预习讲义 第08 讲 三角形全等的判定（学生版）
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析教材·学知识
【知识点1 判定两个三角形全等的基本事实（边边边）】
1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．
2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′.
【知识点2 判定两个三角形全等的基本事实（边角边）】
1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．
2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′.
【知识点3 判定两个三角形全等的基本事实（角边角）】
1.两边和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
2.数学语言表达：如图所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′.
【知识点4 判定两个三角形全等的基本事实（角角边）】
1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．
2.数学语言表达：如图所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′.
【知识点5 直角三角形全等的判定（斜边、直角边）】
1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
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2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′.
练题型·强知识
【题型1 利用SSS 证明三角形全等】
【例1】如图，𝐸是𝐴𝐶上一点，𝐵𝐶= 𝐶𝐸,𝐵𝐶+ 𝐴𝐸= 𝐷𝐸,𝐴𝐵= 𝐶𝐷．求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐸．
【变式1-1】如图，已知𝐴,𝐸,𝐹,𝐶在同一条直线上，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝐵𝐹= 𝐷𝐸，𝐴𝐸= 𝐶𝐹．
求证：△𝐴𝐵𝐹≌△𝐶𝐷𝐸．
【变式1-2】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵= ∠𝐷= 90°，点E，F 分别在𝐴𝐵，𝐴𝐷上，𝐴𝐸= 𝐴𝐹，𝐶𝐸= 𝐶𝐹，
判断𝐶𝐵与𝐶𝐷的数量关系并加以说明．
【变式1-3】如图，在线段𝐵𝐶上有两点E，F，在线段𝐵𝐶的异侧有两点A，D，且满足𝐴𝐵= 𝐷𝐶，𝐴𝐸= 𝐷𝐹，
𝐶𝐸= 𝐵𝐹，连接𝐴𝐹．
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(1)求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹；
(2)若∠𝐵= 40°，∠𝐷𝐹𝐶= 20°，𝐴𝐹平分∠𝐵𝐴𝐸时，求∠𝐴𝐹𝐵的度数．
【题型2 利用SAS 证明三角形全等】
【例2】如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐶中，𝐴𝐶= 𝐷𝐶，𝐵𝐶= 𝐸𝐶，延长𝐵𝐶，𝐸𝐷相交于点F，且∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷．求
证：∠𝐴+ ∠𝐶𝐷𝐹= 180°．
【变式2-1】如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，∠1 = 25∘，∠2 = 30∘，连接𝐵𝐸，点𝐷恰好在𝐵𝐸上，
求∠3的度数．
【变式2-2】如图，已知在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐵𝐴= 90°，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，在Rt △𝐷𝐵𝐸中，∠𝐷𝐵𝐸= 90°，𝐷𝐵= 𝐸𝐵，
连接𝐷𝐶，𝐴𝐸，延长𝐴𝐸交𝐷𝐶于点F．试说明：△𝐴𝐸𝐵≌△𝐶𝐷𝐵．
【变式2-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶、𝐶𝐹⊥𝐴𝐵，垂足分别为𝐸、𝐹，点𝑃在𝐶𝐹的延长线上，点𝐷在线段
𝐵𝐸，且𝐶𝑃= 𝐴𝐵,𝐵𝐷= 𝐴𝐶，连接𝐴𝑃、𝐴𝐷．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝑃𝐶𝐴；
(2)求∠𝑃的度数．
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【题型3 利用ASA 证明三角形全等】
【例3】如图，点D 是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶延长线上一点，且𝐷𝐶= 𝐴𝐶，过D 作𝐷𝐸∥𝐶𝐵，且𝐷𝐸= 𝐷𝐶，连接𝐴𝐸交
𝐵𝐶于点F，若∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐶𝐹𝐴，求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐴𝐷．
【变式3-1】如图，已知𝐴𝐶= 𝐶𝐷，∠1 = ∠2 = ∠3，求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶．
【变式3-2】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，连接𝐴𝐶，点E 在𝐴𝐶上，𝐴𝐸= 𝐶𝐷，连接𝐵𝐸，
∠𝐷+ ∠𝐵𝐸𝐶= 180°．求证：𝐵𝐸= 𝐴𝐷．
【变式3-3】如图，已在△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，𝐵𝐷⊥𝐴𝐵，𝐸𝐶⊥𝐴𝐶，求证：
𝐴𝐷= 𝐴𝐸．
【题型4 利用AAS 证明三角形全等】
【例4】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶= 𝐶𝐷，𝐶𝐸= 𝐶𝐹，∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐸，∠𝐵= ∠𝐷．求证：𝐴𝐸= 𝐴𝐹．
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【变式4-1】如图，点𝐴，𝐵在射线𝐶𝐴，𝐶𝐵上，𝐶𝐴=𝐶𝐵．点𝐸，𝐹在射线𝐶𝐷上，∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐶𝐹𝐴，∠𝐵𝐸𝐶+∠𝐵𝐶𝐴
=180°．
(1)求证：△𝐵𝐶𝐸≌△𝐶𝐴𝐹．
(2)试判断线段𝐸𝐹，𝐵𝐸，𝐴𝐹的数量关系，并说明理由．
【变式4-2】如图，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐶𝐸，𝐵𝐸⊥𝐶𝐸，垂足分别为D，E，𝐴𝐷= 2.4cm，
𝐷𝐸= 1.6cm．求𝐵𝐸的长．
【变式4-3】如图， 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中， ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐵𝐹= 90°，𝐶𝐸⊥𝐵𝐷，垂足为𝐸，𝐶𝐸的延长线交𝐴𝐵于
点𝐹， 𝐵𝐷= 𝐶𝐹．
(1)请你在图中找出一对全等三角形，并说明理由；
(2)连接𝐴𝐶，交𝐵𝐷于点 𝑃，若∠𝐶𝑃𝐷= 115°，求 ∠𝐶𝐹𝐵的度数．
【题型5 利用HL 证明三角形全等】
【例5】如图，已知𝐴𝐵⊥𝐴𝐹,𝐶𝐷⊥𝐷𝐸,𝐸,𝐹在线段𝐵𝐶上，𝐷𝐸与𝐴𝐹交于点𝑂，且𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝐵𝐸= 𝐶𝐹，求证：
Rt △𝐴𝐵𝐹≌Rt △𝐷𝐶𝐸．
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【变式5-1】如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷、𝐸分别是𝐴𝐶、𝐴𝐵上的点，𝑀、𝑁分别是𝐶𝐸、𝐵𝐷上的点，若𝐴𝑀⊥𝐶𝐸、
𝐴𝑁⊥𝐵𝐷，𝐴𝑀= 𝐴𝑁，求证：Rt △𝐴𝐵𝑁≌Rt △𝐴𝐶𝑀．
【变式5-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，直线l 经过顶点C，过A，B 两点分别作l 的垂线𝐴𝐸，𝐵𝐹，E，
F 为垂足，且𝐴𝐸= 𝐶𝐹；
求证：
(1)∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐹𝐶𝐵
(2)𝐴𝐶⊥𝐵𝐶．
【变式5-3】如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐴= 𝐶𝐵，D 是𝐴𝐶上一点，E 在𝐵𝐶的延长线上，且
𝐴𝐸= 𝐵𝐷，𝐵𝐷的延长线与𝐴𝐸交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索𝐵𝐹与𝐴𝐸有何特殊的位置关系，
并证明你的猜想．
【题型6 添加条件使三角形全等】
【例6】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷、𝐸两点分别在𝐴𝐵、𝐵𝐶边上，且𝐶𝐸= 𝐴𝐷，现增加一个条件，使得△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷
一定成立，则该条件可以是下列中的
．
①𝐵𝐷= 𝐵𝐸；②∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐶𝐴；③∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷；④𝐴𝐸⊥𝐶𝐷．
【变式6-1】如图，∠1 = ∠2，𝐴𝐶= 𝐴𝐷．给出下列条件：①𝐴𝐵= 𝐴𝐸；②𝐵𝐶= 𝐸𝐷，③∠𝐵= ∠𝐸，
④∠𝐶= ∠𝐷．从这四个条件中再选一个使△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷，符合条件的有
（填符号）．
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【变式6-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐴𝐷中，𝐴𝐵为公共边，且∠𝐶= ∠𝐷= 90°，O 为𝐴𝐷、𝐵𝐶的交点．要证明
△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷，需补充一个条件，在给出的以下四个条件中：①𝑂𝐶= 𝑂𝐷；②∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷；③
∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐵𝐴；④𝐴𝐷= 𝐵𝐶，能作为添加条件的是
．（填写序号）
【变式6-3】如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷，𝐸分别为𝐴𝐶，𝐴𝐵上的点，𝐵𝐷与𝐶𝐸交于点𝑂，连接𝑂𝐴．要
△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，还须添加一个条件，如添加𝐴𝐷= 𝐴𝐸，可运用SAS，证得△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸．请写出添加的
其它一个条件，仍能证得△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸：
．（说明：原图不再添加点和线，要求写出所有可能）
【题型7 两次证明全等】
【例7】如图所示，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵= ∠𝐶，𝐵𝐷= 𝐶𝐸，𝐵𝐸交𝐶𝐷于点𝑂，连接𝐴𝑂．试说明：
∠𝐵𝐴𝑂= ∠𝐶𝐴𝑂．
【变式7-1】如图，在五边形𝐴𝐵𝐶𝐹𝐸中，∠𝐸= ∠𝐹= 90°，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，𝐴𝐸= 𝐶𝐹，点D 是𝐸𝐹上一点，连接𝐴𝐷、
𝐶𝐷，有∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，求证：𝐸𝐷= 𝐹𝐷．
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【变式7-2】如图，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶于E，𝐶𝐹⊥𝐴𝐵于F，𝐶𝐹、𝐵𝐸相交于点D，且𝐵𝐷= 𝐶𝐷．求证：𝐴𝐵= 𝐴𝐶．
【变式7-3】如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D，𝐴𝐵= 𝐸𝐹，且𝐶𝐵= 𝐶𝐸，过C 作
𝐶𝐻∥𝐴𝐵．
(1)求证：∠𝐴𝐶𝐻= ∠𝐵𝐶𝐷；
(2)求证：𝐶𝐷= 𝐶𝐻．
【题型8 全等三角形的实际应用】
【例8】如图，为了测量水池两边A，B 间的距离，可以先过点A 作射线𝐴𝐸，再过点B 作𝐵𝐷⊥𝐴𝐸于点D，
在𝐴𝐷延长线上截取𝐷𝐶= 𝐴𝐷，连接𝐵𝐶，则𝐵𝐶的长就是A，B 间的距离，以此来判断△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐷的理由
是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
【变式8-1】要测量A，B 间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案：
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方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接𝐴𝑂，并延长到点C，使𝑂𝐶= 𝑂𝐴，连接图1：𝐵𝑂，并延长到点D，使
𝑂𝐷= 𝑂𝐵；③连接𝐷𝐶，测量𝐷𝐶的长度即可．
方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接𝐴𝑂，𝐵𝑂，并分别延长到点F，E，使𝑂𝐹= 𝑂𝐵，𝑂𝐸= 𝑂𝐴；③连接
𝐸𝐹，测量𝐸𝐹的长度即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行
B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都不可行
D．Ⅰ、Ⅱ都可行
【变式8-2】小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的
哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第 块去，这利用了三角形全等中的
原理．
【变式8-3】小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A 处，𝑂𝐴与地面垂直，两
脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的C 处接住他后用力一推，爸爸在B 处接住他，若妈妈与爸爸
到𝑂𝐴的水平距离𝐶𝐷、𝐵𝐸分别为1.4m和2m，∠𝐵𝑂𝐶= 90°．
(1) △𝑂𝐵𝐸与△𝐶𝑂𝐷全等吗？请说明理由；
(2)爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？
串知识·识框架
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过关测·稳提升
1．根据下列已知条件，能画出唯一的△𝐴𝐵𝐶的是（ ）
A．𝐴𝐵= 5，𝐵𝐶= 4，𝐴𝐶= 1
B．∠𝐴= 40°，∠𝐵= 50°，∠𝐶= 90°
C．𝐴𝐵= 5，𝐴𝐶= 4，∠𝐵= 60°
D．∠𝐴= 30°，∠𝐵= 60°，𝐴𝐵= 5
2．如图，已知𝐴𝐸= 𝐷𝐹，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝐶𝐸= 𝐵𝐹，以下结论：①△𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐵𝐹；②∠𝐴= ∠𝐷；
③𝐴𝐶= 𝐶𝐷+ 𝐷𝐹；④∠1 = ∠2；⑤𝑆△𝐴𝐶𝐸= 𝑆△𝐷𝐵𝐹，其中正确的个数为（）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
3．如图，已知△𝐴𝐵𝐶, △𝐷𝐸𝐹为小明根据△𝐴𝐵𝐶所作的图形，若△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，则他作图的根据是
（ ）
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A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．SAS
4．如图，点A，B，C，D 在同一条直线上，点E，F 分别在直线𝐴𝐵的两侧，且𝐴𝐸= 𝐵𝐹，∠𝐴= ∠𝐵，
∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐶𝐷𝐹，若𝐴𝐵= 16，𝐴𝐶= 4，则𝐶𝐷的长为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
5．在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= ∠𝐶= 50°，将△𝐴𝐵𝐶沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图所示，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，∠1 = 25°，∠2 = 30°，则∠3 =
7．如图，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，要使△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷，还需添加一个条件，这个条件可以是
．
8．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角，如图，在∠𝐴𝑂𝐵的两边𝑂𝐴、𝑂𝐵上分别在取
𝑂𝑀= 𝑂𝑁，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点𝑀、𝑁重合，这时过角尺顶点𝑃的射线𝑂𝑃就是∠𝐴𝑂𝐵
的平分线．这里构造全等三角形的依据是
．
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9．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D 是边𝐴𝐵上一点，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分
别交𝐴𝐵、𝐴𝐶于点𝑀、𝑁；②以点D 为圆心，以𝐴𝑀长为半径作弧，交𝐷𝐵于点𝑀′；③以点𝑀′为圆心，以𝑀𝑁
长为半径作弧，在∠𝐵𝐴𝐶内部交前面的弧于点𝑁′；④过点𝑁′作射线𝐷𝑁′交𝐵𝐶于点E．若∠𝐴= 44°，∠𝐵= 60°，
则∠𝐵𝐸𝐷=
°．
10．生活情境·滑滑梯 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度𝐴𝐶与右边滑梯水平方向的长度𝐷𝐹相
等，且左边滑梯水平方向的长度𝐴𝐵与右边滑梯的高度𝐷𝐸相等，若∠𝐶𝐵𝐴= 32°，则∠𝐸𝐹𝐷=
．
11．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，且𝐵𝐷= 𝐶𝐸,∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐵= ∠𝐶．求证：△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐸𝐹．
12．如图，点E 在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵上，点D、F 分别在𝐵𝐶、𝐶𝐵的延长线上，连接𝐷𝐸、𝐸𝐹，∠𝐴= ∠𝐷，
𝐵𝐶= 𝐸𝐹,∠𝐷𝐸𝐹+ ∠𝐴𝐵𝐹= 180°，求证：𝐴𝐵= 𝐷𝐸．
13．已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶、△𝐴𝐷𝐸中，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶,𝐴𝐷= 𝐴𝐸，点C、D、E 三点在同
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一直线上，连接𝐵𝐷．
(1)求证：△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸；
(2)请判断𝐵𝐷、𝐶𝐸有何关系，并证明．
14．如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹．求证：Rt △𝐵𝐷𝐸≌Rt
△𝐶𝐷𝐹．
15．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐸，𝐶𝐹分别是𝐴𝐶，𝐴𝐵两条边上的高，点D 在𝐵𝐸上满足𝐵𝐷= 𝐴𝐶，点𝐺在𝐶𝐹的延
长线上满足𝐶𝐺= 𝐴𝐵，连接𝐴𝐷，𝐴𝐺．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐺𝐶𝐴；
(2)若连接𝐷𝐺，请判断△𝐴𝐷𝐺的形状，并直接写出结论．
16．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，高𝐵𝐷，𝐶𝐸交于点F，且𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
(1)判断𝐴𝐷，𝐹𝐷的数量关系，并说明理由；
(2)若𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝐸= 1.5，求𝐶𝐹的长．
17．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝐸．若𝐷𝐸= 𝐵𝐶，𝐴𝐶= 4，𝑆△𝐶𝐷𝐸
= 6，求𝐶𝐸的长．
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18．如图，已知在△𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷， 射线𝐴𝐹交𝐵𝐷于点O，∠𝐵𝐴𝐶< ∠𝐷𝐴𝐶， 点E、F 在射线𝐴𝐹上，
且∠𝐵𝐶𝐹= ∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐵𝐴𝐷．试判断𝐴𝐶与𝐸𝐷的数量关系，并说明理由．
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答案解析
练题型·强知识
【题型1 利用SSS 证明三角形全等】
【例1】如图，𝐸是𝐴𝐶上一点，𝐵𝐶= 𝐶𝐸,𝐵𝐶+ 𝐴𝐸= 𝐷𝐸,𝐴𝐵= 𝐶𝐷．求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐸．
【答案】见解析
【分析】由已知可得𝐴𝐶= 𝐷𝐸，由SSS可证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐸．
【详解】证明：∵𝐵𝐶= 𝐶𝐸,𝐵𝐶+ 𝐴𝐸= 𝐷𝐸，
∴𝐶𝐸+ 𝐴𝐸= 𝐷𝐸，
即𝐴𝐶= 𝐷𝐸．
在△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐷𝐶
𝐵𝐶= 𝐶𝐸
𝐴𝐶= 𝐷𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐸(SSS)．
【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定(SSS)这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，要求学生
应熟练掌握．
【变式1-1】如图，已知𝐴,𝐸,𝐹,𝐶在同一条直线上，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝐵𝐹= 𝐷𝐸，𝐴𝐸= 𝐶𝐹．
求证：△𝐴𝐵𝐹≌△𝐶𝐷𝐸．
【答案】证明见详解
【分析】根据三角形全等的判定定理，即可得到结论．
【详解】∵𝐴𝐸= 𝐶𝐹，
∴AE+EF=CF+EF，即：AF=CE，
在△𝐴𝐵𝐹与△𝐶𝐷𝐸中，
∵
𝐴𝐵= 𝐶𝐷
𝐵𝐹= 𝐷𝐸
𝐴𝐹= 𝐶𝐸
，
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∴△𝐴𝐵𝐹≌△𝐶𝐷𝐸（SSS）
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定定理，掌握SSS 判定三角形全等，是解题的关键．
【变式1-2】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵= ∠𝐷= 90°，点E，F 分别在𝐴𝐵，𝐴𝐷上，𝐴𝐸= 𝐴𝐹，𝐶𝐸= 𝐶𝐹，
判断𝐶𝐵与𝐶𝐷的数量关系并加以说明．
【答案】𝐶𝐵= 𝐶𝐷，见解析
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，连接𝐴𝐶，先证△𝐴𝐸𝐶≌△𝐴𝐹𝐶(SSS)，得到
∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹，结合角平分线性质求解即可得到证明；
【详解】证明：𝐶𝐵= 𝐶𝐷，证明：
连接𝐴𝐶，
在△𝐴𝐸𝐶与△𝐴𝐹𝐶中，
∵
𝐴𝐶= 𝐴𝐶
𝐶𝐸= 𝐶𝐹
𝐴𝐸= 𝐴𝐹
，
∴△𝐴𝐸𝐶≌△𝐴𝐹𝐶(SSS)，
，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹，
∵∠𝐵= ∠𝐷= 90°，
∴𝐶𝐵= 𝐶𝐷．
【变式1-3】如图，在线段𝐵𝐶上有两点E，F，在线段𝐵𝐶的异侧有两点A，D，且满足𝐴𝐵= 𝐷𝐶，𝐴𝐸= 𝐷𝐹，
𝐶𝐸= 𝐵𝐹，连接𝐴𝐹．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹；
(2)若∠𝐵= 40°，∠𝐷𝐹𝐶= 20°，𝐴𝐹平分∠𝐵𝐴𝐸时，求∠𝐴𝐹𝐵的度数．
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【答案】(1)证明过程见解答
(2)80°
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理．
（1）利用SSS即可证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹；
（2）根据三角形内角和定理即可解决问题．
解决本题的关键是得到△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹．
【详解】（1）证明∵𝐶𝐸= 𝐵𝐹，
∴𝐶𝐸+ 𝐸𝐹= 𝐵𝐹+ 𝐸𝐹，
∴𝐶𝐹= 𝐵𝐸，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐷𝐶𝐹中，
𝐴𝐵= 𝐶𝐷
𝐴𝐸= 𝐷𝐹
𝐵𝐸= 𝐶𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹(SSS)；
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐷𝐹𝐶= 20°，
∴∠𝐸𝐴𝐵= 180°−∠𝐵−∠𝐴𝐸𝐵= 120°，
∵𝐴𝐹平分∠𝐵𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐹=
1
2∠𝐵𝐴𝐸= 60°，
∴∠𝐴𝐹𝐵= 180°−∠𝐵𝐴𝐹−∠𝐵= 180°−60°−40° = 80°．
【题型2 利用SAS 证明三角形全等】
【例2】如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐶中，𝐴𝐶= 𝐷𝐶，𝐵𝐶= 𝐸𝐶，延长𝐵𝐶，𝐸𝐷相交于点F，且∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷．求
证：∠𝐴+ ∠𝐶𝐷𝐹= 180°．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶即可求解．
【详解】证明：∵∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐴𝐶𝐸，
即∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐸𝐶𝐷，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐶中，
𝐴𝐶= 𝐷𝐶
∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐸𝐶𝐷
𝐵𝐶= 𝐸𝐶
，
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∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶，
∴∠𝐴= ∠𝐸𝐷𝐶．
又∵∠𝐸𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐷𝐹= 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐶𝐷𝐹= 180°．
【变式2-1】如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，∠1 = 25∘，∠2 = 30∘，连接𝐵𝐸，点𝐷恰好在𝐵𝐸上，
求∠3的度数．
【答案】55°
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和三角形外角性质，证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，利用全等三角形
的性质和三角形外角性质计算即可．
【详解】解：∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐷𝐴𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
在△𝐴𝐶𝐸和△𝐴𝐵𝐷中，
{
𝐴𝐶= 𝐴𝐵
∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷
𝐴𝐸= 𝐴𝐷
，
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐴𝐵𝐷(SAS)，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠2 = 30∘，
∴∠3 = ∠𝐴𝐵𝐷+ ∠1 = 25∘+ 30∘= 55∘．
【变式2-2】如图，已知在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐵𝐴= 90°，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，在Rt △𝐷𝐵𝐸中，∠𝐷𝐵𝐸= 90°，𝐷𝐵= 𝐸𝐵，
连接𝐷𝐶，𝐴𝐸，延长𝐴𝐸交𝐷𝐶于点F．试说明：△𝐴𝐸𝐵≌△𝐶𝐷𝐵．
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．先证出
∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐷，再利用SAS定理即可得．
【详解】解：∵∠𝐶𝐵𝐴= 90°，∠𝐷𝐵𝐸= 90°，
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∴∠𝐶𝐵𝐴= ∠𝐷𝐵𝐸= 90°，
∴∠𝐶𝐵𝐴−∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐷𝐵𝐸−∠𝐶𝐵𝐸，即∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐷，
在△𝐴𝐸𝐵和△𝐶𝐷𝐵中，
𝐴𝐵= 𝐶𝐵
∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐷
𝐸𝐵= 𝐷𝐵
，
∴△𝐴𝐸𝐵≌△𝐶𝐷𝐵(SAS)．
【变式2-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶、𝐶𝐹⊥𝐴𝐵，垂足分别为𝐸、𝐹，点𝑃在𝐶𝐹的延长线上，点𝐷在线段
𝐵𝐸，且𝐶𝑃= 𝐴𝐵,𝐵𝐷= 𝐴𝐶，连接𝐴𝑃、𝐴𝐷．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝑃𝐶𝐴；
(2)求∠𝑃的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠𝑃= 45°
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等
的判定与性质是解题的关键．
（1）由余角的性质得到∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝑃𝐶𝐴，根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）根据全等三角形的性质得：𝐴𝐷= 𝑃𝐴，根据余角的性质得到∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝑃𝐴𝐹= 90°，进而得出△𝑃𝐴𝐷是
等腰直角三角形，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 𝐵𝐸⊥𝐴𝐶、𝐶𝐹⊥𝐴𝐵
∴ ∠𝐵𝐸𝐴= ∠𝐶𝐹𝐴= 90°
∴ ∠𝐸𝐴𝐹+ ∠𝐴𝐵𝐷= 90°， ∠𝐸𝐴𝐹+ ∠𝑃𝐶𝐴= 90°，
∴ ∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝑃𝐶𝐴，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝑃𝐶𝐴中
𝐴𝐵= 𝑃𝐶
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝑃𝐶𝐴
𝐵𝐷= 𝐴𝐶
∴ △𝐴𝐵𝐷≌△𝑃𝐶𝐴(SAS)；
（2）由（1）得△𝐴𝐵𝐷≌△𝑃𝐶𝐴(SAS)，
∴ ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝑃，𝐴𝐷= 𝑃𝐴，
∵ ∠𝐴𝐹𝑃= 90°,
∴ ∠𝑃+ ∠𝑃𝐴𝐹= 90°,
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第 20 页 共 49 页
∴ ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝑃𝐴𝐹= 90°,
即∠𝑃𝐴𝐷= 90°，
又∵ 𝐴𝐷= 𝑃𝐴，
∴ △𝑃𝐴𝐷是等腰直角三角形，
∴ ∠𝑃= 45°．
【题型3 利用ASA 证明三角形全等】
【例3】如图，点D 是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶延长线上一点，且𝐷𝐶= 𝐴𝐶，过D 作𝐷𝐸∥𝐶𝐵，且𝐷𝐸= 𝐷𝐶，连接𝐴𝐸交
𝐵𝐶于点F，若∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐶𝐹𝐴，求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐴𝐷．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键；由题意易得
𝐷𝐸= 𝐶𝐴，∠𝐸= ∠𝐴𝐹𝐶,∠𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵，则有∠𝐸= ∠𝐶𝐴𝐵，然后问题可求证．
【详解】证明：∵𝐷𝐶= 𝐴𝐶，𝐷𝐸= 𝐷𝐶，
∴𝐷𝐸= 𝐶𝐴，
∵𝐷𝐸∥𝐶𝐵，
∴∠𝐸= ∠𝐴𝐹𝐶,∠𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵，
∵∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐶𝐹𝐴，
∴∠𝐸= ∠𝐶𝐴𝐵，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐴𝐷(ASA)．
【变式3-1】如图，已知𝐴𝐶= 𝐶𝐷，∠1 = ∠2 = ∠3，求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶．
【答案】详见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
首先利用∠1 = ∠3以及对顶角相等，利用三角形内角和得出∠𝐴= ∠𝐷．然后通过∠1 = ∠2，在等式两边同时
加上∠𝐻𝐶𝐵，从而得出∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸，最后利用ASA判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶．
【详解】证明：∵∠1 = ∠3，∠𝐴𝐻𝐶= ∠𝐷𝐻𝐺，
∴∠𝐴= ∠𝐷．
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又∵∠1 = ∠2，
∴∠1 + ∠𝐻𝐶𝐵= ∠2 + ∠𝐻𝐶𝐵，
即∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸．
在△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐶中，
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸
𝐴𝐶= 𝐷𝐶
∠𝐴= ∠𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶(ASA)．
【变式3-2】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，连接𝐴𝐶，点E 在𝐴𝐶上，𝐴𝐸= 𝐶𝐷，连接𝐵𝐸，
∠𝐷+ ∠𝐵𝐸𝐶= 180°．求证：𝐵𝐸= 𝐴𝐷．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用互补的性质可得∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐷，据此证明
△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷即可．
【详解】证明：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷，
∵∠𝐴𝐸𝐵+ ∠𝐵𝐸𝐶= 180°，∠𝐷+ ∠𝐵𝐸𝐶= 180°，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐷，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐷中，
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷
𝐴𝐸= 𝐶𝐷
∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷(ASA)，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐷．
【变式3-3】如图，已在△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，𝐵𝐷⊥𝐴𝐵，𝐸𝐶⊥𝐴𝐶，求证：
𝐴𝐷= 𝐴𝐸．
【答案】证明见解析．
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【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题中条件证明出三角形全等是解题的关键．根据𝐵𝐷⊥𝐴𝐵，
𝐸𝐶⊥𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，从而得出∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸= 90°，结合𝐴𝐵= 𝐴𝐶，即可得出
△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(ASA)，进而可以解决问题．
【详解】证明：∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐷𝐴𝐶，
即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐵，𝐸𝐶⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸= 90°，
在△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐸中，
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(ASA)，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐸．
【题型4 利用AAS 证明三角形全等】
【例4】如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶= 𝐶𝐷，𝐶𝐸= 𝐶𝐹，∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐸，∠𝐵= ∠𝐷．求证：𝐴𝐸= 𝐴𝐹．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据线段之间和差关系，角度之间和差关系证得𝐵𝐸= 𝐷𝐹，
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐹，利用AAS即可证明，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【详解】证明：∵𝐵𝐶= 𝐶𝐷，𝐶𝐸= 𝐶𝐹，
则𝐵𝐶−𝐶𝐸= 𝐶𝐷−𝐶𝐹，
∴𝐵𝐸= 𝐷𝐹，
∵∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐸，
则∠𝐵𝐴𝐹−∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐸𝐴𝐹，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐹，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐷𝐹中，
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐹
∠𝐵= ∠𝐷
𝐵𝐸= 𝐷𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐹(AAS)，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐹．
【变式4-1】如图，点𝐴，𝐵在射线𝐶𝐴，𝐶𝐵上，𝐶𝐴=𝐶𝐵．点𝐸，𝐹在射线𝐶𝐷上，∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐶𝐹𝐴，∠𝐵𝐸𝐶+∠𝐵𝐶𝐴
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=180°．
(1)求证：△𝐵𝐶𝐸≌△𝐶𝐴𝐹．
(2)试判断线段𝐸𝐹，𝐵𝐸，𝐴𝐹的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)𝐸𝐹+𝐴𝐹=𝐵𝐸，理由见解析
【分析】（1）由“𝐴𝐴𝑆”可证△𝐵𝐶𝐸≌△𝐶𝐴𝐹；
（2）由全等三角形的性质可得𝐴𝐹=𝐶𝐸，𝐶𝐹=𝐵𝐸，可得结论．
【详解】（1）证明：∵∠𝐵𝐸𝐶+∠𝐵𝐶𝐴=180°，
∴∠𝐵𝐸𝐶+∠𝐸𝐶𝐵+∠𝐴𝐶𝐹=180°，
∵∠𝐶𝐹𝐴+∠𝐴𝐶𝐹+∠𝐹𝐴𝐶=180°，∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐶𝐹𝐴，
∴∠𝐵𝐶𝐹=∠𝐹𝐴𝐶，
在△𝐵𝐶𝐸与△𝐶𝐴𝐹中
∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐶𝐹𝐴
∠𝐵𝐶𝐹=∠𝐹𝐴𝐶
𝐶𝐴= 𝐶𝐵
，
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐶𝐴𝐹（𝐴𝐴𝑆）；
（2）解：𝐴𝐹+𝐸𝐹=𝐵𝐸，理由如下：
∵△𝐵𝐶𝐸≌△𝐶𝐴𝐹，
∴𝐴𝐹=𝐶𝐸，𝐶𝐹=𝐵𝐸，
∵𝐶𝐸+𝐸𝐹=𝐶𝐹，
∴𝐴𝐹+𝐸𝐹=𝐵𝐸．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式4-2】如图，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐶𝐸，𝐵𝐸⊥𝐶𝐸，垂足分别为D，E，𝐴𝐷= 2.4cm，
𝐷𝐸= 1.6cm．求𝐵𝐸的长．
【答案】0.8cm
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【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，根据条件可以得出∠𝐸= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，利用AAS得出
△𝐶𝐸𝐵≌△𝐴𝐷𝐶，就可以得出𝐵𝐸= 𝐷𝐶，就可以求出𝐵𝐸的值．
【详解】解：∵𝐵𝐸⊥𝐶𝐸，𝐴𝐷⊥𝐶𝐸，
∴∠𝐸= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐸= 90°，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∵∠𝐵𝐶𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐷= 90°，
∴∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐷𝐶𝐴，
在△𝐶𝐸𝐵和△𝐴𝐷𝐶中，
∠𝐸= ∠𝐴𝐷𝐶
∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐷𝐶𝐴
𝐵𝐶= 𝐴𝐶
，
∴△𝐶𝐸𝐵≌△𝐴𝐷𝐶(AAS)，
∴𝐵𝐸= 𝐷𝐶，𝐶𝐸= 𝐴𝐷= 2.4cm,
∵𝐷𝐶= 𝐶𝐸−𝐷𝐸，𝐷𝐸= 1.6cm,
∴𝐷𝐶= 2.4−1.6 = 0.8cm,
∴𝐵𝐸= 0.8cm．
【变式4-3】如图， 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中， ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐵𝐹= 90°，𝐶𝐸⊥𝐵𝐷，垂足为𝐸，𝐶𝐸的延长线交𝐴𝐵于
点𝐹， 𝐵𝐷= 𝐶𝐹．
(1)请你在图中找出一对全等三角形，并说明理由；
(2)连接𝐴𝐶，交𝐵𝐷于点 𝑃，若∠𝐶𝑃𝐷= 115°，求 ∠𝐶𝐹𝐵的度数．
【答案】(1) △𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐵𝐹，理由解析；
(2)∠𝐶𝐹𝐵= 70°．
【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠𝐶𝐹𝐵= ∠𝐵𝐷𝐴，再由全等三角形的判定方法证全等即可；
（2）由第一问全等可得△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，推出∠𝐵𝐴𝐶= 45°，再用三角形内角和即可求解；
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，同角的余角相等，掌握相关知识是解题的
关键．
【详解】（1）△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐵𝐹，理由如下：
∵𝐶𝐸⊥𝐵𝐷，
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∴∠𝐶𝐸𝐵= ∠𝐵𝐸𝐹= 90°，
∴∠𝐶𝐹𝐵= ∠𝐵𝐷𝐴= 90°−∠𝐹𝐵𝐸，
在△𝐶𝐵𝐹和△𝐵𝐴𝐷中，
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐵𝐹
∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐶𝐹𝐵
𝐵𝐷= 𝐶𝐹
，
∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐵𝐹(AAS)；
（2）由（1）知△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐵𝐹，理由如下,
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶𝐹𝐵，
∵∠𝐶𝐵𝐹= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 45°，
∵∠𝐶𝑃𝐷= 115° = ∠𝐴𝑃𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝐷= 180°−∠𝐴𝑃𝐵−∠𝐵𝐴𝐶= 20°，
∴∠𝐶𝐹𝐵= 90°−20° = 70°．
【题型5 利用HL 证明三角形全等】
【例5】如图，已知𝐴𝐵⊥𝐴𝐹,𝐶𝐷⊥𝐷𝐸,𝐸,𝐹在线段𝐵𝐶上，𝐷𝐸与𝐴𝐹交于点𝑂，且𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝐵𝐸= 𝐶𝐹，求证：
Rt △𝐴𝐵𝐹≌Rt △𝐷𝐶𝐸．
【答案】见解析
【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由𝐵𝐸= 𝐶𝐹推出𝐵𝐹= 𝐶𝐸，利用HL进行判定．
【详解】证明：∵𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐵𝐸+ 𝐸𝐹= 𝐶𝐹+ 𝐸𝐹，即𝐵𝐹= 𝐶𝐸，
∵ 𝐴𝐵⊥𝐴𝐹,𝐶𝐷⊥𝐷𝐸，
∴∠𝐴= ∠𝐷= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐹与△𝐷𝐶𝐸都为直角三角形，
在Rt △𝐴𝐵𝐹和Rt △𝐷𝐶𝐸中，
𝐵𝐹= 𝐶𝐸
𝐴𝐵= 𝐶𝐷
，
∴ Rt △𝐴𝐵𝐹≌Rt △𝐷𝐶𝐸(HL)．
【变式5-1】如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷、𝐸分别是𝐴𝐶、𝐴𝐵上的点，𝑀、𝑁分别是𝐶𝐸、𝐵𝐷上的点，若𝐴𝑀⊥𝐶𝐸、
𝐴𝑁⊥𝐵𝐷，𝐴𝑀= 𝐴𝑁，求证：Rt △𝐴𝐵𝑁≌Rt △𝐴𝐶𝑀．
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【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．利用“HL”证明全等即可．
【详解】证明：∵𝐴𝑀⊥𝐶𝐸、𝐴𝑁⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝑁𝐵= ∠𝐴𝑀𝐶= 90°
在Rt △𝐴𝐵𝑁和Rt △𝐴𝐶𝑀中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
𝐴𝑁= 𝐴𝑀
，
∴Rt △𝐴𝐵𝑁≌Rt △𝐴𝐶𝑀(HL)
【变式5-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，直线l 经过顶点C，过A，B 两点分别作l 的垂线𝐴𝐸，𝐵𝐹，E，
F 为垂足，且𝐴𝐸= 𝐶𝐹；
求证：
(1)∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐹𝐶𝐵
(2)𝐴𝐶⊥𝐵𝐶．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，证明Rt △𝐴𝐸𝐶≌Rt △𝐶𝐹𝐵(HL)
是解答的关键．
（1）证明Rt △𝐴𝐸𝐶≌Rt △𝐶𝐹𝐵(HL)，利用全等三角形的对应角相等可得结论；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余证明∠𝐴𝐶𝐵= 90°即可得结论．
【详解】（1）证明：∵𝐴𝐸⊥𝑙于E 点，𝐵𝐹⊥𝑙于F 点
∴在Rt △𝐴𝐸𝐶与Rt △𝐶𝐹𝐵中
𝐴𝐸= 𝐶𝐹
𝐴𝐶= 𝐵𝐶
∴Rt △𝐴𝐸𝐶≌Rt △𝐶𝐹𝐵(HL)
∴∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐹𝐶𝐵；
（2）证明：在直角三角形𝐴𝐸𝐶中，∠𝐴𝐸𝐶= 90°
∴∠𝐸𝐴𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐴= 90°
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∴∠𝐸𝐶𝐴+ ∠𝐹𝐶𝐵= 90°
∵E、C，F 三点共线
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−(∠𝐸𝐶𝐴+ ∠𝐹𝐶𝐵) = 180°−90° = 90°
∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐶．
【变式5-3】如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐴= 𝐶𝐵，D 是𝐴𝐶上一点，E 在𝐵𝐶的延长线上，且
𝐴𝐸= 𝐵𝐷，𝐵𝐷的延长线与𝐴𝐸交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索𝐵𝐹与𝐴𝐸有何特殊的位置关系，
并证明你的猜想．
【答案】𝐵𝐹⊥𝐴𝐸，证明见详解
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和．先由∠𝐴𝐶𝐵= 90°，得∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，结合
𝐴𝐸= 𝐵𝐷，𝐶𝐴= 𝐶𝐵，则证明△𝐵𝐶𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(HL)，故∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，结合三角形内角和以及对顶角相等，
即可作答．
【详解】解：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°
∵𝐴𝐸= 𝐵𝐷，𝐶𝐴= 𝐶𝐵，
∴△𝐵𝐶𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(HL)
∴∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
∵∠𝐶𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐹
∴180°−∠𝐶𝐷𝐵−∠𝐶𝐵𝐷= 180°−∠𝐴𝐷𝐹−∠𝐶𝐴𝐸
即∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐵𝐶𝐴= 90°
故𝐵𝐹⊥𝐴𝐸
【题型6 添加条件使三角形全等】
【例6】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷、𝐸两点分别在𝐴𝐵、𝐵𝐶边上，且𝐶𝐸= 𝐴𝐷，现增加一个条件，使得△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷
一定成立，则该条件可以是下列中的
．
①𝐵𝐷= 𝐵𝐸；②∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐶𝐴；③∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷；④𝐴𝐸⊥𝐶𝐷．
【答案】①②③
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【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断．关键是掌握全等三角形的判
定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．根据全等三角形的判定方法结合添加的条件逐一分析即可．
【详解】解：①由𝐶𝐸= 𝐴𝐷，𝐵𝐷= 𝐵𝐸，得到𝐴𝐵= 𝐶𝐵，又∠𝐵= ∠𝐵，由SAS判定△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷，故①符
合题意；
②由∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐶𝐴，推出𝐴𝐵= 𝐶𝐵，而𝐶𝐸= 𝐴𝐷，可得𝐵𝐷= 𝐵𝐸，结合∠𝐵= ∠𝐵，由SAS判定
△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷，故②符合题意；
③如图，记𝐴𝐸,𝐶𝐷交点为𝑁，
∵∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐴𝑁𝐷= ∠𝐶𝑁𝐸，𝐶𝐸= 𝐴𝐷，
∴△𝐴𝑁𝐷≌△𝐶𝑁𝐸，
∴𝐷𝑁= 𝐸𝑁，𝐴𝑁= 𝐶𝑁，
∴𝐴𝐸= 𝐶𝐷，
∵∠𝐵= ∠𝐵，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐶𝐷，
∴由AAS判定△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷，故③符合题意；
④增加添加𝐴𝐸⊥𝐶𝐷，不能判定△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷，故④不符合题意．
∴增加一个条件，使得△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷一定成立，则该条件可以是①②③．
故答案为：①②③．
【变式6-1】如图，∠1 = ∠2，𝐴𝐶= 𝐴𝐷．给出下列条件：①𝐴𝐵= 𝐴𝐸；②𝐵𝐶= 𝐸𝐷，③∠𝐵= ∠𝐸，
④∠𝐶= ∠𝐷．从这四个条件中再选一个使△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷，符合条件的有
（填符号）．
【答案】①③④
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据三角形全等的判
定逐个判断即可得到答案；
【详解】解：∵∠1 = ∠2，
∴∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐸，
∵𝐴𝐶= 𝐴𝐷，
∴添加①𝐴𝐵= 𝐴𝐸，可以用SAS判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷；
添加③∠𝐵= ∠𝐸，可以用AAS判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷；
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添加④∠𝐶= ∠𝐷，可以用ASA判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷；
添加②不能判定三角形全等．
故答案为：①③④．
【变式6-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐴𝐷中，𝐴𝐵为公共边，且∠𝐶= ∠𝐷= 90°，O 为𝐴𝐷、𝐵𝐶的交点．要证明
△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷，需补充一个条件，在给出的以下四个条件中：①𝑂𝐶= 𝑂𝐷；②∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷；③
∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐵𝐴；④𝐴𝐷= 𝐵𝐶，能作为添加条件的是
．（填写序号）
【答案】①②③④
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握判定三角形全等的方法．根据全等
三角形的判定与性质逐一进行判断即可．
【详解】解：∵ ∠𝐶= ∠𝐷= 90°，
在△𝐴𝑂𝐶和△𝐵𝑂𝐷中
∠𝐶= ∠𝐷
𝑂𝐶= 𝑂𝐷
∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷
∴△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷(ASA)，故①正确；
∵ ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷，
∴𝑂𝐴= 𝑂𝐵．
在△𝐴𝑂𝐶和△𝐵𝑂𝐷中
∠𝐶= ∠𝐷
∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷
𝑂𝐴= 𝑂𝐵
∴△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷(AAS)，故②正确；
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐴𝐷中
∠𝐶= ∠𝐷
∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐵𝐴
𝐵𝐴= 𝐴𝐵
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐴𝐷(AAS)．
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐷．
在△𝐴𝑂𝐶和△𝐵𝑂𝐷中
∠𝐶= ∠𝐷
∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷
𝐴𝐶= 𝐵𝐷
∴△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷(AAS)，故③正确；
在Rt △𝐴𝐵𝐶和Rt △𝐵𝐴𝐷中，
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𝐴𝐵= 𝐵𝐴
𝐵𝐶= 𝐴𝐷
∴Rt △𝐴𝐵𝐶≌Rt △𝐵𝐴𝐷(HL)．
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐷．
在△𝐴𝑂𝐶和△𝐵𝑂𝐷中
∠𝐶= ∠𝐷
∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷
𝐴𝐶= 𝐵𝐷
∴△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷(AAS)，故④正确；
∴能作为添加条件的是①②③④．
故答案为：①②③④．
【变式6-3】如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷，𝐸分别为𝐴𝐶，𝐴𝐵上的点，𝐵𝐷与𝐶𝐸交于点𝑂，连接𝑂𝐴．要
△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，还须添加一个条件，如添加𝐴𝐷= 𝐴𝐸，可运用SAS，证得△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸．请写出添加的
其它一个条件，仍能证得△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸：
．（说明：原图不再添加点和线，要求写出所有可能）
【答案】∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸，∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐴𝐷𝐵，𝑂𝐵= 𝑂𝐶，𝐵𝐸= 𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝑂= ∠𝐶𝐴𝑂，∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐶𝐷𝐵，
∠𝑂𝐵𝐶= ∠𝑂𝐶𝐵
【分析】本题考查全等三角形的性质和判断，掌握判断定理是解题关键；要△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，已知一组对
应边相等和一个公共角，再添加一个条件可以是角相等，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸或∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐴𝐷𝐵、∠𝐵𝐴𝑂= ∠𝐶𝐴𝑂，
依据是ASA或AAS，也可以是间接条件，得出𝐴𝐷= 𝐴𝐸，如𝐵𝐸= 𝐷𝐶，能间接证出△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸再有一组
角相等或一组边相等即可
【详解】解：添加∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸，依据是ASA，
添加∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐴𝐷𝐵，依据是AAS，
添加∠𝐵𝐴𝑂= ∠𝐶𝐴𝑂，可先得出△𝐴𝐵𝑂≌△𝐴𝐶𝑂(SAS)，从而得出∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸，然后依据ASA可证
△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸；
添加∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐶𝐷𝐵可得∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐴𝐷𝐵，则依据AAS证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸；
添加∠𝑂𝐵𝐶= ∠𝑂𝐶𝐵可得∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸，则依据ASA可证△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸；
添加𝑂𝐵= 𝑂𝐶，先证△𝐴𝐵𝑂≌△𝐴𝐶𝑂(SSS)，从而得出∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸，进而得出△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，依据是
ASA，
添加𝐵𝐸= 𝐶𝐷，可得出𝐴𝐷= 𝐴𝐸，进而△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，依据SAS，
故答案为：∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸，∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐴𝐷𝐵，𝑂𝐵= 𝑂𝐶，𝐵𝐸= 𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝑂= ∠𝐶𝐴𝑂，∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐶𝐷𝐵，
∠𝑂𝐵𝐶= ∠𝑂𝐶𝐵．
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【题型7 两次证明全等】
【例7】如图所示，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵= ∠𝐶，𝐵𝐷= 𝐶𝐸，𝐵𝐸交𝐶𝐷于点𝑂，连接𝐴𝑂．试说明：
∠𝐵𝐴𝑂= ∠𝐶𝐴𝑂．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键
证明△𝐵𝑂𝐷≌△𝐶𝑂𝐸(AAS)，则𝑂𝐵= 𝑂𝐶．证明△𝐴𝐵𝑂≌△𝐴𝐶𝑂(SSS)，可得 ∠𝐵𝐴𝑂= ∠𝐶𝐴𝑂．
【详解】解：在△𝐵𝑂𝐷和△𝐶𝑂𝐸中，
∵
∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝐶𝑂𝐸
∠𝐵= ∠𝐶
𝐵𝐷= 𝐶𝐸
，
∴△𝐵𝑂𝐷≌△𝐶𝑂𝐸(AAS)，
∴𝑂𝐵= 𝑂𝐶．
在△𝐴𝐵𝑂和△𝐴𝐶𝑂中，
∵
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
𝐴𝑂= 𝐴𝑂
𝑂𝐵= 𝑂𝐶
，
∴△𝐴𝐵𝑂≌△𝐴𝐶𝑂(SSS)，
∴∠𝐵𝐴𝑂= ∠𝐶𝐴𝑂．
【变式7-1】如图，在五边形𝐴𝐵𝐶𝐹𝐸中，∠𝐸= ∠𝐹= 90°，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，𝐴𝐸= 𝐶𝐹，点D 是𝐸𝐹上一点，连接𝐴𝐷、
𝐶𝐷，有∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，求证：𝐸𝐷= 𝐹𝐷．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，
连接𝐵𝐷，首先证明出Rt △𝐴𝐵𝐷≌Rt △𝐶𝐵𝐷(HL)，得到𝐴𝐷= 𝐶𝐷，然后证明出Rt △𝐴𝐷𝐸≌Rt △𝐶𝐷𝐹(HL)，得
到𝐸𝐷= 𝐹𝐷．
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【详解】解：连接𝐵𝐷，
在Rt △𝐴𝐵𝐷和Rt △𝐶𝐵𝐷中，
有𝐴𝐵= 𝐶𝐵
𝐵𝐷= 𝐵𝐷
∴Rt △𝐴𝐵𝐷≌Rt △𝐶𝐵𝐷(HL)，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷．
在Rt △𝐴𝐷𝐸和Rt △𝐶𝐷𝐹中，
有𝐴𝐸= 𝐶𝐹,
𝐴𝐷= 𝐶𝐷,
∴Rt △𝐴𝐷𝐸≌Rt △𝐶𝐷𝐹(HL)，
∴𝐸𝐷= 𝐹𝐷．
【变式7-2】如图，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶于E，𝐶𝐹⊥𝐴𝐵于F，𝐶𝐹、𝐵𝐸相交于点D，且𝐵𝐷= 𝐶𝐷．求证：𝐴𝐵= 𝐴𝐶．
【答案】证明见解答
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，证明△𝐵𝐹𝐷≌△𝐶𝐸𝐷，推导出𝐵𝐸= 𝐶𝐹，进而证明
△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹是解题的关键．由𝐵𝐸⊥𝐴𝐶于E，𝐶𝐹⊥𝐴𝐵于F，得∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐶𝐸𝐷= 90∘，
而∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐶𝐷𝐸，𝐵𝐷= 𝐶𝐷，可根据“AAS”证明△𝐵𝐹𝐷≌△𝐶𝐸𝐷，得𝐷𝐹= 𝐷𝐸，则𝐵𝐸= 𝐶𝐹，再根据“AAS”
证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹，则𝐴𝐵= 𝐴𝐶．
【详解】证明：∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐶于E，𝐶𝐹⊥𝐴𝐵于F，𝐶𝐹、𝐵𝐸相交于点D，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐶𝐸𝐷= 90∘，
在△𝐵𝐹𝐷和△𝐶𝐸𝐷中，
∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐶𝐸𝐷
∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐶𝐷𝐸
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
，
∴△𝐵𝐹𝐷≌△𝐶𝐸𝐷(AAS)，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐸，
预习讲义 第08 讲 三角形全等的判定（解析版）
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∴𝐵𝐷+ 𝐷𝐸= 𝐶𝐷+ 𝐷𝐹，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐹中，
∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹
𝐵𝐸= 𝐶𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹(AAS)，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶．
【变式7-3】如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D，𝐴𝐵= 𝐸𝐹，且𝐶𝐵= 𝐶𝐸，过C 作
𝐶𝐻∥𝐴𝐵．
(1)求证：∠𝐴𝐶𝐻= ∠𝐵𝐶𝐷；
(2)求证：𝐶𝐷= 𝐶𝐻．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题
的关键；
（1）证明∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，∠𝐻𝐶𝐷= 90° = ∠𝐸𝐶𝐻+ ∠𝐴𝐶𝐷即可得到结论；
（2）先证明Rt △𝐴𝐵𝐶≌Rt △𝐹𝐸𝐶，再证明△𝐹𝐶𝐻≌△𝐴𝐶𝐷即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷= 90°，
∵𝐶𝐻∥𝐴𝐵，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
∴𝐶𝐻⊥𝐶𝐷，
∴∠𝐻𝐶𝐷= 90° = ∠𝐸𝐶𝐻+ ∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐻= ∠𝐵𝐶𝐷；
（2）证明：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90° = ∠𝐹𝐶𝐸，
∵𝐴𝐵= 𝐸𝐹，𝐶𝐵= 𝐶𝐸，
∴Rt △𝐴𝐵𝐶≌Rt △𝐹𝐸𝐶，
∴∠𝐴= ∠𝐹，𝐹𝐶= 𝐴𝐶，
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∵∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐸𝐶𝐻= 90° = ∠𝐸𝐶𝐻+ ∠𝐹𝐶𝐻，
∴∠𝐹𝐶𝐻= ∠𝐴𝐶𝐷，
∴△𝐹𝐶𝐻≌△𝐴𝐶𝐷，
∴𝐶𝐻= 𝐶𝐷．
【题型8 全等三角形的实际应用】
【例8】如图，为了测量水池两边A，B 间的距离，可以先过点A 作射线𝐴𝐸，再过点B 作𝐵𝐷⊥𝐴𝐸于点D，
在𝐴𝐷延长线上截取𝐷𝐶= 𝐴𝐷，连接𝐵𝐶，则𝐵𝐶的长就是A，B 间的距离，以此来判断△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐷的理由
是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据𝐷𝐶= 𝐴𝐷，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶𝐷𝐵= 90°，𝐵𝐷= 𝐵𝐷，利用SAS判
断△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐷即可．
【详解】解：∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶𝐷𝐵= 90°，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐶𝐵𝐷中，
𝐷𝐶= 𝐴𝐷
∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶𝐷𝐵= 90°
𝐵𝐷= 𝐵𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐷(SAS)．
故选：B．
【变式8-1】要测量A，B 间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案：
方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接𝐴𝑂，并延长到点C，使𝑂𝐶= 𝑂𝐴，连接图1：𝐵𝑂，并延长到点D，使
𝑂𝐷= 𝑂𝐵；③连接𝐷𝐶，测量𝐷𝐶的长度即可．
方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接𝐴𝑂，𝐵𝑂，并分别延长到点F，E，使𝑂𝐹= 𝑂𝐵，𝑂𝐸= 𝑂𝐴；③连接
𝐸𝐹，测量𝐸𝐹的长度即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（ ）
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A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行
B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都不可行
D．Ⅰ、Ⅱ都可行
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据全等
三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：方案Ⅰ：在△𝐴𝑂𝐵与△𝐶𝑂𝐷中，
𝐴𝑂= 𝑂𝐶
∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷
𝑂𝐵= 𝑂𝐷
，
∴△𝐴𝑂𝐵≌△𝐶𝑂𝐷(SAS)，
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐷；
方案Ⅱ：在△𝐴𝑂𝐵与△𝐶𝑂𝐷中，
𝐴𝑂= 𝐸𝑂
∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐸𝑂𝐹
𝑂𝐵= 𝑂𝐹
，
∴△𝐴𝑂𝐵≌△𝐸𝑂𝐹(SAS)，
∴𝐴𝐵= 𝐸𝐹，
故选：D．
【变式8-2】小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的
哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第 块去，这利用了三角形全等中的
原理．
【答案】
4
ASA
【分析】根据全等三角形的判断方法解答．
【详解】解：由图可知，带第4 块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．
故答案为：4；ASA
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．
【变式8-3】小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A 处，𝑂𝐴与地面垂直，两
脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的C 处接住他后用力一推，爸爸在B 处接住他，若妈妈与爸爸
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到𝑂𝐴的水平距离𝐶𝐷、𝐵𝐸分别为1.4m和2m，∠𝐵𝑂𝐶= 90°．
(1) △𝑂𝐵𝐸与△𝐶𝑂𝐷全等吗？请说明理由；
(2)爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？
【答案】(1)全等，理由见解析
(2)爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小明的
【分析】（1）由题意可知∠𝐵𝐸𝑂= ∠𝐶𝐷𝑂= 90°，𝑂𝐵= 𝑂𝐶，∠𝐵𝑂𝐸+ ∠𝐶𝑂𝐷= ∠𝐶𝑂𝐷+ ∠𝑂𝐶𝐷= 90°，即得
出∠𝐵𝑂𝐸= ∠𝑂𝐶𝐷，从而可利用“AAS”证明△𝐵𝑂𝐸≌△𝑂𝐶𝐷；
（2）由全等的性质可得出𝐵𝐸= 𝑂𝐷，𝑂𝐸= 𝐶𝐷，从而可求出𝐷𝐸= 𝑂𝐷−𝑂𝐸= 𝐵𝐸−𝐶𝐷= 0.6m，进而即可求出
𝐴𝐸= 1.8m．
【详解】（1）△𝑂𝐶𝐷与△𝐵𝑂𝐸全等．
证明：由题意可知∠𝐵𝐸𝑂= ∠𝐶𝐷𝑂= 90°，𝑂𝐵= 𝑂𝐶．
∵∠𝐵𝑂𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝑂𝐸+ ∠𝐶𝑂𝐷= ∠𝐶𝑂𝐷+ ∠𝑂𝐶𝐷= 90°．
∴∠𝐵𝑂𝐸= ∠𝑂𝐶𝐷．
在△𝐵𝑂𝐸和△𝑂𝐶𝐷中，
∠𝐵𝑂𝐸= ∠𝑂𝐶𝐷
∠𝐵𝐸𝑂= ∠𝑂𝐷𝐶
𝑂𝐶= 𝑂𝐵
，
∴△𝐵𝑂𝐸≌△𝑂𝐶𝐷(AAS)；
（2）∵△𝐵𝑂𝐸≌△𝑂𝐶𝐷，
∴𝐵𝐸= 𝑂𝐷，𝑂𝐸= 𝐶𝐷．
∵𝐶𝐷、𝐵𝐸分别为1.4m和2m，
∴𝐷𝐸= 𝑂𝐷−𝑂𝐸= 𝐵𝐸−𝐶𝐷= 2−1.4 = 0.6m．
∵𝐴𝐷= 1.2m，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐸= 1.8m．
答：爸爸是在距离地面1.8m 的地方接住小明的．
过关测·稳提升
1．根据下列已知条件，能画出唯一的△𝐴𝐵𝐶的是（ ）
A．𝐴𝐵= 5，𝐵𝐶= 4，𝐴𝐶= 1
B．∠𝐴= 40°，∠𝐵= 50°，∠𝐶= 90°
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C．𝐴𝐵= 5，𝐴𝐶= 4，∠𝐵= 60°
D．∠𝐴= 30°，∠𝐵= 60°，𝐴𝐵= 5
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，三角形三边关系应用；判定两个三角形全等的方法有SSS、
SAS、ASA、AAS、HL，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定，三角形的
三边关系一一判断即可．
【详解】解：A、∵5 = 4 + 1，
∴不能画出△𝐴𝐵𝐶，故本选项不符合题意；
B、已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
C、已知两边及其中一边的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
D、已知两角及其夹边，能画出唯一三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．如图，已知𝐴𝐸= 𝐷𝐹，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝐶𝐸= 𝐵𝐹，以下结论：①△𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐵𝐹；②∠𝐴= ∠𝐷；
③𝐴𝐶= 𝐶𝐷+ 𝐷𝐹；④∠1 = ∠2；⑤𝑆△𝐴𝐶𝐸= 𝑆△𝐷𝐵𝐹，其中正确的个数为（）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握全等三角形的判定和性质．
利用“SSS”证△𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐵𝐹，依据全等三角形对应角相等，得∠𝐴= ∠𝐷．分析线段关系，判断𝐴𝐶= 𝐶𝐷+ 𝐷𝐹
不成立．由全等得∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐷𝐵𝐹，进而推出∠1 = ∠2．根据全等三角形面积相等，得𝑆△𝐴𝐶𝐸= 𝑆△𝐷𝐵𝐹，统计
正确结论个数．
【详解】∵𝐴𝐵= 𝐶𝐷，
∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 𝐶𝐷+ 𝐵𝐶，即𝐴𝐶= 𝐷𝐵．
∵𝐴𝐸= 𝐷𝐹，𝐶𝐸= 𝐵𝐹，
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐵𝐹，
∴①正确．
∵△𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐵𝐹，
∴∠𝐴= ∠𝐷，
∴②正确．
由前面已证𝐴𝐶= 𝐷𝐵，仅根据已知条件无法得出𝐴𝐶= 𝐶𝐷+ 𝐷𝐹，
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∴③错误．
∵△𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐵𝐹，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐷𝐵𝐹．
∵∠1 = 180°−∠𝐴𝐶𝐸，∠2 = 180°−∠𝐷𝐵𝐹，
∴∠1 = ∠2，
∴④正确．
由于△𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐵𝐹，根据全等三角形的性质：全等三角形面积相等，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐸= 𝑆△𝐷𝐵𝐹，
∴⑤正确．
综上，①②④⑤正确，正确的个数是4 个，
故选：B．
3．如图，已知△𝐴𝐵𝐶, △𝐷𝐸𝐹为小明根据△𝐴𝐵𝐶所作的图形，若△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，则他作图的根据是
（ ）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．SAS
【答案】D
【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，读懂图形的信息是解题的关键，根据SAS判定三角形全
等即可．
【详解】解∶由作图知∶∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐵，𝐸𝐹= 𝐵𝐶，𝐷𝐸= 𝐴𝐵，
∴△𝐷𝐸𝐹≌△𝐴𝐵𝐶(SAS)，
故选：D．
4．如图，点A，B，C，D 在同一条直线上，点E，F 分别在直线𝐴𝐵的两侧，且𝐴𝐸= 𝐵𝐹，∠𝐴= ∠𝐵，
∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐶𝐷𝐹，若𝐴𝐵= 16，𝐴𝐶= 4，则𝐶𝐷的长为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
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【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先题意得到∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐷𝐹，再证明△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐷𝐹
(AAS)得到𝐵𝐷= 𝐴𝐶= 4，据此根据线段的和差关系可得答案．
【详解】解：∵∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐶𝐷𝐹，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐷𝐹，
又∵∠𝐴= ∠𝐵，𝐴𝐸= 𝐵𝐹，
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐷𝐹(AAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐶= 4，
∴𝐶𝐷= 𝐴𝐵−𝐴𝐶−𝐵𝐷= 8，
故选：C．
5．在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= ∠𝐶= 50°，将△𝐴𝐵𝐶沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查的是三角形的外角的性质、全等三角形的判定等知识点，熟记全等三角形的判定方
法是解本题的关键．
根据全等三角形的判定方法逐一分析判断即可．
【详解】解：A．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意；
B．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意；
C．如图：
∵∠𝐷𝐹𝐶= 50° + ∠𝐸𝐹𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐷𝐹，∠𝐵= ∠𝐶= 50°，
∴∠𝐸𝐹𝐶= ∠𝐵𝐷𝐹，
∵𝐵𝐷= 𝐶𝐹= 2，∠𝐵= ∠𝐶= 50°，
∴根据ASA可知剪下的两个三角形全等；不符合题意；
D．如图:
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同理可得：∠𝐸𝐹𝐶= ∠𝐹𝐷𝐵，而∠𝐵= ∠𝐶= 50°，
但两三角形对应边不一定相等，则两个三角形不一定全等，符合题意．
故选：D．
6．如图所示，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，∠1 = 25°，∠2 = 30°，则∠3 =
【答案】55°/55 度
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质．先由∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸得到∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
即可证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SAS)，得到∠𝐴𝐵𝐷= ∠2 = 30°，再由三角形外角的性质即可解答．
【详解】解：∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐷𝐴𝐶，即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SAS)，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠2 = 30°，
∴∠3 = ∠1 + ∠𝐴𝐵𝐷= 25° + 30° = 55°．
故答案为：55°
7．如图，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，要使△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷，还需添加一个条件，这个条件可以是
．
【答案】∠𝐵= ∠𝐸，∠𝐷= ∠𝐶，𝐴𝐶= 𝐴𝐷（其中一个即可）．
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键．
根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐶，
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∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐷，
∴添加∠𝐵= ∠𝐸，∠𝐷= ∠𝐶或𝐴𝐶= 𝐴𝐷其中一个，即可推出△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷，
故答案为：∠𝐵= ∠𝐸，∠𝐷= ∠𝐶，𝐴𝐶= 𝐴𝐷（其中一个即可）．
8．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角，如图，在∠𝐴𝑂𝐵的两边𝑂𝐴、𝑂𝐵上分别在取
𝑂𝑀= 𝑂𝑁，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点𝑀、𝑁重合，这时过角尺顶点𝑃的射线𝑂𝑃就是∠𝐴𝑂𝐵
的平分线．这里构造全等三角形的依据是
．
【答案】SSS
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理．根据全等三角形的判定定理SSS推出
△𝑂𝑃𝑀≌△𝑂𝑃𝑁，根据全等三角形的性质得出∠𝑀𝑂𝑃= ∠𝑁𝑂𝑃，根据角平分线的定义得出答案即可．
【详解】解：在△𝑂𝑃𝑀和△𝑂𝑃𝑁中，
𝑂𝑀= 𝑂𝑁
𝑂𝑃= 𝑂𝑃
𝑃𝑀= 𝑃𝑁
.
∴△𝑂𝑃𝑀≌△𝑂𝑃𝑁(SSS)，
∴∠𝑀𝑂𝑃= ∠𝑁𝑂𝑃，
即𝑂𝑃就是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，
故答案为：SSS．
9．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D 是边𝐴𝐵上一点，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分
别交𝐴𝐵、𝐴𝐶于点𝑀、𝑁；②以点D 为圆心，以𝐴𝑀长为半径作弧，交𝐷𝐵于点𝑀′；③以点𝑀′为圆心，以𝑀𝑁
长为半径作弧，在∠𝐵𝐴𝐶内部交前面的弧于点𝑁′；④过点𝑁′作射线𝐷𝑁′交𝐵𝐶于点E．若∠𝐴= 44°，∠𝐵= 60°，
则∠𝐵𝐸𝐷=
°．
【答案】76
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，作图-基本作图，平行线的判定与性质，熟练掌握三角形内角
和定理是解决此题的关键．由作图可得∠𝑀′𝐷𝑁′ = ∠𝑀𝐴𝑁，于是证得𝐷𝐸∥𝐴𝐶，得出∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐶，再根据三
角形内角和定理求出∠𝐶的度数，问题即可得解.
【详解】解：由作图可得∠𝑀′𝐷𝑁′ = ∠𝑀𝐴𝑁，
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∴𝐷𝐸∥𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐶，
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 44°、∠𝐵= 60°，
∴∠𝐶= 180°−∠𝐴−∠𝐵= 180°−44°−60° = 76°，
∴∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐶= 76°，
故答案为：76．
10．生活情境·滑滑梯 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度𝐴𝐶与右边滑梯水平方向的长度𝐷𝐹相
等，且左边滑梯水平方向的长度𝐴𝐵与右边滑梯的高度𝐷𝐸相等，若∠𝐶𝐵𝐴= 32°，则∠𝐸𝐹𝐷=
．
【答案】58°/58 度
【分析】此题考查了全等三角形的应用，做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是
解题关键．
由已知可根据SAS判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，再根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，
𝐴𝐵= 𝐷𝐸
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹= 90°
𝐴𝐶= 𝐷𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(SAS)，
∵∠𝐶𝐵𝐴= 32°
∴∠𝐵𝐶𝐴= 58°
∴∠𝐸𝐹𝐷= ∠𝐵𝐶𝐴= 58°．
故答案为：58°．
11．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，且𝐵𝐷= 𝐶𝐸,∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐵= ∠𝐶．求证：△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐸𝐹．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及到三角形外角的性质，角边角等，熟练掌握全等三角
形的判定方法是解题的关键.判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、
SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必
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须是两边的夹角．先证明∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐶𝐸𝐹，再证明三角形△𝐵𝐷𝐸和△CEF 全等即可．
【详解】证明：∵∠𝐶𝐸𝐷是△𝐵𝐷𝐸的外角，
∴∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐷𝐸，
又∵∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐶𝐸𝐹+ ∠𝐷𝐸𝐹,∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐹，
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐶𝐸𝐹，
在△𝐵𝐷𝐸和△𝐶𝐸𝐹中，
∠𝐵= ∠𝐶
𝐵𝐷= 𝐶𝐸
∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐶𝐸𝐹
，
∴△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐸𝐹(ASA)．
12．如图，点E 在△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵上，点D、F 分别在𝐵𝐶、𝐶𝐵的延长线上，连接𝐷𝐸、𝐸𝐹，∠𝐴= ∠𝐷，
𝐵𝐶= 𝐸𝐹,∠𝐷𝐸𝐹+ ∠𝐴𝐵𝐹= 180°，求证：𝐴𝐵= 𝐷𝐸．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，先证明∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐸𝐹，再结合∠𝐴= ∠𝐷，𝐵𝐶= 𝐸𝐹，从而
可得结论．
【详解】证明：∵∠𝐷𝐸𝐹+ ∠𝐴𝐵𝐹= 180°,∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐹= 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐸𝐹，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，∠𝐴= ∠𝐷,∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐸𝐹,𝐵𝐶= 𝐸𝐹，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(AAS)，
∴𝐴𝐵= 𝐷𝐸．
13．已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶、△𝐴𝐷𝐸中，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶,𝐴𝐷= 𝐴𝐸，点C、D、E 三点在同
一直线上，连接𝐵𝐷．
(1)求证：△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸；
(2)请判断𝐵𝐷、𝐶𝐸有何关系，并证明．
【答案】(1)见解析
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(2)𝐵𝐷= 𝐶𝐸，𝐵𝐷⊥𝐶𝐸，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质：
（1）利用SAS证明△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸即可；
（2）根据全等三角形的性质，推出∠𝐵𝐷𝐸= 90°，即可；
【详解】（1）证明：∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐷
即∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，
又∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶,𝐴𝐷= 𝐴𝐸，
∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(SAS)．
（2）𝐵𝐷= 𝐶𝐸，𝐵𝐷⊥𝐶𝐸．
证明如下：由（1）知△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐸，𝐵𝐷= 𝐶𝐸．
∵∠𝐷𝐴𝐸=90°，
∴∠𝐸+ ∠𝐴𝐷𝐸= 90°．
∴∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐷𝐸= 90°．
即∠𝐵𝐷𝐸= 90°．
∴𝐵𝐷⊥𝐶𝐸．
14．如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹．求证：Rt △𝐵𝐷𝐸≌Rt
△𝐶𝐷𝐹．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，先利用AAS证明△𝐴𝐷𝐸≌△𝐴𝐷𝐹，得到𝐷𝐹= 𝐷𝐸，再利用HL
即可证明Rt △𝐵𝐷𝐸≌Rt △𝐶𝐷𝐹，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，
∴𝐶𝐷= 𝐵𝐷，
∵𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐶𝐹𝐷= 90°，
在△𝐴𝐷𝐸和△𝐴𝐷𝐹中，
∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐹𝐷
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷
𝐴𝐷= 𝐴𝐷
，
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∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐴𝐷𝐹(AAS)，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐸，
在Rt △𝐵𝐷𝐸和Rt △𝐶𝐷𝐹中，
𝐷𝐸= 𝐷𝐹
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
，
∴Rt △𝐵𝐷𝐸≌Rt △𝐶𝐷𝐹(HL)．
15．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐸，𝐶𝐹分别是𝐴𝐶，𝐴𝐵两条边上的高，点D 在𝐵𝐸上满足𝐵𝐷= 𝐴𝐶，点𝐺在𝐶𝐹的延
长线上满足𝐶𝐺= 𝐴𝐵，连接𝐴𝐷，𝐴𝐺．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐺𝐶𝐴；
(2)若连接𝐷𝐺，请判断△𝐴𝐷𝐺的形状，并直接写出结论．
【答案】(1)证明见解析
(2) △𝐴𝐷𝐺是等腰直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定，
（1）根据三角形高的定义得∠𝐸= ∠𝐵𝐹𝐶= 90°，继而得到∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐺𝐶𝐴，再结合已知𝐵𝐷= 𝐴𝐶，𝐶𝐺= 𝐴𝐵，
根据“SAS”即可得证；
（2）根据全等三角形的性质得𝐴𝐷= 𝐺𝐴，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐺𝐴，证明∠𝐷𝐴𝐺= 90°，可得结论；
【详解】（1）证明：∵𝐵𝐸，𝐶𝐹分别是𝐴𝐶，𝐴𝐵两条边上的高，
∴∠𝐸= ∠𝐵𝐹𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐸= 90°，∠𝐺𝐶𝐴+ ∠𝐶𝐴𝐹= 90°，
∵∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐺𝐶𝐴，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐺𝐶𝐴中，
𝐵𝐷= 𝐶𝐴
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐺𝐶𝐴
𝐴𝐵= 𝐺𝐶
，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐺𝐶𝐴(SAS)；
（2）解：△𝐴𝐷𝐺是等腰直角三角形，理由如下：
由（1）得△𝐴𝐵𝐷≌△𝐺𝐶𝐴，
∴𝐴𝐷= 𝐺𝐴，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐺𝐴，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐹𝐴𝐺= ∠𝐶𝐺𝐴+ ∠𝐹𝐴𝐺= ∠𝐵𝐹𝐶= 90°，
∴∠𝐷𝐴𝐺= 180°−(∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐹𝐴𝐺) = 180°−90° = 90°，
预习讲义 第08 讲 三角形全等的判定（解析版）
第 46 页 共 49 页
∴△𝐴𝐷𝐺是等腰直角三角形．
16．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，高𝐵𝐷，𝐶𝐸交于点F，且𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
(1)判断𝐴𝐷，𝐹𝐷的数量关系，并说明理由；
(2)若𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐵𝐸= 1.5，求𝐶𝐹的长．
【答案】(1)𝐴𝐷= 𝐹𝐷，理由见解析
(2)3
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）运用同角的余角相等证明∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸，从而运用ASA证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐹𝐶𝐷，从而得解；
（2）先证明△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐶𝐸(ASA)得出𝐴𝐸= 𝐵𝐸，继而求出𝐴𝐵，再由△𝐴𝐵𝐷≌△𝐹𝐶𝐷得出𝐶𝐹= 𝐴𝐵，从而
得解．
【详解】（1）𝐴𝐷= 𝐹𝐷，理由如下：
因为𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，
所以∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐴𝐸𝐶= 90°，
所以∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐷= 90°，∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐸= 90°，
所以∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐹𝐶𝐷中，
∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐹𝐷𝐶
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐹𝐶𝐷
，
所以△𝐴𝐵𝐷≌△𝐹𝐶𝐷(ASA)，
所以𝐴𝐷= 𝐹𝐷；
（2）因为𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，
所以∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸，
在△𝐶𝐸𝐴和△𝐶𝐸𝐵中，
∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸
𝐶𝐸= 𝐶𝐸
∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐸𝐶= 90°
，
所以△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐶𝐸(ASA)，
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所以𝐴𝐸= 𝐵𝐸，
所以𝐴𝐵= 𝐴𝐸+ 𝐵𝐸= 1.5 + 1.5 = 3，
由（1）知△𝐴𝐵𝐷≌△𝐹𝐶𝐷，
所以𝐶𝐹= 𝐴𝐵= 3．
17．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝐸．若𝐷𝐸= 𝐵𝐶，𝐴𝐶= 4，𝑆△𝐶𝐷𝐸
= 6，求𝐶𝐸的长．
【答案】𝐶𝐸= 3
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，理解题意、作合适的辅助线是
解题关键．
过点𝐷作𝐷𝐻⊥𝐵𝐶于点𝐻，得∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐻𝐷，通过平行线的判定与性质得∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐻，结合题意则可证得
△𝐴𝐵𝐶≌△𝐻𝐸𝐷，可得𝐴𝐶= 𝐻𝐷= 4，通过𝑆△𝐶𝐷𝐸=
1
2𝐶𝐸⋅𝐻𝐷= 6即可求解𝐶𝐸的长．
【详解】解：过点𝐷作𝐷𝐻⊥𝐵𝐶于点𝐻，
∴∠𝐸𝐻𝐷= 90°，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐻𝐷，
∵𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶
∴𝐴𝐵∥𝐷𝐸，
∴∠𝐵= ∠𝐷𝐸𝐻，
∵𝐵𝐶= 𝐸𝐷，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐻𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐻𝐸𝐷(AAS)，
∴𝐴𝐶= 𝐻𝐷= 4，
∵𝑆△𝐶𝐷𝐸=
1
2𝐶𝐸⋅𝐻𝐷=
1
2𝐶𝐸× 4 = 6，
∴𝐶𝐸= 3．
18．如图，已知在△𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷， 射线𝐴𝐹交𝐵𝐷于点O，∠𝐵𝐴𝐶< ∠𝐷𝐴𝐶， 点E、F 在射线𝐴𝐹上，
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且∠𝐵𝐶𝐹= ∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐵𝐴𝐷．试判断𝐴𝐶与𝐸𝐷的数量关系，并说明理由．
【答案】𝐴𝐶= 𝐸𝐷，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判断和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是添加正确的辅助线，在射
线𝐴𝐹作点M， 𝐸𝑀= 𝐸𝐷，先根据等腰三角形的性质和已知条件证明∠𝐸𝐷𝐴= ∠𝐵𝐴𝑂和∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐴𝐸𝐷，从而
证明△𝐵𝐶𝐴≌△𝐴𝐸𝐷(AAS)，即可得到𝐴𝐶= 𝐸𝐷．
【详解】解：𝐴𝐶= 𝐸𝐷，理由如下，
如下图所示，在射线𝐴𝐹作点M， 𝐸𝑀= 𝐸𝐷，
∵𝐸𝑀= 𝐸𝐷，
∴∠𝐸𝑀𝐷= ∠𝐸𝐷𝑀，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐷𝐵，
∵∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐸𝐷𝑀= ∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝑀𝐷，
∴∠𝐸𝐷𝐴= ∠𝐵𝐷𝑀，
∵𝐵𝑂𝐴= ∠𝑀𝑂𝐷，∠𝐴𝐵𝑂= ∠𝐴𝑀𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝑂= ∠𝐵𝐷𝑀，
∴∠𝐸𝐷𝐴= ∠𝐵𝐴𝑂,
∵∠𝐵𝐶𝐹= ∠𝐷𝐸𝐹，
∴∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐴𝐸𝐷，
∵
∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐴𝐸𝐷
∠𝐸𝐷𝐴= ∠𝐵𝐴𝑂
𝐴𝐷= 𝐴𝐵
，
∴△𝐵𝐶𝐴≌△𝐴𝐸𝐷(AAS)，
∴𝐴𝐶= 𝐸𝐷．
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