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1
第07 讲一元二次方程实际应用问题
课程标准
学习目标
能根据具体问题的实际意义，检验方程解的
合理性．
1.由实际问题抽象出一元二次方程．
2.一元二次方程的应用．
知识点一：列一元二次方程解应用题
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
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2
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答(写出答案，切忌答非所问).
题型01
传播问题
1．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲
流”初期，有1 人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225 人感染了“甲流病毒”，
设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则根据题意列出方程是（
）
A．
1
225
x
x
x
B．
2
1
225
x
x
C．
1
1
225
x
x
x
D．
1
225
x
x
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据经过两轮传染
后共有225 人感染了“甲流病毒”，列出方程即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：
1
1
225
x
x
x
，
故选：C．
2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数
是91，则每个主干长出的支干数量是
个．
【答案】9
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用---传播问题，等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数
目
91
，把相关数值代入计算即可．
【详解】解：设每个支干长出x 个小分支．
2
1
91
x
x
，
10
9
0
x
x
，
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3
解得
1
10
x
（不合题意，舍去），
2
9
x
，
故答案为：9．
3．初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892 张，设全班共有x 人，根
据题意，可列方程为
．
【答案】(
1)
1892
x x
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
设全班有x 人．根据互赠卡片一张，则x 人共赠卡片(
1)
x x
张，列方程即可．
【详解】解：根据题意得，
(
1)
1892
x x
，
故答案为：(
1)
1892
x x
．
4．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要
求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共
有91 人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9 人
(2)从小王开始计算，三轮后会有820 人有此短信．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用：
（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x 人，则第一轮小王会发给x 人，第一轮被转发的x 人每个
人又要转发x 人，据此列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求列式求解即可．
【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x 人，
由题意得，
2
1
91
x
x
，
整理得
2
90
0
x
x
，
解得
9
x
或
10
x
（舍去），
答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9 人；
（2）解：
2
3
1
9
9
9
1
9
81
729
820
人，
答：从小王开始计算，三轮后会有820 人有此短信．
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4
题型02
增长率问题
5．2021 年杭州市某区的GDP（国内生产总值）为2502.2 亿元．2023 年该区的GDP 为2936.43 亿元，在杭
州市各区县排名第一．设这两年该区GDP 的平均增长率为x，根据题意可列出方程为（
）
A．
2502.2 1 2
2936.43
x
B．
2
2502.2 1
2936.43
x
C．
2
2502.2 1
2
2936.43
x
D．
2
2502.2
2936.43
x
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．根据该市2021 年及2023 年该区的GDP ，即可得出
关于x 的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：
2
2502.2 1
2936.43
x
．
故选：B．
6．公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5 月份销售量144 个，
7 月份销售量225 个，从5 月份到7 月份销售量的月增长率相同，则此月增长率为（
）
A．83%
B．69%
C．25%
D．20%
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设从5 月份到7 月份销售量的月增长率为x，根据某品牌头盔5
月份销售量144 个，7 月份销售量225 个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】解：设从5 月份到7 月份销售量的月增长率为x，
由题意得：
2
144 1
225
x
，
解得：
1
2
0.25
25%
2.25
x
x
，
（不合题意，舍去）．
即从5 月份到7 月份销售量的月增长率为25% ，
故选：C．
7．某企业今年1 月份的利润为200 万元，2 月份和3 月份的利润合计为750 万元，设2 月份和3 月份利润
的平均增长率为x ，根据题意可列方程为（
）
A．
2
200
750
x
B．
2
200 1
750
x
C．
2
200 1
750
x
D．
2
200 1
200 1
750
x
x
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据2 月份和3 月份的利润合计为750 万元列出一元二次
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5
方程即可．
【详解】解：1 月份的利润为200 万元，
则2 月份的利润为
200 1
x
，
则3 月份的利润为
200 1
1
x
x
，
∴根据题意可列方程为
2
200 1
200 1
750
x
x
．
故选：D．
8．某放射性元素经2 天后，质量衰变为原来的
1
2 ．设这种放射性元素质量的日平均减少率为x，则可列出
方程为
．
【答案】
2
1
1
2
x
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可，正确理解题意并列出方程是解题的关
键．
【详解】解：∵某放射性元素经2 天后，质量衰变为原来的
1
2 ，设这种放射性元素质量的日平均减少率为x，
∴可列出方程为
2
1
1
2
x
，
故答案为：
2
1
1
2
x
．
9．“城是济南城，湖是大明湖，楼是超然楼”是网友为超然楼写的广告词．随旅游旺季的到来，大明湖超然
楼景区的游客人数逐月增加，4 月份游客人数约为16 万人次，6 月份游客人数约为25 万人次．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)若增长率保持不变，请求出7 月份的游客人数．
【答案】(1)25%
(2)31.25 万人
【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x ，根据4 月份游客人数约为16 万人次，6
月份游客人数约为25 万人次．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）由题意列式计算即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设月平均增长率为x
由题意可得
2
16(
1)
25
x
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6
解得
1
0.25
x
，
2
2.25
x
（不合题意，舍去）
答：这两个月平均增长率为25% ．
（2）25 (1 25%)
31.25
（万人）
答：7 月份的游客人数为31.25 万人．
10．为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022 年这种药剂价格为400 元，2024 年
该药剂价格为196 元．
(1)求2022 年到2024 年这种药剂价格的年平均下降率；
(2)该制药厂计划2025 年对此药剂继续降价，要求此种药剂的价格不低于147 元，则此次价格的下降率最多
是多少？
【答案】(1)30%
(2)此次价格的下降率最多是25%
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出一元二次方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设2022 年到2024 年这种药剂价格的年平均下降率为x ，利用2024 年该药剂的价格
2022
年该药剂的
价格(1
2022
年到2024 年这种药剂价格的年平均下降率）2 ，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值
即可；
（2）设此次价格的下降率是y ，利用2025 年该药剂的价格
2024
年该药剂的价格(1
此次价格的下降率），
结合2025 年该药剂的价格不低于147 元，列出一元一次不等式，解之取其中的最大值即可．
【详解】（1）解：设2022 年到2024 年这种药剂价格的年平均下降率为x ，
根据题意得
2
400(1
)
196
x
，解得
1
0.3
30%
x
，
2
1.7
x
（不符合题意，舍去），
答：2022 年到2024 年这种药剂价格的年平均下降率为30%；
（2）设此次价格的下降率是y ，
根据题意得196(1
)
147
y
，解得
0.25
y
，
y
的最大值是0.25
25%
，
答：此次价格的下降率最多是25% ．
题型03
与图形有关的问题
11．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形．已知正方形面积是圆面积的1
9 ．设圆的半径
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7
为
cm
x
，可得方程
．
【答案】
2
1 π
1
9 x
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设圆的半径为
cm
x
，根据正方形面积是圆面积的1
9 ，列出
方程即可．
【详解】解：设圆的半径为
cm
x
，根据题意得：
2
1 π
1
9 x ，
故答案为：
2
1 π
1
9 x ．
12．如图，为美化环境，某地准备将一片面积为
2
7812m 的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有4 条等
宽的水渠，将花圃分为了8 个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为
2
7200m ，若测
得空地的宽为62m，则水渠的宽度为
m ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．先求出空地的长，
设水渠的宽度为m
x
，根据题意列方程即可求解．
【详解】解：设水渠的宽度为m
x
，
空地的长为：7812
62
126m
，
根据题意得：
126
3
62
7200
x
x
，
整理得：
2
104
204
0
x
x
，即
2
102
0
x
x
，
解得：
1
2
x
，
2
102
x
（不合题意，舍去），
则水渠的宽度为2m ，
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8
故答案为：2 ．
13．在课外活动中，小华根据学习平行四边形、菱形、正方形的经验对其面积进行了研究．他将一根长为10 cm
的小棒截成两段，并将之放置在互相垂直平分的位置上，将端点用橡皮筋连接，即构造出了菱形ABCD．
(1)若所构菱形面积为
2
12 cm ，则应如何截取？
(2)所构菱形面积可以为
2
15 cm 吗？试说明理由．
【答案】(1)截成长度分别为4cm 和6cm 两段，所构菱形面积为
2
12 cm ；
(2)不能构成面积为
2
15 cm 的菱形，理由见解析．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，菱形的面积，根据等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设其中一段的长为cm
x
，则另一段的长为
10
cm
x
，依题意列出一元二次方程，求解即可；
（2）由（1）可得，
1
10
15
2 x
x
，即
2
10
30
0
x
x
，因为Δ
0
，方程无解，即可判断．
【详解】（1）解：将一根长为10 cm 的小棒截成两段，设其中一段的长为cm
x
，则另一段的长为
10
cm
x
，
依题意得：
1
10
12
2 x
x
，
∴
2
10
24
0
x
x
，
解得：
1
4
x
，
2
6
x
，
当
1
4
x
时，10
6
x
，当
1
6
x
时，10
4
x
，
∴将一根长为10 cm 的小棒截成长度分别为4cm 和6cm 两段，所构菱形面积为
2
12 cm ；
（2）解：由（1）可得：
1
10
15
2 x
x
，
∴
2
10
30
0
x
x
，
∵
2
Δ
10
4 1 30
20
0
，
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9
∴方程无解，
∴不能构成面积为
2
15 cm 的菱形．
14．强强为了激励自己学好数学，在白色宣纸上写了两幅书法作品，准备装裱后挂在书房．其中一幅长方
形书法作品长80cm，宽20cm，正方形书法作品边长为40cm，现在给两幅作品四周装裱上宽度相等的彩纸
（如图1，图2），设彩纸的宽为
cm
x
．（粘贴连接处忽略不计）
(1)装裱后长方形书法作品的长为______cm；正方形书法作品的面积
．．为______
2
cm ．（用含x 的代数式表示）
(2)若装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为
2
1100cm ，求装裱正方形书法作品所用彩纸的面积．
【答案】(1)
80
2x
，
2
1600
160
4
x
x
(2)装裱正方形书法作品所用彩纸的面积为
2
900cm ．
【分析】本题考查的是列代数式，一元二次方程的应用．
（1）根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：
80
2
cm
x
，正方形书法作品的边长为：
40
2
cm
x
，
再计算其面积即可；
（2）根据题意，可知装裱长方形书法作品所用彩纸的面积装裱后长方形书法作品的面积未装裱长方形
书法作品的面积，求得
5
x
，再根据装裱正方形书法作品所用彩纸的面积装裱后正方形书法作品的面积
未装裱正方形书法作品的面积，代入计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：
80
2
cm
x
，
正方形书法作品的边长为：
40
2
cm
x
，面积为：
2
2
2
40
2
1600
160
4
cm
x
x
x
，
故答案为：
80
2x
，
2
1600
160
4
x
x
；
（2）解：根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：
80
2
cm
x
，宽为：
20
2
cm
x
，
装裱后长方形书法作品的面积为：
2
2
80
2
20
2
1600
200
4
cm
x
x
x
x
，
装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为
2
2
1100cm
1600
200
4
80
20
x
x
，
即
2
50
275
0
x
x
，
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10
解得：
5
x
或
55
x
（不符合题意，舍去），
根据题意可知，装裱后正方形书法作品的面积为：
2
2
2
40
2
1600
160
4
cm
x
x
x
，
装裱正方形书法作品所用彩纸的面积装裱后正方形书法作品的面积未装裱正方形书法作品的面积，
即装裱正方形书法作品所用彩纸的面积
2
2
2
2
1600
160
4
40
160 5
4 5
900 cm
x
x
，
答：装裱正方形书法作品所用彩纸的面积为
2
900cm ．
15．阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1 个点，第二行有2 个点……第n 行有n 个
点……
容易发现，三角点阵中前4 行的点数之和为10．
(1)探索：三角点阵中前8 行的点数之和为_____，前15 行的点数之和为______，那么，前n 行的点数之和
为______
(2)体验：三角点阵中前n 行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420 盆同样规格的花，按照第一排2 盆，第
二排4 盆，第三排6 盆……第n 排2n 盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
【答案】(1)36；120；
1
1
2 n n
(2)不能
(3)一共能摆放20 排．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；
（2）根据前n 行的点数和是500，即可得出关于n 的一元二次方程，解之即可判断；
（2）先得到前n 行的点数和是
1
n n
，再根据题意得出关于n 的一元二次方程，解之即可得出n 的值．
【详解】（1）解：三角点阵中前8 行的点数之和为
1
1
2
3
4
5
6
7
8
1 8
8
36
2
，
前15 行的点数之和为
1
1
2
3
14 15
1 15
15
120
2
，
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11
那么，前n 行的点数之和为
1
1
1
2
3
1
1
2
2
n
n
n
n n
；
故答案为：36；120；
1
1
2 n n
；
（2）解：不能，
理由如下：
由题意得
1
1
500
2 n n
，
得
2
1000
0
n
n
，
21
4
1000
4001
，
∴此方程无正整数解，
所以三角点阵中前n 行的点数和不能是500；
故答案为：不能；
（3）解：同理，前n 行的点数之和为
1
2
4
6
2
2
1
1
2
n
n
n
n n
，
由题意得
1
420
n n
，
得
2
420
0
n
n
，即
21
20
0
n
n
，
解得
20
n
或
21
n
（舍去），
∴一共能摆放20 排．
16．综合实践：如何用最少的材料设计花园？
【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，墙长为10 米，现可用的篱笆总长
为20 米，设AB 的长为x 米．
【项目解决】
目标1：确定面积与边长关系．
当篱笆全部用完，且围成矩形花园ABCD的面积为32 平方米时，求BC 的长．
目标2：探究最少的材料方案．
现要围面积为81
2 平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m 米．
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12
（1）若
14
m =
米，能成功围成吗？若能，求出AB 的长；若不能，请说明理由．
（2）若要成功围成，则m 的最小值为______米，此时，AB ______米．
【答案】目标1：
4
BC
；
目标2：（1）不能，理由见解析；（2）18，9
2 ；
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用问题，根据题干找到等量关系，列出方程是解题的关键．
目标1：设AB 的长为x 米，根据矩形花园ABCD的面积为32 平方米，则
32
BC
x
，由于篱笆全部用完，则
32
2
20
AB
CD
BC
x
x
，即
2
10
16
0
x
x
，解方程即可；
目标2：（1）设AB 的长为x 米，根据矩形花园面积为81
2 平方米，
81
2
BC
x
，所用的篱笆为
14
m=
米，列方
程
81
2
14
2
AB
CD
BC
x
x
，即
2
4
28
81
0
x
x
，判别式小于零，无解，故不能围成；（2）设所用的篱
笆为m 米，则
81
2
2
AB
CD
BC
x
m
x
，即
2
4
2
81
0
x
mx
，根据判别式大于等于零，可求得m 最小值，
由此可求出此时AB 的值；
【详解】解：目标1：设AB 的长为x 米，
当篱笆全部用完，矩形花园ABCD的面积为32 平方米，
32
BC
x
，
现可用的篱笆总长为20 米，且篱笆全部用完，
32
2
20
AB
CD
BC
x
x
，即
2
10
16
0
x
x
，
解得
1
2
x
，
2
8
x
，
16
BC
或
4
BC
，
又墙长为10 米，
16
10
BC
，不合题意，舍去，
4
BC
．
目标2：（1）设AB 的长为x 米，
矩形花园面积为81
2 平方米，
81
81
2
2
BC
x
x
，
所用的篱笆为
14
m =
米，
81
2
14
2
AB
CD
BC
x
x
，即
2
4
28
81
0
x
x
，
2
2
4
28
4 4 81
512
0
b
ac
，
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13
方程无解，故不能成功围成．
（2）设所用的篱笆为m 米，
则
81
2
2
AB
CD
BC
x
m
x
，即
2
4
2
81
0
x
mx
，
2
2
4
(2 )
4 4 81
0
b
ac
m
，
2
324
m
，
解得
18
m
，或
18
m
（舍去），
故m 的最小值为18 米，
此时
2
4
36
81
0
x
x
，
解得
9
2
x
．
故
9
2
AB
米．
题型04
数字问题
17．两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（
）
A．(
2)
783
x x
B．(2
1)(2
1)
783
x
x
C．(
1)
783
x x
D．(
2)
783
x x
【答案】A
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程若设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的
为
2
x
，根据这两个数的积是783 即可列出方程．
【详解】解：若设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的为
2
x
，
根据题意有：
2
783
x x
，
故选：A．
18．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设
个位数字为x ，则方程为（
）
A．
2
2
4
10
4
4
x
x
x
x
B．
2
2
4
10
4
4
x
x
x
x
C．
2
2
4
10
4
4
x
x
x
x
D．
2
2
4
10
4
4
x
x
x
x
【答案】C
【分析】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．根
据个位数与十位数的关系，可知十位数为
4
x
，那么这两位数为：
10
4
x
x
，这两个数的平方和为：
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14
2
2
4
x
x
，再根据两数的值相差4 即可得出答案．
【详解】解：依题意得：十位数字为：
4
x
，这个数为：
10
4
x
x
这两个数的平方和为：
2
2
4
x
x
，
两数相差4，
2
2
4
10
4
4
x
x
x
x
．
故选：C．
19．《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然
天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝
英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为
岁．
【答案】36
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及10十
位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
【详解】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为x ，则个位数字为
3
x ，
则根据题意：
2
10
3
3
x
x
x
，
整理得：
2
5
6
0
x
x
，解得
1
2
x
，
2
3
x
，
由题意，而立之年督东吴，则
2
x
舍去，
∴这位风流人物去世的年龄为36岁，
故答案为：36．
20．如图所示的是2024 年1 月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小
到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题．
(1)若用含有a 的式子分别表示出b，c，d，则b
，c
，d ；按这种方法所圈出的四个数中，ab
的最大值为．
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15
(2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．
(3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124 吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明
理由．
【答案】(1)
1
a ；
7
a
；
8
a ；552
(2)10
(3)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
（1）根据日历的特点先求出b、c、d，再根据当a 越大时，b 也越大，求出a 的最大值即可求出ab 的最大
值；
（2）根据方框中最大数与最小数的乘积为180，可列出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，
即可得出结论；
（3）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，根据方框中最大数与最小数的乘积与这
四个数的和为124，可列出关于y 的一元二次方程，解之可得出a 的值，由
6
a
在最后一列，可得出假设不
成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124．
【详解】（1）解：由题意得，
1
7
8
b
a
c
a
d
a
，
，
；
∵a 是正整数，
∴
1
b
a
也是正整数，
∴当a 越大时，b 也越大，
根据日历的特点可知a 的最大值为23，此时b 的值为24，
∴ab 的最大值为23 24
552
；
故答案为：
1
a ；
7
a
；
8
a ；552；
（2）解：根据题意得：
8
180
a a
，
整理得：
2
8
180
0
a
a
，
解得：
1
10
a
，
2
18
a
（不符合题意，舍去）．
∴最小数是10；
（3）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下：
假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，
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根据题意得：
8
1
7
8
124
a a
a
a
a
a
，
整理得：
2
12
108
0
a
a
，
解得：
1
6
a
，
2
18
a
（不符合题意，舍去），
∵
6
a
时，在最后一列，
假设不成立，
即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124．
题型05
工程问题
21．问题：“某工程队准备修建一条长3000 米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提
前2 天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”
条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多25% ；
（2）原计划每天修建的长度比实际少75 米．
在上述的2 个条件中选择1 个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．
【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为300米；选（2）原计划每天修建下水
管道的长度为300米
【分析】选择（1）时，设原计划每天修建x 米，则实际每天修建
1 25% x
米，根据提前2 天完成这一任
务，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验即可得出结论；
选择（2）时，设原计划每天修建盲道x 米，则实际每天修建
75
x
米，根据提前2 天完成这一任务，即可
得出关于y 的分式方程，解之经检验即可得出结论；
【详解】选（1）或（2）
（1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为x 米
3000
3000
2
1 25%
x
x
300
x
经检验：
300
x
是所列方程的解
答：原计划每天修建下水管道的长度为300米．
（2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为x 米
3000
3000
2
75
x
x
1
2
300,
375
x
x
（舍）
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17
经检验：
300
x
是所列方程的解．
答：原计划每天修建下水管道的长度为300米．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题
的关键．
22．全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1 条口罩
生产线最大产能是78000 个/天，每增加1 条生产线，每条生产线减少2000 个/天，工厂的产线共x 条
（1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x 的代数式表示）．
（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000 个，该工厂引进了多少条生产线？
【答案】（1）
2
80000
2000
x
x
；（2）该工厂引进了27 条或13 条生产线．
【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：
2
78000
2000
1
80000
2000
x
x
x
x
个/天
故答案为：
2
80000
2000
x
x
；
（2）根据题意，得
2
80000
2000
702000
x
x
，
解得
1
27
x
，
2
13
x
，
该工厂引进了27 条或13 条生产线．
【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完
成求解．
23．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800 米，原计划32 小时完成．甲工程队每小时
修路里程比乙工程队的2 倍多30 米，刚好按时完成任务．
(1)求甲工程队每小时修的路面长度；
(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800 米多了1000 米，在实际施工中，
乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了(
25
m
)小时；甲工程队的修路速度比原计划每
小时下降了3m 米，而修路时间比原计划增加m 小时，求m 的值．
【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110 米
(2)m 的值为18
【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x 米，则甲工程队每小时铺设路面
2
30
x
米，根据题意列出
方程求解即可；
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18
（2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x 米，则甲工程队每小时铺设路面
2
30
x
米，
根据题意得，
32
32 2
30
4800
x
x
，
解得：
40
x
，
则2
30
110
x
，
∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110 米；
（2）解：根据题意得，
40 32
25
110
3
32
4800
1000
m
m
m
，
整理得，
2
18
0
m
m
，
解得：
1
2
18
0
m
m
，
（舍去），
∴m 的值为18．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出
方程．
24．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速G69银百高速公路（银川至百色）的
一段，线路全长129.3公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100 米，甲、乙分
别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6 米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1 米隧道施工所
需成本不一样．甲每合格完成1 米隧道施工成本为8 万元；乙每合格完成1 米隧道施工成本为9 万元．
(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的3
2 ，求甲最多施工多少米？
(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1 米隧
道施工成本增加m 万元时，则每天可多挖2
m 米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖3
m 米，若最
终每天实际总成本比计划多
9
2
m
万元，求m 的值．
【答案】(1)甲最多施工900 米
(2)m 的值为2
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间
的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键．
（1）设甲工程队施工x 米，则乙工程队施工
2000
x
米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于
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甲总施工成本的3
2 ”列出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答；
（2）根据“最终每天实际总成本比计划多
9
2
m
万元”即可得出关于m 的一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设甲施工x 米，
由题意可得：
3
9 2100
8
2
x
x
，
解得：
900
x
．
答：甲最多施工900 米．
（2）解：由题意可得：
8
6
9 6
9
2
6
8
9
2
3
m
m
m
m
，
整理得
2
4
4
0
m
m
，
解得
1
2
2
m
m
．
答：m 的值为2．
题型06
行程问题
25．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问
甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，
甲先向南走10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（
）
A．10.5步
B．16.5步
C．24.5 步
D．25.5 步
【答案】C
【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经x 秒二人在
B 处相遇，可得：
3
AB
x
，
10
AC
，
7
10
BC
x
，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走
的步数．
【详解】设经x 秒二人在B 处相遇，这时乙共行走：
3
AB
x
，
甲共行走：
7
AC
BC
x
，
10
AC
，
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20
7
10
BC
x
，
又
90
A
，
2
2
2
BC
AC
AB
，
2
2
2
7
10
10
3
x
x
，
解得：
0
x
（舍去）或
3.5
x
，
3
10.5
AB
x
，
7
24.5
AC
BC
x
，
即甲走了24.5 步，
故选：C．
26．甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5 米，乙的速度为每秒1 米，乙一直向东走，甲先
向南走10 米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了
米．
【答案】24
【分析】本题一元二次方程的实际应用，勾股定理，设两人走了x 秒，利用勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：设两人走了x 秒，则：乙的路程为x 米，甲在北偏东某个方向走的路程为：
1.5
10
x
米，
由题意，得：
2
2
2
1.5
10
10
x
x
，
解得：
24
x
或
0
x
（舍去）；
∴乙的路程为24 米，
故答案为：24．
27．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段
的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5 米/秒的速
度开始向前滚动，并且均匀减速，4 秒后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动5 米用了多少秒？（精确到0.1，
2
1.41
，
3
1.73
）
【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少1.25m/s
(2)小球滚动5m 约用了1.2秒
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据以5m/s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停止运动列式计算即可；
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21
（2）设小球滚动5m 约用了x 秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少
5
4
1.25 m/s
，
答：小球的滚动速度平均每秒减少1.25m/s ．
（2）解：设小球滚动5m 约用了x 秒，此时速度为5 1.25x
，
由题意得：
5
5 1.25
5
2
x
x
，
整理得：
2
8
8
0
x
x
，
解得：
4
2 2
x
或
4
2 2
x
，
当
4
2 2
x
时，
5
5 1.25
5 1.25
4
2 2
2
0
2
x
，不符题意，舍去，
4
2 2
1.2
x
，
答：小球滚动5m 约用了1.2秒．
28．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A 地出发，匀速跑向距
离9000 米处的B 地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2 倍，那么小美比小丽早5 分钟到达B 地．
(1)求小美每分钟跑多少米？
(2)若从A 地到达B 地后，小美以跑步形式继续前进到C 地．从小美跑步开始，前20 分钟内，平均每分钟
消耗热量15 卡，超过20 分钟后，每多跑步1 分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1 卡，在整个锻炼过程
中，小美共消耗1650 卡的热量，小美从A 地到C 地锻炼共用多少分钟．
【答案】(1)小美每分钟跑360 米
(2)小美从A 地到C 地锻炼共用50 分钟
【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键．
（1）设小丽每分钟跑x 米，则小美每分钟跑1.2x 米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程
求解即可；
（2）设小美从A 地到C 地锻炼共用y 分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650 卡的热量”列出关
于y 的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x 米，则小美每分钟跑1.2x 米，
根据题意，得9000
9000
5
12
x
x
，
解得：
300
x
，
经检验，
300
x
既是所列分式方程的解，也符合题意，
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22
则1.2
1.2 300
360
x
，
答：小美每分钟跑360 米．
（2）设小美从A 地到C 地锻炼共用y 分钟，
根据题意，得
15 20
20 15
20
1650
y
y
，
解得：
1
50
y
，
2
25
y
（不符合题意，舍去），
答：小美从A 地到C 地锻炼共用50 分钟．
29．1月21日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，
为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表
演的人较多，甲先将车开到距离自己家50 千米的A 停车场后，再步行1千米到达目的地，共花了1.5小时，
此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的25 倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙先将车开到B 停车场后，再步行前往目的地，总路程为46 千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲
开车的平均速度快m 千米/小时(
0)
m
，乙开车时间比甲开车时间少1
24 m 小时；乙步行的平均速度比甲步
行的平均速度快1
4 m 千米/小时，乙步行了1
3 小时后到达目的地，求m 的值．
【答案】(1)甲开车的平均速度是50 千米/小时，步行的平均速度是2 千米/小时；
(2)4 ．
【分析】（1）设甲步行的平均速度是x 千米/ 小时，则甲开车的平均速度是25x 千米/ 小时，根据甲先将车开
到距离自己家50千米的A 停车场后，再步行1千米到达目的地，共花了1.5小时．列出分式方程，解方程即
可；
（2 ）根据乙先将车开到B 停车场后，再步行前往目的地，总路程为46 千米．列出一元二次方程，解之取
其正值即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和
一元二次方程．
【详解】（1）设甲步行的平均速度是x 千米/ 小时，则甲开车的平均速度是25x 千米/ 小时，
由题意得：50
1
1.5
25x
x
，
解得：
2
x
，
经检验，
2
x
是原方程的解，且符合题意，
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23
∴25
25 2
50
x
，
答：甲开车的平均速度是50 千米/ 小时，步行的平均速度是2 千米/ 小时；
（2）由（1）可知，甲开车的时间为50
50
1
小时)，则乙开车的时间为
1
1
24 m
小时，
由题意可知，乙开车的速度为
50
m
千米/ 小时，乙步行的速度为
1
2
4 m
千米/ 小时，
由题意得：
1
1
1
50
1
2
46
24
3
4
m
m
m
，
整理得：
2
24
112
0
m
m
，
解得：
1
4
m
，
2
24(
m
不符合题意，舍去)，
答：m 的值为4 ．
题型07
营销问题
30．某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50 元，投放市场进行试销售，其销售单价不低于成本．按照
物价部门规定，销售利润率不高于70% ，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价
x（元）（x 为整数）符合一次函数关系，如图所示．
(1)求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(2)该公司要想每天获得3000 元的销售利润，销售单价应定为多少元？
【答案】(1)
2
260 50
85
y
x
x
(2)80 元
【分析】本题考查一次函数、一元二次方程的实际应用：
（1）由待定系数法可得函数的解析式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列一元二次方程可解．
【详解】（1）解：设y 与x 的函数关系式为y
kx
b
，
将
60,140 ，
70,120 代入，得：
60
140
70
120
k
b
k
b
，
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24
解得
2
260
k
b
，
销售单价不低于成本，销售利润率不高于70% ，
50
50
1
70%
x
，
50
85
x
，
y 与x 的函数关系式为
2
260 50
85
y
x
x
；
（2）解：由题意列方程：
50
2
260
3000
x
x
，
整理得
2
180
8000
0
x
x
，
解得
80
x
或
100
x
，
由（1）得50
85
x
，
80
x
，
即销售单价应定为80 元．
31．端午节是中国的传统四大节日之一，在池州有赛龙舟、吃粽子、悬艾叶、吃绿豆糕等习俗．每年端午
节前也是购物的高峰期，2024 年端午节前期某超市购进A、B 两种端午节礼盒，其中A 种礼盒进货价为28
元/盒，B 种礼盒进货价为22 元/盒．（注：利润＝销售价－进货价）
(1)该超市第一次用7200 元购进A、B 两种礼盒共300 盒，求两种礼盒分别购进的数量；
(2)端午节临近时，该超市发现B 种礼盒还有大量剩余，已知该礼盒售价为34 元/盒，如果按照原价销售，
平均每天可售10 盒．经调查发现，每降价1 元，平均每天可多售5 盒，为了尽快减少库存，将销售价定为
每盒多少元时，才能使B 种礼盒平均每天销售利润为240 元？
【答案】(1) A 礼盒购进100 盒，B 种礼盒购进200 盒
(2)28 元
【分析】本题考查了一元一次方程以及一元二次方程的应用，读懂题意找出等量或不等关系是解题关键．
（1）设A 礼盒购进x 盒，则B 种礼盒购进（300－
300
x
）盒，根据题意列出一元一次方程求解即可；
（2）设应降价m 元，才能使B 种礼盒平均每天销售利润为240 元，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】（1）设A 礼盒购进x 盒，则B 种礼盒购进
300
x
盒，
依题意得：28
22(300
)
7200
x
x
，
解得：
100
x
，
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25
300
300 100
200
x
．
答：A 礼盒购进100 盒，B 种礼盒购进200 盒；
（2）设应降价m 元，才能使B 种礼盒平均每天销售利润为240 元，
依题意得：(34
22
)(10
5 )
240
m
m
，
整理得：
2
10
24
0
m
m
，
解得：
1
6
m
，
2
4
m
，
要尽快减少库存，
m
应取6，
34
34
6
28
m
．
答：B 种礼盒销售价定为每盒28 元时，才能使平均每天销售利润为240 元．
32．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知空地长
52m
AD
，宽
28m
AB
，
阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x 米的道路．已知铺花砖的面积为640
2
m ．
(1)求道路的宽是多少米？
(2)该停车场共有车位50 个，据调查分析，当每个车位的月租金为200 元时，可全部租出；若每个车位的月
租金每上涨5 元，就会少租出1 个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10000
元？
【答案】(1)6米
(2)50 元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，
列出方程是解题关键．
（1）由题意知，道路的宽为x 米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可；
（2）设车位的月租金上涨a 元，则租出的车位数量是50
5
a
个，根据：月租金每个车位的月租金车位
数，列出方程并解答即可；
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26
【详解】（1）解：根据道路的宽为x 米，
(52
2 )(28
2 )
640
x
x
，
整理得：
2
40
204
0
x
x
，
解得：
1
34
x
（舍去），
2
6
x
，
答：道路的宽为6米．
（2）解：设月租金上涨a 元，停车场月租金收入为10000 元，
根据题意得：
200
(50
a
5
a )
10000
，
解得
50
a
，
答：每个车位的月租金上涨50 元时，停车场的月租金收入为10000 元．
33．某汽车租赁公司共有300 辆可供出租的某款汽车，2021 年每辆汽车的日租金为100 元，由于物价上涨，
到2023 年日租金上涨到121 元．
(1)求2021 年至2023 年日租金的平均增长率．
(2)经市场调研发现，从2023 年开始，当每辆汽车的日租金定为121 元时，汽车可全部租出；日租金每增加
1 元，就要少租出2 辆．已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31 元，每辆未租出的汽
车支付各类费用10 元．
①在每辆汽车日租金121 元的基础上，设上涨y 元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出______
辆车．
②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200 元？(日收益总租金各类费用)
【答案】(1)10%
(2)①
121
y
，
300
2y
；
②20 或30元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式；
（1）设2021年至2023年日租金的平均增长率为x ，利用2023年每辆汽车的日租金
2021
年每辆汽车的日
租金(1
2021
年至2023年日租金的平均增长率
2) ，可列出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，
即可得出结论；
（2）①利用每辆汽车的日租金
121
每辆汽车日租金上涨的钱数，可用含y 的代数式表示出每辆汽车的日
租金；利用实际能租出的数量
300
2
每辆汽车日租金上涨的钱数，即可用含y 的代数式表示出实际能租
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27
出的数量；
②利用日收益总租金- 各类费用，可列出关于y 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设2021年至2023年日租金的平均增长率为x ，
根据题意得：
2
100 1
121
x
，
解得：
1
2
0.1 10%
2.1
x
x
，
(不符合题意，舍去)．
答：2021年至2023年日租金的平均增长率为10% ；
（2）①根据题意得：在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨y 元，则每辆汽车的日租金为
121
y
元，
实际能租出
300
2y
辆．
故答案为：
121
y
，
300
2y
；
②根据题意得：
121
300
2
31 300
2
10 300
300
2
28200
y
y
y
y
，
整理得：
2
50
600
0
y
y
，
解得：
1
2
20
30
y
y
，
．
答：当每辆汽车的日租金上涨20 或30元时，该租赁公司的日收益可达28200 元．
34．为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买了40 元的豆沙棕和
96 元的肉棕，已知肉粽单价是豆沙棕单价的2 倍，肉棕比豆沙棕多2 个．
(1)求豆沙粽和肉棕的单价．
(2)端午节当天，超市为了促销推出降价优惠活动，下表列出了芳芳妈妈、媛媛妈妈的购买数量（单位：个）
和付款金额（单位：元）：
豆沙粽数量
肉粽数量
付款金额
芳芳妈妈
10
15
135
媛媛妈妈
15
10
115
请根据上表，求豆沙棕和肉粽优惠后的价格．
(3)端午节后，超市为进一步减少库存，将两粽子打包成A ，B 两种包装销售，每包都是20 个（包装成本忽
略不计），每种粽子的销售价格按（1）中的单价五折出售．A 包装中有m 个豆沙棕，B 包装中有m 个肉棕．活
动某天统计发现，A 种包装销量为
60
2m
包，B 种包装销量为
2
4
m
包，A，B 两种包装的销售总额为
3880 元，试求m 的值．
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28
【答案】(1)豆沙粽的单价是4 元，则肉粽的单价是8 元
(2)豆沙粽优惠后的单价是3 元，肉粽优惠后的单价是7 元；
(3)m 的值为15 或9
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键
是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等
量关系，正确列出一元二次方程．
（1）设豆沙粽的单价是x 元，则肉粽的单价是2x 元，根据某顾客端午节前在超市购买了40 元的豆沙粽和
96 元的肉粽，肉粽比豆沙粽多2 个．列出分式方程，解方程即可；
（2）设豆沙粽优惠后的单价是a 元，肉粽优惠后的单价是b 元，根据表中信息列出二元一次方程组，解方
程组即可；
（3）根据A，B 两种包装的销售总额为3880 元，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设豆沙粽的单价是x 元，则肉粽的单价是2x 元，
根据题意得：96
40
2
2x
x
，
解得：
4
x
，
经检验，
4
x
是原方程的解，且符合题意，
2
8
x
，
答：豆沙粽的单价是4 元，肉粽的单价是8 元；
（2）解：设豆沙粽优惠后的单价是a 元，肉粽优惠后的单价是b 元，
根据题意得：
10
15
135
15
10
115
a
b
a
b
，
解得
3
7
a
b
，
答：豆沙粽优惠后的单价是3 元，肉粽优惠后的单价是7 元；
（3）解：根据题意得：
4 0.5
8 0.5 20
m
m
60
2m
4 0.5 20
8 0.5
m
m
2
4
3880
m
，
整理得：
2
24
135
0
m
m
，
解得：
1
15
m
，
2
9
m
，
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29
答：m 的值为15 或9．
35．2024 年端午节小长假恰巧遇上高考，元祖食品店特别推出“冰淇淋粽”礼盒和“事事高中”礼盒．甲公司
从元祖店购买了这两种部分礼盒发给员工作为福利，甲公司采购人员发现，购买“事事高中”礼盒的单价是“冰
淇淋粽”礼盒单价的1.5 倍，且花费6000 元购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量比花费7200 元购买的“事事高中”
礼盒的数量多5 盒．
(1)求“冰淇淋粽”和“事事高中”粽子礼盒的单价分别为多少元；
(2)两种粽子礼盒在市场上颇受欢迎，元祖食品店决定对这两种礼盒进行进一步促销．其中每盒“冰淇淋粽”
礼盒降价6m 元，每盒“事事高中”粽子礼盒降价5m元．乙公司也决定购买以上两种礼盒发放给员工作为福
利，乙公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量和甲公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量一样，乙公司购买“事事高
中”礼盒的数量比甲公司购买“事事高中”礼盒的数量多5
6 m 盒，最后乙公司的总花费与甲公司的总花费相同，
求m 的值．
【答案】(1)“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为240 元，“事事高中”粽子礼盒的单价为360 元
(2)12
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是：
（1）设“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为x 元，则“事事高中”粽子礼盒的单价为1.5x 元，根据“花费6000 元购
买的“冰淇淋粽”礼盒的数量比花费7200 元购买的“事事高中”礼盒的数量多5 盒”列方程求解即可；
（2）根据“乙公司的总花费与甲公司的总花费相同”列方程求解即可．
【详解】（1）解∶设“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为x 元，则“事事高中”粽子礼盒的单价为1.5x 元，
根据题意，得6000
7200
5
1.5
x
x
，
解得
240
x
，
经检验，
240
x
是原方程的解，
∴1.5
360
x
，
答：“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为240 元，“事事高中”粽子礼盒的单价为360 元；
（2）解：由（1）知：甲公司购买“冰淇淋粽”粽子礼盒6000
25
240
盒，“事事高中”粽子礼盒25
5
20
元，
根据题意，得
5
25 240
6
360
5
20
6000
7200
6
m
m
m
，
整理得
2
5
50
0
6
m
m
解得
12
m
或
0
m
（舍去），
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30
∴m 的值为12．
题型08
动态几何问题
36．在平面直角坐标系xOy 中，点
,
A a m 在直线:
4
l y
kx
上．
(1)直线l 与y 轴的交点坐标为________；
(2)矩形ADOC 的顶点D
C
，
分别x 轴，y 轴上．
①当
1
2
k
，
3
m
时，求矩形ADOC 的面积；
②若使矩形ADOC 的面积为4 的点A 恰好有4 个，试求k 的取值范围．
【答案】(1)
0,4
(2)①6；②1
1
k
且
0
k
【分析】（1）在:
4
l y
kx
中，当
0
x
时，
4
y
，即可得出答案；
（2）①由题意得
,3
A a
，
1
4
2
y
x
，先求出
2,3
A
，结合矩形的性质即可得出答案；②分两种情况：
当
0
k
时；当
0
k
时，分别计算即可得出答案．
【详解】（1）解：在:
4
l y
kx
中，当
0
x
时，
4
y
，
∴直线l 与y 轴的交点坐标为
0,4 ；
（2）解：由题意得：
,3
A a
，
1
4
2
y
x
，
将
,3
A a
代入
1
4
2
y
x
得：
1
4
3
2 a
，
解得：
2
a
，
∴
2,3
A
，
如图所示：
，
∵四边形ADOC 是矩形，
∴
3
AD
，
2
AC
，
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31
∴矩形ADOC 的面积为2
3
6
；
②当
0
k
时，
4
y
，此时矩形ADOC 的面积为4 的点A 只有两个；
当
0
k
时，∵点
,
A a m 在直线:
4
l y
kx
上，
∴
4
ak
m
，
∴
,
4
A a ak
，
∴矩形ADOC 的面积为
4
4
a ak
，即
2
4
4
ka
a
或
2
4
4
ka
a
，
∵矩形ADOC 的面积为4 的点A 恰好有4 个，
∴
16 16
0
k
或
16 16
0
k
，
解得：1
1
k
，
综上所述，若使矩形ADOC 的面积为4 的点A 恰好有4 个，k 的取值范围为1
1
k
且
0
k
．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、矩形的性质、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知
识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
37．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
，AC
8
m ，
6
BC
m ，点P 由C 点出发以2m / s 的速度向终点A 匀
速移动，同时点Q 由点B 出发以1m / s 的速度向终点C 匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止
移动．
(1)当点P 移动时间为2 秒时，
PCQ
△
的面积为多少？
(2)点P 移动多少秒时，
PCQ
△
的面积为
2
8m ？
(3)在点P 、Q 的运动过程中，
PCQ
△
的面积是否会达到
2
10m ？为什么？
【答案】(1)
2
8m
(2)2 秒或4 秒
(3)不会达到
2
10m ，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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32
1 由三角形的面积公式可求解；
2 设点P 移动经过t 秒，
PCQ
△
的面积为
2
8m ，列出方程可求解；
3 列出方程，由Δ
0
，可得
PCQ
△
的面积不会达到
2
10m ．
【详解】（1）解：当点P 移动时间为2 秒时，
2 2
4m
PC
，
1
2
2m
BQ
，
∴
4m
CQ
，
∴
PCQ
△
的面积
2
1
4 4
8m
2
；
（2）解：设点P 移动经过t 秒，
PCQ
△
的面积为
2
8m ，由题意可得∶
1
2
6
8
)
(
2
t
t
，
∴ 2
t
或
4
t
，
答∶点P 移动经过2 秒或4 秒，
PCQ
△
的面积为
2
8m ；
（3）解：
PCQ
△
的面积不会达到
2
10m ．理由如下∶
设点P 移动经过t 秒，
PCQ
△
的面积为
2
10m ，由题意可得∶
1
2
6
10
2
t
t
，
2
6
10
0
t
t
，
∴
36
40
4
0
，
∴方程无解，
∴
PCQ
△
的面积不会达到
2
10m ．
38．如图，一艘轮船以30km/h 的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h
的速度由东向西移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风
警报时，它与台风中心的距离
500km
BC
，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离
300km
AB
．
(1)如果这艘轮船不改变航向，经过10 小时，轮船与台风中心相距多远？它此时是否受到台风影响？
(2)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？请说明理由；
(3)如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？
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33
(4)假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？
【答案】(1)相距100 5km ，它此时不受到台风影响
(2)会，见解析
(3)
15
15
(4)2 15h
【分析】本题考查勾股定理的应用及一元二次方程的应用、解题的关键是理解题意，学会于转化的思想思
考问题，属于中考常考题型．
（1）直接利用勾股定理得出AC 的长，进而利用勾股定理求出10 小时后轮船与台风中心距离，即可得解；
（2）如图易知
300
10
AB
t
，
400
30
AC
t
，当
200
B C
时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：
2
2
2
(300
10 )
(400
30 )
200
t
t
，整理得到：
2
30
210
0
t
t
，解得
15
15
t
，由此可知，如果这艘船不改变
航向，那么它会进入台风影响区；
（3）利用（2）中结论即可解决问题；
（4）利用（2）中的数据即可解决问题．
【详解】（1）
500km
CB
，
300km
AB
，
2
2
2
2
500
300
400 km
AC
CB
AB
，
如图1，
设经过10 小时，轮船到达点C，且航行了30 10
300(km)
，台风中心到达B，且
10 10
100(km)
BB
，
400
300
100(km)
AC
，
'
300 100
200 km
AB
，
2
2
100
200
100 5(km)
B C
，
100 5
200
，
轮船与台风中心相距100 5km ，它此时不受到台风影响；
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34
（2）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；理由如下：
如图2，
设经过t 小时进行台风区域，则
300
10
AB
t
，
400
30
AC
t
，
当
200
B C
时，将受到台风影响，
根据勾股定理可得：
2
2
2
(300
10 )
(400
30 )
200
t
t
，
整理得到：
2
30
210
0
t
t
，
解得
15
15
t
，
由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．
（3）由（1）可知经过15
15h
就会进入台风影响区；
（4）由（1）可知受到台风影响的时间为15
15
(15
15)
2 15
（小时）．
39．已知ABC
是等腰直角三角形，
90 ,
C
AC
BC
．
(1)当
6
AC
BC
时，
①如图①，将直角的顶点D 放至AB 的中点处，与两条直角边分别交AC
BC
、
于点E、F，请说明DEF
为
等腰直角三角形；
②如图②，将直角顶点D 放至AC 边的某处，与ABC
另两边的交点分别为点E、F，若DEF
为等腰直角
三角形且面积为4，求CD 的长．
(2)若等腰直角DEF
三个顶点分别在等腰直角ABC
的三边上，等腰直角DEF
的直角边长为1 时，求等腰
直角ABC
的直角边长的最大值．
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35
【答案】(1)①见解析；②2 或14
5
(2) 5
【分析】（1）①过点D 作DG
AC
于G，DH
BC
于H，连接CD ．ABC
是等腰直角三角形，点D 是AB
的中点，可得AC
BC
，CD
AB
，CD
AD
BD
，
ACD
BCD
，
由“ AAS”可证
DEG
DHF
△
≌△
，可得DE
DF
，即可求解；
②过点F 作FN
AC
于N．由“ AAS”可证
FND
DCE
△
≌△
，可得NF
DC
，设AN
NF
CD
x
，则
6
2
ND
x
．根据勾股定理得
²
²
²,
DN
NF
DF
再列出方程即可求解；
（2）当点D 在AB 上时，当C、Q、D 共线时，CD 最长，当D 在直角边上，过点E 分别作GE
CA
于点
E，EH
CB
于H．设
,
,
GE
a
CD DG
b AC
BC
s
．则
2
2
2
,1
a
b
s
a
b
即可求解．
【详解】（1）①如图，过点D 作DG
AC
于G，DH
BC
于H，连接CD ．
ABC
是等腰直角三角形，AC
BC
，点D 是AB 的中点，
CD
AB
，CD
AD
BD
，
ACD
BCD
，
DG
AC
，DH
BC
，
DG
DH
，
90
ACB
EDF
，
180
DEC
DFC
，
180
DEC
DEG
，
DEG
DFC
，
又
90
DGC
DHB
，
(AAS)
DEG
DHF
△
≌△
，
DE
DF
，
DEF
是等腰直角三角形；
②如图，过点F 作FN
AC
于N．
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∵
90 ,
90
CED
CDE
ADF
CDE
，
∴
ADF
CED
．
又∵
90 ,
FND
C
DE
DF
，
∴
AAS
FND
DCE
≌
．
∴NF
DC
．
∵
90 ,
C
AC
BC
，
∴
45
A
B
．
∵
90 ,
C
AC
BC
，
∴
45
A
B
．
∵
,
FN
AC
∴
45
A
AFN
，
∴AN
NF
．
设AN
NF
CD
x
，则
6
2
ND
x
．
1
4,
2
DEF
S
DE DF
DE
DF
，
2
1
4,
2 DF
2
8
DF
，
²
²
²,
DN
NF
DF
2
2
6
2
8,
x
x
2
x
或14.
5
∴
2
CD 或14
5 ，
（2）设等腰Rt
DEF
△
的直角顶点为D，
若D 在AB 上，如图3．
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37
取EF 的中点Q，连接CQ
DQ
、
，则
1
1
,
.
2
2
CQ
EF DQ
EF
∵DEF
是直角边长为1 的等腰直角三角形(
90
EDF
)．
2,
EF
2 ,
2
CQ
DQ
2
CQ
DQ
∴当C、Q、D 共线时，CD 最长，则
2.
CD
∴在等腰
)
R
9
(
t
0
ABC
C
中，当CD
AB
时，AC 的长最大．
AC 最大为2．
若D 在直角边上，如图4，过点E 分别作GE
CA
于点E，EH
CB
于H．
由
1 知DEG
FDC
≌
设
,
,
GE
a
CD DG
b AC
BC
s
．
则
2
2
2
,1
a
b
s
a
b
2
2
2
1,
a
s
a
2
2
5
4
1
0
a
sa
s
2
20
4
0,
s
解得
5.
s
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当s 取最大值时，
2 5
5
,
,
5
5
a
b
∴AC 的最大值为
5 ．
综上，AC 的最大值为
5 ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的
性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
40．如图，在四边形ABCD中，AB
DC
，
4
AD
，
12
CD
，BD
AD
，
60
A
，动点P、Q 分别从A、
B 同时出发，点P 以每秒2 个单位的速度沿着折线A
D
C
先由A 向D 运动，再由D 向C 运动，点Q 以
每秒1 个单位的速度由B 向A 运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t
秒．
(1)两平行线DC 与AB 之间的距离是__________．
(2)当点P、Q 与
BCD
△
的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t 的值．
(3) AP ，以AP ，AQ 为一组邻边构造平行四边形APMQ，若
APMQ
的面积为7 3 ，求t 的值．
【答案】(1)2 3
(2)
4
t
或
16
3
t
(3)
1
t 或
9
2
t
【分析】此题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边
形的性质是解题的关键．
（1）过点D 作DE
AB
于点E ，由勾股定理可得出答案；
（2）分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案；
（3）分两种情况，列出t 的方程可得出答案．
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39
【详解】（1）过点D 作DE
AB
于点E ，
4
AD
，
60
A
，
30
ADE
，
2
AE
，
2
2
2 3
DE
AD
AE
，
故答案为：2 3 ；
（2）在Rt△ABD 中，
60
DAB
，
4
AD
，
30
ABD
，
2
2
4
8
AB
AD
，
Ⅰ．当四边形BPDQ 为平行四边形时，DP
BQ
，
2
4
t
t
，
4
t
，
Ⅱ．当四边形BCPQ 为平行四边形时，PC
BQ
，
16
2t
t
，
16
3
t
，
综上所述当点P 、Q 与
BCD
△
的某两个顶点围成一个平行四边形时，
4
t
或
16
3
t
；
（3）Ⅰ．当P 在AD 边上时，AQ 边上的高是3t ，
(8
)
3
7 3
t
t
，
解得1
1
t ，2
7
t
舍去），
Ⅱ．当P 在DC 边上时，
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40
(8
)
2 3
7 3
t
，
解得
9
2
t
．
综上所述
1
t 或
9
2
t
时，平行四边形APMQ的面积为7 3 ．
41．某市2021 年年底自然保护区覆盖率为8%，经过两年努力，该市2023 年年底自然保护区覆盖率达到
11.52% ，求该市这两年自然保护区面积的年均增长率．设该市这两年自然保护区面积的年均增长率为x，
则下列方程正确的是（
）
A．
2
8% (1
)
11.52%
x
B．
2
8% (1
)
11.52%
x
C．
8% 1 2
11.52%
x
D．
8%
8% 1
11.52%
x
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据该市2023 年年底自然保护区覆盖率达到11.52% ，列方程
即可．
【详解】解：由题意得，
2
8% (1
)
11.52%
x
，
故选：A．
42．宽与长的比是
5
1
2
的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得
最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形．(
)
AB
BC
，点P 是边AD 上一
点，则满足PB
PC
的点P 的个数为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判断一
元二次方程解的情况是解题的关键．设AB
a
=
，BC
b
，假设存在点P ，且AP
x
，则PD
b
x
，利用勾
股定理得到
2
2
2
2
2
BP
AB
AP
a
x
，
2
2
2
2
2
(
)
PC
PD
CD
b
x
a
，
2
2
2
BC
BP
PC
，可得到方程
2
2
0
x
bx
a
，结合
5
1
2
AB
a
BC
b
，然后根据判别式的符号即可确定有几个解，由此得解．
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41
【详解】解：如图所示，四边形ABCD是黄金矩形，AB
BC
，
5
1
2
AB
BC
，
设AB
a
=
，BC
b
，假设存在点P ，且AP
x
，则PD
b
x
，
在Rt ABP
中，
2
2
2
2
2
BP
AB
AP
a
x
，
在Rt PDC
中，
2
2
2
2
2
(
)
PC
PD
CD
b
x
a
，
PB
PC
，
2
2
2
BC
BP
PC
，即
2
2
2
2
2
(
)
b
a
x
b
x
a
，
整理得
2
2
0
x
bx
a
，
2
2
2
4
4
b
ac
b
a
，又
5
1
2
AB
a
BC
b
，即
5
1
2
a
b
，
2
2
2
2
2
2
2
( 5
1)
4
4
4
(2 5
5)
4
b
ac
b
a
b
b
b
，
2 5
5
0
，
2
0
b
，
2
2
2
4
(2 5
5)
0
b
a
b
，
方程无解，即点P 不存在．
故选：D．
43．我国南宋数学家杨辉在1275 年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云
阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），则“阔”是（
）
A．12 步
B．24 步
C．36 步
D．72 步
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设“阔”是x 步，则长是
12
x
步，根据“直
田积（矩形面积）八百六十四步（平方步）”列一元二次方程，利用配方法求解即可．
【详解】解：设“阔”是x 步，则长是
12
x
步，
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42
由题意得：
12
864
x x
，
整理得：
2
12
864
0
x
x
，
2
6
900
x
，
解得：
24
x
或
36
x
（舍），
即“阔”是24 步，
故选：B．
44．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和
技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据
“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：
2
1.414
）（
）
A．20.3%
B．25.2
C．29.3%
D．50%
【答案】C
【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程．
设每天遗忘的百分比为x ，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可．
【详解】解：设每天遗忘的百分比为x ，
则
2
1
(1
)
2
x
，
解得：
29.3%
x
．
故选：C．
45．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F 分别在
,
AB AD 上，
CEF
△
是等边三角形，则BE （
）
A．2
3
B．4
2 3
C．3
3
D．2 3
3
【答案】B
【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，证明EBC
FDC
≌
，得到BE
DF
，设BE
x
，利用勾
股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵正方形ABCD，
CEF
△
是等边三角形，
∴
90 ,
,
A
B
D
AB
BC
CD
AD CE
CF
EF
，
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43
∴EBC
FDC
≌
，
∴BE
DF
，
∴AB
BE
AD
DF
，即：AE
AF
，
设BE
x
，则：
2
2
2
2
2
2
2
EF
CE
BC
BE
x
，
2
AE
x
，
在Rt
EAF
△
中，
2
2
2
2
2
EF
AE
AF
AE
，
∴
2
2
2
2
2 2
x
x
，
解得：
4
2 3
x
或
4
2 3
x
（不合题意，舍去）；
故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方
程以及二次根式的运算，熟练掌握相关知识点，利用勾股定理列方程，是解题的关键．
二、填空题
46．如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第
个“小
屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3 倍．
【答案】12
【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”
的个数变化规律是解题的关键．
根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：由所给图形可知，
第1 个“小屋子”中图形“〇”的个数为：1
1
，“●”的个数为：4
1 2
2
；
第2 个“小屋子”中图形“〇”的个数为：3
1 2
，“●”的个数为：6
2
2
2
；
第3 个“小屋子”中图形“〇”的个数为：6
1 2
3
，“●”的个数为：8
3
2
2
；
第4 个“小屋子”中图形“〇”的个数为：10
1
2
3
4
，“●”的个数为：10
4 2
2
；
…，
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44
所以第n 个“小屋子”中图形“〇”的个数为：
1
1
2
3
2
n n
n
，“●”的个数为：2
2
n
；
由题知
1
3 2
2
2
n n
n
，解得
1
2
1
12
n
n
，
，
又n 为正整数，则
12
n
，即第12 个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3 倍．
故答案为：12．
47．如图，矩形ABCD中，
5
7
AB
BC
=
=
、
，点E 是AD 上的动点，把BAE
沿BE 向矩形内部折叠，当点A
的对应点F 恰好落在
BCD
的平分线上时CF 的长为
.
【答案】3 2 或4 2
【分析】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判
定及性质和解一元二次方程是解决此题的关键．过点F 作FH
BC
于H，根据等腰直角三角形的判定可得
CHF
为等腰直角三角形，设CH
HF
x
，从而得出
7
BH
x
，
2
CF
x
，然后根据折叠的性质可得
5
AB
FB
，再利用勾股定理求出x，即可求出结论．
【详解】解：过点F 作FH
BC
于H，
∵四边形ABCD为矩形，CF 平分
BCD
∴
1
45
2
HCF
BCD
Ð
=
Ð
=
°
∴CHF
为等腰直角三角形，设CH
HF
x
，
则
7
BH
BC
CH
x
=
-
=
-
，
2
CF
HF
2x ，
由折叠的性质可得
5
AB
FB
，
在Rt
BHF
△
中，
2
2
2
BH
HF
FB
+
=
即
2
2
2
7
5
x
x
解得：
1
2
3
4
，
x
x
，
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45
∴
3 2
CF
或4 2
故答案为：3 2 或4 2 ．
48．如图1，将面积为4 的正方形分为①②③④四部分，分成的4 部分恰好拼成如图2 所示的矩形ABCD，
则AB 长为
．
【答案】
5
1
【分析】本题考查了关于图形的剪拼的一元二次方程的应用，正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含
条件找到数量关系是解题关键．
已知图中的①和②，③和④形状大小分别完全相同，结合图中数据可知①④能拼成一个直角三角形，②③
能拼成一个直角三角形，并且这两个直角三角形形状大小相同，利用这两个直角三角形即可拼成矩形；利
用拼图前后的面积相等列出方程求解即可得出答案．
【详解】解：如图
图1 中的正方形面积为4
正方形边长为2
直角三角形①中的长直角边为2
2
4
b
b
解得：
5
1
b
（负值已舍去）
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46
5 1
AB
故答案为：
5
1
．
三、解答题
49．某网店热销夏季运动衫，进价每件42 元，销售大数据分析表明：当每件运动衫售价为54 元时，平均
每月售出800 件；若销售单价每下降1 元，其月销售量就增加100 件；设销售单价下降x 元，每天销售量为
y 件．
(1)y 与x 的函数关系式是_______．
(2)该网店决定降价薄利多销，在库存充足的情况下；若预计月获利恰好为9900 元，求每件运动衫的售价．
【答案】(1)
100
800
y
x
(2)每件运动衫的售价为51元
【分析】本题考查一元函数，一元二次方程的应用，
（1）根据“销售单价每下降1 元，其月销售量就增加100 件”列关系式即可；
（2）根据总利润单利润销售量列方程解题即可．
【详解】（1）解：
100
800
y
x
，
故答案为：
100
800
y
x
；
（2）解：
54
42 100
800
9900
x
x
，
解得：
1
1
x ，
2
3
x
，
∵网店决定降价薄利多销，
∴
3
x
，
这时售价为54
3
51
元，
答：每件运动衫的售价为51元．
50．某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y （件）与每件售价x （元）满足一次函数关系，部
分数据如下表所示：
每件售价x /元
45
55
65
日销售量y /件
55
45
35
(1)求y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；
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47
(2)该商品日销售额能否达到2600 元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
100
y
x
；
(2)该商品日销售额不能达到2600 元，理由见解析。
【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出y
与x 之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出y 与x 之间的函数表达式；
（2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：设y 与x 之间的函数表达式为
0
y
kx
b k
（
），
将
45,55 ，
55,45 代入y
kx
b
得
45
55
55
45
k
b
k
b
，
解得
1
100
k
b
，
y
与x 之间的函数表达式为
100
y
x
；
（2）解：该商品日销售额不能达到2600 元，理由如下：
依题意得
100
2600
x
x
，
整理得
2
100
2600
0
x
x
，
∴
2
2
Δ
4
100
4 1 2600
400
0
b
ac
，
∴该商品日销售额不能达到2600 元．
51．济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月
份售出375 个，六月份售出540 个，且从四月份到六月份月增长率相同.
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10 元，月销售量为500 个，若在此基础上每个涨价1 元，
则月销售量将减少20 个，现在既要使月销售利润达到6000 元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌
头盔每个应涨价多少元？
【答案】(1)头盔销售量的月增长率为20% ；
(2)该品牌的头盔每个应涨价5 元.
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48
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4 月份及6 月份的月销售量，得出关于x 的一
元二次方程，解之取其正值即可；
（2）设头盔每个涨价m 元，根据“月销售利润达到6000 元”，得出关于m 的一元二次方程求解，根据“尽可
能让市民得到实惠”取舍即可．
【详解】（1）解：设头盔销售量的月增长率为x ，根据题意得：
2
375 1
540
x
，
解得
1
0.2
x
，
2
2.2
x
（舍去），
头盔销售量的月增长率为20% ；
（2）解：设头盔每个涨价m 元，根据题意得：
10
500
20
6000
m
m
，
整理得
2
15
50
0
m
m
，
解得
1
5
m
，
2
10
m
（舍去），
答：该品牌的头盔每个应涨价5 元
52．小张利用家里闲置的长方形硬纸板制作收纳盒（如图1），收纳玩具．已知，长方形硬纸板长为100cm，
宽为40cm．
(1)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形（如图2），然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘
好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为
2
1600cm ，求剪去的小正方形的边长．
(2)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若EF 和
HG 两边恰好重合且无重叠部分，设小长方形的宽为xcm，长ycm．请求出y 关于x 的函数关系式，并判断
家里一个玩具机械狗能否完全放入该收纳盒并合上盖子（不考虑倾斜放入）．若能，请写出一组x、y 的值；
若不能，请说明理由．
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49
【答案】(1)剪去的小正方形的边长10cm；
(2)
1
25
2
y
x
，玩具机械狗不能完全放入该收纳盒．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，合理将实际问题转化成方程是解题的关键．
（1）设剪去的小正方形的边长xcm ，则无盖收纳盒的长为
100
2x cm
，宽为
40
2x cm
，列出方程求解
即可；
（2）设小长方形的宽为cm
x
20
x
，长cm
y
，列出等式求得y 关于x 的函数关系式；再分两种情况讨论，
判断玩具机械狗不能完全放入该收纳盒．
【详解】（1）解：设剪去的小正方形的边长xcm ，则无盖收纳盒的长为
100
2x cm
，宽为
40
2x cm
，
依题意得：
100
2
40
2
1600
x
x
，
整理得：
2
70
600
0
x
x
解得：
1
10
x
，
2
60
x
（舍去），
答：剪去的小正方形的边长10cm；
（2）解：设小长方形的宽为cm
x
20
x
，长cm
y
，由题意得：
2
100
2
y
x
y
，即
1
25
2
y
x
，
当
15
GH
时，则2
40 15
x
，解得：
12.5
18
x
，
∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒；
当
18
x
，则2
36
x
，
∴
40
36
4
15
GH
∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒；
综上，玩具机械狗不能完全放入该收纳盒．
53．项目化学习：
主
题
“校庆主题”草坪设计
情
为了迎接第60 周年校庆，同学们参与一块长为40 米，宽为30 米的矩形“校庆主题”草坪设计．以下为
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50
境
小组对草坪设计的研究过程．
活
动
任
务
一
请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁
四种典型的方案．
驱
动
问
题
一
（1）请直接写出小组设计出来的四种方案小路面积S甲，S乙，S丙，S丁的大小关系．
活
动
任
务
二
为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064 平方米．
驱
动
问
题
二
（2）请计算两条小路的宽度是多少？
活
动
任
务
三
为了展示校庆元素，打算在草坪上的校庆宣传主题墙前，靠墙用篱笆围（三边）建成一个矩形ABCD，
且AB
BC
，如图．
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51
驱
动
问
题
三
（3）数学之星小聪查阅资料发现：短边为长边的
5
1
倍的矩形称为黄金矩形．黄金矩形能够给画面
带来美感，令人愉悦．为了使长40 米的篱笆恰好用完同时围住矩形的三面，且矩形的形状更接近黄
金矩形．AB 应设计成多少米？（参考数据
3
1.732
，
5
2.236
，结果取整数）
【答案】（1）S
S
S
S
乙
丁
甲
丙
；（2）小路的宽为2m；（3）AB 应设计成60m
【分析】（1）通过计算面积然后比较即可；
（2）根据草坪的面积列方程求解；
（3）设矩形宽AB
x
，长BC
y
．根据题意列得2
220
x
y
，由
5
1
2
x
y
代入求出y，即可得到x 的
值．
【详解】解：（1）设小路的宽度为a 米，
2
2
=40
30
70
S
a
a
a
a
a
甲
，
2
2
=40
30
70
S
a
a
a
a
a
乙
，
2
2
=40
30
70
S
a
a
a
a
a
丙
，
2
2
=40
30
70
S
a
a
a
a
a
丁
，
∴S
S
S
S
乙
丁
甲
丙
；
（2）设小路的宽为m
x
，则
40
30
1064
x
x
，
解得：
2
x
或
68
x
（不合题意，舍去），
答：小路的宽为2m；
（3）设矩形宽AB
x
，长BC
y
．
∴2
220
x
y
,
∵
5
1
2
x
y
，
∴
5
1
2
220
2
y
y
，
解得：
220 5
5
y
，
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52
∴
5
1
220 5
60
2
5
x
，
答：AB 应设计成60 米．
【点睛】此题考查了平移的知识，列代数式，解一元二次方程，解一元一次方程，正确理解题意掌握各知
识点是解题的关键．
54．博物馆是一座城市重要的公共文化窗口，“博物馆热”背后是人们对精神文化多样化的需求、对中华优秀
传统文化的认同．潼南博物馆位于潼南区大佛街道石碾社区，毗邻潼南大佛景区．馆内设有恐龙、历史文
化、石刻文化、建筑文化、人文文化5 大展厅．是了解潼南历史的新窗口．一学习小组计划利用周末到潼南
博物馆参观学习．
(1)为达到更佳的参观学习效果，他们原计划花240 元请私家讲解人员，后又临时增加3 名同学，实际的团费
虽然增加了30 元，但实际的人均费用比原来的人均费用少了1元，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数；
(2)该博物馆的步行参观路线全长1610 米，分为“亚洲最大恐龙展区”“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”两个
部分，参观“亚洲最大恐龙展区”部分的平均速度是70 米每分钟，若“亚洲最大恐龙展区”的步行路线长770 米，
加上周末参观人数多，在“亚洲最大恐龙展区”部分需排队5 分钟，若小组整个参观学习过程计划最多花费0.5
小时，求“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”部分参观路线的速度最少为多少米每分钟？
【答案】(1)该学习小组实际参观博物馆的同学人数为18人；
(2)“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”部分参观路线的速度最少为60 米/ 分钟．
【分析】
（1）设该学习小组实际参观博物馆的同学人数为x 人，则原计划参观博物馆的同学人数为
3
x
人，
根据题意得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2 ）设“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”部分参观路线的速度为y 米/ 分钟，
根据题意得出关于y 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式．
【详解】（1）设该学习小组实际参观博物馆的同学人数为x 人，则原计划参观博物馆的同学人数为
3
x
人，
根据题意得：240
240
30
1
3
x
x
，整理得：²
27
810
0
x
x
，
解得：
1
18
x
，
2
45
x
，
经检验，
1
18
x
，
2
45
x
，均是所列方程的解，
∴
1
18
x
符合题意，
2
45
x
不符合题意，舍去，
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53
答：该学习小组实际参观博物馆的同学人数为18人；
（2）设“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”部分参观路线的速度为y 米/ 分钟，
根据题意得：
770
0.5 60
5
1610
770
70
y
，
解得：
60
y
，
答：“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”部分参观路线的速度最少为60 米/ 分钟．
55．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技
小组对A、B 两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B 两个品种各种植了10 亩．收获后A、B 两个
品种的售价均为2.4 元/kg ，且B 品种的平均亩产量比A 品种高100 千克，A、B 两个品种全部售出后总收
入为21600 元．
(1)求A、B 两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
(2)今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B 两个品种平均亩
产量将在去年的基础上分别增加%
a
和2 %
a
．由于B 品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础
上上涨%
a
，而A 品种的售价保持不变，A、B 两个品种全部售出后总收入将增加20 %
9 a
，求a 的值．
【答案】(1)A 品种去年平均亩产量是400、B 品种去年平均亩产量是500 千克
(2)10
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，掌握列方程或方程组解应用题的方
法与步骤是解题的关键．
（1）设A、B 两个品种去年平均亩产量分别是x、y 千克，根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）根据题意分别表示A 品种、B 品种今年的收入，利用总收入等于A 品种、B 品种今年的收入之和，列
出一元二次方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设A、B 两个品种去年平均亩产量分别是x、y 千克，由题意得
100
2.4 10
2.4 10
21600
y
x
x
y
，
解得
400
500
x
y
．
答：A．B 两个品种去年平均亩产量分别是400、500 千克；
（2）解：根据题意得：
20
24
400 1
%
24 1
%
500 1
2 %
21600 1
%
9
a
a
a
a
．
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54
令%
a
m
，则方程化为：
20
24 400 1
24 1
500 1 2
21600 1
9
m
m
m
m
．
整理得
2
10
0
m
m
，
解得：
1
0
m
（不合题意，舍去），
2
0.1
m
%
0.1
a
，
10
a
，
答：a 的值为10．
56．综合与实践：
用硬纸板制作无盖纸盒
背
景
在一次劳动课中，老师准备了一些长为80cm ，宽为40cm 的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两
个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）．
素
材
配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求
2
2
4
3
x
x
的最大值，过程如下：
2
2
2
2
4
3
2
2
1
3
2
2(
1)
5
x
x
x
x
x
∴当
1
x 时，
2
2
4
3
x
x
有最大值5．
方
案
1
甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁
掉四个边长为cm
x
的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒
的底面是正方形ABCD．
方
案
2
乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为cm
x
的正方
形，再在中间裁掉一块正方形BCFE ，分别沿着虚线折起来，
其中一个纸盒的底面是矩形ABCD．
任
务
1
在方案1 中，制作的每个无盖纸盒的底面积为
2
cm （用含x 的代数式表示），并判断底面积能否
达到
2
900cm ．
任
务
在方案2 中，求制作无盖纸盒的底面AB 边的长．
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55
2
任
务
3
若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小．
任
务
4
求方案2 中制作的单个无盖纸盒体积的最大值．
【答案】任务1：
2
(40
2 )
x
；能达到
2
900cm ；
任务2：20cm ；
任务3：故当0
10
x
时，方案一的纸盒体积大；当
10
x
时，方案一与方案二的纸盒体积一样大；当
10
20
x
时，方案二的纸盒体积大；
任务4：
3
400cm
【分析】任务1：根据题意用含x 的代数式表示出AB ，即可表示出底面的面积；
任务2：首先用x 的代数式表示出AD ，根据中间的四边形BCFE 为正方形可表示出AB ；
任务3：因为两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，故底面积大的方案的纸盒的体积就大．因此比较两种
方案种底盒的底面积即可，首先由任务1，2 表示出两种方案纸盒的底面积，然后分三种情况进行比较即可
得到答案；
任务4：首先表示出方案2 中纸盒的体积为含x 的二次多项式，然后用配方法求二次多项式的最值即可．
【详解】解：任务1：根据题意得：
在方案1 中，制作的每个无盖纸盒的底面积为
2
2
(40
2 ) cm
x
，
故答案为：
2
(40
2 )
x
；
令
2
(
)
40
2
900
x
，
解得：
1
2
5,
35
x
x
(不符合题意，舍去)，
则此时底面积能达到
2
900cm ；
任务2：根据题意得：
1
1
1
[80
2
(40
2 )]
(80
2
40
2 )
40
20(cm)
2
2
2
AB
x
x
x
x
；
任务3：因为两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，故底面积大的方案的纸盒的体积就大；
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56
由任务1 可知：方案1 的底面积为：
2
2
(40
2 ) cm
x
；
由任务2 可知：方案2 的底面积为：
2
20 40
2
cm
x
；
根据题意知：
0
40
2
0
x
x
，解得0
20
x
，
当
2
(40
2 )
20(40
2 )
x
x
时，解得0
10
x
，
当
2
(40
2 )
20(40
2 )
x
x
时，解得
10
x
，
当
2
(40
2 )
20(40
2 )
x
x
时，解得10
20
x
；
故当0
10
x
时，方案一的纸盒体积大；
当
10
x
时，方案一与方案二的纸盒体积一样大；
当10
20
x
时，方案二的纸盒体积大．
任务4：方案二中纸盒的体积为：
2
2
20(40
2 )
40
800
40(
10)
400
x x
x
x
x
；
当
10
x
时，纸盒体积有最大值为
3
400cm ．
【点睛】本题考查了列代数式以及一元二次方程的应用，配方法求最值问题等知识的实际应用，根据题意
列出代数式是本题的关键．
