第02 讲用配方法求解一元二次方程
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 直接开平方法解一元二次方程
题型2 直接开平方法解一元二次方程的复合型
题型3 用配方法配二次项系数为1 的一元二次方程
题型4 用配方法解二次项系数为1 的一元二次方程
题型5 用配方法配二次项系数不为1 的一元二次方程
题型6 用配方法解二次项系数不为1 的一元二次方程
题型7 用配方法解一元二次方程错解复原问题
题型8 配方法的应用
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
配方法、完全平方、
配方、降次、恒等变
形。
1. 理解配方法的原理，掌握将一元二次方程转化为(x+m)2=n（n≥0）的形式。
2. 能熟练运用配方法解二次项系数为1 的一元二次方程。
3. 掌握二次项系数不为1 时，先化系数为1 再配方的方法。
4. 体会从特殊到一般的思想，理解配方法推导求根公式的基础作用。
学习重点：用配方法解一元二次方程的一般步骤，特别是“配方”的变形过程。
学习难点：对二次项系数不为1 的方程进行配方，以及理解配方法中“两边加一次项系数一半平方”
的算理。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 直接开方法解一元二次方程
(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方
法.
(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x 的一元二次方程
，可直接开平方求解.
若
，则
；表示为
，有两个不等实数根；
若
，则x=O；表示为
，有两个相等的实数根；
若
，则方程无实数根．
②形如关于x 的一元二次方程
，可直接开平方求解，两根是
.
要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数
的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
【易错提醒】
方程化为x2 = p 或(mx+n)2 = p。注意：当p<0 时无实数根；开方得两个解(±
�)，勿漏负根。
即时即练1．用直接开方法解方程．
(1)
2
9
25
x
；
(2)
2
2
98
0
x
；
(3)
2
3
2
0
x
；
(4)
2
3
1
2.7
x
．
【答案】(1)
1
5
3
x
，
2
5
3
x
；
(2)
1
7
x
，
2
7
x ；
(3)
1
2
2
x
x
；
(4)
1
3 10
1
10
x
，
2
3 10
1
10
x
．
【分析】本题主要考查了开平方法解一元二次方程，方程变形后利用平方根定义开方转化为两个一元一次
方程来求解即可．
【详解】（1）解：
2
9
25
x
，
开方得：3
5
x
或3
5
x ，
解得：
1
5
3
x
，
2
5
3
x
；
（2）解：
2
2
98
0
x
，
方程变形得：
2
49
x
，
开方得：
1
7
x
，
2
7
x ；
（3）解：
2
3
2
0
x
，
方程变形为：
2
2
0
x
，
方程开方得：
2
0
x
，
解得：
1
2
2
x
x
；
（4）解：
2
3
1
2.7
x
，
方程变形得：
2
1
0.9
x
，
开方得：
3 10
1
10
x
，
解得：
1
3 10
1
10
x
，
2
3 10
1
10
x
．
2．用直接开平方法解下列方程：
(1)
2
16
(4
1)
0
9
x
．
(2)
2
2
(2
1)
9(
3)
0
x
x
．
【答案】(1)
1
2
1
7
,
12
12
x
x
(2)
1
2
8
10,
5
x
x
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．
（1）先移项，然后利用直接开方的方法进行求解即可；
（2）先移项，然后利用直接开方的方法进行求解即可．
【详解】（1）解：
2
16
(4
1)
0
9
x
整理，得
2
16
(4
1)
9
x
，
4
4
1
3
x
，
解得
1
2
1
7
,
12
12
x
x
．
（2）解：
2
2
(2
1)
9(
3)
0
x
x
整理，得
2
2
(2
1)
9(
3)
x
x
，
2
1
3(
3)
x
x
，
解得
1
2
8
10,
5
x
x
．
知识点02
配方法解一元二次方程
(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成
的形式，再利用直接开平方法求解，
这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：
.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为
的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式
2
2
2
2
(
)
a
ab
b
a
b
．
【易错提醒】
二次项系数化为1 后，配方是加一次项系数一半的平方。注意等号右边也要加，且符号勿错。
即时即练1．用配方法解下列方程：
(1)
2
3
6
2
0
x
x
．
(2)
2
2
6
5
x
x
x
．
【答案】(1)
1
2
15
15
1
,
1
3
3
x
x
(2)
1
2
3
13
3
13
,
2
2
x
x
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
（1）先将二次项系数化为1，然后按照配方法解一元二次方程；
（2）先将二次项系数化为1，然后按照配方法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：
2
3
6
2
0
x
x
整理可得
2
2
2
3
x
x
2
2
2
1
1
3
x
x
，即
2
5
(
1)
3
x
，
15
1
3
x
，
1
2
15
15
1
,
1
3
3
x
x
．
（2）解：
2
2
6
5
x
x
x
，
整理可得
2
3
1
0
x
x
2
3
1
x
x
，
2
9
9
3
1
4
4
x
x
，
2
3
13
2
4
x
，
3
13
2
2
x
，
1
2
3
13
3
13
,
2
2
x
x
．
2．用配方法解下列方程：
(1)
2
6
11
0
x
x
；
(2)
2
2
6
7
x
x
；
(3)
2
10
25
7
x
x
；
(4)
2
3
8
3
0
x
x
；
(5)
1
2
12
x
x
．
【答案】(1)
1
3
2 5
x = - +
，
2
3 2 5
x = - -
；
(2)
1
2
x
，
2
3
2
x
；
(3)
1
5
7
x
，
2
5
7
x
；
(4)
1
1
3
x
，
2
3
x ；
(5)
1
5
x ，
2
2
x ．
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；掌握配方方法是解题的关键．
（1）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（3）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（4）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（5）整理后移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：
2
6
11
0
x
x
，
2
6
11
x
x
，
配方得：
2
6
9
11
9
x
x
，
2
3
20
x
，
开方得：
3
2 5
x +
= ±
，
1
3 2 5
x = - +
，
2
3 2 5
x = - -
；
（2）解：
2
2
6
7
x
x
，
2
2
7
6
x
x
，
2
7
3
2
x
x
，
配方得：
2
2
2
7
7
7
3
2
4
4
x
x
，
2
7
1
4
16
x
，
开方得：
7
1
4
4
x
，
1
2
x
，
2
3
2
x
；
（3）解：
2
10
25
7
x
x
，
2
10
18
x
x
，
配方得：
2
10
25
18
25
x
x
，
2
5
7
x
，
开方得：
5
7
x
，
1
5
7
x
，
2
5
7
x
；
（4）解：
2
3
8
3
0
x
x
，
2
3
8
3
x
x
，
2
8
1
3
x
x
，
配方得：
2
2
2
8
4
4
1
3
3
3
x
x
，
2
4
25
3
9
x
，
开方得：
4
5
3
3
x
，
1
1
3
x
，
2
3
x ；
（5）解：
1
2
12
x
x
，
2
3
10
x
x
，
配方得：
2
2
2
3
3
3
10
2
2
x
x
，
2
3
49
2
4
x
，
开方得：
7
3
2
2
x
，
1
5
x ，
2
2
x ．
知识点03
配方法的应用
1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或
小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用
非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次
函数中也有着广泛的应用．
【易错提醒】
用于求最值、证明非负性时，务必配方完全，并注意平方项非负。变形代数式时，要保持与原式相等，切
勿漏项或符号错误。
即时即练1．阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式
2
2
5
a
a
的最小值．方法如下：
2
2
2
2
5
2
1
4
1
4
a
a
a
a
a
，
由
2
1
0
a
，得
2
1
4
4
a
；
代数式
2
2
5
a
a
的最小值是4．
请仿照上述方法，求代数式
2
10
7
x
x
的最小值．
【答案】18
【分析】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题
的关键．仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解
答．
【详解】解：
2
10
7
x
x
2
10
25
25
7
x
x
2
(
5)
18
x
，
∴代数式
2
10
7
x
x
的最小值是18
．
2．阅读理解：求代数式
2
6
10
x
x
的最小值．
解：因为
2
2
2
6
10
6
9
1
3
1
x
x
x
x
x
（
）
（
）
，
所以当
3
x 时，代数式
2
6
10
x
x
有最小值，最小值是1．
仿照应用求值：
(1)求代数式
2
2
7
x
x
的最小值；
(2)求代数式
2
8
3
m
m
的最大值．
【答案】(1)6
(2)19
【分析】本题考查代数式配方及根据非负性求最值，解题的关键是配方．
（1）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案；
（2）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
7
2
1 6
1
6
x
x
x
x
x
，
∵
2
(
1)
0
x
，
∴
2
1
6
6
x
，
∴当
1
x 时，代数式
2
2
7
x
x
有最小值，最小值是6；
（2）解：由题意可得，
2
2
2
8
3
(
8
16)
3 16
(
4)
19
m
m
m
m
m
，
∵
2
(
4)
0
m
，
∴
2
(
4)
19
19
m
，
∴当
4
m
时，代数式
2
8
3
m
m
有最大值，最大值为19．
题型1 直接开平方法解一元二次方程
【例1】求下列各式中x 的值：
(1)
2
25
16
0
x
；
(2)
2
(
1)
49
0
x
；
(3)
2
(2
1)
81
x
．
【答案】(1)
1
2
4
4
,
5
5
x
x
(2)
1
2
6,
8
x
x
(3)
1
2
5,
4
x
x
【分析】本题主要考查直接开方法解一元二次方程，掌握直接开方的计算方法是解题的关键．
（1）先移项，再直接开方，即可求解；
（2）先移项，再直接开方，即可求解；
（3）先移项，再直接开方，即可求解．
【详解】（1）解：
2
25
16
0
x
，
移项得，
2
25
16
x
，
∴
2
16
25
x
，
直接开方得，
1
2
4
4
,
5
5
x
x
．
（2）解：
2
(
1)
49
0
x
，
移项得，
2
(
1)
49
x
，
直接开方得，
1
7
x
或
1
7
x ，
∴
1
2
6,
8
x
x
．
（3）解：
2
(2
1)
81
x
，
直接开方得，2
1
9
x
或2
1
9
x ，
∴
1
2
5,
4
x
x
．
【例2】按要求解下列方程
(1)
2
2
6
0
x
（直接开平方法）．
(2)
2
4(
1)
9
x
．
【答案】(1)
1
1
2
6
2
6
x
x
,
(2)
1
5
2
x
，
2
1
2
x
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先变形为
2
2
6
x
，然后利用直接开平方法即可求解；
（2）利用直接开平方法计算即可．
【详解】（1）解：∵
2
2
6
0
x
，
∴
2
2
6
x
，
2
6
x
，
∴
1
1
2
6
2
6
x
x
,
；
（2）解：
2
4
1
9
x
，
∴
2
9
1
4
x
，
∴
3
1
2
x
，
∴
1
5
2
x
，
2
1
2
x
．
【技巧归纳】
1. 化为x2 = p：移项使左边完全平方，右边常数。
2. 分类讨论：p>0 两解±
�；p=0 一解0；p<0 无实数根。
3. 整体开方：如(ax+b)2 = p，则ax+b = ±
�。
【变式1-1】解方程
(1)
2
9
0
x
-
=
；
(2)
2
2
8
0
x
；
(3)
2
1
16
x
；
(4)
2
4
3
9
x
．
【答案】(1)
3
x
(2)
2
2
x
(3)
3
x
或
5
x
(4)
3
2
x
或
9
2
x
【分析】本题考查利用直接开平方法解方程，熟练掌握直接开平方法解方程是解题的关键．
（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用直接开平方法解方程即可；
（3）利用直接开平方法解方程即可；
（4）利用直接开平方法解方程即可．
【详解】（1）解：
2
9
0
x
-
=
，即
2
9
x
，
∴
3
x ；
（2）解：
2
2
8
0
x
，即
2
4
x
，
∴
2
2
x ；
（3）解：
2
1
16
x
，
∴
1
4
x
或
1
4
x ，
∴
3
x
或
5
x ；
（4）解：
2
4
3
9
x
，
∴
2
9
3
4
x
，即：
3
3
2
x
或
3
3
2
x
，
∴
3
2
x
或
9
2
x
．
【变式1-2】解下列方程：
(1)
2
1
9
0
3 x
；
(2)
2
(
3)
7
x
；
(3)
2
4(
2)
3
0
x
．
【答案】(1)
1
3 3
x
，
2
3 3
x
(2)
1
3
7
x
，
2
3
7
x
(3)
1
3
2
2
x
，
2
3
2
2
x
【分析】（1）将方程变形为
2
27
x
，然后利用直接开平方法求解即可；
（2）利用直接开平方法求解即可；
（3）将方程变形为
2
3
(
2)
4
x
，然后利用直接开平方法求解即可；
本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法的解题步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：将方程变形，得
2
27
x
．
直接开平方，得
3 3
x
．
∴
1
3 3
x
，
2
3 3
x
．
（2）解：直接开平方，得
7
3
x
．
∴
3
7
x
．
∴
1
3
7
x
，
2
3
7
x
．
（3）解：将方程变形，得
2
3
(
2)
4
x
．
直接开平方，得
3
2
2
x
，
∴
3
2
2
x
．
∴
1
3
2
2
x
，
2
3
2
2
x
．
题型2 直接开平方法解一元二次方程的复合型
【例3】用适当的方法解方程：
2
2
3
1
1
x
x
【答案】
1
0
x
，
2
1
2
x
.
【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟知方程特点选择适当的解法是正确解决本题的关键，用直接开
平方法或因式分解法都可以．
【详解】解：
2
2
3
1
1
x
x
开方得，3
1
1
x
x
- =
- 或
3
1
1
x
x
解得
1
0
x
，
2
1
2
x
．
【例4】解下列方程：
2
2
4
3
3
x
x
【答案】
1
2
1,
9
x
x
【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．直接开平方，
即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
【详解】
2
2
4
3
3
x
x
2
2
2
3
3
x
x
2
3
3
x
x
或
2
3
3
x
x
解得：
1
2
1,
9
x
x
【技巧归纳】
1. 整体换元：将(ax+b)2 看作整体t2，先解t。
2. 分类求解：由t =
±
�得两个一元一次方程。
3. 化简结果：分别解出x，注意分母有理化及最简形式。
【变式2-1】解方程：
2
2
3
1
4 2
3
x
x
【答案】
1
2
5
7
7
x
x
，
【分析】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法．开平方求出3
1
x的值，然后求出x 的值即可．
【详解】解：
2
2
3
1
4 2
3
x
x
，
∴
3
1
2 2
3
x
x
，
则3
1
4
6
x
x
或3
1
4
6
x
x
，
解得
1
2
5
7
7
x
x
，
．
【变式2-2】解方程：
(1)
2
2
1
2
1
x
x
；
(2)
2
2
5
4
5
0
x
x
．
【答案】(1)
1
0
x
，
2
2
3
x
；
(2)
1
5
3
x
，
2
15
x
．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2 ）利用直接开平方法求解即可；
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解
法及正确掌握一元二次方程的解法．
【详解】（1）解：
2
2
1
2
1
x
x
1
2
1
x
x
，
1
2
1
x
x
或
1
2
1
x
x
，
∴
1
0
x
，
2
2
3
x
；
（2）解：
2
2
5
4
5
0
x
x
2
2
5
2
5
x
x
，
5
2
5
x
x
，
5
2
5
x
x
或
5
2
5
x
x
，
∴
1
5
3
x
，
2
15
x
．
题型3 用配方法配二次项系数为1 的一元二次方程
【例5】将方程
2
6
2
0
x
x
配方后，所得方程正确的是（
）
A．
2
3
7
x
B．
2
3
11
x
C．
2
6
34
x
D．
2
3
2
x
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法的步骤，先移项，再配方，将方程左边整理为完全
平方式，即可得到结果．
【详解】解：
2
6
2
0
x
x
移项，得
2
6
2
x
x
．
两边都加一次项系数一半的平方，得
2
2
2
6
3
2
3
x
x
，
即
2
3
7
x
．
【例6】用配方法解方程
2
6
2
x
x
，变形后结果正确的是（
）
A．
2
3
11
x
B．
2
3
8
x
C．
2
3
11
x
D．
2
3
8
x
【答案】C
【分析】利用完全平方公式对等式左边进行配方，即可得结论．
【详解】解：
2
6
2
x
x
，
∴
2
2
2
6
3
2
3
x
x
，
∴
2
3
11
x
．
【技巧归纳】
1. 移常数项：将常数项移至方程右边。
2. 配方：两边加一次项系数一半的平方，左边配成(x+m)2。
3. 开方求解：用直接开平方法得两解。
【变式3-1】用配方法解方程
2
2
99
0
x
x
时，原方程变形为（
）
A．
2
1
100
x
B．
2
1
100
x
C．
2
1
98
x
D．
2
1
98
x
【答案】B
【分析】按照配方法的步骤，先移项再配方，即可得到原方程变形后的结果．
【详解】解：
2
2
99
0
x
x
2
2
99
x
x
2
2
1
99
1
x
x
2
1
100
x
．
【变式3-2】方程
2
4
1
0
x
x
配方后的形式是（
）
A．
2
(
2)
1
x
B．
2
(
2)
1
x
C．
2
(
2)
3
x
D．
2
(
2)
3
x
【答案】C
【分析】按照配方法的步骤对原方程变形即可得到结果．
【详解】解：∵
2
4
1
0
x
x
，
∴移项得
2
4
1
x
x
，
∴方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得
2
4
4
1
4
x
x
，
将左边整理为完全平方形式，得
2
2
3
x
，
即方程
2
4
1
0
x
x
配方后的形式是
2
2
3
x
．
题型4 用配方法解二次项系数为1 的一元二次方程
【例7】用配方法解方程：
2
2
168
0
x
x
【答案】
1
2
14
12
x
x
，
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为
2
2
168
x
x
，利用配方法进一步解方程即可．
【详解】解：
2
2
168
0
x
x
，
∴
2
2
168
0
x
x
，
∴(
)
2
1
169
x -
=
，
∴
1
13
x
，
解得：
1
14
x
，
2
12
x
；
【例8】解方程：
2
8
5
0
x
x
．
【答案】
1
2
4
21
4
21
x
x
，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数
一半的平方进行配方，进而开方解方程即可．
【详解】解：∵
2
8
5
0
x
x
，
∴
2
8
5
x
x
，
∴
2
8
16
21
x
x
，
∴
2
4
21
x
，
∴
4
21
x
解得
1
2
4
21
4
21
x
x
，
．
【技巧归纳】
1. 移常数项：常数项移到右边。
2. 加配方项：两边加一次项系数一半的平方。
3. 写平方：左边成(x+m)2，右边合并。
4. 开方求解：得两解或判断实数根。
【变式4-1】解方程：
2
8
3
0
x
x
．
【答案】
1
4
13
x
，
2
4
13
x
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练运用配方法解一元二次方程是解题的关键．利用配方法进行解
方程即可．
【详解】解：
2
8
3
0
x
x
，
2
8
3
x
x
．
2
2
2
8
4
3
4
x
x
，
2
4
13
x
，
∴
4
13
x
，
∴
1
4
13
x
，
2
4
13
x
【变式4-2】用配方法解方程：
2
5
6
0
x
x
【答案】
1
2
2
3
x
x
，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数
一半的平方进行配方，再解方程即可．
【详解】解；∵
2
5
6
0
x
x
，
∴
2
5
6
x
x
，
∴
2
2
2
5
5
5
6
2
2
x
x
，即
2
5
1
2
4
x
，
∴
5
1
2
2
x
，
解得
1
2
2
3
x
x
，
．
题型5 用配方法配二次项系数不为1 的一元二次方程
【例9】把方程
2
1
4
0
3
x
x
左边配成一个完全平方式后，得到的方程是（
）
A．
2
3
38
2
4
x
B．
2
3
38
2
4
x
C．
2
3
57
2
4
x
D．以上都不对
【答案】C
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．根据
配方法解一元二次方程的步骤即可得出答案．
【详解】解：
2
1
4
0
3
x
x
2
3
12
0
x
x
2
3
12
x
x
2
9
9
3
12
4
4
x
x
2
3
57
2
4
x
把方程
2
1
4
0
3
x
x
左边配成一个完全平方式后，得到的方程是
2
3
57
2
4
x
．
故选：C．
【例10】把方程
2
3
12
18
0
x
x
配方，化为
2
x
m
n
的形式应为（
）
A．
2
4
4
x
B．
2
2
4
x
C．
2
4
10
x
D．
2
2
10
x
【答案】D
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程；方程左右两边同时除以3变形后，将常数项移动方程右边，方
程左右两边都加上4 ，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，即可得到正确的选项．
【详解】解：
2
3
12
18
0
x
x
，
二次项化为1得：
2
4
6
x
x
，
配方得：
2
4
4
10
x
x
，即
2
2
10
x
．
故选：D
【技巧归纳】
1. 化系数为1：方程两边同除以二次项系数。
2. 移常数项：常数项移到右边。
3. 配方求解：加一次项系数一半的平方，写成平方形式，再开方。
【变式5-1】用配方法解一元二次方程
2
2
2025
0
x
x
时，化为
2
x
a
b
的形式可得到（
）
A．
2
1
2024
x
B．
2
1
2026
x
C．
2
1
2026
x
D．
2
1
2025
x
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．将常数项移到方程的右边，两边都
加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【详解】解：∵
2
2
2025
0
x
x
，
∴
2
2
2025
x
x
，
则
2
2
1
2025 1
x
x
，
即
2
1
2026
x
，
故选：C．
【变式5-2】将方程
2
2
12
1
0
x
x
配方成
2
(
)
x
m
n
的形式，下列配方结果正确的是（
）
A．
2
(
3)
17
x
B．
2
17
(
3)
2
x
C．
2
(
3)
17
x
D．
2
17
(
3)
2
x
【答案】D
【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程．先将常数项移到方程的右边，再把二次项化系数为1，然
后方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可求解．
【详解】解：
2
2
12
1
0
x
x
2
2
12
1
x
x
2
1
6
2
x
x
2
2
2
1
6
3
3
2
x
x
2
17
3
2
x
故选：D．
题型6 用配方法解二次项系数不为1 的一元二次方程
【例11】用配方法解方程：
2
2
4
5
0
x
x
【答案】
1
14
1
2
x
，
2
14
1
2
x
【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，先利用配方法得到
2
7
1
2
x
，然后利用直接开平方法解
方程．熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
【详解】解：
2
2
4
5
0
x
x
，
2
5
2
2
x
x
，
则
2
5
2
1
1
2
x
x
，
2
7
1
2
x
，
直接开平方得
14
1
2
x
，
1
14
1
2
x
，
2
14
1
2
x
．
【例12】配方法解方程：
2
2
3
0
x
x
．
【答案】
1
3
2
x
，
2
1
x
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解决此题的关
键．利用配方法解方程即可得解．
【详解】解：
2
2
3
0
x
x
，
2
2
3
x
x
，
2
1
3
2
2
x
x
，
2
1
1
3
1
2
16
2
16
x
x
，
2
1
25
4
16
x
，
1
5
4
4
x
，
1
5
4
4
x
或
1
5
4
4
x
，
1
3
2
x
，
2
1
x ．
【技巧归纳】
1. 化系数为1：方程两边同除以二次项系数a。
2. 配方求解：常数项移右，加一次项系数一半平方，左写完全平方，再开方。
【变式6-1】用适当的方法解下列一元二次方程：
2
2
6
3
0
x
x
．
【答案】
1
3
3
2
x
，
2
3
3
2
x
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系
数一半的平方，开方即可求出解．
【详解】解：
2
2
6
3
0
x
x
，
方程变形得：
2
3
3
2
x
x
，
配方得：
2
9
3
9
3
4
2
4
x
x
，即
2
3
3
2
4
x
，
开方得，
3
3
2
2
x
，
解得：
1
3
3
2
x
，
2
3
3
2
x
．
【变式6-2】用配方法解方程：
2
4
8
3
0
x
x
．
【答案】
1
7
1
2
x
，
2
7
1
2
x
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，
公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：
2
4
8
3
0
x
x
2
4
8
3
x
x
2
3
2
4
x
x
2
3
2
1
1
4
x
x
2
7
1
4
x
7
1
2
x
解得
1
7
1
2
x
，
2
7
1
2
x
．
题型7 用配方法解一元二次方程错解复原问题
【例13】下面是张星同学解一元二次方程
2
2
8
5
x
x
的过程，请认真阅读并完成相应的任务
2
2
8
5
x
x
．
解：二次项系数化为1，得
2
5
4
2
x
x
，（第一步）
配方，得
2
5
4
4
4
2
x
x
，（第二步）
变形，得
2
3
4
2
x
，（第三步）
开方，得
6
4
2
x
，（第四步）
解得
1
2
6
6
4
,
4
2
2
x
x
．（第五步）
(1)上面张星同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是
______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______；
(2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
【答案】(1)转化思想，完全平方公式
(2)三，见解析
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种常见解法：直接开平方法、配方法、
因式分解法、公式法，结合方程的特点选择合适的解法是解题的关键．
（1）根据解答过程判断依据即可；
（2）根据配方法判断即可．
【详解】（1）解：体现的数学思想为转化思想，依据的数学公式是完全平方公式；
故答案为：转化思想，完全平方公式；
（2）解：第三步变形时出现错误；
解：二次项系数化为1，得
2
5
4
2
x
x
，（第一步）
配方，得
2
5
4
4
4
2
x
x
，（第二步）
变形，得
2
3
2
2
x
，（第三步）
开方，得
6
2
2
x
，（第四步）
解得
1
2
6
6
,
2
2
2
2
x
x
．
【例14】下面是小聪同学用配方法解方程
2
2
4
1
0
x
x
的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得
2
2
4
1
x
x
①
二次项系数化为1，得
2
1
2
2
x
x
②
配方，得
2
1
2
1
2
x
x
，即
2
1
1
2
x
③
由此可得
2
1
2
x
④
所以
1
2
1
2
x = - +
，
2
2
1
2
x = - -
⑤
(1)整个解答过程是从步开始出现错误的，错误的原因是
(2)用这种方法解方程：
2
2
4
3
0
x
x
【答案】(1)③，等号右边没有加上1
(2)
1
10
1
2
x
，
2
10
1
2
x
．
【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解
法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可求解；
（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可求解；
【详解】（1）解：移项，得
2
2
4
1
x
x
，
二次项系数化为1，得
2
1
2
2
x
x
，
配方，得
2
2
1
2
1
1
2
x
x
，即
2
3
1
2
x
，
由此可得：
6
1
2
x
，
所以
1
6
1
2
x
，
2
6
1
2
x
，
由上可知，整个解答过程是从③步开始出现错误的，错误的原因是等号右边没有加上1，
故答案为：③，等号右边没有加上1；
（2）解：
2
2
4
3
0
x
x
，
2
2
4
3
x
x
，则
2
3
2
2
x
x
，
2
3
2
1
1
2
x
x
，即
2
5
1
2
x
，
10
1
2
x
，
1
10
1
2
x
，
2
10
1
2
x
．
【技巧归纳】
1. 逆向推导：从错误结果倒推配方程过程，找出漏乘、符号错或未除以二次项系数等常见错误。
2. 对比正解：用正确配方法重算，对比差异点定位错误步骤。
【变式7-1】下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
2
3
12
9
0
x
x
．
二次项系数化为1，得
2
4
3
0
x
x
．
第一步
移项，得
2
4
3
x
x
．
第二步
配方，得
2
4
16
3
16
x
x
，即
2
4
19
x
．
第三步
由此，可得
4
19
x
．
第四步
所以
1
19
4
x
，
2
19
4
x
．
第五步
完成下列任务：
(1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学
思想是________（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是________（填“完全平方公式”
或“平方差公式”）；
(2)“第二步”变形的数学依据是________；
(3)小明同学解题过程中，从第________步开始出现错误，请直接写出正确的结果________．
【答案】(1)降次；完全平方公式
(2)等式的基本性质
(3)三；
1
7
2
x
，
2
7
2
x
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键；
（1）根据降次思想，完全平方公式解答；
（2）根据移项的依据是等式的性质解答；
（3）由完全平方公式判断即可解答．
【详解】（1）解：上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过
程所体现的数学思想是降次，其中，“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式；
故答案为：降次；完全平方公式；
（2）“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果
仍是等式）；
故答案为：等式的基本性质；
（3）小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误，
解：
2
3
12
9
0
x
x
．
二次项系数化为1，得
2
4
3
0
x
x
．
移项，得
2
4
3
x
x
．
配方，得
2
4
4
3
4
x
x
，即
2
2
7
x
．
由此，可得
2
7
x
．
所以
1
7
2
x
，
2
7
2
x
，
故答案为：三；
1
7
2
x
，
2
7
2
x
．
【变式7-2】下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
2
2
4
12
0
x
x
．
二次系数化为1，得
2
2
6
0
x
x
．…………………………第一步
移项，得
2
2
6
x
x
．…………………………………………第二步
配方，得
2
2
4
6
4
x
x
，即
2
2
10
x
．……………第三步
由此，可得
2
10
x
．……………………………………第四步
所以
1
2
10
2,
10
2
x
x
．……………………………第五步
任务一：填空：
①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数
学思想是______，其中，“配方法”所依据的数学公式是______；
②“第二步”变形的数学依据是______；
③小明同学解题的过程中，从第______步开始出现错误，请直接写出正确的结果：______．
任务二：请你根据平时学习经验，就解一元二次方程时还需要注意的事项为其他同学提一条建议．
【答案】任务一：①转化，完全平方公式；②等式的基本性质1；③三，
1
1
7
x
，
2
1
7
x
；任
务二：移项要变号；最后结果要化成最简．（答案不唯一，正确即可）
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握提公因式法、配方法解一元二次方程的一般步骤是解题
的关键．
任务一：①根据方程解答过程回答即可；
②第二步移项的依据是等式的基本性质，据此回答即可；
③根据方程解答过程回答即可；
任务二：根据解一元二次方程时，学生的常见错误给出意见．
【详解】解：任务一：①小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，
体现的数学思想是转化思想，其中“配方法”所依据的一个数学公式是完全平方公式；
故答案为：转化；完全平方公式；
②“第二步”变形的依据是等式的性质1；
故答案为：等式的性质1；
③上面小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误；
正确的解是：
配方，得
2
2
1
6
1
x
x
，
即
2
1
7
x
，
∴
1
1
7
x
，
2
1
7
x
，
故答案为：三；
1
1
7
x
，
2
1
7
x
；
任务二：解一元二次方程时需要注意的事项：先把方程化为一般形式、移项要变号、正确运用完全平方公
式、解要化为最简（答案不唯一），
题型8 配方法的应用
【例15】阅读下列材料：
材料一
“
2
0
a
”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：
2
2
2
4
5
4
4 1
(
2)
1
x
x
x
x
x
2
(
2)
0
x
，
2
(
2)
1 1
x
，
2
4
5
1
x
x
解决下列问题：
(1)填空：
2
6
10
(
x
x
x
2) ．
(2)已知
2
2
2
2
2
1
0
x
xy
y
y
，求x
y
的值．
(3)比较代数式
2
1
x 与2
3
x 的大小，并说明理由
【答案】(1) 3
；1
(2) 2
(3)
2
1
2
3
x
x
，理由见解析
【分析】（1）
2
2
6
10
6
9 1
x
x
x
x
，再根据完全平方公式进行配方；
（2）将原式变形为
2
2
2
2
2
1
0
x
xy
y
y
y
，再由非负性求解；
（3）利用作差法结合配方法求解即可．
【详解】（1）解：
2
2
2
6
10
6
9 1
3
1
x
x
x
x
x
；
（2）解：
2
2
2
2
2
1
0
x
xy
y
y
2
2
2
2
2
1
0
x
xy
y
y
y
2
2
1
0
x
y
y
∵
2
2
0,
1
0
x
y
y
∴
0
x
y
，
1
0
y
∴
1
x
y
∴
1
1
2
x
y
；
（3）解：
2
1
2
3
x
x
，理由如下：
2
1
2
3
x
x
2
1
2
3
x
x
2
2
2
x
x
2
2
1 1
x
x
2
1
1
x
∵
2
1
0
x
∴
2
1
1
1
0
x
，
∴
2
1
2
3
0
x
x
∴
2
1
2
3
x
x
．
【例16】阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式
2
6
5
x
x
的最小值．
2
2
2
2
2
6
5
2
3
3
3
5
3
4
x
x
x
x
x
，且，
2
3
0
x
∴当
3
x 时，
2
6
5
x
x
有最小值4
．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)求证：无论x 取何值，代数式
2
4
5
x
x
的值恒为正数；
(2)若代数式
2
2
4
x
kx
的最小值为5
，求k 的值：
【答案】(1)见解析
(2)
3
k
【分析】（1）仿照题意可得
2
2
4
5
2
1
x
x
x
，可证明
2
2
1
1
0
x
，据此可证明结论；
（2）可证明
2
2
2
2
4
4
x
kx
x
k
k
，则可推出
2
2
2
4
4
x
k
k
k
，得到
2
2
4
x
kx
的最小值为
2
4
k
，据此建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：
2
4
5
x
x
2
2
2
2
2
2
5
2
x
x
2
2
1
x
，
∵
2
2
0
x
，
∴
2
2
1
1
0
x
，
∴无论x 取何值，代数式
2
4
5
x
x
的值恒为正数；
（2）解：
2
2
4
x
kx
2
2
2
2
4
x
x k
k
k
2
2
4
x
k
k
，
∵
2
0
x
k
，
∴
2
2
2
4
4
x
k
k
k
，
∴
2
2
4
x
kx
的最小值为
2
4
k
，
又∵代数式
2
2
4
x
kx
的最小值为5
，
∴
2
4
5
k
，
∴
3
k ．
【技巧归纳】
1. 求最值：配方成a(x-h)2 + k，a>0 最小值为k，a<0 最大值为k。
2. 证非负：配方后各项非负，判断与0 的关系。
3. 分解因式：添项拆项后配方，平方差分解。
【变式8-1】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关
的问题或求代数式最大值．最小值等，例如：求代数式
2
2
4
5
x
x
的最小值，解法如下：
解：
2
2
2
2
4
5
2
2
5
2
2
1 1
5
x
x
x
x
x
x
2
2
2
1
2
5
2
1
3
x
x
∵
2
2
1
0
x
，∴
2
2
1
3
3
x
．∴
2
2
4
5
x
x
的最小值是3．
根据材料中的方法，解答下列问题：
(1)若
2
0
6
9
1
a
a
b
，求
ba 的值．
(2)求代数式
2
6
12
x
x
的最小值．
(3)用配方法说明：不论x 为何值；代数式
2
3
6
10
x
x
的值总是正数．
【答案】(1)
1
3
b
a
(2)最小值为3
(3)见解析
【分析】（1）先配方，再由完全平方和绝对值的非负性求解即可；
（2）将原式配方成
2
3
3
x
，即可求解最小值；
（3）将原式配方成
2
3
1
7
x
，即可求解．
【详解】（1）解：
2
0
6
9
1
a
a
b
∴
2
0
1
3
b
a
∵
2
0
0,
1
3
a
b
∴
3
0,
1
0
a
b
∴
3,
1
a
b
∴
1
1
3
3
b
a
；
（2）解：
2
6
12
x
x
2
6
9
3
x
x
2
3
3
x
∵
2
3
0
x
∴
2
3
3
3
x
∴
2
6
12
x
x
的最小值为3；
（3）解：
2
3
6
10
x
x
2
3
2
1 1
10
x
x
2
3
1
3 10
x
2
3
1
7
x
，
∵
2
3
1
0
x
，
∴
2
3
1
7
7
x
，
∴
2
3
1
7
0
x
∴不论x 为何值；代数式
2
3
6
10
x
x
的值总是正数．
【变式8-2】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条
件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①用配方法分解因式：
2
6
8
a
a
．
原式
2
2
6
9 1
3
1
3 1
3 1
4
2
a
a
a
a
a
a
a
．
②利用配方法求最小值：求
2
6
8
a
a
最小值．
解：
2
2
2
2
2
6
8
2
3
3
3
8
(
3)
1
a
a
a
a
a
，
2
3
a
．因为不论a 取何值，
2
3
a
总是非负数，即
2
3
0
a
．所以
2
3
1
1
a
，所以当
3
x 时，
2
6
8
a
a
有最小值，最小值是1
．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：
2
8
x
x
_____
2
(
_)
x
；
(2)将
2
10
4
x
x
变形为
2
x
m
n
的形式，并求出
2
10
4
x
x
的最小值；
(3)若
2
7
17
10
M
a
a
，
2
5
25
N
a
a
，其中a 为任意实数，试比较M 与N 的大小，并说明理由．
【答案】(1)16；4
(2) 21
(3) M
N
，理由见解析
【分析】本题主要考查配方法，完全平方公式，完全平方式的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题的关
键．
（1）根据完全平方公式即可得到答案；
（2）先将
2
10
4
x
x
变形为
2
x
m
n
的形式
（3）根据
2
2
2
2
7
17
10
(5
25 )
2
8
10
2(
2)
2
0
M
a
a
a
N
a
a
a
a
，进行判断即可．
【详解】（1）解：
2
2
8
16
(
4)
x
x
x
，
故答案为：16；4 ；
（2）解：
2
2
2
10
4
10
25
25
4
5
21
x
x
x
x
x
，
2
(
5)
0
x
，
2
2
10
4
5
19
21
x
x
x
，
故最小值为21
；
（3）解：
2
7
17
10
M
a
a
，
2
5
25
N
a
a
，
2
2
2
7
17
10
(5
25 )
2
8
10
a
N
a
a
a
a
M
a
，
2
2
2
2
8
10
2(
4
4)
8 10
2(
2)
2
a
a
a
a
a
，
2
(
2)
0
a
，
2
2(
2)
2
0
a
M
N
，
M
N
．
一、单选题
1．方程
2
4
1
0
x
的根为（
）
A．
1
2
x ，
2
2
x
B．
1
1
4
x
，
2
1
4
x
C．
1
1
2
x
，
2
1
2
x
D．
1
2
x
，
2
2
x
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的求解，可用直接开平方法计算，先移项，再将
2
x 的系数化为1，最后开平
方即可得到方程的根．
【详解】解：
2
4
1
0
x
2
4
1
x
2
1
4
x
1
1
2
x
，
2
1
2
x
．
2．如果关于x 的方程
2
9
3
x
m
可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（
）
A．
0
m
B．
0
m
C．
3
m
D．
3
m
【答案】D
【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的要求，等式右边必须为非负数，据此列不等式求解即可得到m
的取值范围．
【详解】解：∵任意实数的平方为非负数
∴
2
9
0
x
∵方程
2
9
3
x
m
可以用直接开平方法求解
∴等式右边需满足非负，即
3
0
m
解得
3
m ．
3．用配方法解方程
2
3
0
x
x
时，经过配方后正确的是（
）．
A．
2
(
1)
4
x
B．
2
1
2
2
x
C．
2
1
11
2
4
x
D．
2
1
13
2
4
x
【答案】D
【详解】解：
2
3
0
x
x
，
移项，得
2
3
x
x
，
给方程两边同时加上一次项系数一半的平方
2
1
2
，得
2
2
2
1
1
3
2
2
x
x
，
整理左侧为完全平方式，得
2
1
13
2
4
x
．
4．已知m 为实数，
2
3
P
m
，
2
1
Q
m
，则P 与Q 的大小关系为（
）
A．P
Q
B．P
Q
C．P
Q
D．P
Q
【答案】B
【分析】比较两个代数式的大小，采用作差法，对作差结果配方后，利用平方数的非负性判断差的符号，
即可得到P 与Q 的大小关系．
【详解】解：∵
2
3
P
m
，
2
1
Q
m
，
∴
2
1
2
3
Q
P
m
m
，
去括号整理得：
2
2
2
Q
P
m
m
，
即：
2
(
1)
1
Q
P
m
，
∵m 为实数，任意实数的平方非负，可得
2
(
1)
0
m
，
∴
2
(
1)
1 1
0
m
，即
0
Q
P
，
∴P
Q
．
5．关于x 的一元二次方程
2
1
0
a
x
m
n
与
2
2
0
a
x
m
n
称为“同族二次方程”．如
2
2
3
4
0
x
与
2
3
3
4
0
x
就是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程
2
2
1
1
0
x
与
2
1
2
2
0
a
x
b
x
是“同族二次方程”，那么代数式
2
2026
ax
bx
能取的最大值是（
）
A．2025
B．2026
C．2027
D．2028
【答案】D
【分析】根据新定义求得a、b 值，再利用配方得到
2
2
2026
2
1
2028
ax
bx
x
，然后利用非负性求
解即可．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
2
1
1
0
x
与
2
1
2
2
0
a
x
b
x
是“同族二次方程”，
∴一元二次方程
2
2
1
1
0
x
的“同族二次方程”为
2
1
1
1
0
a
x
，即
2
1
2
1
0
a
x
a
x
a
，
∴
2
a ，
2
2
1
b
a
，解得
4
b
，
∴
2
2
2
2026
2
4
2026
2
1
2028
ax
bx
x
x
x
，
∵
2
1
0
x
，
∴
2
2
1
2028
2028
x
，即
2
2026
2028
ax
bx
，
∴
2
2026
ax
bx
能取到最大值2028 ．
二、填空题
6．用配方法解方程
2
3
12
2
0
x
x
，将方程变为
2
x
m
n
的形式，则n 的值___________．
【答案】10
3
【详解】解：
2
3
12
2
0
x
x
，
方程两边同除以3，得
2
2
4
0
3
x
x
，
移项，得
2
2
4
3
x
x
，
配方，得
2
2
4
4
4
3
x
x
，
2
10
2
3
x
，
∴
10
3
n
．
7．对于实数a，b，定义运算“※”如下：
2
a
b
a
b
※
，例如，
2
5
3
5
3
22
※
．若
(2
4)
3
x
x
※
，则x 的
值为_____________．
【答案】1
【分析】根据题目中给出的运算规则，将
(2
4)
x
x
※
转化为常规的一元二次方程，再求解方程．
【详解】解：根据定义的运算规则
2
a
b
a
b
※
，将
(2
4)
3
x
x
※
转化为方程：
2
2
4
3
x
x
，
2
2
2
2
4
3
0,
2
1
0,
1
0,
x
x
x
x
x
解得
1
x ．
8．若
1
2
m
，则关于x 的二次方程
2
1
5
4
0
m
x
m
x
的解是___．
【答案】
1
2
1
x
x
【分析】本题主要考查了解绝对值、一元二次方程的定义、解一元二次方程等知识点，确定m 的值是解题
的关键．
由
1
2
m
解得
3
m
或
1
m ，但二次方程要求二次项系数
1
0
m
，因此
1
m ，故
3
m
；代入方程
后解一元二次方程即可．
【详解】解：∵
1
2
m
，
∴
1
2
m
或
1
2
m ，
∴
3
m
或
1
m ，
又∵关于x 的二次方程
2
1
5
4
0
m
x
m
x
，
∴二次项系数
1
0
m
，即
1
m ，
∴
3
m
，
将
3
m
代入方程得
2
1
5
4
0
m
x
m
x
，即
2
4
8
4
0
x
x
，
∴
2
2
1
0
x
x
，即
2
1
0
x
，
解得：
1
2
1
x
x
．
故答案为：
1
2
1
x
x
．
9．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图．老师看后，
发现有一名同学所负责的步骤是错误的，则这名同学是________．
【答案】丁
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握用配方法解方程时，开平方要考虑正负两种情况，不能
遗漏解是解题的关键．
依次检查配方法解一元二次方程的移项，配方，化简，求解四个步骤，找出错误的步骤．
【详解】解：甲的步骤：
2
2
2
8
0
2
8
x
x
x
x
此步骤为移项，正确；
乙的步骤：
2
2
2
8
2
1
8 1
x
x
x
x
此步骤为配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，正确；
丙的步骤：
2
2
2
1
8 1
(
1)
9
x
x
x
此步骤为化简，正确；
丁的步骤
2
(
1)
9
4
x
x
此步骤为求解
2
(
1)
9
x
开平方，应得
1
3
x
当
1
3
x
时，解得
4
x
当
1
3
x 时，解得
2
x
所以方程的解应为
1
4
x
，
2
2
x
丁同学只给出了一个解，遗漏了另一个解，因此步骤错误．
故答案为：丁．
10．新定义：关于x 的一元二次方程
2
1
0
a
x
c
k
与
2
2
0
a
x
c
k
称为“同族二次方程”．例如：
2
5
6
7
0
x
与
2
6
6
7
0
x
是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程
2
2
1
1
0
x
与
2
2029
0
ax
bx
是“同族二次方程”，则代数式
2
5
ax
bx
的最小值是______．
【答案】2023
【分析】先根据题中的新定义，求出a，b 的值，再将a，b 的值代入代数式
2
5
ax
bx
中，运用配方法求
得其最小值．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
2
1
1
0
x
与
2
2029
0
ax
bx
是“同族二次方程”，
∴
2
2029
0
ax
bx
应为
2
1
1
0
a x
，
∴
2
2
2029
2
1
1
ax
bx
a x
x
，
∴
2
2
2029
2
1
ax
bx
ax
ax
a
，
∴
2
1
2029
b
a
a
，
∴
4056
2028
b
a
，
代数式
2
2
2
5
2028
4056
5
2028
2
5
ax
bx
x
x
x
x
2
2
2028
2
1
5
2028
2028
1
2023
2023
x
x
x
，
∴代数式
2
5
ax
bx
的最小值是2023
．
故答案为：2023
．
三、解答题
11．用直接开平方法解下列方程．
(1)
2
(2
1)
4
0
x
；
(2)
2
4(
1)
8
0
x
．
【答案】(1)
1
2
3
1
,
2
2
x
x
(2)
1
2
1
2,
1
2
x
x
【分析】（1）直接开平方解一元二次方程；
（2）直接开平方解一元二次方程．
【详解】（1）解：
2
(2
1)
4
0
x
2
(2
1)
4
x
2
1
2
x
∴
1
2
3
1
,
2
2
x
x
；
（2）解：
2
4(
1)
8
0
x
2
4(
1)
8
x
2
(
1)
2
x
1
2
x
∴
1
2
1
2,
1
2
x
x
．
12．解方程：
(1)
2
3
1
27
0
x
；
(2)
2
6
4
0
x
x
．
【答案】(1)
1
2
4,
2
x
x
(2)
1
2
3
13,
3
13
x
x
【详解】（1）解：
2
3
1
27
0
x
，
2
3
1
27
x
，
2
1
9
x
，
1
3
x ，
解得
1
2
4,
2
x
x
；
（2）解：
2
6
4
0
x
x
，
2
6
4
x
x
，
2
6
9
13
x
x
，
2
3
13
x
，
3
13
x
，
解得
1
2
3
13,
3
13
x
x
．
13．解下列方程：
(1)
2
2
3
6
0
x
x
；
(2)
2
2
1
2
0
3
3
x
x
．
【答案】(1)
1
3
57
4
x
，
2
3
57
4
x
(2)
1
3
2
x
，
2
2
x
【详解】（1）解：
2
2
3
6
0
x
x
2
3
3
0
2
x
x
2
3
3
2
x
x
2
2
3
3
9
3
2
4
16
x
x
2
3
57
4
16
x
3
57
4
4
x
解得
1
3
57
4
x
，
2
3
57
4
x
；
（2）解：
2
2
1
2
0
3
3
x
x
2
1
3
0
2
x
x
2
1
3
2
x
x
2
2
2
1
1
1
3
2
4
4
x
x
2
1
49
4
16
x
1
7
4
4
x
解得
1
3
2
x
，
2
2
x ．
14．下面是小明同学解一元二次方程
2
2
8
3
0
x
x
的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：二次项系数化为1，得
2
3
4
0
2
x
x
，……第一步
移项，得
2
3
4
2
x
x
，……第二步
配方，得
2
3
4
4
2
x
x
，……第三步
2
3
2
2
x
，……第四步
由此可得
6
2
2
x
，……第五步
解得
6
2
2
x
……第六步
(1)任务一：
①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？
②哪一步首先
．．出现错误，错误的原因是什么？
(2)任务二：请你写出该方程的正确求解过程．
【答案】(1)①方法是配方法，依据是完全平方公式；②第三步，配方时仅在方程左边加上一次项系数一半
的平方，右边未同时加上该数，等式不成立
(2)
1
22
2
2
x
，
2
22
2
2
x
【分析】（1）①根据配方法解方程的步骤可得解方程的方法；②由完全平方公式的含义可得答案；
（2）正确利用配方法进行求解即可．
【详解】（1）解：①根据题干信息，解此一元二次方程的方法是配方法，
配方法依据的数学公式是完全平方公式，
②第三步首先出现错误，配方时仅在方程左边加上一次项系数一半的平方，右边未同时加上该数，等式不
成立．
（2）解：二次项系数化为1，得
2
3
4
0
2
x
x
，
移项，得
2
3
4
2
x
x
，
配方，得
2
3
4
4
4
2
x
x
，
即
2
11
2
2
x
，
由此可得
22
2
2
x
，
解得
1
22
2
2
x
，
2
22
2
2
x
．
15．“配方法”在数学中非常有用，有时我们可以将代数式配成完全平方式如：
2
2
2
4
5
4
4
1
2
1
x
x
x
x
x
，
2
2
0
x
，
2
2
1
1
x
，
2
4
5
1
x
x
；有时我们也可以
用配方法解一元二次方程．请解决下列问题：
(1)填空：代数式
2
6
10
x
x
有最_______（填“大”或“小”）值：这个最值为________；
(2)证明：代数式
2
3
6
5
x
x
的值恒为正数．
(3)如图，在
ABC
中，
90
ACB
，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段AB 于点D；以点A 为圆
心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E，连接CD．设BC
a
，AC
b
．
①则图中线段________（空格中填写图中的线段）的长是方程
2
2
2
x
ax
b
的一个根，你是如何得到这个结
论的？请写出你的发现过程．
②若AD
EC
，则b
a 的值为________．
【答案】(1)小，1
(2)见详解
(3)①AD ，过程见详解；②4
3
【分析】（1）将
2
6
10
x
x
化简为
2
3
1
x
，再完全平方式的非负性判断即可；
（2）将
2
3
6
5
x
x
化简为
2
3
1
2
x
，再完全平方式的非负性判断即可；
（3）①将
2
2
2
x
ax
b
化简为
2
2
x
a
a
b
，由勾股定理得x
a
AB
，再等量代换即可；②由题意得
AD
AE
EC
，根据AB
BD
AE
，
2
AC
AE
EC
AE
，得
2
2
2
2
a
b
a
b
，化简得
4
3
b
a
．
【详解】（1）解：
2
2
2
6
10
6
9
1
3
1
x
x
x
x
x
∵
2
3
0
x
，
∴
2
3
1
1
x
，
∴
2
6
10
1
x
x
，
∴代数式
2
6
10
x
x
有最小值：这个最值为1；
（2）证明：
2
2
2
3
6
5
3
2
1
2
3
1
2
x
x
x
x
x
，
∵
2
1
0
x
，
∴
2
3
1
2
2
0
x
，
∴代数式
2
3
6
5
x
x
的值恒为正数；
（3）解：①∵
2
2
2
x
ax
b
，
∴
2
2
2
2
2
x
ax
a
a
b
，
∴
2
2
2
x
a
a
b
，
∴
2
2
x
a
a
b
，
∵BC
a
，AC
b
，
∴
2
2
2
a
b
AB
，
∴
2
2
a
b
AB
，
∴x
a
AB
，
解得x
AB
a
AB
BC
，或x
AB
a
AB
BC
（舍去），
∵以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段AB 于点D；
∴BC
BD
，
∴x
AB
BD
AD
；
②∵以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E，AD
EC
∴AD
AE
EC
，
∵AB
BD
AE
，
2
AC
AE
EC
AE
，
∴
2
2
a
b
a
AE
，
2
b
AE
，
∴
2
2
2
2
a
b
a
b
2
2
2
2
a
b
b
a
2
2
2
4
2
a
b
b
a
2
2
2
2
4
4
4
4
a
b
b
ab
a
2
3
4
b
ab
3
4
b
a
∴
4
3
b
a
．
