文档文本内容
第01 讲一元二次方程
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 判断是否是一元二次方程
题型2 利用一元二次方程的定义求参数
题型3 一元二次方程的一般形式
题型4 一元二次方程的解求参数的值
题型5 一元二次方程的解求代数式的值
题型6 一元二次方程的解的估算
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
一元二次方程、一般形
式、系数、整式方程、
建模思想
1. 理解一元二次方程的概念，掌握其定义的三要素（整式、一元、二次）。
2. 掌握一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0（a≠0），能准确识别二次项、
一次项、常数项及系数。
3. 理解一元二次方程根（解）的概念，能检验一个数是否为方程的根。
4. 经历由实际问题抽象出一元二次方程模型的过程，体会数学建模思想。
学习重点：一元二次方程的概念及其一般形式（a≠0），能准确识别各项系数。
学习难点：从实际问题中抽象出一元二次方程的数学模型，理解二次项系数a≠0 的意义。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 一元二次方程的概念
定义：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二
次方程．
要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高
次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
【易错提醒】
必须同时满足：整式、一个未知数、最高次数为2、二次项系数a ≠0。缺一不可。
即时即练1．下列方程是一元二次方程的有（
）
①
2
3
0
x
x
；②
2
0
0
ax
bx
c
a
；③
1
3
0
x
x
；④2
1
x
y
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．关于x 的一元二次方程
2
2
1
1
0
a
x
x
a
的一个根是0，则a 的值为
．
3．若
2 1
1
4
4
0
m
m
x
x
是关于x 的一元二次方程，则m 的值是
．
知识点02
一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如ax2+bx+c=0（a≠0），这种形式叫做一元二次方程
的一般形式．其中ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．
要点：(1)只有当a≠0 时，方程ax2+bx+c=0 才是一元二次方程；
(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉
前面的性质符号.
【易错提醒】
一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）。务必先移项、合并化为右边为0，并注意各项需带符号，切勿漏写负号。
即时即练1．关于x 的一元二次方程
2
3
5
2
0
x
x
的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（
）
A．3, 5, 2
B．3, 5 ,2
x
C．3,5 , 2
x
D．3, 5,2
2．把一元二次方程
2
1
4
x
x
x
化成一般式，则a ，b ，c 的值分别是(
)
A．1，4 ，1
B．2 ，5
，0
C．3，4 ，0
D．2
，5
，1
知识点03
一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
【易错提醒】
代入方程应使左右相等。注意等号两边都要算。若方程有根为0，则常数项c=0；若根为1，则a+b+c=0；
若根为-1，则a-b+c=0。
即时即练1．已知关于x 的一元二次方程
2
3
2
0
x
x
m
的一个根是
1
x ，则m 的值为
．
2．若m 是方程
2
2
4
0
x
x
的一个根，则代数式
2
2025
2
4
m
m
的值为
．
题型1 判断是否是一元二次方程
【例1】下列方程是一元二次方程的是(
)
A．
2
2
x
B．
2
1
2
x
x
C．
2
2
1
x
y
D．
2
2
3
mx
x
【例2】下列方程是一元二次方程的是（
）
A．
2
1
7
x
B．
2
2
1
0
x
y
C．
2
2
2
1
5
x
x
x
D．
2
0
ax
bx
c
【技巧归纳】
1. 整理：化为ax2+bx+c=0 形式。
2. 看条件：a≠0，最高次为2，且为整式方程（分母无未知数）。
【变式1-1】下列方程是一元二次方程的有（
）
①
2
3
0
x
x
；②
2
0
ax
bx
c
；③
1
3
0
x
x
；④
2
2
1
1
2
x
x
x
；⑤
2
5
2
3
7
15
x
x
x
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式1-2】关于x 的方程：①
2
0
ax
bx
c
，②
2
8
7
x
x
，③
2
3
4
5
0
x
x
，④
2
3
1
2
0
x
x
，其
中一元二次方程的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
题型2 利用一元二次方程的定义求参数
【例3】若方程
2
2
5
0
k
k
x
x
是一元二次方程，则k 的值是
．
【例4】若关于x 的方程
2
1
3
1
0
m
x
x
（m 为常数）是一元二次方程，则m 的取值范围为
．
【技巧归纳】
1. 化标准式：整理为ax2+bx+c=0。
2. 列条件：二次项系数a≠0，最高次数为2。
3. 解参数：联立解得参数值，注意排除使a=0 的值。
【变式2-1】关于x 的方程
2 7
3
5
m
m
x
x
是一元二次方程，则m 的值为的
．
【变式2-2】若
1
5
0
m
x
x
是关于x 的一元二次方程，则m 的值为
．
题型3 一元二次方程的一般形式
【例5】方程
5
4
10
x x
x
化为一元二次方程的一般形式是（
）
A．
2
9
10
0
x
x
B．
2
10
0
x
x
C．
2
9
10
0
x
x
D．
2
10
0
x
x
【例6】将方程
2
5
6
8
x
x
化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是
（
）
A．5
6, 8
，
B．5, 6,8
C．6, 5,8
D．6,5, 8
【技巧归纳】
1. 移项排序：将所有项移到左边，按降幂排列：ax2+bx+c=0。
2. 明确字母：a 为二次项系数(a ≠0），b 为一次项系数，c 为常数项。
【变式3-1】方程
2
4
1
5
x
x
x
化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为（
）
A．1 和3
B．1 和6
C．3 和6
D．3 和4
【变式3-2】将一元二次方程
2
5
1
4
x
x
化为一般形式后二次项系数为5，常数项为1
，则一次项系数是（
）
A．5
B．4
C．4
D．1
题型4 一元二次方程的解求参数的值
【例7】已知关于x 的一元二次方程
2
5
0
x
x
p
的一个根为
1
x ，则p 的值为
．
【例8】已知关于x 的方程
2
1
4
0
2 x
kx
的一个根为
2
x
，则k
．
【技巧归纳】
1. 直接代入：将已知解代入原方程，得到关于参数的新方程。
2. 解方程：解出新方程，求出参数值。
3. 注意验根：确保二次项系数a ≠0，避免增根。
【变式4-1】关于x 的一元二次方程
2
5
2
0
x
x
k
的一个根是1，则k 的值是
．
【变式4-2】已知一元二次方程
2
5
2
0
x
x
m
有一个根为4，则m 为
．
题型5 一元二次方程的解求代数式的值
【例9】若a 是方程
2
1
0
x
x
的一个根，则
3
2
2025
a
a
的值为
．
【例10】若m 是方程
2
2
3
1
0
x
x
的一个实数根，则
2
2024
6
9
m
m
的值为
．
【技巧归纳】
1. 代入化简：将根代入原方程得关系式（如m2 = 2m+1），降次代入所求式。
2. 整体代换：利用韦达定理m+n、mn，整体求值。
【变式5-1】如果
1
x 是一元二次方程
2
2
1
0
ax
bx
的解，则2
4
2023
a
b
．
【变式5-2】已知m 为方程
2
3
2025
0
x
x
的根，那么
3
2
2
2028
2025
m
m
m
的值为
．
题型6 一元二次方程的解的估算
【例11】如果a 是方程
2
3
0
x
x
的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断
a
．
x
1.2
1.3
1.4
1.5
2
3
x
x
0.36
0.01
0.36
0.75
【例12】根据下表得知，方程
2
2
10
0
x
x
的一个近似解为x
（精确到0.1）
x
…
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
…
2
2
10
y
x
x
…
1.39
0.76
0.11
0.56
1.25
1.96
…
【技巧归纳】
1. 找相邻整数：代入整数x，观察代数式值的正负变化。
2. 缩小范围：根在使值异号的两个整数之间，再取中点或小数逼近。
3. 结合图象：看抛物线与x 轴交点位置。
【变式6-1】探索一元二次方程
2
3
5
0
x
x
的一个正数解的过程如表：
x
1
0
1
2
3
4
2
3
5
x
x
7
5
1
5
13
23
可以看出方程的一个正数解应界于整数a 和整数b 之间，a
b
的值为
．
【变式6-2】根据表格对应值：
x
1
0
1
2
2
ax
bx
c
0.59
0.84
2.29
3.76
判断关于x 的方程
2
2
ax
bx
c
的一个解x 的范围是
．
一、单选题
1．一元二次方程
2
5
4
1
0
x
x
的二次项系数和一次项系数分别为（
）
A．5，1
B．5，4
C．5，4
D．
2
5x ，4x
2．若
1
x 是方程
2
2
x
a
的解，则a 的值是（
）
A．1
B．3
C．3
D．1
3．下列方程中，一元二次方程共有（
）个．
①
2
2
1
0
x
x
；②
2
0
ax
bx
c
；③
2
1
3
5
0
x
x
；④
2
0
x
；⑤
2
2
1
2
x
y
；⑥
2
1
3
x
x
x
．
A．2
B．3
C．4
D．5
4．若
1
x 是关于x 的一元二次方程
2
1
0
ax
bx
的一个根，则2026
2
2
a
b
的值为（
）
A．2024
B．2025
C．2027
D．2028
5．已知关于x 的一元二次方程
2
0(a
0)
ax
bx
c
．
①若
0
a
b
c
，则该方程一定有一个根为
1
x ；
②若方程的两个根为1
和2，则a 和c 的数量关系为2
0
a
c
．
下列判断正确的是（
）
A．①②的说法都正确
B．①②的说法都错误
C．①的说法错误，②的说法正确
D．①的说法正确，②的说法错误
二、填空题
6．将一元二次方程
2
1
x x
化为一般式为______．
7．已知
2 1
1
2
1
0
m
m
x
mx
是关于x 的一元二次方程，则m 的值为________．
8．关于x 的一元二次方程
2
1
0
ax
bx
有一个根为
1
x ，则实数a ，b 之间的关系为________．
9．若
2
x
是关于x 的一元二次方程
2
2026
0
0
ax
bx
a
的一个解，则1
2a
b
的值为______．
10．在一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
中，实数a，b，c 满足4
2
0
a
b
c
，则此方程必有一根为________．
三、解答题
11．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
(1)
3
1
4
2
x x
x
；
(2)
2
3
2
4
1
x
x
x
；
(3)
2
2
5
1
8
y
y
y
；
(4)
2
2
1
t
t
．
12．当m 为何值时，方程
| | 1
1
5
1
0
m
m
x
m
x
m
是关于x 的一元二次方程？
13．已知a 是一元二次方程
2
1
0
x
x
的一个根：
(1)求
2
2
2
a
a
的值
(2)求
3
2
2026
a
a
的值．
14．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为
2
*
a b
a
ab
．如
2
: 2*1
2
2 1
2
．
(1)判断
2 * 2
1
0
t
t
是否为一元二次方程．
(2)判断
3
x 和
2
x
是否是方程(
1)*3
2
x
的根．
15．定义：方程
2
0
cx
bx
a
是一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的倒方程，其中a，b，c 为常数（且a ，
0
c
）．根
据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程
2
4
3
1
0
x
x
的“倒方程”是；
(2)若
1
x 是一元二次方程
2
2
0
x
x
c
的“倒方程”的解，求出c 的值；
(3)若m 是一元二次方程
2
6
1
0
x
x
的“倒方程”的一个实数根，则
3
2
6
2025
m
m
m
的值为．
