文档文本内容
第06 讲实际问题与一元二次方程
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 用一元二次方程解决增长率问题
题型2 用一元二次方程解决传播问题
题型3 用一元二次方程解决数字问题
题型4 用一元二次方程解决营销问题
题型5 用一元二次方程解决工程问题
题型6 用一元二次方程解决行程问题
题型7 用一元二次方程解决握手、循环赛问题
题型8 用一元二次方程解决与图形有关的问题
题型9 用一元二次方程解决动态几何问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
建模、传播问题、增长
率、面积、利润、检验
取舍。
1. 能根据实际问题中的数量关系列出一元二次方程，体会数学建模思想。
2. 掌握传播问题、增长率问题、面积问题、利润问题等常见模型。
3. 能根据实际问题背景检验方程解的合理性，并正确取舍。
4. 经历“问题—方程—解答”的过程，提高分析问题和解决问题的能力。
学习重点：分析实际问题中的等量关系，列出一元二次方程并求解。
学习难点：准确寻找隐含的等量关系，以及对求出的根根据实际意义进行取舍（如非负、整数等）。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 一元二次方程的实际应用
一．列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答(写出答案，切忌答非所问).
要点：列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.
二．一元二次方程应用题的主要类型
1.平均变化率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的
次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：平均增长率公式为(1
)n
a
x
b
(a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长
后的量.)
(2)降低率问题：平均降低率公式为(1
)n
a
x
b
(a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低
后的量.)
2.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，
它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、
9 之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单
位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上
数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
3.利息问题
(1)概念：
本金：顾客存入银行的钱叫本金. 利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.
期数：存入银行的时间叫期数.
利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.
(2)公式:利息=本金×利率×期数
利息税=利息×税率
本金×(1+利率×期数)=本息和
本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
4.利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
5.形积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的
面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
【易错提醒】
审清题意（增长率、面积、利润等）。注意方程的解要符合实际（如边长、人数为正）。检验取舍，勿保
留增根。单位要统一。
即时即练1.如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m ）围成中间隔有一道篱笆的
长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 边上用其他材料做了宽为1m 的两扇小门．若花圃
的面积恰好为
2
40 m ．
(1)求此时花圃AB 边的长；
(2)花圃的面积能达到
2
50 m 吗？若能，求出AB 边的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)花圃AB 边的长为4 米．
(2)花圃的面积不能达到
2
50 m ，理由见解析
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用所学知识解
决实际问题成为解题的关键．
（1）设花圃AB 边的长为x，则花圃的边BC 的长为
22
3x
米，由墙的最大可用长度为11m ，可知
11
3
x
，
再根据题意列一元二次方程求解即可；
（2）令
22
3
50
x
x
，再运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可解答．
【详解】（1）解：设花圃AB 边的长为x，则花圃的边BC 的长为
22
3x
米，
∵墙的最大可用长度为11m ，
∴22
3
11
x
，解得：
11
3
x
由题意可得：
22
3
40
x
x
，
整理得：
2
3
22
40
0
x
x
，解得：
4
x
或10
11
3
3
（舍弃）．
答：花圃AB 边的长为4 米．
（2）解：花圃的面积不能达到
2
50 m ，理由如下：
令
22
3
50
x
x
，
整理得：
2
3
22
50
0
x
x
，
因为
2
22
4 3 40
116
0
，
所以方程
2
3
22
50
0
x
x
无解，即花圃的面积不能达到
2
50 m ．
2.某商店销售某种商品，平均每天可售出20 件，每件盈利40 元，由于疫情滞销该店采取了降价措施，在每
件盈利不少于24 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1 元，平均每天可多售出2 件．
(1)若该商品经过两次降价后，每件可以获得的利润是32.4元，求这两次降价的平均降价率是多少？
(2)经调查，在每件盈利不少于24 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1 元，平均每天可
多售出2 件．若该商店每天预期销售利润为1232 元，则每件商品应降价多少元？
【答案】(1)10%
(2)若该商店每天销售利润为1232 元，每件商品可降价12 元
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查一元二次方程的应用．
（1）设这两次平均降价率是a ，再根据题意列式计算即可；
（2）设每件商品降价x 元，则每件盈利(40
)x
元，平均每天可售出(20
2 )x
件，再根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：设这两次平均降价率是a ，
根据题意可得：
2
40(1
)
32.4
a
，
解得：
1
0.1
a
或
2
1.9
a
（舍），
答：这两次降价的平均降价率是10% ．
（2）解：设每件商品降价x 元，则每件盈利(40
)x
元，平均每天可售出(20
2 )x
件，
根据题意得：(40
)(20
2 )
1232
x
x
，
解得：
1
2
12,
18
x
x
，
∵40 18
22
24
，
∴
12
x
，
答：若该商店每天销售利润为1232 元，每件商品可降价12 元．
题型1 用一元二次方程解决增长率问题
【例1】某电冰箱生产企业原生产一台电冰箱的能耗为300kW h
，为了响应国家关于生产总值能源消耗降
低的号召，该企业自2022 年开始进行技术改革，到2024 年，该企业生产一台电冰箱的能耗降低到243kW h
．
(1)求该企业从2022 年到2024 年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率；
(2)若2025 年该企业生产一台电冰箱能耗的平均降低率与前两年相同，请计算2025 年该企业生产一台电冰
箱的能耗是多少？
【答案】(1)10%
(2) 218.7kW h
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；
（1）设该企业从2022 年到2024 年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为x，根据题意列一元二次方程求
解即可；
（2）根据2024 年能耗及（1）中求出的平均降低率，即可求解．
【详解】（1）解：设该企业从2022 年到2024 年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为x，
2
300 1
243
x
，
解得
1
0.1
10%
x
，
2
1.9
190%
x
（不合题意，舍去），
答：该企业从2022 年到2024 年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为10% ；
（2）解：
243
1 10%
218.7
kW h
答：2025 年该企业生产一台电冰箱的能耗是218.7kW h
．
【例2】习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．实验中
学为了给学生更加良好的阅读体验，决定加大图书购置经费的投入．前年投入图书购置经费2 万元，今年
投入图书购置经费2.42 万元．求该校这两年投入图书购置经费的年平均增长率．
【答案】该校这两年投入图书购置经费的平均增长率为10%
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该校这两年投入图书购置经费的平均增长率为x，利用该校今
年投入图书购置经费该校前年投入图书购置经费（1该校这两年投入图书购置经费的平均增长率）2 ，
可列出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设该校这两年投入图书购置经费的平均增长率为x，
根据题意得：
2
2 1
2.42
x
，
解得：
1
0.1
10%
x
，
2
2.1
x
（不符合题意，舍去）．
答：该校这两年投入图书购置经费的平均增长率为10% ．
【技巧归纳】
1. 设基础量：设起始量为a，增长率为x，则n 次后为a(1+x)n。
2. 列方程：根据末期量列式，如a(1+x)2 = b。
3. 取舍根：解得x 为正，负值舍去，注意单位统一。
【变式1-1】某海岛位于北纬30，全年气候温暖湿润，光照充足，非常适合种植柑橘．2022 年某合作社
种植“红美人”柑橘平均亩产量为800kg ，为了提高“红美人”柑橘产量，引进先进的种植技术，到2024 年
平均亩产量达到1352kg ．
(1)若2022 年到2024 年种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率相同，求种植“红美人”柑橘平均亩产量的
年增长率．
(2) 2025 年该合作社计划种植“红美人”柑橘面积10亩，每亩种植成本为3 万元，为了扩大产量，决定增加“红
美人”柑橘种植面积．经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少0.1万元，求该合作社
应增加种植面积多少亩才保持种植总成本不变．
【答案】(1)“红美人”平均亩产量的年增长率为30%
(2) 2025 年该合作社应增加种植面积20 亩
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，如增长率问题等，解题中需掌握不同类型应用题的对应方法．
（1）增长率问题，可根据(1
) =
n
a
x
m
（其中a 为基数，m 为最终值，x 为增长率，n 为年份间隔），即可
求解；
（2）设增加种植面积m 亩，根据两种成本相同列方程即可．
【详解】（1）解：设种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率为x ，可得：
2
1352
800 1
x
（
），
解得，
1
2
0.3,
2.3
x
x
（舍去）
答：种植“红美人”平均亩产量的年增长率为30%；
（2）解：设2025 年该合作社应增加种植面积m 亩，可得：
10
3
0.1
3 10
m
m
，
解得，
1
0
m
（舍去），
2
20
m
，
答：2025 年该合作社应增加种植面积20 亩．
【变式1-2】习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．湘
江新区积极响应，着力打造的“十分钟阅读圈”，让近10万持证读者在新区步行十五分钟内必遇书香．据统
计，某智慧图书馆第一个周进馆125人次，进馆人次逐周增加，到第三个周末累计进馆875人次，若进馆人
次的周平均增长率相同．
(1)求进馆人次的周平均增长率；
(2)因条件限制，该智慧图书馆每周接纳能力不超过1200人次，在进馆人次的每周平均增长率不变的条件下，
校图书馆能否接纳第四周的进馆人次，并说明理由．
【答案】(1)进馆人次的周平均增长率为100% ；
(2)校图书馆能接纳第四周的进馆人次，理由见解析．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数乘方运算，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题
的关键．
（1）设进馆人次的周平均增长率为x ，然后根据题意列方程
2
125
125 1
125 1
875
x
x
，再解方程并
检验即可；
（2 ）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与1200比较大小即可．
【详解】（1）解：设进馆人次的周平均增长率为x ，
根据题意得，
2
125 125 1
125 1
875
x
x
，
解得：
1
1 100%
x
，
2
4
x （不符合题意，舍去）
答：进馆人次的周平均增长率为100% ；
（2）解：校图书馆能接纳第四周的进馆人次，理由，
∵进馆人次的周平均增长率为100% ，
∴第四周的进馆人次为
3
125
1 1
125 8
1000
1200
，
∴校图书馆能接纳第四周的进馆人次．
题型2 用一元二次方程解决传播问题
【例3】近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短
信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮
后共有111人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
【答案】(1)10人
(2)1111人
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用：
（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x 人，则第一轮小王会发给x 人，第一轮被转发的x 人每个
人又要转发x 人，据此列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求列式求解即可．
【详解】（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x 人，
依题意得：
2
1
111
x
x
解得
10
x
或11
（舍去），
答：这个短信要求收到短信的人必须转发给10人；
（2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：1 1 10
10 10
10 100
1111
（人）．
答：从小王开始计算，三轮后会有1111人有此短信．
【例4】某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个
支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每
个支干长出的小分支个数．
【答案】这种植物每个支干长出的小分支个数是7．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种
植物每个支干长出的小分支个数是x ，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于x 的一元二次
方程，解之取其正值即可得出答案．
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x ，
根据题意，可得
2
1
57
x
x
，
整理得
2
56
0
x
x
，
解得
1
7
x
，
2
8
x （不合题意，舍去），
答：这种植物每个支干长出的小分支个数是7．
【技巧归纳】
1. 设传染源：每轮每传染x 人，首轮后共1+x 人，二轮后共(1+x)2 人。
2. 列方程：根据总人数或轮次列式(1+x)n = N。
3. 取舍根：x>0，若有分数或负数则舍去。
【变式2-1】某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治
疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1 人会传染x 人．若1 人患病，则经过两轮传染就共有81 人患病．
(1)每轮平均1 人会传染多少人？
(2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？
【答案】(1)每轮平均1 人会传染8 人
(2)三轮传染后，患病的人数会超过700
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；
（2）根据数量关系，列式计算．
（1）设每轮传染中平均一个人传染x 个人，根据经过两轮传染后共有81 人患了这种传染病即可得出关于x
的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求
出结论．
【详解】（1）解：由题意，得(
1)
1
81
x x
x
，解得
1
2
8,
10
x
x
（不合题意，舍去）．
故每轮平均1 人会传染8 人．
（2）解：三轮传染后的人数为81 81 8
729
．
729
700
Q
，
∴三轮传染后，患病的人数会超过700．
【变式2-2】鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发
现共有169 只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同．
(1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？
(2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？
【答案】(1)12 只
(2)2197 只
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．
（1）平均每只病鸡传染了x 只健康鸡，则第一天有x 只鸡被传染，第二天有
1
x x
只鸡被传染，所以经过
两天的传染后感染患病的鸡共有：
1
1
x
x x
只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等
量关系列出方程求出符合题意的值即可；
（2）根据经过三轮传染后患病的鸡＝经过两轮传染后患病的鸡数+经过两轮传染后患病的鸡数12
，即可求
出结论．
【详解】（1）解：设每只病鸡传染了x 只健康鸡，由题意得：
1
1
169
x
x x
，
解，得
1
12
x
，
2
14
x
，(不符合题意舍去)，
答：每只病鸡传染健康鸡12 只；
（2）解：169
169 12
2197
，
答：三轮传染后，患病的鸡共有2197 只．
题型3 用一元二次方程解决数字问题
【例5】已知两个连续正奇数的积是143，设其中较小的正奇数是x，可列方程
．
【答案】
2
143
x x
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．
首先，设其中一个奇数为x ，则另一个奇数为
2
x
，列式即可求解；
【详解】解：设其中一个奇数为x ，则另一个奇数为
2
x
，
根据两个连续正奇数的积是143，
可得：
2
143
x x
，
故答案为：
2
143
x x
；
【例6】淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8 变成了15，则这两个正数
中，较大的正数是
．
【答案】5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设其中一个正数为x ，则另一个正数为8
x
，根据两个数的积
是15，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设其中一个正数为x ，则另一个正数为8
x
，
由题意得
8
15
x
x
，
整理得
2
8
15
0
x
x
，即
3
5
0
x
x
，
解得
1
3
x
，
2
5
x
，
∴较大的正数是5，
故答案为：5．
【技巧归纳】
1. 设数位：个位十位分别设元，用10a+b 表示两位数。
2. 列方程：根据数字关系（如平方、乘积、调换位置）建立方程。
3. 解整数组：解得整数根，注意数位范围（0-9，首位非0）。
【变式3-1】2024 年11 月22 日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如
图是2024 年11 月的月历表，在月历表中用方框圈出9 个数字，若圈出的9 个数字中，最大数与最小数的
乘积为297，则最小的数为
．
【答案】11
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，
设最小数为x，可知最大数为(
16)
x
，根据题意得出(
16)
297
x x
，再求出解即可．
【详解】解：最小数为x，可知最大数为(
16)
x
，根据题意，得
(
16)
297
x x
，
解得
1
2
11,
27
x
x
．
∴最小的数为11．
故答案为：11．
【变式3-2】第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古
代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8 作为进
位基数的数字系统，有0 ~ 7 共8 个基本数字，八进制数换算成十进制数是：
3
2
1
0
8
10
(3745)
3 8
7 8
4 8
5 8
(2021)
，表示ICME-14的举办年份．
(1)把八进制数3751换算成十进制数是_________；
(2)小聪设计了一个n 进制数126，换算成十进制数是105，求n 的值．
【答案】(1) 2025 ；
(2) n 的值为9 ．
【分析】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n 的一元二次方程是
解题的关键．
（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2 ）根据n 进制换算成十进制的方法可列出关于n 的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：
3
2
1
0
8
3751
3 8
7 8
5 8
1 8
1536
448
40 1
10
2025
故答案为：2025 ；
（2）解：由题意得，
2
1
0
1
2
6
105
n
n
n
，
整理得：
2
2
99
0
n
n
，
解得：
1
9
n
，
2
11
n
（舍去），
∴n 的值为9 ．
题型4 用一元二次方程解决营销问题
【例7】某公司2 月份销售新上市的A 产品25 套，由于该产品的经济适用性，销售量快速上升，4 月份该
公司销售A 产品达到36 套．
(1)求该公司这两个月销售A 产品的月均增长率；
(2)若销售A 产品每套盈利2 万元，则平均每月可售30 套，为了尽快减少库存，该公司决定采用适当的降价
措施．调查发现，如果A 产品每套每降价0．1 万元，那么公司平均每月可多售出4 套．若该公司想在5 月
份获利70 万元，则每套A 产品应降价多少万元？
【答案】(1) 20%
(2)1 万元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该公司这两个月销售A 产品的月均增长率x ，根据2 月份及4 月份该公司产品的销售量，即可得出
关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每套A 产品应降价m 万元，则平均每月可售出
30
0 1 4
m
.
套，根据总利润，可得出关于m 的一元
二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】（1）设该公司这两个月销售A 产品的月均增长率x ，依题意得：
2
25(1
)
36
x
，
解得：
1
2.2
x
(舍去)，
2
0.2
20%
x
，
该公司这两个月销售A 产品的月均增长率20% ．
（2）设每套A 产品应降价m 万元，依题意得：
2
30
0 1 4
70
m
m
.
，
整理得
2
4
5
1
0
m
m
，
解得：
1
1
m ，
2
0.25
m
，
为了尽快减少库存，取
1
m ，
答：每套A 产品应降价1万元．
【例8】银川市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，
四月份售出75 个，六月份售出108 个，且从四月份到六月份的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)经市场调研发现，该品牌头盔如果每个盈利10 元，月销售量为500 个，若在此基础上售价每上涨1 元，
则月销售量将减少20 个，现在既要使月销售利润达到6000 元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌
头盔每个应涨价多少元？
【答案】(1) 20%
(2)5 元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4 月份及6 月份的月销售量，得出关于x 的一
元二次方程，解之取其正值即可；
（2）设头盔每个涨价m 元，根据“月销售利润达到6000 元”，得出关于m 的一元二次方程求解，根据“尽可
能让顾客得到实惠”取舍即可．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得
2
75 1
108
x
，
解得
1
0.2
x
，
2
2.2
x
（舍），
该品牌头盔销售量的月增长率为20% ；
（2）解：设头盔每个涨价m 元，
由题意得
500
20
10
6000
m
m
，
整理得
2
15
50
0
m
m
，
解得
1
5
m
，
2
10
m
，
要尽可能让顾客得到实惠，
该品牌头盔每个应涨价5 元．
【技巧归纳】
1. 设单价变化：设降价x 元，表示新单价与销量（如每降1 元多卖k 件）。
2. 列利润式：总利润=（单价－进价）×销量，化为方程。
3. 验取值：根需符合题意（销量正、售价非负），取舍合理。
【变式4-1】今年11 月份，某商场购进了一批T 侐和衬衣，商家用16000 元购买T 侐，12000 元购买衬衣，
每件T 恤和每件衬衣进价之和为100 元，且购进T 恤的数量是衬衣的2 倍．
(1)求商场购买T 恤和衬衣的进货单价；
(2)商场在销售过程中发现，当T 恤的销售单价为每件80 元，衬衣的销售单价为每件120 元时，平均每天可
卖出50 件T 恤，30 件衬衣，据统计，衬衣的销售单价每降低5 元，平均每天可以多卖出5 件．为减少库存，
商家在保证T 恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使T 恤和衬衣平均每天的总获利为4000
元，则每件衬衣的售价为多少元？
【答案】(1)每件T 恤的进货单价为60 元，每件衬衣的进货单价为40 元
(2)衬衣的销售单价为100 元
【分析】本题考查分式方程的实际应用、一元二次方程的实际应用，
（1）设每件T 恤的进货单价为x 元，则每件衬衣的进货单价为
100
x
元，根据题意列分式方程求解即可；
（2）设衬衣的销售单价为a 元，根据题意列一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设每件T 恤的进货单价为x 元，则每件衬衣的进货单价为
100
x
元，
由题意得，16000
12000
= 2 100
x
x
，
解得
40
x
，
经检验，
40
x
符合题意，是原方程的解，
100
60
x
元，
答：每件T 恤的进货单价为40 元，每件衬衣的进货单价为60 元；
（2）解：设衬衣的销售单价为a 元，
由题意得，
120
80
40
50
60
30
5 = 4000
5
a
a
，
解得
100
a
，
110
a
（舍），
答：衬衣的销售单价为100 元．
【变式4-2】某商场在去年年底以每台2500 元的进价购进一批某品牌洗衣机，今年1 月份以每台2900 元的
售价销售，1 月份销售量为200 台，二、三月份该品牌洗衣机销量持续走高，在售价不变的情况下，三月份
的销售量达到了288 台．
(1)求二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率；
(2)从四月份起商场要进行内部的装修，现对已有的库存进行降价处理，经调查发现，当该品牌洗衣机售价
为2900 元时，平均每天售出8 台；而当售价每降低50 元时，平均每天就能多售出4 台．商场要想使这种
洗衣机的销售利润平均每天达到5000 元，每台洗衣机的售价应为多少元？
【答案】(1) 20%
(2)2750 元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）设二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率为x ，根据1 月份销售量为200 台，二、三月份该
品牌洗衣机销量持续走高，三月份的销售量达到了288 台，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设每台洗衣机的售价降低y 元，则每台洗衣机的售价应为
2900
y
元，根据以每台2500 元的进价购
进一批某品牌洗衣机，当该品牌洗衣机售价为2900 元时，平均每天售出8 台；而当售价每降低50 元时，
平均每天就能多售出4 台，商场要想使这种洗衣机的销售利润平均每天达到5000 元，列出一元二次方程，
解方程即可．
【详解】（1）解：设二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率为x ，
由题意，得
2
200 1
288
x
，
解得
1
0.2
x
，
2
2.2
x
（舍），
答：二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率为20% ；
（2）解：设每台电器降了y 元，由题意，
得
2900
2500
8
4
5000
50
y
y
，
整理得，
2
300
22500
0
y
y
，
解得，
1
2
150
y
y
，
2900
2900
150
2750
y
，
答：每台电器的售价应为2750 元．
题型5 用一元二次方程解决工程问题
【例9】学校图书馆需将4800 本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲
计划每天比乙计划每天多整理100 本图书，且甲整理1200 本图书与乙整理1000 本图书的时间相等
(1)求甲计划每天整理多少本图书？
(2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多4a 本，最终
完成所用的时间比甲计划所需的时间少0.04a 天，求a 的值
【答案】(1)600
(2)50
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设乙计划每天整理x 本图书，则甲计划每天整理
100
x
本图书，结合甲整理1200 本图书与乙整理
1000 本图书的时间相等，列分式方程求解；
（2）先得出计划时间为8 天，根据实际工作效率和时间关系列一元二次方程求解，即可作答．
【详解】（1）解：设乙计划每天整理x 本图书，则甲计划每天整理
100
x
本图书，
依题意，1200
1000
100
x
x
，
解得
500
x
，
经检验：当
500
x
时，
100
0
x x
，
∴
500
x
是原分式方程的解，
∴甲计划每天整理500 100
600
（本）
（2）解：由（1）得甲计划每天整理600 本，
∵总图书4800 本，
则计划时间4800
8
600
天，
依题意，甲实际每天整理
600
4a
本，实际完成时间
8
0.04a
天
根据工作量关系，得方程
600
4
8
0.04
4800
a
a
，
展开得4800
24
32
0.16 ²
4800
a
a
a
，
化简得
2
8
0.16
0
a
a
，
即(8
0.16 )
0
a
a
解得
0
a
或
50
a
，
由于
0
a
不符合实际意义，故
50
a
．
【例10】列方程解下列问题：
某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉
礼盒数量的1.5 倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20 人时，当天加
工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400 个．
(1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？
(2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：m 名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种
腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加m 个，每名工人每天加工
甲种腊肉礼盒比以前增加2m个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000 个，求m 的值．
【答案】(1)360 个；240 个
(2)80
【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用：
（1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒x 个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒1.5x 个，根据题意列分式
方程，解方程即可．
（2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000 个，列一元
二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒x 个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒1.5x 个．
根据题意，得14400
14400
20
1.5
x
x
．
化为整式方程，得14400 1.5 14400
20 1.5x
，
解方程，得
240
x
．
经检验，
240
x
是原方程的解．
则1.5
360
x
．
答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360 个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240 个．
（2）解：工人总数为：14400
14400
100
240
360
（人）．
根据题意，得
100
360
2
240
36000
m
m
m
m
．
整理得
2
80
0
m
m
．
解得
1
80
m
，
2
0
m
（舍去）．
答：m 的值为80．
【技巧归纳】
1. 设效率：设甲、乙单独完成需x、y 天，效率为
1
�、
1
�。
2. 列方程：根据合作时间、完成工作量列分式方程，化为整式方程。
3. 验根：解为正数，且检验分母不为零与时间合理。
【变式5-1】列方程解下列问题：
甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10 个，甲生产120 个该种零件的时间与乙生产100 个
该种零件的时间相同．
(1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？
(2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了
5 %
m
，乙每小时比原来多生产m 个零件，甲、乙两人同时工作m 小时共可以生产1500 个零件，求m 的值．
【答案】(1)甲每小时生产60 个零件，则乙每小时生产50 个零件
(2)10
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解
题的关键．
（1）设甲每小时生产x 个零件，则乙每小时生产
10
x
个零件，根据“甲生产120 个该种零件的时间与乙
生产100 个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解；
（2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为
60
60 5 %
60
3
m
m
，乙每小时生产
50
m
个
零件，根据“甲、乙两人同时工作m 小时共可以生产1500 个零件，” 列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设甲每小时生产x 个零件，则乙每小时生产
10
x
个零件，根据题意得：
120
100
10
x
x
，
解得：
60
x
，
经检验，
60
x
是原方程的解，且符合题意，此时
10
50
x
，
答：甲每小时生产60 个零件，则乙每小时生产50 个零件；
（2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为
60
60 5 %
60
3
m
m
，乙每小时生产
50
m
个零
件，根据题意得：
60
3
50
1500
m
m m
，
整理得：
2
2
55
750
0
m
m
，
解得：
1
2
75
10,
2
m
m
（舍去），
即m 的值为10．
【变式5-2】“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔3200盒月饼的订单，现
决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工10天，乙组加工8 天就能完成这笔订单，且甲
组3 天加工的月饼数量比乙组2 天加工的月饼数量多300盒．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼；
(2)甲、乙两组同时开工2 天后，这笔订单临时又增加了500盒月饼，甲组从第3 天起提高了工作效率，而
乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工100盒月饼，则甲、
乙两组就各自都提前1 天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、
乙两组都提前多少天完成了这笔订单？
【答案】(1)甲组平均每天能加工200 盒月饼，乙组平均每天能加工150盒月饼
(2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2 天完成了这笔订单
【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键．
（1）设甲组平均每天能加工x 盒月饼，乙组平均每天能加工y 盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程
再求解即可；
（2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a 天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合
题意的整数解即可．
【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x 盒月饼，乙组平均每天能加工y 盒月饼，
根据题意，得
10
8
3200
3
2
300
x
y
x
y
，
解得
200
150
x
y
，
答：甲组平均每天能加工200 盒月饼，乙组平均每天能加工150盒月饼；
（2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a 天完成了这笔订单，根据题意，得
2
200 150
200 100
10
2
150 8
2
3200
500
a
a
a
，
整理得
2
2
9
10
0
a
a
，
解得
1
2
a
，
2
5
2
a
（不符合题意，舍去），
答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2 天完成了这笔订单．
题型6 用一元二次方程解决行程问题
【例11】一个小球以5m / s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停止滚动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动5m 用了多少秒（结果保留根号）？
（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度v （初速度与末速度的算术平均数）与路程s，时间
t 的关系为s
vt
．）
【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少5 m / s
4
；
(2)小球滚动到5m用了
4
2 2
秒．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间；
（2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为s
x ，根据题意列出方程：
5
5
5
4
5
2
x
x
求解即可．
【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，
即
5
5
4
4
，
故小球的滚动速度平均每秒减少5 m / s
4
；
（2）解：设小球滚动到5m 用了s
x ，
即
5
5
5
4
5
2
x
x
，
解得
1
4
2 2
x
（舍），
2
4
2 2
x
．
答：小球滚动到5m 用了
4
2 2
秒．
【例12】如图，甲、乙从直径的两端点A 、B 分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路
程(cm)
l
与时间(s)
t
之间满足关系式
2
1
3
0
2
2
l
t
t t
，乙以4 cm / s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm 。
(1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？
(2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？
【答案】(1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 s ;
(2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7 s .
【分析】根据题意：甲乙第一次相遇时，二者的路程之和为半圆长度21cm，列方程计算即可；
甲乙第二次相遇时，二者的路程之和为三个半圆长度，列方程计算即可.
【详解】解：（1）由图可知，甲、乙第一次相遇时，走过的总路程为半圆的长度21cm.
2
1
3
4
21
2
2
t
t
t
，
解得1
3
t
，2
14
t
（不合题意，舍去）.
答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 s .
（2）由图可知，甲、乙第二次相遇时，走过的总路程为三个半圆的长度.
2
1
3
4
3 21
2
2
t
t
t
，
解得1
7
t
，2
18
t
（不合题意，舍去）.
答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7 s .
【技巧归纳】
1. 设速度或时间：根据路程=速度×时间列方程，常用未知数表示不同阶段的速度或时间。
2. 利用等量关系：如相遇、追及、返回时间相等，建立一元二次方程。
3. 舍去负根：解为正数，检验是否符合实际速度限制。
【变式6-1】如图，小岛D 在码头A 正东方向的80 海里处．已知当轮船甲从码头A 出发以40 海里/ 小时的
速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛D 出发以50海里/ 小时的速度向码头A 行驶．
(1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为50海里？
(2)若轮船甲给正南方向的小岛B 运送物质，当轮船甲到达小岛B 后，发现运送物质不足，此时行驶到C 处
的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿CB 方向前往小岛B 进行物质补充．若两艘轮船在上午7 时
出发，轮船乙在上午9时到达小岛B ，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？
【答案】(1)1或39
41 小时；
(2)上午8 时．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）设轮船出发t 小时后，两艘轮船之间的直线距离为50海里，则轮船甲与码头A 的距离为40t 海里，轮
船乙与码头A 的距离为
80
50t
海里，根据题意得可
2
2
2
80
50
40
50
t
t
，然后解方程即可；
（2 ）设轮船甲出发x 小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则
50
CD
x
海里，
CD
80
50
AC
AD
x
海里，
40
AB
x
海里，
50
9
7
BC
x
海里，根据勾股定理得得
2
2
2
AB
AC
BC
，则有
2
2
2
40
80
50
50
9
7
x
x
x
，然后解方程并检验即可．
【详解】（1）解：设轮船出发t 小时后，两艘轮船之间的直线距离为50海里，则轮船甲与码头A 的距离为40t
海里，轮船乙与码头A 的距离为
80
50t
海里，
根据题意得可
2
2
2
80
50
40
50
t
t
，
解得：1
1
t ，2
39
41
t
，
答：两艘轮船出发1或39
41 小时后，两艘轮船之间的直线距离为50海里；
（2）解：设轮船甲出发x 小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则
50
CD
x
海里，
CD
80
50
AC
AD
x
海里，
40
AB
x
海里，
50
9
7
BC
x
海里，
在Rt
ABC
△
中，由勾股定理，得
2
2
2
AB
AC
BC
，
即
2
2
2
40
80
50
50
9
7
x
x
x
，
整理，得
2
4
5
9
0
x
x
，
解得，
1
2
9
1,
4
x
x
（不符合题意．舍去）．
∴7 1
8
，
答：轮船甲在上午8 时向轮船乙发出需要补充物质的指令．
【变式6-2】如图，某海军基地位于A 处，在其正南方向20 海里处有一重要目标B ，在B 的正西方向20 海
里处有一重要目标C ，小岛D 位于AC 的中点，岛上有一补给码头；一艘军舰从A 出发，经B 到C 匀速直线
巡航．
(1)为提前完成第一次巡航任务，军舰调整速度为原来的1.5 倍，结果提前2 h
3
到达目标C 处，求军舰原来的
速度是多少？
(2)在第二次军舰巡航时，一艘补给船同时从D 出发，沿南偏东方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已
知军舰航行的总路程是补给船的3 倍，军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处，那么相遇时补给船航
行了多少海里？
【答案】(1)军舰原来的速度是20 海里/h；
(2)补给船航行了12.5海里．
【分析】（1）设原来的速度为v 海里/h ，则调整后的速度为1.5v 海里/h，先求出总路程，再根据题意列分
式方程求解即可；
（2）连接DF 交BC 中点于F，则DF 是
ABC
的中位线，可知
10
DF
海里，
10
BF
海里，
90
CFD
，
设相遇时补给船航行了x 海里，则
30
3
EF
x
海里，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：设原来的速度为v 海里/h，则调整后的速度为1.5v 海里/h ，
由题意可知
20
AB
海里，
20
BC
海里，
则总路程为20
20
40
（海里），
∵军舰调整速度为原来的1.5 倍，结果提前2 h
3
到达目标C 处，
∴40
40
2
1.5
3
v
v
，
解得：
20
v
，
经检验，
20
v
是原分式方程的解，
∴军舰原来的速度是20 海里/h；
（2）解：取BC 的中点F ，连接DF ，
则DF 是
ABC
的中位线，
∴
10
DF
海里，
10
BF
海里，
90
CFD
，
设相遇时补给船航行了x 海里，即DE
x
海里，
∵军舰航行的总路程是补给船的3 倍，
∴军舰路程为
3
AB
BE
x
海里，
则
3
20
BE
x
海里，
∴
10
3
20
30
3
EF
BF
BE
x
x
海里，
在Rt
DEF
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
DE
DF
EF
，
即
2
2
2
10
(30
3 )
x
x
，
解得：
1
10
x
，
2
12.5
x
，
当
10
x
时，E 与F 重合，DE 为正南方向，不符合“南偏东”的条件，舍去，
∴补给船航行了12.5海里．
题型7 用一元二次方程解决握手、循环赛问题
【例13】九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1 场），嘉
嘉说：“本次比赛一共进行了40 场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40 场．”设有x 人报名参
加比赛．
(1)依据两人对话，乐乐列出方程：
1
1
40
2 x x
．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确；
(2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4 场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40 场，求x 的值．
【答案】(1)正确
(2)10
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．
（1）设有x 人报名参赛，根据题意列方程
1
40
2
x x
，然后解方程，根据方程根的情况可得结论；
（2）结合设有x 人报名参赛，有一人比赛了4 场后退出比赛，由题意
1
2
4
40
2
x
x
，整理并求解即
可．
【详解】（1）解：依题意，
1
1
40
2 x x
，
∴
1
80
x x
，
整理得
2
80
0
x
x
解得
1
321
2
x
，不为整数，
∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40 场，
故淇淇的说法是正确，
（2）解：∵有一人比赛了4 场后退出比赛，
由题意得
1
2
4
40
2
x
x
，
整理得
2
3
70
0
x
x
，
∴
10
7
0
x
x
，
解得
1
2
10
7
x
x
,
（舍去），
∴x 的值为10．
【例14】某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45 次，则参加聚会的同学共有多少人？设
参加聚会的同学共有x 人．
(1)填空：根据题意，可列方程：；
(2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2 条，
多边形的对角线可以有27 条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由．
【答案】(1)
1
45
2
x x
(2)多边形对角线可以有27 条，即多边形的边数为9
【分析】（1）设参加聚会的同学共有x 人，每个人与其他
1
x
个人握手，所有到会同学都互相握一次手，
因此总次数为
1
1
2 x x
，根据共握手45 次，列出方程即可．
（2）设多边形的边数为n ，对角线数量为27，依题意可以得到方程
3
27
2
n n
，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设参加聚会的同学共有x 人，每个人与其他
1
x
个人握手，所有到会同学都互相握一
次手，因此总次数为
1
1
2 x x
，根据共握手45 次，
列出方程为：
1
45
2
x x
，
故答案为：
1
45
2
x x
．
（2）解：设多边形的边数为n ，对角线数量为27
依题意可以得到方程
3
27
2
n n
化简为
2
3
54
0
n
n
解得
9
n
或
6
n
因为n 为正整数，所以
9
n
答：多边形对角线可以有27 条，即多边形的边数为9．
【技巧归纳】
1. 握手模型：n 人握手总次数
�(�−1)
2
= N。
2. 循环赛模型：n 队单循环总场次
�(�−1)
2
= N。
3. 双循环：n(n-1)=N。解得n 为正整数，舍负根。
【变式7-1】某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1 场）．乐
乐和淇淇针对这次比赛有如下对话：
(1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确；
(2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40 场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1 人身体不适，只
参加了4 场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x 的值．
【答案】(1)
1
1
40
2 x x
，淇淇的说法正确
(2)10
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．
（1）设有x 人报名参赛，根据题意列方程
1
1
40
2 x x
，然后解方程，根据方程根的情况可得结论；
（2）结合设有x 人报名参赛，有一人比赛了4 场后退出比赛，由题意
1
2
4
40
2
x
x
，整理并求解即
可．
【详解】（1）解：根据题意，乐乐列出的方程应该是：
1
1
40
2 x x
，
∴
1
80
x x
，
整理得
2
80
0
x
x
，
解得
1
321
2
x
，不为整数，
∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40 场，
故淇淇的说法正确；
故答案为：
1
1
40
2 x x
；
（2）解：∵有一人比赛了4 场后退出比赛，
由题意得
1
2
4
40
2
x
x
，
解得
1
10
x
，
2
7
x （舍去），
∴x 的值为10．
【变式7-2】为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分
A、B 两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A 组、B 组
队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B 组比A 组队伍数多1 个．小组赛采取单循环赛制（即每支
队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2 名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜
一场得2 分，负一场得0 分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具
体如下：
(1)已知该校八年级共有10 个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分；
(2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112 分．求本次比赛参赛队伍个
数；
(3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162 分吗？若能，请求出此时参
赛的队伍数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)40
(2)本次比赛参赛队伍个数为16 队
(3)能，参赛的队伍数为19 队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162 分
【分析】（1）先求出A 组、B 组队伍数同为5 个班级，且每个小组内场次为
5
5 1
10
2
场，进而求出结
论；
（2）设A 组、B 组队伍数均为x 队，列方程求解即可；
（3）设A 组有y 队，则B 组有
1
y
队，列方程求解即可；
【详解】（1）解：∵该校八年级共有10 个班级参加比赛，
∴A 组、B 组队伍数一样多，同为5 个班级，
∴每个小组内场次为
5
5 1
10
2
场，
∴小组赛结束后，全部队伍累计总得分共10
2
2
40
分；
（2）解：因为参赛队伍总数为偶数个，
所以A 组，B 组队伍数一样多．
所以设A 组、B 组队伍数均为x 队．则
1
2 2
112
2
x x
，
解得
1
8
x
，
2
7
x （不符合题意，舍去），
则8 8
16
+ =
队，
答：本次比赛参赛队伍个数为16 队；
（3）解：能，理由如下：
因为参赛队伍总数为奇数，所以设A 组有y 队，则B 组有
1
y
队．
所以
1
1
2
2
162
2
2
y y
y
y
，
解得
1
9
y
，
2
9
y （不符合题意，舍去），
所以
1
10
y
，
则9 10
19
队，
答：参赛的队伍数为19 队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162 分．
题型8 用一元二次方程解决与图形有关的问题
【例15】某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为
36
a
米的墙，另三边用总长为59 米的篱笆围
成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ，并在BC 边上留有一扇1 米宽的门．
(1)若围成的花圃面积为400 平方米，求AB 的长；
(2)能否使得围成的花圃面积为500 平方米？请说明你的理由．
【答案】(1)20 米
(2)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式等知识点，根据题意正确列出关于x 的方程成
为解题的关键．
（1）设AB 边的长为x 米，则
59
2
1
60
2
BC
x
x
米，然后利用矩形的面积公式列二元一次方程求解，
然后再求出BC 验证即可解答；
（2）先根据题意列一元二次方程求解，然后运用根的判别式判定方程根的情况即可解答．
【详解】（1）解：设AB 边的长为x 米，则
59
2
1
60
2
BC
x
x
米，
根据题意得：
60
2
400
x x
，
解得：
1
10
x
或
2
20
x
．
当
1
10
x
时，
60
2 10
40
36
BC
，不符合题意；
当
2
20
x
时，
60
2
20
20
36
BC
，符合题意．
答：AB 的长为20 米．
（2）解：不能，理由如下：
由题意可得：
60
2
500
x x
，
整理得：
2
30
250
0
x
x
，
∵
2
30
4
0
，
∴方程
2
30
250
0
x
x
不存在实数根．
∴不能使得围成的花圃面积为500 平方米．
【例16】综合与实践
项目主题：
劳动基地扩建方案
项目背景：
学校计划扩建一校园花坛，综合实践活动小组以设计“花园扩建方案”为主题开展了一次项目学习．
信息获取：（如图所示）
信息1：原花坛为矩形
25 m
15 m
ABCD
AB
BC
，
，
；
信息2：扩建后的新花坛仍为矩形AEFG
AE
，
的长度不能超过35 m
AG
，
的长度不能超过25 m ．
问题解决：
(1)若扩建后花园的面积为
2
600 m ，且BE
DG
，求AG 和AE 的长；
(2)当
3
DG
BE
时，扩建后花园的面积可以为
2
900 m 吗？请说明理由．
【答案】(1) AG 和AE 的长分别为20m和30m ；
(2)不能，理由见解析
【分析】此题重点考查矩形的性质、一元二次方程的应用等知识，正确地用代数式表示扩建后的新花坛的
长和宽是解题的关键．
（1）设
m
BE
DG
x
，则扩建后花园的长为(25
)m
x
，宽为(15
)m
x
，于是得(25
)(15
)
600
x
x
，求得符
合题意的x 值为5，则
20m
AG
，
30m
AE
；
（2）设
m
BE
y
，则
3 m
DG
y
，假设扩建后花园的面积为
2
900m ，则(25
)(15
3 )
900
y
y
，求得
5
y
，此
时
30m
25m
AG
，不符合要求，说明扩建后花园的面积不可以为
2
900m ．
【详解】（1）解：设
m
BE
DG
x
，
根据题意得(25
)(15
)
600
x
x
，
解得
1
5
x ，
2
45
x
（不符合题意，舍去），
5m
BE
DG
，
15m
AD
BC
，
25m
AB
，
20m
AG
AD
DG
，
30m
AE
AB
BE
，
AG
和AE 的长分别为20m和30m ；
（2）解：扩建后花园的面积不可以为
2
900m ，
理由：设
m
BE
y
，则
3 m
DG
y
，
若扩建后花园的面积为
2
900m ，则(25
)(15
3 )
900
y
y
，
解得
1
5
y
，
2
35
y
（不符合题意，舍去），
当
5
y
时，
15m
DG
，
30m
25m
AG
AD
DG
，不符合要求，
扩建后花园的面积不可以为
2
900m ．
【技巧归纳】
1. 找面积/边长关系：用未知数表示图形边长，根据面积公式或勾股定理列方程。
2. 注意非负限制：边长、距离为正，舍去负数或零解。
3. 画示意图：标出已知与未知，明确等量关系。
【变式8-1】在一块长16m，宽12m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下
面分别是小华与小芳的设计方案．
(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条
件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由．
(2)你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，并写出你的设计方案．
【答案】(1)小芳的方案不符合条件，见解析；
(2)见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住等量关系花园的面积等于荒地面积的一半是解决问题的关
键．
（1）利用等量关系花园的长花园的宽荒地面积的一半得到路的宽度，跟小芳所给的道路比较即可；
（2）利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，可得另一方案；保证阴影部分的面积等于荒地
面积的一半即可．
【详解】（1）解：不符合．
设小路宽度均为xm，
根据题意得：
1
16
2
12
2
12 16
2
x
x
解这个方程得：
1
2
x
，
2
12
x
．
但
2
12
x
不符合题意，应舍去，
∴小芳的方案不符合条件；
（2）解：答案不唯一．
例如：
左边的图形，取上边长得中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角
形的面积等于矩形面积的一半；
右图横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4 米时，除去小路剩下的面积为矩形面积
的一半．
【变式8-2】现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为30cm，20cm ．（纸板的厚度忽略不计）
(1)每个矩形硬纸板的四个角分别去掉2 个同样大小的长方形和2 个同样大小的正方形后，可以折叠成一个
有盖的长方体盒子（如图），已知该长方体盒子的底面积是
2
252cm ，求出该盒子的高；
(2)工厂将这些硬纸板全部做成有盖盒子出售．已知每块矩形纸板的成本为12 元，若有盖盒子的售价为24
元/个，则每天可售出18 个．在销售过程中发现，有盖盒子价格每降低1 元，平均每天可多售出2 个，要
使每天获利208 元，则每个有盖盒子应降价多少元？
【答案】(1)该长方体盒子的高为1cm
(2)每个有盖盒子应降价4 元
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，正确读懂题意，列出方程是解题的关键．
（1）设该长方体盒子的高为cm
x
，根据长方体盒子的底面积是
2
252cm ，结合图形得：
1
30
(20
2 )
252
2
x
x
，求解即可；
（2）设每个有盖盒子应降价y 元，则每个有盖盒子售价为(24
)
y
元，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设该长方体盒子的高为cm
x
，
由题意得：1
30
(20
2 )
252
2
x
x
，整理得：
2
25
24
0
x
x
，
解得：
1
1
x ，
2
24
x
（不合题意，舍去），
答：该长方体盒子的高为1cm；
（2）解：设每个有盖盒子应降价y 元，则每个有盖盒子售价为(24
)
y
元，
由题意得：(24
12)(18
2 )
208
y
y
，整理得：
2
3
4
0
y
y
，
解得：
1
4
y
，
2
1
y （不合题意，舍去），
答：每个有盖盒子应降价4 元．
题型9 用一元二次方程解决动态几何问题
【例17】如图所示，在四边形ABCD 中，AD
BC
∥
，
24cm
AD
，
30cm
BC
，点P 从A 向点D 以1cm/ s
的速度运动，到点D 即停止．点Q 从点C 向点B 以2cm / s 的速度运动，到点B 即停止，直线PQ将四边形ABCD
截得两个四边形，分别为四边形ABQP 和四边形PQCD ，
(1)则当P，Q 两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
(2)若
90
B
Ð
=
°，当
8cm
AB
时，直接写出经过______秒后，PQ
CD
．
【答案】(1)8 或10
(2)8 或12
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质和判定，
对于（1），设运动时间为t 秒，表示出
cm,
2 cm
AP
t
CQ
t
，即可得
(30
2 )cm
(24
)cm
BQ
t
DP
t
，
，再
根据
,
AP
BQ DP
CQ
两种情况得出方程，求出解即可；
对于（2），根据题意作出图形，再根据勾股定理求出CD ，并表示出PQ，然后结合PQ
CD
得出方程，求
出解即可．
【详解】（1）解：设运动时间为t 秒，可知
cm,
2 cm
AP
t
CQ
t
，则
(30
2 )cm
(24
)cm
BQ
t
DP
t
，
，
当AP
BQ
时，四边形ABQP 是平行四边形，即
30
2
t
t
，
解得
10
t
；
当DP
CQ
时，四边形CDPQ 是平行四边形，即2
24
t
t
，
解得
8
t
．
所以当时间为8 秒或10 秒时，其中一个四边形是平行四边形；
（2）解：如图所示，过点D 作DE
BC
，交BC 于点E，
根据题意可知四边形ABED 是矩形，
∴
8cm,
24cm
AB
DE
AD
BE
，
∴
30
24
6(cm)
CE
BC
BE
．
在Rt
CDE
△
中，
2
2
2
100
CD
DE
CE
，
解得
10
CD
．
如图所示四边形CDPQ 是等腰梯形或平行四边形，即CD
PQ
，此时
2
2
2
PQ
PF
FQ
，
即
2
2
2
[
(30
2 )]
8
10
t
t
，
解得
8
t
或
12
t
，
所以当
8
t
或
12
t
时，CD
PQ
．
故答案为：8 或12．
【例18】如图，在
ABC
中，
90
B
Ð
=
°，
12cm
AB
，
24cm
BC
，动点P 从点A 开始沿着边AB 向点B
以2cm/s的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿着边BC 向点C 以4cm/s的速度移动（不与点
C 重合）．若P、Q 两点同时移动s
t
；
(1)当移动几秒时，
BPQ
的面积为
2
32cm ．
(2)设四边形APQC 的面积为
2
cm
S
，当移动几秒时，四边形APQC 的面积为
2
108cm ？请说明理由．
【答案】(1)当移动2 秒或4 秒时，
BPQ
的面积为
2
32cm ；
(2)当移动3 秒时，四边形APQC 的面积为
2
108cm ，理由见解析．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积．
（1）求运动时间为t 秒时PB 、BQ 的长度，根据三角形的面积公式列一元二次方程计算即可；
（2）令
ABC
的面积减去
BPQ
的面积等于108 即可得出关于t 的一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：运动时间为t 秒时（0
6
t
），
2
12
2
PB
AB
t
t
，
4
BQ
t
，
∴
2
2
2
1
4
4
3
2
BPQ
S
PB BQ
t
t
，
解得：1
2
t
，2
4
t
．
答：当移动2 秒或4 秒时，
BPQ
的面积为
2
32cm ；
（2）解：
2
2
1
24
4
4
24
144
108
2
ABC
BPQ
S
S
S
AB BC
t
t
t
t
△
△
，
解得：1
2
3
t
t
．
答：当移动3 秒时，四边形APQC 的面积为
2
108cm ．
【技巧归纳】
1. 设运动时间t：用t 表示动点位置、线段长度。
2. 列几何方程：根据面积、勾股或相似条件建立一元二次方程。
3. 验根：解出t，需在运动时间范围内且长度非负。
【变式9-1】如图，在正方形ABCD 中，
4cm
AB
，点P 从点B 出发沿BC 以2cm / s 的速度向点C 运动，
同时点Q 从点C 出发，以1cm / s 的速度沿CD 向点D 运动，当点P 到达终点后，P，Q 两点同时停止运动．设
点P 运动的时间为t s．
(1)问当t 为多少时，
2
AP
PQ
？
(2)连接AQ ，是否存在时间t，使得
4
APQ
S
△
？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)t 的值为1
(2)存在，t 的值为2
【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程，正方形的性质，三角形的面积，掌握以上知识点是解本题
的关键．
（1）根据题意得
2
BP
t
，CQ
t
，根据勾股定理可得
2
2
16
4
4
16 16
5
t
t
t
，整理得
2
4
3
0
t
t
，
解出方程即可．
（2）根据正方形的性质，可得
90
B
C
D
，
4cm
AB
BC
CD
AD
，再利用三角形面积得出
APQ
ABP
CPQ
ADQ
ABCD
S
S
S
S
S
△
△
△
△
正方形
，代入数值列出方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得
2
BP
t
，CQ
t
，
2
2
2
2
2
2
4
2
16
4
AP
AB
BP
t
t
2
2
2
2
2
2
4
2
16 16
5
PQ
CP
CQ
t
t
t
t ，
2
AP
PQ ．
2
2
4
AP
PQ
2
2
16
4
4
16
16
5
t
t
t
，即
2
4
3
0
t
t
，
2
4
4 1 3
16 12
4
，
4
4
4
2
2
2
t
，
1
2
3
1
，
t
t
．
当1
3
t
时，
2
6
4
BP
t
，舍去，
t
的值为1．
（2）存在．
理由：四边形ABCD 是正方形，
90
B
C
D
，
4cm
AB
BC
CD
AD
，
正方形
APQ
ABP
CPQ
ADQ
ABCD
S
S
S
S
S
，
2
1
1
1
4
4
2
4
2
4
4
4
2
2
2
t
t
t
t
，
即
16
4
2
2 4
4
t
t t
t
，
2
4
4
0
t
t
\
-
+
=
，解得
2
t
．
当t 的值为2 时，
4
APQ
S
△
．
【变式9-2】如图，在四边形ABCD 中，
,
90 ,
4cm,
7cm
AD
BC
B
AB
AD
∥
，
11cm
BC
点P 从点A
出发，以1cm/ s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以2cm / s 的速度向点B 运动，规定其中一个动
点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒.
(1)当t 时，PQ平分四边形ABCD 的面积.
(2)当PQ与四边形ABCD 的某一边平行时，求t 的值.
(3)连接BP ，是否存在BPQ
为等腰三角形？若存在请求出t 值，若不存在，说明理由.
【答案】(1) 2
(2)11
3 或7
3 .
(3)存在BPQ
为等腰三角形，t 值为11
3 或11
4 或11
41
.
【分析】（1）根据题意可得，
1
1
1
11
2
4
7
11
4
2
2
2
t
t
，解方程即可求出答案；
（2）分AP
BQ
和DP
CQ
两种情况，根据平行四边形的判定和性质进行列方程解答即可；
（3）连接BP ，作PE
BQ
于点E，
2
2
2
2
2
2
4
16
PB
AP
AB
t
t
，
2
2
2
2
2
2
2
11 2
,
4
11 3
QB
t
PQ
PE
EQ
t
，分三种情况分别列方程，解方程进行解答即可.
【详解】（1）解：由题意可得，
,
11 2
AP
t BQ
t
，
∵
,
90 ,
AD
BC
B
∥
∴四边形ABQP 是直角梯形，
由题意可得，
1
1
1
11
2
4
7
11
4
2
2
2
t
t
，
解得
2
t
，
故答案为：2
（2）当AP
BQ
时，
∵
,
AD
BC
∥
∴AP
BQ
∥
，
∴四边形ABQP 是平行四边形，
∴AB
PQ
∥
，
则
11 2
t
t
，
解得
11
3
t
，
当DP
CQ
时，
∵
,
AD
BC
∥
∴DP
CQ
∥
，
∴四边形PQCD 是平行四边形，
∴PQ
CD
∥
，
则7
2
t
t
，
解得
7
3
t
，
综上可知，当PQ与四边形ABCD 的某一边平行时，求t 的值为11
3 或7
3 .
（3）如图，连接BP ，作PE
BQ
于点E，则
90
PEB
ABE
∵AD
BC
∥
，
∴
180
90
A
ABE
，
∴四边形ABEP 是矩形，
∴
,
4
BE
AP
t PE
AB
，
∴
2
2
2
2
2
2
4
16
PB
AP
AB
t
t
，
2
2
2
2
2
2
2
11 2
,
4
11 3
QB
t
PQ
PE
EQ
t
，
当PB
BQ
时，
2
2
16
11 2
t
t
，解得
11
3
t
（不合题意的值的解已舍去）
当PB
PQ
时，
2
2
16
16
11 3
t
t
，解得
11
4
t
（不合题意的值的解已舍去）
当PQ
BQ
时，
2
2
11 2
16
11 3
t
t
，解得
11
41
t
（不合题意的值的解已舍去）
综上可知，t 值为11
3 或11
4 或11
41
.
一、单选题
1．随着“云花”品牌全球影响力不断提升，一朵朵鲜切花源源不断地走向国际市场．据昆明海关统计，2023
年云南省鲜切花出口值达5.7 亿元，2025 年云南省鲜切花出口值达12.2 亿元．如果设这两年出口值的年平
均增长率为x，那么根据题意可列方程为（
）
A．
2
5.7 1
12.2
x
B．
2
5.7 1
12.2
x
C．
2
5.7 1
12.2
x
D．
5.7 1
2
12.2
x
【答案】B
【分析】利用平均增长率的计算方法，逐年推导2025 年出口值的表达式，即可得到对应方程．
【详解】解：∵设年平均增长率为x ，2023 年出口值为5.7 亿元，
∴2024 年出口值为
5.7 1
x
亿元，
∴2025 年出口值为
2
5.7 1
· 1
5.7 1
x
x
x
亿元，
又∵2025 年出口值为12.2亿元，
∴可列方程为
2
5.7 1
12.2
x
．
2．2026 苏超是江苏足球的“超”级盛宴，它已不只是赛事，而是江苏体育新IP，城市文化新载体，消费升级
新引擎，让足球回归大众，在这个足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了78 场．设
共有x 个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（
）
A．
1
78
x x
B．
1
78
x x
C．
1
1
78
2 x x
D．
1
1
78
2 x x
【答案】D
【详解】解：∵共有x 个队参赛，每个队需要和除自身外的
1
x
个队各赛一场，总比赛场次为78 场，
∴可得方程
1
1
78
2 x x
．
3．春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长64 m
，宽40 m
的矩形场地建
设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广
场总面积的75% ，求小路的宽．设小路的宽为
m
x
，则可列方程为（
）
A．
64
2
40
64 40 75%
x
x
B．
40
2
64
64 40 75%
x
x
C．
2
64
2 40
2
64 40 75%
x
x
x
D．
64
2 40
64 40
1 75%
x
x
【答案】A
【分析】设小路的宽为m
x
，根据矩形的面积公式（将绿化区域合并成矩形），进而即可列出关于x 的一元
二次方程．
【详解】解：设小路的宽为m
x
，则绿化区域的长为
64
2
m
x
，宽为
40
m
x
，
根据题意，得
64
2
40
64 40 75%
x
x
．
4．把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或
③所示的正方形．若矩形纸片的长为m ，宽为n ，四边形EFGH 的面积等于四边形ABCD面积的2 倍，则m
n
（
）
A．2
2
3
B．1
3
2
C．2
3
2
D．1
3
2
【答案】A
【分析】首先表示出四边形EFGH 的面积和四边形ABCD面积，然后根据四边形EFGH 的面积等于四边形
ABCD面积的2 倍列方程求解即可．
【详解】解：根据题意得，四边形EFGH 的面积
2
2
2
2
2
4
n
n
m
m
，
四边形ABCD面积
2
2
2
2
4
n
n
m
m
mn
，
四边形EFGH 的面积等于四边形ABCD面积的2 倍，
2
2
2
2
2
4
4
n
n
m
m
mn
，
整理得
2
2
4
8
0
m
mn
n
2
4
8
1
0
m
m
n
n
设m
t
n ，
2
4
8
1
0
t
t
，
解得
2
3
2
t
或
2
3
2
t
（舍去），
2
3
2
m
n
．
二、填空题
5．某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55 场．若
设有x 名选手参加比赛，可列方程为_______．
【答案】1 (
1)
55
2 x x
【分析】设有x 名选手参加比赛，每名选手与其他
1
x
名选手各赛一场，每场比赛涉及两名选手，总比赛
场数需除以2 避免重复计算，结合总场数为55 即可列出方程．
【详解】解：∵设有x 名选手参加比赛，初赛共进行了55 场
∴
1
1
55
2 x x
．
6．太谷饼是山西晋中极具代表性的传统糕点，是“山西八大名点”之一，以香、酥、绵、软的独特口感闻名，
距今已有近400 年历史，更是国家地理标志保护产品．某经销部门看中其市场潜力，以每盒20 元的价格从
太谷本地厂家购进一批礼盒装太谷饼；据市场分析，若按每盒30元销售，一天能售出500盒，销售单价每
上涨1元，日销售量就减少20 盒．要使日销售利润为6000 元，销售单价应定为多少元？设销售单价为x ，
可列方程：___________．
【答案】
20
500
20
30
6000
x
x
【分析】把日销售量、每盒的利润用含x 的代数式表示出来，再根据销售利润销量每盒的利润列方程即
可．
【详解】解：设销售单价为x 元，则销售单价上涨了
30
x
元，
日销售量就减少
20
30
x
盒，每盒的利润为
20
x
元，
根据销售利润销量每盒的利润，
可得：
20
500
20
30
6000
x
x
．
7．学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为10 m
的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若
要使总长为20 m
的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为
2
48 m
，则AD 的长为__________ m．
【答案】6
【分析】设AD 的长为m
x
，根据篱笆总长为20m表示出AB 的长，利用矩形面积公式列出一元二次方程，
解方程并根据围墙长度限制进行检验即可．
【详解】解：设AD 的长为m
x
，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴
m
BC
AD
x
，
∵篱笆总长为20m，
∴
20
2
m
AB
x
，
根据题意，得
20
2
48
x
x
，
解得
1
2
4,
6
x
x
，
当
4
x
时，
20
2 4
12
AB
，
∵12
10
，即AB 长超过了围墙长度，
∴
4
x
不符合题意，舍去，
当
6
x
时，
20
2 6
8
AB
，
∵8
10
，符合题意，
∴AD 的长为6m ．
8．一个矩形内放入两个边长分别为3cm 和4cm 的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方
形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为
2
8cm ；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖
的部分的面积为
2
11cm ，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的
面积为________．
【答案】
2
7cm
【分析】设矩形的长为cm
x
，宽为cm
y
，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未覆盖部分的面积，
即可得出关于x 、y 的方程组，利用
3
②
①
可得出
1
x
y
③，将③代入②中可得出关于y 的一元二次
方程，解之取其正值，即可得到y 值，进而得出x 的值，再利用矩形面积公式得出图3 摆放位置时未覆盖的
面积即可得出答案．
【详解】解:设矩形的长为cm
x
，宽为cm
y
，
由题意可得：
16
3
4
8
16
3
4
11
xy
x
xy
y
①
②
3
(②
①)
得：
1
x
y
③，
将③代入②，得：
1
16
3
4
11
y y
y
，
整理，得
2
2
15
0
y
y
，
解得：
1
5
y
，
2
3
y （舍去），
所以
6
x
，
所以按图3 放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：
(
4)(
3)
(
3)(
4)
2
2
3 1
7
x
y
x
y
．
三、解答题
9．我校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安
排9 天，每天安排5 场比赛．比赛组织者应邀请多少个队参赛．
【答案】10
【分析】先根据赛程安排算出总比赛场数为9 5
45
场，再设邀请x 个队参赛，根据题意总共的比赛场数
为
1
2
x x
，列一元二次方程进行求解即可，
【详解】解：∵赛程计划安排9 天，每天安排5 场比赛，
总比赛场数为9 5
45
场，
设比赛组织者应邀请x 个队参赛，
参赛的每两个队之间都要比赛一场，
比赛总场数为
1
2
x x
，由此可得方程：
1
45
2
x x
，
解得
1
2
10
9
x
x
，
（不符合题意，舍去），
比赛组织者应邀请10 个队参赛．
10．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m ，宽为18m ，停车场内车道的宽都相等，若停
车位的占地面积为
2
320m ，求停车场内车道的宽度？
【答案】停车场内车道的宽度为8m
【分析】设停车场内车道的宽度为m
x
，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果．
【详解】解：设停车场内车道的宽度为m
x
，
由题意可得：
40
18
320
x
x
，
整理可得：
2
58
400
0
x
x
，
解得：
1
8
x
，
2
50
x
（不符合题意，舍去），
∴停车场内车道的宽度为8m ．
11．一敌方军舰以20 海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30 海里/时的速度由北向南航行，它能侦
察出周围50 海里（包括50 海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至A 处时，我方侦察船正
位于A 处正北方向的B 处，且
90
AB
海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么
航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？
【答案】最早再过2 小时能侦察到．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能找出军舰和侦察船的距离关系，利用勾股定理
正确列出一元二次方程．
设侦察船由B 出发到侦察到这艘军舰经过的时间是x 小时，由题中信息可以知道军舰和侦察船的行驶方向
互相垂直，所以军船和侦察船的距离和时间的关系式是：
2
2
2
90
30
20
,
50
s
x
x
s
时侦察船可侦察到
这艘军舰，解
2
2
2
90
30
20
50
x
x
即可求时间x．
【详解】解：能．设侦察船最早由B 出发经过x 小时侦察到军舰，
则
2
2
90
30
20
,
50
s
x
x
s
，
得：
2
2
2
90
30
20
50
x
x
，
整理得
2
13
54
56
0
x
x
，
即
13
28
2
0
x
x
，
∴
1
2
28
2,
13
x
x
，
∴
28
2
13
x
，
即当经过2 小时至28
13 小时时，侦察船能侦察到这艘军舰．
∴最早再过2 小时能侦察到．
12．为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域（长方形ABCD），两面靠墙（AD 位
置的墙最大可用长度为27m ，AB 位置的墙最大可用长度为15m ），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，
分成两个场地及一处通道，并在如图所示的HE
GF
HG
、
、
三处各留0.5m 0.5m 2m
、
、
宽的门（不用栅栏）．建
成后栅栏总长45m．
(1)若活动区域（长方形ABCD ）的一边CD 长为10m ，则另一边BC
m．
(2)若活动区域（长方形ABCD ）的面积为
2
165m ，求边CD 的长．
【答案】(1)18
(2)边CD 的长为11m ．
【分析】（1）由栅栏总长为45m ，即可求出BC 的长；
（2）设
0
15 m
CD
x
x
，则
48
3
m
BC
x
，根据活动区域的面积为
2
165m ，即可得出关于x 的一元
二次方程，解之即可得出x 的值．
【详解】（1）解：
45 10
2
10
0.5
2
18 m
BC
；
（2）解：设
0
15 m
CD
x
x
，则
45
0.5
0.5
2
3
48
3
m
BC
x
x
，依题意得：
48 3
165
x
x
，
解得：
1
2
5,
11
x
x
，
∵
48
3
27
15
x
x
，
∴7
15
x
，
∴
11
x
，
当
11
x
时，
48
3
48
3 11 15 m
x
，符合题意．
答：边CD的长为11m ．
13．为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌
扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：10月
份售出300套，12月份售出432 套．
(1)若月增长率相同，求该品牌边刷套装11 12
、两个月销售量的月均增长率；
(2)该品牌边刷套装每套进货价为30 元．调查发现，当销售价为40 元时，月均销售量为600 套；而当销售价
每上涨1元时，月均销售量将减少10套．为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该
品牌边刷套装的销售价应定为多少元？
【答案】(1) 20%
(2)销售价应定为50元
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（增长率问题），以及销售利润问题的实际应用．
（1）设该品牌边刷套装11 12
、两个月销售量的月均增长率为x ，根据两次增长后的销售量列方程并解方程即
可.
（2）设该品牌边刷套装的销售价应定为y 元，根据涨价后的销售利润列方程并解方程, 并根据尽可能让顾
客得到实惠选择最优解即可.
【详解】（1）解：设该品牌边刷套装11 12
、两个月销售量的月均增长率为x ，
根据题意得：
2
300 1
432
x
，
解得：
1
2
0.2
20%
2.2
x
x
，
（不符合题意，舍去），
答：该品牌边刷套装11 12
、两个月销售量的月均增长率为20% ；
（2）解：设该品牌边刷套装的销售价应定为y 元，则每套的销售利润为
30
y
元，月均销售量为
600 10
40
1000 10
y
y
套，
根据题意得：
30 1000 10
10000
y
y
，
整理得：
2
130
4000
0
y
y
，
解得：
1
2
50
80
y
y
，
，
又要尽可能让顾客得到实惠，
取
50
y
，
答：该品牌边刷套装的销售价应定为50元．
14．某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效
率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400 件快递，乙分拣机每小时能分拣500 件快递．
(1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11 小时，要确保分拣的快递总数不少于5000
件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？
(2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8 小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算
法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a 件（
0
a
），且每天比原计划少工作2a 小时；
乙分拣机每小时比原计划多分拣100 件，每天比原计划少工作a 小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快
递6000 件，求a 的值．
【答案】(1)乙分拣机至少工作6 小时
(2) a 的值为2
【分析】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的实际应用是解题的关
键．
（1）设乙分拣机工作x 小时，则甲分拣机工作(11
)
x
小时，根据题意，列出不等式
400 11
500
5000
x
x
，
求解即可；
（2）根据题意，列出方程
400 100
8
2
600 8
6000
a
a
a
，求解即可．
【详解】（1）解：设乙分拣机工作x 小时，则甲分拣机工作
11
x
小时，
根据题意列不等式，
400 11
500
5000
x
x
解得
6
x
答：乙分拣机至少工作6 小时；
（2）根据题意，甲分拣机实际效率为
400 100a
件/小时，实际工作时间为
8-2a 小时；乙分拣机实际效
率为600件/小时，实际工作时间为
8
a
小时，
根据题意列方程，
400 100
8
2
600 8
6000
a
a
a
，
解得
2
5
a
a
，
（不符合题意，故舍去），
答：a 的值为2 ．
15．如图，在
ABC
中，
90 ,
40cm
ACB
AC
，
30cm
BC
．点P 在边AC 上，以4cm/s的速度由点A 向
点C 运动，同时，点Q 在边CB 上，以2cm/s的速度由点C 向点B 运动，当一个点到达终点时，两个点同时
停止运动．设运动时间为s
t ．
(1)当
5
t
时，求
PQC
△
的面积．
(2)当
PQC
△
的面积为
2
64cm 时，求t 的值．
(3)
PQC
△
的面积能否达到
2
120cm ？若能，求出t 的值；若不能，说明理由．
【答案】(1)
2
100cm
(2)t 的值为2 或8 秒
(3)
PQC
△
的面积不能达到
2
120cm ，理由见解析
【分析】（1）根据
5
t
，可得PC ，CQ的长，即可求解；
（2）由题意得，
40
4
PC
AC
AP
t
，
2
CQ
t
，则
1
1
40
4
2
64
2
2
PQC
S
PC CQ
t
t
，即可求解；
（3）由（2）可得
1
1
40
4
2
2
2
PQC
S
PC CQ
t
t
，令
1
40
4
2
120
2
t
t
，进行判断即可．
【详解】（1）解：当
5
t
时，
4 5
20 cm ,
2 5
10 cm
AP
CQ
，
∴
40
20
20 cm
PC
AC
AP
，
∴
2
1
1
20 10
100 cm
2
2
PQC
S
PC CQ
．
（2）解：由题意得，
40
4
PC
AC
AP
t
，
2
CQ
t
，
∴
1
1
40
4
2
64
2
2
PQC
S
PC CQ
t
t
，
整理，得
2
10
16
0
t
t
，
解得1
2
2,
8
t
t
．
当
2
t
时，40
4
40
4 2
32
0
t
，
2
2
4
30
CQ
，符合题意；
当
8
t
时，40
4
40
4 8
8
0
t
，
2 8
16
30
CQ
，符合题意；∴
∴t 的值为2 或8 秒．
（3）解：不能．理由如下：
由（2）可知，
1
1
40
4
2
2
2
PQC
S
PC CQ
t
t
，
令
1
40
4
2
120
2
t
t
，
整理，得
2
10
30
0
t
t
，
∵
2
10
4 1 30
20
0
，
∴
2
10
30
0
t
t
无实数根，
∴
PQC
△
的面积不能达到
2
120 cm ．
