= ∠𝐴𝑀𝐶，
设∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐴𝑀= 𝛼，则∠𝐶𝐴𝑀= ∠𝐴𝑀𝐶= 2𝛼，
在△𝐴𝐶𝑀中，𝛼+ 2𝛼+ 2𝛼= 180°，
解得：𝛼= 36°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 36°；
②若点M 在𝐵𝐶延长线上，如图，连接𝐴𝑀，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
∵𝐷𝑀是𝐴𝐵边的垂直平分线，
∴𝐴𝑀= 𝐵𝑀，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐴𝑀，
∵𝐶𝐴= 𝐶𝑀，
∴∠𝐶𝐴𝑀= ∠𝐴𝑀𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐴𝑀+ ∠𝐴𝑀𝐶= 2∠𝐴𝑀𝐶，
设∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐴𝑀= 𝛼，则∠𝐴𝑀𝐶=
𝛼
2，
在△𝐴𝐵𝑀中，𝛼+ 𝛼+
𝛼
2 = 180°，
解得：𝛼= 72°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 72°；
∴综上所述，∠𝐴𝐵𝐶的度数为36°或72°．
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故答案为：36°或72°．
【变式3-3】如图，∠𝑀𝑂𝑁= 32°，点A 在𝑂𝑁上，𝐵𝐶垂直平分𝑂𝐴分别交𝑂𝑀、𝑂𝑁于点B、C．点D 在射线𝑂𝑀
上，不与点O、B 重合，当△𝐴𝐵𝐷是等腰三角形时，求∠𝑂𝐴𝐷的度数．
【答案】96°或90°或84°
【分析】由线段垂直平分线的性质推出𝑂𝐵= 𝐴𝐵,由等腰三角形的性质得∠𝐵𝐴𝑂= ∠𝑀𝑂𝑁= 32°,由三角形的外
角性质得到∠𝐴𝐵𝐷= 64°，当𝐵𝐷= 𝐷𝐴时，得到∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐷= 64°,求出∠𝑂𝐴𝐷= 96°，当𝐵𝐷= 𝐴𝐵时，得到
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐵= 58°,求出∠𝑂𝐴𝐷= 90°，当𝐴𝐵= 𝐴𝐷时，得到∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐵𝐷= 64°,由三角形内角和定理求出
∠𝑂𝐴𝐷= 84°,即可得解．
【详解】解：∵𝐵𝐶垂直平分𝑂𝐴,
∴𝑂𝐵= 𝐴𝐵,
∴∠𝐵𝐴𝑂= ∠𝑀𝑂𝑁= 32°,
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝑀𝑂𝑁+ ∠𝐵𝐴𝑂= 64°,
由题意知𝐷在𝑂𝐵的延长线上，
当𝐵𝐷= 𝐷𝐴时，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐷= 64°,
∴∠𝑂𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝑂+ ∠𝐵𝐴𝐷= 32° + 64° = 96°，
当𝐵𝐷= 𝐴𝐵时，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐵=
1
2(180°−64°) = 58°,
∴∠𝑂𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝑂+ ∠𝐵𝐴𝐷= 32° + 58° = 90°
当𝐴𝐵= 𝐴𝐷时，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐵𝐷= 64°,
∴∠𝑂𝐴𝐷= 180°−∠𝑀𝑂𝑁−∠𝐴𝐷𝐵= 180°−32°−64° = 84°,
∴∠𝑂𝐴𝐷的度数是96°或90°或84°.
【题型4 “三线合一”的应用】
【例4】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷、𝐸在边𝐵𝐶上，𝐵𝐷= 𝐶𝐸，𝐴𝐷= 𝐴𝐸．求证：𝐴𝐵= 𝐴𝐶．
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【答案】见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，作𝐴𝐹⊥𝐵𝐶于点𝐹，由等腰三角形的性质可得𝐷𝐹= 𝐸𝐹，再求
出𝐵𝐹= 𝐶𝐹，即可得证，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】证明：作𝐴𝐹⊥𝐵𝐶于点𝐹，
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐸，
∴𝐷𝐹= 𝐸𝐹，
∵𝐵𝐷= 𝐶𝐸，
∴𝐵𝐷+ 𝐷𝐹= 𝐶𝐸+ 𝐸𝐹，即𝐵𝐹= 𝐶𝐹，
∵𝐴𝐹⊥𝐵𝐶，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶．
【变式4-1】如图，已知：∠1 = ∠2，𝐷𝐴= 𝐷𝐵，𝐴𝐶=
1
2𝐴𝐵．求∠𝐴𝐶𝐷度数．
【答案】∠𝐴𝐶𝐷= 90°
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．延长𝐴𝐶到点E，使得𝐴𝐸= 𝐴𝐵，
证明△𝐴𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐸，得到𝐵𝐷= 𝐸𝐷，推出𝐴𝐶= 𝐶𝐸，再根据等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：延长𝐴𝐶到点E，使得𝐴𝐸= 𝐴𝐵，
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在△𝐴𝐷𝐵和△𝐴𝐷𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐸
∠1 = ∠2
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
，
∴△𝐴𝐷𝐵≌△𝐴𝐷𝐸(SAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐸𝐷，
∵𝐴𝐶=
1
2𝐴𝐵，
∴𝐴𝐶=
1
2𝐴𝐸，
∴𝐴𝐶= 𝐶𝐸，
即点C 为𝐴𝐸的中点，
∵𝐷𝐴= 𝐷𝐵，
∴𝐷𝐴= 𝐷𝐸，
∴△𝐴𝐷𝐸是等腰三角形，
∵𝐷𝐶是△𝐴𝐷𝐸底边上的中线，
∴𝐷𝐶⊥𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 90°．
【变式4-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，D、E、F 分别在三边上，且𝐵𝐸= 𝐶𝐷，𝐵𝐷= 𝐶𝐹，G 为𝐸𝐹的中
点．
(1)若∠𝐴= 40°，求∠𝐴𝐵𝐶的度数；
(2)求证：𝐷𝐺垂直平分𝐸𝐹．
【答案】(1)70°
(2)见解析
【分析】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及其性质
等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
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（1）根据等边对等角证明∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，运用三角形的内角和定理即可解决问题．
（2）连接𝐷𝐸、𝐷𝐹；证明△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐹𝐷(SAS)，得到𝐷𝐸= 𝐷𝐹，运用等腰三角形的性质证明𝐷𝐺⊥𝐸𝐹，即
可解决问题．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
∵∠𝐴= 40°，
∴∠𝐴𝐵𝐶=
180°−40°
2
= 70°．
（2）证明：如图，连接𝐷𝐸、𝐷𝐹；
在△𝐵𝐷𝐸与△𝐶𝐹𝐷中，
𝐵𝐷= 𝐶𝐹
∠𝐵= ∠𝐶
𝐵𝐸= 𝐶𝐷
，
∴△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐹𝐷(SAS)，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
∵G 为𝐸𝐹的中点，
∴𝐷𝐺⊥𝐸𝐹，
∴𝐷𝐺垂直平分𝐸𝐹．
【变式4-3】如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵= 90°，点𝐷是边𝐵𝐶的中点，以𝐴𝐷为底边向上作等腰△𝐴𝐷𝐻，使
得∠𝐴𝐷𝐻= ∠𝐶，𝐷𝐻交𝐴𝐵于点𝐾．
(1)若∠𝐵= 20°，求∠𝐻的度数；
(2)若𝐻𝐷= 𝐵𝐶，求证：𝐴𝐷= 2𝐴𝐶．
【答案】(1)40°
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握等腰三
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角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由等腰△𝐴𝐷𝐻，可得∠𝐻𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐻，由题意知，∠𝐶= 180°−∠𝐶𝐴𝐵−∠𝐵= 70°，则
∠𝐻𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐻= ∠𝐶= 70°，根据∠𝐻= 180°−(∠𝐻𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐻)，计算求解即可；
（2）如图，作𝐷𝐸⊥𝐴𝐷于𝐸，则𝐸𝐷= 𝐴𝐸=
1
2𝐴𝐷，证明△𝐻𝐸𝐷≌△𝐵𝐴𝐶(AAS)，则𝐸𝐷= 𝐴𝐶，进而可得
𝐴𝐷= 2𝐴𝐶．
【详解】（1）解：∵以𝐴𝐷为底边向上作等腰△𝐴𝐷𝐻，
∴∠𝐻𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐻，
由题意知，∠𝐶= 180°−∠𝐶𝐴𝐵−∠𝐵= 70°，
∴∠𝐻𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐻= ∠𝐶= 70°，
∴∠𝐻= 180°−(∠𝐻𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐻) = 40°，
∴∠𝐻的度数为40°；
（2）证明：如图，作𝐷𝐸⊥𝐴𝐷于𝐸，
∴𝐸𝐷= 𝐴𝐸=
1
2𝐴𝐷，
∵∠𝐻𝐸𝐷= 90° = ∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐸𝐷𝐻= ∠𝐶，𝐻𝐷= 𝐵𝐶，
∴△𝐻𝐸𝐷≌△𝐵𝐴𝐶(AAS)，
∴𝐸𝐷= 𝐴𝐶，
∴𝐴𝐷= 2𝐴𝐶．
【题型5 确定等腰三角形的个数】
【例5】在平面直角坐标系中，若点𝐴(2,0)，点𝐵(0,1)，在坐标轴上找一点C，使得△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，
这样的点C 可以找到的个数是（ ）
A．3
B．5
C．6
D．8
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直
观．根据等腰三角形两腰相等，分别以A、B 为圆心以𝐴𝐵的长度为半径画圆，与坐标轴的交点即为所求的
点C，𝐴𝐵的垂直平分线与坐标轴的交点也可以满足△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形．
【详解】解：如图，使得△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，这样的点C 可以找到8 个．
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故选：D．
【变式5-1】如图的正方形网格中，像点𝐴、点𝐵这样网格线的交点称为格点．以𝐴𝐵为边的等腰三角形𝐴𝐵𝐶
的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（ ）
A．10个
B．8个
C．6个
D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分𝐴𝐵为底和腰两种情况解答即可求解，掌握等腰三角形的定义是
解题的关键．
【详解】解：如图所示，分以下情况讨论：
①当𝐴𝐵为等腰△𝐴𝐵𝐶底边时，符合条件的𝐶点有6个：𝐶1、𝐶2、𝐶3、𝐶4、𝐶5、𝐶6；
②当𝐴𝐵为等腰△𝐴𝐵𝐶其中的一条腰时，符合条件的𝐶点有4个：𝐶7、𝐶8、𝐶9、𝐶10；
∴点𝐶的个数是6 + 4 = 10个，
故选：A．
【变式5-2】如图，直线𝑎,𝑏相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为𝑂，点𝐴在直线𝑎上，直线𝑏上存在点𝐵，
使以点𝑂,𝐴,𝐵为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点𝐵有（ ）
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定，根据△𝑂𝐴𝐵为等腰三角形，分三种情况
讨论：①当𝑂𝐵= 𝐴𝐵时，②当𝑂𝐴= 𝐴𝐵时，③当𝑂𝐴= 𝑂𝐵时，分别求得符合的点B，即可得解．
【详解】解：要使△𝑂𝐴𝐵为等腰三角形分三种情况讨论：
①当𝑂𝐵= 𝐴𝐵时，作线段𝑂𝐴的垂直平分线，与直线b 的交点为B，此时有1 个；
②当𝑂𝐴= 𝐴𝐵时，以点A 为圆心，𝑂𝐴为半径作圆，与直线b 的交点，此时有1 个；
③当𝑂𝐴= 𝑂𝐵时，以点O 为圆心，𝑂𝐴为半径作圆，与直线b 的交点，此时有2 个，
1 + 1 + 2 = 4，
故选：D．
【变式5-3】如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 6，𝐴𝐶= 10，𝐵𝐶= 14，若过△𝐴𝐵𝐶的顶点的一条直线将△𝐴𝐵𝐶
分割成两个三角形，使其中有一个边长为6 的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
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A．2 条
B．3 条
C．4 条
D．5 条
【答案】C
【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用𝐴𝐵为底以及𝐴𝐵为腰得出符合
题意的图形即可．
【详解】解：如图所示，当𝐵𝐴= 𝐵𝐸= 𝐴𝐹= 𝐴𝐺，𝐵𝐷= 𝐴𝐷时，都能得到符合题意的等腰三角形．
综上，这样的直线最多可画4 条．
故选：C．
【题型6 尺规作等腰三角形】
【例6】如图，已知∠𝛼，线段𝑎．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
(1)作出一个等腰三角形𝐴𝐵𝐶，使其底角= ∠𝛼，底边长= 𝑎；
(2)作出一个等腰三角形𝐷𝐸𝐹，使其底角= ∠𝛼，底边上的高= 𝑎．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的尺规作图，需要利用直尺和圆规，深刻理解等腰三角形的性质，即两
底角相等；等腰三角形“三线合一”的性质，即在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的
高线三条特殊线段重合为一条线段，根据给定的底角和底边或高进行作图．解题的关键是利用已知条件，
通过180°−2𝛼得到顶角，或利用两直线平行，同位角相等，来转化相等的角．
（1）先作射线𝐵𝑁，再以点B 为圆心，线段a 的长为半径画弧，交射线𝐵𝑁于点C，分别作
∠𝑀𝐵𝐶= ∠𝐿𝐶𝐵= ∠𝛼，𝐶𝐿交𝐵𝑀于点𝐴，则△𝐴𝐵𝐶即为所求；
（2）先作出2𝛼的补角，即为等腰三角形的顶角，再作顶角∠𝑃𝐷𝑄的角平分线𝐷𝐺，根据等腰三角形“三线合
一”的性质，在角平分线上截取𝐷𝐻= 𝑎，过点𝐻作𝐸𝐹⊥𝐷𝐻，分别交𝐷𝑃、𝐷𝑄于点𝐸、点𝐹，即得所求．
【详解】（1）解：作法：先作射线𝐵𝑁，再以点B 为圆心，线段a 的长为半径画弧，交射线𝐵𝑁于点C，分
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别作∠𝑀𝐵𝐶= ∠𝐿𝐶𝐵= ∠𝛼，𝐶𝐿交𝐵𝑀于点𝐴，则△𝐴𝐵𝐶即为所求；
（2）解：①原图中，在角𝛼的一边上作一个与𝛼相等的角，
②原图中，延长已知角𝛼的另一条边，得到𝛽，即𝛽= 180∘−2𝛼，
③作∠𝑃𝐷𝑄= 𝛽，
④作∠𝑃𝐷𝑄的角平分线𝐷𝐺，
⑤在𝐷𝐺上取点𝐻，使𝐷𝐻= 𝑎，
⑥过点𝐻作𝐸𝐹⊥𝐷𝐻，分别交𝐷𝑃、𝐷𝑄于点𝐸、点𝐹，
【变式6-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 40°，点𝐷在边𝐶上．请用尺规作图法，在△𝐴𝐵𝐶内求作一点𝐹，使
∠𝐶𝐹𝐷= 70°．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作一个角等于已知角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据作图可得
∠𝐹𝐷𝐶= ∠𝐴= 40°,𝐷𝐹= 𝐷𝐶，进而根据等边对等角以及三角形的内角和定义，即可求解．
【详解】解：如图，
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根据作图可得∠𝐹𝐷𝐶= ∠𝐴= 40°,𝐷𝐹= 𝐷𝐶
∴∠𝐶𝐹𝐷= ∠𝐷𝐶𝐹=
1
2(180°−∠𝐹𝐷𝐶) = 70°
【变式6-2】如图，𝐴为直线𝑙外一点，点𝐵，𝐶在直线𝑙上，已知∠𝐴𝐵𝐶为锐角．请用尺规作图法，在直线𝑙上
求作一点𝐷，使得∠𝐴𝐷𝐵= 2∠𝐴𝐵𝐶，（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质．作线段𝐴𝐵的垂直平
分线交直线𝑙于点𝐸，再连接𝐴𝐸，得到𝐴𝐸= 𝐵𝐸，进而得到∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶，推出
∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐸= 2∠𝐴𝐵𝐶，最后以𝐴为圆心、𝐴𝐸的长为半径画弧，交直线𝑙于点𝐷，得到
∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐸𝐶= 2∠𝐴𝐵𝐶，点𝐷即为所求．
【详解】解：如图，点𝐷即为所求．
【变式6-3】线段𝑂𝐴和C、D 两点的位置如图所示，请用尺规作图法在线段𝑂𝐴上作一点B，连接
𝐵𝐶、𝐵𝐷、𝐶𝐷，使得△𝐵𝐶𝐷是以𝐶𝐷为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
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【答案】见解析
【分析】作线段𝐶𝐷的垂直平分线交𝑂𝐴于点𝐵，连接𝐵𝐶、𝐵𝐷即可．
本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，掌握尺规作垂
线的方法是解决问题．
【详解】解：连接𝐶𝐷，作𝐶𝐷的垂直平分线交𝑂𝐴于点𝐵，连接𝐵𝐶、𝐵𝐷，则△𝐵𝐶𝐷就是所求的以𝐶𝐷为底边的
等腰三角形，如图：
【题型7 等腰三角形的判定与性质】
【例7】如图，已知点𝐴，𝐶分别是△𝐹𝐵𝐸的边𝐵𝐹和𝐵𝐸延长线上的点，作∠𝐴𝐹𝐸的平分线𝐹𝐷，若𝐹𝐷∥𝐵𝐶．
(1)求证：△𝐹𝐵𝐸是等腰三角形；
(2)作∠𝐹𝐸𝐶的平分线交𝐹𝐷于点𝐻，若∠𝐵= 50°，求∠𝐹𝐻𝐸的度数．
【答案】(1)见解析
(2)65°
【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质等知识：
（1）根据角平分线的定义得∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐷𝐹𝐸，由平行线的性质得∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐵，∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐹𝐸𝐵，可得∠𝐵= ∠𝐹𝐸𝐵，
可得出△𝐹𝐵𝐸是等腰三角形；
（2）由（1）知∠𝐹𝐸𝐵= ∠𝐵= 50°，得出∠𝐹𝐸𝐶= 130°，由角平分线定义得出∠𝐻𝐸𝐶= 65°，最后根据平行线
的性质可得结论．
【详解】（1）证明：∵𝐹𝐷平分∠𝐴𝐹𝐸
∴∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐷𝐹𝐸．
∵𝐹𝐷∥𝐵𝐶
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∴∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐵，∠𝐷𝐹𝐸= ∠𝐹𝐸𝐵．
∴∠𝐵= ∠𝐹𝐸𝐵．
∴𝐹𝐵= 𝐹𝐸, △𝐹𝐵𝐸是等腰三角形．
（2）解：∵∠𝐵= ∠𝐹𝐸𝐵，∠𝐵= 50°，
∴∠𝐹𝐸𝐵= ∠𝐵= 50°．
∴∠𝐹𝐸𝐶= 180°−∠𝐹𝐸𝐵= 130°．
∵𝐸𝐻平分∠𝐹𝐸𝐶，
∴∠𝐻𝐸𝐶=
1
2∠𝐹𝐸𝐶=
1
2 × 130° = 65°．
∵𝐹𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐹𝐻𝐸= ∠𝐻𝐸𝐶= 65°．
【变式7-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点D 为𝐵𝐶的中点，连接𝐴𝐷，𝐴𝐵的垂直平分线EF 交𝐴𝐵于点E，
交𝐴𝐷于点O，交𝐴𝐶于点F，连接𝑂𝐵，𝑂𝐶．
(1)求证：△𝐴𝑂𝐶为等腰三角形；
(2)若∠𝐵𝐴𝐷= 20°，求∠𝐶𝑂𝐹的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠𝐶𝑂𝐹= 30°
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点，
灵活运用中垂线的性质和等腰三角形的性质成为解题的关键．
（1）根据中垂线的性质可得𝑂𝐴= 𝑂𝐵，再根据等腰三角形的性质可得𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，进而说明𝐴𝐷是𝐵𝐶的中垂线
可得𝑂𝐵= 𝑂𝐶，进而得到𝑂𝐴= 𝑂𝐶即可证明结论；
（2）先根据等腰三角形的性质及角的和差可得∠𝐵𝐴𝐶= 40°，再根据中垂线的性质以及三角形的内角和可得
∠𝐴𝐹𝐸= 50°；再根据等腰三角形的性质可得∠𝑂𝐶𝐴= ∠𝑂𝐴𝐶= 20°，最后根据三角形外角的性质即可解答．
【详解】（1）证明：∵𝐸𝐹是𝐴𝐵的中垂线，
∴𝑂𝐴= 𝑂𝐵，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，D 为𝐵𝐶中点，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶（三线合一），
∴𝐴𝐷是𝐵𝐶的中垂线，
∴𝑂𝐵= 𝑂𝐶，
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∴𝑂𝐴= 𝑂𝐶，
∴△𝑂𝐴𝐶是等腰三角形．
（2）解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，D 为𝐵𝐶中点，
∴∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷= 20°（三线合一），
∴∠𝐵𝐴𝐶= 40°，
∵𝐸𝐹是𝐴𝐵的中垂线，
∴𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐹𝐸= 50°，
∵𝑂𝐴= 𝑂𝐶，
∴∠𝑂𝐶𝐴= ∠𝑂𝐴𝐶= 20°，
∵∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝑂𝐶𝐴+ ∠𝐶𝑂𝐹，
∴50° = 20° + ∠𝐶𝑂𝐹，
∴∠𝐶𝑂𝐹= 30°．
【变式7-2】已知如图△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐶= 6cm，𝐴𝐵= 8cm，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，过𝐷作直线平行于
𝐵𝐶，交𝐴𝐵，𝐴𝐶于𝐸，𝐹．
(1)求证：△𝐷𝐹𝐶是等腰三角形；
(2)求△𝐴𝐸𝐹的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14cm
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等．
（1）首先根据平行线的性质可得∠𝐹𝐷𝐶= ∠𝐷𝐶𝐵，再根据角平分线的定义可得∠𝐹𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷，可得
∠𝐹𝐶𝐷= ∠𝐹𝐷𝐶，据此即可证得；
（2）同理（1）可得𝐷𝐸= 𝐵𝐸，根据△𝐴𝐸𝐹的周长= 𝐴𝐸+ 𝐴𝐹+ 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶，求解即可．
【详解】（1）证明：∵𝐸𝐹∥𝐵𝐶，
∴∠𝐹𝐷𝐶= ∠𝐷𝐶𝐵，
∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐹𝐶𝐷= ∠𝐷𝐶𝐵，
∴∠𝐹𝐷𝐶= ∠𝐹𝐶𝐷，
∴𝐹𝐷= 𝐹𝐶，
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∴△𝐷𝐹𝐶是等腰三角形；
（2）解：∵𝐸𝐹∥𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝐷𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝐷𝐵= ∠𝐸𝐵𝐷，
∴𝐸𝐷= 𝐸𝐵，
∵𝐴𝐶= 6cm，𝐴𝐵= 8cm，
∴△𝐴𝐸𝐹的周长为：𝐴𝐸+ 𝐸𝐹+ 𝐴𝐹
= 𝐴𝐸+ 𝐸𝐷+ 𝐹𝐷+ 𝐴𝐹
= 𝐴𝐸+ 𝐸𝐵+ 𝐹𝐶+ 𝐴𝐹
= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶
= 8 + 6
= 14cm．
【变式7-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，点𝐹为𝐴𝐵的中点，边𝐴𝐶的垂直平分线交𝐴𝐶，𝐶𝐹，𝐶𝐵于点𝐷，
𝑂，𝐸，连接𝑂𝐴、𝑂𝐵．
(1)求证：△𝑂𝐵𝐶为等腰三角形；
(2)若∠𝐴𝐶𝐹= 25°，求∠𝐵𝑂𝐸的度数．
【答案】(1)见解析
(2)15°
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的性质．
（1）根据线段垂直平分线的性质，先求得𝑂𝐶= 𝑂𝐴，根据等腰三角形三线合一的性质，可求得𝑂𝐵= 𝑂𝐴．
（2）根据等腰三角形三线合一的性质，可求得∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐵𝐶𝐹=
1
2∠𝐴𝐶𝐵= 25°，根据三角形内角和定理可求
得∠𝐷𝐸𝐶的度数，结合∠𝐵𝑂𝐸= ∠𝐷𝐸𝐶−∠𝐶𝐵𝑂即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵𝐷𝐸为线段𝐴𝐶的垂直平分线，
∴𝑂𝐶= 𝑂𝐴．
∵𝐴𝐶= 𝐵𝐶，点𝐹为𝐴𝐵的中点，
∴𝐶𝐹为线段𝐴𝐵的垂直平分线．
∴𝑂𝐵= 𝑂𝐴．
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∴𝑂𝐵= 𝑂𝐶．
∴△𝑂𝐵𝐶为等腰三角形．
（2）解：∵𝐴𝐶= 𝐵𝐶，点𝐹为𝐴𝐵的中点，
∴𝐶𝐹为∠𝐴𝐶𝐵的平分线．
∴ ∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐵𝐶𝐹=
1
2∠𝐴𝐶𝐵= 25°．
∴∠𝐴𝐶𝐵= 50°．
∴∠𝐷𝐸𝐶= 180°−∠𝐸𝐷𝐶−∠𝐴𝐶𝐵= 180°−90°−50° = 40°．
∵△𝑂𝐵𝐶为等腰三角形，
∴∠𝐶𝐵𝑂= ∠𝐵𝐶𝐹= 25°．
∴∠𝐵𝑂𝐸= ∠𝐷𝐸𝐶−∠𝐶𝐵𝑂= 40°−25° = 15°．
【题型8 等腰三角形与全等三角形的综合】
【例8】如图，△𝐵𝐴𝐷和△𝐶𝐴𝐸是等腰直角三角形，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 90°，𝐴𝐹⊥𝐶𝐵，垂足为F．
(1)求证：∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐴𝐷𝐶；
(2)判断𝐴𝐹和𝐶𝐸的位置关系，并说明理由；
(3)求证：𝐶𝐷= 2𝐵𝐹+ 𝐷𝐸．
【答案】(1)见解析
(2)𝐴𝐹∥𝐶𝐸，见解析
(3)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、
线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答
的关键．
（1）先根据等角的余角相等证得∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，再根据全等三角形的判定证明即可得出∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐸，
根据邻补角的定义，即可得证；
（2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐸= 45°，再根据直角三角形的两锐角
互余求得∠𝐶𝐴𝐹= 45°即可得出∠𝐹𝐴𝐸= 135°，进而证明𝐴𝐹∥𝐶𝐸，即可得出结论；
（3）延长𝐵𝐹到𝐺，使得𝐹𝐺= 𝐹𝐵，根据全等三角形的判定与性质证明△𝐴𝐹𝐵≌△𝐴𝐹𝐺(SAS)，
△𝐶𝐺𝐴≌△𝐶𝐷𝐴(AAS)得到𝐶𝐺= 𝐶𝐷即可证得结论．
【详解】（1）证明：∵∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 90°，
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∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷= 90°，∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
在△𝐵𝐴𝐶和△𝐷𝐴𝐸中，
∵
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸
𝐴𝐶= 𝐴𝐸
，
∴△𝐵𝐴𝐶≌△𝐷𝐴𝐸(SAS)；
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐴𝐷𝐶；
（2）解：𝐴𝐹∥𝐶𝐸，理由如下，
∵∠𝐶𝐴𝐸= 90°，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，
∴∠𝐸= 45°，
由（1）知△𝐵𝐴𝐶≌△𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐸= 45°，
∵𝐴𝐹⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐹𝐴= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐹= 45°，
∴∠𝐹𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐸= 45° + 90° = 135°；
又∵∠𝐸= 45°，
∴∠𝐹𝐴𝐸+ ∠𝐸= 180°，
∴𝐴𝐹∥𝐶𝐸，
（3）证明：延长𝐵𝐹到𝐺，使得𝐹𝐺= 𝐹𝐵，
∵𝐴𝐹⊥𝐵𝐺，
∴∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐴𝐹𝐵= 90°，
在△𝐴𝐹𝐵和△𝐴𝐹𝐺中，
∴
𝐵𝐹= 𝐺𝐹
∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐴𝐹𝐺
𝐴𝐹= 𝐴𝐹
，
∴△𝐴𝐹𝐵≌△𝐴𝐹𝐺(SAS)，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐺，∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐺，
∵△𝐵𝐴𝐶≌△𝐷𝐴𝐸，
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∴𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐸𝐷𝐴，𝐶𝐵= 𝐸𝐷，
∴𝐴𝐺= 𝐴𝐷，∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐶𝐷𝐴，
∴∠𝐶𝐺𝐴= ∠𝐶𝐷𝐴，
∵∠𝐺𝐶𝐴= ∠𝐷𝐶𝐴= 45°，
∴在△𝐶𝐺𝐴和△𝐶𝐷𝐴中，
∠𝐺𝐶𝐴= ∠𝐷𝐶𝐴
∠𝐶𝐺𝐴= ∠𝐶𝐷𝐴
𝐴𝐺= 𝐴𝐷
，
∴△𝐶𝐺𝐴≌△𝐶𝐷𝐴(AAS)，
∴𝐶𝐺= 𝐶𝐷，
∵𝐶𝐺= 𝐶𝐵+ 𝐵𝐹+ 𝐹𝐺= 𝐶𝐵+ 2𝐵𝐹= 𝐷𝐸+ 2𝐵𝐹，
∴𝐶𝐷= 2𝐵𝐹+ 𝐷𝐸．
【变式8-1】如图1，△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐶𝐸均为等腰直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 90°，点A、D、E 在同一直
线上，连接𝐵𝐸．
(1)①求证：𝐴𝐷= 𝐵𝐸；
②求∠𝐴𝐸𝐵的度数；
(2)如图2，若𝐶𝑀为△𝐷𝐶𝐸中𝐷𝐸边上的高，𝐵𝐸= 4，𝐶𝑀= 3，请直接写出四边形𝐴𝐵𝐸𝐶的面积．
【答案】(1)①证明见解析；②90°
(2)35
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，利用手拉手模型证明三角形
全等是解题的关键．
（1）①利用SAS证明△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸，即可证明结论；②由全等三角形的性质得到∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐸𝐶，由等腰
直角三角形的性质得到∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐶𝐸𝐷= 45°，则由平角的定义得到∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐸𝐶= 135°，利用角的和差求
出答案；
（2）由△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸得出𝐴𝐷= 𝐵𝐸，然后判定出𝐷𝑀= 𝐶𝑀，再得出𝐴𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐸= 𝐵𝐸+ 2𝐶𝑀= 10，再
根据四边形𝐴𝐵𝐸𝐶的面积=△𝐴𝐶𝐸的面积+△𝐴𝐵𝐸的面积，通过计算即可解答．
【详解】（1）①证明：∵△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐶𝐸均为等腰直角三角形，
∴𝐶𝐴= 𝐶𝐵，𝐶𝐷= 𝐶𝐸，
∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐷𝐶𝐸−∠𝐵𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，
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在△𝐴𝐶𝐷和△𝐵𝐶𝐸中，
𝐴𝐶= 𝐵𝐶
∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸
𝐶𝐷= 𝐶𝐸
，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(SAS)，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐸；
②解：∵△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐸𝐶，
∵△𝐷𝐶𝐸均为等腰直角三角形，
∴∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐶𝐸𝐷= 45°，
∵点A，D，E 在同一直线上，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 180°−45° = 135°，
∴∠𝐵𝐸𝐶= 135°，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐵𝐸𝐶−∠𝐶𝐸𝐷= 135°−45° = 90°；
（2）∵△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐸，
∵𝐶𝐷= 𝐶𝐸，𝐶𝑀⊥𝐷𝐸，
在Rt △𝐷𝐶𝐸中，𝐶𝑀⊥𝐷𝐸，∠𝐶𝐷𝑀= 45°，
∴∠𝐷𝐶𝑀= ∠𝐶𝐷𝑀= 45°，
∴𝐷𝑀= 𝑀𝐸= 𝐶𝑀，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐸= 𝐵𝐸+ 2𝐶𝑀，
∵𝐵𝐸= 4，𝐶𝑀= 3，
∴𝐴𝐸= 10；
由（1）得∠𝐴𝐸𝐵= 90°，
∴四边形𝐴𝐵𝐸𝐶的面积=△𝐴𝐶𝐸的面积+△𝐴𝐵𝐸的面积
= 1
2 𝐴𝐸× 𝐶𝑀+ 1
2 𝐴𝐸× 𝐵𝐸
= 1
2 × 10 × 3 + 1
2 × 10 × 4
= 35．
【变式8-2】【常见类型】
（1）如图1，已知：𝐵𝐶= 𝐴𝐷，且∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷．求证：𝐴𝐶= 𝐵𝐷．
【变式拓展】
（2）某同学改变（1）中的条件和图形，提出下面的问题，请你解答．
如图2，△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝑂为𝐵𝐶中点，𝐵𝐷⊥𝐴𝑂交𝐴𝑂延长线于点𝐷，
𝐶𝐸⊥𝐴𝑂于点𝐸．
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求证：①𝐶𝐸= 𝐵𝐷；②𝐴𝐸= 2𝐵𝐷．
【答案】（1）详见解析
（2）①详见解析；②详见解析
【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等
三角形是解本题的关键．
（1）根据SAS证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐴𝐷，即可得证；
（2）①根据AAS证明△𝐵𝑂𝐷≌△𝐶𝑂𝐸，即可得证；
②连接𝐶𝐷，过点𝐶作𝐶𝐹⊥𝐶𝐷交𝐴𝑂于点𝐹，证明△𝐴𝐶𝐹≌△𝐵𝐶𝐷，可得𝐴𝐹= 𝐵𝐷,𝐶𝐹= 𝐶𝐷，再根据等腰三角
形的性质可得𝐶𝐸= 𝐸𝐹，再根据线段的数量关系即可得证．
【详解】（1）证明：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐴𝐷中，
𝐵𝐶= 𝐴𝐷
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷
𝐴𝐵= 𝐵𝐴
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐴𝐷(SAS)，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐷；
（2）证明：①∵𝐵𝐷⊥𝐴𝑂交𝐴𝑂延长线于点𝐷，𝐶𝐸⊥𝐴𝑂于点𝐸，
∴∠𝐵𝐷𝑂= ∠𝐶𝐸𝑂= 90°，
∵𝑂为𝐵𝐶中点，
∴𝑂𝐶= 𝐵𝑂，
∵∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝐶𝑂𝐸，
∴△𝐵𝑂𝐷≌△𝐶𝑂𝐸(AAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐸；
②如图，连接𝐶𝐷，过点𝐶作𝐶𝐹⊥𝐶𝐷交𝐴𝑂于点𝐹，
∵∠𝐵𝐷𝑂= ∠𝐴𝐶𝑂= 90°,∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝐴𝑂𝐶，
∴∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐶𝐴𝑂，
∵𝐶𝐹⊥𝐶𝐷，
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∴∠𝐹𝐶𝐷= 90°，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐹𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐹𝐶𝐵= ∠𝐹𝐶𝐷−∠𝐹𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐵𝐶𝐷，
∵𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐶𝐹≌△𝐵𝐶𝐷(ASA)，
∴𝐴𝐹= 𝐵𝐷,𝐶𝐹= 𝐶𝐷，
∴△𝐹𝐶𝐷是等腰直角三角形，
∴∠𝐶𝐹𝐸= 45°，
∵∠𝐶𝐸𝐹= 90°，
∴∠𝐹𝐶𝐸= 45°，
∴𝐶𝐸= 𝐸𝐹，
∵𝐶𝐸= 𝐵𝐷，
∴𝐵𝐷= 𝐸𝐹，
∵𝐴𝐹= 𝐵𝐷，
∴𝐴𝐹= 𝐸𝐹= 𝐵𝐷，
∵𝐴𝐸= 𝐴𝐹+ 𝐸𝐹，
∴𝐴𝐸= 2𝐵𝐷．
【变式8-3】在等腰直角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，点D 在边𝐵𝐶上，过点B 作射线𝐴𝐷的垂线，垂足为点E．
(1)如图1，过点C 作射线𝐴𝐷的垂线，垂足为点F，求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐹；
(2)在射线𝐸𝐵上取点G，使𝐸𝐺= 𝐴𝐸，连接𝐴𝐺，𝐶𝐺，𝐶𝐺与𝐴𝐷交于点H．如图2，若∠𝐴𝐺𝐶= 90°，𝐴𝐸= 4，
求线段𝐵𝐺的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握性质定理是解题的关键；
（1）由余角的性质可得∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹，再加上𝐴𝐵= 𝐴𝐶以及直角即可证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐹；
（2）过点C 作射线𝐴𝐷的垂线，垂足为点F，由（1）可得△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐹，即可得到 𝐸𝐺= 𝐴𝐸= 𝐶𝐹，
𝐵𝐸= 𝐴𝐹，进一步可证明△𝐸𝐻𝐺≌△𝐹𝐻𝐶，得到𝐸𝐻= 𝐹𝐻；由∠𝐴𝐺𝐶= 90°可得∠𝐸𝐺𝐻= 45°，得到
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𝐸𝐻= 𝐹𝐻= 𝐸𝐺= 𝐴𝐸= 𝐶𝐹，得到 𝐵𝐸= 3𝐴𝐸，BG=2AE，即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵等腰直角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∵𝐶𝐹⊥𝐴𝐷，𝐵𝐸⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐹= ∠𝐴𝐸𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐸= 90°，∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐹= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐶𝐴𝐹中，
∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐹
∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐹(AAS)；
（2）过点C 作射线𝐴𝐷的垂线，垂足为点F，由（1）可得△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐹，
∴𝐴𝐸= 𝐶𝐹，𝐵𝐸= 𝐴𝐹，
∵𝐸𝐺= 𝐴𝐸，
∴𝐸𝐺= 𝐴𝐸= 𝐶𝐹，∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐹= 90°，∠𝐸𝐻𝐺= ∠𝐹𝐻𝐶，
∴△𝐸𝐻𝐺≌△𝐹𝐻𝐶(AAS)，
∴𝐸𝐻= 𝐹𝐻；
∵𝐸𝐺= 𝐴𝐸，𝐵𝐸⊥𝐴𝐷，
∵∠𝐴𝐺𝐸= 45°，
∴∠𝐸𝐺𝐻= 45°，
∴𝐸𝐻= 𝐸𝐺，
∴𝐸𝐻= 𝐹𝐻= 𝐸𝐺= 𝐶𝐹= 𝐴𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐵𝐸= 3𝐴𝐸，𝐵𝐺= 2𝐴𝐸，
∵𝐴𝐸= 4，
∴𝐵𝐺= 8．
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过关测·稳提升
1．等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（ ）
A．70°
B．70°或40°
C．110°
D．110°或40°
【答案】C
【分析】题目给出了一个外角等于70°，没说明是顶角还是底角的外角，所以要分两种情况进行讨论．
【详解】解：①当70°角为顶角的外角时，顶角为180°−70° = 110°；
②当70°为底角的外角时，底角为180°−70° = 110°，
顶角为180°−110° × 2 = −40°，不符合题．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，解题的关键是做题时要注
意分情况进行讨论．
2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐷𝐶，𝐷在𝐵𝐶上，且𝐴𝐷= 𝐷𝐵，则∠𝐵𝐴𝐶的度数是（ ）
A．100°
B．105°
C．108°
D．120°
【答案】C
【分析】此题主要考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，解题的关键是熟练
进行逻辑推理．先设∠𝐵= 𝑥，由𝐴𝐵= 𝐴𝐶可知，∠𝐶= 𝑥，由𝐴𝐷= 𝐷𝐵可知∠𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵= 𝑥，由三角形外角的
性质可知∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐷𝐴𝐵= 2𝑥，根据𝐷𝐶= 𝐶𝐴可知∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐶𝐴𝐷= 2𝑥，再在△𝐴𝐵𝐶中，由三角形内角
和定理即可得出关于x 的一元一次方程，求出x 的值，从而求解．
【详解】解：设∠𝐵= 𝑥，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐶= ∠𝐵= 𝑥，
∵𝐴𝐷= 𝐷𝐵，
∴∠𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵= 𝑥，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐷𝐴𝐵= 2𝑥，
∵𝐷𝐶= 𝐶𝐴，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐶𝐴𝐷= 2𝑥，
在△𝐴𝐵𝐶中，𝑥+ 𝑥+ 2𝑥+ 𝑥= 180°，
解得：𝑥= 36°．
∴∠𝐵𝐴𝐶= 108°．
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故选：C．
3．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸折叠，使点B 落在边𝐴𝐶上的点F 处，若∠𝐶𝐹𝐷= 57°，且
△𝐴𝐸𝐹为等腰三角形，则∠𝐴是度数为（ ）
A．49°
B．52°
C．52°或41°
D．49°或38°
【答案】D
【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质、折叠变换的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．分
𝐴𝐸= 𝐴𝐹、𝐴𝐹= 𝐸𝐹、𝐴𝐸= 𝐸𝐹三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】解：当𝐴𝐸= 𝐴𝐹时，则∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐴𝐸𝐹=
1
2(180°−∠𝐴)，
由折叠的性质可得∠𝐵= ∠𝐸𝐹𝐷，
∵∠𝐶= 90°，
∴∠𝐵= ∠𝐸𝐹𝐷= 90°−∠𝐴
∵∠𝐶𝐹𝐷= 57°，
∴∠𝐴𝐹𝐷= 123°，
∴
1
2(180°−∠𝐴) +90°−∠𝐴= 123°，
∴∠𝐴= 38°，
当𝐴𝐹= 𝐸𝐹时，则∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴，
∴∠𝐴𝐹𝐸= 180°−2∠𝐴，
∴180°−2∠𝐴+ 90°−∠𝐴= 123°，
∴∠𝐴= 49°，
当𝐴𝐸= 𝐸𝐹时，则∠𝐴= ∠𝐴𝐹𝐸，
∵∠𝐴𝐹𝐸+ ∠𝐸𝐹𝐷+ ∠𝐶𝐹𝐷= ∠𝐴+ 90°−∠𝐴+ 57° = 147° ≠180°，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐹不存在；
综上所述，∠𝐴= 38°或49°，
故选：D．
4．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B 是两个格点，如果点C 也是图中的格
点，且使△𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形，那么点C 的个数是（ ）
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A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】A
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，以𝐵为直角顶点有2 个，以A 为直角顶点有2 个，以C 为
直角顶点有2 个，据此结合网格的特点画出示意图即可得到答案．
【详解】解：如图所示，𝐶1，𝐶2，𝐶3，𝐶4，𝐶5，𝐶6即为所求，
故选：A．
5．如图，已知𝐴𝐵= 𝐴1𝐵,𝐴1𝐵1 = 𝐴1𝐴2,𝐴2𝐵2 = 𝐴2𝐴3,𝐴3𝐵3 = 𝐴3𝐴4…，若∠𝐴= 68°，则∠𝐴5𝐴6𝐵5的度数为
（ ）
A．
68
23
B．
68
24
C．
68
25
D．
68
26
【答案】C
【分析】本题考查图形类规律探索，熟练掌握三角形的外角性质、等腰三角形的性质及不完全归纳法的运
用是解题关键．
根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质可以写出前面几个∠𝐴𝑛−1𝐴𝑛𝐵𝑛−1的度数及其与顶点下标的关系,
然后通过类比和不完全归纳法可以得到 ∠𝐴𝑛−1𝐴𝑛𝐵𝑛−1 ．
【详解】解：∵∠𝐴= 68°，𝐴𝐵= 𝐴1𝐵，
∴∠𝐵𝐴1𝐴= 68°，
∵∠𝐵𝐴1𝐴= ∠𝐴1𝐴2𝐵1 +∠𝐴1𝐵1𝐴2,𝐴1𝐵1 = 𝐴1𝐴2，
∴ ∠𝐴1𝐴2𝐵1 =
68°
2 ，
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同理可得：∠𝐴2𝐴3𝐵2 =
68°
22 ，∠𝐴3𝐴4𝐵3 =
68°
23 ，
∴∠𝐴𝑛−1𝐴𝑛𝐵𝑛−1 =
68°
2𝑛−1，
∴∠𝐴5𝐴6𝐵5 =
68°
25
故选：C ．
6．如图，∠𝐵= ∠𝐶= 36°，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷= 72°，则图中的等腰三角形有
个．
【答案】6
【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理．
利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角
形．
【详解】∵∠𝐵= ∠𝐶= 36°，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶，△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形．
∵∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷= 72°，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐸，△𝐴𝐷𝐸是等腰三角形．
∵∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐵= 72°−36° = 36°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵，
∴𝐷𝐵= 𝐷𝐴，△𝐴𝐵𝐷是等腰三角形．
∵∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷−∠𝐶= 72°−36° = 36°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶，
∴𝐸𝐴= 𝐸𝐶，△𝐴𝐸𝐶是等腰三角形．
∵∠𝐵𝐴𝐸= 180°−∠𝐵−∠𝐴𝐸𝐷= 180°−36°−72° = 72°，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐸𝐵，
∴𝐴𝐵= 𝐸𝐵，△𝐴𝐵𝐸是等腰三角形．
∵∠𝐶𝐴𝐷= 180°−∠𝐶−∠𝐴𝐷𝐶= 180°−36°−72° = 72°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶，
∴𝐶𝐴= 𝐶𝐷，△𝐴𝐶𝐷是等腰三角形．
综上所述：图中等腰三角形有6 个．
故答案为：6
7．如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑂、CO分别平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵，过点𝑂平行于𝐵𝐶的直线分别交𝐴𝐵、𝐴𝐶于点𝐷、𝐸，
已知𝐴𝐵= 9cm，𝐴𝐶= 8cm，△𝐴𝐷𝐸的周长为
．
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【答案】17cm
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据已知利用平行线的性质及等角对等边、角平分线的定义求解即
可．证明三角形是等腰三角形是解题的关键．
【详解】解：∵𝐵𝑂平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑂平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐷𝐵𝑂= ∠𝑂𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝑂= ∠𝑂𝐶𝐵，
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝑂𝐵= ∠𝑂𝐵𝐶，∠𝐸𝑂𝐶= ∠𝑂𝐶𝐵，
∴∠𝐷𝐵𝑂= ∠𝐷𝑂𝐵，∠𝐸𝐶𝑂= ∠𝐸𝑂𝐶，
∴𝐷𝐵= 𝐷𝑂，𝐸𝐶= 𝐸𝑂，
∴𝐶△𝐴𝐷𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐴𝐸+ 𝐷𝐸
= 𝐴𝐷+ 𝐴𝐸+ 𝐷𝑂+ 𝐸𝑂
= 𝐴𝐷+ 𝐴𝐸+ 𝐷𝐵+ 𝐸𝐶
= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶
= 9 + 8
= 17(cm)，
∴三角形𝐴𝐷𝐸的周长为17cm．
故答案为：17cm．
8．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐵的平分线，且𝐶𝐸= 𝐶𝐵，𝐷是𝐵𝐸的中点，若∠𝐵𝐶𝐷= 20°，则∠𝐴=
．
【答案】30°/30 度
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形角平分线、三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角
形“三线合一”的性质是解题关键．根据三角形“三线合一”的性质可得𝐶𝐷⊥𝐵𝐸，∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐸𝐶𝐷，进而可得
∠𝐵，∠𝐵𝐶𝐸的值，再结合三角形角平分线的定义可得∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐵𝐶𝐸= 80°，然后根据三角形内角和定理求
解即可．
【详解】解：∵𝐶𝐸= 𝐶𝐵，𝐷是𝐵𝐸的中点，
∴𝐶𝐷⊥𝐵𝐸，∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐸𝐶𝐷，
∵∠𝐵𝐶𝐷= 20°，
∴∠𝐵= 90°−∠𝐵𝐶𝐷= 70°，∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐸𝐶𝐷= 2∠𝐵𝐶𝐷= 40°，
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第 47 页 共 55 页
∵𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐵的平分线，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐵𝐶𝐸= 80°，
∴∠𝐴= 180°−∠𝐵−∠𝐴𝐶𝐵= 30°．
故答案为：30°．
9．如图，∠𝐴= 15°，𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐶𝐷= 𝐷𝐸= 𝐸𝐹，则∠𝐹𝐸𝐺=
．
【答案】75°/75 度
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质．三角形的外角等于与它不相邻的两个内
角和；利用等腰三角形的两个底角相等结合三角形的外角的性质逐一求解即可．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶，∠𝐴= 15°，
∴∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐴= 15°，
∴∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝐶𝐴+ ∠𝐴= 15° + 15° = 30°，
同理可求：∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐶𝐷𝐵= 15° + 30° = 45°，
∴∠𝐸𝐷𝐹= ∠𝐸𝐹𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐷𝐸𝐶= 15° + 45° = 60°，
∴∠𝐹𝐸𝐺= ∠𝐴+ ∠𝐸𝐹𝐷= 15° + 60° = 75°．
故答案为：75°．
10．已知等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐵边的垂直平分线交直线𝐴𝐶于点𝐷，若∠𝐵𝐷𝐶= 48°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数
为
．
【答案】24°或66°或114°
【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，
分当△𝐴𝐵𝐶是锐角三角形时，当△𝐴𝐵𝐶是钝角三角形时，三种情况画出对应的图形，根据线段垂直平分线
的性质得到𝐴𝐷= 𝐵𝐷，再根据等边对等角得到∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐷，再根据角度之间的关系进行求解即可．
【详解】解：如图所示，当△𝐴𝐵𝐶是锐角三角形时，且点D 在线段𝐴𝐶上，
∵点D 在线段𝐴𝐵的垂直平分线上，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐷，
∴∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝐷，
∵∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐷= 48°，
∴∠𝐴= 24°；
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如图所示，当△𝐴𝐵𝐶是锐角三角形时，且点D 在线段𝐴𝐶的延长线上，
∵点D 在线段𝐴𝐵的垂直平分线上，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐷，
∴∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝐷，
∵∠𝐵𝐷𝐶+ ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐷= 180°，∠𝐵𝐷𝐶= 48°
∴∠𝐴=
180°−∠𝐵𝐷𝐶
2
= 66°；
如图所示，当△𝐴𝐵𝐶是钝角三角形时，点D 在线段𝐶𝐴的延长线上，
∵点D 在线段𝐴𝐵的垂直平分线上，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐷=
180°−∠𝐵𝐷𝐶
2
= 66°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵𝐷𝐴= 114°；
综上所述，∠𝐵𝐴𝐶的度数为24°或66°或114°．
故答案为；24°或66°或114°．
11．（1）如图①，在△ABC 中，∠C＝90°，请用尺规作图作一条直线，把△ABC 分割成两个等腰三角形，
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第 49 页 共 55 页
并说明理由（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）已知内角度数的两个三角形如图②、图③所示，能否分别画一条直线把他们分割成两个等腰三角形？
若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．
【答案】（1）见解析；（2）图②能，顶角分别是132°和84°，图③不能
【分析】（1）本题中，只要找到斜边中点，然后连接直角顶点和斜边中点，那么分成的两个三角形就是等
腰三角形．那么只要作AC 的垂直平分线就可以了．AC 的垂直平分线与AB 的交点就是AB 的中点；
（2）本题要先根据三角形的内角和求出另一角的度数，然后看看是否能分成等腰三角形，图2 可以将∠B
分成24°和48°．图3 不能分成等腰三角形．
【详解】（1）作线段AC 的垂直平分线𝑀𝑁，交𝐴𝐵于点𝑀，交𝐴𝐶于点𝑁；过点𝐶、𝑀作直线．直线𝐶𝑀即为
所求．
理由：∵𝑀𝑁为𝐴𝐶的垂直平分线，
∴𝑀𝐴= 𝑀𝐶，
∴∠𝑀𝐶𝐴= ∠𝐴= 24°．
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴= 24°，
∴∠𝐵= 90°−24° = 66°，∠𝐵𝐶𝑀= 90°−24° = 66°，
∴∠𝐵= ∠𝐵𝐶𝑀，
∴𝑀𝐵= 𝑀𝐶．
（2）图②能画一条直线把它分割成两个等腰三角形，分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°．图
③不能分割成两个等腰三角形．
.
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【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和三角形的内角和，等腰三角形的判定等知识点．注意本题作
图中的理论依据是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
12．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷、𝐸、𝐹分别在边𝐴𝐵、𝐵𝐶、𝐴𝐶上，且𝐵𝐸= 𝐶𝐹，∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐶𝐸𝐹．
(1)求证：△𝐷𝐸𝐹是等腰三角形；
(2)当∠𝐴= 40°时，求∠𝐷𝐸𝐹的度数．
【答案】(1)见解析
(2)70°
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；三角形的内角和定理的应用，
熟记基础图形的性质与判定是解本题的关键．
（1）证明∠𝐵= ∠𝐶，可得△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐸𝐹，再利用全等三角形的性质可得结论；
（2）先求解∠𝐵= ∠𝐶=
1
2(180°−40°) = 70°，证明∠𝐶𝐸𝐹+ ∠𝐵𝐸𝐷= 110°，再结合角的和差运算可得答案．
【详解】（1）证明：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐵= ∠𝐶
∵∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐶𝐸𝐹，𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
∴△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐸𝐹(AAS)，
∴𝐷𝐸= 𝐸𝐹，
∴△𝐷𝐸𝐹是等腰三角形；
（2）解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴= 40°
∴∠𝐵= ∠𝐶= 1
2 (180°−40°) = 70°
在△𝐵𝐷𝐸中，由三角形内角和定理，得
∠𝐵+ ∠𝐵𝐸𝐷+ ∠𝐵𝐷𝐸= 180°
∴∠𝐵𝐸𝐷+ ∠𝐵𝐷𝐸= 180°−∠𝐵= 110°
又∵∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐶𝐸𝐹，
∴∠𝐶𝐸𝐹+ ∠𝐵𝐸𝐷= 110°
∴∠𝐷𝐸𝐹= 180°−(∠𝐶𝐸𝐹+ ∠𝐵𝐸𝐷) = 180°−110° = 70°
∴∠𝐷𝐸𝐹的度数为70°．
13．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高线，𝐶𝐸是中线，且𝐷𝐺⊥𝐶𝐸于𝐺，2𝐶𝐷= 𝐴𝐵．
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(1)求证：𝐺是𝐶𝐸的中点；
(2)求证∠𝐵= 2∠𝐵𝐶𝐸．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（1）连接𝐷𝐸，由直角三角形的性质可得𝐷𝐸= 𝐵𝐸=
1
2𝐴𝐵，由𝐶𝐸是中线得𝐴𝐵= 2𝐵𝐸，进而可得
𝐷𝐶= 𝐵𝐸，即得𝐷𝐶= 𝐷𝐸，再根据三角形三线合一即可求证；
（2）由等腰三角形的性质得∠𝐵= ∠𝐸𝐷𝐵，∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸，再根据三角形外角性质即可求证；
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接𝐷𝐸，
∵𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐷的中线，
∵𝐴𝐷是高，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐸=
1
2𝐴𝐵，
∵𝐶𝐸是中线，
∴𝐴𝐵= 2𝐵𝐸，
∵2𝐶𝐷= 𝐴𝐵，
∴𝐷𝐶= 𝐵𝐸，
∴𝐷𝐶= 𝐷𝐸，
∵𝐷𝐺⊥𝐶𝐸，
∴𝐶𝐸= 𝐸𝐺，
即𝐺是𝐶𝐸的中点；
（2）证明：∵𝐷𝐸= 𝐵𝐸，
∴∠𝐵= ∠𝐸𝐷𝐵，
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∵𝐷𝐶= 𝐷𝐸，
∴∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸，
∴∠𝐸𝐷𝐵= 2∠𝐵𝐶𝐸，
∴∠𝐵= 2∠𝐵𝐶𝐸．
14．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，𝐴𝐶的垂直平分线分别交𝐴𝐶、𝐴𝐷、𝐴𝐵于点𝐸、𝑂、
𝐹，连接𝑂𝐵，𝑂𝐶．
(1)试说明：𝐵𝑂= 𝐴𝑂；
(2)若∠𝐶𝐴𝐷= 25°，求∠𝐵𝑂𝐹的度数．
【答案】(1)见解析
(2)15°
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，结合线段的垂直平分线性质证明；
（2）根据等腰三角形的三线合一性质，等腰三角形中等边对等角原理，直角三角形的性质和三角形内角和
定理计算．
【详解】（1）因为𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷是𝐵𝐶的中点，
所以𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，所以𝐴𝐷是𝐵𝐶的垂直平分线，
所以𝐵𝑂= 𝐶𝑂，
因为𝑂𝐸是𝐴𝐶的垂直平分线，所以𝐴𝑂= 𝐶𝑂，
所以𝐵𝑂= 𝐴𝑂；
（2）因为𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷是𝐵𝐶的中点，
所以𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
因为∠𝐶𝐴𝐷= 25°，所以∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 25°，
所以∠𝐵𝐴𝐶= 50°，
因为𝑂𝐸⊥𝐴𝐶，所以∠𝐴𝐸𝐹= 90°，
所以∠𝐸𝐹𝐴= 90°−50° = 40°，
所以∠𝐵𝐹𝑂= 180°−∠𝐸𝐹𝐴= 140°，
因为𝐴𝑂= 𝐵𝑂，所以∠𝑂𝐵𝐴= ∠𝐵𝐴𝐷= 25°，
所以∠𝐵𝑂𝐹= 180°−∠𝐵𝐹𝑂−∠𝑂𝐵𝐴= 15°．
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【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，线段垂直平分线性质，直角三角形的性质，三角形内角和
定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
15．在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点D 是直线𝐵𝐶上一点（不与B、C 重合），以𝐴𝐷为一边在𝐴𝐷的右侧作
△𝐴𝐷𝐸，使𝐴𝐷= 𝐴𝐸,∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶，连接𝐶𝐸．
(1)如图1，当点D 在线段𝐵𝐶上，且∠𝐵𝐴𝐶= 90°．
①证明：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸；
②证明：𝐴𝐶平分∠𝐵𝐶𝐸．
(2)如图2，当点D 在直线𝐵𝐶上，设∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼,∠𝐵𝐶𝐸= 𝛽．则𝛼，𝛽之间有怎样的数量关系？请直接写出你的
结论．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)𝛼+ 𝛽= 180°或𝛼= 𝛽
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键
是正确寻找全等三角形解决问题，第二问注意分类讨论．
（1）①先证∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，根据SAS即可证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸；②根据等边对等角可证∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵，根
据△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸可得∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸，进而可证∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸；
（2）分①点D 在线段𝐵𝐶上，②点D 在射线𝐵𝐶上，③点D 在射线𝐶𝐵上，分别加以讨论即可．
【详解】（1）证明：①∵ ∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴ ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐷𝐴𝐶，
∴ ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
在△𝐵𝐴𝐷和△𝐶𝐴𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴ △𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸 (SAS)；
②∵ △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴ ∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵，
由①得△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，
∴ ∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸，
∴ ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸，
预习讲义 第14 讲 等腰三角形（解析版）
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∴ 𝐴𝐶平分∠𝐵𝐶𝐸．
（2）解：𝛼+ 𝛽= 180°，
①点D 在线段𝐵𝐶上，如图：
∵ ∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶，
∴ ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐷𝐴𝐶，
∴ ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
在△𝐵𝐴𝐷和△𝐶𝐴𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴ △𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸 (SAS)；
∴ ∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸，
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐸= 180°，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼,∠𝐵𝐶𝐸= 𝛽，
∴𝛼+ 𝛽= 180°；
②当点D 在射线𝐵𝐶上时，如图：
∵ ∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶，
∴ ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐶，
∴ ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
在△𝐵𝐴𝐷和△𝐶𝐴𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴ △𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸 (SAS)，
∴ ∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸，
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，
预习讲义 第14 讲 等腰三角形（解析版）
第 55 页 共 55 页
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐸= 180°，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼,∠𝐵𝐶𝐸= 𝛽，
∴𝛼+ 𝛽= 180°；
③当点D 在射线𝐶𝐵上时，如图：
同理可得△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸 (SAS)，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸，
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ 180°−∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐸−∠𝐵𝐶𝐸= 180°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐶𝐸．
∵∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼,∠𝐵𝐶𝐸= 𝛽，
∴𝛼= 𝛽；
综上所述α，β 之间的数量关系为：𝛼+ 𝛽= 180°或𝛼= 𝛽．
