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预习讲义 第11 讲 轴对称及其性质（学生版）
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析教材·学知识
【知识点1 轴对称图形与对称轴】
1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，
这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
2.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够
完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形．
【注意】
（1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段．
（2）一个轴对称图形的对称轴可以有1 条，也可以有多条，还可以有无数条．
（3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形．
【知识点2 两个图形成轴对称】
1．轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线
（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
2．轴对称和轴对称图形的区别与联系
名称
关系
轴对称
轴对称图形
意义不同
两个图形之间的特殊位置关系
一个形状特殊的图形
图形个数
两个图形
一个图形
对称轴的
位置不同
可能在两个图形的外部，也可能经过两
个图形的内部或它们的公共边（点）
一定经过这个图形
区
别
对称轴的
数量
只有一条
有一条或多条
联系
（1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形
（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称
【知识点3 两个图形成轴对称和轴对称图形的性质】
（1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段
的垂直平分线．
（2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
（3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对
折后重合的角）相等．
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（4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴
对称图形．
练题型·强知识
【题型1 轴对称图形的识别】
【例1】围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000 多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，
由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】“长安回望绣成堆，山顶千门次第开．”长安即如今陕西西安，陕西拥有众多承载历史的古
城．以下是陕西一些古城的图标设计图，其中是轴对称图形的有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【题型2 成轴对称的两个图形的识别】
【例2】下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【变式2-1】下列同类型的每个网格中均有两个三角形，其中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
【变式2-3】下列说法中，正确的个数是（ ）
（1）轴对称图形只有一条对称轴，（2）轴对称图形的对称轴是一条线段，（3）两个图形成轴对称，这两
个图形的全等图形，（4）全等的两个图形一定成轴对称，（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指
两个图形而言．
A．1
B．2
C．3
D．4
【题型3 求对称轴条数与画对称轴】
【例3】下列图形中，对称轴最少的是（ ）
A．圆
B．等边三角形
C．正方形
D．等腰三角形
【变式3-1】如图，每个小方格均为边长为1 的正方形，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有m 条，
再将剩余的五个小正方形中的一个涂色，若由这五个涂色的小正方形组成的新图形的对称轴的条数也为m，
则涂色的正方形是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【变式3-2】如图，△𝑃𝐴𝐶和△𝑃𝐵𝐷关于某条直线成轴对称，请画出这条直线．
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【变式3-3】如图，网格中的△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹为轴对称图形，
(1)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△𝐴𝐵𝐶的面积= ；
(2)利用网格线作出△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹的对称轴𝑙；
(3)结合所画图形，在直线𝑙上画出点𝑃，使𝑃𝐴+ 𝑃𝐶最小．（所有作图保留必要的画图痕迹）
【题型4 轴对称和轴对称图形的性质判断结论】
【例4】如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′关于直线𝑀𝑁对称，𝐵𝐵′交𝑀𝑁于点O，下列结论：①𝐴𝐵= 𝐴′𝐵′；②𝑂𝐵= 𝑂
𝐵′；③𝐴𝐴′∥𝐵𝐵′；④△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′中，错误的有（ ）
A．4 个
B．1 个
C．0 个
D．2 个
【变式4-1】如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴1𝐵1𝐶1关于直线m 对称，则下列结论：①直线m 是线段𝐴𝐴1的垂直平分线；
②直线m 被线段𝐵𝐵1垂直平分；③𝐴𝐵= 𝐴1𝐵1.其中正确的结论是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【变式4-2】如图的树叶是一个轴对称图形，点𝐶，𝐹在对称轴上，点𝐴与点𝐸，点𝐵与点𝐷分别对称，则下列
说法错误的是（ ）
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A．𝐴𝐸⊥𝐶𝐹
B．如果顺次连接点𝐵，𝐶，𝐷得到的Δ𝐵𝐶𝐷是等腰三角形
C．如果直线𝐴𝐵与𝐷𝐸有交点，那么交点在直线𝐶𝐹上
D．如果𝐴𝐹= 𝑚，那么一定存在𝐴𝐸= 2𝑚
【变式4-3】如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴1𝐵1𝐶1关于直线𝑀𝑁对称，𝑃为𝑀𝑁上任一点（𝑃不与𝐴𝐴1共线），下列结论
中错误的是（ ）
A．𝐴𝑃= 𝐴1𝑃
B．𝑀𝑁垂直平分𝐴𝐴1
C．∠𝑃𝐴𝐶= ∠𝑃𝐴1𝐶1
D．直线𝐴𝐵，𝐴1𝐵1的交点不一定在𝑀𝑁上
【题型5 轴对称和轴对称图形的性质的应用】
【例5】如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸关于直线𝑀𝑁对称，𝐵𝐶和𝐷𝐸的交点𝐹在直线𝑀𝑁上．
(1)若𝐸𝐷= 15，𝐵𝐹= 9，求𝐸𝐹的长；
(2)连接𝐵𝐷，则𝐵𝐷和直线𝐴𝑁的关系为 ．
【变式5-1】如图，点𝑃是∠𝐴𝑂𝐵外的一点，点𝐸与点𝑃关于𝑂𝐴对称，点𝐹与点𝑃关于𝑂𝐵对称，连接𝐹𝐸并延长
分别交𝑂𝐴、𝑂𝐵于C、D 两点，连接𝑃𝐶、𝑃𝐷、𝑃𝐸、𝑃𝐹．若∠𝑂𝐶𝑃= ∠𝐹= 20°，求∠𝐶𝑃𝐷的度数．
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【变式5-2】如图，△𝐴𝐵𝐶的边𝐶𝐵关于𝐶𝐴的对称线段是𝐶𝐵′，边𝐶𝐴关于𝐶𝐵的对称线段是𝐶𝐴′，连接𝐵𝐵′．若
点𝐴′落在𝐵𝐵′所在的直线上，∠𝐴𝐵𝐵′ = 56°，求∠𝐴𝐶𝐵′的度数．
【变式5-3】如图，已知点𝑂是∠𝐴𝑃𝐵内的一点，𝑀、𝑁分别是点𝑂关于𝑃𝐴、𝑃𝐵的对称点，连接𝑀𝑁与𝑃𝐴、𝑃𝐵
分别相交于点𝐸、𝐹，已知𝑀𝑁= 10．
(1)求△𝑂𝐸𝐹的周长；
(2)连接𝑃𝑀、𝑃𝑁，若∠𝑀𝑃𝑁= 76°，求∠𝐴𝑃𝐵的度数．
串知识·识框架
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过关测·稳提升
1．在下列图形中，是轴对称图形的为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，已知∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 4，𝐵𝐶= 3，𝐴𝐵= 5，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐴𝐵对折得到△𝐴𝐵𝐷，连
接𝐶𝐷，则𝐶𝐷长为（ ）
A．3.6
B．4.8
C．6.4
D．8
3．如图，取一张三角形纸片，记为△𝐴𝐵𝐶，在边𝐴𝐵,𝐴𝐶上各任取一点𝐸,𝐹，将纸片沿𝐸𝐹折叠，使点𝐴落在𝐸𝐹
的另一侧，落点为𝐴1，若∠𝐵= 60°,∠𝐶= 70°，则∠𝐴1𝐸𝐵+ ∠𝐴1𝐹𝐶= （ ）
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A．50°
B．60°
C．70°
D．100°
4．如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点𝐷在边𝐴𝐵上，将△𝐶𝐵𝐷沿𝐶𝐷折叠，使点𝐵恰好落在边𝐴𝐶上的点𝐸
处．若∠𝐴= 20°，则∠𝐶𝐷𝐸= （ ）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
5．如图，直线l，m 相交于点O，P 为这两条直线外一点，且𝑂𝑃= 3．若点P 关于直线l，m 的对称点分别
是点𝑃1，𝑃2，则𝑃1，𝑃2两点之间的距离可能是（ ）
A．2
B．5
C．6
D．7
6．下列关于轴对称的说法：①一个轴对称图形可以有多条对称轴；②成轴对称的两个图形一定全等；③
若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧；④若点A，B 关于直线𝑀𝑁对称，则
𝐴𝐵⊥𝑀𝑁且𝐴𝐵平分𝑀𝑁．其中正确的是
．（填序号）
7．如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 30°，D、E 是𝐴𝐶边上的点，把△𝐴𝐵𝐷沿𝐵𝐷对折得到△𝐴′𝐵𝐷，再把△𝐵𝐶𝐸沿𝐵𝐸
对折得到△𝐵𝐶′𝐸，若𝐶′恰好落在𝐵𝐷上，且此时∠𝐶′𝐸𝐵= 80°，则∠𝐴𝐵𝐶=
．
8．如图，△ABD 和△ACD 关于直线AD 对称，若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为 ．
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9．如图，直线𝐴𝐶是四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对称轴，𝐵𝐷交𝐴𝐶于点Q，点P 在线段𝐶𝑄上．下列结论：
①∠𝐶𝐵𝑃= ∠𝐵𝐷𝑃；②∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝐷𝐴𝑃；③𝐴𝐵= 𝐴𝐷；④𝐵𝑃= 𝑃𝐷．其中错误的是 ．（填序号）
10．已知：△𝐴𝐵𝐶纸片，将纸片分别按以下两种方法翻折：
①如图1，沿着∠𝐵𝐴𝐶的平分线𝐴𝐷翻折△𝐴𝐵𝐷，得到△𝐴𝐸𝐷，设△𝐶𝐷𝐸的周长为m．
②如图2，沿着𝐴𝐵的垂直平分线翻折△𝐵𝐹𝐺，得到△𝐴𝐹𝐺，设△𝐴𝐺𝐶的周长为n．
线段𝐴𝐵的长度用含m，n 的代数式可表示为
．
11．如图所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．
12．如下图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸关于直线𝑀𝑁对称，𝐵𝐶与𝐷𝐸的交点F 在直线𝑀𝑁上．
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(1)若𝐵𝐶= 15，𝐸𝐹= 8，求𝐵𝐹的长；
(2)若∠𝐵𝐴𝐶= 107°，∠𝐶𝐴𝐸= 77°，求∠𝐶𝐴𝐷的度数．
13．请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图①，D 为△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶上一点，点𝐴,𝐶关于𝐵𝐷对称，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于E，请作出𝐵𝐶的一条垂线𝑙1；
(2)如图②，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°,𝐷为边𝐴𝐶上一点，点𝐵,𝐶关于𝐷𝐸对称．请作出𝐵𝐷的一条垂线𝑙2．
14．如图，点𝑃在∠𝐴𝑂𝐵的内部，点𝐶和点𝑃关于直线𝑂𝐴对称，点𝑃关于直线𝑂𝐵的对称点是点𝐷，连接𝐶𝐷交𝑂𝐴
于点𝑀，交𝑂𝐵于点𝑁．
(1)若∠𝐴𝑂𝐵= 𝛼，求∠𝐶𝑂𝐷的度数；
(2)若𝐶𝐷= 4, △𝑃𝑀𝑁的周长为_______．
15．如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸关于直线𝑀𝑁对称，𝐵𝐶和𝐷𝐸的交点𝐹在直线𝑀𝑁上．
(1)若𝐸𝐷= 15，𝐵𝐹= 9，求𝐸𝐹的长；
(2)连接𝐵𝐷和𝐸𝐶，则𝐵𝐷和𝐸𝐶的位置关系为___________；
(3)若∠𝐴𝐵𝐶= 35°，∠𝐴𝐸𝐷= 65°，∠𝐵𝐴𝐸= 16°，求∠𝐸𝐴𝐹的度数．
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答案解析
练题型·强知识
【题型1 轴对称图形的识别】
【例1】围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000 多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，
由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图
形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个选项中，只有D 选项中的图形是轴对称图形，
故选：D．
【变式1-1】下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查轴对称图形的意义．解答本题掌握好轴对称图形的意义：如果一个平面图形沿着某
一条直线折叠，直线两边的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形；判断轴对称图形的关键
是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，即可解答．
【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意，故该选项错误；
B．该图形是轴对称图形，符合题意，故该选项正确；
C．该图形不是轴对称图形，不符合题意，故该选项错误；
D．该图形不是轴对称图形，不符合题意，故该选项错误．
故选B．
【变式1-2】在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图
形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判
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断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式1-3】“长安回望绣成堆，山顶千门次第开．”长安即如今陕西西安，陕西拥有众多承载历史的古
城．以下是陕西一些古城的图标设计图，其中是轴对称图形的有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：第3 个中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互
相重合，所以不是轴对称图形；
第1、2、4 个中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
所以是轴对称图形；
故选：B．
【题型2 成轴对称的两个图形的识别】
【例2】下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】C
【分析】本题主要考查成轴对称的定义，解决本题的关键是要熟练掌握成轴对称的定义．把一个图形沿着
某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么 就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线
叫作对称轴，翻折后能够重合的点叫作对称点．据此即可求解．
【详解】解：A、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意；
B、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意；
C、图形Ⅰ和图形Ⅱ不成轴对称，符合题意；
D、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意；
故选：C．
【变式2-1】下列同类型的每个网格中均有两个三角形，其中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据轴对称的定义：将两个物体沿一条直线对折完全重合是轴对称直接判断即可得到答案；
【详解】解：由图形可得，
A 选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到，
B 选项图形中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到，
C 选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到，
D 选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到，
故选：B；
【变式2-2】下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
【答案】B
【分析】本题考查轴对称的定义，熟练掌握轴对称的定义是关键，根据轴对称的定义：“如果两个平面图形
沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这两个图形成轴对称”，进行逐一判断即可．
【详解】解：②③是轴对称，①④不是轴对称，
故选：B．
【变式2-3】下列说法中，正确的个数是（ ）
（1）轴对称图形只有一条对称轴，（2）轴对称图形的对称轴是一条线段，（3）两个图形成轴对称，这两
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个图形的全等图形，（4）全等的两个图形一定成轴对称，（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指
两个图形而言．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称图形的性质逐个进行判断即可．
【详解】解：（1）圆是轴对称图形，有无数条对称轴，故（1）不正确，不符合题意；
（2）轴对称图形的对称轴是一条直线，故（2）不正确，不符合题意；
（3）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形，故（3）正确，符合题意；
（4）全等的两个图形不一定成轴对称，故（4）不正确，不符合题意；
（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言，故（5）正确，符合题意；
综上：正确的有（3）（5），共2 个，
故选：B．
【题型3 求对称轴条数与画对称轴】
【例3】下列图形中，对称轴最少的是（ ）
A．圆
B．等边三角形
C．正方形
D．等腰三角形
【答案】D
【分析】本题考查了求对称轴条数，熟练掌握常见的轴对称图形的对称轴的条数是解题的关键．
分别列出各选项图形的对称轴条数，进行比较即可．
【详解】解：A 圆有无数条对称轴；
B 等边三角形有3条对称轴；
C 正方形有4条对称轴；
D 等腰三角形只有1条对称轴；
∴对称轴最少的图形是等腰三角形，
故选：D．
【变式3-1】如图，每个小方格均为边长为1 的正方形，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有m 条，
再将剩余的五个小正方形中的一个涂色，若由这五个涂色的小正方形组成的新图形的对称轴的条数也为m，
则涂色的正方形是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】C
【分析】本题考查了对称轴的数量，根据对称轴的定义逐一判断即可．
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【详解】解：由题意可知，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有4条，即𝑚= 4，
A、涂色的正方形是①，组成的图形的对称轴有1条，不符合题意；
B、涂色的正方形是②，组成的图形的对称轴有1条，不符合题意；
C、涂色的正方形是③，组成的图形的对称轴有4条，符合题意；
D、涂色的正方形是④，组成的图形的对称轴有1条，不符合题意；
故选：C．
【变式3-2】如图，△𝑃𝐴𝐶和△𝑃𝐵𝐷关于某条直线成轴对称，请画出这条直线．
【答案】见解析
【分析】本题考查了画对称轴，连接𝐴𝐵，取𝐴𝐵的中点E，作直线𝑃𝐸即为对称轴．
【详解】解：如图所示，直线𝑃𝐸即为对称轴．
【变式3-3】如图，网格中的△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹为轴对称图形，
(1)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△𝐴𝐵𝐶的面积= ；
(2)利用网格线作出△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹的对称轴𝑙；
(3)结合所画图形，在直线𝑙上画出点𝑃，使𝑃𝐴+ 𝑃𝐶最小．（所有作图保留必要的画图痕迹）
【答案】(1)5
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】本题考查了轴对称图形与轴对称的性质、两点之间线段最短，熟练掌握轴对称图形与轴对称的性
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质是解题关键．
（1）结合网格，利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得；
（2）连接对应点𝐴𝐷，𝐶𝐹，利用网格作出𝐴𝐷，𝐶𝐹的垂直平分线即可得；
（3）连接𝐴𝐹，与直线𝑙的交点即为点𝑃．
【详解】（1）解：△𝐴𝐵𝐶的面积为3 × 4−
1
2 × 1 × 3−
1
2 × 1 × 3−
1
2 × 2 × 4
= 12−3
2 −3
2 −4
= 5．
故答案为：5．
（2）解：直线𝑙即为所求，如图：
（3）解：点𝑃即为所求，如图：
【题型4 轴对称和轴对称图形的性质判断结论】
【例4】如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′关于直线𝑀𝑁对称，𝐵𝐵′交𝑀𝑁于点O，下列结论：①𝐴𝐵= 𝐴′𝐵′；②𝑂𝐵= 𝑂
𝐵′；③𝐴𝐴′∥𝐵𝐵′；④△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′中，错误的有（ ）
A．4 个
B．1 个
C．0 个
D．2 个
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．根据轴
对称图形的性质可得𝐴𝐵= 𝐴′𝐵′，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′，𝑀𝑁垂直平分𝐴𝐴′和𝐵𝐵′，则结论①和④正确；再根据线
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段垂直平分线的性质、平行线的判定可得结论②和③正确．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′关于直线𝑀𝑁对称，𝐵𝐵′交𝑀𝑁于点O，
∴根据轴对称图形的性质可得，𝐴𝐵= 𝐴′𝐵′，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′，𝑀𝑁垂直平分𝐴𝐴′和𝐵𝐵′，所以结论①和④正
确；
∴𝑂𝐵= 𝑂𝐵′，𝐴𝐴′∥𝐵𝐵′，所以结论②和③正确；
综上所述，错误的结论有0 个，所以选项C 正确，符合题意，
故选：C．
【变式4-1】如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴1𝐵1𝐶1关于直线m 对称，则下列结论：①直线m 是线段𝐴𝐴1的垂直平分线；
②直线m 被线段𝐵𝐵1垂直平分；③𝐴𝐵= 𝐴1𝐵1.其中正确的结论是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【答案】C
【分析】本题主要考查轴对称的性质．根据轴对称的定义和性质解答：如果两个图形关于某条直线对称，
那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）；轴对称图形的对应线段、对应角相等．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐴1𝐵1𝐶1关于直线l 对称，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴1𝐵1𝐶1，所以𝐴𝐵= 𝐴1𝐵1，故③说法正确；
∴直线m 是线段𝐴𝐴1的垂直平分线，故①说法正确；
∴直线m 也是线段𝐵𝐵1的垂直平分线，不会被线段𝐵𝐵1垂直平分，故②说法错误；
故选：C．
【变式4-2】如图的树叶是一个轴对称图形，点𝐶，𝐹在对称轴上，点𝐴与点𝐸，点𝐵与点𝐷分别对称，则下列
说法错误的是（ ）
A．𝐴𝐸⊥𝐶𝐹
B．如果顺次连接点𝐵，𝐶，𝐷得到的Δ𝐵𝐶𝐷是等腰三角形
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C．如果直线𝐴𝐵与𝐷𝐸有交点，那么交点在直线𝐶𝐹上
D．如果𝐴𝐹= 𝑚，那么一定存在𝐴𝐸= 2𝑚
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质逐项判断即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关
键．
【详解】解：A、∵直线𝐶𝐹为对称轴，点𝐴与点𝐸是对称点，
∴𝐴𝐸⊥𝐶𝐹，该选项正确，不合题意；
B、∵点𝐶在对称轴上，点𝐵与点𝐷是对称点，
∴𝐵𝐶= 𝐷𝐶，
∴△𝐵𝐶𝐷是等腰三角形，该选项正确，不合题意；
C、∵点𝐴与点𝐸，点𝐵与点𝐷关于直线𝐶𝐹对称，
∴如果直线𝐴𝐵与𝐷𝐸有交点，那么交点在直线𝐶𝐹上，该选项正确，不合题意；
D、∵点𝐴与点𝐸关于直线𝐶𝐹对称，点𝐹在对称轴上，
当点𝐴、𝐹、𝐸在同一条直线上时，𝐴𝐹= 𝐸𝐹= 𝑚，即𝐴𝐸= 2𝐴𝐹= 2𝑚；当点𝐴、𝐹、𝐸不在同一条直线上时，
𝐴𝐸< 𝐴𝐹+ 𝐸𝐹= 2𝐴𝐹= 2𝑚，该选项错误，符合题意；
故选：D．
【变式4-3】如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴1𝐵1𝐶1关于直线𝑀𝑁对称，𝑃为𝑀𝑁上任一点（𝑃不与𝐴𝐴1共线），下列结论
中错误的是（ ）
A．𝐴𝑃= 𝐴1𝑃
B．𝑀𝑁垂直平分𝐴𝐴1
C．∠𝑃𝐴𝐶= ∠𝑃𝐴1𝐶1
D．直线𝐴𝐵，𝐴1𝐵1的交点不一定在𝑀𝑁上
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称，根据轴对称的性质逐项判断即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】解：A、∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐴1𝐵1𝐶1关于直线𝑀𝑁对称，
∴𝐴𝑃= 𝐴1𝑃，该选项正确，不合题意；
B、∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐴1𝐵1𝐶1关于直线𝑀𝑁对称，
∴𝑀𝑁垂直平分𝐴𝐴1，该选项正确，不合题意；
C、∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐴1𝐵1𝐶1关于直线𝑀𝑁对称，
∴∠𝑃𝐴𝐶= ∠𝑃𝐴1𝐶1，该选项正确，不合题意；
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D、∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐴1𝐵1𝐶1关于直线𝑀𝑁对称，
∴直线𝐴𝐵，𝐴1𝐵1的交点一定在𝑀𝑁上，该选项错误，符合题意；
故选：D．
【题型5 轴对称和轴对称图形的性质的应用】
【例5】如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸关于直线𝑀𝑁对称，𝐵𝐶和𝐷𝐸的交点𝐹在直线𝑀𝑁上．
(1)若𝐸𝐷= 15，𝐵𝐹= 9，求𝐸𝐹的长；
(2)连接𝐵𝐷，则𝐵𝐷和直线𝐴𝑁的关系为 ．
【答案】(1)6
(2)𝐵𝐷⊥𝐴𝑁
【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可；
（2）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得𝐵𝐷⊥𝐴𝑁．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸关于直线𝑀𝑁对称，
∴点𝐵与点𝐷关于直线𝑀𝑁对称，
∴𝐷𝐹= 𝐵𝐹= 9，
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐷−𝐸𝐹= 15−9 = 6．
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸关于直线𝑀𝑁对称，
∴点𝐵与点𝐷关于直线𝑀𝑁对称，
∴𝑀𝑁⊥𝐵𝐷，即𝐵𝐷⊥𝐴𝑁，
故答案为：𝐵𝐷⊥𝐴𝑁．
【变式5-1】如图，点𝑃是∠𝐴𝑂𝐵外的一点，点𝐸与点𝑃关于𝑂𝐴对称，点𝐹与点𝑃关于𝑂𝐵对称，连接𝐹𝐸并延长
分别交𝑂𝐴、𝑂𝐵于C、D 两点，连接𝑃𝐶、𝑃𝐷、𝑃𝐸、𝑃𝐹．若∠𝑂𝐶𝑃= ∠𝐹= 20°，求∠𝐶𝑃𝐷的度数．
【答案】100°
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【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理应用，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关
键．根据轴对称的性质得出∠𝑂𝐶𝐸= ∠𝑂𝐶𝑃= 20°,∠𝐷𝑃𝐹= ∠𝐹= 20°，根据三角形内角和定理求出
∠𝐶𝑃𝐹= 180°−∠𝐹−∠𝑃𝐶𝐹= 120°，即可得出答案．
【详解】解：∵点𝐸与点𝑃关于𝑂𝐴对称，点𝐹与点𝑃关于𝑂𝐵对称，∠𝑂𝐶𝑃= ∠𝐹= 20°，
∴∠𝑂𝐶𝐸= ∠𝑂𝐶𝑃= 20°,∠𝐷𝑃𝐹= ∠𝐹= 20°，
∴∠𝑃𝐶𝐹= 40°,∠𝐶𝑃𝐹= 180°−∠𝐹−∠𝑃𝐶𝐹= 120°，
∴∠𝐶𝑃𝐷= ∠𝐶𝑃𝐹−∠𝐷𝑃𝐹= 100°．
【变式5-2】如图，△𝐴𝐵𝐶的边𝐶𝐵关于𝐶𝐴的对称线段是𝐶𝐵′，边𝐶𝐴关于𝐶𝐵的对称线段是𝐶𝐴′，连接𝐵𝐵′．若
点𝐴′落在𝐵𝐵′所在的直线上，∠𝐴𝐵𝐵′ = 56°，求∠𝐴𝐶𝐵′的度数．
【答案】28°
【分析】本题主要考查轴对称的性质，及三角形全等的判定及性质，根据对称性可判断出𝐵𝐵′ ⊥𝐴𝐶，先求出
∠𝐵𝐴𝐶= 34°，再根据对称的性质判断△𝐴′𝐶𝐵≌△𝐴𝐶𝐵，最后根据∠𝐴𝐶𝐴′ = 2∠𝐴𝐶𝐵即可求解．
【详解】解：如图，连接𝐵𝐴′，设𝐴𝐶与𝐵𝐵′的交点为O．
因为𝐶𝐵关于𝐶𝐴的对称线段是𝐶𝐵′，
所以𝐵𝐵′ ⊥𝐴𝐶，∠𝐴𝐶𝐵′ = ∠𝐴𝐶𝐵．
因为∠𝐴𝐵𝐵′ = 56°，
所以∠𝐴= 90°−∠𝑂𝐵𝐴= 34°
因为边𝐶𝐴关于𝐶𝐵的对称线段是𝐶𝐴′，
所以△𝐴′𝐶𝐵≌△𝐴𝐶𝐵，
所以∠𝐴′ = ∠𝐴= 34°，∠𝐴′𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵，
所以∠𝐴𝐶𝐵′ = ∠𝐴′𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵，
所以∠𝐴𝐶𝐴′ = 2∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴𝐶𝐵′．
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又因为点𝐴′落在𝐵𝐵′所在的直线上，𝐵𝐵′ ⊥𝐴𝐶，
所以∠𝐴𝐶𝐴′ = 90°−∠𝐴′ = 56°，
所以2∠𝐴𝐶𝐵′ = 56°，
所以∠𝐴𝐶𝐵′ = 28°．
【变式5-3】如图，已知点𝑂是∠𝐴𝑃𝐵内的一点，𝑀、𝑁分别是点𝑂关于𝑃𝐴、𝑃𝐵的对称点，连接𝑀𝑁与𝑃𝐴、𝑃𝐵
分别相交于点𝐸、𝐹，已知𝑀𝑁= 10．
(1)求△𝑂𝐸𝐹的周长；
(2)连接𝑃𝑀、𝑃𝑁，若∠𝑀𝑃𝑁= 76°，求∠𝐴𝑃𝐵的度数．
【答案】(1)10
(2)38°
【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键；
（1）根据轴对称的性质可得𝐸𝑀= 𝐸𝑂,𝐹𝑁= 𝐹𝑂，再结合三角形的周长公式可得答案；
（2）根据轴对称的性质可得∠𝑀𝑃𝐴= ∠𝑂𝑃𝐴,∠𝑁𝑃𝐵= ∠𝑂𝑃𝐵，再结合角的和差运算可得答案；
【详解】（1）解：∵ 𝑀、𝑁分别是点𝑂关于𝑃𝐴、𝑃𝐵的对称点，且𝐸、𝐹分别在𝑃𝐴、𝑃𝐵上，
∴𝑀𝐸= 𝑂𝐸，𝑂𝐹= 𝑁𝐹，
又∵𝐶△𝑂𝐸𝐹= 𝑂𝐸+ 𝐸𝐹+ 𝑂𝐹，
∴𝐶△𝑂𝐸𝐹= 𝑀𝐸+ 𝐸𝐹+ 𝐹𝑁= 𝑀𝑁= 10．
（2）解：连接𝑂𝑃，
∵ 𝑀、𝑁分别是点𝑂关于𝑃𝐴、𝑃𝐵的对称点，
∴∠𝑀𝑃𝐴= ∠𝑂𝑃𝐴，∠𝑁𝑃𝐵= ∠𝑂𝑃𝐵，
又∵∠𝑀𝑃𝑁= 76°，
∴∠𝑀𝑃𝐴+ ∠𝑂𝑃𝐴+ ∠𝑁𝑃𝐵+ ∠𝑂𝑃𝐵= 76°，
∴∠𝑂𝑃𝐴+ ∠𝑂𝑃𝐵= 38°，
又∵∠𝐴𝑃𝐵= ∠𝑂𝑃𝐴+ ∠𝑂𝑃𝐵，
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∴∠𝐴𝑃𝐵= 38°．
过关测·稳提升
1．在下列图形中，是轴对称图形的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互
相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故A 不符合题意；
B．不是轴对称图形，故B 不符合题意；
C．是轴对称图形，故C 符合题意；
D．不是轴对称图形，故D 不符合题意．
故选：C．
2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，已知∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 4，𝐵𝐶= 3，𝐴𝐵= 5，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐴𝐵对折得到△𝐴𝐵𝐷，连
接𝐶𝐷，则𝐶𝐷长为（ ）
A．3.6
B．4.8
C．6.4
D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了折叠的性质，设𝐴𝐵，𝐶𝐷交于O，由折叠的性质可得𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，𝐴𝐷= 𝐴𝐶，𝐵𝐷= 𝐵𝐶
，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，则由等面积法可求出𝑂𝐶，𝑂𝐷的长，进而可求出𝐶𝐷的长．
【详解】解：如图所示，设𝐴𝐵，𝐶𝐷交于O，
由折叠的性质可得𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，𝐴𝐷= 𝐴𝐶，𝐵𝐷= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2𝐴𝐶⋅𝐵𝐶=
1
2𝐴𝐵⋅𝑂𝐶，
∴
1
2 × 3 × 4 =
1
2 × 5𝑂𝐶，
∴𝑂𝐶= 2.4，
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同理可得𝑂𝐷= 2.4，
∴𝐶𝐷= 𝑂𝐶+ 𝑂𝐷= 4.8，
故选：B．
3．如图，取一张三角形纸片，记为△𝐴𝐵𝐶，在边𝐴𝐵,𝐴𝐶上各任取一点𝐸,𝐹，将纸片沿𝐸𝐹折叠，使点𝐴落在𝐸𝐹
的另一侧，落点为𝐴1，若∠𝐵= 60°,∠𝐶= 70°，则∠𝐴1𝐸𝐵+ ∠𝐴1𝐹𝐶= （ ）
A．50°
B．60°
C．70°
D．100°
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关
键．
由三角形内角和定理先求出∠𝐴，再求出∠1 + ∠3，由折叠得到∠1 = ∠2,∠3 = ∠4，则由∠𝐴1𝐸𝐵+ ∠𝐴1
𝐹𝐶= 360°−(∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4)即可求解．
【详解】解：如图，
∵∠𝐵= 60°,∠𝐶= 70°，
∴∠𝐴= 180°−∠𝐵−∠𝐶= 50°，
∴∠1 + ∠3 = 180°−∠𝐴= 130°，
∵折叠，
∴∠1 = ∠2,∠3 = ∠4，
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∴∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 260°，
∴∠𝐴1𝐸𝐵+ ∠𝐴1𝐹𝐶= 180°−(∠1 + ∠2) +180°−(∠3 + ∠4) = 360°−(∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4)
= 360°−260° = 100°
故选：D．
4．如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，点𝐷在边𝐴𝐵上，将△𝐶𝐵𝐷沿𝐶𝐷折叠，使点𝐵恰好落在边𝐴𝐶上的点𝐸
处．若∠𝐴= 20°，则∠𝐶𝐷𝐸= （ ）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的
关键．根据折叠的性质可得∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐷𝐶𝐵，∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐵，结合∠𝐴𝐶𝐵= 90°得到∠𝐷𝐶𝐸=
1
2∠𝐴𝐶𝐵= 45°，
再利用三角形外角的性质得到∠𝐶𝐷𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐴= 65°，即可得出答案．
【详解】解：由折叠的性质得，∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐷𝐶𝐵，∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐵，
又∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐷𝐶𝐸=
1
2∠𝐴𝐶𝐵=
1
2 × 90° = 45°，
∵∠𝐴= 20°，
∴∠𝐶𝐷𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐴= 45° + 20° = 65°，
∴∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐵= 65°．
故选：C．
5．如图，直线l，m 相交于点O，P 为这两条直线外一点，且𝑂𝑃= 3．若点P 关于直线l，m 的对称点分别
是点𝑃1，𝑃2，则𝑃1，𝑃2两点之间的距离可能是（ ）
A．2
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】本题考查了对称性，三角形三边关系定理，熟练掌握对称性和三角形存在性是解题的关键．
连接𝑂𝑃1，𝑂𝑃2，根据对称性，得到𝑂𝑃1 = 𝑂𝑃2 = 𝑂𝑃= 3，利用三角形三边关系定理计算选择即可．
【详解】解：如图，连接𝑂𝑃1，𝑂𝑃2，根据对称性可得：𝑂𝑃1 = 𝑂𝑃2 = 𝑂𝑃= 3，
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由条件可知𝑃1𝑃2 < 𝑂𝑃1 +𝑂𝑃2 = 6
在△𝑂𝑃1𝑃2中，∵∠𝑃1𝑂𝑃2最大，
∴𝑃1𝑃2 > 𝑂𝑃1 = 3
即3 < 𝑃1𝑃2 < 6，选项中只有B 选项符合条件．
故选：B．
6．下列关于轴对称的说法：①一个轴对称图形可以有多条对称轴；②成轴对称的两个图形一定全等；③
若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧；④若点A，B 关于直线𝑀𝑁对称，则
𝐴𝐵⊥𝑀𝑁且𝐴𝐵平分𝑀𝑁．其中正确的是
．（填序号）
【答案】①②
【分析】根据轴对称图形的性质逐项判断即可．
【详解】解：①一个轴对称图形可以有多条对称轴，正确；
②成轴对称的两个图形一定全等，正确；
③若两个图形关于某直线对称，它们的对应点可能都在对称轴上，原说法错误；
④若点A，B 关于直线𝑀𝑁对称，则𝐴𝐵⊥𝑀𝑁且𝑀𝑁平分𝐴𝐵，原说法错误；
故答案为：①②．
7．如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 30°，D、E 是𝐴𝐶边上的点，把△𝐴𝐵𝐷沿𝐵𝐷对折得到△𝐴′𝐵𝐷，再把△𝐵𝐶𝐸沿𝐵𝐸
对折得到△𝐵𝐶′𝐸，若𝐶′恰好落在𝐵𝐷上，且此时∠𝐶′𝐸𝐵= 80°，则∠𝐴𝐵𝐶=
．
【答案】75°/75度
【分析】此题主要考查的是图形的折叠变换及三角形外角的性质，能够根据折叠的性质发现∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐶′
𝐸𝐵= 80°，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐸𝐵𝐶是解答此题的关键．
由折叠可得，∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐶′𝐸𝐵= 80°，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐸𝐵𝐶，依据三角形的外角性质得∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴= 80°，
即可得到∠𝐴𝐵𝐸= 50°，进而得到∠𝐴𝐵𝐶= 75°．
【详解】解：由折叠可得，∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐶′𝐸𝐵= 80°，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐸𝐵𝐶，
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∴∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴= ∠𝐵𝐸𝐶= 80°，
∵∠𝐴= 30°，
∴∠𝐴𝐵𝐸= 50°，
∴∠𝐴𝐵𝐶=
3
2∠𝐴𝐵𝐸= 75°，
故答案为：75°．
8．如图，△ABD 和△ACD 关于直线AD 对称，若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】5
【分析】根据轴对称的性质解决问题即可；
【详解】解：∵△ABD 和△ACD 关于直线AD 对称，
∴S△CEF=S△BEF，
∴阴影部分的面积=
1
2S△ABC=
1
2×10=5，
故答案为：5；
9．如图，直线𝐴𝐶是四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对称轴，𝐵𝐷交𝐴𝐶于点Q，点P 在线段𝐶𝑄上．下列结论：
①∠𝐶𝐵𝑃= ∠𝐵𝐷𝑃；②∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝐷𝐴𝑃；③𝐴𝐵= 𝐴𝐷；④𝐵𝑃= 𝑃𝐷．其中错误的是 ．（填序号）
【答案】①
【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．
根据轴对称的性质得出△𝐴𝐵𝑃≌△𝐴𝐷𝑃，△𝐵𝐶𝑃≌△𝐷𝐶𝑃，根据对应角相等，对应边相等逐项判断即可求
解．
【详解】解：∵直线𝐴𝐶是四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对称轴，𝐵𝐷交𝐴𝐶于点Q，点P 在线段𝐶𝑄上，
∴ △𝐴𝐵𝑃≌△𝐴𝐷𝑃，△𝐵𝐶𝑃≌△𝐷𝐶𝑃，
∴ ∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝐷𝐴𝑃，故②正确，
𝐴𝐵= 𝐴𝐷，故③正确，
𝐵𝑃= 𝐷𝑃，故④正确，
∠𝐶𝐵𝑃= ∠𝐶𝐷𝑃，但∠𝐶𝐵𝑃= ∠𝐵𝐷𝑃不一定相等，故①错误，
故答案为：①．
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10．已知：△𝐴𝐵𝐶纸片，将纸片分别按以下两种方法翻折：
①如图1，沿着∠𝐵𝐴𝐶的平分线𝐴𝐷翻折△𝐴𝐵𝐷，得到△𝐴𝐸𝐷，设△𝐶𝐷𝐸的周长为m．
②如图2，沿着𝐴𝐵的垂直平分线翻折△𝐵𝐹𝐺，得到△𝐴𝐹𝐺，设△𝐴𝐺𝐶的周长为n．
线段𝐴𝐵的长度用含m，n 的代数式可表示为
．
【答案】𝑛−𝑚/−𝑚+ 𝑛
【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，熟练掌握图形的折叠性质是解题的关键．先分别计算得到△𝐶𝐷𝐸
的周长和△𝐴𝐺𝐶的周长，然后作差即可求解．
【详解】解：∵沿着∠𝐵𝐴𝐶的平分线𝐴𝐷翻折△𝐴𝐵𝐷，得到△𝐴𝐸𝐷，
∴𝐵𝐷= 𝐷𝐸，𝐴𝐵= 𝐴𝐸，
∴△𝐶𝐷𝐸的周长= 𝐷𝐸+ 𝐶𝐸+ 𝐶𝐷= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐸+ 𝐶𝐷= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐸= 𝑚，①
∵沿着𝐴𝐵的垂直平分线翻折△𝐵𝐹𝐺，得到△𝐴𝐹𝐺，
∴𝐴𝐺= 𝐵𝐺，
∴△𝐴𝐺𝐶的周长= 𝐴𝐺+ 𝐶𝐺+ 𝐴𝐶= 𝐵𝐺+ 𝐶𝐺+ 𝐴𝐶= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶= 𝑛，②
∴②−①得：𝐴𝐶−𝐶𝐸= 𝑛−𝑚，
∴𝐴𝐸= 𝑛−𝑚，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐸= 𝑛−𝑚．
故答案为：𝑛−𝑚．
11．如图所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．
【答案】见解析
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【分析】本题考查了轴对称图形的概念与轴对称的概念；根据轴对称图形的概念与轴对称的概念可作答．轴
对称的概念：把其中的一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一个图形重合．轴对称图形的概念：如果一
个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：图（1）（3）（4）（6）（8）（10）是轴对称图形；
图（2）（5）（7）（9）成轴对称．
12．如下图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸关于直线𝑀𝑁对称，𝐵𝐶与𝐷𝐸的交点F 在直线𝑀𝑁上．
(1)若𝐵𝐶= 15，𝐸𝐹= 8，求𝐵𝐹的长；
(2)若∠𝐵𝐴𝐶= 107°，∠𝐶𝐴𝐸= 77°，求∠𝐶𝐴𝐷的度数．
【答案】(1)𝐵𝐹= 7
(2)∠𝐶𝐴𝐷= 30°
【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸关于直线𝑀𝑁对称，确定对称三角形，从而确定对称线段𝐸𝐹= 𝐶𝐹，利用轴对称
的性质即可解决问题；
（2）根据△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸关于直线𝑀𝑁对称，确定对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：由题意，得△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸， 𝐸𝐹= 𝐶𝐹，
又∵𝐸𝐹= 8，
∴𝐶𝐹= 8，
∴𝐵𝐹= 𝐵𝐶−𝐶𝐹= 7．
（2）解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸．
又∵∠𝐵𝐴𝐶= 107°，∠𝐶𝐴𝐸= 77°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐸= 107°−77° = 30°．
13．请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图①，D 为△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶上一点，点𝐴,𝐶关于𝐵𝐷对称，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于E，请作出𝐵𝐶的一条垂线𝑙1；
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(2)如图②，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°,𝐷为边𝐴𝐶上一点，点𝐵,𝐶关于𝐷𝐸对称．请作出𝐵𝐷的一条垂线𝑙2．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-轴对称变换，三角形的高等知识；
（1）根据△𝐴𝐵𝐶的三条高交于一点，由对称和垂直可得△𝐴𝐵𝐶的两条高为𝐵𝐷和𝐶𝐸，设△𝐴𝐵𝐶的两条高𝐵𝐷
和𝐶𝐸所在直线交点为𝑂，直线𝐴𝑂即为△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高所在的直线，即直线𝐴𝑂为𝐵𝐶的一条垂线𝑙1．
（2）根据△𝐵𝐶𝐷的三条高所在的直线所在的直线交于一点，由对称和垂直可得△𝐵𝐶𝐷的两条高𝐵𝐴和𝐷𝐸，
设△𝐵𝐶𝐷的两条高𝐵𝐴和𝐷𝐸所在直线交点为𝑇，直线𝐶𝑇即为△𝐵𝐶𝐷中𝐵𝐷边上的高所在的直线，即直线𝐶𝑇为
𝐵𝐷的一条垂线𝑙2．
【详解】（1）解：如图①，直线𝑙1即为所求．
（2）解：如图②，直线𝑙2即为所求．
14．如图，点𝑃在∠𝐴𝑂𝐵的内部，点𝐶和点𝑃关于直线𝑂𝐴对称，点𝑃关于直线𝑂𝐵的对称点是点𝐷，连接𝐶𝐷交𝑂𝐴
于点𝑀，交𝑂𝐵于点𝑁．
(1)若∠𝐴𝑂𝐵= 𝛼，求∠𝐶𝑂𝐷的度数；
(2)若𝐶𝐷= 4, △𝑃𝑀𝑁的周长为_______．
【答案】(1)2𝛼
(2)4
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【分析】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键．
（1）根据轴对称的性质，可知∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐴𝑂𝑃，∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝐵𝑂𝑃，可以求出∠𝐶𝑂𝐷的度数；
（2）根据轴对称的性质，可知𝐶𝑀= 𝑃𝑀，𝐷𝑁= 𝑃𝑁，根据周长定义可以求出△𝑃𝑀𝑁的周长．
【详解】（1）解：∵点𝐶和点𝑃关于𝑂𝐴对称，
∴∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐴𝑂𝑃，
∵点𝑃关于𝑂𝐵对称点是𝐷，
∴∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝐵𝑂𝑃，
∵∠𝐴𝑂𝐵= 𝛼，
∴∠𝐶𝑂𝐷= ∠𝐴𝑂𝐶+ ∠𝐴𝑂𝑃+ ∠𝐵𝑂𝑃+ ∠𝐵𝑂𝐷
= 2(∠𝐴𝑂𝑃+ ∠𝐵𝑂𝑃)
= 2∠𝐴𝑂𝐵
= 2𝛼；
（2）解：∵点𝐶和点𝑃关于𝑂𝐴对称，
∴𝐶𝑀= 𝑃𝑀，
∵点𝑃关于𝑂𝐵对称点是𝐷，
∴𝐷𝑁= 𝑃𝑁，
∵𝐶𝐷= 4，
∴𝐶𝑀+ 𝑀𝑁+ 𝐷𝑁= 4，
∴𝑃𝑀+ 𝑀𝑁+ 𝑃𝑁= 4，
即△𝑃𝑀𝑁的周长为4．
故答案为：4
15．如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸关于直线𝑀𝑁对称，𝐵𝐶和𝐷𝐸的交点𝐹在直线𝑀𝑁上．
(1)若𝐸𝐷= 15，𝐵𝐹= 9，求𝐸𝐹的长；
(2)连接𝐵𝐷和𝐸𝐶，则𝐵𝐷和𝐸𝐶的位置关系为___________；
(3)若∠𝐴𝐵𝐶= 35°，∠𝐴𝐸𝐷= 65°，∠𝐵𝐴𝐸= 16°，求∠𝐸𝐴𝐹的度数．
【答案】(1)6
(2)𝐸𝐶∥𝐵𝐷
(3)∠𝐸𝐴𝐹= 32°．
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【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，熟练掌握轴对称的性质是银题的
关键．
（1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可；
（2）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得𝑀𝑁⊥𝐸𝐶，𝑀𝑁⊥𝐷𝐵，即可由平行线的判定
即可得出结论；
（3）根据轴对称的性质：对应角相等，以及三角形内角和等于180 度，求解即可．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸关于直线𝑀𝑁对称，
∴点𝐵与点𝐷关于直线𝑀𝑁对称，
∴𝐷𝐹= 𝐵𝐹= 9
∴𝐸𝐹= 𝐸𝐷−𝐷𝐹= 15−9 = 6；
（2）解：𝐸𝐶∥𝐵𝐷，
理由：如图，
∵△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸关于直线𝑀𝑁对称，
∴点𝐵与点𝐷关于直线𝑀𝑁对称，点𝐸与点𝐶关于直线𝑀𝑁对称，
∴𝑀𝑁⊥𝐸𝐶，𝑀𝑁⊥𝐷𝐵，
∴𝐸𝐶∥𝐵𝐷．
故答案为：𝐸𝐶∥𝐵𝐷；
（3）解：∵△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸关于直线𝑀𝑁对称，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐸𝐷= 65°，△𝐴𝐸𝐹与△𝐴𝐶𝐹关于直线𝑀𝑁对称，
∴∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐸𝐴𝐹，
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶= 180°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐶𝐵= 180°−35°−65° = 80°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐵𝐴𝐸= 80°−16° = 64°，
∵∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐸𝐴𝐹，
∴∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐶𝐴𝐹=
1
2∠𝐶𝐴𝐸= 32°．
