预习讲义 第06 讲 角度计算七大几何模型（学生版）
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析教材·学知识
【知识点1 8 字模型】
【结论】如图，AC 与BD 相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D.
【证明】在△ABO 中，∠A＋∠B＋∠AOB=180°.在△CDO 中，∠C+∠D＋∠COD=180°.
∵∠AOB=∠COD，∴∠A＋∠B=∠C+∠D.
【知识点2 飞镖模型】
【结论】如图所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C.
【证明】如图,延长BD 交AC 于点E.
∠BEC 是△ABE 的外角，∵∠BEC=∠A+∠B.又∵∠BDC 是△CDE 的外角，
∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.
【知识点3 A 字模型】
【结论】如图所示，∠DAE 的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A.
【证明】∴∠DBC 和∠ECB 是△ABC 的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC.
又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC＋∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠ABC＋∠A=180°＋∠A.
【知识点4 老鹰抓小鸡模型】
【结论】如图所示，∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE.
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【证明】如图，连接AF.
∵∠DBF 是△ABF 的外角，∠FCE 是△ACF 的外角，∴∠FCE=∠CAF+∠CFA，
∴∠DBF＋∠FCE=∠BAF＋∠BFA+∠CAF+∠CFA=∠BAC+∠BFC，
即∠BAC+∠BFC=∠DBF＋∠FCE.
【知识点5 双内角平分线模型】
【结论】如图所示，在△ABC 中，BD，CD 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线,则∠BDC =90°+
1
2∠A.
【证明】
设∠ABD=∠DBC=c，∠ACD=∠BCD=y.
由△ABC 的内角和为180°,得∠A＋2x＋2y=180°.①
由△BDC 的内角和为180°,得∠BDC＋x＋y=180°.②
由②得x＋y=180°-∠BDC.③
把③代入①,得∠A＋2(180°-∠BDC)=180°，即2∠BDC=180°＋∠A，
即∠BDC =90°+
1
2∠A.
【知识点6 双外角平分线模型】
【结论】如图所示，∠ABC 的外角平分线BD 和CD 相交于点D，则∠BDC=90°-
1
2∠A.
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【证明】设∠EBD=∠CBD=x，∠BCD=∠FCD=y.
由△BCD 的内角和为180°,得x＋y＋∠BDC=180°.①
易得2x＋2y=180°＋∠A.②
由①得x+y=180°-∠BDC.③
把③代人②,得2(180°-∠BDC)=180°+∠A，
即2∠BDC=180°-∠A，
即∠BDC=90°-
1
2∠A.
【知识点7 内外角平分线模型】
【结论】如图所示，∠ABC 的内角平分线BD 和外角平分线CD 相交于点D，则∠D=
1
2∠A.
【证明】设∠ABD=∠DBC=x，∠ACD=∠ECD=y.
由外角定理得2y=∠A+2x ，①
y=∠D+x.②
把②代人①,得2(∠D+x)=xA+2x ,
即∠D=
1
2∠A.
练题型·强知识
【题型1 8 字模型】
【例1】如图1，线段𝐴𝐵、𝐶𝐷相交于点𝑂，连接𝐴𝐷、𝐶𝐵，我们把形如图1 的图形称之为“8 字形”．如图2，
在图1 的条件下，∠𝐷𝐴𝐵和∠𝐵𝐶𝐷的平分线𝐴𝑃和𝐶𝑃相交于点𝑃，并且与𝐶𝐷、𝐴𝐵分别相交于𝑀、𝑁．试解答下
列问题：
(1)在图1 中，证明：∠𝐴+ ∠𝐷= ∠𝐶+ ∠𝐵；
(2)仔细观察，在图2 中“8 字形”的个数：_____个；
(3)图2 中，当∠𝐷= 50度，∠𝐵= 40度时，求∠𝑃的度数．
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(4)图2 中∠𝐷和∠𝐵为任意角时，其他条件不变，试问∠𝑃与∠𝐷、∠𝐵之间存在着怎样的数量关系．（直接写出
结果，不必证明）．
【变式1-1】如图，是由线段AB，CD，DF，BF，CA 组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F 的度
数为 ．
【变式1-2】如图，𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，交𝐶𝐷于点F，𝐷𝑃平分∠𝐴𝐷𝐶交𝐴𝐵于点E，𝐴𝐵与𝐶𝐷相交于点G，
∠𝐴= 42°．
（1）若∠𝐴𝐷𝐶= 60°，求∠𝐴𝐸𝑃的度数；
（2）若∠𝐶= 38°，求∠𝑃的度数．
【变式1-3】【问题背景】
（1）如图1 的图形我们把它称为“8 字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；
【简单应用】
（2）如图2， AP、CP 分别平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P 的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，
请猜想∠P 的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
（4） ①在图4 中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=
1
3∠CAB，∠CDP=
1
3∠CDB，试问∠P 与∠C、∠B 之间的数量
关系为：
（用α、β 表示∠P）；
②在图5 中，AP 平分∠BAD，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE， 猜想∠P 与∠B、∠D 的关系，直接写出结
论．
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【题型2 飞镖模型】
【例2】如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C 在直线BD 的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使
∠ABC、∠ADC 平分线的夹角∠E 的度数为100°，可保持∠A 不变，将∠BCD
（填“增大”或“减
小”）
°．
【变式2-1】在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果∠𝐴= 52°，∠𝐵= 25°，
∠𝐶= 30°，∠𝐷= 35°，∠𝐸= 72°，那么∠𝐹= °．
【变式2-2】如图，若∠𝐸𝑂𝐶= 115°，则∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹=
．
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【变式2-3】如图1 所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请
发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究∠𝐵𝐷𝐶与∠𝐴、∠𝐵、∠𝐶之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺𝑋𝑌𝑍放置在△𝐴𝐵𝐶上，使三角尺的两条直角边𝑋𝑌、𝑋𝑍恰好经过点B、C，若
∠𝐴= 50°，直接写出∠𝐴𝐵𝑋+ ∠𝐴𝐶𝑋的结果；
②如图3，𝐷𝐶平分∠𝐴𝐷𝐵，𝐸𝐶平分∠𝐴𝐸𝐵，若∠𝐷𝐴𝐸= 50°,∠𝐷𝐵𝐸= 130°，求∠𝐷𝐶𝐸的度数；
③如图4，∠𝐴𝐵𝐷,∠𝐴𝐶𝐷的10 等分线相交于点𝐺1、𝐺2、⋯、𝐺9，若∠𝐵𝐷𝐶= 140°,∠𝐵𝐺1𝐶= 77°，求∠𝐴的度
数．
【题型3 A 字模型】
【例3】如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1 + ∠2 = 230°，则∠𝐴等于（ ）
A．35°
B．50°
C．65°
D．70°
【变式3-1】如图是某建筑工地上的人字架，若∠1 = 120°，那么∠3−∠2的度数为
．
【变式3-2】探索归纳：
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(1)如图1，已知△𝐴𝐵𝐶为直角三角形，∠𝐴= 90°，若沿图中虚线剪去∠𝐴，则∠1 + ∠2 = ______；
(2)如图2，已知△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 30°，剪去∠𝐴后成四边形，则∠1 + ∠2 = ______；
(3)如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1 + ∠2与∠𝐴的关系是______；
(4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3 形状，试探究∠1 + ∠2与∠𝐴的关系，并说明理由．
【题型4 老鹰抓小鸡模型】
【例4】把三角形纸片𝐴′𝐵𝐶沿𝐷𝐸折叠．
(1)如图1，点𝐴′落在四边形𝐵𝐶𝐷𝐸内部点A 处时，∠𝐴与∠𝐴𝐷𝐶、∠𝐴𝐸𝐵之间有一种数量关系始终保持不变，写
出这种关系并证明；
(2)如图2，点𝐴′落在四边形𝐵𝐶𝐷𝐸外部点A 处时，直接写出∠𝐴与∠𝐴𝐷𝐶、∠𝐴𝐸𝐵之间的数量关系．
【变式4-1】如图，三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 100°，∠𝐵= 40°，将纸片的角折叠，使点𝐶落在△𝐴𝐵𝐶内，若
∠𝛼= 30°，则∠𝛽的度数是（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【变式4-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，将△𝐴𝐵𝐶沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置，若∠1−∠2 = 60°，则∠𝐵
的度数是（ ）
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A．30°
B．32°
C．35°
D．60°
【变式4-3】如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当A 落在四边形BCDE 内时，则∠A 与∠1+∠2 之间有始终不
变的关系是（ ）
A．∠A=∠1+∠2
B．2∠A=∠1+∠2
C．3A=∠1+∠2
D．3∠A=2（∠1+∠2）
【题型5 双内角平分线模型】
【例5】如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P．
（1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC 的度数．
（2）当∠A 为多少度时，∠BPC＝3∠A？
【变式5-1】如图，△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的角平分线BE 和CF 相交于点O，∠A＝60°，则∠BOC 的大小
为（ ）
A．110°
B．120°
C．130°
D．150°
【变式5-2】如图，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐷，𝐶𝐹平分∠𝐴𝐶𝐷，𝐵𝐸与𝐶𝐹交于点𝐺，若∠𝐵𝐷𝐶= 140°，∠𝐵𝐺𝐶= 100°，则∠𝐴=
（ ）
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A．80°
B．75°
C．60°
D．45°
【变式5-3】已知△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60°，在图（1）中∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐶𝐵的角平分线交于点𝑂1，则计算可得∠𝐵𝑂1
𝐶= 120°；
（1）在图（2）中，设∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐶𝐵的两条三等分角线分别对应交于𝑂1、𝑂2，得到∠𝐵𝑂2𝐶则∠𝐵𝑂2𝐶=
；
（2）在图（3）中请你猜想，当∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐶𝐵同时n 等分时，(𝑛−1)条等分角线分别对应交于𝑂1、𝑂2 ⋯
𝑂𝑛−1，则∠𝐵𝑂𝑛−1𝐶=
（用含n 的代数式表示）．
【题型6 双外角平分线模型】
【例6】如图，∠𝐴𝐵𝐷和∠𝐴𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的外角，𝐵𝐹和𝐶𝐺分别是∠𝐴𝐵𝐷和∠𝐴𝐶𝐸的角平分线，延长𝐹𝐵和𝐺𝐶交
于点𝐻．设∠𝐴= 𝛼，∠𝐻= 𝛽，则𝛼与𝛽之间的数量关系为
．
【变式6-1】在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶的平分线与∠𝐴𝐶𝐵的平分线相交于点P．∠𝐴𝐵𝐶的外角平分线与∠𝐴𝐶𝐵的外角
平分线相交于点Q，当∠𝑄= 65°，则∠𝐵𝑃𝐶= °；
【变式6-2】如图，𝐸𝐺，𝐹𝐺分别是∠𝑀𝐸𝐹和∠𝑁𝐹𝐸的角平分线，交点是𝐺，𝐵𝑃，𝐶𝑃分别是∠𝑀𝐵𝐶和∠𝑁𝐶𝐵的
角平分线，交点是𝑃，𝐹，𝐶在𝐴𝑁上，𝐵，𝐸在𝐴𝑀上，若∠𝐺= 69°，那么∠𝑃=
．
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【变式6-3】如图，𝐴𝐷，𝐵𝐷分别是△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐵𝐴𝐹，∠𝐴𝐵𝐺的角平分线；𝐴𝐸，𝐵𝐸分别是∠𝐷𝐴𝐵，∠𝐴𝐵𝐷
的角平分线；𝐴𝑀，𝐵𝑁分别是∠𝐹𝐴𝐷，∠𝐷𝐵𝐺的角平分线．当∠𝐶= （ ）时，𝐴𝑀∥𝐵𝑁．
A．45°
B．50°
C．60°
D．120°
【题型7 内外角平分线模型】
【例7】如图，点D 为△𝐴𝐵𝐶边𝐵𝐶的延长线上一点，若∠𝐴:∠𝐴𝐵𝐶= 3:4，∠𝐴𝐶𝐷= 140°，∠𝐴𝐵𝐶的角平分线
与∠𝐴𝐶𝐷的角平分线交于点M，则∠𝑀=
度．
【变式7-1】如图，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，𝐴𝐷、𝐵𝐷、𝐶𝐷分别平分∠𝐸𝐴𝐶、∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐹．以下结论：①𝐴𝐷∥𝐵𝐶；
②∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴𝐷𝐵；③𝐷𝐵平分∠𝐴𝐷𝐶；④∠𝐴𝐷𝐶= 90°−∠𝐴𝐵𝐷．其中正确的结论有
．（填序号）
【变式7-2】如图，点𝐵、𝐶分别在𝐴𝑀、𝐴𝑁上运动（不与𝐴重合），𝐶𝐷是∠𝐵𝐶𝑁的平分线，𝐶𝐷的反向延长线
交∠𝐴𝐵𝐶的平分线于点𝑃．知道下列哪个条件①∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵；②∠𝐴；③∠𝑁𝐶𝐷−∠𝐴𝐵𝑃；④∠𝐴𝐵𝐶的值，
不能求∠𝑃大小的是（ ）
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A．①
B．②
C．③
D．④
【变式7-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 48°，△𝐴𝐵𝐶的内角∠𝐴𝐵𝐶与外角∠𝐴𝐶𝐷的平分线相交于点𝐴1，得到
∠𝐴1；∠𝐴1𝐵𝐶与∠𝐴1𝐶𝐷的平分线相交于点𝐴2，得到∠𝐴2；……按此规律继续下去，∠𝐴𝑛−1𝐵𝐶与∠𝐴𝑛−1𝐶𝐷的平
分线相交于点𝐴𝑛，要使∠𝐴𝑛的度数为整数，则𝑛的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
过关测·稳提升
1．如图，已知在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 40°，现将一块直角三角板放在△𝐴𝐵𝐶上，使三角板的两条直角边分别经
过点𝐵,𝐶，直角顶点D 落在△𝐴𝐵𝐶的内部，则∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= （ ）．
A．90°
B．60°
C．50°
D．40°
2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷．∠𝐴𝐵𝐷的角平分线𝐵𝐹所在直线与射线𝐴𝐸相交于点
𝐺，若∠𝐴𝐵𝐶= 3∠𝐶，且∠𝐺= 20°，则∠𝐷𝐹𝐵的度数为( )
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
3．如图，已知∠𝐴= 60°,∠𝐵= 40°,∠𝐶= 30°，则∠𝐷+ ∠𝐸等于（ ）
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A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
4．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠𝐶= ∠𝐹= 90°，∠𝐷= 30°，则∠𝛼+ ∠𝛽等于（ ）
A．180°
B．210°
C．360°
D．270°
5．在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，∠𝐶= 22°，点D 为𝐴𝐶边上靠近点C 处一定点，点E 为𝐵𝐶边上一动点，
沿𝐷𝐸折叠三角形纸片，点C 落在点𝐶′处．有以下四个结论：
①如图1，当点𝐶′落在BC 边上时，∠𝐴𝐷𝐶′ = 44°；
②如图2，当点𝐶′落在△ABC 内部时，∠𝐴𝐷𝐶′ +∠𝐵𝐸𝐶′ = 44°；
③如图3，当点𝐶′落在△ABC 上方时，∠𝐵𝐸𝐶′−∠𝐴𝐷𝐶′ = 44°；
④当𝐶′𝐸∥𝐴𝐵时，∠𝐶𝐷𝐸= 34°或∠𝐶𝐷𝐸= 124°，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
6．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D、E 分别在边𝐴𝐵、𝐴𝐶上，如果∠𝐴= 60°，那么∠1 + ∠2的大小为
．
7．如图，𝐴𝐷，𝐶𝐸都是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，且交于点𝑂，∠𝐷𝐴𝐶= 30°，∠𝐸𝐶𝐴= 35°，则∠𝐴𝐵𝑂的度数为
．
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8．如图，四边形𝐴𝐵𝑂𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐵𝑂𝐶的角平分线相交于点P，若∠𝐵= 16°,∠𝐶= 42°，则∠𝑃=
°．
9．如图，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹= 度．
10．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，𝐴𝐸，𝐵𝐹分别是∠𝐵𝐴𝐶和∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，它们相交于点𝑂，
∠𝐴𝑂𝐵= 125°．求∠𝐶𝐴𝐷的度数．
11．（1）如图1，这是一个五角星𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸，求∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸的度数．
（2）如图2，如果点B 向右移动到𝐴𝐶上，直接写出∠𝐴+ ∠𝐷𝐵𝐸+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸的度数．
（3）如图3，当点B 向右移动到𝐴𝐶的另一侧时，直接写出∠𝐴+ ∠𝐷𝐵𝐸+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸的度数．
（4）如图4，求∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹的度数．
12．我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，𝐴𝐷，𝐵𝐶相交于点𝑂，连接𝐴𝐵，
𝐶𝐷得到“8”字图形𝐴𝐵𝐷𝐶．
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(1)如图1，试说明∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶+ ∠𝐷的理由；
(2)如图2，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐷𝐶的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索∠𝐸与∠𝐴、∠𝐶间的关系；
(3)如图3，点𝐸为𝐶𝐷延长线上一点，𝐵𝑄、𝐷𝑃分别是∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐷𝐸的四等分线，且∠𝐶𝐵𝑄=
1
4∠𝐴𝐵𝐶，
∠𝐸𝐷𝑃=
1
4∠𝐴𝐷𝐸，𝑄𝐵的延长线与𝐷𝑃交于点𝑃，请探索∠𝑃与∠𝐴、∠𝐶的关系．（直接写结论）
13．【探究】如图①，试说明∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶；
【应用】
（1）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，∠𝐴= 28°，∠𝐷= 12°，∠𝐴𝐵𝐶= 64°，∠𝐵𝐶𝐷= 46°，求椅面
和椅背的夹角∠𝐴𝐸𝐷的度数；
（2）如图③，∠𝐴𝐵𝐶= 100°，∠𝐷𝐸𝐹= 130°，求∠𝐴+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐹的度数．
14．Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，点D，E 分别是△𝐴𝐵𝐶边𝐴𝐶，𝐵𝐶上的点，点P 是一动点．令∠𝑃𝐷𝐴= ∠1，
∠𝑃𝐸𝐵= ∠2，∠𝐷𝑃𝐸= ∠𝛼．
(1)若点P 在线段𝐴𝐵上，如图1 所示，且∠𝛼= 50°，求∠1 + ∠2的度数．
(2)若点P 在边𝐴𝐵上运动，如图2 所示，则∠𝛼，∠1，∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
(3)若点P 运动到边𝐴𝐵的延长线上，如图3 所示，𝐷𝑃交𝐶𝐵于点M，∠𝛼，∠1，∠2之间的关系为__________．
15．如图①，在△𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的平分线相交于点P．
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(1)如果∠𝐴= 70°，求∠𝐵𝑃𝐶的度数；
(2)如图②，作△𝐴𝐵𝐶外角∠𝑀𝐵𝐶，∠𝑁𝐶𝐵的角平分线交于点Q，试探索∠𝑄，∠𝐴之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段𝐵𝑃，𝑄𝐶交于点E，在△𝐵𝑄𝐸中，存在一个内角等于另一个内角的3 倍，求∠𝐴的度数．
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答案解析
练题型·强知识
【题型1 8 字模型】
【例1】如图1，线段𝐴𝐵、𝐶𝐷相交于点𝑂，连接𝐴𝐷、𝐶𝐵，我们把形如图1 的图形称之为“8 字形”．如图2，
在图1 的条件下，∠𝐷𝐴𝐵和∠𝐵𝐶𝐷的平分线𝐴𝑃和𝐶𝑃相交于点𝑃，并且与𝐶𝐷、𝐴𝐵分别相交于𝑀、𝑁．试解答下
列问题：
(1)在图1 中，证明：∠𝐴+ ∠𝐷= ∠𝐶+ ∠𝐵；
(2)仔细观察，在图2 中“8 字形”的个数：_____个；
(3)图2 中，当∠𝐷= 50度，∠𝐵= 40度时，求∠𝑃的度数．
(4)图2 中∠𝐷和∠𝐵为任意角时，其他条件不变，试问∠𝑃与∠𝐷、∠𝐵之间存在着怎样的数量关系．（直接写出
结果，不必证明）．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理与对顶角相等可得结论；
（2）由交点有点𝑀,𝑂,𝑁，再分类确定即可得到答案；
（3）由（1）可得∠𝐷𝐴𝑃+ ∠𝐷= ∠𝑃+ ∠𝐷𝐶𝑃，∠𝑃𝐶𝐵+ ∠𝐵= ∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝑃 ，再两式相加，结合角平分线的
定义可得∠𝐷+ ∠𝐵= 2∠𝑃，再把∠𝐷= 50°，∠𝐵= 40°代入计算即可得到答案；
（4）由（1）可得∠𝐷𝐴𝑃+ ∠𝐷= ∠𝑃+ ∠𝐷𝐶𝑃，∠𝑃𝐶𝐵+ ∠𝐵= ∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝑃，再两式相加，结合角平分线的定
义可得∠𝐷+ ∠𝐵= 2∠𝑃．
【详解】（1）证明：∵∠𝐴+ ∠𝐷+ ∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐵𝑂𝐶= 180°，
又∵∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐵𝑂𝐶，
∴∠𝐴+ ∠𝐷= ∠𝐶+ ∠𝐵；
（2）交点有点𝑀,𝑂,𝑁，
以𝑀为交点的8 字形有1 个，为△𝐴𝑀𝐷与△𝐶𝑀𝑃，
以𝑂为交点的8 字形有4 个，为△𝐴𝑂𝐷与△𝐶𝑂𝐵，△𝐴𝑂𝑀与△𝐶𝑂𝑁，△𝐴𝑂𝑀与△𝐶𝑂𝐵，△𝐶𝑂𝑁与
△𝐴𝑂𝐷，
以𝑁为交点的8 字形有1 个，为△𝐴𝑁𝑃与△𝐶𝑁𝐵，
所以，“8 字形”图形共有6 个．
故答案为：6；
（3）由（1）可得，∠𝐷𝐴𝑃+ ∠𝐷= ∠𝑃+ ∠𝐷𝐶𝑃①，
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∠𝑃𝐶𝐵+ ∠𝐵= ∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝑃②，
∵∠𝐷𝐴𝐵和∠𝐵𝐶𝐷的平分线𝐴𝑃和𝐶𝑃相交于点𝑃，
∴∠𝐷𝐴𝑃= ∠𝑃𝐴𝐵，∠𝐷𝐶𝑃= ∠𝑃𝐶𝐵，
由①+②，得∠𝐷𝐴𝑃+ ∠𝐷+ ∠𝑃𝐶𝐵+ ∠𝐵= ∠𝑃+ ∠𝐷𝐶𝑃+ ∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝑃，
即2∠𝑃= ∠𝐷+ ∠𝐵，
又∵∠𝐷= 50°，∠𝐵= 40°，
∴2∠𝑃= 50° + 40° = 90°，
∴∠𝑃= 45°；
（4）关系：2∠𝑃= ∠𝐷+ ∠𝐵．
理由：由（1）得∠𝐷𝐴𝑃+ ∠𝐷= ∠𝑃+ ∠𝐷𝐶𝑃①，
∠𝑃𝐶𝐵+ ∠𝐵= ∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝑃② ，
∵∠𝐷𝐴𝐵和∠𝐵𝐶𝐷的平分线𝐴𝑃和𝐶𝑃相交于点𝑃，
∴∠𝐷𝐴𝑃= ∠𝑃𝐴𝐵，∠𝐷𝐶𝑃= ∠𝑃𝐶𝐵，
由①＋②，得∠𝐷𝐴𝑃+ ∠𝐷+ ∠𝑃𝐶𝐵+ ∠𝐵= ∠𝑃+ ∠𝐷𝐶𝑃+ ∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝑃，
∴2∠𝑃= ∠𝐷+ ∠𝐵．
【变式1-1】如图，是由线段AB，CD，DF，BF，CA 组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F 的度
数为 ．
【答案】208°
【分析】首先求出∠F+∠B＝∠D+∠EGD，然后证明出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，最后结合题干∠D＝28°求
出∠A+∠B+∠C+∠F 的度数．
【详解】解：∵如图可知∠BED＝∠F+∠B，∠CGE＝∠C+∠A，
又∵∠BED＝∠D+∠EGD，
∴∠F+∠B＝∠D+∠EGD，
又∵∠CGE+∠EGD＝180°，
∴∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，
又∵∠D＝28°，
∴∠A+∠B+∠C+∠F＝180°+28°＝208°．
故答案为208°．
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第 18 页 共 57 页
【变式1-2】如图，𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，交𝐶𝐷于点F，𝐷𝑃平分∠𝐴𝐷𝐶交𝐴𝐵于点E，𝐴𝐵与𝐶𝐷相交于点G，
∠𝐴= 42°．
（1）若∠𝐴𝐷𝐶= 60°，求∠𝐴𝐸𝑃的度数；
（2）若∠𝐶= 38°，求∠𝑃的度数．
【答案】（1）72°；（2）40°．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP=
1
2 ∠𝐴𝐷𝐶 ，然后利用三角形外角的性质即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得
∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．
【详解】解：（1）∵DP 平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF=
1
2 ∠𝐴𝐷𝐶，
∵∠𝐴𝐷𝐶= 60°，
∴∠𝐴𝐷𝑃= 30°，
∴∠𝐴𝐸𝑃= ∠𝐴𝐷𝑃+ ∠𝐴= 30° + 42° = 72°；
（2）∵BP 平分∠ABC，DP 平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，
∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，
∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，
∴∠A+∠C=2∠P，
∵∠A=42°，∠C=38°，
∴∠P=
1
2（38°+42°）=40°．
【变式1-3】【问题背景】
（1）如图1 的图形我们把它称为“8 字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；
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【简单应用】
（2）如图2， AP、CP 分别平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P 的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，
请猜想∠P 的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
（4） ①在图4 中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=
1
3∠CAB，∠CDP=
1
3∠CDB，试问∠P 与∠C、∠B 之间的数量
关系为：
（用α、β 表示∠P）；
②在图5 中，AP 平分∠BAD，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE， 猜想∠P 与∠B、∠D 的关系，直接写出结
论．
【答案】（1）见解析；（2）36°；（3）26°，理由见解析；（4）①∠P=
2𝛼+𝛽
3 ②∠P=
180°+∠𝐵+∠𝐷
2
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）直接利用（1）中的结论两次，两式相加，然后根据角平分线的性质求解即可；
（3）由AP 平分∠BAD 的外角∠FAD，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出
∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出
2∠P=∠B+∠D，即可解决问题．
（4）①同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．
②同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．
【详解】（1）在△AEB 中，∠A+∠B+∠AEB=180°．
在△CED 中，∠C+∠D+∠CED=180°．
∵∠AEB=∠CED，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，
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∴∠1+∠B+∠4+∠D =∠3+∠P+∠2+∠P．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，
∴∠P=36°．
（3）∠P=26°，理由是：如图3：
∵AP 平分∠BAD 的外角∠FAD，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．
∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB =∠B+∠4，
∴∠P+∠1=∠B+∠4．
∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=
1
2（∠B+∠D）=
1
2×（36°+16°）=26°．
（4）①设∠CAP=m，∠CDP=n，则∠CAB=3m，，∠CDB=3n，
∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．
∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，
∵∠C=α，∠B=β，
∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，
∴α－∠P = n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），
∴2α+β=3∠P
∴∠P=
2𝛼+𝛽
3 ．
故答案为：∠P=
2𝛼+𝛽
3 ．
②设∠BAP=x，∠PCE=y，则∠PAO=x，∠PCB=y．
∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，
∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，
∴∠P=
180°+∠𝐵+∠𝐷
2
．
故答案为：∠P=
180°+∠𝐵+∠𝐷
2
．
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【题型2 飞镖模型】
【例2】如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C 在直线BD 的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使
∠ABC、∠ADC 平分线的夹角∠E 的度数为100°，可保持∠A 不变，将∠BCD
（填“增大”或“减
小”）
°．
【答案】
增大
10
【分析】利用三角形的外角性质先求得∠ABE+∠ADE=30°，根据角平分线的定义得到∠ABC+∠ADC=60°，再
利用三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：如图，连接AE 并延长，连接AC 并延长，
∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠BAD+∠ADE=100°，
∵∠BAD＝70°，
∴∠ABE+∠ADE=30°，
∵BE，DE 分别是∠ABC、∠ADC 平分线，
∴∠ABC+∠ADC=2（∠ABE+∠ADE）=60°，
同上可得，∠BCD=∠BAD+∠ABC+∠ADC=130°，130°-120°=10°，
∴∠BCD 增大了10°．
故答案为：增大，10．
【变式2-1】在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果∠𝐴= 52°，∠𝐵= 25°，
∠𝐶= 30°，∠𝐷= 35°，∠𝐸= 72°，那么∠𝐹= °．
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【答案】70
【分析】延长𝐵𝐸、𝐶𝐹，交于点G，连接𝐴𝐺，根据三角形内角和定理和四边形的内角和为360°即可求解．
【详解】解：延长𝐵𝐸、𝐶𝐹，交于点G，连接𝐴𝐺，如图，
∴∠𝐴𝐺𝐵= 180°−∠𝐵−∠𝐵𝐴𝐺，∠𝐴𝐺𝐶= 180°−∠𝐶−∠𝐶𝐴𝐺，
∴∠𝐴𝐺𝐵+ ∠𝐴𝐺𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐵𝐴𝐺+ 180°−∠𝐶−∠𝐶𝐴𝐺= 360°−∠𝐵−∠𝐶−∠𝐵𝐴𝐶= 253°，
∴∠𝐶𝐺𝐵= 360°−(∠𝐴𝐺𝐵+ ∠𝐴𝐺𝐶) = 107°．
∵∠𝐵𝐸𝐷= 72°，
∴∠𝐺𝐸𝐷= 108°，
∴∠𝐺𝐹𝐷= 360°−∠𝐺𝐸𝐷−∠𝐷−∠𝐶𝐺𝐵= 110°，
∴∠𝐶𝐹𝐷= 70°．
故答案为：70．
【变式2-2】如图，若∠𝐸𝑂𝐶= 115°，则∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹=
．
【答案】230°
【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，
∠1=∠A+∠B，即可得到结论．
【详解】解：如图
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∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，
∴∠E+∠D+∠C=115°，
∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，
∴∠A+∠B+∠F=115°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，
故答案为：230°．
【变式2-3】如图1 所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请
发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究∠𝐵𝐷𝐶与∠𝐴、∠𝐵、∠𝐶之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺𝑋𝑌𝑍放置在△𝐴𝐵𝐶上，使三角尺的两条直角边𝑋𝑌、𝑋𝑍恰好经过点B、C，若
∠𝐴= 50°，直接写出∠𝐴𝐵𝑋+ ∠𝐴𝐶𝑋的结果；
②如图3，𝐷𝐶平分∠𝐴𝐷𝐵，𝐸𝐶平分∠𝐴𝐸𝐵，若∠𝐷𝐴𝐸= 50°,∠𝐷𝐵𝐸= 130°，求∠𝐷𝐶𝐸的度数；
③如图4，∠𝐴𝐵𝐷,∠𝐴𝐶𝐷的10 等分线相交于点𝐺1、𝐺2、⋯、𝐺9，若∠𝐵𝐷𝐶= 140°,∠𝐵𝐺1𝐶= 77°，求∠𝐴的度
数．
【答案】(1)∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶，见解析
(2)①40°；②90°；③70°
【分析】（1）首先连接𝐴𝐷并延长，然后根据外角的性质，即可判断出∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶；
（2）①由（1）可得∠𝐴𝐵𝑋+ ∠𝐴𝐶𝑋+ ∠𝐴= ∠𝐵𝑋𝐶，然后根据∠𝐴= 40°，∠𝐵𝑋𝐶= 90°，即可求出∠𝐴𝐵𝑋+ ∠𝐴𝐶𝑋
的值；②由（1）可得∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐸𝐵，再根据∠𝐷𝐴𝐸= 50°,∠𝐷𝐵𝐸= 130°，求出∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐸𝐵
的值；然后根据∠𝐷𝐶𝐸=
1
2(∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐸𝐵) +∠𝐷𝐴𝐸，即可求出∠𝐷𝐶𝐸的度数；③设∠𝐴𝐵𝐺1 = 𝑥°，∠𝐴𝐶𝐺1
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= 𝑦°，结合已知可得∠𝐴𝐵𝐷= 10𝑥°，∠𝐴𝐶𝐷= 10𝑦°，再根据（1）可得∠𝐴+ 𝑥° + 𝑦° = 77°，
∠𝐴+ 10𝑥° + 10𝑦° = 140°，即可判断出∠𝐴的度数．
【详解】（1）解：∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶，理由如下：
如图，连接𝐴𝐷并延长．
根据外角的性质，可得∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵，∠𝐶𝐷𝐹= ∠𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷，
又∵∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝐷𝐹+ ∠𝐶𝐷𝐹，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶，
故答案为：∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶；
（2）①由（1）可得∠𝐴𝐵𝑋+ ∠𝐴𝐶𝑋+ ∠𝐴= ∠𝐵𝑋𝐶，
∵∠𝐴= 50°，∠𝐵𝑋𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝑋+ ∠𝐴𝐶𝑋= 90°−50° = 40°；
②由（1）可得∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐸𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐷𝐵𝐸−∠𝐷𝐴𝐸= 130°−50° = 80°，
∴
1
2(∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐸𝐵) = 80° ÷ 2 = 40°，
∴∠𝐷𝐶𝐸=
1
2(∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐸𝐵) +∠𝐷𝐴𝐸= 50° + 40° = 90°；
③设∠𝐴𝐵𝐺1 = 𝑥°，∠𝐴𝐶𝐺1 = 𝑦°，
则∠𝐴𝐵𝐷= 10𝑥°，∠𝐴𝐶𝐷= 10𝑦°，
则∠𝐴+ 𝑥° + 𝑦° = 77°，∠𝐴+ 10𝑥° + 10𝑦° = 140°，
解得𝑥+ 𝑦= 7°，
所以∠𝐴= 77°−7° = 70°，
即∠𝐴的度数为70°．
【题型3 A 字模型】
【例3】如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1 + ∠2 = 230°，则∠𝐴等于（ ）
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A．35°
B．50°
C．65°
D．70°
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和定理的应用；根据三角形的外角的性质可得
∠1 + ∠2 = ∠𝐴+ ∠4 + ∠𝐴+ ∠3，由三角形内角和为180°，得∠𝐴度数．
【详解】解：如图所示
∵ ∠1 + ∠2 = ∠𝐴+ ∠4 + ∠𝐴+ ∠3 = ∠𝐴+ 180° = 230°
∴∠𝐴= 50°．
故选：B．
【变式3-1】如图是某建筑工地上的人字架，若∠1 = 120°，那么∠3−∠2的度数为
．
【答案】60°
【分析】根据平角的定义求出∠4，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】解：如图
∵∠1 + ∠4 = 180°，∠1 = 120°，
∴∠4 = 60°，
∵∠3 = ∠2 + ∠4，
∴∠3−∠2 = ∠4 = 60°，
故答案为：60°．
【变式3-2】探索归纳：
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(1)如图1，已知△𝐴𝐵𝐶为直角三角形，∠𝐴= 90°，若沿图中虚线剪去∠𝐴，则∠1 + ∠2 = ______；
(2)如图2，已知△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 30°，剪去∠𝐴后成四边形，则∠1 + ∠2 = ______；
(3)如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1 + ∠2与∠𝐴的关系是______；
(4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3 形状，试探究∠1 + ∠2与∠𝐴的关系，并说明理由．
【答案】(1)270°
(2)210°
(3)∠1 + ∠2 = 180° + ∠𝐴
(4)∠1 + ∠2 = 2∠𝐴
【分析】（1）利用三角形的外角定理及直角三角形的性质求解；
（2）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；
（3）根据（1）、（2）中思路即可求解；
（4）根据折叠对应角相等，得到∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝑃𝐹𝐸，∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝑃𝐸𝐹，进而求出∠1 = 180°−2∠𝐴𝐹𝐸，
∠2 = 180°−2∠𝐴𝐸𝐹，最后利用∠𝐴𝐹𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐹= 180°−∠𝐴即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：
在△𝐴𝐸𝐹中，由外角性质可知：
∠1 = ∠𝐴+ ∠𝐸𝐹𝐴= 90° + ∠𝐸𝐹𝐴，
∠2 = ∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐹= 90° + ∠𝐴𝐸𝐹，
∴∠1 + ∠2 = (90° + ∠𝐸𝐹𝐴) + (90° + ∠𝐴𝐸𝐹) = 180° + ∠𝐸𝐹𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐹，
∵△𝐴𝐵𝐶为直角三角形，∠𝐴= 90°，
∴∠𝐸𝐹𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐹= 180°−∠𝐴= 90°，
∴∠1 + ∠2 = 180° + 90° = 270°．
故答案为：270°．
（2）解：如图所示：
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第 27 页 共 57 页
在△𝐴𝐸𝐹中，由外角性质可知：
∠1 = ∠𝐴+ ∠𝐸𝐹𝐴，∠2 = ∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐹，
∵∠𝐴= 30°，
∴∠1 + ∠2 = (∠𝐴+ ∠𝐸𝐹𝐴) + (∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐹)
= (∠𝐴+ ∠𝐸𝐹𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐹) + ∠𝐴
= 180° + 30°
= 210°．
（3）解：由（1）、（2）中思路，由三角形外角性质可知：
∠1 = ∠𝐴+ ∠𝐸𝐹𝐴，∠2 = ∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐹，
∴∠1 + ∠2 = (∠𝐴+ ∠𝐸𝐹𝐴) + (∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐹)
= (∠𝐴+ ∠𝐸𝐹𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐹) + ∠𝐴
= 180° + ∠𝐴，
∴∠1 + ∠2与∠𝐴的关系是：∠1 + ∠2 = 180° + ∠𝐴，
故答案为：∠1 + ∠2 = 180° + ∠𝐴．
（4）解：∠1 + ∠2与∠𝐴的关系为：∠1 + ∠2 = 2∠𝐴，理由如下：
如图，
∵△𝐸𝐹𝑃是由△𝐸𝐹𝐴折叠得到的，
∴∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝑃𝐹𝐸，∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝑃𝐸𝐹，
∴∠1 = 180°−2∠𝐴𝐹𝐸，∠2 = 180°−2∠𝐴𝐸𝐹，
∴∠1 + ∠2 = (180°−2∠𝐴𝐹𝐸) + (180°−2∠𝐴𝐸𝐹) = 360°−2(∠𝐴𝐹𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐹)，
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又∵∠𝐴𝐹𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐹= 180°−∠𝐴，
∴∠1 + ∠2 = 360°−2(180°−∠𝐴) = 2∠𝐴，
∴∠1 + ∠2与∠𝐴的关系∠1 + ∠2 = 2∠𝐴．
【题型4 老鹰抓小鸡模型】
【例4】把三角形纸片𝐴′𝐵𝐶沿𝐷𝐸折叠．
(1)如图1，点𝐴′落在四边形𝐵𝐶𝐷𝐸内部点A 处时，∠𝐴与∠𝐴𝐷𝐶、∠𝐴𝐸𝐵之间有一种数量关系始终保持不变，写
出这种关系并证明；
(2)如图2，点𝐴′落在四边形𝐵𝐶𝐷𝐸外部点A 处时，直接写出∠𝐴与∠𝐴𝐷𝐶、∠𝐴𝐸𝐵之间的数量关系．
【答案】(1)2∠𝐴= ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐸𝐵，见解析
(2)2∠𝐴= ∠𝐴𝐸𝐵−∠𝐴𝐷𝐶
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质．
（1）由折叠得到∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴′𝐸𝐷，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴′𝐷𝐸，根据平角得到∠𝐴𝐸𝐵+ 2∠𝐴𝐸𝐷= 180°，
∠𝐴𝐷𝐶+ 2∠𝐴𝐷𝐸= 180°，再结合三角形内角和得到∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸= 180°，即可解决问题；
（2）由折叠得到∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴′𝐸𝐷，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴′𝐷𝐸，根据平角得到∠𝐴𝐸𝐵+ 2∠𝐴𝐸𝐷= 180°，
2∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐴𝐷𝐶= 180°，再结合三角形内角和得到∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸= 180°，即可解决问题．
【详解】（1）解：2∠𝐴= ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐸𝐵．
证明：∵三角形纸片𝐴′𝐵𝐶沿𝐷𝐸折叠得到△𝐴𝐷𝐸，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴′𝐸𝐷，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴′𝐷𝐸，
∴∠𝐴𝐸𝐵+ 2∠𝐴𝐸𝐷= 180°，∠𝐴𝐷𝐶+ 2∠𝐴𝐷𝐸= 180°，
又∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸= 180°，
∴∠𝐴𝐸𝐵+ 2∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶+ 2∠𝐴𝐷𝐸= 360° = 2(∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸)，
∴2∠𝐴= ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐸𝐵；
（2）解：∵三角形纸片𝐴′𝐵𝐶沿𝐷𝐸折叠得到△𝐴𝐷𝐸，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴′𝐸𝐷，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴′𝐷𝐸，
∴∠𝐴𝐸𝐵+ 2∠𝐴𝐸𝐷= 180°，2∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐴𝐷𝐶= 180°，
又∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸= 180°，
∴∠𝐴𝐸𝐵+ 2∠𝐴𝐸𝐷+ 2∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐴𝐷𝐶= 360° = 2(∠𝐴+ ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸)，
∴2∠𝐴= ∠𝐴𝐸𝐵−∠𝐴𝐷𝐶．
【变式4-1】如图，三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 100°，∠𝐵= 40°，将纸片的角折叠，使点𝐶落在△𝐴𝐵𝐶内，若
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∠𝛼= 30°，则∠𝛽的度数是（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【答案】C
【分析】本题考查了三角形折叠中的角度问题，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点求得
∠𝛼+ ∠𝛽= 2∠𝐸𝐶𝐹是解题的关键．延长𝐴𝐸，𝐵𝐹交于点𝐶′，连接𝐶𝐶′，利用三角形外角的定义可知∠𝛼= ∠𝐸𝐶𝐶′
+∠𝐸𝐶′𝐶，∠𝛽= ∠𝐹𝐶𝐶′ +∠𝐹𝐶′𝐶，从而得到∠𝛼+ ∠𝛽= 2∠𝐸𝐶𝐹，再根据三角形内角和求得∠𝐸𝐶𝐹，即可求得答
案．
【详解】解：延长𝐴𝐸，𝐵𝐹交于点𝐶′，连接𝐶𝐶′，如图，
则∠𝐸𝐶𝐹= ∠𝐸𝐶′𝐹，
∵∠𝛼= ∠𝐸𝐶𝐶′ +∠𝐸𝐶′𝐶，∠𝛽= ∠𝐹𝐶𝐶′ +∠𝐹𝐶′𝐶，
∴∠𝛼+ ∠𝛽= ∠𝐸𝐶𝐶′ +∠𝐸𝐶′𝐶+ ∠𝐹𝐶𝐶′ +∠𝐹𝐶′𝐶= ∠𝐸𝐶𝐹+ ∠𝐸𝐶′𝐹= 2∠𝐸𝐶𝐹，
∵△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 100°，∠𝐵= 40°，
∴∠𝐸𝐶𝐹= 180°−∠𝐴−∠𝐵= 180°−100°−40° = 40°，
∴∠𝛼+ ∠𝛽= 2∠𝐸𝐶𝐹= 2 × 40° = 80°，
∵∠𝛼= 30°，
∴∠𝛽= 80°−30° = 50°．
故选：C．
【变式4-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，将△𝐴𝐵𝐶沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置，若∠1−∠2 = 60°，则∠𝐵
的度数是（ ）
A．30°
B．32°
C．35°
D．60°
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【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、翻折变换等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关
键．
由折叠的性质得到∠𝐷= ∠𝐵，由三角形外角性质可得∠3 = ∠2 + ∠𝐷= ∠2 + ∠𝐵、∠1 = ∠𝐵+ ∠3，易得
∠3 = ∠1−∠𝐵，则∠2 + ∠𝐵= ∠1−∠𝐵，即2∠𝐵= ∠1−∠2，然后求解即可．
【详解】解：如图所示：
由折叠的性质得：∠𝐷= ∠𝐵，
根据外角性质得：∠3 = ∠2 + ∠𝐷= ∠2 + ∠𝐵，∠1 = ∠𝐵+ ∠3，
∴∠3 = ∠1−∠𝐵，
∴∠2 + ∠𝐵= ∠1−∠𝐵，即2∠𝐵= ∠1−∠2．
∵∠1−∠2 = 60°
∴∠𝐵= 30°．
故选：A．
【变式4-3】如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当A 落在四边形BCDE 内时，则∠A 与∠1+∠2 之间有始终不
变的关系是（ ）
A．∠A=∠1+∠2
B．2∠A=∠1+∠2
C．3A=∠1+∠2
D．3∠A=2（∠1+∠2）
【答案】B
【分析】本题问的是关于角的问题，当然与折叠中的角是有关系的，∠1 与∠AED 的2 倍和∠2 与∠ADE 的2
倍都组成平角，结合△AED 的内角和为180°可求出答案．
【详解】∵△ABC 纸片沿DE 折叠，
∴∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°，
∴∠AED=
1
2 (180°−∠1),∠ADE=
1
2 (180°−∠2)，
∴∠AED+∠ADE=
1
2 (180°−∠1)+
1
2 (180°−∠2)=180°−
1
2 (∠1+∠2)
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在△ADE 中,∠A=180°−(∠AED+∠ADE)=180°−[180°−
1
2 (∠1+∠2)]=
1
2 (∠1+∠2)
则2∠A=∠1+∠2，故选择B 项.
【题型5 双内角平分线模型】
【例5】如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P．
（1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC 的度数．
（2）当∠A 为多少度时，∠BPC＝3∠A？
【答案】（1）115°；（2）∠𝐴= 36°
【分析】（1）根据角平分线的定义，求得∠𝑃𝐵𝐶，∠𝑃𝐶𝐵，再根据三角形内角和定理即可求得∠𝐵𝑃𝐶；
（2）根据（1）的方法求得∠𝐵𝑃𝐶，再结合条件∠BPC＝3∠A，解方程即可求得∠A．
【详解】（1）∵𝑃𝐵平分∠𝐴𝐵𝐶，𝑃𝐶平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝑃𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶,∠𝑃𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∵∠ABC+∠ACB＝130°，
∴∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵=
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 65°，
∴∠𝐵𝑃𝐶= 180°−(∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵) = 180°−65° = 115°，
（2）∵𝑃𝐵平分∠𝐴𝐵𝐶，𝑃𝐶平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝑃𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶,∠𝑃𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵=
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)，
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴，
∴∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵= 90°−
1
2∠𝐴，
∠𝐵𝑃𝐶= 180°−(∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵)
= 180°−(90°−1
2 ∠𝐴)
= 90° + 1
2 ∠𝐴
∵∠BPC＝3∠A
∴3∠𝐴= 90° +
1
2∠𝐴，
∴∠𝐴= 36°．
【变式5-1】如图，△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的角平分线BE 和CF 相交于点O，∠A＝60°，则∠BOC 的大小
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为（ ）
A．110°
B．120°
C．130°
D．150°
【答案】B
【分析】由角平分线求出∠𝑂𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶,∠𝑂𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，然后在△ABC 中，由∠A=60°即可求出
∠ABC+∠ACB=120°，最后在△OBC 中由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵OB、OC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，
∴∠OBC＝
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠OBC+∠OCB＝
1
2∠ABC+
1
2∠ACB＝
1
2(∠ABC+∠ACB)
∵∠A＝60°，
∴∠OBC+∠OCB＝
1
2(180°﹣60°)＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣(∠OBC+∠OCB)
＝180°﹣60°
＝120°．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质及三角形内
角和定理是解决本题的关键．
【变式5-2】如图，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐷，𝐶𝐹平分∠𝐴𝐶𝐷，𝐵𝐸与𝐶𝐹交于点𝐺，若∠𝐵𝐷𝐶= 140°，∠𝐵𝐺𝐶= 100°，则∠𝐴=
（ ）
A．80°
B．75°
C．60°
D．45°
【答案】C
【分析】连接𝐵𝐶,先求解∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵, 再求解∠𝐺𝐵𝐶+ ∠𝐺𝐶𝐵, 可得∠𝐺𝐵𝐷+ ∠𝐺𝐶𝐷, 再利用角平分线的定义
可得：∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷, 从而可得：∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵, 再利用三角形的内角和定理可得∠𝐴的大小.
【详解】解：连接𝐵𝐶, ∵∠𝐵𝐷𝐶= 140°,
∴∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵= 180°−140° = 40°,
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∵∠𝐵𝐺𝐶= 100°,
∴∠𝐺𝐵𝐶+ ∠𝐺𝐶𝐵= 180°−100° = 80°,
∴∠𝐺𝐵𝐷+ ∠𝐺𝐶𝐷= ∠𝐺𝐵𝐶+ ∠𝐺𝐶𝐵−∠𝐷𝐵𝐶−∠𝐷𝐶𝐵= 40°,
∵ 𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐷，𝐶𝐹平分∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= 2(∠𝐺𝐵𝐷+ ∠𝐺𝐶𝐷) = 80°,
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐷𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵= 80° + 40° = 120°,
∴∠𝐴= 180°−(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 60°.
故选：𝐶.
【变式5-3】已知△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60°，在图（1）中∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐶𝐵的角平分线交于点𝑂1，则计算可得∠𝐵𝑂1
𝐶= 120°；
（1）在图（2）中，设∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐶𝐵的两条三等分角线分别对应交于𝑂1、𝑂2，得到∠𝐵𝑂2𝐶则∠𝐵𝑂2𝐶=
；
（2）在图（3）中请你猜想，当∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐶𝐵同时n 等分时，(𝑛−1)条等分角线分别对应交于𝑂1、𝑂2 ⋯
𝑂𝑛−1，则∠𝐵𝑂𝑛−1𝐶=
（用含n 的代数式表示）．
【答案】
100°
60° +
120°
𝑛
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义及三等分线，n 等分线的定义．
（1）根据三角形的内角和等于180°得出∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵，再由∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐶𝐵的两条三等分角线分别对应交于
𝑂1,𝑂2得出∠𝑂2𝐵𝐶+ ∠𝑂2𝐶𝐵的度数，进而可得出结论；
（2）根据n 等分的定义求出∠𝑂𝑛−1𝐵𝐶+ ∠𝑂𝑛−1𝐶𝐵的度数，在△𝑂𝑛−1𝐵𝐶中，利用三角形内角和定理列式整
理即可得解．
【详解】解：（1）在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−60° = 120°，
∵𝑂2𝐵和𝑂2𝐶分别是∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐴𝐶𝐵的三等分线，
∴∠𝑂2𝐵𝐶+ ∠𝑂2𝐶𝐵=
2
3(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) =
2
3(180°−60°) = 120°−
2
3 × 60°；
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∴∠𝐵𝑂2𝐶= 180°−(∠𝑂2𝐵𝐶+ ∠𝑂2𝐶𝐵) = 180°−120°−
2
3 × 60° = 60° +
2
3 × 60° = 100°．
故答案为：100°；
（2）∵𝑂𝑛−1𝐵和𝑂𝑛−1𝐶分别是∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐴𝐶𝐵的n 等分线，
∴∠𝑂𝑛−1𝐵𝐶+ ∠𝑂𝑛−1𝐶𝐵=
𝑛−1
𝑛(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) =
𝑛−1
𝑛(180°−60°) =
(𝑛−1)×180°
𝑛
−
(𝑛−1)×60°
𝑛
；
∴∠𝐵𝑂𝑛−1𝐶= 180°−(∠𝑂𝑛−1𝐵𝐶+ ∠𝑂𝑛−1𝐶𝐵) = 180°−(𝑛−1)×180°
𝑛
−
(𝑛−1)×60°
𝑛
=
(𝑛−1)×60°
𝑛
+
180°
𝑛= 60° +
120°
𝑛．
故答案为：60° +
120°
𝑛．
【题型6 双外角平分线模型】
【例6】如图，∠𝐴𝐵𝐷和∠𝐴𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的外角，𝐵𝐹和𝐶𝐺分别是∠𝐴𝐵𝐷和∠𝐴𝐶𝐸的角平分线，延长𝐹𝐵和𝐺𝐶交
于点𝐻．设∠𝐴= 𝛼，∠𝐻= 𝛽，则𝛼与𝛽之间的数量关系为
．
【答案】90°−
1
2𝛼
【分析】本题考查了三角形外角性质，角平分线的定义，对顶角的性质，三角形内角和定理，由三角形外
角性质可得∠𝐴𝐵𝐷= 𝛼+ ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐸= 𝛼+ ∠𝐴𝐵𝐶，由角平分线定义得∠𝐷𝐵𝐹=
1
2∠𝐴𝐵𝐷=
1
2(𝛼+ ∠𝐴𝐶𝐵)，
∠𝐸𝐶𝐺=
1
2∠𝐴𝐶𝐸=
1
2(𝛼+ ∠𝐴𝐵𝐶)，进而得∠𝐶𝐵𝐻= ∠𝐷𝐵𝐹=
1
2(𝛼+ ∠𝐴𝐶𝐵)，∠𝐵𝐶𝐻= ∠𝐸𝐶𝐺=
1
2(𝛼+ ∠𝐴𝐵𝐶)，再
根据三角形内角和定理可得
1
2(𝛼+ ∠𝐴𝐶𝐵) +
1
2(𝛼+ ∠𝐴𝐵𝐶) +𝛽= 180°，即可得到𝛼+ 𝛽+
1
2(180°−𝛼) = 180°，
进而即可求解，掌握三角形外角性质是解题的关键．
【详解】解：由三角形外角性质可得，∠𝐴𝐵𝐷= 𝛼+ ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐸= 𝛼+ ∠𝐴𝐵𝐶，
∵𝐵𝐹和𝐶𝐺分别是∠𝐴𝐵𝐷和∠𝐴𝐶𝐸的角平分线，
∴∠𝐷𝐵𝐹=
1
2∠𝐴𝐵𝐷=
1
2(𝛼+ ∠𝐴𝐶𝐵)，∠𝐸𝐶𝐺=
1
2∠𝐴𝐶𝐸=
1
2(𝛼+ ∠𝐴𝐵𝐶)，
∴∠𝐶𝐵𝐻= ∠𝐷𝐵𝐹=
1
2(𝛼+ ∠𝐴𝐶𝐵)，∠𝐵𝐶𝐻= ∠𝐸𝐶𝐺=
1
2(𝛼+ ∠𝐴𝐵𝐶)，
∵∠𝐶𝐵𝐻+ ∠𝐵𝐶𝐻+ ∠𝐻= 180°，
∴
1
2(𝛼+ ∠𝐴𝐶𝐵) +
1
2(𝛼+ ∠𝐴𝐵𝐶) +𝛽= 180°，
∴𝛼+ 𝛽+
1
2(∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶) = 180°，
∴𝛼+ 𝛽+
1
2(180°−𝛼) = 180°，
即𝛽= 90°−
1
2𝛼，
故答案为：90°−
1
2𝛼．
【变式6-1】在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶的平分线与∠𝐴𝐶𝐵的平分线相交于点P．∠𝐴𝐵𝐶的外角平分线与∠𝐴𝐶𝐵的外角
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平分线相交于点Q，当∠𝑄= 65°，则∠𝐵𝑃𝐶= °；
【答案】115
【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，准确识图，熟练掌握三角形的内角和
定理，三角形的外角性质是解决问题的关键．
由三角形内角和定理得
∠𝑄𝐵𝐶+ ∠𝑄𝐶𝐵= 180°−∠𝑄= 115°,∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴,∠𝐵𝑃𝐶= 180°−(∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐵𝐶)，根据角平分
线定义得∠𝐸𝐵𝐶= 2∠𝑄𝐵𝐶,∠𝐹𝐶𝐵= 2∠𝑄𝐶𝐵，则∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐹𝐶𝐵= 2(∠𝑄𝐵𝐶+ ∠𝑄𝐶𝐵) = 230°，再根据三角形外
角性质得∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵,∠𝐹𝐶𝐵= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶，则∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐹𝐶𝐵= 2∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵
= 180° + ∠𝐴，由此得180° + ∠𝐴= 230°，则∠𝐴= 50°，然后根据∠𝐴𝐵𝐶的平分线与∠𝐴𝐶𝐵的平分线相交于点
𝑃．得∠𝑃𝐵 𝐶+ ∠𝑃𝐵𝐶=
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 65°，据此可得∠𝐵𝑃𝐶的度数．
【详解】解：∵∠𝑄= 65°，
∴∠𝑄𝐵𝐶+ ∠𝑄𝐶𝐵= 180°−∠𝑄= 115°,∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴，∠𝐵𝑃𝐶= 180°−(∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐵𝐶)，
∵∠𝐴𝐵𝐶的平分线与∠𝐴𝐶𝐵的平分线相交于点𝑃，
∴∠𝐸𝐵𝐶= 2∠𝑄𝐵𝐶,∠𝐹𝐶𝐵= 2∠𝑄𝐶𝐵，
∴∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐹𝐶𝐵= 2(∠𝑄𝐵𝐶+ ∠𝑄𝐶𝐵) = 2 × 115° = 230°，
由三角形外角性质得：∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵,∠𝐹𝐶𝐵= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐹𝐶𝐵= 2∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴+ 180°−∠𝐴= 180° + ∠𝐴，
∴180° + ∠𝐴= 230°，
∴∠𝐴= 50°，
∵∠𝐴𝐵𝐶的平分线与∠𝐴𝐶𝐵的平分线相交于点𝑃，
∴∠𝑃𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶,∠𝑃𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐵𝐶=
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) =
1
2(180°−∠𝐴) = 90°−
1
2∠𝐴= 65°，
∴∠𝐵𝑃𝐶= 180°−(∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐵𝐶) = 180°−65° = 115°，
故答案为：115．
【变式6-2】如图，𝐸𝐺，𝐹𝐺分别是∠𝑀𝐸𝐹和∠𝑁𝐹𝐸的角平分线，交点是𝐺，𝐵𝑃，𝐶𝑃分别是∠𝑀𝐵𝐶和∠𝑁𝐶𝐵的
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角平分线，交点是𝑃，𝐹，𝐶在𝐴𝑁上，𝐵，𝐸在𝐴𝑀上，若∠𝐺= 69°，那么∠𝑃=
．
【答案】69°/69 度
【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理用∠𝐴表示∠𝐺和∠𝑃, 得到∠𝐺和∠𝑃的关系,得到答案.
【详解】解：∵𝐸𝐺、𝐹𝐺分别是∠𝑀𝐸𝐹和∠𝑁𝐹𝐸的平分线，
∴∠𝐺𝐹𝐸=
1
2∠𝑁𝐹𝐸, ∠𝑄𝐸𝐹=
1
2∠𝑀𝐸𝐹,
∴∠𝐺= 180°−
1
2∠𝑁𝐹𝐸−
1
2∠𝑀𝐸𝐹= 180°−
1
2(∠𝑁𝐹𝐸+ ∠𝑀𝐸𝐹)
= 180°−
1
2(360°−∠𝐴𝐹𝐸−∠𝐴𝐸𝐹) = 180°−
1
2(180° + ∠𝐴) = 90°−
1
2∠𝐴= 69°,
同理， ∠𝑃= 90°−
1
2∠𝐴= 69°.
故答案为:69°.
【变式6-3】如图，𝐴𝐷，𝐵𝐷分别是△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐵𝐴𝐹，∠𝐴𝐵𝐺的角平分线；𝐴𝐸，𝐵𝐸分别是∠𝐷𝐴𝐵，∠𝐴𝐵𝐷
的角平分线；𝐴𝑀，𝐵𝑁分别是∠𝐹𝐴𝐷，∠𝐷𝐵𝐺的角平分线．当∠𝐶= （ ）时，𝐴𝑀∥𝐵𝑁．
A．45°
B．50°
C．60°
D．120°
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义得出∠𝐹𝐴𝑀= ∠𝐷𝐴𝑀= ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸，根据平角为180°可得∠𝐹𝐴𝑀=
1
4
(180°−∠𝐶𝐴𝐵)，从而得出∠𝑀𝐴𝐵=
3
4(180°−∠𝐶𝐴𝐵)，同理可得∠𝑁𝐵𝐴=
3
4(180°−∠𝐶𝐵𝐴)，然后根据两直线平
行同旁内角互补得出∠𝑀𝐴𝐵+ ∠𝑁𝐵𝐴= 180°，代入整理得出∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐴= 120°，最后根据三角形内角和
即可得出答案．
【详解】∵ 𝐴𝐷，𝐵𝐷分别是△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐵𝐴𝐹，∠𝐴𝐵𝐺的角平分线
∴∠𝐹𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐺𝐵𝐷= ∠𝐴𝐵𝐷
∵ 𝐴𝑀，𝐴𝐸分别是∠𝐹𝐴𝐷，∠𝐷𝐴𝐵的角平分线
∴∠𝐹𝐴𝑀= ∠𝐷𝐴𝑀=
1
2∠𝐹𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸=
1
2∠𝐵𝐴𝐷
∴∠𝐹𝐴𝑀= ∠𝐷𝐴𝑀= ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸
∵∠𝐹𝐴𝑀+ ∠𝐷𝐴𝑀+ ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐵= 180°
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∴∠𝐹𝐴𝑀= 1
4 (180°−∠𝐶𝐴𝐵)
∴∠𝑀𝐴𝐵= 3∠𝐹𝐴𝑀= 3
4 (180°−∠𝐶𝐴𝐵)
同理，由于𝐵𝑁、𝐵𝐸分别是∠𝐷𝐵𝐺、∠𝐴𝐵𝐷的角平分线
∴∠𝐺𝐵𝑁= ∠𝐷𝐵𝑁=
1
2∠𝐷𝐵𝐺，∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐷𝐵𝐸=
1
2∠𝐴𝐵𝐷
∵∠𝐷𝐵𝐺= ∠𝐴𝐵𝐷
∴∠𝐺𝐵𝑁= ∠𝐷𝐵𝑁= ∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐷𝐵𝐸
∵∠𝐺𝐵𝑁+ ∠𝐷𝐵𝑁+ ∠𝐷𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐴= 180°
∴∠𝐺𝐵𝑁= 1
4 (180°−∠𝐶𝐵𝐴)
∴∠𝑁𝐵𝐴= 3∠𝐺𝐵𝑁= 3
4 (180°−∠𝐶𝐵𝐴)
假设𝐴𝑀∥𝐵𝑁，根据两直线平行，同旁内角互补得∠𝑀𝐴𝐵+ ∠𝑁𝐵𝐴= 180°
即
3
4(180°−∠𝐶𝐴𝐵) +
3
4(180°−∠𝐶𝐵𝐴) = 180°
整理得，∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐴= 120°
∴∠𝐶= 180°−(∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐴) = 60°
故选C．
【题型7 内外角平分线模型】
【例7】如图，点D 为△𝐴𝐵𝐶边𝐵𝐶的延长线上一点，若∠𝐴:∠𝐴𝐵𝐶= 3:4，∠𝐴𝐶𝐷= 140°，∠𝐴𝐵𝐶的角平分线
与∠𝐴𝐶𝐷的角平分线交于点M，则∠𝑀=
度．
【答案】30
【分析】本题考查了三角形的外角定理，与角平分线有关的计算．解题的关键是掌握三角形的一个外角等
于与它不相邻的两个内角之和，以及角平分线的定义．
先根据∠𝐴:∠𝐴𝐵𝐶= 3:4，∠𝐴𝐶𝐷= 140°，求出∠𝐴𝐵𝐶= 80°，进而得出∠𝐶𝐵𝑀=
1
2∠𝐴𝐵𝐶= 40°,∠𝐶𝐷𝑀=
1
2
∠𝐴𝐶𝐷= 70°，最后根据三角形的外角定理即可解答．
【详解】解：∵∠𝐴𝐶𝐷= 140°，
∴∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶= 140°
∵∠𝐴:∠𝐴𝐵𝐶= 3:4，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 140° ×
4
3+4 = 80°，
∵𝐵𝑀平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑀平分∠𝐴𝐶𝐷，
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∴∠𝐶𝐵𝑀=
1
2∠𝐴𝐵𝐶= 40°,∠𝐶𝐷𝑀=
1
2∠𝐴𝐶𝐷= 70°，
∴∠𝑀= ∠𝐷𝐶𝑀−∠𝐶𝐵𝑀= 30°，
故答案为：30．
【变式7-1】如图，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，𝐴𝐷、𝐵𝐷、𝐶𝐷分别平分∠𝐸𝐴𝐶、∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐹．以下结论：①𝐴𝐷∥𝐵𝐶；
②∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴𝐷𝐵；③𝐷𝐵平分∠𝐴𝐷𝐶；④∠𝐴𝐷𝐶= 90°−∠𝐴𝐵𝐷．其中正确的结论有
．（填序号）
【答案】①②④
【分析】证明∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶，由三角形外角得∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶，且∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，得出∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶，
再由平行线的判定即可判断出①是否正确；由𝐴𝐷∥𝐵𝐶，得出∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶，再由𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，所以
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐴𝐷𝐵，进而可判断出②是否正确；假设𝐷𝐵平分∠𝐴𝐷𝐶，推出与题干不符的结论，
进而可判断出③是否正确，由∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= 180°，利用角的关系得
∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶+ 2∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶= 2∠𝐴𝐷𝐶+ 2∠𝐴𝐵𝐷= 180°，进而可判断出④是否正确；
【详解】解：①∵𝐴𝐷平分△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐸𝐴𝐶，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐷𝐴𝐶，
∵∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶，且∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶，
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶，故①正确；
②由（1）可知𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐴𝐷𝐵，
∵∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴𝐷𝐵，故②正确；
③若𝐷𝐵平分∠𝐴𝐷𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶𝐷𝐵，
∵∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐷𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶，与题干条件矛盾．故③错误.
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④在△𝐴𝐷𝐶中，∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= 180°，
∵𝐶𝐷平分△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐴𝐶𝐹，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐷𝐶𝐹，
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐷𝐶𝐹，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐴𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶+ 2∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶= 2∠𝐴𝐷𝐶+ 2∠𝐴𝐵𝐷= 180°，
∴∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°−∠𝐴𝐵𝐷，故④正确；
故答案为：①②④
【变式7-2】如图，点𝐵、𝐶分别在𝐴𝑀、𝐴𝑁上运动（不与𝐴重合），𝐶𝐷是∠𝐵𝐶𝑁的平分线，𝐶𝐷的反向延长线
交∠𝐴𝐵𝐶的平分线于点𝑃．知道下列哪个条件①∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵；②∠𝐴；③∠𝑁𝐶𝐷−∠𝐴𝐵𝑃；④∠𝐴𝐵𝐶的值，
不能求∠𝑃大小的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】D
【分析】本题考查三角形外角的性质与内角和定理，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得
∠𝑃= ∠𝑁𝐶𝐷−∠𝐴𝐵𝑃，可判断③，再利用三角形外角的性质得到∠𝐴= ∠𝑁𝐶𝐵−∠𝐴𝐵𝐶，等量代换可判断②，
根据三角形内角和定理及等量代换可判断①和④，即可求解．
【详解】解：∵𝐶𝐷是∠𝐵𝐶𝑁的平分线，𝐶𝐷的反向延长线交∠𝐴𝐵𝐶的平分线于点𝑃，
∴∠𝑁𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐶𝐵𝑃，
∵∠𝑃= ∠𝐷𝐶𝐵−∠𝐶𝐵𝑃，
∴∠𝑃= ∠𝑁𝐶𝐷−∠𝐴𝐵𝑃，
∴③能求出∠𝑃的大小；
∵∠𝐴= ∠𝑁𝐶𝐵−∠𝐴𝐵𝐶= 2(∠𝑁𝐶𝐷−∠𝐴𝐵𝑃)，∠𝑃= ∠𝑁𝐶𝐷−∠𝐴𝐵𝑃
∴∠𝑃=
1
2∠𝐴，
∴②能求出∠𝑃的大小；
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴，
∴∠𝐴= 180°−(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)
∵∠𝑃=
1
2∠𝐴，
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∴∠𝑃=
1
2[180°−(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)] = 90°−
1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)，
∴①能求出∠𝑃的大小，④不能求出∠𝑃的大小；
故选：D．
【变式7-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 48°，△𝐴𝐵𝐶的内角∠𝐴𝐵𝐶与外角∠𝐴𝐶𝐷的平分线相交于点𝐴1，得到
∠𝐴1；∠𝐴1𝐵𝐶与∠𝐴1𝐶𝐷的平分线相交于点𝐴2，得到∠𝐴2；……按此规律继续下去，∠𝐴𝑛−1𝐵𝐶与∠𝐴𝑛−1𝐶𝐷的平
分线相交于点𝐴𝑛，要使∠𝐴𝑛的度数为整数，则𝑛的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的内角和，三角形的外角定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和
是解题的关键．先根据外角和定理得出∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴，再根据题意总结出规律，∠𝐴𝑛= (
1
2 )
𝑛∠𝐴即可
得到答案．
【详解】解：∵∠𝐴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的一个外角，
∴ ∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴，
∵ △𝐴𝐵𝐶的内角∠𝐴𝐵𝐶与外角∠𝐴𝐶𝐷的平分线相交于点𝐴1，得到∠𝐴1；∠𝐴1𝐵𝐶与∠𝐴1𝐶𝐷的平分线相交于点
𝐴2，
∴∠𝐴1𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴1𝐶𝐴=
1
2∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐴1 = 180°−∠𝐴1𝐵𝐶−∠𝐴1𝐶𝐵
= 180°−1
2 ∠𝐴𝐵𝐶−(∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴1𝐶𝐴)
= 180°−1
2 ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐶𝐵−1
2 ∠𝐴𝐶𝐷
= 180°−1
2 ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐶𝐵−1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴)
= 180°−∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐶𝐵−1
2 ∠𝐴
= ∠𝐴−1
2 ∠𝐴
=
1
2∠𝐴，
同理可得，∠𝐴2 =
1
2∠𝐴1 = (
1
2 )
2∠𝐴，
∠𝐴3 =
1
2∠𝐴2 = (
1
2 )
3∠𝐴，
......
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∠𝐴𝑛= (
1
2 )
𝑛∠𝐴，
∵∠𝐴= 48°，
∴∠𝐴𝑛= (
1
2 )
𝑛× 48°，
∵∠𝐴𝑛的度数为整数，48 = 3 × 24，
∴𝑛的最大值为4．
故选B．
过关测·稳提升
1．如图，已知在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 40°，现将一块直角三角板放在△𝐴𝐵𝐶上，使三角板的两条直角边分别经
过点𝐵,𝐶，直角顶点D 落在△𝐴𝐵𝐶的内部，则∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= （ ）．
A．90°
B．60°
C．50°
D．40°
【答案】C
【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明
∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．
【详解】解：∵在△ABC 中，∠A=40°
∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°
∵在△DBC 中，∠BDC=90°
∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= 40°-90°=50°
故选C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．
2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷．∠𝐴𝐵𝐷的角平分线𝐵𝐹所在直线与射线𝐴𝐸相交于点
𝐺，若∠𝐴𝐵𝐶= 3∠𝐶，且∠𝐺= 20°，则∠𝐷𝐹𝐵的度数为( )
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A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
【答案】C
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，由题意𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐷，推
出∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸，∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐷𝐵𝐹，设∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸= 𝑥，设∠𝐶= 𝑦，∠𝐴𝐵𝐶= 3𝑦，用含𝑥和𝑦的代数式表示
∠𝐴𝐵𝐹和∠𝐷𝐵𝐹即可解决问题．
【详解】解：如图：
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐷，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸，∠1 = ∠2，
设∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐸= 𝑥，∠𝐶= 𝑦，∠𝐴𝐵𝐶= 3𝑦，
由外角的性质得：
∠1 = ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐺= 𝑥+ 20°，∠2 =
1
2∠𝐴𝐵𝐷=
1
2 (2𝑥+ 𝑦) = 𝑥+
1
2𝑦，
∴𝑥+ 20° = 𝑥+
1
2𝑦，解得𝑦= 40°，
∴∠1 = ∠2 =
1
2 (180°−∠𝐴𝐵𝐶) =
1
2 × (180°−120°) = 30°，
∴∠𝐷𝐹𝐵= 60°．
故选：C．
3．如图，已知∠𝐴= 60°,∠𝐵= 40°,∠𝐶= 30°，则∠𝐷+ ∠𝐸等于（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【答案】C
【分析】此题考查了三角形内角和定理．连接𝐵𝐶．设𝐷𝐶与𝐵𝐸交于点𝐹，由三角形内角定理求出
∠1 + ∠2 = 50°．再由三角形内角和定理和对顶角相等即可求出∠𝐷+ ∠𝐸= ∠1 + ∠2 = 50°．
【详解】如图，连接𝐵𝐶．设𝐷𝐶与𝐵𝐸交于点𝐹，
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∵∠𝐴= 60°,∠𝐴𝐵𝐸= 40°,∠𝐴𝐶𝐷= 30°，
∴∠1 + ∠2 = 180°−∠𝐴−∠𝐴𝐵𝐸−∠𝐴𝐶𝐷= 180°−60°−40°−30° = 50°．
∵∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐷𝐹𝐸= 180°，∠1 + ∠2 + ∠𝐵𝐹𝐶= 180°，∠𝐵𝐹𝐶= ∠𝐷𝐹𝐸,
∴∠𝐷+ ∠𝐸= ∠1 + ∠2 = 50°，
故选：C．
4．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠𝐶= ∠𝐹= 90°，∠𝐷= 30°，则∠𝛼+ ∠𝛽等于（ ）
A．180°
B．210°
C．360°
D．270°
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形外角的性质，三角形内角和定理，对顶角，掌握三角形的一个外角等于和它
不相邻的两个内角的和是解题的关键．
根据三角形的外角的性质分别表示出∠𝛼和∠𝛽，计算即可．
【详解】解：如图，
∵∠𝛼= ∠1 + ∠𝐷，∠𝛽= ∠4 + ∠𝐹，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4
∴∠𝛼+ ∠𝛽= ∠1 + ∠𝐷+ ∠4 + ∠𝐹
= ∠2 + ∠𝐷+ ∠3 + ∠𝐹
∵∠𝐶= 90°，
∴∠2 + ∠3 = 90°，
∵∠𝐹= 90°
∴∠𝛼+ ∠𝛽= 90° + 30° + 90°
= 210°，
故选：B．
5．在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，∠𝐶= 22°，点D 为𝐴𝐶边上靠近点C 处一定点，点E 为𝐵𝐶边上一动点，
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沿𝐷𝐸折叠三角形纸片，点C 落在点𝐶′处．有以下四个结论：
①如图1，当点𝐶′落在BC 边上时，∠𝐴𝐷𝐶′ = 44°；
②如图2，当点𝐶′落在△ABC 内部时，∠𝐴𝐷𝐶′ +∠𝐵𝐸𝐶′ = 44°；
③如图3，当点𝐶′落在△ABC 上方时，∠𝐵𝐸𝐶′−∠𝐴𝐷𝐶′ = 44°；
④当𝐶′𝐸∥𝐴𝐵时，∠𝐶𝐷𝐸= 34°或∠𝐶𝐷𝐸= 124°，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和及平行线的性质，掌握折叠的性质是
解题的关键．由折叠的性质及三角形外角的性质、三角形内角和可判断①②③；分点𝐶′落在△ABC 上方与
下方两种情况，由平行线的性质、折叠的性质、三角形外角的性质与三角形内角和即可判断④．
【详解】解：当点𝐶′落在BC 边上时，
由折叠性质得：𝐶𝐷= 𝐶′𝐷，
则∠𝐷𝐶′𝐶= ∠𝐶= 22°，
∴∠𝐴𝐷𝐶′ = ∠𝐷𝐶′𝐶+ ∠𝐶= 44°，
故①正确；
当点𝐶′落在△ABC 内部时，
由折叠性质得：∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐶′𝐷𝐸，∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐶′𝐸𝐷，
又∠𝐶𝐷𝐸+ ∠𝐶𝐸𝐷= 180°−∠𝐶，
∵∠𝐴𝐷𝐶′ = 180°−∠𝐶′𝐷𝐸−∠𝐶𝐷𝐸= 180°−2∠𝐶𝐷𝐸，
∠𝐵𝐸𝐶′ = 180°−∠𝐶′𝐸𝐷−∠𝐶𝐸𝐷= 180°−2∠𝐶𝐸𝐷，
∴∠𝐴𝐷𝐶′ + ∠𝐵𝐸𝐶′ = 180°−2∠𝐶𝐷𝐸+ 180°−2∠𝐶𝐸𝐷
= 360°−2(∠𝐶𝐷𝐸+ ∠𝐶𝐸𝐷)
= 360°−2(180°−∠𝐶)
= 2∠𝐶
= 44°；
故②正确；
当点𝐶′落在△ABC 上方时，
由折叠性质得：∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐶′𝐷𝐸，∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐶′𝐸𝐷，
又∠𝐶𝐷𝐸+ ∠𝐶𝐸𝐷= 180°−∠𝐶，
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∵∠𝐴𝐷𝐶′ = ∠𝐶′𝐷𝐸+ ∠𝐶𝐷𝐸−180° = 2∠𝐶𝐷𝐸−180°，
∠𝐵𝐸𝐶′ = 180°−∠𝐶′𝐸𝐷−∠𝐶𝐸𝐷= 180°−2∠𝐶𝐸𝐷，
∴∠𝐵𝐸𝐶′−∠𝐴𝐷𝐶′ = 180°−2∠𝐶𝐸𝐷+ 180°−2∠𝐶𝐷𝐸
= 360°−2(∠𝐶𝐸𝐷+ ∠𝐶𝐷𝐸)
= 360°−2(180°−∠𝐶)
= 2∠𝐶
= 44°；
即∠𝐵𝐸𝐶′−∠𝐴𝐷𝐶′ = 44°；
故③正确；
当𝐶′𝐸∥𝐴𝐵时，
若点𝐶′在𝐴𝐶下方，如图，
∵𝐶′𝐸∥𝐴𝐵，
∴∠𝐶′𝐸𝐵= ∠𝐵= 90°−∠𝐶= 68°；
由折叠性质得：∠𝐶′𝐸𝐷= ∠𝐶𝐸𝐷，
即∠𝐶′𝐸𝐵+ ∠𝐷𝐸𝐵= 180°−∠𝐶−∠𝐶𝐷𝐸；
而∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐶+ ∠𝐶𝐷𝐸，
∴∠𝐶′𝐸𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐶𝐷𝐸= 180°−∠𝐶−∠𝐶𝐷𝐸，
∴∠𝐶′𝐸𝐵= 180°−2∠𝐶−2∠𝐶𝐷𝐸，
即∠𝐶𝐷𝐸= 34°；
若点𝐶′在𝐴𝐶上方，如图，
∵𝐶′𝐸∥𝐴𝐵，
∴∠𝐶′𝐸𝐶= ∠𝐵= 90°−∠𝐶= 68°；
由折叠性质得：∠𝐶′𝐸𝐷= ∠𝐶𝐸𝐷，
∴∠𝐶𝐸𝐷=
1
2∠𝐶′𝐸𝐷= 34°，
∴∠𝐶𝐷𝐸= 180°−∠𝐶−∠𝐶𝐸𝐷= 124°
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综上，∠𝐶𝐷𝐸= 34°或∠𝐶𝐷𝐸= 124°；
故④正确．
故选：D．
6．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D、E 分别在边𝐴𝐵、𝐴𝐶上，如果∠𝐴= 60°，那么∠1 + ∠2的大小为
．
【答案】240°/240 度
【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，补角的计算，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根
据三角形内角和的性质可得∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸= 120°，再根据平角的定义，即可求得答案．
【详解】∵∠𝐴= 60°
∴∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸= 180°−∠𝐴= 180°−60° = 120°
∵∠𝐴𝐸𝐷= 180°−∠1，∠𝐴𝐷𝐸= 180°−∠2
∴180°−∠1 + 180°−∠2 = 120°
∴∠1 + ∠2 = 240°．
故答案为：240°．
7．如图，𝐴𝐷，𝐶𝐸都是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，且交于点𝑂，∠𝐷𝐴𝐶= 30°，∠𝐸𝐶𝐴= 35°，则∠𝐴𝐵𝑂的度数为
．
【答案】25°/25 度
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线，利用角平分线的定义结合三角形内角和定理找出∠𝐴𝐵𝑂
的度数是解题的关键．根据角平分线的定义可得出∠𝐵𝐴𝐶= 60°、∠𝐴𝐶𝐵= 70°，结合三角形内角和可得出
∠𝐴𝐵𝐶= 50°，由三角形的三条角平分线交于一点，可得出𝐵𝑂平分∠𝐴𝐵𝐶，进而可得出∠𝐴𝐵𝑂的度数，此题得
解．
【详解】解：∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐷𝐴𝐶= 30°，∠𝐸𝐶𝐴= 35°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐷𝐴𝐶= 60°，∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐸𝐶𝐴= 70°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 180°−∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐴𝐶𝐵= 50°．
∵△𝐴𝐵𝐶的三条角平分线交于一点，
∴𝐵𝑂平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝑂=
1
2∠𝐴𝐵𝐶= 25°．
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故答案为：25°．
8．如图，四边形𝐴𝐵𝑂𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐵𝑂𝐶的角平分线相交于点P，若∠𝐵= 16°,∠𝐶= 42°，则∠𝑃=
°．
【答案】13
【分析】延长𝐶𝑂交𝐴𝐵于点D，𝐶𝑂与𝐴𝑃交于点E，根据三角形外角性质和三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：延长𝐶𝑂交𝐴𝐵于点D，𝐶𝑂与𝐴𝑃交于点E，
根据三角形的外角的性质，
∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐶，∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶+ ∠𝐵，
∵∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐵𝑂𝐶的角平分线相交于点P，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝑃𝐴𝐶,∠𝐵𝑂𝐶= 2∠𝑃𝑂𝐶，
∴∠𝑃𝑂𝐶= ∠𝑃𝐴𝐶+
∠𝐵+∠𝐶
2
，
根据三角形的内角和定理，
∠𝑃𝑂𝐶+ ∠𝑃= ∠𝑃𝐴𝐶+ ∠𝐶，
∴∠𝑃+ ∠𝑃𝐴𝐶+
∠𝐵+∠𝐶
2
= ∠𝐶+ ∠𝑃𝐴𝐶，
∴∠𝑃=
∠𝐶−∠𝐵
2
，
∵∠𝐵= 16°,∠𝐶= 42°，
所以∠𝑃=
42°−16°
2
= 13°，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了角的平分线计算，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握外角性质和角的平
分线的意义是解题的关键．
9．如图，∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹= 度．
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【答案】360
【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角可得外围六个角的和等于三个三角形的内角和减
去一个三角形的内角和，由此即可求解．
【详解】解：如图：
由三角形内角和定理可得：
∠𝐵+ ∠𝐴+ ∠𝐴𝐺𝐵= 180°，
∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐶𝐻𝐷= 180°，
∠𝐸+ ∠𝐹+ ∠𝐸𝑀𝐹= 180°,
∠𝐻𝐺𝑀+ ∠𝐺𝐻𝑀+ ∠𝐻𝑀𝐺= 180°，
又∵∠𝐴𝐺𝐵= ∠𝐻𝐺𝑀，∠𝐶𝐻𝐷= ∠𝐺𝐻𝑀，∠𝐸𝑀𝐹= ∠𝐺𝑀𝐻，
∴∠𝐴𝐺𝐵+ ∠𝐶𝐻𝐷+ ∠𝐸𝑀𝐹= 180°，
∵∠𝐵+ ∠𝐴+ ∠𝐴𝐺𝐵= 180°，
∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐶𝐻𝐷= 180°，
∠𝐸+ ∠𝐹+ ∠𝐸𝑀𝐹= 180°,
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹= 540°−(∠𝐴𝐺𝐵+ ∠𝐶𝐻𝐷+ ∠𝐸𝑀𝐹) = 360°
故答案为：360．
10．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，𝐴𝐸，𝐵𝐹分别是∠𝐵𝐴𝐶和∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，它们相交于点𝑂，
∠𝐴𝑂𝐵= 125°．求∠𝐶𝐴𝐷的度数．
【答案】∠𝐶𝐴𝐷= 20°．
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【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，以及余角的性质，解题的关键是熟练掌握所
学的知识，正确求出∠𝐶= 70°，从而求出答案．
根据角平分线的性质，由∠𝐴𝑂𝐵= 125°，得到∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐴= 110°，然后得到∠𝐶，由余角的性质，即可求
出答案．
【详解】解：∵𝐴𝐸，𝐵𝐹分别是∠𝐵𝐴𝐶和∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝑂𝐴𝐵=
1
2∠𝐵𝐴𝐶，∠𝑂𝐵𝐴=
1
2∠𝐴𝐵𝐶．
∴∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐴= 2(∠𝑂𝐴𝐵+ ∠𝑂𝐵𝐴) = 2(180°−∠𝐴𝑂𝐵)
∵∠𝐴𝑂𝐵= 125°，
∴∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐴= 110°，
∴∠𝐶= 70°．
∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 20°．
11．（1）如图1，这是一个五角星𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸，求∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸的度数．
（2）如图2，如果点B 向右移动到𝐴𝐶上，直接写出∠𝐴+ ∠𝐷𝐵𝐸+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸的度数．
（3）如图3，当点B 向右移动到𝐴𝐶的另一侧时，直接写出∠𝐴+ ∠𝐷𝐵𝐸+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸的度数．
（4）如图4，求∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹的度数．
【答案】（1）180° （2）180° （3）180° （4）360°
【分析】本题考查的是三角形内角和定理及三角形内角与外角的关系，解答此类题目时利用三角形内角与
外角的关系把多个角划到同一个三角形中，再利用三角形内角和定理解答即可．
（1）先根据三角形外角的性质得出∠𝐶+ ∠𝐸= ∠𝐴𝑀𝑁，∠𝐵+ ∠𝐷= ∠𝐴𝑁𝑀，再由三角形内角和定理即可得
出结论；
（2）先根据三角形外角的性质得出∠𝐶+ ∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐴𝑀𝐸，∠𝐵+ ∠𝐷= ∠𝐴𝐸𝑀，再由三角形内角和定理即可
得出结论；
（3）延长𝐸𝐵交𝐴𝐶于点𝑁，再根据三角形外角的性质得出∠𝐶+ ∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐴𝑁𝐸，∠𝐵+ ∠𝐷= ∠𝐴𝑁𝑀，再由三
角形内角和定理即可得出结论；
（4）连接𝐵𝐶，利用三角形内角和定理结合四边形内角和定理求解即可．
【详解】解：（1）如图，
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∵∠𝐴𝑀𝑁是△𝐶𝐸𝑀的外角，
∴∠𝐶+ ∠𝐸= ∠𝐴𝑀𝑁．
∵∠𝐴𝑁𝑀是△𝐵𝐷𝑁的外角，
∴∠𝐵+ ∠𝐷= ∠𝐴𝑁𝑀．
∵∠𝐴+ ∠𝐴𝑀𝑁+ ∠𝐴𝑁𝑀= 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸= 180°；
（2）如图，
∵∠𝐴𝑀𝐵是△𝐵𝐷𝑀的外角，
∴∠𝐷𝐵𝑀+ ∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝑀𝐵．
∵∠𝐴𝐵𝑀是Δ𝐵𝐶𝐸的外角，
∴∠𝐶+ ∠𝐸= ∠𝐴𝐵𝑀．
∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝑀+ ∠𝐴𝑀𝐵= 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐸+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐷𝐵𝐸= 180°；
（3）如图，延长𝐸𝐵交𝐴𝐶于点𝑁，
∵∠𝐴𝑀𝑁是△𝐵𝐷𝑀的外角，
∴∠𝐷𝐵𝐸+ ∠𝐷= ∠𝐴𝑀𝑁．
∵∠𝐴𝑁𝑀是△𝐶𝑁𝐸的外角，
∴∠𝐶+ ∠𝐸= ∠𝐴𝑁𝑀，
∵∠𝐴+ ∠𝐴𝑁𝑀+ ∠𝐴𝑀𝑁= 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐷𝐵𝐸+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸= 180°；
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（4）如图，连接𝐵𝐶，
则∠𝐹𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐸+ ∠𝐹，
∴∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐹+ ∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹
= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐹+ ∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐷+ ∠𝐹𝐵𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐵
= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐷
= 360°．
12．我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，𝐴𝐷，𝐵𝐶相交于点𝑂，连接𝐴𝐵，
𝐶𝐷得到“8”字图形𝐴𝐵𝐷𝐶．
(1)如图1，试说明∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶+ ∠𝐷的理由；
(2)如图2，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐷𝐶的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索∠𝐸与∠𝐴、∠𝐶间的关系；
(3)如图3，点𝐸为𝐶𝐷延长线上一点，𝐵𝑄、𝐷𝑃分别是∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐷𝐸的四等分线，且∠𝐶𝐵𝑄=
1
4∠𝐴𝐵𝐶，
∠𝐸𝐷𝑃=
1
4∠𝐴𝐷𝐸，𝑄𝐵的延长线与𝐷𝑃交于点𝑃，请探索∠𝑃与∠𝐴、∠𝐶的关系．（直接写结论）
【答案】(1)见解析
(2)2∠𝐸= ∠𝐴+ ∠𝐶
(3)∠𝐴+ 3∠𝐶+ 4∠𝑃= 180°
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键；
（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
（2）根据角平分线的定义可得∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸，∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐸，结合（1）的结论可得2∠𝐸= ∠𝐴+ ∠𝐶；
（3）运用（1）和（2）的结论即可求得答案．
【详解】（1）解：如图1，
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∵∠𝐴𝑂𝐵+ ∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷+ ∠𝐶+ ∠𝐷= 180°，∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷，
∴∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶+ ∠𝐷．
（2）解：如图2，
∵∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐷𝐶的平分线相交于点𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸，∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐸，
由（1）可得：∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐸+ ∠𝐴𝐷𝐸，∠𝐶+ ∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐸，
∴∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐶+ ∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐸+ ∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐸，
∴2∠𝐸= ∠𝐴+ ∠𝐶．
（3）由（1）得：∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶+ ∠𝐶𝐷𝐴，
∴
1
4∠𝐴+
1
4∠𝐴𝐵𝐶=
1
4∠𝐶+
1
4∠𝐶𝐷𝐴，
∴
1
4∠𝐴+ ∠𝐶𝐵𝑄=
1
4∠𝐶+ 45°−∠𝐸𝐷𝑃，
设𝐴𝐷与𝑃𝑄的交点为点𝑂，则∠𝐶𝐵𝑄+ ∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶，
两式相减可得：∠𝐵𝑂𝐷−
1
4∠𝐴=
3
4∠𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐸𝐷𝑃−45°，
∴∠𝐵𝑂𝐷−
1
4∠𝐴=
3
4∠𝐶+ 180°−∠𝐴𝐷𝑃−45°，
∴45°−
1
4∠𝐴=
3
4∠𝐶+ 180°−∠𝐴𝐷𝑃−∠𝐵𝑂𝐷，
∵∠𝑃= 180°−∠𝐵𝑂𝐷−∠𝐴𝐷𝑃，
∴45°−
1
4∠𝐴=
3
4∠𝐶+ ∠𝑃，
即∠𝐴+ 3∠𝐶+ 4∠𝑃= 180°．
13．【探究】如图①，试说明∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶；
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【应用】
（1）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，∠𝐴= 28°，∠𝐷= 12°，∠𝐴𝐵𝐶= 64°，∠𝐵𝐶𝐷= 46°，求椅面
和椅背的夹角∠𝐴𝐸𝐷的度数；
（2）如图③，∠𝐴𝐵𝐶= 100°，∠𝐷𝐸𝐹= 130°，求∠𝐴+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐹的度数．
【答案】探究：见解析；应用：（1）110°；（2）230°
【分析】本题侧重考查三角形的外角性质及三角形内角和定理．
探究：连结𝐴𝑂，并延长，如图所示，先由外角的性质得∠𝐵𝐴𝑂+ ∠𝐵= ∠𝐵𝑂𝑀①，∠𝐶𝐴𝑂+ ∠𝐶= ∠𝐶𝑂𝑀②，
再由①+ ②即可得出结论；
应用：（1）先由三角形的内角和求出∠2 = 70°，得到∠1 = ∠2 = 70°，再由探究的结论得到
∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐷+ ∠1，代入求值即可；
（2）连结𝐴𝐷，由探究可知∠𝐹+ ∠𝐹𝐴𝐷+ ∠𝐸𝐷𝐴= ∠𝐷𝐸𝐹，∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶，即可得到
∠𝐹+ ∠𝐹𝐴𝐵+ ∠𝐷+ ∠𝐶𝐷𝐸 = ∠𝐷𝐸𝐹+ ∠𝐴𝐵𝐶= 130° + 100° = 230°，
【详解】探究：
证明：连结𝐴𝑂，并延长，如图所示，
∵∠𝐵𝑂𝑀是△𝐴𝐵𝑂的外角，
∴∠𝐵𝐴𝑂+ ∠𝐵= ∠𝐵𝑂𝑀①，
∵∠𝐶𝑂𝑀是△𝐴𝑂𝐶的外角，
∴∠𝐶𝐴𝑂+ ∠𝐶= ∠𝐶𝑂𝑀②，
①+ ②，得
∠𝐵𝐴𝑂+ ∠𝐵+ ∠𝐶𝐴𝑂+ ∠𝐶= ∠𝐵𝑂𝑀+ ∠𝐶𝑂𝑀，
即∠𝐵𝑂𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵+ ∠𝐶；
应用：
解：（1）∵∠𝐴𝐵𝐶= 64°，∠𝐵𝐶𝐷= 46°，
∴∠2 = 180°−∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐵𝐶𝐷= 180°−64°−46° = 70°，
∴∠1 = ∠2 = 70°，
由探究可知∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐷+ ∠1 = 28° + 12° + 70° = 110°；
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（2）连结𝐴𝐷，如图所示．
由探究可知∠𝐹+ ∠𝐹𝐴𝐷+ ∠𝐸𝐷𝐴= ∠𝐷𝐸𝐹③，
∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶④，
③+ ④，得∠𝐹+ ∠𝐹𝐴𝐷+ ∠𝐸𝐷𝐴+ ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐶
= ∠𝐷𝐸𝐹+ ∠𝐴𝐵𝐶= 130° + 100° = 230°，
∴∠𝐹𝐴𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐸𝐷𝐶+ ∠𝐹= 230°．
14．Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，点D，E 分别是△𝐴𝐵𝐶边𝐴𝐶，𝐵𝐶上的点，点P 是一动点．令∠𝑃𝐷𝐴= ∠1，
∠𝑃𝐸𝐵= ∠2，∠𝐷𝑃𝐸= ∠𝛼．
(1)若点P 在线段𝐴𝐵上，如图1 所示，且∠𝛼= 50°，求∠1 + ∠2的度数．
(2)若点P 在边𝐴𝐵上运动，如图2 所示，则∠𝛼，∠1，∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
(3)若点P 运动到边𝐴𝐵的延长线上，如图3 所示，𝐷𝑃交𝐶𝐵于点M，∠𝛼，∠1，∠2之间的关系为__________．
【答案】(1)∠1 + ∠2的度数为140°；
(2)∠𝛼= ∠1 + ∠2−90°
(3)∠2 + ∠𝛼= ∠1−90°
【分析】（1）由题意知，∠𝐶𝐷𝑃= 180°−∠1，∠𝐶𝐸𝑃= 180°−∠2，由∠𝐶𝐷𝑃+ ∠𝐶+ ∠𝐶𝐸𝑃+ ∠𝛼= 360°，可
得180°−∠1 + 90° + 180°−∠2 + ∠𝛼= 360°，整理得，∠𝛼= ∠1 + ∠2−90°，将∠𝛼= 50°代入，计算求解即可；
（2）由（1）可知，∠𝛼= ∠1 + ∠2−90°；
（3）由题意知，∠𝐸𝑀𝐷= ∠2 + ∠𝛼，∠𝐶𝐷𝑀= 180°−∠1，由∠𝐶𝐷𝑀+ ∠𝐸𝑀𝐷+ ∠𝐶= 180°，可得
180°−∠1 + ∠2 + ∠𝛼+ 90° = 180°，整理即可．
【详解】（1）解：由题意知，∠𝐶𝐷𝑃= 180°−∠1，∠𝐶𝐸𝑃= 180°−∠2，
∵∠𝐶𝐷𝑃+ ∠𝐶+ ∠𝐶𝐸𝑃+ ∠𝛼= 360°，
∴180°−∠1 + 90° + 180°−∠2 + ∠𝛼= 360°，整理得，∠𝛼= ∠1 + ∠2−90°，
∵∠𝛼= 50°，
∴∠1 + ∠2 = 140°，
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∴∠1 + ∠2的度数为140°；
（2）解：∠𝛼= ∠1 + ∠2−90°，理由如下：
由（1）可知，∠𝛼= ∠1 + ∠2−90°；
（3）解：由题意知，∠𝐸𝑀𝐷= ∠2 + ∠𝛼，∠𝐶𝐷𝑀= 180°−∠1，
∵∠𝐶𝐷𝑀+ ∠𝐸𝑀𝐷+ ∠𝐶= 180°，
∴180°−∠1 + ∠2 + ∠𝛼+ 90° = 180°，整理得∠2 + ∠𝛼= ∠1−90°，
故答案为：∠2 + ∠𝛼= ∠1−90°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，四边形内角和．解题的关键在于明确角度之
间的数量关系．
15．如图①，在△𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的平分线相交于点P．
(1)如果∠𝐴= 70°，求∠𝐵𝑃𝐶的度数；
(2)如图②，作△𝐴𝐵𝐶外角∠𝑀𝐵𝐶，∠𝑁𝐶𝐵的角平分线交于点Q，试探索∠𝑄，∠𝐴之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段𝐵𝑃，𝑄𝐶交于点E，在△𝐵𝑄𝐸中，存在一个内角等于另一个内角的3 倍，求∠𝐴的度数．
【答案】(1)125°
(2)∠𝑄= 90°−
1
2∠𝐴
(3)∠𝐴的度数是45°或60°或120°或135°
【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点
及运用分类讨论思想是解题的关键．
（1）在△𝐴𝐵𝐶中，根据三角形内角和定理求出∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 110°，根据角平分线的定义得出∠𝑃𝐵𝐶=
1
2
∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑃𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，求出∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵= 55°，再在△𝐵𝑃𝐶中，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形外角性质得出∠𝑀𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴，∠𝑁𝐶𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴，求出∠𝑀𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵= 180° + ∠𝐴，
根据角平分线的定义得出∠𝑄𝐵𝐶=
1
2∠𝑀𝐵𝐶，∠𝑄𝐶𝐵=
1
2∠𝑁𝐶𝐵，求出∠𝑄𝐵𝐶+ ∠𝑄𝐶𝐵= 90° +
1
2∠𝐴，根据三角形
内角和定理求出即可；
（3）根据角平分线的定义得出∠𝐴𝐶𝐹= 2∠𝐵𝐶𝐹，∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐸𝐵𝐶，根据三角形外角性质得出
∠𝐸𝐶𝐹= ∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸，求出∠𝐴= 2∠𝐸，求出∠𝐸𝐵𝑄= 90°，分为四种情况：①∠𝐸𝐵𝑄= 3∠𝐸= 90°，②
∠𝐸𝐵𝑄= 3∠𝑄，③∠𝑄= 3∠𝐸，④∠𝐸= 3∠𝑄，再求出答案即可．
【详解】（1）∵∠𝐴= 70°，
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∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴= 110°，
∵点𝑃是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线的交点，
∴∠𝑃𝐵𝐶=
1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑃𝐶𝐵=
1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵= 55°，
∴∠𝐵𝑃𝐶= 180°−(∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵) = 125°；
（2）∵∠𝑀𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴，∠𝑁𝐶𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴，
∴∠𝑀𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴= 180° + ∠𝐴，
∵点𝑄是∠𝑀𝐵𝐶和∠𝑁𝐶𝐵的角平分线的交点，
∴∠𝑄𝐵𝐶=
1
2∠𝑀𝐵𝐶，∠𝑄𝐶𝐵=
1
2∠𝑁𝐶𝐵，
∴∠𝑄𝐵𝐶+ ∠𝑄𝐶𝐵=
1
2(∠𝑀𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵) =
1
2(180° + ∠𝐴) = 90° +
1
2∠𝐴，
∴∠𝑄= 180°−(∠𝑄𝐵𝐶+ ∠𝑄𝐶𝐵) = 180°−90° +
1
2 ∠𝐴= 90°−
1
2∠𝐴；
（3）延长𝐵𝐶得射线𝐵𝐹，
∵𝐶𝑄为△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝑁𝐶𝐵的角平分线，
∴∠𝐵𝐶𝑄= ∠𝑁𝐶𝑄，
∵∠𝐵𝐶𝑄= ∠𝐹𝐶𝐸，∠𝑁𝐶𝑄= ∠𝐴𝐶𝐸，
∴∠𝐹𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐸，
∴𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐴𝐶𝐹的平分线，
∴∠𝐴𝐶𝐹= 2∠𝐵𝐶𝐹，
∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐸𝐵𝐶，
∵∠𝐸𝐶𝐹= ∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐸，
∴2∠𝐸𝐶𝐹= 2∠𝐸𝐵𝐶+ 2∠𝐸，
即∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶+ 2∠𝐸，
∵∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴，
∴∠𝐴= 2∠𝐸，
即∠𝐸=
1
2∠𝐴，
∵∠𝐸𝐵𝑄= ∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑄
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= 1
2 ∠𝐴𝐵𝐶+ 1
2 ∠𝑀𝐵𝐶
= 1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵)
= 90°，
如果△𝐵𝑄𝐸中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：
①∠𝐸𝐵𝑄= 3∠𝐸= 90°，则∠𝐸= 30°，∠𝐴= 2∠𝐸= 60°；
②∠𝐸𝐵𝑄= 3∠𝑄，则∠𝑄= 30°，∠𝐸= 60°，∠𝐴= 2∠𝐸= 120°；
③∠𝑄= 3∠𝐸，则∠𝐸= 22.5°，∠𝐴= 2∠𝐸= 45°；
④∠𝐸= 3∠𝑄，则∠𝐸= 67.5°，∠𝐴= 2∠𝐸= 135°，
综合上述，∠𝐴的度数是45°或60°或120°或135°．
