文档文本内容
第04 讲用因式分解法求解一元二次方程
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 用因式分解法（除十字相乘法）解一元二次方程
题型2 用十字相乘法求解一元二次方程
题型3 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题
题型4 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题
题型5 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题
题型6 换元法解一元二次方程
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
因式分解法、降次、
积为零、提取公因
式、公式法。
1. 理解因式分解法的原理（若AB=0，则A=0 或B=0），体会降次思想。
2. 能根据方程特点，选择提取公因式法、平方差公式或完全平方公式分解因式。
3. 熟练运用因式分解法解一元二次方程，并规范书写求解步骤。
4. 对比四种解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），能根据方
程特征灵活选择简便方法。
学习重点：运用因式分解法（提公因式、平方差、完全平方）解一元二次方程。
学习难点：根据方程特征灵活选择合适的因式分解方法，以及对含括号或需要变形的方程正确分解。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
【易错提醒】
必须先化为一般形式并移项使右边为0，再分解因式。注意：不能两边同时除以含未知数的式子，否则会失
根。
即时即练1．用因式分解法解方程：
(1)
2
3
4
9
12
x
x
(2)
2
2
3(
2)
4
x
x
2．用十字相乘法解方程
(1)
2
90
0
x
x
(2)
2
2
10
0
x
x
知识点02
常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有
未知数的代数式.
【易错提醒】
提公因式时注意符号与漏项；平方差公式看清谁减谁；完全平方公式勿忘中间项；十字相乘要验证交叉和。
分解务必彻底。
即时即练1．用恰当的方法解下列方程．
(1)
2
4
1
0
x
x
(2)
3
1
2
1
x x
x
2．用适当的方法解下列一元二次方程
(1)
2
6
2
7
x
x
(2)
2
2
(2
1)
(3
)
x
x
题型1 用因式分解法（除十字相乘法）解一元二次方程
【例1】解方程：
0
(
)
2
2
2
x x
x
．
【例2】解方程：
3
4
3
0
x x
x
．
【技巧归纳】
1. 移项整理：方程一边化为0。
2. 分解因式：提公因式、平方差、完全平方公式分解。
3. 令各因式为零：得两个一元一次方程求解，注意不能两边同除以含未知数的项。
【变式1-1】解方程：
2
3
3
3
x x
x
．
【变式1-2】解方程：
3
2
2 2
x x
x
【变式4】用因式分解法解方程：
2
7
2
7
x
x
x
．
题型2 用十字相乘法求解一元二次方程
【例3】用十字相乘法解方程：
(1)
2
3
2
0
x
x
；
(2)
2
5
6
0
x
x
；
(3)
2
3
5
12
0
x
x
．
【例4】阅读材料：由多项式乘法得
2
x
a
x
b
x
a
b x
ab
，将该式从右到左使用，即可得到“十
字相乘法”进行因式分解的公式：
2x
a
b x
ab
x
a
x
b
．
示例：分解因式：
2
2
5
6
2
3
2 3
2
3
x
x
x
x
x
x
．
(1)尝试：分解因式
2
6
8
x
x
( x ______)( x ______)；
(2)应用：请用上述方法解方程
2
3
4
0
x
x
．
(3)拓展：用因式分解法解方程
2
16
0
x
kx
时，得到的两根均为整数，则k 的值可以为_____．
【技巧归纳】
1. 拆首尾：将二次项、常数项分解因数，交叉相乘再相加得一次项系数。
2. 横写因式：写成(x+p)(x+q)=0 形式。
3. 快速检验：p+q=b，p∙q=c。注意符号调整。
【变式2-1】阅读材料：解方程
2
2
35
0
x
x
，我们可以按下面的方法解答：
（1）分解因式
2
2
35
x
x
①竖分二次项与常数项：
2
, 35
5
7
x
x x
②交叉相乘，验中项：
③横向写出两因式：
2
2
35
(
5)(
7)
x
x
x
x
（2）根据乘法原理，若
0
ab
，则
0
a
或
0
b
，则方程
2
2
35
x
x
可以这样求解：
方程左边因式分解得(
5)(
7)
0
x
x
5
0
x
或
7
0
x
1
2
5,
7
x
x
试用上述这种十字相乘法解下列方程
(1)
2
5
4
0
x
x
；
(2)
2
6
8
0
x
x
；
(3)
2
3
10
0
x
x
；
(4)
2
6
7
0
x
x
．
【变式2-2】阅读与理解：
（1）将
2
2
3
2
x
x
进行因式分解，我们可以按下面的方法解答
解：①竖分二次项与常数项：
2
2
2
x
x x
，
2
2
1
．
②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）；
③横向写出两因式：
2
2
3
2
2
1
2
x
x
x
x
．
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法．
（2）例：解方程
2
3
2
0
x
x
．
解：
2
1
0
x
x
，
2
0
x
或
1
0
x
，
1
2
x
，
2
1
x ；
请用上述方法解答下列问题．
（3）①因式分解：
2
4
3
x
x
______；
②解方程：
2
2024
2019
5
0
x
x
；
③已知
2
2
6
8
0
0
m
mn
n
n
，求m
n 的值．
题型3 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题
【例5】下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程
5
3
2
2 2
3
x
x
x
的过程，请仔细阅读并完成相应
的任务．
小刚同学：
解：
5
3
2
2 2
3
x
x
x
．第一步
5
2
x ．第二步
解得
2
5
x
．第三步
小颖同学：
解：
5
3
2
2 2
3
x
x
x
．第一步
5
3
2
2 2
3
0
x
x
x
．第二步
5
2
3
2
0
x
x
．第三步
5
2
0
x
或3
2
0
x
．第四步
解得
2
5
x
或
2
3
x
第五步
任务一：
①小刚同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________；
②小颖同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________．
任务二：写出该方程的正确求解过程．
【例6】下面是壮壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务：
解方程：
2
2
4 2
5
9 3
1
y
y
．
解：
2
2
4 2
5
9 3
1
0
y
y
，……第一步
4
10
9
3
4
10
9
3
0
y
y
y
y
，……第二步
13
13
5
7
0
y
y
，……第三步
13
13
0
y
或5
7
0
y
，……第四步
解得：
1
1
y ，
2
7
5
y
……第五步
任务一：①以上解方程过程中，主要是依据______来求解的（填“配方法”或“公式法”或“因式分解法”或“直
接开平方法”）．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：请正确地解该方程．
【技巧归纳】
1. 找错误点：检查移项是否漏变号，因式分解是否彻底，有无两边同除含未知因式导致丢根。
2. 逆向还原：从错误结果倒推过程，对比正解定位步骤。
3. 验证根：代入原方程确认遗漏或增根。
【变式3-1】下面是小明同学解一道一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：
2
3
1
2 3
1
x
x
．
解：方程两边同除以
3
1
x
，得3
1
2
x
．第一步
移项，合并同类项，得3
3
x
．第二步
系数化为1，得
1
x ．第三步
任务：
①小明的解法从第___________步开始出现错误；
②此题的正确结果是___________；
③用因式分解法解方程：
3
2
2
4
x x
x
．
【变式3-2】按要求解答下列问题：
小华与小芳两位同学解方程
2
3
5
5
x
x
的过程如下框：
小华：
解：两边同时除以
5
x
，得3
5
x
，
∴
8
x
．
小芳：
解：
2
3
5
5
x
x
，
5
3
5
0
x
x
，
5
0
x
或3
5
0
x
，
解得：
1
5
x ，
2
2
x ．
任务：
(1)小华的解法是错误的，原因是．
(2)小芳的解法是（填“正确”或“错误”）．如果小芳的解法正确，请写出用配方法或公式法求解原方程的过
程；如果小芳的解法错误，请直接写出原方程正确的解．
题型4 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题
【例7】菱形ABCD 的一条对角线长为6 ，边AB 长为一元二次方程
3
5
0
x
x
的一个根，则菱形
ABCD 的另一条对角线长为
．
【例8】如果
ABC
一边长是5，另两边分别是一元二次方程
2
7
10
0
x
x
的两个实数根，那么
ABC
是
三角形．
【技巧归纳】
1. 列几何关系：用边长、面积、勾股定理等建立方程，化简为一元二次方程。
2. 因式分解求根：对方程因式分解，得解。
3. 检验取舍：剔除不满足几何条件（如边长非负、三角形三边关系）的根。
【变式4-1】如果一元二次方程
8
4
8
x x
x
的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等
腰三角形的周长为
．
【变式4-2】若菱形ABCD 的一条对角线长为3，另一条对角线的长是方程
2
7
12
0
x
x
的一个根，则菱形
ABCD 的周长为
．
题型5 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题
【例9】定义：如果关于x 的一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
ac
有一个根是c ，那么我们称这个方程为“黄
金方程”．
(1)判断一元二次方程
2
2
3
0
x
x
是否为“黄金方程”，请说明理由；
(2)已知关于x 的一元二次方程
2
2
0
0
x
bx
c
c
是“黄金方程”，求代数式
2
2
1
b
c
的最小值．
【例10】定义：如果关于x 的一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
满足：
0
a
b
c
，那么我们称这个方程
为“黄金方程”．
(1)判断一元二次方程
2
4
11
7
0
x
x
是否为“黄金方程”，并说明理由．
(2)已知
2
3
0
x
mx
n
是关于x 的“黄金方程”，若m 是此方程的一个根，则m 的值为多少？
【技巧归纳】
1. 读懂定义：将新运算转化为常见代数式（如a※b = a2 - b2）。
2. 列方程：按定义列出方程，化简为标准一元二次方程。
3. 因式分解求解：用合适方法分解，解出未知数，注意检验定义域。
【变式5-1】定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1 方程”．例如
2
0
x
x
是“差1
方程”．
(1)判断下列方程是不是“差1 方程”，并说明理由；
①
2
2
3
0
x
x
；
②
2
13
3
0
x
x
．
(2)已知关于x 的方程
2
2
2
0
x
m
x
m
（m 是常数）是“差1 方程”，求m 的值．
【变式5-2】定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例
如：
2
9
x
和
2
3
0
x
x
有且只有一个相同的实数根
3
x ，所以这两个方程为“同伴方程”．
(1)根据定义，判断一元二次方程
2
1
16
x
与
2
4
5
0
x
x
是否属于“同伴方程”；
(2)关于x 的一元二次方程
2
3
2
0
x
x
与
2
1
0
x
x
m
为“同伴方程”，求m 的值．
题型6 换元法解一元二次方程
【例11】阅读材料：我们在解方程
2
1
5
1
4
0
x
x
时，可以将
1
x 看成一个整体，设
1
x
y
，则
原方程可化为
2
5
4
0
y
y
，解得
1
1
y ，
2
4
y
．当
1
y 时，
1
1
x ，解得
2
x
；当
4
y
时，
1
4
x
，
解得
5
x
，原方程的解为
1
2
x
，
2
5
x
．
根据上述材料，解下列方程：
(1)
2
5
4
5
0
x
x
；
(2)
4
2
2
3
18 2
3
81
0
y
y
．
【例12】安阳某初中数学小组在学完一元二次方程章节的内容后，对一道试题展开了交流，请你仔细阅读，
并完成任务．
试题：已知
3
4
10
x
y
x
y
，求x
y
的值．
小明：对于这道试题，我想到了一种“换元法”：设x
y
t
，
则原方程可变形为
3
4
10
t
t
．
即
2
2
0
t
t
；解得1
2
t ，2
1
t ，
2
x
y
或
1
x
y
．
小亮：你的这种方法非常有趣，而且它也是数学学习中常用的一种思想方法．
任务：
(1)已知x、y 满足
2
2
2
2
2
1 2
3
8
x
y
x
y
，求
2
2
2x
y
的值．
(2)若a、b 满足
2
2
2
2
5
6
a
b
a
b
，求
a
b
a
b
的值．
【技巧归纳】
1. 找重复结构：将相同代数式设为新元t，如(x2+x)、
1
�。
2. 化整式方程：解t 的一元二次方程，求出t 值。
3. 回代求解：将t 代回原式解出x，并检验（注意分母不为0、根号非负）。
【变式6-1】我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫
做换元法．例：解方程：
2
2
3
8 2
3
15
0
x
x
．
解：将2
3
x 视为一个整体，设2
3
x
y
，则原方程可化为：
2
8
15
0
y
y
，
因式分解得：
3
5
0
y
y
，解得
1 3
y ，
2
5
y
，
当
3
y 时，2
3
3
x
，解得
1
0
x
；当
5
y
时，2
3
5
x
，解得
2
1
x ；
综上，原方程的解为
1
0
x
，
2
1
x ．
请参考例题，解下列方程：
(1)
4
2
3
5
2
0
x
x
；
(2)
2
2
2
4
3
12
18
0
x
x
x
x
．
【变式6-2】【阅读材料】
解方程：
4
2
5
4
0
x
x
，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设
2x
y
，则
4
2
x
y
，于是原方程可转化为
2
5
4
0
y
y
，解得
1
2
1,
4
y
y
．当
1
y 时，2
1
x ，所以
1
x ；
当
4
y
时，
2
4
x
，所以
2
x ．
所以原方程有四个根：
1
2
3
4
1,
1,
2,
2
x
x
x
x
．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
【问题】
(1)在解方程
2
2
2
4
12
0
x
x
x
x
时，若设
2
y
x
x
，则原方程可转化为___________
(2)若
2
2
2
2
3
2
2
4
8
m
n
m
n
，则
2
2
m
n
___________
(3)参照上面解题的思想方法解方程：
2
5
6
0
2
2
x
x
x
x
．
一、单选题
1．一元二次方程
6
0
x x
的解是（
）
A．
0
x
B．
6
x
C．
1
0
x
，
2
6
x
D．
1
0
x
，
2
6
x
2．三角形两边长分别为3 和6，第三边长是方程
2
6
8
0
x
x
的解，则这个三角形的周长是（
）
A．15
B．13
C．11 或8
D．11 和13
3．定义一种新运算※，规定：
2
a
b
ab
b
※
，如：
2
1 3
1 3
3
3
9
6
※
，则方程2
0
x
※
的解为（
）
A．
2
x
B．
1
0
x
，
2
2
x
C．
1
0
x
，
2
2
x
D．
1
1
x ，
2
2
x
4．关于x 的方程
2
0
a x
m
b
的根是
1
2
6,
3
x
x
（, ,
a b m均为常数，
0
a
），则关于x 的方程
2
4
0
a x
m
b
的根是（）
A．
1
2
2,
7
x
x
B．
1
2
10,
1
x
x
C．
1
2
2,
7
x
x
D．
1
2
6,
3
x
x
5．如果两个代数式a，b 满足ab
c
，且c 是有理数，那么我们称a 与b 是关于c 的“友好代数式”．若2
5
m
与
2 5
n
是关于16 的“友好代数式”（m，n 是有理数），则m
n
的值为（
）
A．52
5 或4
B．4
或4
C．52
5
D．52
5 或4
二、填空题
6．已知关于x 的一元二次方程
2
2
x x
x
，则该一元二次方程的解为________．
7．三角形两边长分别为3 和6，第三边是方程
2
15
54
0
x
x
的根，则三角形的周长为______．
8．已知关于x 的一元二次方程
2
2
(
1)
2
0
m
x
x
m
m
有一根为0，则它的另一个根是_____．
9．若关于x 的一元二次方程
2
2
0
ax
bx
0
a
的根为
1
2025
x
，
2
1
x ，则一元二次方程
2
1
2
a x
bx
b
的根为______．
10．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“牵手方程”,例如方程
2
4
x
和
2
2
0
x
x
有且仅有一个相同的实数根
2
x
,所以这两个方程为“牵手方程”．若方程
2
2
3
0
x
x
和
3
0
x
x
m
为“牵手方程”,则m 的值为__________．
三、解答题
11．解下列方程：
(1)
2
6
0
x
x
；
(2)
2
2
1
0
x
x
．
12．解方程
(1)
2
2
5
3
0
x
x
；
(2)
3
7 3
x x
x
．
13．习题课上老师给了一道解方程的题目：
2
3
2
6
x
x
x
．小马和小明的解法如下：
小马的解法
原方程可化为：
2
6
0
x
x
…第一步，
∴
3
2
0
x
x
…第二步，
∴
1
3
x
，
2
2
x …第三步．
小明的解法
原方程可化为：
3
2
3
x x
x
…第一步，
两边都除以
3
x
…第二步，
∴
2
x
…第三步．
(1)他们的解法都是错误的，小马从第______步开始错误，小明从第______步开始错误；
(2)写出方程正确的解答过程．
14．已知关于x 的一元二次方程
2
3
3
0
x
m
x
m
．
(1)求证：此方程一定有两个实数根；
(2)若
ABC
的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为1，当
ABC
是等腰三角形
时，求m 的值．
15．对于任意实数a，b，c 有
,
*
a b
c
ab
c
，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．例如，
1,2 *3
1 2
3
1
．
(1)求关于x 的一元二次方程
,
1 *2
0
x x
的解；
(2)若关于x 的一元二次方程
2
,
*
2
1
0
x kx
x
x
无实数根，求k 的取值范围．
16．已知m 为实数，关于x 的两个方程分别为
2
6
0
x
mx
和
2
6
0
x
x
m
．
(1)求证：方程
2
6
0
x
mx
一定有两个不相等的实数根；
(2)当方程
2
6
0
x
x
m
有实数根时，求m 的取值范围；
(3)当方程
2
6
0
x
mx
和
2
6
0
x
x
m
有公共的实数根时，求m 的值．
