预习讲义 第15 讲 等边三角形（学生版）
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析教材·学知识
【知识点1 等边三角形的性质】
性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ．
【注意】
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
【知识点2 等边三角形的判定】
1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形．
2.三个角都相等的三角形是等边三角形．
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【知识点3 含30°角的直角三角形的性质】
性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
证明：如图，延长BC 到D，使CD=BC，连接AD，则AC 是BD 的垂直平分线，所以AB=AD.
又因为∠B=90°-∠BAC =90°-30°=60°，所以△ABD 是等边三角形，所以BD=AB.又BD=2BC，
所以BC=1
2AB.由此可以得到上述结论.
练题型·强知识
【题型1 利用等边三角形的性质求角度】
【例1】如图，△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，点D 是𝐵𝐶边的中点，过点D 的直线与𝐴𝐶相交于点E，与𝐴𝐵的延长
线相交于点F，当𝐴𝐸= 𝐴𝐷时，则∠𝐹=
．
【变式1-1】如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐵𝐷⊥𝐴𝐵，𝐵𝐷= 𝐴𝐵，则∠𝐴𝐷𝐶的度数为（ ）
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A．15°
B．20°
C．22.5°
D．30°
【变式1-2】如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐴𝐸= 𝐶𝐷，𝐴𝐷、𝐵𝐸相交于点𝑃，𝐵𝑄⊥𝐴𝐷于点𝑄，求∠𝐵𝑃𝐷的度数.
【变式1-3】如图，𝐷，𝐸分别是等边三角形𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵，𝐴𝐶上的点，且𝐴𝐷= 𝐶𝐸，求∠𝐵𝑂𝐷的度数.
【题型2 利用等边三角形的性质求线段长度】
【例2】如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐴𝐵= 6，𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝐶的平分线，延长𝐵𝐶到E，使𝐶𝐸= 𝐶𝐷，则𝐵𝐸的
长为（ ）
A．7
B．8
C．
17
2
D．9
【变式2-1】如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹都是等边三角形，点𝐷,𝐸,𝐹分别在边𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐴𝐶上，若△𝐴𝐵𝐶的周长为
15,𝐴𝐹= 2，则𝐵𝐸的长为 ．
【变式2-2】如图，△𝐴𝐵𝐶，△𝐶𝐷𝐸都是等边三角形，点A，D，E 在同一条直线上，连接𝐵𝐸．若𝐵𝐸= 1，
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𝐴𝐸= 4，求𝐶𝐸的长．
【变式2-3】如图，等边三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷是中线，延长𝐵𝐶至𝐸使得𝐶𝐸=
1
2𝐵𝐶，过点D 作𝐷𝐹⊥𝐵𝐸于𝐹．试
说明：𝐵𝐹= 𝐸𝐹．
【题型3 含30°角的直角三角形的性质简单应用】
【例3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵= 30°，𝐴𝐷⊥𝐴𝐵交𝐵𝐶于点𝐷，𝐴𝐷= 2，则𝐵𝐶的长是（ ）
A．12
B．10
C．8
D．6
【变式3-1】如图，点O 是边长为3 的等边△𝐴𝐵𝐶一边𝐵𝐶上的一点，𝑂𝐸、𝑂𝐹分别与两边垂直，则𝐵𝐸+ 𝐶𝐹
（ ）
A．1.6
B．1.5
C．1.8
D．2
【变式3-2】如图，在等边三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 8，点D 是𝐴𝐵的中点，过点D 作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点F，过点F 作
𝐸𝐹⊥𝐵𝐶于点E，则𝐵𝐸的长为（ ）
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A．3
B．4
C．5
D．6
【变式3-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴= 30°，𝐴𝐵的垂直平分线分别交𝐴𝐵和𝐴𝐶于点𝐷、𝐸，
𝐶𝐸= 3，𝐴𝐶的长为（ ）
A．6
B．8
C．9
D．12
【题型4 作垂线构造含30°角的直角三角形】
【例4】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 60°，𝐵𝐶= 24，点𝐷在𝐵𝐴的延长线上，𝐶𝐴= 𝐶𝐷，𝐵𝐷= 15，则𝐴𝐷的
长为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【变式4-1】如图，在等边三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐴𝐶延长线上一点，𝐸是𝐴𝐵上一点，连接𝐵𝐷，𝐸𝐷．若
𝐷𝐸= 𝐷𝐵，𝐴𝐷+ 𝐴𝐸= 10，𝐵𝐸= 2，则𝐵𝐶的长为
．
【变式4-2】如图，在等腰三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，点E，F 在等腰三角形𝐴𝐵𝐶的内部，连接𝐴𝐸，𝐸𝐹，
𝐶𝐹，使∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐸𝐹= 60°，且𝐶𝐹平分∠𝐴𝐶𝐵．若𝐴𝐸= 5，𝐸𝐹= 3，则𝐴𝐵= ．
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【变式4-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 60°，以𝐴𝐶为边在△𝐴𝐵𝐶外作等边△𝐴𝐶𝐷，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶．若
𝐴𝐵= 5.4，𝐶𝐸= 3，则𝐵𝐸=
．
【题型5 等边三角形的判定】
【例5】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐴𝐵边上一点，𝐷𝐹⊥𝐵𝐶于点𝐹，延长𝐹𝐷、𝐶𝐴交于点𝐸．若∠𝐸= 30°，
𝐴𝐷= 𝐴𝐸．求证：△𝐴𝐵𝐶为等边三角形．
【变式5-1】等边△𝐴𝐵𝐶中，点P 在△𝐴𝐵𝐶内，点Q 在△𝐴𝐵𝐶外，且∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐴𝐶𝑄,𝐵𝑃= 𝐶𝑄，问△𝐴𝑃𝑄是
什么形状的三角形？试说明你的结论．
【变式5-2】已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D 是𝐵𝐶边的中点，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵,𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，点E、F 为垂足，且
𝐷𝐸= 𝐷𝐹，∠𝐴= 120°．
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(1)求证；△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹；
(2)求证：△𝐷𝐸𝐹是等边三角形．
【变式5-3】在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐷为𝐵𝐶延长线上一点，点𝐸为线段𝐴𝐶，𝐶𝐷的垂直平分线的交点，连接
𝐸𝐴，𝐸𝐶，𝐸𝐷．
(1)如图（1），当∠𝐵𝐴𝐶= 50°时，则∠𝐴𝐸𝐷= _____°；
(2)如图（2），当∠𝐵𝐴𝐶= 60°时，连接𝐴𝐷，判断△𝐴𝐸𝐷的形状，并给予证明．
【题型6 等边三角形的判定与性质】
【例6】如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐵𝐷都是等边三角形，点E、F 分别在𝐵𝐶，𝐴𝐶上，𝐵𝐸= 𝐶𝐹，𝐴𝐸与𝐵𝐹交于点𝐺．
(1)求∠𝐴𝐺𝐵的度数；
(2)连接𝐷𝐺，求证：𝐷𝐺= 𝐴𝐺+ 𝐵𝐺．
【变式6-1】如图1，在等边△𝐴𝐵𝐶中，𝐸为边𝐴𝐶上一点，𝐷为𝐵𝐶上一点，且𝐴𝐸= 𝐶𝐷，连接𝐴𝐷与𝐵𝐸相交于
点𝐹．
(1)𝐴𝐷与𝐵𝐸的数量关系是，𝐴𝐷与𝐵𝐸构成的锐角夹角∠𝐵𝐹𝐷的度数是；并说明理由．
(2)深入探究，将图1中的𝐴𝐷延长至点𝐺，使𝐹𝐺= 𝐵𝐹，连接𝐵𝐺，𝐶𝐺，如图2所示．求证：𝐺𝐴平分∠𝐵𝐺𝐶（第
一问的结论，本问可直接使用）
【变式6-2】如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸是等边三角形，𝐶𝐸、𝐵𝐷交于点F，连接𝐴𝐹．
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(1)求证：𝐶𝐸= 𝐵𝐷；
(2)求证：∠𝐴𝐹𝐶= 60°；
(3)判断线段𝐴𝐹、𝐵𝐹、𝐶𝐹的数量关系，并说明理由．
【变式6-3】如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，点D 在𝐴𝐶上，点E 在𝐵𝐶的延长线上，且𝐵𝐷= 𝐷𝐸．
(1)如图（1），若点D 是𝐴𝐶的中点，求证：𝐴𝐷= 𝐶𝐸；
(2)如图（2），若点𝐷不𝐴𝐶的中点，𝐴𝐷= 𝐶𝐸是否成立？证明你的结论；
(3)如图（3），若点𝐷在线段𝐴𝐶的延长线上，试判断𝐴𝐷与𝐶𝐸的大小关系，并说明理由．
【题型7 等边三角形中多结论问题】
【例7】如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐹，𝐶𝐹分别平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵，过点F 作𝐷𝐸∥𝐵𝐶交𝐴𝐵于点D，交𝐴𝐶于点E，
那么下列结论错误的是（ ）
A．∠𝐷𝐹𝐵= ∠𝐷𝐵𝐹
B．∠𝐸𝐶𝐹= ∠𝐸𝐹𝐶
C．∠𝐵𝐹𝐶= 90° +
1
2∠𝐴
D．△𝐴𝐷𝐸的周长等于△𝐵𝐹𝐶的周长
【变式7-1】如图，已知等边三角形𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵= 2，点D 在𝐴𝐵上，点F 在𝐴𝐶延长线上，𝐵𝐷= 𝐶𝐹，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶
于E，𝐹𝐺⊥𝐵𝐶于G．𝐷𝐹交𝐵𝐶于点P．则下列结论：①𝐵𝐸= 𝐶𝐺；②△𝐸𝐷𝑃≌△𝐺𝐹𝑃；③∠𝐸𝐷𝑃= 60°；
④𝐸𝑃= 1．其中一定正确的是（ ）
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A．①③
B．②④
C．①②③④
D．①②④
【变式7-2】如图，分别以△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵，𝐴𝐶所在直线为对称轴作△𝐴𝐵𝐶的对称图形△𝐴𝐵𝐷和
△𝐴𝐶𝐸．∠𝐵𝐴𝐶= 150°，线段𝐵𝐷与𝐶𝐸相交于点O，连接𝐵𝐸、𝐸𝐷、𝐷𝐶、𝑂𝐴．有如下结论：①∠𝐸𝐴𝐷= 90°；
②∠𝐵𝑂𝐸= 60°；③△𝐴𝐵𝐸是等边三角形；④𝐵𝑃= 𝐸𝑄，其中正确的结论个数是（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式7-3】如图，已知△𝐴𝐵𝐶，分别以𝐴𝐵、𝐴𝐶为边向外作等边△𝐴𝐵𝐹和等边△𝐴𝐶𝐸，𝐶𝐹和𝐵𝐸交于𝑂点，
则下列结论：①𝐶𝐹= 𝐵𝐸；②∠𝐶𝑂𝐸= 60°；③𝑂𝐴平分∠𝐹𝑂𝐸；④𝑂𝐸= 𝑂𝐴+ 𝑂𝐶．其中正确的有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
串知识·识框架
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过关测·稳提升
1．如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，且𝐴𝐶= 𝐶𝐷，则∠𝐵𝐴𝐷的度数为（ ）
A．50°
B．45°
C．40°
D．35°
2．满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（ ）
①有两个角是60°的三角形 ②有两个外角相等的等腰三角形
③腰上的高也是中线的等腰三角形 ④三个外角都相等的三角形
⑤有一个角为60°的等腰三角形．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
3．如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐶𝐷𝐸都是等边三角形，点𝐴，𝐷，𝐸在同一直线上，连接𝐵𝐸，若𝐵𝐸= 2，𝐴𝐸= 8，则𝐶𝐸
的长是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
4．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 30°，𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，垂足为点𝐴，交𝐵𝐶于点𝐷，过点𝐷的直线𝑚恰好垂直平分线段
𝐴𝐶，𝐴𝐷= 5，则𝐵𝐶的长是（ ）
A．12
B．15
C．18
D．20
5．如图，在等边△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 9，点𝑂在𝐴𝐶上，且𝐴𝑂= 3，𝑃是𝐴𝐵上一动点，连接𝑂𝑃，将线段𝑂𝑃绕点𝑂
逆时针旋转60°得到线段𝑂𝐷，若使点𝐷恰好落在𝐵𝐶上，则线段𝐴𝑃的长是（ ）
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A．4
B．5
C．6
D．8
6．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 120°,𝐴𝐶= 8，D 为𝐵𝐶的中点，𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，则𝐴𝐵的长为
．
7．如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸均为等边三角形，点𝐵,𝐷,𝐸在同一直线上，若∠𝐸𝐵𝐶= 35°，则∠𝐸𝐶𝐴的度数
为
．
8．如图，D 为等边三角形𝐴𝐵𝐶内一点，𝐴𝐷= 𝐵𝐷，𝐵𝑃= 𝐴𝐵，∠𝐷𝐵𝑃= ∠𝐷𝐵𝐶，则∠𝐵𝑃𝐷=
度．
9．如图，∠𝐴𝑂𝐵= 60°，点C 是BO 延长线时的一点，𝑂𝐶= 6cm，动点𝑃从点𝐶出发沿射线𝐶𝐵以2cm/s的速
度移动，动点Q 从点O 出发沿射线𝑂𝐴以1cm/s的速度移动，如果点𝑃、Q 同时出发，用t（s）表示移动的
时间，当𝑡=
s时，△POQ 是等边三角形．
10．如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A，E 重合），在AE 同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE，AD
与BE 交于点O，AD 与BC 交于点P，BE 与CD 交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①𝐴𝐷= 𝐵𝐸；
②PQ//AE；③𝑂𝑃= 𝑂𝑄；④△CPQ 为等边三角形；⑤∠𝐴𝑂𝐵= 60°；其中正确的有
（注：把你认为正
确的答案序号都写上）
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11．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐶𝐴平分∠𝐵𝐶𝐷，𝐴𝑀⊥𝐶𝐷于点M，𝐵𝑁⊥𝐴𝐶于点N，连接𝑀𝑁．
(1)证明：𝐴𝐵= 𝐵𝐶；
(2)若∠𝐶𝐴𝐵= 30°，证明：△𝐴𝑀𝑁是等边三角形．
12．如图，过边长为4 的等边三角形的边𝐴𝐵上一点P，作𝑃𝐸⊥𝐴𝐶于点𝐸，𝑄为𝐵𝐶延长线上一点，当𝑃𝐴= 𝐶𝑄
时，连接𝑃𝑄交𝐴𝐶边于点𝐷．
(1)求证：D 为𝑃𝑄中点；
(2)𝐷𝐸的长为 ？
13．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶,∠𝐴𝐶𝐵> 60°，在𝐴𝐶边上取点𝐷，连接𝐵𝐷，使𝐵𝐷= 𝐵𝐶．以𝐴𝐷为一边作等
边△𝐴𝐷𝐸，且使点𝐸与点𝐵位于直线𝐴𝐶的同侧，∠𝐸𝐴𝐵= 2∠𝐵𝐴𝐶．
(1)求∠𝐵𝐷𝐸的度数；
(2)点𝐹在𝐴𝐵上，连接𝐷𝐹,𝐷𝐹= 𝐵𝐷，请判断△𝐵𝐷𝐹是否是等边三角形，并说明理由．
14．如图，△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐸𝐶都是等边三角形，连接𝐵𝐸，𝐶𝐷，点𝑀，𝑁分别是𝐵𝐸，𝐶𝐷的中点，连接𝐴𝑀，
𝐴𝑁，𝑀𝑁．
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(1)求证：𝐵𝐸= 𝐶𝐷；
(2)求证：△𝐴𝑀𝑁是等边三角形；
(3)如图2，△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐸𝐶都是等腰直角三角形，连接𝐵𝐸，𝐶𝐷，点𝑀，𝑁分别是𝐵𝐸，𝐶𝐷的中点，连接𝐴𝑀，
𝐴𝑁．若点𝑁恰好也是𝐴𝐸的中点，且𝐴𝐸= 2，求△𝐴𝐵𝐸的面积．
15．如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐴𝐶= 12cm，现有两点M、N 分别从点A、点B 同时出发，沿三角形的边
运动，已知点M 的速度为1cm/s，点N 的速度为2cm/s．当点N 第一次到达B 点时，M、N 同时停止运动．
(1)点M、N 运动几秒时，M、N 两点重合？
(2)点M、N 运动几秒时，可得到等边三角形𝐴𝑀𝑁？
(3)当点M、N 在𝐵𝐶边上运动时，能否得到以𝑀𝑁为底边的等腰三角形𝐴𝑀𝑁？如存在，请求出此时M、N 运
动的时间．
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答案解析
练题型·强知识
【题型1 利用等边三角形的性质求角度】
【例1】如图，△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，点D 是𝐵𝐶边的中点，过点D 的直线与𝐴𝐶相交于点E，与𝐴𝐵的延长
线相交于点F，当𝐴𝐸= 𝐴𝐷时，则∠𝐹=
．
【答案】45°
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形和三角形外角的性质是
解题的关键．根据等边三角形的性质得到∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐸=
1
2∠𝐵𝐴𝐶= 30°，由𝐴𝐸= 𝐴𝐷可得∠𝐴𝐷𝐸=
180°−∠𝐷𝐴𝐸
2
= 75°，再利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，点D 是𝐵𝐶边的中点，
∴∠𝐷𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐸=
1
2∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 × 60° = 30°，
∵𝐴𝐸= 𝐴𝐷，
∴∠𝐴𝐷𝐸=
180°−∠𝐷𝐴𝐸
2
=
180°−30°
2
= 75°，
∴∠𝐹= ∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐷𝐴𝐹= 75°−30° = 45°．
故答案为：45°．
【变式1-1】如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐵𝐷⊥𝐴𝐵，𝐵𝐷= 𝐴𝐵，则∠𝐴𝐷𝐶的度数为（ ）
A．15°
B．20°
C．22.5°
D．30°
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等边三角形的性
质可得出𝐵𝐴= 𝐵𝐶、∠𝐴𝐵𝐶= 60°，由𝐵𝐷⊥𝐴𝐵、𝐵𝐷= 𝐴𝐵可得出△𝐴𝐵𝐷为等腰直角三角形，进而可得出
∠𝐴𝐵𝐷= 90°及𝐵𝐷= 𝐵𝐶，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出∠𝐵𝐷𝐶的度数即可得出结
论．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，
∴𝐵𝐴= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= 60°．
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∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐵，𝐵𝐷= 𝐴𝐵，
∴△𝐴𝐵𝐷为等腰直角三角形，
∴∠𝐴𝐵𝐷= 90°，𝐵𝐷= 𝐵𝐶,∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐵𝐴𝐷= 45°，
∴∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐷= 150°，
∴∠𝐷𝐶𝐵= ∠𝐵𝐷𝐶=
1
2(180°−∠𝐶𝐵𝐷) = 15°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐷𝐵−∠𝐶𝐷𝐵= 45°−15° = 30°．
故选：D．
【变式1-2】如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐴𝐸= 𝐶𝐷，𝐴𝐷、𝐵𝐸相交于点𝑃，𝐵𝑄⊥𝐴𝐷于点𝑄，求∠𝐵𝑃𝐷的度数.
【分析】证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐷(SAS)得∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐸，由三角形外角性质推出∠𝐵𝑃𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷即可．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷= 60°，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐶𝐴𝐷中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷
𝐴𝐸= 𝐶𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐷(SAS)，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐸，
∴∠𝐵𝑃𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐸= 60°，
∴∠𝐵𝑃𝐷的度数是60°．
【变式1-3】如图，𝐷，𝐸分别是等边三角形𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵，𝐴𝐶上的点，且𝐴𝐷= 𝐶𝐸，求∠𝐵𝑂𝐷的度数.
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，外角的定义，熟练掌握以上知识点是
解答本题的关键．
利用等边三角形的性质证明△𝐵𝐶𝐸≌△𝐶𝐴𝐷，根据全等三角形的性质得到∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷，再利用三角形的
外角定义即可求解．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
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∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷= 60°，𝐵𝐶= 𝐶𝐴，
在△𝐵𝐶𝐸和△𝐶𝐴𝐷中，
𝐵𝐶= 𝐶𝐴
∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷
𝐴𝐷= 𝐶𝐸
，
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐶𝐴𝐷(SAS)，
∴∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝑂𝐶𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝑂𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
【题型2 利用等边三角形的性质求线段长度】
【例2】如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐴𝐵= 6，𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝐶的平分线，延长𝐵𝐶到E，使𝐶𝐸= 𝐶𝐷，则𝐵𝐸的
长为（ ）
A．7
B．8
C．
17
2
D．9
【答案】D
【分析】本题主要查了等边三角形的性质．根据等边三角形的性质，可得𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐶𝐷= 6，𝐶𝐸= 𝐶𝐷=
1
2
𝐴𝐶，即可求解．
【详解】解：由题意可知：𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐶𝐴= 6，
∵𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝐶的平分线，
∴𝐶𝐷= 𝐴𝐷=
1
2𝐴𝐶，
∵𝐶𝐸= 𝐶𝐷，
∴𝐶𝐸= 𝐶𝐷=
1
2𝐴𝐶= 3，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐸= 6 + 3 = 9．
故选：D．
【变式2-1】如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹都是等边三角形，点𝐷,𝐸,𝐹分别在边𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐴𝐶上，若△𝐴𝐵𝐶的周长为
15,𝐴𝐹= 2，则𝐵𝐸的长为 ．
【答案】3
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【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形
全等的判定和性质是解题的关键．根据△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹都是等边三角形，证明△𝐴𝐹𝐷≌△𝐶𝐸𝐹(AAS)，
△𝐴𝐹𝐷≌△𝐵𝐷𝐸(AAS)，得到𝐴𝐹= 𝐵𝐷= 𝐶𝐸= 2，根据𝐵𝐸= 𝐵𝐶−𝐶𝐸= 5−2 = 3解答即可．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹都是等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐶𝐴,∠𝐴= 𝐵= ∠𝐶= 60°，𝐷𝐸= 𝐸𝐹= 𝐹𝐷,∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐸𝐹𝐷= ∠𝐹𝐷𝐸= 60°，
∴∠𝐴𝐷𝐹+ ∠𝐴𝐹𝐷= 120°，∠𝐶𝐹𝐸+ ∠𝐴𝐹𝐷= 120°，
∴∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐶𝐹𝐸，
∵
∠𝐴= ∠𝐶
∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐶𝐹𝐸
𝐷𝐹= 𝐹𝐸
，
∴△𝐴𝐹𝐷≌△𝐶𝐸𝐹(AAS)，
同理可证，△𝐴𝐹𝐷≌△𝐵𝐷𝐸(AAS)，
∴𝐴𝐹= 𝐵𝐷= 𝐶𝐸= 2，
∵△𝐴𝐵𝐶的周长为15，
∴𝐵𝐶= 15 ÷ 3 = 5，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐶−𝐶𝐸= 5−2 = 3，
故答案为：3．
【变式2-2】如图，△𝐴𝐵𝐶，△𝐶𝐷𝐸都是等边三角形，点A，D，E 在同一条直线上，连接𝐵𝐸．若𝐵𝐸= 1，
𝐴𝐸= 4，求𝐶𝐸的长．
【答案】3
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到
∠𝐴𝐶𝐵= 60°,𝐴𝐶= 𝐵𝐶,∠𝐷𝐶𝐸= 60°,𝐶𝐷= 𝐶𝐸= 𝐷𝐸，从而得到∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷，继而证明△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐷
(SAS)，故𝐴𝐷= 𝐵𝐸= 1，从而求出𝐷𝐸，即𝐶𝐸的长．利用SAS证明△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐷是解题的关键．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶, △𝐶𝐷𝐸是等边三角形，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 60°,𝐴𝐶= 𝐵𝐶,∠𝐷𝐶𝐸= 60°,𝐶𝐷= 𝐶𝐸= 𝐷𝐸．
∴∠𝐵𝐶𝐸= 60°−∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷．
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐷(SAS)．
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐸= 1．
∴𝐷𝐸= 𝐴𝐸−𝐴𝐷= 4−1 = 3．
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∴𝐶𝐸= 3．
【变式2-3】如图，等边三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷是中线，延长𝐵𝐶至𝐸使得𝐶𝐸=
1
2𝐵𝐶，过点D 作𝐷𝐹⊥𝐵𝐸于𝐹．试
说明：𝐵𝐹= 𝐸𝐹．
【答案】见解析
【分析】此题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌
握以上知识点．首先根据三线合一性质得到𝐷𝐶=
1
2𝐵𝐶，然后推出𝐷𝐶= 𝐶𝐸，然后利用三角形外角的性质和等
边对等角得到∠𝐸= 30°，得到𝐷𝐵= 𝐷𝐸，然后利用三线合一证明即可．
【详解】证明：∵ △𝐴𝐵𝐶为等边三角形，𝐵𝐷是中线，
∴𝐷𝐶=
1
2𝐴𝐶=
1
2𝐵𝐶，
又∵𝐶𝐸=
1
2𝐵𝐶，
∴𝐷𝐶= 𝐶𝐸，
∴ ∠𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸，
∵∠𝐷𝐶𝐵= ∠𝐸+ ∠𝐶𝐷𝐸= 60°，
∴ ∠𝐸= 30°，
∵ 𝐷𝐴= 𝐷𝐶，△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，
∴ ∠𝐷𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶= 30°，
∴∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐸，
∴ 𝐷𝐵= 𝐷𝐸，
∵ 𝐷𝐹⊥𝐵𝐶，
∴ 𝐵𝐹= 𝐸𝐹．
【题型3 含30°角的直角三角形的性质简单应用】
【例3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵= 30°，𝐴𝐷⊥𝐴𝐵交𝐵𝐶于点𝐷，𝐴𝐷= 2，则𝐵𝐶的长是（ ）
A．12
B．10
C．8
D．6
【答案】D
【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点
预习讲义 第15 讲 等边三角形（解析版）
第 18 页 共 54 页
是解答本题的关键．
根据含30°角的直角三角形的性质求得𝐵𝐷= 2𝐴𝐷= 4，由等边对等角以及三角形内角和定理求得
∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐶= 120°，进而求得∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐵𝐴𝐷= 30°，再根据等边对等角得到𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 2，
最后根据𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐷𝐶即可得解．
【详解】解：∵𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，
∴△𝐴𝐵𝐷为直角三角形，
又∠𝐵= 30°，𝐴𝐷= 2，
∴𝐵𝐷= 2𝐴𝐷= 2 × 2 = 4，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵= 30°，
∴∠𝐵= ∠𝐶= 30°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐶= 180°−30°−30° = 120°，
∵𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，即∠𝐵𝐴𝐷= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐵𝐴𝐷= 120°−90° = 30°，
∴△𝐴𝐶𝐷是等腰三角形，即𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 2，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐷𝐶= 4 + 2 = 6，
故选：D．
【变式3-1】如图，点O 是边长为3 的等边△𝐴𝐵𝐶一边𝐵𝐶上的一点，𝑂𝐸、𝑂𝐹分别与两边垂直，则𝐵𝐸+ 𝐶𝐹
（ ）
A．1.6
B．1.5
C．1.8
D．2
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，根据等边三角形的性质得到
𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐴𝐶= 3，∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶= 60°，由题意求出∠𝐵𝑂𝐸= 30°,∠𝐶𝑂𝐹= 30°，利用直角三角形的性质可
得𝐵𝐸=
1
2𝐵𝑂,𝐶𝐹=
1
2𝐶𝑂，即可求解．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶是边长为3 的等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐴𝐶= 3，∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶= 60°，
又∵𝑂𝐸⊥𝐴𝐵,𝑂𝐹⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐸𝑂= 90°,∠𝐶𝐹𝑂= 90°，
∴∠𝐵𝑂𝐸= 30°,∠𝐶𝑂𝐹= 30°，
∴𝐵𝐸=
1
2𝐵𝑂,𝐶𝐹=
1
2𝐶𝑂，
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第 19 页 共 54 页
∴𝐵𝐸+ 𝐶𝐹=
1
2𝐵𝑂+
1
2𝐶𝑂=
1
2(𝐵𝑂+ 𝐶𝑂) =
1
2𝐵𝐶= 1.5，
故选：B．
【变式3-2】如图，在等边三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 8，点D 是𝐴𝐵的中点，过点D 作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点F，过点F 作
𝐸𝐹⊥𝐵𝐶于点E，则𝐵𝐸的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形，由等边三角形性质得到𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐴𝐶= 8，
∠𝐴= ∠𝐶= 60°，根据含30°角的直角三角形求出𝐴𝐹=
1
2𝐴𝐷= 2，求出𝐶𝐹，再根据含30°角的直角三角形求出
𝐶𝐸=
1
2𝐶𝐹= 3，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐴𝐶= 8，∠𝐴= ∠𝐶= 60°，
∵𝐷是𝐴𝐵的中点，
∴𝐴𝐷=
1
2𝐴𝐵= 4，
∵𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐹𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐷𝐹= 180°−90°−60° = 30°，
∴𝐴𝐹=
1
2𝐴𝐷= 2，
∴𝐶𝐹= 𝐴𝐶−𝐴𝐹= 8−2 = 6，
∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐹𝐸= 90°−∠𝐶= 30°，
∴𝐶𝐸=
1
2𝐶𝐹= 3，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐶−𝐶𝐸= 8−3 = 5，
故选：C．
【变式3-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴= 30°，𝐴𝐵的垂直平分线分别交𝐴𝐵和𝐴𝐶于点𝐷、𝐸，
𝐶𝐸= 3，𝐴𝐶的长为（ ）
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第 20 页 共 54 页
A．6
B．8
C．9
D．12
【答案】C
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30 度角的直角三角形的边的关系，
掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
连接𝐵𝐸，根据线段垂直平分线的性质证明𝐵𝐸= 𝐴𝐸，再证明∠𝐸𝐵𝐴= ∠𝐴= 30°，再根据含30 度角的直角三
角形的边角关系求出𝐴𝐶即可．
【详解】解：如图，连接𝐵𝐸，
∵𝐷𝐸为𝐴𝐵边的垂直平分线，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐸，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴= 30°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 60°，∠𝐸𝐵𝐴= ∠𝐴= 30°，
在Rt △𝐵𝐶𝐸中，∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐸𝐵𝐴= 30°，
∵𝐶𝐸= 3，
∴𝐵𝐸= 2𝐸𝐶= 6，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐸+ 𝐸𝐶= 𝐵𝐸+ 𝐸𝐶= 3 + 6 = 9．
故选：C
【题型4 作垂线构造含30°角的直角三角形】
【例4】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 60°，𝐵𝐶= 24，点𝐷在𝐵𝐴的延长线上，𝐶𝐴= 𝐶𝐷，𝐵𝐷= 15，则𝐴𝐷的
长为（ ）
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第 21 页 共 54 页
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】A
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，过点𝐶作
𝐶𝐸⊥𝐴𝐷，垂足为𝐸，根据垂直定义可得∠𝐵𝐸𝐶= 90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠𝐵𝐶𝐸= 30°，
然后利用含30度角的直角三角形的性质可得𝐵𝐸= 12，从而可得𝐷𝐸= 3，最后利用等腰三角形的三线合一性
质即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点𝐶作𝐶𝐸⊥𝐴𝐷，垂足为𝐸，
∴∠𝐵𝐸𝐶= 90°，
∵∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= 90°−∠𝐴𝐵𝐶= 30°，
∵𝐵𝐶= 24，
∴𝐵𝐸=
1
2𝐵𝐶= 12，
∵𝐵𝐷= 15，
∴𝐷𝐸= 𝐵𝐷−𝐵𝐸= 15−12 = 3，
∵𝐶𝐴= 𝐶𝐷，
∴𝐴𝐷= 2𝐷𝐸= 6，
故选：A．
【变式4-1】如图，在等边三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐴𝐶延长线上一点，𝐸是𝐴𝐵上一点，连接𝐵𝐷，𝐸𝐷．若
𝐷𝐸= 𝐷𝐵，𝐴𝐷+ 𝐴𝐸= 10，𝐵𝐸= 2，则𝐵𝐶的长为
．
【答案】
14
3
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【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，正确作出辅助
线是解题的关键．
过𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于点𝐹，由等腰三角形的性质得𝐸𝐹= 𝐵𝐹= 1，设𝐴𝐸= 𝑥，则𝐴𝐷= 10−𝑥,𝐴𝐹= 𝐴𝐸+ 𝐸𝐹，由等
边三角形的性质得𝐵𝐶= 𝐴𝐵,∠𝐴= 60°，则∠𝐴𝐷𝐹= 30°，再由含30°角的直角三角形的性质得𝐴𝐷= 2𝐴𝐹，然
后求出𝑥，即可解决问题．
【详解】解：如图，过𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于点𝐹，
∵𝐷𝐸= 𝐷𝐵,𝐵𝐸= 2，
∴𝐸𝐹= 𝐵𝐹=
1
2𝐵𝐸= 1，
设𝐴𝐸= 𝑥，则𝐴𝐷= 10−𝑥,𝐴𝐹= 𝐴𝐸+ 𝐸𝐹= 𝑥+ 1，
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴𝐵𝐶= 𝐴𝐵,∠𝐴= 60°，
∴∠𝐴𝐷𝐹= 90°−60° = 30°，
∴𝐴𝐷= 2𝐴𝐹，
即10−𝑥= 2(𝑥+ 1)，
∴𝑥=
8
3，
∴𝐵𝐶= 𝐴𝐵= 𝐴𝐸+ 𝐵𝐸=
8
3 +2 =
14
3 ，
故答案为：
14
3 ．
【变式4-2】如图，在等腰三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，点E，F 在等腰三角形𝐴𝐵𝐶的内部，连接𝐴𝐸，𝐸𝐹，
𝐶𝐹，使∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐸𝐹= 60°，且𝐶𝐹平分∠𝐴𝐶𝐵．若𝐴𝐸= 5，𝐸𝐹= 3，则𝐴𝐵= ．
【答案】8
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质．延长𝐶𝐹交𝐴𝐵于点
G，延长𝐸𝐹交𝐴𝐵于点D，可得△𝐴𝐷𝐸是等边三角形， ∠𝐸𝐷𝐴= 60°，进而可得𝐴𝐸= 𝐴𝐷= 𝐸𝐷= 5，然后利
用线段的和差关系可得𝐷𝐹= 2，再利用等腰三角形的性质可得𝐴𝐵= 2𝐴𝐺，∠𝐶𝐺𝐵= 90°，从而利用直角三角
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形的两个锐角互余可得∠𝐷𝐹𝐺= 30°，进而在Rt △𝐷𝐺𝐹中，利用含30 度角直角三角形的性质可得𝐷𝐺= 1，
据此进行计算即可解答．
【详解】解：延长𝐶𝐹交𝐴𝐵于点G，延长𝐸𝐹交𝐴𝐵于点D，
∵∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐸𝐹= 60°，
∴△𝐴𝐷𝐸是等边三角形，∠𝐸𝐷𝐴= 60°，
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐷= 𝐸𝐷= 5，
∵𝐸𝐹= 3，
∴𝐷𝐹= 𝐸𝐷−𝐸𝐹= 5−3 = 2，
∵𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐶𝐹平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴𝐴𝐵= 2𝐴𝐺，∠𝐶𝐺𝐵= 90°，
∴∠𝐷𝐹𝐺= 90°−∠𝐴𝐷𝐸= 30°，
∴𝐷𝐺=
1
2𝐷𝐹= 1，
∴𝐴𝐺= 𝐴𝐷−𝐷𝐺= 5−1 = 4，
∴𝐴𝐵= 2𝐴𝐺= 8，
故答案为：8．
【变式4-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 60°，以𝐴𝐶为边在△𝐴𝐵𝐶外作等边△𝐴𝐶𝐷，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶．若
𝐴𝐵= 5.4，𝐶𝐸= 3，则𝐵𝐸=
．
【答案】7.8
【分析】此题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角
形和含有30°角的直角三角形是解决问题的关键．过点𝐶作𝐶𝑃⊥𝐴𝐵于𝑃，根据∠𝐴𝐵𝐶= 60°得
∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐴= 120°，再根据等边三角形性质得𝐴𝐶= 𝐶𝐷，∠𝐴𝐶𝐷= 60°，则∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐴= 120°，由此
得∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸，据此可依据“AAS”判定△𝐴𝑃𝐶和△𝐶𝐸𝐷全等，从而得𝐴𝑃= 𝐶𝐸= 3，则
𝐵𝑃= 𝐴𝐵−𝐴𝑃= 2.4，进而在根据直角三角形性质得𝐵𝐶= 2𝐵𝑃= 4.8，据此可得𝐵𝐸的长．
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【详解】解：过点𝐶作𝐶𝑃⊥𝐴𝐵于𝑃，如图所示：
∵∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐴= 180°−∠𝐴𝐵𝐶= 120°，
∵△𝐴𝐶𝐷为等边三角形，
∴𝐴𝐶= 𝐶𝐷，∠𝐴𝐶𝐷= 60°，
∵∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐴= 180°−∠𝐴𝐶𝐷= 120°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸，
∵𝐶𝑃⊥𝐴𝐵，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝑃𝐶= ∠𝐶𝐸𝐷= 90°，
在△𝐴𝑃𝐶和△𝐶𝐸𝐷中，
∠𝐴𝑃𝐶= ∠𝐶𝐸𝐷= 90°
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸
𝐴𝐶= 𝐶𝐷
，
∴△𝐴𝑃𝐶≌△𝐶𝐸𝐷(AAS)，
∴𝐴𝑃= 𝐶𝐸= 3，
∴𝐵𝑃= 𝐴𝐵−𝐴𝑃= 5.4−3 = 2.4，
在Rt △𝐵𝐶𝑃中，∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∴∠𝐵𝐶𝑃= 30°，
∴𝐵𝐶= 2𝐵𝑃= 2 × 2.4 = 4.8，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐸= 4.8 + 3 = 7.8．
故答案为：7.8
【题型5 等边三角形的判定】
【例5】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐴𝐵边上一点，𝐷𝐹⊥𝐵𝐶于点𝐹，延长𝐹𝐷、𝐶𝐴交于点𝐸．若∠𝐸= 30°，
𝐴𝐷= 𝐴𝐸．求证：△𝐴𝐵𝐶为等边三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟记等边三角形的判
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定定理是解题的关键．由等腰三角形的性质得出∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐸= 30°，根据三角形的内角和定理并结合𝐷𝐹⊥𝐵𝐶，
证出∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵= ∠𝐶，则可得出结论．
【详解】证明：∵𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐸= 30°，
∴ ∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐸= 30°，
∴ ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐸= 60°，
∵𝐷𝐹⊥𝐵𝐶，
∴ ∠𝐸𝐹𝐶= 90°，
∴ ∠𝐶= 90°−∠𝐸= 60°，
∴ ∠𝐵= 180°−∠𝐶−∠𝐵𝐴𝐶= 180°−60°−60° = 60°，
∴ ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵= ∠𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐶为等边三角形．
【变式5-1】等边△𝐴𝐵𝐶中，点P 在△𝐴𝐵𝐶内，点Q 在△𝐴𝐵𝐶外，且∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐴𝐶𝑄,𝐵𝑃= 𝐶𝑄，问△𝐴𝑃𝑄是
什么形状的三角形？试说明你的结论．
【答案】△𝐴𝑃𝑄是等边三角形，见解析
【分析】本题考查等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，先证△𝐴𝐵𝑃≌△𝐴𝐶𝑄，得𝐴𝑃= 𝐴𝑄，再证
∠𝑃𝐴𝑄= 60°，从而得出△𝐴𝑃𝑄是等边三角形．
【详解】解：△𝐴𝑃𝑄是等边三角形．
证明：∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶．
在△𝐴𝐵𝑃与△𝐴𝐶𝑄中，
∵
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐴𝐶𝑄
𝐵𝑃= 𝐶𝑄
，
∴△𝐴𝐵𝑃≌△𝐴𝐶𝑄(SAS)，
∴𝐴𝑃= 𝐴𝑄,∠𝐵𝐴𝑃= ∠𝐶𝐴𝑄．
∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝑃+ ∠𝑃𝐴𝐶= 60°，
∴∠𝑃𝐴𝑄= ∠𝐶𝐴𝑄+ ∠𝑃𝐴𝐶= 60°，
∴△𝐴𝑃𝑄是等边三角形．
【变式5-2】已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D 是𝐵𝐶边的中点，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵,𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，点E、F 为垂足，且
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第 26 页 共 54 页
𝐷𝐸= 𝐷𝐹，∠𝐴= 120°．
(1)求证；△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹；
(2)求证：△𝐷𝐸𝐹是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解
题的关键：
（1）利用HL证明△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹即可；
（2）根据全等三角形的性质，得到∠𝐵= ∠𝐶，进而求出∠𝐵,∠𝐶的度数，进而求出∠𝐵𝐷𝐸,∠𝐶𝐷𝐹的度数，进而
求出∠𝐸𝐷𝐹= 60°，即可得证．
【详解】（1）证明：∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵,𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐷𝐹𝐶= 90°，
∵D 是𝐵𝐶边的中点，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
∵𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
∴Rt △𝐵𝐷𝐸≌Rt △𝐶𝐷𝐹(HL)；
（2）由（1）知：△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹，
∴∠𝐵= ∠𝐶，
∵∠𝐴= 120°，
∴∠𝐵= ∠𝐶=
1
2(180°−120°) = 30°；
∴∠𝐵𝐷𝐸= 90°−∠𝐵= 60°,∠𝐹𝐷𝐶= 90°−∠𝐶= 60°，
∴∠𝐹𝐷𝐹= 180°−∠𝐵𝐷𝐸−∠𝐶𝐷𝐹= 60°，
∵𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
∴△𝐷𝐸𝐹是等边三角形．
【变式5-3】在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐷为𝐵𝐶延长线上一点，点𝐸为线段𝐴𝐶，𝐶𝐷的垂直平分线的交点，连接
𝐸𝐴，𝐸𝐶，𝐸𝐷．
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(1)如图（1），当∠𝐵𝐴𝐶= 50°时，则∠𝐴𝐸𝐷= _____°；
(2)如图（2），当∠𝐵𝐴𝐶= 60°时，连接𝐴𝐷，判断△𝐴𝐸𝐷的形状，并给予证明．
【答案】(1)80
(2) △𝐴𝐸𝐷是等边三角形，证明见解析
【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠𝐴𝐶𝐵= 40°，即可得出∠𝐴𝐶𝐷= 140°，利用线段的垂直平分线的
性质得出𝐸𝐴= 𝐸𝐶，𝐸𝐶= 𝐸𝐵，根据等腰三角形当性质得出∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐸𝐶𝐴，∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐸𝐷𝐶，四边形内角和定
理解决问题即可；
（2）同（1）可得出∠𝐴𝐸𝐷= 60°，𝐸𝐴= 𝐸𝐶，𝐸𝐶= 𝐸𝐵，即可得出𝐸𝐴= 𝐸𝐷，即可证明△𝐴𝐸𝐷是等边三角形．
【详解】（1）解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，∠𝐵𝐴𝐶= 50°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°−50° = 40°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 180°−40° = 140°，
∵点𝐸为线段，𝐴𝐶，𝐶𝐷的垂直平分线的交点，
∴𝐸𝐴= 𝐸𝐶，𝐸𝐶= 𝐸𝐵，
∴∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐸𝐶𝐴，∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐸𝐷𝐶，
∴∠𝐸𝐴𝐶+ ∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐸𝐶𝐴+ ∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷= 140°，
∴∠𝐴𝐸𝐷= 360°−140°−140° = 80°．
答案为：80
（2）解：△𝐴𝐸𝐷是等边三角形，理由如下：
∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°−60° = 30°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 180°−30° = 150°，
由（1）可知：∠𝐴𝐸𝐷= 360°−150°−150° = 60°，𝐸𝐴= 𝐸𝐶，𝐸𝐶= 𝐸𝐵，
∴𝐸𝐴= 𝐸𝐷，
∴△𝐴𝐸𝐷是等边三角形．
【题型6 等边三角形的判定与性质】
【例6】如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐵𝐷都是等边三角形，点E、F 分别在𝐵𝐶，𝐴𝐶上，𝐵𝐸= 𝐶𝐹，𝐴𝐸与𝐵𝐹交于点𝐺．
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(1)求∠𝐴𝐺𝐵的度数；
(2)连接𝐷𝐺，求证：𝐷𝐺= 𝐴𝐺+ 𝐵𝐺．
【答案】(1)∠𝐴𝐺𝐵= 120°
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确添加辅助线、证明三角形
全等是解题关键．
（1）根据等边三角形的性质证得△𝐴𝐵𝐸≌△𝐵𝐶𝐹，则∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐹𝐵𝐶，利用三角形外角性质可求
∠𝐵𝐺𝐸= ∠𝐴𝐵𝐺+ ∠𝐹𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶= 60°，进而可计算出∠𝐴𝐺𝐵的度数；
（2）延长𝐺𝐸至点𝐻，使𝐺𝐻= 𝐺𝐵，证明△𝐵𝐺𝐻为等边三角形，得到𝐵𝐺= 𝐵𝐻= 𝐺𝐻，∠𝐺𝐵𝐻= 60°，证得
△𝐷𝐵𝐺≌△𝐴𝐵𝐻，可得𝐷𝐺= 𝐴𝐻，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶= 60°，
∵在△𝐴𝐵𝐸和△𝐵𝐶𝐹中，
𝐴𝐵= 𝐵𝐶
∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶
𝐵𝐸= 𝐶𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐵𝐶𝐹(SAS)，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐹𝐵𝐶，
∵∠𝐵𝐺𝐸= ∠𝐴𝐵𝐺+ ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐵𝐺+ ∠𝐹𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∴∠𝐴𝐺𝐵= 180°−∠𝐵𝐺𝐸= 120°；
（2）证明：延长𝐺𝐸至点𝐻，使𝐺𝐻= 𝐺𝐵，如图，
∵∠𝐵𝐺𝐸= 60°，
∴△𝐵𝐺𝐻为等边三角形，
∴𝐵𝐺= 𝐵𝐻= 𝐺𝐻，∠𝐺𝐵𝐻= 60°，
∵△𝐴𝐵𝐷是等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐷，∠𝐴𝐵𝐷= 60°，
∴∠𝐴𝐵𝐻= ∠𝐷𝐵𝐺，
∵在△𝐷𝐵𝐺和△𝐴𝐵𝐻中，
𝐷𝐵= 𝐴𝐵
∠𝐷𝐵𝐺= ∠𝐴𝐵𝐻
𝐵𝐺= 𝐵𝐻
，
预习讲义 第15 讲 等边三角形（解析版）
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∴△𝐷𝐵𝐺≌△𝐴𝐵𝐻(SAS)，
∴𝐷𝐺= 𝐴𝐻，
而𝐴𝐻= 𝐴𝐺+ 𝐺𝐻= 𝐴𝐺+ 𝐵𝐺，
∴𝐷𝐺= 𝐴𝐺+ 𝐵𝐺．
【变式6-1】如图1，在等边△𝐴𝐵𝐶中，𝐸为边𝐴𝐶上一点，𝐷为𝐵𝐶上一点，且𝐴𝐸= 𝐶𝐷，连接𝐴𝐷与𝐵𝐸相交于
点𝐹．
(1)𝐴𝐷与𝐵𝐸的数量关系是，𝐴𝐷与𝐵𝐸构成的锐角夹角∠𝐵𝐹𝐷的度数是；并说明理由．
(2)深入探究，将图1中的𝐴𝐷延长至点𝐺，使𝐹𝐺= 𝐵𝐹，连接𝐵𝐺，𝐶𝐺，如图2所示．求证：𝐺𝐴平分∠𝐵𝐺𝐶（第
一问的结论，本问可直接使用）
【答案】(1)𝐴𝐷= 𝐵𝐸，60°
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，角平分线
的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的
关键．
（1）证△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐴𝐸(SAS)．得𝐴𝐷= 𝐵𝐸，∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐸，再由三角形的外角性质得
∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶= 60°即可；
（2）证△𝐵𝐹𝐺是等边三角形，得𝐵𝐹= 𝐵𝐺，∠𝐹𝐵𝐺= ∠𝐵𝐺𝐹= 60°，再证△𝐴𝐵𝐹≌△𝐶𝐵𝐺(SAS)，得
∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐶𝐺𝐵= 120°，即可解决问题．
【详解】（1）∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐴，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶= 60°，
在△𝐴𝐶𝐷和△𝐵𝐴𝐸中，
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𝐶𝐴= 𝐴𝐵
∠𝐶= ∠𝐵𝐴𝐸
𝐶𝐷= 𝐴𝐸
，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐴𝐸(SAS)，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐸，∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐸，
∴∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
故答案为：𝐴𝐷= 𝐵𝐸，60°；
（2）证明：由（1）可知，∠𝐵𝐹𝐷= 60°，
∴∠𝐴𝐹𝐵= 120°，
∵𝐹𝐺= 𝐵𝐹，
∴△𝐵𝐹𝐺是等边三角形，
∴𝐵𝐹= 𝐵𝐺，∠𝐹𝐵𝐺= ∠𝐵𝐺𝐹= 60°，
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐵，∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐹𝐵𝐺，
∴∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐹𝐵𝐷= ∠𝐹𝐵𝐺−∠𝐹𝐵𝐷，
即∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐶𝐵𝐺，
∴△𝐴𝐵𝐹≌△𝐶𝐵𝐺(SAS)，
∴∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐶𝐺𝐵= 120°，
∴∠𝐶𝐺𝐹= ∠𝐶𝐺𝐵−∠𝐹𝐵𝐺= 120°−60° = 60°，
∴∠𝐵𝐺𝐹= ∠𝐶𝐺𝐹，
∴ 𝐺𝐴平分∠𝐵𝐺𝐶．
【变式6-2】如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸是等边三角形，𝐶𝐸、𝐵𝐷交于点F，连接𝐴𝐹．
(1)求证：𝐶𝐸= 𝐵𝐷；
(2)求证：∠𝐴𝐹𝐶= 60°；
(3)判断线段𝐴𝐹、𝐵𝐹、𝐶𝐹的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)𝐶𝐹= 𝐴𝐹+ 𝐵𝐹，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质与
判定定理是解题的关键．
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（1）根据等边三角形的性质得到𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 60°，再证明∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷，进而
证明△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，则可证明𝐶𝐸= 𝐵𝐷；
（2）过点A 分别作𝐶𝐹，𝐷𝐹的垂线，垂足分别为G、H，设𝐴𝐵，𝐶𝐹交于M，由全等三角形的性质得到
∠𝐴𝐶𝐺= ∠𝐴𝐵𝐻，再证明△𝐴𝐶𝐺≌△𝐴𝐵𝐻，得到𝐴𝐺= 𝐴𝐻，进而证明Rt △𝐴𝐹𝐺≌Rt △𝐴𝐹𝐻，得到
∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐴𝐹𝐷，导角证明∠𝐵𝐹𝑀= ∠𝐶𝐴𝑀= 60°，则由平角的定义可证明结论；
（3）在𝐶𝐹上取一点N 使得𝐶𝑁= 𝐵𝐹，连接𝐴𝑁，证明△𝐴𝐶𝑁≌△𝐴𝐵𝐹，得到𝐴𝑁= 𝐴𝐹，再证明△𝐴𝑁𝐹是等
边三角形，得到𝐴𝐹= 𝑁𝐹，据此根据线段的和差关系可得结论．
【详解】（1）证明：∵△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸是等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 60°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐸，即∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷，
∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(SAS)，
∴𝐶𝐸= 𝐵𝐷；
（2）解；如图所示，过点A 分别作𝐶𝐹，𝐷𝐹的垂线，垂足分别为G、H，设𝐴𝐵，𝐶𝐹交于M，
∴∠𝐴𝐺𝐶= ∠𝐴𝐻𝐵= 90°，
∵△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝐺= ∠𝐴𝐵𝐻，
又∵𝐴𝐶= 𝐴𝐵，
∴△𝐴𝐶𝐺≌△𝐴𝐵𝐻(AAS)，
∴𝐴𝐺= 𝐴𝐻，
∴又∵𝐴𝐹= 𝐴𝐹，
∴Rt △𝐴𝐹𝐺≌Rt △𝐴𝐹𝐻(HL)，
∴∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐴𝐹𝐷，
∵∠𝑀𝐵𝐹= ∠𝑀𝐶𝐴，∠𝐵𝑀𝐹= ∠𝐴𝑀𝐶，
∴∠𝐵𝐹𝑀= ∠𝐶𝐴𝑀= 60°，
∴∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐴𝐹𝐷=
180°−∠𝐵𝐹𝑀
2
= 60°；
（3）解：𝐶𝐹= 𝐴𝐹+ 𝐵𝐹，理由如下：
如图所示，在𝐶𝐹上取一点N 使得𝐶𝑁= 𝐵𝐹，连接𝐴𝑁，
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第 32 页 共 54 页
∵△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝑁= ∠𝐴𝐵𝐹，
又∵𝐴𝐶= 𝐴𝐵，𝐵𝐹= 𝐴𝑁，
∴△𝐴𝐶𝑁≌△𝐴𝐵𝐹(SAS)，
∴𝐴𝑁= 𝐴𝐹，
又∵∠𝐴𝐹𝑁= 60°，
∴△𝐴𝑁𝐹是等边三角形，
∴𝐴𝐹= 𝑁𝐹，
∵𝐶𝐹= 𝐶𝑁+ 𝑁𝐹，
∴𝐶𝐹= 𝐴𝐹+ 𝐵𝐹．
【变式6-3】如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，点D 在𝐴𝐶上，点E 在𝐵𝐶的延长线上，且𝐵𝐷= 𝐷𝐸．
(1)如图（1），若点D 是𝐴𝐶的中点，求证：𝐴𝐷= 𝐶𝐸；
(2)如图（2），若点𝐷不𝐴𝐶的中点，𝐴𝐷= 𝐶𝐸是否成立？证明你的结论；
(3)如图（3），若点𝐷在线段𝐴𝐶的延长线上，试判断𝐴𝐷与𝐶𝐸的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)𝐴𝐷= 𝐶𝐸成立．理由见解析
(3)𝐴𝐷= 𝐶𝐸．理由见解析
【分析】（1）求出∠𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸，推出𝐶𝐷= 𝐶𝐸，根据等边三角形性质求出𝐴𝐷= 𝐷𝐶，即可得出答案；
（2）𝐴𝐷= 𝐶𝐸这仍成立，过D 作𝐷𝐹∥𝐵𝐶，交𝐴𝐵于F，证△𝐵𝐹𝐷≌△𝐷𝐶𝐸，推出𝐷𝐹= 𝐶𝐸，证△𝐴𝐷𝐹是等边
三角形，推出𝐴𝐷= 𝐷𝐹，即可得出答案；
（3）如图3，过点D 作𝐷𝑃∥𝐵𝐶，交𝐴𝐵的延长线于点P，证明△𝐵𝑃𝐷≌△𝐷𝐶𝐸，得到𝑃𝐷= 𝐶𝐸，即可得到
𝐴𝐷= 𝐶𝐸．
【详解】（1）证明：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
∵D 为𝐴𝐶中点，
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∴∠𝐷𝐵𝐶= 30°，𝐴𝐷= 𝐷𝐶，
∵𝐵𝐷= 𝐷𝐸，
∴∠𝐸= ∠𝐷𝐵𝐶= 30°
∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸+ ∠𝐶𝐷𝐸，
∴∠𝐶𝐷𝐸= 30° = ∠𝐸，
∴𝐶𝐷= 𝐶𝐸，
∵𝐴𝐷= 𝐷𝐶，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐸；
（2）证明：如图2，过D 作𝐷𝐹∥𝐵𝐶，交𝐴𝐵于F，
则∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∵∠𝐴= 60°，
∴△𝐴𝐹𝐷是等边三角形，
∴𝐴𝐷= 𝐷𝐹= 𝐴𝐹，∠𝐴𝐹𝐷= 60°，
∴∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐷𝐶𝐸= 180°−60° = 120°，
∵𝐷𝐹∥𝐵𝐶，
∴∠𝐹𝐷𝐵= ∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐸，
在△𝐵𝐹𝐷和△𝐷𝐶𝐸中
∠𝐹𝐷𝐵= ∠𝐸
∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐷𝐶𝐸
𝐵𝐷= 𝐷𝐸
，
∴△𝐵𝐹𝐷≌△𝐷𝐶𝐸(AAS)，
∴𝐶𝐸= 𝐷𝐹= 𝐴𝐷，
即𝐴𝐷= 𝐶𝐸；
（3）解：𝐴𝐷= 𝐶𝐸．
证明：如图3，过点D 作𝐷𝑃∥𝐵𝐶，交𝐴𝐵的延长线于点P，
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∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴△𝐴𝑃𝐷也是等边三角形，
∴𝐴𝑃= 𝑃𝐷= 𝐴𝐷，∠𝐴𝑃𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝑃𝐷𝐶= 60°，
∵𝐷𝐵= 𝐷𝐸，
∴∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐷𝐸𝐶，
∵𝐷𝑃∥𝐵𝐶，
∴∠𝑃𝐷𝐵= ∠𝐶𝐵𝐷，
∴∠𝑃𝐷𝐵= ∠𝐷𝐸𝐶，
在△𝐵𝑃𝐷和△𝐷𝐶𝐸中，
∠𝑃𝐷𝐵= ∠𝐶𝐸𝐷
∠𝑃= ∠𝐷𝐶𝐸= 60°
𝐷𝐵= 𝐸𝐷
，
∴△𝐵𝑃𝐷≌△𝐷𝐶𝐸(AAS)，
∴𝑃𝐷= 𝐶𝐸，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐸．
【题型7 等边三角形中多结论问题】
【例7】如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐹，𝐶𝐹分别平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵，过点F 作𝐷𝐸∥𝐵𝐶交𝐴𝐵于点D，交𝐴𝐶于点E，
那么下列结论错误的是（ ）
A．∠𝐷𝐹𝐵= ∠𝐷𝐵𝐹
B．∠𝐸𝐶𝐹= ∠𝐸𝐹𝐶
C．∠𝐵𝐹𝐶= 90° +
1
2∠𝐴
D．△𝐴𝐷𝐸的周长等于△𝐵𝐹𝐶的周长
【答案】D
【分析】根据𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐶，得出∠𝐷𝐵𝐹= ∠𝐶𝐵𝐹，根据𝐷𝐸∥𝐵𝐶，得出∠𝐷𝐹𝐵= ∠𝐶𝐵𝐹，即可判断A；用和A
同样的方法，即可判断B；根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可判断C，假设△𝐴𝐵𝐶为等边
三角形，则𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐴𝐶，推出△𝐴𝐷𝐸周长= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶，△𝐵𝐹𝐶的周长𝐴𝐹+ 𝐶𝐹+ 𝐵𝐶> 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶即可判断
D．
【详解】解：A、∵𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐵𝐹= ∠𝐶𝐵𝐹，
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐹𝐵= ∠𝐶𝐵𝐹，
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∴∠𝐷𝐹𝐵= ∠𝐷𝐵𝐹，故A 正确，不符合题意；
B、∵𝐶𝐹平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐸𝐶𝐹= ∠𝐵𝐶𝐹，
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝐹𝐶= ∠𝐵𝐶𝐹，
∴∠𝐸𝐶𝐹= ∠𝐸𝐹𝐶，故B 正确，不符合题意；
C、∵𝐵𝐹，𝐶𝐹分别平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐹𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐹𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∵∠𝐵𝐹𝐶= 180°−(∠𝐹𝐵𝐶+ ∠𝐹𝐶𝐵) = 180°−
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 180°−
1
2(180°−∠𝐴) = 90° +
1
2∠𝐴，
故C 正确，不符合题意；
D、假设△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，连接𝐴𝐹，则𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐴𝐶，
由A、B 可知，△𝐸𝐹𝐶，△𝐷𝐹𝐵为等腰三角形，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐵,𝐸𝐹= 𝐸𝐶，
∴△𝐴𝐷𝐸周长= 𝐴𝐷+ 𝐴𝐸+ 𝐷𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐹+ 𝐸𝐹+ 𝐴𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐷𝐵+ 𝐸𝐶+ 𝐴𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶，
∵𝐵𝐹，C𝐹分别平分∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵，
∴𝐴𝐹平分∠𝐵𝐴𝐶，
∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，
∴∠𝐹𝐵𝐴= ∠𝐹𝐴𝐵= 30°，则𝐵𝐹= 𝐴𝐹，
在△𝐴𝐶𝐹中，𝐴𝐹+ 𝐶𝐹> 𝐴𝐶，
∴△𝐵𝐹𝐶的周长= 𝐵𝐹+ 𝐶𝐹+ 𝐵𝐶= 𝐴𝐹+ 𝐶𝐹+ 𝐵𝐶> 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶
∴△𝐵𝐹𝐶的周长>△𝐴𝐷𝐸周长，
故D 不正确，符合题意；
故选：D．
【变式7-1】如图，已知等边三角形𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵= 2，点D 在𝐴𝐵上，点F 在𝐴𝐶延长线上，𝐵𝐷= 𝐶𝐹，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶
于E，𝐹𝐺⊥𝐵𝐶于G．𝐷𝐹交𝐵𝐶于点P．则下列结论：①𝐵𝐸= 𝐶𝐺；②△𝐸𝐷𝑃≌△𝐺𝐹𝑃；③∠𝐸𝐷𝑃= 60°；
④𝐸𝑃= 1．其中一定正确的是（ ）
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A．①③
B．②④
C．①②③④
D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质，利用等边三角形的性质得到
∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，则∠𝐺𝐶𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，则可根据“AAS”判定△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐹𝐺，所以𝐵𝐸= 𝐶𝐺；于是可
对①进行判断；利用𝐷𝐸= 𝐹𝐺可判断△𝐸𝐷𝑃≌△𝐺𝐹𝑃，则可对②进行判断；由于只有当𝑃𝐷⊥𝐴𝐵时，
∠𝐸𝐷𝑃= 60°，则可对③进行判断；利用△𝐸𝐷𝑃≌△𝐺𝐹𝑃得到𝑃𝐸= 𝑃𝐺，加上𝐵𝐸= 𝐶𝐺，所以𝐸𝐺= 𝐵𝐶= 2，
从而得到𝐸𝑃=
1
2𝐸𝐺= 1，于是可对④进行判断．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，
∴∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∵∠𝐺𝐶𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∴∠𝐵= ∠𝐺𝐶𝐹，
∵𝐷𝐸⊥𝐵𝐶于E，𝐹𝐺⊥𝐵𝐶于G，
∴∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐹𝐺𝐶= 90°，
在△𝐵𝐷𝐸和△𝐶𝐹𝐺中，
∠𝐵= ∠𝐺𝐶𝐹
∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐹𝐺𝐶
𝐷𝐵= 𝐹𝐶
，
∴△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐹𝐺(AAS)，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐺，𝐷𝐸= 𝐹𝐺，
所以①正确；
在△𝐸𝐷𝑃和△𝐺𝐹𝑃中，
∠𝐷𝑃𝐸= ∠𝐹𝑃𝐺
∠𝐷𝐸𝑃= ∠𝐹𝐺𝑃
𝐷𝐸= 𝐹𝐺
，
∴△𝐸𝐷𝑃≌△𝐺𝐹𝑃(AAS)，
所以②正确；
∵∠𝐵𝐷𝐸= 90°−∠𝐵= 30°，
∴只有当𝑃𝐷⊥𝐴𝐵时，∠𝐸𝐷𝑃= 60°，
所以③错误；
∵△𝐸𝐷𝑃≌△𝐺𝐹𝑃，
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∴𝐸𝑃= 𝑃𝐺，
∵𝐵𝐸= 𝐶𝐺，
∴𝐸𝐺= 𝐸𝐶+ 𝐶𝐺= 𝐸𝐶+ 𝐵𝐸= 𝐵𝐶= 2，
∴𝐸𝑃=
1
2𝐸𝐺= 1，
所以④正确．
故选：D．
【变式7-2】如图，分别以△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵，𝐴𝐶所在直线为对称轴作△𝐴𝐵𝐶的对称图形△𝐴𝐵𝐷和
△𝐴𝐶𝐸．∠𝐵𝐴𝐶= 150°，线段𝐵𝐷与𝐶𝐸相交于点O，连接𝐵𝐸、𝐸𝐷、𝐷𝐶、𝑂𝐴．有如下结论：①∠𝐸𝐴𝐷= 90°；
②∠𝐵𝑂𝐸= 60°；③△𝐴𝐵𝐸是等边三角形；④𝐵𝑃= 𝐸𝑄，其中正确的结论个数是（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称的性质的综合运用以及待边三角形的判定与性质，根据轴对称的性质可得
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶，再根据周角等于360°列式计算即可求出∠𝐸𝐴𝐷= 90°，判断出①正确；再求出
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷= 60°，根据翻折可得∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶，利用三角形的内角和定理可得
∠𝐵𝑂𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出③正确；判断出△𝐴𝐵𝑃
和△𝐴𝐸𝑄不全等，从而得到𝐵𝑃≠𝐸𝑄，判断出④错误．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的轴对称图形，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶，𝐴𝐵= 𝐴𝐸，𝐴𝐶= 𝐴𝐷，
∴∠𝐸𝐴𝐷= 3∠𝐵𝐴𝐶−360° = 3 × 150°−360° = 90°，故①正确．
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷=
1
2(360°−90°−150°) = 60°，
由翻折的性质得，∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶，
又∵∠𝐸𝑃𝑂= ∠𝐵𝑃𝐴，
∴∠𝐵𝑂𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸= 60°，故②正确．
∵△𝐴𝐵𝐶的对称图形△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐸= 𝑆△𝐴𝐷𝐵，𝐴𝐵= 𝐴𝐸，
∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷= 150°，∠𝐸𝐴𝐷= 90°，
∴∠𝐸𝐴𝐵= 60°，
∴∠𝐵𝐸𝐴= ∠𝐴𝐵𝐸= 60°，
∴△𝐴𝐵𝐸是等边三角形，故③正确．
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在△𝐴𝐵𝑃和△𝐴𝐸𝑄中，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐸𝐶，𝐴𝐵= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐸= 60°，∠𝐸𝐴𝑄= 90°，
∴𝐵𝑃＜𝐸𝑄，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③共3 个．
故选：C．
【变式7-3】如图，已知△𝐴𝐵𝐶，分别以𝐴𝐵、𝐴𝐶为边向外作等边△𝐴𝐵𝐹和等边△𝐴𝐶𝐸，𝐶𝐹和𝐵𝐸交于𝑂点，
则下列结论：①𝐶𝐹= 𝐵𝐸；②∠𝐶𝑂𝐸= 60°；③𝑂𝐴平分∠𝐹𝑂𝐸；④𝑂𝐸= 𝑂𝐴+ 𝑂𝐶．其中正确的有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确作出辅
助线是解题的关键．根据等边△𝐴𝐵𝐹和△𝐴𝐶𝐸的性质，利用SAS可证△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐹𝐶，由全等三角形的性
质可知①正确；由三角形内角和为180°易求∠𝐵𝑂𝐶的度数，可知②正确；过𝐴分别作𝐴𝑃⊥𝐶𝐹于𝑃，𝐴𝑄⊥𝐵𝐸
于𝑄，由𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐴𝐹𝐶可得𝐴𝑃= 𝐴𝑂，进而可得𝑂𝐴平分∠𝐹𝑂𝐸，所以③正确；在𝑂𝐸上截取𝑂𝐷= 𝑂𝐶，利用SAS
可证△𝐴𝐶𝑂≌△𝐸𝐶𝐷，由全等三角形对应边相等可得𝑂𝐸= 𝐷𝐸+ 𝑂𝐷= 𝑂𝐴+ 𝑂𝐶，故可得④正确，据此即可
求解．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐹和△𝐴𝐶𝐸是等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐹，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，∠𝐹𝐴𝐵= ∠𝐸𝐴𝐶= 60°，
∴∠𝐹𝐴𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶，
即∠𝐹𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐸，
在△𝐴𝐵𝐸与△𝐴𝐹𝐶中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐹
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐹𝐴𝐶
𝐴𝐸= 𝐴𝐶
，
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐹𝐶(SAS)，
∴𝐵𝐸= 𝐹𝐶，∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐶𝐹，故①正确；
∵∠𝐸𝐴𝑁+ ∠𝐴𝑁𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐵= 180°，∠𝐶𝑂𝑁+ ∠𝐶𝑁𝑂+ ∠𝐴𝐶𝐹= 180°，∠𝐴𝑁𝐸= ∠𝐶𝑁𝑂，
∴∠𝐶𝑂𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸= 60°，故②正确；
过𝐴分别作𝐴𝑃⊥𝐶𝐹于𝑃，𝐴𝑄⊥𝐵𝐸于𝑄，如图1，
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∵△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐹𝐶，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐴𝐹𝐶，
∴
1
2𝐶𝐹·𝐴𝑃=
1
2𝐵𝐸·𝐴𝑄，
∵𝐶𝐹= 𝐵𝐸，
∴𝐴𝑃= 𝐴𝑂，
∴点𝐴在∠𝐹𝑂𝐸的角平分线上，
∴𝑂𝐴平分∠𝐹𝑂𝐸，故③正确；
如图2，在𝑂𝐸上截取𝑂𝐷= 𝑂𝐶，
∵∠𝐶𝑂𝐸= 60°，
∴△𝑂𝐶𝐷是等边三角形，
∴𝐶𝐷= 𝐶𝑂，∠𝐷𝐶𝑂= 60°，
∴∠𝐷𝐶𝑂−∠𝐷𝐶𝑁= ∠𝐴𝐶𝐸−∠𝐷𝐶𝑁，即∠𝐴𝐶𝑂= ∠𝐸𝐶𝐷，
∵𝐴𝐶= 𝐸𝐶，
∴△𝐴𝐶𝑂≌△𝐸𝐶𝐷(SAS)，
∴𝐷𝐸= 𝑂𝐴，
∴𝑂𝐸= 𝐷𝐸+ 𝑂𝐷= 𝑂𝐴+ 𝑂𝐶，故④正确；
综上，正确的结论有①②③④，共4 个，
故选：A．
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过关测·稳提升
1．如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，且𝐴𝐶= 𝐶𝐷，则∠𝐵𝐴𝐷的度数为（ ）
A．50°
B．45°
C．40°
D．35°
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形内角和定理、等边对等角求角度、垂线的定义，由等边三
角形的性质可得∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，由垂线的定义可得∠𝐵𝐶𝐷= 90°，从而得出∠𝐴𝐶𝐷= 150°，由三角形
内角和定理结合等边对等角可得∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐷= 15°，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的
关键．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∵𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐶𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐶𝐷= 60° + 90° = 150°，
∵𝐴𝐶= 𝐶𝐷，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐷=
180°−∠𝐴𝐶𝐷
2
=
180°−150°
2
= 15°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐷= 60°−15° = 45°，
故选：B．
2．满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（ ）
①有两个角是60°的三角形 ②有两个外角相等的等腰三角形
③腰上的高也是中线的等腰三角形 ④三个外角都相等的三角形
⑤有一个角为60°的等腰三角形．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【分析】本题主要考查等边三角形的判定，熟记等边三角形的定义是解题关键．根据等边三角形的定义判
断即可．
【详解】解：一个三角形有两个角是60°，根据三角形内角和定理可知，另一个角也为60°，即有两个角是60°
的三角形是等边三角形，故①正确；
一个等腰三角形有两个底角相等，则底角的外角相等，不能判定该三角形为等边三角形，即有两个外角相
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等的等腰三角形不一定是等边三角形，故②错误；
有一腰上的中线也是这个腰上的高的等腰三角形，则说明该等腰三角形的腰与底一样长，即该三角形为等
边三角形，故③正确；
一个三角形的三个外角都相等，则这个三角形的三个内角都相等，即三个外角都相等的三角形是等边三角
形，故④正确；
有一个角是60°的等腰三角形，根据三角形内角和定理即可得到该三角形的三个角均为60°，即该三角形为
等边三角形，故⑤正确．
综上，正确的有①③④⑤，共4个．
故选：C．
3．如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐶𝐷𝐸都是等边三角形，点𝐴，𝐷，𝐸在同一直线上，连接𝐵𝐸，若𝐵𝐸= 2，𝐴𝐸= 8，则𝐶𝐸
的长是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关
键．
由等边三角形的性质证明△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(SAS)，再根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐶𝐷𝐸都是等边三角形，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸𝐶𝐷= 60°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐶𝐷= 𝐶𝐸，
∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐷𝐶𝐵= ∠𝐸𝐶𝐷−∠𝐷𝐶𝐵，即∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，
在△𝐴𝐶𝐷和△𝐵𝐶𝐸中，
𝐴𝐶= 𝐵𝐶
∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸
𝐶𝐷= 𝐶𝐸
，
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(SAS)，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐸= 2，
∵𝐴𝐸= 8，
∴𝐷𝐸= 𝐴𝐸−𝐴𝐷= 8−2 = 6，
∴𝐶𝐸= 𝐷𝐸= 6，
故选：C．
4．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 30°，𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，垂足为点𝐴，交𝐵𝐶于点𝐷，过点𝐷的直线𝑚恰好垂直平分线段
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𝐴𝐶，𝐴𝐷= 5，则𝐵𝐶的长是（ ）
A．12
B．15
C．18
D．20
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，含30°的直角三角形的性质，熟练掌握
以上知识点是解答本题的关键．
直线𝑚恰好垂直平分线段𝐴𝐶，得到𝐶𝐷= 𝐴𝐷= 5，由∠𝐶= 30°，𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，利用三角形的内角和定理求出
∠𝐵= 30°，再根据含30°的直角三角形的性质，求出𝐵𝐷= 2𝐴𝐷= 10，最后根据𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷即可得解．
【详解】解：∵直线𝑚恰好垂直平分线段𝐴𝐶，𝐴𝐷= 5，
∴𝐶𝐷= 𝐴𝐷= 5，
∵∠𝐶= 30°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶= 30°，
∵𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷= 120°，
∴∠𝐵= 180°−∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶= 30°，
∴𝐵𝐷= 2𝐴𝐷= 10，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 15，
故选：B．
5．如图，在等边△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 9，点𝑂在𝐴𝐶上，且𝐴𝑂= 3，𝑃是𝐴𝐵上一动点，连接𝑂𝑃，将线段𝑂𝑃绕点𝑂
逆时针旋转60°得到线段𝑂𝐷，若使点𝐷恰好落在𝐵𝐶上，则线段𝐴𝑃的长是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质，由题意得出当点𝐷恰好落在𝐵𝐶上时，
𝑂𝐷= 𝑂𝑃，由等边三角形的性质可得∠𝐴= ∠𝐶= 60°，证明△𝐴𝑂𝑃≌△𝐶𝐷𝑂(AAS)，可得𝐴𝑃= 𝑂𝐶= 𝐴𝐶−𝑂𝐴，
进行计算即可，熟练掌握全等三角形的性质和等边三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，当点𝐷恰好落在𝐵𝐶上时，𝑂𝐷= 𝑂𝑃，
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∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐴= ∠𝐶= 60°，
∴∠𝐶𝑂𝐷+ ∠𝑂𝐷𝐶= 180°−∠𝐶= 120°，
∵∠𝐷𝑂𝑃= 60°，
∴∠𝐶𝑂𝐷+ ∠𝐴𝑂𝑃= 180°−∠𝐷𝑂𝑃= 120°，
∴∠𝑂𝐷𝐶= ∠𝐴𝑂𝑃，
在△𝐴𝑂𝑃和△𝐶𝐷𝑂中，
∠𝑂𝐷𝐶= ∠𝐴𝑂𝑃
∠𝐶= ∠𝐴
𝑂𝑃= 𝑂𝐷
，
∴△𝐴𝑂𝑃≌△𝐶𝐷𝑂(AAS)，
∴𝐴𝑃= 𝑂𝐶，
∵𝐴𝐶= 9，𝑂𝐴= 3，
∴𝐴𝑃= 𝑂𝐶= 𝐴𝐶−𝑂𝐴= 9−3 = 6，
故选：C．
6．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 120°,𝐴𝐶= 8，D 为𝐵𝐶的中点，𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，则𝐴𝐵的长为
．
【答案】4
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30 度角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构造出含
30 度角的直角三角形是解题的关键．延长𝐴𝐷至E，使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐶𝐸，先求出
∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐵= 30°，然后证明△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐸𝐷得到∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶= 90°，𝐶𝐸= 𝐴𝐵，则根据
1
2
𝐴𝐶= 𝐶𝐸= 𝐴𝐵即可求解．
【详解】解：如图所示，延长𝐴𝐷至E，使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐶𝐸，
∵𝐵𝐴⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐷𝐴𝐵= 90°，
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∵∠𝐵𝐴𝐶= 120°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐵= 30°，
∵D 为𝐵𝐶的中点，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷，
在△𝐵𝐴𝐷和△𝐶𝐸𝐷中，
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐶𝐷𝐸
𝐷𝐴= 𝐷𝐸
，
∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐸𝐷(SAS)，
∴∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐷𝐴𝐵= 90°,𝐶𝐸= 𝐴𝐵，
∵𝐴𝐶= 8，
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐸=
1
2𝐴𝐶= 4，
故答案为：4．
7．如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸均为等边三角形，点𝐵,𝐷,𝐸在同一直线上，若∠𝐸𝐵𝐶= 35°，则∠𝐸𝐶𝐴的度数
为
．
【答案】25°
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，由等边三角形的性质得到
𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶= 60°，则可证明△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(SAS)，得到
∠𝐸𝐶𝐴= ∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐶𝐵𝐸= 25°．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸均为等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 60°−∠𝐶𝐴𝐷，
∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(SAS)，
∴∠𝐸𝐶𝐴= ∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐶𝐵𝐸= 25°，
故答案为：25°．
8．如图，D 为等边三角形𝐴𝐵𝐶内一点，𝐴𝐷= 𝐵𝐷，𝐵𝑃= 𝐴𝐵，∠𝐷𝐵𝑃= ∠𝐷𝐵𝐶，则∠𝐵𝑃𝐷=
度．
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【答案】30
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，作𝐴𝐵的垂直平
分线，证明𝐴𝐵的垂直平分线必过C、D 两点，然后证明△𝐵𝐷𝐶≌△𝐵𝐷𝑃，利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：作𝐴𝐵的垂直平分线，
∵𝐴𝐷= 𝐵𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐷为等腰三角形，
∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
∴𝐴𝐵的垂直平分线必过C、D 两点，∠𝐵𝐶𝐸= 30°，
∵𝐴𝐵= 𝐵𝑃= 𝐵𝐶，∠𝐷𝐵𝑃= ∠𝐷𝐵𝐶，𝐵𝐷= 𝐵𝐷，
∴△𝐵𝐷𝐶≌△𝐵𝐷𝑃(SAS)，
∴∠𝐵𝑃𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸= 30°．
故答案为：30．
9．如图，∠𝐴𝑂𝐵= 60°，点C 是BO 延长线时的一点，𝑂𝐶= 6cm，动点𝑃从点𝐶出发沿射线𝐶𝐵以2cm/s的速
度移动，动点Q 从点O 出发沿射线𝑂𝐴以1cm/s的速度移动，如果点𝑃、Q 同时出发，用t（s）表示移动的
时间，当𝑡=
s时，△POQ 是等边三角形．
【答案】6
【分析】由△POQ 是等边三角形，∠𝐴𝑂𝐵= 60°，可得𝑃运动到了𝑂𝐵上，且𝑂𝑃= 𝑂𝑄, 再建立方程求解即可.
【详解】解：∵ △POQ 是等边三角形，∠𝐴𝑂𝐵= 60°
∴𝑃在𝑂𝐵上，且𝑂𝑃= 𝑂𝑄,
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由题意得：𝑂𝑃= 2𝑡−6,𝑂𝑄= 𝑡,
∴2𝑡−6 = 𝑡,
解得：𝑡= 6,
即当𝑡= 6s 时，△POQ 是等边三角形.
故答案为：6
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，掌握“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”是解题
的关键.
10．如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A，E 重合），在AE 同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE，AD
与BE 交于点O，AD 与BC 交于点P，BE 与CD 交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①𝐴𝐷= 𝐵𝐸；
②PQ//AE；③𝑂𝑃= 𝑂𝑄；④△CPQ 为等边三角形；⑤∠𝐴𝑂𝐵= 60°；其中正确的有
（注：把你认为正
确的答案序号都写上）
【答案】①②④⑤
【分析】首先证明Δ𝐴𝐶𝐷≅Δ𝐵𝐶𝐸，推出𝐴𝐷= 𝐵𝐸，说明①正确；证明Δ𝐴𝐶𝑃≅Δ𝐵𝐶𝑄，推出𝐶𝑃= 𝐶𝑄，又∠𝑃𝐶𝑄= 60°，
可得△CPQ 为等边三角形，故④正确；证明∠𝑃𝑄𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸= 60°，推出𝑃𝑄//𝐴𝐸，故结论②正确；通过
∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐸𝑂= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸= 60°，得出⑤正确；现有条件不足以证明𝑂𝑃= 𝑂𝑄，故③
错误．
【详解】解：∵Δ𝐴𝐵𝐶和Δ𝐶𝐷𝐸都是等边三角形，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐶𝐷= 𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，
在Δ𝐴𝐶𝐷和Δ𝐵𝐶𝐸中，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，𝐶𝐷= 𝐶𝐸，
∴Δ𝐴𝐶𝐷≅Δ𝐵𝐶𝐸，
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐸，结论①正确；
∵Δ𝐴𝐶𝐷≅Δ𝐵𝐶𝐸，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐵𝐸，
又∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 60°，
∴∠𝐵𝐶𝐷= 180°−∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐷𝐶𝐸= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝑃= ∠𝐵𝐶𝑄= 60°，
在Δ𝐴𝐶𝑃和Δ𝐵𝐶𝑄中，∠𝐴𝐶𝑃= ∠𝐵𝐶𝑄，∠𝐶𝐴𝑃= ∠𝐶𝐵𝑄，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
∴Δ𝐴𝐶𝑃≅Δ𝐵𝐶𝑄，
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∴𝐴𝑃= 𝐵𝑄，𝐶𝑃= 𝐶𝑄，
又∵∠𝑃𝐶𝑄= 60°，
∴Δ𝑃𝐶𝑄是等边三角形，结论④正确；
∴∠𝑃𝑄𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸= 60°，
∴𝑃𝑄//𝐴𝐸，结论②正确；
∵Δ𝐴𝐶𝐷≅Δ𝐵𝐶𝐸，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐴𝐸𝑂，
∴∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐸𝑂= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸= 60°，
故结论⑤正确；
现有条件不足以证明𝑂𝑃= 𝑂𝑄，故③错误；
综上，正确的结论有4 个，分别是：①②④⑤，
故答案为：①②④⑤．
11．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐶𝐴平分∠𝐵𝐶𝐷，𝐴𝑀⊥𝐶𝐷于点M，𝐵𝑁⊥𝐴𝐶于点N，连接𝑀𝑁．
(1)证明：𝐴𝐵= 𝐵𝐶；
(2)若∠𝐶𝐴𝐵= 30°，证明：△𝐴𝑀𝑁是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐷，根据角平分线定义得到∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐴𝐶𝐷
即可证明∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐶𝐴，从而证明𝐴𝐵= 𝐵𝐶；
（2）根据直角三角形的性质求出∠𝑀𝐴𝐶= 60°，𝐴𝑀=
1
2𝐴𝐶，𝐴𝑁=
1
2𝐴𝐶，得到𝐴𝑁= 𝐴𝑀，即可证明△𝐴𝑀𝑁
是等边三角形．
【详解】（1）证明：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐷．
∵𝐶𝐴平分∠𝐵𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐶𝐴，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶；
（2）证明：∵∠𝐶𝐴𝐵= 30°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= 30°，
∵𝐴𝑀⊥𝐶𝐷于点M，
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∴∠𝑀𝐴𝐶+ ∠𝑀𝐶𝐴= 90°,𝐴𝑀=
1
2𝐴𝐶，
∴∠𝑀𝐴𝐶= 60°，
∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶，𝐵𝑁⊥𝐴𝐶，
∴𝐴𝑁=
1
2𝐴𝐶，
∴𝐴𝑁= 𝐴𝑀，
∴△𝐴𝑀𝑁是等边三角形．
12．如图，过边长为4 的等边三角形的边𝐴𝐵上一点P，作𝑃𝐸⊥𝐴𝐶于点𝐸，𝑄为𝐵𝐶延长线上一点，当𝑃𝐴= 𝐶𝑄
时，连接𝑃𝑄交𝐴𝐶边于点𝐷．
(1)求证：D 为𝑃𝑄中点；
(2)𝐷𝐸的长为 ？
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了平行线性质、等边三角形性质、全等三角形判定与性质，掌握全等三角形判定定理是
解题关键．
（1）过点P 作𝑃𝐹∥𝐵𝐶交𝐴𝐶于点F，根据题意可证△𝐴𝑃𝐹是等边三角形，根据等腰三角形三线合一证明
𝐴𝐸= 𝐹𝐸，根据全等三角形判定定理可证△𝑃𝐹𝐷≌△𝑄𝐶𝐷，即可得到D 为𝑃𝑄中点；
（2）由△𝑃𝐹𝐷≌△𝑄𝐶𝐷，得到𝐷𝐹= 𝐷𝐶，进而证明𝐷𝐸=
1
2𝐴𝐶，计算求值即可．
【详解】（1）证明：过点P 作𝑃𝐹∥𝐵𝐶交𝐴𝐶于点F，如图，
∴∠𝐴𝑃𝐹= ∠𝐵= 60°，∠𝐴= 60°，△𝐴𝑃𝐹是等边三角形，
∴𝑃𝐹= 𝑃𝐴，
∵𝑃𝐴= 𝐶𝑄，
∴𝑃𝐹= 𝑄𝐶，
∵𝑃𝐹∥𝐵𝐶，
∴∠𝑃𝐹𝐷= ∠𝑄𝐶𝐷，
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在△𝑃𝐹𝐷和△𝑄𝐶𝐷中，
𝑃𝐹= 𝑄𝐶
∠𝑃𝐹𝐷= ∠𝑄𝐶𝐷
∠𝑃𝐷𝐹= ∠𝑄𝐷𝐶
∴△𝑃𝐹𝐷≌△𝑄𝐶𝐷，
∴𝑃𝐷= 𝐷𝑄，
∴D 为𝑃𝑄中点；
（2）解：∵△𝑃𝐹𝐷≌△𝑄𝐶𝐷，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐶；
∴𝐷𝐹=
1
2𝐹𝐶，
∵𝑃𝐸⊥𝐴𝐶，𝑃𝐹= 𝑃𝐴，
∴𝐴𝐸= 𝐹𝐸；
∴𝐸𝐹=
1
2𝐴𝐹，
∵𝐷𝐹+ 𝐸𝐹= 𝐷𝐸，𝐹𝐶+ 𝐴𝐹= 𝐴𝐶，
∴𝐷𝐸=
1
2𝐹𝐶+
1
2𝐴𝐹=
1
2(𝐹𝐶+ 𝐴𝐹) =
1
2𝐴𝐶，
∵𝐴𝐶= 4，
𝐷𝐸=
1
2𝐴𝐶=
1
2 × 4 = 2，
故答案为：2．
13．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶,∠𝐴𝐶𝐵> 60°，在𝐴𝐶边上取点𝐷，连接𝐵𝐷，使𝐵𝐷= 𝐵𝐶．以𝐴𝐷为一边作等
边△𝐴𝐷𝐸，且使点𝐸与点𝐵位于直线𝐴𝐶的同侧，∠𝐸𝐴𝐵= 2∠𝐵𝐴𝐶．
(1)求∠𝐵𝐷𝐸的度数；
(2)点𝐹在𝐴𝐵上，连接𝐷𝐹,𝐷𝐹= 𝐵𝐷，请判断△𝐵𝐷𝐹是否是等边三角形，并说明理由．
【答案】(1)40°
(2)等边三角形，理由见解析
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．灵活运用等边三角形的判定与性
质是解答本题的关键．
（1）利用等边三角形的性质求出∠𝐵𝐴𝐶的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶= 80°，从而根据∠𝐵𝐷𝐸= 180°−∠𝐵𝐷𝐶−∠𝐴𝐷𝐸求解即可；
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（2）利用等腰三角形的性质求出∠𝐴𝐵𝐷= 60°，然后根据𝐷𝐹= 𝐵𝐷证明△𝐵𝐷𝐹是等边三角形即可．
【详解】（1）解：在等边 △𝐴𝐷𝐸 中， ∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐴𝐷𝐸= 60° ，
∵∠𝐸𝐴𝐵= 2∠𝐵𝐴𝐶 ，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 20° ，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶 ，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 80° ，
∵𝐵𝐷= 𝐵𝐶 ，
∴∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 80° ，
∴∠𝐵𝐷𝐸= 180°−∠𝐵𝐷𝐶−∠𝐴𝐷𝐸= 40° ．
（2）解：△𝐵𝐷𝐹 是等边三角形． 理由如下：
由 （1）可得 ∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 80° ，
∴∠𝐶𝐵𝐷= 180°−∠𝐵𝐷𝐶−∠𝐴𝐶𝐵= 20° ，
∵∠𝐴𝐵𝐶= 80° ，
∴∠𝐹𝐵𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐶𝐵𝐷= 60° ，
∵𝐷𝐹= 𝐵𝐷 ，
∴△𝐵𝐷𝐹是等边三角形．
14．如图，△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐸𝐶都是等边三角形，连接𝐵𝐸，𝐶𝐷，点𝑀，𝑁分别是𝐵𝐸，𝐶𝐷的中点，连接𝐴𝑀，
𝐴𝑁，𝑀𝑁．
(1)求证：𝐵𝐸= 𝐶𝐷；
(2)求证：△𝐴𝑀𝑁是等边三角形；
(3)如图2，△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐸𝐶都是等腰直角三角形，连接𝐵𝐸，𝐶𝐷，点𝑀，𝑁分别是𝐵𝐸，𝐶𝐷的中点，连接𝐴𝑀，
𝐴𝑁．若点𝑁恰好也是𝐴𝐸的中点，且𝐴𝐸= 2，求△𝐴𝐵𝐸的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）由等边三角形的性质得𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐸= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐶= 60°，可推导出∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶，
进而证明△𝐵𝐴𝐸≌△𝐷𝐴𝐶，得𝐵𝐸= 𝐶𝐷；
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（2）由𝐵𝑀=
1
2𝐵𝐸，𝐷𝑁=
1
2𝐶𝐷，且𝐵𝐸= 𝐶𝐷，证明𝐵𝑀= 𝐷𝑁，而𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐴𝐵𝑀= ∠𝐴𝐷𝑁，可证明
△𝐵𝐴𝑀≌△𝐷𝐴𝑁，得∠𝐵𝐴𝑀= ∠𝐷𝐴𝑁，𝐴𝑀= 𝐴𝑁，可推导出∠𝑀𝐴𝑁= ∠𝐵𝐴𝐷= 60°，则△𝐴𝑀𝑁是等边三角
形；
（3）由等腰直角三角形的性质得𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐸= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐶= 90°，可推导出∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶，进
而证明△𝐵𝐴𝐸≌△𝐷𝐴𝐶，得𝐵𝐸= 𝐶𝐷，∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐷𝐶，而𝐵𝑀=
1
2𝐵𝐸，𝐷𝑁=
1
2𝐶𝐷，所以𝐵𝑀= 𝐷𝑁，可证明
△𝐵𝐴𝑀≌△𝐷𝐴𝑁，得∠𝐵𝐴𝑀= ∠𝐷𝐴𝑁，𝐴𝑀= 𝐴𝑁，推导出∠𝑀𝐴𝑁= ∠𝐵𝐴𝐷= 90°，因为𝐴𝐸= 2，点𝑁是𝐴𝐸的
中点，所以𝐴𝑀= 𝐴𝑁= 𝐸𝑁= 1，则𝑆△𝐴𝑀𝑁=
1
2 𝐴𝑀⋅𝐴𝑁=
1
2，所以𝑆△𝐴𝐸𝑀= 2𝑆△𝐴𝑀𝑁= 1，𝑆△𝐴𝐵𝐸= 2𝑆△𝐴𝐸𝑀
= 2．
【详解】（1）证明：∵△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐸𝐶都是等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐸= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐶= 60°，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶= 60° + ∠𝐷𝐴𝐸，
在△𝐵𝐴𝐸和△𝐷𝐴𝐶中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶
𝐴𝐸= 𝐴𝐶
，
∴△𝐵𝐴𝐸≌△𝐷𝐴𝐶 (SAS)，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐷；
（2）证明：∵点𝑀，𝑁分别是𝐵𝐸，𝐶𝐷的中点，
∴𝐵𝑀=
1
2𝐵𝐸，𝐷𝑁=
1
2𝐶𝐷，
∵𝐵𝐸= 𝐶𝐷，
∴𝐵𝑀= 𝐷𝑁，
∵△𝐵𝐴𝐸≌△𝐷𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐷𝐶，
在△𝐵𝐴𝑀和△𝐷𝐴𝑁中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐴𝐵𝑀= ∠𝐴𝐷𝑁
𝐵𝑀= 𝐷𝑁
，
∴△𝐵𝐴𝑀≌△𝐷𝐴𝑁 (SAS)，
∴∠𝐵𝐴𝑀= ∠𝐷𝐴𝑁，𝐴𝑀= 𝐴𝑁，
∴∠𝑀𝐴𝑁= ∠𝐷𝐴𝑁+ ∠𝐷𝐴𝑀= ∠𝐵𝐴𝑀+ ∠𝐷𝐴𝑀= ∠𝐵𝐴𝐷= 60°，
∴△𝐴𝑀𝑁是等边三角形．
（3）解：∵△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐸𝐶都是等腰直角三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐴𝐸= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐸𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶= 90° + ∠𝐷𝐴𝐸，
在△𝐵𝐴𝐸和△𝐷𝐴𝐶中，
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𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐶
𝐴𝐸= 𝐴𝐶
，
∴△𝐵𝐴𝐸≌△𝐷𝐴𝐶 (SAS)，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐷，∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐷𝐶，
∵点𝑀，𝑁分别是𝐵𝐸，𝐶𝐷的中点，
∴𝐵𝑀=
1
2𝐵𝐸，𝐷𝑁=
1
2𝐶𝐷，
∴𝐵𝑀= 𝐷𝑁，
在△𝐵𝐴𝑀和△𝐷𝐴𝑁中，
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐴𝐵𝑀= ∠𝐴𝐷𝑁
𝐵𝑀= 𝐷𝑁
，
∴△𝐵𝐴𝑀≌△𝐷𝐴𝑁 (SAS)，
∴∠𝐵𝐴𝑀= ∠𝐷𝐴𝑁，𝐴𝑀= 𝐴𝑁，
∴∠𝑀𝐴𝑁= ∠𝐷𝐴𝑁+ ∠𝐷𝐴𝑀= ∠𝐵𝐴𝑀+ ∠𝐷𝐴𝑀= ∠𝐵𝐴𝐷= 90°，
∵𝐴𝐸= 2，且点𝑁也是𝐴𝐸的中点，
∴𝐴𝑀= 𝐴𝑁= 𝐸𝑁=
1
2𝐴𝐸= 1，
∴𝑆△𝐴𝑀𝑁=
1
2𝐴𝑀⋅𝐴𝑁=
1
2 × 1 × 1 =
1
2，
∵𝐴𝐸= 2𝐴𝑁，𝐵𝐸= 2𝐸𝑀，
∴𝑆△𝐴𝐸𝑀= 2𝑆△𝐴𝑀𝑁= 2 ×
1
2 = 1，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸= 2𝑆△𝐴𝐸𝑀= 2 × 1 = 2，
∴△𝐴𝐵𝐸的面积为2．
15．如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐴𝐶= 12cm，现有两点M、N 分别从点A、点B 同时出发，沿三角形的边
运动，已知点M 的速度为1cm/s，点N 的速度为2cm/s．当点N 第一次到达B 点时，M、N 同时停止运动．
(1)点M、N 运动几秒时，M、N 两点重合？
(2)点M、N 运动几秒时，可得到等边三角形𝐴𝑀𝑁？
(3)当点M、N 在𝐵𝐶边上运动时，能否得到以𝑀𝑁为底边的等腰三角形𝐴𝑀𝑁？如存在，请求出此时M、N 运
动的时间．
【答案】(1)12s
(2)点M、N 运动4 秒时，可得到等边△𝐴𝑀𝑁；
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(3)当点M、N 在𝐵𝐶边上运动时，能得到以𝑀𝑁为底边的等腰三角形𝐴𝑀𝑁，此时M、N 运动的时间为16 秒．
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质
定理、等边三角形的性质是解题的关键．
（1）根据题意设点M、N 运动t 秒时，M、N 两点重合，列方程即可求解；
（2）根据题意设点M、N 运动t 秒后，可得到等边△𝐴𝑀𝑁，然后表示出𝐴𝑀，𝐴𝑁的长，由于∠𝐴等于60°，
所以只要𝐴𝑀= 𝐴𝑁，△𝐴𝑀𝑁就是等边三角形；
（3）首先假设△𝐴𝑀𝑁是等腰三角形，可证出△𝐴𝐶𝑀≌△𝐴𝐵𝑁(AAS)，可得𝐶𝑀= 𝐵𝑁，设出运动时间，表
示出𝐶𝑀、𝑁𝐵、𝑀𝑁的长，列出方程，可解出未知数的值．
【详解】（1）解：设点M、N 运动t 秒时，M、N 两点重合，
得方程𝑡+ 12 = 2𝑡，
解得𝑡= 12,
答：点M、N 运动12 秒时，M、N 两点重合；
（2）解：设点M、N 运动t 秒时，可得到等边△𝐴𝑀𝑁，如图①，
𝐴𝑀= 𝑡× 1 = 𝑡，𝐴𝑁= 𝐴𝐵−𝐵𝑁= 12−2𝑡，
∵△𝐴𝑀𝑁是等边三角形，
∴𝑡= 12−2𝑡，
解得𝑡= 4，
∴点M、N 运动4 秒时，可得到等边△𝐴𝑀𝑁．
（3）解：当点M、N 在𝐵𝐶边上运动时，可以得到以𝑀𝑁为底边的等腰三角形，
情况一：
设点M、N 运动x 秒时，M、N 两点重合，
𝑥+ 12 = 2𝑥，
解得：𝑥= 12；
即12 秒时M、N 两点重合，恰好在C 处，𝐴𝑀= 𝐴𝑁，但不是等腰三角形；
情况2：
如图②，假设△𝐴𝑀𝑁是等腰三角形，
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∴𝐴𝑁= 𝐴𝑀，
∴∠𝐴𝑀𝑁= ∠𝐴𝑁𝑀，
∴∠𝐴𝑀𝐶= ∠𝐴𝑁𝐵，
∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐶𝐵是等边三角形，
∴∠𝐶= ∠𝐵，
在△𝐴𝐶𝑀和△𝐴𝐵𝑁中，
∠𝐴𝑀𝐶= ∠𝐴𝑁𝐵
∠𝐵= ∠𝐶
𝐴𝐶= 𝐴𝐵
，
∴△𝐴𝐶𝑀≌△𝐴𝐵𝑁(AAS)，
∴𝐶𝑀= 𝐵𝑁，
设当点M、N 在𝐵𝐶边上运动时M、N 运动的时间y 秒时，△𝐴𝑀𝑁是等腰三角形，
∴𝐶𝑀= 𝑦−12，𝑁𝐵= 36−2𝑦，𝐶𝑀= 𝑁𝐵，
即𝑦−12 = 36−2𝑦，
解得：𝑦= 16．
综上所述，故假设成立．
∴当点M、N 在𝐵𝐶边上运动时，能得到以𝑀𝑁为底边的等腰三角形𝐴𝑀𝑁，
此时M、N 运动的时间为16 秒．
