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1
第05 讲一元二次方程的定义和解
课程标准
学习目标
判别一元二次方程
1. 一元二次方程的定义；
2. 一元二次方程的一般形式；
3. 一元二次方程的解；
知识点一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
2
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5 个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高
次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
知识点二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形
式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项；c 叫做常数项．一次项系数b 和常数项c 可取任
意实数，二次项系数a 是不等于0 的实数，这是因为当a＝0 时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就
不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
知识点三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解
也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）
的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
题型01
一元二次方程的定义
1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（
）
A．
2
2
1
0
x
x
B．
2
0
ax
bx
c
C．
2
2
2
0
x
xy
y
D．
1
2
1
x
x
2．下列方程中，属于一元二次方程的是（
）．
A．
2
0
ax
bx
c
B．
2
8
7
x
x
C．
2
3
1
2
0
x
x
D．
2
4
4
0
x
x
3．若关于x 的方程
2 2
(
2)
4
3
0
k
k
x
x
是一元二次方程，则k
．
4．已知关于x 的方程
2 2
(
2)
3
1
0
m
m
x
x
为一元二次方程，则m 的值是
．
3
题型02 一元二次方程的一般形式
5．方程
2
2
6
15
0
x
x
的一次项系数和常数项分别是（
）
A．2，15
B．6
，15
C．6，15
D．6
，15
6．若一元二次方程
2
x
a
b
（a
b
，为常数），化成一般形式为
2
8
5
0
x
x
，则a
b
，的值分别是（
）
A．411
，
B．4 21
，
C．4 21
，
D．8 69
，
7．若将关于x 的一元二次方程
2
3
2
2
x
x
ax x
化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为2
，则
该方程中的一次项系数为（
）
A．5
B．3
C．5
D．3
8．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)
2
3
1
2
x
x
；
(2)
2
2
4
3
x x
x
x
；
(3)关于x 的方程
2
2
0
mx
nx
mx
nx
q
p m
n
．
题型03 一元二次方程的解
9．若关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
bx
有一个根是3 ，则b 的值是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．若a，b，c 满足
0
4
2
0
a
b
c
a
b
c
，则关于x 的方程
2
0
0
ax
bx
c
a
的两个根的平方和是（
）
A．2
B．3
C．5
D．8
11．若关于x 的一元二次方程
2
2
0
0
ax
bx
a
有一根为
2024
x
，则一元二次方程
2
1
1
2
0
a x
b x
必有一根为（
）
A．2024
B．2025
C．2026
D．2027
12．已知关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
x
a
的一个根是3，则
a
．
13．已知m 是方程
2
3
2024
x
x
n
（n 为常数）的一个根，代数式
2
2
6
2024
m
m
的值是
．
14．若一元二次方程
2
2
1
0
x
x
的一个根为m ，则代数式
3
2
1
1
m
m
的值为
．
15．已知实数a 是关于x 的一元二次方程
2
2024
1
0
x
x
的一个解，则
3
2
2
2024
2024
1
a
a
a
的值
是
．
4
16．已知m 为方程
2
3
2024
0
x
x
的根，那么
3
2
2
2027
2024
m
m
m
的值为
题型04 一元二次方程的解的估算
17．根据下列表格的对应值，估计方程
2
4
3
0
x
x
的一个解的范围是（
）
x
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
2
4
3
x
x
1.24
0.75
0.24
0.29
0.84
A．0.4
0.5
x
B．0.5
0.6
x
C．0.6
0.7
x
D．0 .7
0 .8
x
18．根据下列表格的对应值：判断方程
2
1
0
x
x
一个解的取值范围是（
）
x
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
2
1
x
x
0.061
0.04
0.018
0.0044
0.027
A．0.59
0.60
x
B．0.60
0.61
x
C．0.61
0.62
x
D．0.62
0.63
x
19．根据表格对应值：
x
1.1
1.2
1.3
1.4
2
ax
bx
c
3.59
2.16
0.71
0.76
判断关于x 的方程
2
0
ax
bx
c
的一个解x 的范围是（
）
A．1.1
1.2
x
B．1.2
1.3
x
C．1.3
1.4
x
D．无法判定
20．根据下表：
x
3
2
1
…
4
5
6
2
5
x
bx
13
5
1
…
1
5
13
确定方程
2
5
0
x
bx
的解的取值范围是
．
21．下列方程中，属于一元二次方程的是（
）
A．
2
1
x
xy
B．2
1
2
x
x
C．
2
2
3
4
x
x
D．
2
1
3
x
x
22．关于x 的方程
2 2
2
5
6
0
a
a
x
x
是一元二次方程，则a 的值是（
）
A．2
B．2
C．2
D．4
5
23．已知关于x 的方程
2
2
2
2
3
1
0
b x
abx
a
b
（,a b为常数，且
0
ab
），下列①～④选项中，哪两个一
定不是方程的实数解（
）
①
2
x ；②= 1
x ；③
1
x ；④
2
x
A．①④
B．②③
C．①②
D．③④
24．若m 是关于x 的方程
2
2024
1
0
x
x
的根，则
2
2
2024
4
2024
4
m
m
m
m
的值为（
）
A．15
B．15
C．16
D．16
25．若方程
2
x
是关于x 的一元二次方程，则“□”可以是（
）
A．2x
B．
2
2
C．
2
2x
D．
2
2y
26．已知关于x 的一元二次方程
2
2
2
4
0
k
x
x
k
的常数项为0，则k 的值为(
)
A．2
B．2
C．2 或2
D．4 或2
27．下表是某同学求代数式
2
3
x
x
的值的情况，根据表格可知方程
2
3
0
x
x
的根是（
）
x
…
2
1
0
1
2
3
…
2
3
x
x
…
10
4
0
2
2
0
…
A．
3
x
B．
0
x
C．
0
x
或
3
x
D．
1
x 或
2
x
28．在欧几里得的《几何原本》中，形如
2
2
x
ax
b
的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如
图，先画Rt
ACB
△
，使
90
ACB
，
2
a
BC
，AC
b
，再在斜边AB 上截取
2
a
BD
，连接CD ，图中哪
条线段的长是一元二次方程
2
2
x
ax
b
的一个正根（
）
A．AD
B．AC
C．CD
D．AB
29．将一元二次方程
2
2
3
x
x
化成一般形式是
．
30．若m 是方程
2
4
2
7
0
x
x
的一个根，则代数式
2
2
3
m
m
的值是
．
31．请写出一个一元二次方程使它有一个根为3，
．
32．若关于x 的方程
2
2
0
x
x
m
的一个根是
3
x
，则m 的值为
．
33．若关于x 的一元二次方程
2
1
0
ax
bx
（
0
a
）的解是= 1
x ，则2024
a
b
的值是
．
34．若一元二次方程
2
3
1
0
x
x
的两根也是方程
4
2
0
x
ax
bx
c
的根，则
2
a
b
c
的值为
．
6
35．如果
2
x
是一元二次方程
2
1
0
ax
bx
的一个解，则2a
b
的值是
．
36．一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的一个根是1，且, ,
a b c 满足
2
2
3
b
a
a
，则
a
，
b
，c
．
37．先化简，再求值：
2
2
2
4
1
2
4
4
2
2
a
a
a
a
a
a
，其中a 是方程
2
3
10
0
x
x
的根．
38．已知a 是关于x 的一元二次方程
2
4
0
x
x
-
-
=
的一个根，求代数式
2
2
1
3
a
a
a
的值．
39．已知关于x 的一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
．
(1)若a
c
b
，求证：
1
x 必是该方程的一个根；
(2)当, ,
a b c 之间的关系是___________时，方程必有一个根是= 1
x ？
40．已知关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
，如果a，b，c 满足3
2
0
a
b
c
，我们就称这个一元二次
方程为波浪方程．
(1)判断方程
2
2
4
0
x
x
是否为波浪方程，并说明理由．
(2)已知关于x 的波浪方程
2
2
0
ax
x
c
的一个根是1
，求这个波浪方程．
