文档文本内容
1
第06 讲一元二次方程的解法
课程标准
学习目标
1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解
法解数字系数的一元二次方程。
2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有
实根及两个实根是否相等。
3.了解一元二次方程的根与系数的关系．
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程；
2.运用开平方法解形如x²=p 或(x+n)²=p (p≥0)的方程.
3.了解配方法的概念.
4.掌握解一元二次方程的方法解决有关问题.
5.探索解一元二次方程的方法之间的区别和联系.
2
知识点一：直接开方法解一元二次方程
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：
平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x 的一元二次方程
，可直接开平方求解.
若
，则
；表示为
，有两个不等实数根；
若
，则x=O；表示为
，有两个相等的实数根；
若
，则方程无实数根．
②形如关于x 的一元二次方程
，可直接开平方求解，两根是
.
要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数
的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
知识点二：配方法解一元二次方程
(1)配方法解一元二次方程：
将一元二次方程配成
的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法
叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：
.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为
的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
3
要点：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式
2
2
2
2
(
)
a
ab
b
a
b
．
知识点三：配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出
大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母
的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的
应用．
知识点四：因式分解法解一元二次方程
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有
4
未知数的代数式.
知识点五：公式法解一元二次方程
一．公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
一元二次方程
，当
时，
.
2.用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解关于x 的一元二次方程
的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式；
②确定a、b、c 的值（要注意符号）；
③求出
的值；
④若
，则利用公式
求出原方程的解；
若
，则原方程无实根.
知识点六：一元二次方程根的判别式
一元二次方程
)
0
(
0
2
a
c
bx
ax
中，
ac
b
4
2
叫做一元二次方程
)
0
(
0
2
a
c
bx
ax
的根的判
别式，通常用“”来表示，即
ac
b
4
2
（1）当△>0 时，一元二次方程有2 个不相等的实数根；
（2）当△=0 时，一元二次方程有2 个相等的实数根；
（3）当△<0 时，一元二次方程没有实数根.
要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定
c
b
a
.
,
的值；③计算
ac
b
4
2
的值；④根据
ac
b
4
2
的符号判定方程根的情况.
2. 一元二次方程根的判别式的逆用
在方程
0
0
2
a
c
bx
ax
中，
5
（1）方程有两个不相等的实数根
ac
b
4
2
﹥0；
（2）方程有两个相等的实数根
ac
b
4
2
=0；
（3）方程没有实数根
ac
b
4
2
﹤0.
要点：
（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0 这一条件；
（2）若一元二次方程有两个实数根则
ac
b
4
2
≥0.
知识点七：一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程
)
0
(
0
2
a
c
bx
ax
的两个实数根是
2
1
x
x ，
，
那么
a
b
x
x
2
1
，
a
c
x
x
2
1
.
注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得
的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
题型01
直接开平方法
1．下列方程中，有两个相等实数根的是（
）
A．
2
2
1
x
B．
2
2
0
x
C．
2
2
1
x
D．
2
2
2
x
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．
分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．
【详解】解：A、
2
2
1
0
x
，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；
B、
2
2
0
x
，解得：
1
2
2
x
x
，故本选项符合题意；
C、
2
2
1
x
，
2
1
x
，解得
1
2
3,
1
x
x
，故本选项不符合题意；
6
D、
2
2
2
x
，
2
2
x
，解得
1
2
2
2,
2
2
x
x
，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．方程
2
2
0
x
的解为（
）
A．
2
B．2
C．
2
D．
2
【答案】D
【分析】本题考查了直接开方法解一元二次方程的，解答此题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．利
用直接开平方法求解即可．
【详解】解：
2
2
0
x
∴
2
2
x
，
2
x
．
故选D．
3．一元二次方程
2
3
27
x
的解为：
．
【答案】
1
3
x
，
2
3
x
【分析】本题考查了解一元二次方程．根据解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答．
【详解】解：
2
3
27
x
，
2
9
x
，
1
3
x
，
2
3
x ，
故答案为：
1
3
x
，
2
3
x ．
4．解关于x 的方程：
2
2
2
4
0
2
m
x
m
．
【答案】当
2
m
时，原方程无解，当m>2 时，
2
2
x
m
或
2
2
x
m
【分析】本题考查了解一元二次方程，由题意得出
2
2
4
2
x
m
，再分情况：当
2
m
时，当m>2 时，分别
求解即可得出答案．
【详解】解：∵
2
2
2
4
0
m
x
，
∴
2
2
2
4
m
x
，
∴
2
2
4
2
x
m
，
7
∵
2
m
，
∴当
2
m
时，原方程无解，
当m>2 时，
2
2
x
m
或
2
2
x
m
．
题型02
配方法
5．一元二次方程
2
4
2
x
x
，用配方法变形可得（
）
A．
2
(
2
2
)
x
B．
2
(
3)
2
x
C．
2
(
2
6
)
x
D．
2
(
3)
6
x
【答案】C
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法将原方程变
形即可．
【详解】解：
2
4
2
x
x
配方得：
2
4
4
2
4
x
x
，
即
2
(
2
6
)
x
，
故选：C
6．一元二次方程
2
4
5
0
x
x
经过配方变形为
2
2
x
n
，则n 的值为（
）
A．1
B．1
C．4
D．9
【答案】A
【分析】本题考查配方法，熟练配方法的一般步骤是解题的关键．利用配方法将方程变形得
2
2
1
x
，
即可求解．
【详解】解：
2
4
5
0
x
x
，
移项得，
2
4
5
x
x
，
配方得，
2
4
4
5
4
x
x
，
即
2
2
1
x
，
∴
1
n ，
故选：A．
7．用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上4 的是（
）
A．
2
2
5
x
x
B．
2
4
5
x
x
C．
2
2
4
5
0
x
x
D．
2
4
4
5
x
x
【答案】B
8
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法的解题步骤变形后即可得到答案．
【详解】解：A 、∵
2
2
5
x
x
，
∴
2
2
1
5 1
x
x
，故本选项错误；
B 、∵
2
4
5
x
x
，
∴
2
4
4
5
4
x
x
，故本选项正确；
C 、∵
2
2
4
5
0
x
x
，
∴
2
5
2
1
1
2
x
x
，故本选项错误；
D 、∵
2
4
4
5
x
x
，
∴
2
1
5
1
4
4
4
x
x
，故本选项错误；
故选：B ．
8．小明解方程
2
1
2
1
0
2 x
x
的过程如图所示，他在解答过程中开始出错的步骤是（
）
2
1
2
1
0
2 x
x
解：
2
4
2
0
x
x
……①
2
x
4x
2
……②
2
2
2
x
……③
1
2
2
x
，
2
2
2
x
…④
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】C
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．根据配方法解一元二次方程
即可确定出错的步骤．
【详解】解：出错的步骤是③，
应该是在②步的基础上，两边同时加上4，
得
2
2
6
x
，
故选：C．
9．用配方法解方程
2
8
2
0
x
x
时，可将方程变为
2
(
)
x
m
n
的形式，则m 的值为
．
【答案】4
9
【分析】本题考查了配方法，把常数项移到右边，再两边加上16 即可变形成完全平方的形式，熟练掌握配
方法解一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：
2
8
2
0
x
x
2
8
2
x
x
2
8
16
2
16
x
x
2
4
14
x
，
故
4
m
，
故答案为：4．
10．按要求解下列方程
(1)
2
2
6
0
x
（直接开平方法）．
(2)
2
2
1
3
x
x
（用配方法解方程）．
【答案】(1)
1
2
6
x
，
2
2
6
x
(2)
1
1
x ，
2
1
2
x
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．
（1）先将式子变形为
2
2
6
x
，然后利用直接开平方法即可求解；
（2）先将式子变形为
2
3
1
2
2
x
x
，再利用配方法得到
2
3
1
4
16
x
，然后利用直接开平方法即可求解；
【详解】（1）解：
2
2
6
0
x
，
2
2
6
x
，
2
6
x
，
1
2
6
x
，
2
2
6
x
；
（2）解：
2
2
1
3
x
x
，
2
3
1
2
2
x
x
，
2
3
9
1
9
2
16
2
16
x
x
，
2
3
1
4
16
x
，
10
3
1
4
4
x
，
1
1
x ，
2
1
2
x
．
题型03
配方法的应用
11．已知
9
xy ，则
2
2
4
4
10
x
x
y
y
的最小值是（
）
A．2
B．0
C．2
D．4
【答案】D
【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法对原式进行变形，再根据偶次方的运算计算出结果．
【详解】解：
2
2
2
2
4
4
10
(
2)
(
2)
2
x
x
y
y
x
y
因为
2
(
2)
0
x
，
2
(
2)
0
y
，
9
xy ，
所以当
3
x ，
3
y 时，
原式有最小值4，
故选：D．
12．已知
2
2
P
x
x
，
2
5
Q
x
（x 为任意实数），则关于P，Q 的大小关系判断正确的是（
）
A．P
Q
B．P
Q
C．P
Q
D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将P
Q
变形为
2
2
1
x
，再结
合非负性判断即可．
【详解】解：
2
2
2
2
2
5
4
5
2
1
0
P
Q
x
x
x
x
x
x
，
P
Q
，
故选：A．
13．已知关于x 的多项式
2
2
0
ax
bx
c a
，当x
a
时，该多项式的值为c
a
，则多项式
2
2
3
a
b
的值可
以是（
）
A．3.5
B．3.25
C．3
D．2.75
【答案】A
【分析】本题考查了代数式及配方法，不等式及偶次方的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．先将x
a
代入原式，可整理得
2
2
1
0
a
b
，再代入到
2
2
3
a
b
，配方得
2
1
1
b
，进而求解即可．
11
【详解】∵当x
a
时，该多项式的值为c
a
，
∴
3
2
a
ab
c
c
a
，
整理得
3
2
0
a
ab
a
，即
2
2
1
0
a a
b
∵
0
a
，
∴
2
2
1
0
a
b
，即
2
2
1
0
a
b
，
∴
1
2
b
，
∴
2
2
2
2
3
2
1
3
1
1
3.25
a
b
b
b
b
，
四个选项中，只有A 符合，
故选：A．
14．阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅
可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值，
我们可以通过以下方法求代数式
2
6
5
x
x
的最小值．
解：∵
2
2
2
2
2
6
5
2
3
3
3
5
3
4
x
x
x
x
x
，
∵
2
3
0
x
，
∴当
3
x 时，
2
6
5
x
x
有最小值4
．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)若
2
2
4
5
x
x
x
a
b
，则
a
；b
(2)求代数式
2
2
4
1
x
x
的最值；
(3)若代数式
2
7
x
kx
的最大值为8，求k 的值．
【答案】(1)2，1
(2)最小值为3
，无最大值
(3)
2
k
【分析】本题考查配方法，解一元二次方程等．
（1）根据题意配方即可得到本题答案；
（2）先提出2，再配方即可求最值；
（3）将代数式提出1
后再进行配方，使得代数式结果有最大值8，即可得到本题答案．
12
【详解】（1）解：∵
2
2
4
5
x
x
x
a
b
，
∴
2
2
2
2
2
4
5
2 (2 )
2
2
5
(
2)
1
x
x
x
x
x
，
∴
2,
1
a
b
，
故答案为：2，1
（2）解：∵
2
2
2
2
1
1
2
4
1
2(
2
)
2(
2
1 1
)
2(
1)
3
2
2
x
x
x
x
x
x
x
，
∵
2
(
1)
0
x
，
∴当= 1
x 时，
2
2
4
1
x
x
有最小值3
，无最大值；
（3）解：∵
2
2
2
2
2
7
(
7)
[
)
( )
( )
7]
(
2
2
2
2
k
k
k
x
kx
x
kx
x
x
，
即：
2
2
2
2
2
[
)
( )
( )
7]
(
)
7
2
2
2
2
2 (
4
k
k
k
k
k
x
x
x
，
∵
2
(
)
0
2
k
x
≥
，
∴
2
(
)
0
2
k
x
，即代数式有最大值，
∵代数式
2
7
x
kx
的最大值为8，
∴当
2
k
x
时，即
2
7
8
4
k
，解得：
2
k ．
题型04
判断一元二次方程根的情况
15．一元二次方程
2
4
7
0
x
x
+
-
=
的根的情况是（
）
A．无实数根
B．有一个实根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式：先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：∵
2
4
7
0
x
x
+
-
=
，
∴
1,
4,
7
a
b
c
，
2
4
16
4 1
7
16
28
44
0
b
ac
，
故选：D．
16．若实数a 在数轴上的位置如图所示，则关于x 的一元二次方程
2
3
2
3
0
x
ax
的根的情况，下列说法正
确的是（
）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
13
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解题的关键是根据数轴上a 的值，来确定判别式的大；根据
一元二次方程的根的判别式，并且结合数轴上a 的大小，确定出判别式的大小，即可判断出方程的根的情
况．
【详解】解：∵一元二次方程
2
3
2
3
0
x
ax
，
2
2
Δ
2
4 3 3
4
36
a
a
，
由数轴可得2
3
a
，
2
4
36
a
，
2
4
36
0
a
，
Δ
0
，
方程没有实数根．
故选：D ．
17．对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
，下列说法不正确
．．．的是（
）
A．若= 1
x 是方程的解，则
0
a
b
c
B．若
0
c =
，则方程
2
0
ax
bx
c
必有两个不相等的实数根
C．若
0
ac
，则方程
2
0
ax
bx
c
必有两个不相等的实根
D．若
0
a
c
，则方程
2
0
ax
bx
c
必有两个不相等的实数根
【答案】B
【分析】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式的关系：
Δ
0
＞
方程有两个不相等的实数根；Δ
0
方程有两个相等的实数根，Δ
0
＜
方程没有实数根．
根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可．
【详解】解：A 、将
1
x 代入方程
2
0(
0)
ax
bx
c
a
可得：
0
a
b
c
，
∴本选项说法正确，不符合题意；
B 、若
0
c
，则方程为
2
0
ax
bx
，
∴
2
2
4
0
b
ac
b
，
∴程
2
0
ax
bx
c
必有两个的实数根，故原说法错误，符合题意；
C 、∵
0
ac＜，
∴
2
4
0
b
ac
＞，
14
∴方程
2
0
ax
bx
c
必有两个不相等的实数根，原说法正确，不符合题意；
D 、∵方程
2
0
ax
bx
c
中，
0
a
c
，
∵
2
2
2
4
4
0
b
ac
b
a
，
∴方程
2
0
ax
bx
c
有两个不相等的实数根，故原说法正确，不符合题意；
故选：B ．
18．关于x 的一元二次方程
2
2
3
2
0
4
x
x
m
的根的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是记住一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
的根与
2
4
b
ac
有如下关系：①当
0
时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ
0
时，方程有两个相等
的两个实数根；③当Δ
0
时，方程无实数根．根据此并结合平方的非负性判断即可．
【详解】解：∵
2
3
1,
2,
4
a
b
c
m
，
∴
2
2
3
2
4
4
m
＝
-
2
4
1
0
m
，
则方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
题型05
已知一元二次方程根的情况求参数
19．关于x 的一元二次方程
2
9
6
0
x
x
c
有两个相等的实数根，则c （
）
A．9
B．4
C．1
D．1
【答案】D
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数k 的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
根的判别式
2
4
b
ac
，当方程有两个不相等的实数根时，
0
；当方程有两个相
等的实数根时，Δ
0
；当方程没有实数根时，Δ
0
．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
9
6
0
x
x
c
有两个相等的实数根，
∴
2
Δ
6
4 9
36
36
0
c
c
，
解得：
1
c ，
15
故选：D ．
20．若关于x 的一元二次方程
2
(
1)
2
1
0
m
x
x
有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（
）
A．
0
m
且
1
m
B．
0
m
C．
0
m
且
1
m
D．
0
m
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
，若
2
4
0
b
ac
，则方程有两个不相等的实数根，若
2
4
0
b
ac
，则方程有两个相等的实数根，若
2
4
<0
b
ac
，则方程没有实数根．由关于x 的一元二次方程
2
(
1)
2
1
0
m
x
x
两个不相等的实数根，可得
0
且
1
0
m
，解此不等式组即可求得答案．
【详解】解：关于x 的一元二次方程
2
(
1)
2
1
0
m
x
x
有两个不相等的实数根，
∴
2
2
4
1
0
m
，
解得：
0
m
，
1
0
m
，
1
m
，
m
的取值范围是：
0
m
且
1
m ．
故选：A．
21．对于实数a，b 定义新运算：
2
a b
b
ab
，若关于x 的方程6 x
k
有两个相等实数根，则k 的值
为
.
【答案】9
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
的根与系数有如下关系：当
2
4
0
b
ac
时，方程有两个不相等的实数根；当
2
4
0
b
ac
时，方程有两个相等的实数根；当
2
4
0
b
ac
时，方程无
实数根．
【详解】解：由题可得：
2
6
0
x
x
k
，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ
36
4
0
k
，
解得
9
k ，
故答案为：9
．
22．已知
1
x ，
2
x 是关于x 的方程
2
2
2
1
0
x
kx
k
k
的两个不相等的实数根．
16
(1)求k 的取值范围．
(2)若
5
k ，且k ，
1
x ，
2
x 都是整数，求k 的值．
【答案】(1)
1
k
(2)2
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方
程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
（1）根据“
1
x ，
2
x 是关于x 的方程
2
2
2
1
0
x
kx
k
k
的两个不相等的实数根”，则
0
，得出关于k 的
不等式求解即可；
（2）根据
5
k ，结合（1）所求k 的取值范围，得出整数k 的值有2 ，3，4 ，分别计算讨论整数k 的不同
取值时，方程
2
2
2
1
0
x
kx
k
k
的两个实数根
1
x ，
2
x 是否符合都是整数，选择符合情况的整数k 的值即
可．
【详解】（1）解：∵
1
x ，
2
x 是关于x 的方程
2
2
2
1
0
x
kx
k
k
的两个不相等的实数根，
∴
0
，
∴
2
2
2
2
Δ
2
4 1
1
4
4
4
4
4
4
0
k
k
k
k
k
k
k
，
解得：
1
k ；
（2）解：∵
5
k ，由（1）得
1
k ，
∴1
5
k
，
∴整数k 的值有2 ，3 ，4 ，
当
2
k
时，方程为
2
4
3
0
x
x
，
解得：
1
1
x ，
2
3
x
（都是整数，此情况符合题意）；
当
3
k 时，方程为
2
6
7
0
x
x
，
解得：
3
2
x
（不是整数，此情况不符合题意）；
当
4
x
时，方程为
2
8
13
0
x
x
，
解得：
4
3
x
（不是整数，此情况不符合题意）；
综上所述，k 的值为2 ．
题型06
公式法
17
23．用求根公式解一元二次方程
2
5
1
4
x
x
时a ，b ，c 的值是（
）
A．
5
a
，
1
b = - ，
4
c
B．
5
a
，
4
b ，
1
c
C．
5
a
，
4
b ，
1
c
D．
5
a
，
4
b
，
1
c
【答案】C
【分析】本题主要考查解一元二次方程的一般形式，认知一次项系数二次项系数常数项是解题的关键．按
照未知数x 的降幂排列，据此可得答案．
【详解】解：
2
5
1
4
0
x
x
，
2
5
4
1
0
x
x
，
则
5
a
，
4
b ，
1
c ，
故选：C
24．在用求根公式
2
4
2
b
b
ac
x
a
求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c 得到
( )
( )
2
3
4 2
1
2 2
3
x
贝
ਮ
-
=
´
-
，则她求解的一元二次方程是（
）
A．
2
2
3
1
0
x
x
B．
2
2
4
1
0
x
x
C．
2
3
2
0
x
x
D．
2
3
2
1
0
x
x
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式
2
4
2
b
b
ac
x
a
中字母所表示
的意义．根据求根公式
2
4
2
b
b
ac
x
a
解答．
【详解】解：由
( )
( )
2
3
4
2
1
2
2
3
x
贝
ਮ
-
=
´
-
知：
2
a
，
3
b ，
1
c ．
所以该一元二次方程为：
2
2
3
1
0
x
x
．
故选：A．
25．已知关于x 的一元二次方程
2
3
3
0
mx
m
x
有两个不相等的实数根，若此方程的两根均为正整数，
则正整数m 的值为
．
【答案】1
【分析】本题主要考查了根的判别式以及求根公式．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到
0
m
和3，利用求根公式解方程得到
1
1
x ，
2
3
x
m
，然后
利用（1）的范围可确定m 的值．
18
【详解】解∶由题意得：
0
m
且
2
2
2
Δ
4
(
3)
4
3
(
3)
0
b
ac
m
m
m
，
∴当
0
m
和3 时，原方程有两个不相等的实数根．
∵此方程的两根均为正整数，即
3
(
3)
2
m
m
m
，
解方程得
1
1
x ，
2
3
x
m
．
∴可取的正整数m 的值为1．
故答案为：1．
26．解方程：(
)
3
5
9
7
x
x
x
．
【答案】
1
1
2 7
3
x
，
2
1
2 7
3
x
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程，是解题的关键．
原方程化为
2
3
2
9
0
x
x
，得根的判别式
112
，得到
1
2 7
3
x
，即得
1
1
2 7
3
x
，
2
1
2 7
3
x
．
【详解】解：方程化为
2
3
2
9
0
x
x
，
3
a
，
2
b
，
9
c ．
2
2
4
2
4 3 ( 9)
112
0
b
ac
，
方程有两个不等的实数根，
2
4
2
112
1
2 7
2
2 3
3
b
b
ac
x
a
，
即
1
1
2 7
3
x
，
2
1
2 7
3
x
．
题型07
因式分解法
27．一个三角形的两边长为3 和6，第三边的长是方程
3
4
0
x
x
的根，则这个三角形第三边的长是
（
）
A．3
B．4
C．3 或4
D．3 和4
【答案】B
【分析】本题考查解一元二次方程、三角形三边的关系，解一元二次方程是关键．但要注意验证方程的每
个解与已知的两边长是否能构成三角形，否则容易出错．先利用因式分解法解方程得到
1
3
x
，
2
4
x
，然
后利用三角形三边的关系确定三角形第三边长，再计算三角形的周长．
【详解】解：∵
3
4
0
x
x
，
∴
3
0
x
或
4
0
x
，
19
解得
1
3
x
，
2
4
x
，
∵第三边为3 时，3
3
6
，不能构成三角形，
∴
3
x
舍去；
∴三角形第三边长为4．
故选：B．
28．一元二次方程
2
2
0
x
x
的解是（
）
A．
1
3
x
，
2
1
x
B．
1
2
x
，
2
0
x
C．
1
3
x
，
2
2
x
D．
1
2
x ，
2
1
x
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．
【详解】解∶
2
2
0
x
x
，
∴
2
0
x x
，
∴
0
x
或
2
0
x
，
∴
1
2
x
，
2
0
x
，
故选∶B．
29．已知
2
2
2
0
3
3
0
y
x
x
y
x
，
，则x 的值为
．
【答案】3
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
将
2y
x
代入
2
2
3
3
0
x
y
x
，转化为解一元二次方程，
2
0
y
x
，要进行舍解．
【详解】解：∵
2
0
y
x
，
∴
2y
x
，
将
2y
x
代入
2
2
3
3
0
x
y
x
得，
2
3
3
0
x
x
x
，
即：
2
2
3
0
x
x
，
3
1
0
x
x
，
∴
3
x
或= 1
x ，
∵
2
0
y
x
，
20
∴= 1
x 舍，
∴
3
x
，
故答案为：3．
30．解方程．
(1)
2
2 2
2
0
x
x
（公式法）；
(2)
2
2
3
3
0
x
x
（配方法）；
(3)
2
2
2
2
1
y
y
（因式分解法）．
【答案】(1)
1
2
2
x
x
；
(2)
1
3
33
4
x
，
2
3
33
4
x
；
(3)
1
1
y ，
2
1
y ．
【分析】本题考查解一元二次方程，
（1）根据公式法直接求解即可；
（2）先将二次项系数化为1，再移项，再进行配方，最后开平方即可求解；
（3）先进行移项，再利用平方差公式进行因式分解即可求解．
【详解】（1）解：
2
2 2
2
0
x
x
，
1
a ，
2 2
b
，
2
c
，
∵
2
2
4
2 2
4 1 2
0
b
ac
，
∴
2 2
0
2
2 1
x
，
∴
1
2
2
x
x
；
（2）解：
2
2
3
3
0
x
x
两边都除以2，得
2
3
3
0
2
2
x
x
．
移项，得
2
3
3
2
2
x
x
．
配方，得
2
2
2
3
3
3
3
2
4
2
4
x
x
，
21
即
2
3
33
4
16
x
，
开平方，得
3
33
4
4
x
，
即
3
33
4
4
x
，
3
33
4
4
x
，
∴
1
3
33
4
x
，
2
3
33
4
x
．
（3）解：原方程可变形为
2
2
2
2
1
0
y
y
．
∴
2
2
1
2
2
1
0
y
y
y
y
．
∴3
3
0
y
，1
0
y
，
∴
1
1
y ，
2
1
y ．
题型08
换元法
31．用换元法解方程2
1
3
1
x
x
x
x
时，设
1
x
y
x
，则原方程可化为关于y 的方程是（
）
A．
2
2
3
1
0
y
y
B．
2
3
2
3
0
y
y
C．
2
2
3
0
y
y
D．
2
2
1
0
y
y
【答案】A
【分析】本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键．设
1
x
y
x
，则原方程化为
1
2
3
y
y
，
再整理即可．
【详解】解：2
1
3
1
x
x
x
x
，
设
1
x
y
x
，则原方程化为：
1
2
3
y
y
，
2
2
3
1
y
y
，
2
2
3
1
0
y
y
，
故选：A ．
32．已知
2
2
2
2
1
2
0
a
b
a
b
，则
2
2
a
b
的值是
．
【答案】2
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，令
2
2
a
b
t
，根据换元法求解方程作答即可．
22
【详解】令
2
2
a
b
t
，即
0
t
，
∵
2
2
2
2
1
2
0
a
b
a
b
，
∴
1
2
0
t
t
，
又∵
1 1
t ，
∴
2
0
t
，
∴
2
t
，
即
2
2
2
a
b
，
故答案为：2 ．
33．已知关于x 的一元二次方程
2
(
)
0
a x
h
k
（, ,
a h k 都是常数，且
0
a
）的解为
1
2
1,
3
x
x
，则方程
2
(
1)
a x
h
k
（, ,
a h k 都是常数，且
0
a
）的解为
．
【答案】
1
2
0,
4
x
x
【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，可得：
1
1
x 或
1
3
x
，进行求解即可．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
(
)
0
a x
h
k
（, ,
a h k 都是常数，且
0
a
）的解为
1
2
1,
3
x
x
，
∴方程
2
(
1)
a x
h
k
，即：
2
1
0
a
x
h
k
的解为：
1
1
x 或
1
3
x
，
∴
1
2
0,
4
x
x
；
故答案为：
1
2
0,
4
x
x
．
34．用换元法解方程
2
2
2
1
5
2
1
x
x
x
x
中，如果设
2
2
1
x
y
x
，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般
形式是
．
【答案】
2
5
1
0
y
y
【分析】本题考查了整体换元法、去分母将分式方程化为整式方程，正确代入以及去分母是解题关键．
将原分式方程中
2
2
1
x
x
的全部换成y，最后去分母化成整式方程即可．
【详解】解：设
2
2
1
x
y
x
，则原方程为
1
5
y
y
，
整理得
2
5
1
0
y
y
，
故答案为：
2
5
1
0
y
y
．
35．阅读下面的材料，回答问题：
23
要解方程
4
2
4
3
0
x
x
，我们发现这是一个一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到
2
4
2
x
x
，根据
该方程的特点，我们可以这样做：
解：设
2x
y
，那么
4
2
x
y
，于是原方程可变为
2
4
3
0
y
y
，解得
1
1
y ，
2
3
y ．
当
1
1
y 时，
2
1
x ，∴
1
x ；
当
2
3
y
时，
2
3
x
，∴
3
x
；
∴原方程有四个根
1
1
x ，
2
1
x ，
3
3
x
，
4
3
x
．
我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法．
任务：
(1)上述解方程的过程体现的数学思想主要是（
）
A．分类讨论思想
B．转化思想
C．数形结合思想
D．公理化思想
(2)仿照上面的方法，解方程
2
2
2
1
13
23
0
x
x
；
【答案】(1)B
(2)
1
3
x
，
2
3
x
，
3
2 2
x
，
4
2 2
x
【分析】本题主要考查了因式分解法和换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
（1）上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想；
（2）设
2
1
x
y
，则原方程化为
2
13
36
0
y
y
，求出y，再求出x 即可．
【详解】（1）解：上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想
故答案为：B；
（2）解：原方程变形为
2
2
2
1
13
1
36
0
x
x
设
2
1
x
y
，那么
2
2
2
1
x
y
，于是原方程可变为
2
13
36
0
y
y
，
解得
1
4
y
，
2
9
y
．
当
1
4
y
时，
2
1
4
x
，
∴
3
x
；
当
2
9
y
时，
2
1
9
x
，
24
∴
2 2
x
；
∴原方程有四个根
1
3
x
，
2
3
x
，
3
2 2
x
，
4
2 2
x
．
36．读下列材料：已知实数m，n 满足
2
2
2
2
2
1 2
1
80
m
n
m
n
，试求
2
2
2m
n
的值．
解：设
2
2
2m
n
t
，则原方程变为
1
1
80
t
t
，整理得
2
1
80
t
，2
81
t
，
∴
9
t ，∵
2
2
2
0
m
n
，∴
2
2
2
9
m
n
，
上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字
母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)设a ，b 满足等式
2
2
2
2
2
2
1
3
a
b
a
b
，求
2
2
3
1
3
b
a
的值；
(2)若四个连续正整数的积为24 ，求这四个连续正整数．
【答案】(1) 7
2 ；
(2)1，2 ，3 ，4 ．
【分析】（1）由已知等式设
2
2
a
b
m
，得出
2
2
3
m
m
，结合
2
2
0
a
b
可得答案；
（2 ）根据题意设最小数为x ，列出关系式，进而利用换元法即可求解；
本题考查了解一元二次方程，解题的关键掌握知识点的应用及换元思想．
【详解】（1）设
2
2
a
b
m
，则
2
1
3
m
m
，
∴
2
2
3
m
m
，
解得：
3
2
m
或
1
m ，
∵
2
2
0
a
b
，
∴
2
2
3
2
a
b
，
∴
2
2
3
7
3
3
1
3
1
2
2
a
b
，
（2）设最小正整数为x ，则
1
2
3
24
x x
x
x
，
即：
2
2
(
3 )(
3
2)
24
x
x x
x
，
设
2
3
x
x
y
，则
2
2
24
0
y
y
，解得：
1
6
y ，
2
4
y
，
∵x 为正整数，
25
∴
2
3
4
y
x
x
，解得
1
1
x ，
2
4
0
x
（舍去），
∴这四个连续正整数为1，2 ，3 ，4 ．
题型09
一元二次方程的根与系数关系
37．已知
1
x ，
2
x 是一元二次方程
2
3
1
x
x
的两个根，则
1
1
2
2
x
x x
x
的值是（
）
A．4
B．4
C．2
D．2
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，根据根与系数关系可得
1
2
3
x
x
，
1
2
1
x x ，代入即
可解答．
【详解】解：∵
1
2
x
x
，
是一元二次方程
2
3
1
x
x
，即
2
3
1
0
x
x
的两个实数根，
∴
1
2
3
x
x
，
1
2
1
x x ，
∴
1
1
2
2
3
1
2
x
x x
x
．
故选：D
38．已知，是方程
2
2024
0
x
x
的两个根，则
2
2
的值为（
）
A．2025
B．2024
C．2024
D．2025
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
根据一元二次方程的解得出
2
2024
，根据一元二次方程根与系数的关系得出
1
，代入代数式
即可求解．
【详解】解：∵、是方程
2
2024
0
x
x
的两个实数根，
∴
2
2024
0
，
1
，
即
2
2024
，
∴
2
2
2
2024 1
2025
，
故选：A．
26
39．已知、是一元二次方程
2
2
9
0
x
x
的两根，则
的值等于（
）
A．
22
9
B．22
9
C．
4
9
D．4
9
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：
1
2
,
x x 是一元二次方程
2
0(
0)
ax
bx
c
a
的两根时，
1
2
1 2
,
b
c
x
x
x x
a
a
．
先把
通分后化为
2
2
2
(
)
2
，根据根与系数的关系得
2,
9
代入进行计算
即可．
【详解】解：∵、是一元二次方程
2
2
9
0
x
x
的两根，
2,
9
，
2
2
2
2
2
2
9
(
)
2
22
9
9
，
故选：A．
40．已知方程
2
0
x
bx
c
的两个根是
，
2
0
x
dx
e
的两个根是
．当x
时，
2x
bx
c
的值记
作
1y ；当x
时，
2
x
dx
e
的值记作
2y ．则下列结论一定成立的是（
）
A．
1
2
0
y
y
B．
1
2
0
y
y
C．
1
2
1
y
y
D．
1
2
1
y
y
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到
0
b
，
0
d
，
2
c
，
2
e
，再求出
2
2
1y
，
2
2
2y
，据此可得答案．
【详解】解：∵方程
2
0
x
bx
c
的两个根是
，
2
0
x
dx
e
的两个根是
，
∴
0
b
，
0
d
，
2
c
，
2
e
，
∴
2
2
1y
，
2
2
2y
，
∴
1
2
0
y
y
，
故选：A．
41．已知关于x 的一元二次方程
2
2
2
1
0
x
mx
m
．
(1)求证：m 取任意实数、该方程总有两个实数根；
(2)设该方程的两根分别为
1
x 、
2
x ，且满足
1
2
1 2
3
x
x
x x
，求m 的值．
27
【答案】(1)证明见解析
(2)
3
4
m
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式：
（1）求出
2
2
2
4 2
1
4
1
0
m
m
m
即可证明结论；
（2）利用根与系数的关系得到
1
2
1 2
2
1
2
x
x
m
x x
m
，
，进而得到
2
3 2
1
m
m
，解之即可．
【详解】（1）证明：由题意得，
2
2
2
2
4 2
1
4
8
4
4
1
0
m
m
m
m
m
，
∴m 取任意实数、该方程总有两个实数根；
（2）解：∵该方程的两根分别为
1
x 、
2
x ，
∴
1
2
1 2
2
1
2
x
x
m
x x
m
，
，
∵
1
2
1 2
3
x
x
x x
，
∴
2
3 2
1
m
m
，
∴
3
4
m
．
42．已知关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
x
k
k
．
(1)求证：无论k 为何实数，方程总有两个实数根；
(2)若一元二次方程有两个根
1
x 和
2
x ，且
1
2
2
2
x
x
，求k 的值．
【答案】(1)见解析
(2)k 的值为0 或1
．
【分析】本题主要考查了根的判别式及根与系数的关系，熟知一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
是解题的关键．
（1）利用根的判别式即可解决问题；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系得出两根之和，再结合
1
2
2
2
x
x
，求出两根即可解决问题．
【详解】（1）证明：△
2
2
2
2
1
4 1
4
4
1
2
1
0
k
k
k
k
k
，
无论k 为何实数，方程总有两个实数根；
（2）解：由根与系数的关系知，
28
1
2
1
x
x
+
，
又
1
2
2
2
x
x
，
则联立方程组
1
2
1
2
1
2
2
x
x
x
x
，
解得
1
2
1
0
x
x
．
将
0
x
代入原方程得，
2
0
k
k
，
解得
0
k
或1
，
k
的值为0 或1
．
43．已知方程
2
6
4
x
x
●，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成
2
7
x
p
的形式，则印刷
不清楚的数字是（
）
A．2
B．2
C．4
D．4
【答案】A
【分析】本题考查了配方法，利用完全平方公式进行计算，能求出2
6
p
是解此题的关键．设印刷不清
的数字是a，根据完全平方公式展开得出
2
2
2
7
x
px
p
，求出
2
2
2
4
11
x
px
p
，再根据题意得出
2
6
p
，
2
11
a
p
，最后求出答案即可．
【详解】解：设印刷不清的数字是a，
∵
2
7
x
p
，
∴
2
2
2
7
x
px
p
，
∴
2
2
2
7
x
px
p
，
∴
2
2
2
4
11
x
px
p
，
∵方程
2
6
4
x
x
●，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成
2
7
x
p
的形式，
∴2
6
p
，
2
11
a
p
，
29
∴
3
p
，
2
11 3
2
a
，
即印刷不清的数字是2，
故选：A．
44．
1
x ，
2
x 是一元二次方程
2
1
5
x
的两个解，且
1
2
x
x
，下列说法正确的是（
）
A．
1
x 小于1
，
2
x 大于3
B．
1
x 小于2
，
2
x 大于3
C．
1
x ，
2
x 在-1 和3 之间
D．
1
x ，
2
x 都小于3
【答案】A
【分析】此题主要考查了直接开平方法解方程以及估计无理数的大小，求出两根是解题关键．利用直接开
平方法解方程得出两根进而估计无理数的大小得出答案．
【详解】解：
1x
、
2
x 是一元二次方程
2
1
5
x
的两个解，且
1
2
x
x
，
1
5
x
，
2
1
5
3
x
，
1
1
5
1
x
，
故选：A
45．用配方法解方程
2
1
0
x
x
时，配方结果正确的是（
）
A．
2
1
2
x
B．
2
1
1
2
x
C．
2
1
3
2
4
x
D．
2
1
5
2
4
x
【答案】D
【分析】本题考查了解一元二次方程的问题，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配
方结果正确的是哪个即可．
【详解】解：
2
1
0
x
x
2
1
x
x
2
1
5
4
4
x
x
2
1
5
(
)
2
4
x
故选D．
46．用配方法解一元二次方程
2
6
8
0
x
x
，配方后得到的方程是（
）
A．
2
3
1
x
B．
2
3
1
x
30
C．
2
6
28
x
D．
2
6
28
x
【答案】B
【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
方程两边同时加上一次项系数一半的平方即
2
6
2
计算即可．
【详解】解：∵
2
6
8
0
x
x
，
∴
2
6
8
x
x
∴
2
2
2
6
2
+
2
6
8
6
x
x
，
即
2
2
8
6
9
+
3
x
x
，
∴
2
3
1
x
．
故选：B
47．一元二次方程
2
3
2
0
x
x
的根的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，根据一元二次方程的根与判别式的关系判断即可．
【详解】解：∵
1
a ，
3
b
，
2
c ，
∴
2
=
4
= 9
4 1
2 = 17
0
b
ac
，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
48．若关于x 的一元二次方程
2
2
2
4
0
a
x
x
a
的一个根是
0
x
，则a 的值为（
）
A．2
B．2
C．2 或2
D．
1
2
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0 ．由一元二次方程的定义，
可知
2
0
a
；一根是0 ，代入
2
2
2
4
0
a
x
x
a
可得
2
4
0
a
，即可求答案．
【详解】解：
2
2
2
4
0
a
x
x
a
是关于x 的一元二次方程，
31
2
0
a
，即
2
a ①
由一个根
0
x
，代入
2
2
2
4
0
a
x
x
a
，
可得
2
4
0
a
，解之得
2
a ；②
由①②得
2
a
；
故选A
49．若方程
2
8
6
0
mx
x
有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（
）
A．
8
3
m
且
0
m
B．
8
3
m
C．
8
3
m
D．
3
m
且
0
m
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求一元一次不等式的解集，根据
2
4
0
b
ac
，有两个不
相等的实根即可列出bds 不等式；再根据不等式求解集的方法即可求解，掌握一元二次方程根的判别式的关
系是解题的关键．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实根，
∴
2
8
4
6
0
m
，且
0
m
，
∴
8
3
m
且
0
m
，
故选：A ．
50．若关于x 的一元二次方程
2
(
1)
1
0
m
x
x
有实数根，则m 的取值范围是（
）
A．
5
4
m
B．
5
4
m
C．
5
4
m
且
1
m
D．
5
4
m
且
1
m
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及判别式的应用，根据关于x 的一元二次方程
2
(
1)
1
0
m
x
x
有实数根，得出
2
1
0
1
4
1
1
0
m
m
，
，再解出m 的取值范围，即可作答．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
(
1)
1
0
m
x
x
有实数根
∴
2
1
0
1
4
1
1
0
m
m
，
∴
5
4
m
且
1
m
故选：C
51．关于x 的一元二次方程
2
2 1
0
x
mx
m
的根的情况是（
）
32
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．实数根的个数由m 的值确定
D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一
元二次方程根的判别式解答即可．
【详解】解∶
2
2
Δ
4
1
m
m
2
2
4
4
m
m
2
5
4
m
，
∵
2
0
m
，
∴
2
5
4
4
0
m
，
∴
0
，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
52．已知a，b 是方程
2
3
4
0
x
x
的两个根，则
2
4
3
a
a
b
的值为（
）
A．2
B．2
C．3
D．3
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及方程解的定义，根据所对应的代数式进行适当的变
形是解题关键．
首先得到
2
3
4
0
a
a
，
3
a
b
，然后将原式变形代入求解即可．
【详解】解：∵a，b 是方程
2
3
4
0
x
x
的两个根，
∴
2
3
4
0
a
a
，
3
a
b
∴
2
3
4
a
a
∴
2
2
4
3
3
3
4
3
3
2
a
a
b
a
a
a
b
．
故选：A．
53．小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程
的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2
和5
．则原来的
方程是(
)
A．
2
6
5
0
x
x
B．
2
7
10
0
x
x
C．
2
5
2
0
x
x
D．
2
6
10
0
x
x
33
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中
1
2
7
x
x
，
1
2
10
x x
，逐项分
析判断，即可求解．
【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1；
∴
1
2
6 1
7
x
x
，
又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2
和5
．
∴
1
2
10
x x
A.
2
6
5
0
x
x
中，
1
2
6
x
x
，
1
2
5
x x
，故该选项不符合题意；
B.
2
7
10
0
x
x
中，
1
2
7
x
x
，
1
2
10
x x
，故该选项符合题意；
C.
2
5
2
0
x
x
中，
1
2
5
x
x
，
1
2
2
x x
，故该选项不符合题意；
D.
2
6
10
0
x
x
中，
1
2
6
x
x
，
1
2
10
x x
，故该选项不符合题意；
故选：B．
54．若关于x 的方程
2
1
2
4
1
0
2 x
kx
k
有两个相等的实数根，则代数式
3
9
2024
2
k
k
的值为（
）
A．2022
B．2023
C．2024
D．2025
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及代数式求值，根据一元二次方程判别式与根的关系可得
到
2
1
2
4
4
1
0
2
k
k
，进而得到
2
1
2
2
k
k
，然后进一步整体代入求解即可．
【详解】解：关于x 的方程
2
1
2
4
1
0
2 x
kx
k
有两个相等的实数根，
2
1
2
4
4
1
0
2
k
k
，
整理得
2
1
2
2
k
k
，
∴
2
1
2
2
k
k
，
∴
3
9
2024
2
k
k
2
9
2024
2
k k
k
1
9
2
2024
2
2
k
k
k
34
2
1
9
2
2024
2
2
k
k
k
2
2
4
2024
k
k
2
2
2
2024
k
k
1
2
2024
2
2023
，
故选：B．
二、填空题
55．若关于x 的一元二次方程
2
4
2
0
x
x
k
有两个相等的实数根，则k 的值为
．
【答案】2
【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程
2
0(
0)
ax
bx
c
a
有两个不相等的
实数根，则
2
4
0
b
ac
；有两个相等的实数根，则
2
4
0
b
ac
；没有实数根，则
2
4
<0
b
ac
．据
此即可求解．
【详解】解：由题意得：
2
2
4
4
4 1 2
0
b
ac
k
，
解得：
2
k
故答案为：2
56．定义新运算：
2
0
0
a
b a
a
b
a
b a
例如：
2
2
4
( 2)
4
0
，2
3
2
3
1
．若
3
1
4
x
，则x
的值为
．
【答案】
1
2
或7
4
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据
新定义运算法则列出方程求解即可．
【详解】解：∵
2
0
0
a
b a
a
b
a
b a
，
而
3
1
4
x
，
∴①当
0
x
时，则有
2
3
1
4
x
，
解得，
1
2
x
；
35
②当
0
x
时，
3
1
4
x
，
解得，
7
4
x
综上所述，x 的值是
1
2
或7
4 ，
故答案为：
1
2
或7
4 ．
57．定义新运算“ *
a b ”：对于任意实数a ，b ，都有*
1
a b
ab
，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例
如：3*4
3 4 1 13
．若关于x 的方程
*
1
0
x
kx
有两个实数根，则实数k 的取值范围是
．
【答案】
1
4
k
且
0
k
【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等
式组求解．本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程
2
0(
0)
ax
bx
c
a
的
根的判别式
2
4
b
ac
：当判别式
0
，方程有两个不相等的实数根；当判别式
0
，方程有两个相等的实
数根；当判别式
0
，方程没有实数根．
【详解】解：∵
*
1
0
x
kx
，
∴
1
1
0
x kx
，
整理可得
2
1
0
kx
x
，
又关于x 的方程
*
1
0
x
kx
有两个实数根，
2
0
1
4
1
0
k
k
，
解得：
1
4
k
且
0
k
，
故答案为：
1
4
k
且
0
k
．
三、解答题
58．已知关于x 的方程
2
2 3
5
2
0
x
m x
m
．
(1)若方程的一个实根是3，求实数m 的值．
(2)求证：无论m 取什么实数，方程总有实数根．
【答案】(1)
1
m
(2)见解析
36
【分析】本题考查一元二次方程的根，根的判别式：
（1）将
3
x
代入方程，进行求解即可；
（2）求出判别式的符号，即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意，得：
23
2 3
3
5
2
0
m
m
，
解得：
1
m ；
（2）∵
2
2 3
5
2
0
x
m x
m
，
∴
2
Δ
2 3
4 5
2
m
m
2
4 3
20
8
m
m
2
4 9
6
20
8
m
m
m
2
4
16
16
m
m
2
4
2
0
m
；
∴无论m 取什么实数，方程总有实数根．
59．已知关于x 的一元二次方程
2
2
1
0
x
k
x
k
．
(1)求证：无论k 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)己知5 是此方程
2
2
1
0
x
k
x
k
的一个根，求k 的值和这个方程的另一个根
【答案】(1)证明见解析
(2)
7
2
k
，方程的另一根为
1
2
【分析】本题考查了根与系数的关系．一元二次方程
2
0(
0)
ax
bx
c
a
的根与系数的关系为：
1
2
1
2
,
b
c
x
x
x
x
a
a
．也考查了根的判别式．
（1）根据根的判别式，即可得出
2
8
0
k
，由此可证出不论k 取何值，方程必有两个不相等的实数根；
（2）把
5
x
代入方程可求得k 的值，再解方程可求得另一根．
【详解】（1）证明：∵
1,
(
2),
1
a
b
k
c
k
，
2
2
2
4
[ (
2)]
4 1 (
1)
8
b
ac
k
k
k
，
无论k 取何值，
2
0
k
，
37
则
2
8
0
k
，
∴不论k 取何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：把
5
x
代入方程可得25
5(
2)
1
0
k
k
，
解得：
7
2
k
，
当
7
2
k
时，原方程为
2
11
5
0
2
2
x
x
，
解得
1
2
1 ,
5
2
x
x
，
即方程的另一根为
1
2 ．
60．解方程：
(1)
3
5
4
5
x x
x
；
(2)
2
2
4
x
x
；
(3)
2
3
1
15
x
；
(4)
3
1
1
4
t
t
．
【答案】(1)
1
4
3
x
，
2
5
x
(2)
1
1
33
4
x
，
2
1
33
4
x
(3)
1
1
5
x
，
2
1
5
x
(4) 1
5
3
t
，2
1
t
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是：
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可；
（3）原方程系数化为1 后，利用直接开平方法求解即可；
（4）原方程化简后，利用十字相乘法因式分解求解即可．
【详解】（1）解：
3
5
4
5
x x
x
，
∴
3
5
4
5
0
x x
x
，
∴
3
4
5
0
x
x
，
38
∴3
4
0
x
或
5
0
x
，
∴
1
4
3
x
，
2
5
x
；
（2）解：∵
2
2
4
x
x
，
∴
2
2
4
0
x
x
，
∴
2
Δ
1
4 2
4
33
，
∴
1
33
1
33
2 2
4
x
，
∴
1
1
33
4
x
，
2
1
33
4
x
；
（3）解：∵
2
3
1
15
x
，
∴
2
1
5
x
，
∴
1
5
x
，
∴
1
1
5
x
，
2
1
5
x
；
（4）解：原方程化简为
2
3
2
5
0
t
t
，
∴
3
5
1
0
t
t
，
解得1
5
3
t
，2
1
t ．
61．已知关于x 的一元二次方程
2
2
2
1
0
x
k
x
k
k
．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若ABC
的两边
,
AB AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当ABC
是直角三角形时，
求k 的值．
【答案】(1)见解析
(2)k 的值为12 或3
【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与直角
三角形结合等，熟练掌握一元二次方程相关定义与性质是解决问题的关键．
（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出
1
0
进而可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）利用因式分解法可求出
,
AB AC 的长，分BC 为直角边及BC 为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关
于k 的一元一次方程或一元二次方程解之即可得出k 值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成
39
三角形）即可得出结论．
【详解】（1）由题意得：
2
2
[ (2
1)]
4 (
)
1
0
k
k
k
∴方程有两个不相等的实数根
（2）∵
2
2
2
1
0
x
k
x
k
k
，即(
)[
(
1)]
0
x
k
x
k
解得：
1
2
,
1
x
k x
k
当BC 为直角边时，
2
2
2
5
(
1)
k
k
，解得：
12
k
当BC 为斜边时，
2
2
2
(
1)
5
k
k
，解得：
1
2
3,
4
k
k
（不合题意，舍）
综上：k 的值为12 或3
62．已知关于x 的一元二次方程
2
5
0
x
bx
．
(1)若方程有两个相等的实数根，求b 的值．
(2)设
1
x ，
2
x 是方程的两个实数根，当
6
b
时，求
2
2
1
2
1
2
x x
x x
的值．
【答案】(1)2 5 或2 5
(2) 30
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义以及根与系数的关系；
（1）利用根的判别式的意义得到
2
4 5
0
b
，然后解关于b 的方程即可；
（2）先利用根与系数的关系得
1
2
1
2
6
5
x
x
x x
，
，再利用因式分解法变形
2
2
1
2
1
2
x x
x x
得到
1
2
1
2
(
)
x x x
x
，
然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）解：根据题意得
2
4 5
0
b
，
解得
1
2 5
b
，
2
5
2
b
；
即b 的值为2 5 或2 5
；
（2）当
6
b
时，方程化为
2
6
5
0
x
x
，
根据根与系数的关系得
1
2
1
2
6
5
x
x
x x
，
，
所以
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
0
)
5
6
3
x x
x x
x x x
x
．
63．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程
2
7
10
0
x
x
的两个根，求等腰三角形ABC 三条
边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．
40
涵涵的作业：
解：
2
7
10
0
x
x
．
1
a ，
7
b ，
10
c
．
2
4
9
0
b
ac
，①
2
4
7
3
2
2
b
b
ac
x
a
．②
1
5
x
，
2 2
x ．③
所以，当腰为5，底为2 时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④
当腰为2，底为5 时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤
(1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号），错误的原因是____．
(2)探究应用：
请解答以下问题：
已知等腰三角形ABC 的一腰和底边的长是关于x 的方程
2
1
0
2
4
m
x
mx
的两个实数根．
①
2
m
时，求ABC
的周长；
②当ABC
为等边三角形时，求m 的值．
【答案】(1)⑤；2，2，5 不能构成三角形
(2)①当
2
m
时，ABC
的周长为7
2 ；②当ABC
为等边三角形时，m 的值为1．
【分析】（1）根据三角形的三边关系判断；
（2）①把m 的值代入方程，解方程得到
1
1
2
x
，
2
3
2
x
，根据三角形的三边关系、三角形的周长公式计算；
②根据一元二次方程根的判别式计算．
【详解】（1）解：涵涵的作业错误的步骤是⑤，错误的原因是2，2，5 不能构成三角形，
故答案为：⑤；2，2，5 不能构成三角形；
（2）解：①当
2
m
时，方程为
2
3
2
0
4
x
x
，
1
1
2
x
，
2
3
2
x
，
当
1
2 为腰时，1
1
3
2
2
2
，
1
2 、
1
2 、3
2 不能构成三角形；
41
当3
2 为腰时，等腰三角形的三边为3
2 、3
2 、
1
2 ，
此时ABC
的周长为3
3
1
7
2
2
2
2
，
答：当
2
m
时，ABC
的周长为7
2 ；
②若ABC
为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，
△
2
2
1
(
)
4(
)
2
1
0
2
4
m
m
m
m
，
1
2
1
m
m
，
答：当ABC
为等边三角形时，m 的值为1．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的概念、等边三角形的概念、一元二次方程根的判别式、三角形的三边
关系，掌握三角形的三边关系定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
64．阅读理解
【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方
程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．
①因式分解法求解特殊的三次方程：
将
3
5
2
0
x
x
变形为
3
4 1
2
0
x
x
，
3
4
2
0
x
x
x
．
3
4
2
0
x
x
x
．
2
2
2
0
x x
x
x
．
2
2
2
1
0
x
x
x
．
2
0
x
或
2
2
1
0
x
x
．
原方程有三个根：
1
2
x
，
2
1
2
x
，
3
1
2
x
．
②换元法求解特殊的四次方程：
4
2
5
4
0
x
x
设
2x
y
，那么
4
2
x
y
，于是原方程可变为
2
5
4
0
y
y
，解得
1
1
y ，
2
4
y
，
当
1
y ，
2
1
x 时，
1
x
；
当
4
y
，
2
4
x
时，
2
x
；
原方程有四个根：
1
1
x ，
2
1
x ，
3
2
x
，
4
2
x ．
42
【应用新知】
（1）仿照以上方法，按照要求解方程：
①（因式分解法）
3
10
3
0
x
x
；
②（换元法）
4
2
3
4
0
x
x
；
【拓展延伸】
（2）已知：
2
2
1
0
x
x
，且
0
x
，请综合运用以上方法，通过“降次”求
4
3
2
3
x
x
x
的值．
【答案】（1）①
1
3
x
，
2
3
13
2
x
，
3
3
13
2
x
；②
1
1
x ，
2
1
x ；（2）
2
【分析】本题考查了解高次方程，理解题意，正确进行计算是解此题的关键．
（1）①仿照题中所给方法，利用因式分解法解方程即可；②仿照题中所给方法，利用换元法解方程即可；
（2）根据题意对所给代数式进行“降次”，再用整体思想即可解决问题．
【详解】（1）①将
3
10
3
0
x
x
变形为
3
9 1
3
0
x
x
，
∴
3
9
3
0
x
x
x
，
∴
2
9
3
0
x x
x
，
∴
3
3
3
0
x x
x
x
，
2
3
3
1
0
x
x
x
.
3
0
x
或
2
3
1
0
x
x
.
解方程
3
0
x
得
1
3
x
.
解方程
2
3
1
0
x
x
得
2
3
13
2
x
，
3
3
13
2
x
，
∴原方程的根为：
1
3
x
，
2
3
13
2
x
，
3
3
13
2
x
；
②
4
2
3
4
0
x
x
，
设
2x
y
，则
4
2
x
y
，方程变形为
2
3
4
0
y
y
，
∴
4
1
0
y
y
，
解得：
1
4
y ，
2
1
y
当
1
4
y ，
2
4
x 时，无实根，舍去，
当
2
1
y ，
2
1
x 时，解得
1
1
x 或
2
1
x ；
43
∴原方程有两个根：
1
1
x ，
2
1
x ；
（2）解：方程
2
2
1
0
x
x
的解为：
2
4
4
1
2
2
x
，
由于
0
x
，
∴
1
2
x
，
2
2
1
0
x
x
，
2
2
1
x
x
，
2
2
1
x
x
，
4
3
2
3
x
x
x
2
2
2
3
x
x
x
x
2
3
x
x
2
1 3
x
x
1
x
，
当
1
2
x
时，
原式
1
1
2
2
．
65．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x 的一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
的两个
实数根分别为
1
x 、
2
x ，那么两个根的关系为
1
2
b
x
x
a
，
1
2
c
x
x
a
．习惯上把这个结论称作“韦达定理”．
小明在探究二次项系数为1 的一元二次方程
2
0
x
bx
c
根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：
1
2
x
x
b
，
1
2
x
x
c
．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究．
定义：
倍根方程：如果关于x 的一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于
另外一个根的2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
方根方程：如果关于x 的一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平
方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”．
(1)请你判断：方程
2
9
18
0
x
x
是______（填“倍根方程”或“方根方程”）；
(2)若一元二次方程
2
6
0
x
x
c
是“倍根方程”，求c 的值；
44
(3)根据探究，小明想设计一个一元二次方程
2
0
x
bx
c
，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请
你先帮他算一算，这个方程的根是多少？
【答案】(1)倍根方程
(2)c 的值是8
(3)方程的两个根是
1
2
x
，
2
4
x
或
1
1
4
x
，
2
1
2
x
【分析】（1）求出方程的解，再判断是否为倍根方程；
（2）设方程
2
6
0
x
x
c
的两个根为
1
x ，
2
x ，由倍根方程”的定义可知
2
1
2
x
x
，利用根与系数的关系即可
求得c 的值；
（3）设一元二次方程
2
0
x
bx
c
，的两个实数根分别为
1
x 、
2
x ，由题意可知
1
2
2
x
x
，
2
1
2
x
x
或
2
1
2
x
x
，
2
1
2
x
x
，即可得到方程的根是2、4 或
1
2 、1
4 ．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”或“方根方程”
的意义，理解“倍根方程”或“方根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键．
【详解】（1）解：解方程
2
9
18
0
x
x
得：
1
3
x ，
2
6
x ，
2
1
2
x
x
，
方程
2
9
18
0
x
x
是倍根方程；
故答案为：“倍根方程”；
（2）解：程
2
6
0
x
x
c
的两个根为
1
x ，
2
x ，
一元二次方程
2
6
0
x
x
c
是“倍根方程”，
2
1
2
x
x
，
1
2
6
x
x
，
1
2
x x
c
，
1
3
6
x
，
2
1
2x
c
，
1
2
x
，
8
c
；
（3）解：元二次方程
2
0
x
bx
c
，的两个实数根分别为
1
x 、
2
x ，
45
这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，
1
2
2
x
x
，
2
1
2
x
x
，
2
2
2
2x
x
，
解得
2 2
x 或
2
0
x
（舍去），
1
4
x
，
或
2
1
2
x
x
，
2
1
2
x
x
，
2
2
2
1
2 x
x
，
解得
2
1
2
x
或
2
0
x
（舍去），
1
1
4
x
，
这个方程的根是2、4 或
1
2 、1
4 ．
