1
第08 讲一元二次方程常考综合题精练
本讲目录
题型01 配方法在几何问题中的应用
题型02 配方法在代数问题中的应用
题型03 解一元二次方程在几何问题中的应用
题型04 解一元二次方程在函数问题中的应用
题型05 一元二次方程根的判别式的应用
题型06 一元二次方程根的实际应用---增长率问题
题型07 一元二次方程根的实际应用---营销问题
题型08 一元二次方程根的实际应用---动态几何问题
2
题型01 配方法在几何问题中的应用
1．如图，已知
2 2
AB
，C 为线段AB 上的一个动点，分别以AC ，CB 为边在AB 的同侧作菱形ACED和
菱形CBGF ，点C，E，F 在一条直线上，
120
D
．P、Q 分别是对角线AE ，BF 的中点，当点C 在线
段AB 上移动时，点P，Q 之间的距离最短为
（结果保留根号）．
【答案】
6
2
【分析】连接PC 、CQ ，首先证明
90
PCQ
，设AC
2a
，则
2 2
2
BC
a
=
，PC
a
，
3
2
CQ
a
=
，
得出
2
2
2
2
2
3 2
3
3
2
4
4
2
PQ
PC
QC
a
a
a
，利用配方法即可解决问题．
【详解】解：连接PC 、CQ ，
∵四边形ACED ，四边形CBGF 是菱形，
120
D
，
∴
120
ACE
，
60
DAC
FCB
，
∵P，Q 分别是对角线AE ，BF 的中点，
∴
1
2
ECP
ACE
=
，
1
30
2
FCQ
BCQ
BCF
=
，
90
APC
BQC
，
∴
1
90
2
PCQ
ECP
FCQ
ACE
BCF
=
，
设
2
AC
a
＝
，则
2 2
2
BC
a
=
，
∵
1
30
2
EAC
DAC
，
∴PC
a
，
3
3
2
2
CQ
BC
a
=
，
3
∴
2
2
2
2
2
3 2
3
3
2
4
4
2
PQ
PC
QC
a
a
a
，
∴当
3 2
4
a
时，点P，Q 之间的距离最短，最短距离是
6
2
，
故答案为：
6
2
．
【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、配方法的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟
练应用相关知识．
2．在平面直角坐标系中，点C、B 分别在x 轴、y 轴上，ABC
是等腰直角三角形，
90
BAC
，已知
2 2
1 0
A
P
（，）、（，）．M 为BC 的中点，当PM 最短时，则M 的坐标为
．
【答案】（3
2 ，
1
2 ）
【分析】设
0
B
b
（，），过A 作AD
y
轴于点D，过C 作CE
x
轴，交AD 于点E，证明
ABD
CAE
△
△
≌
，
进而用b 表示C 点坐标，再由中点公式求得M 点的坐标．
【详解】解：过A 作AD
y
轴于点D，过C 作CE
x
轴，交AD 于点E，如图所示，
∵
2 2
A（，），
∴
2
AD
CE
，
设
0
B
b
（，），则BD
b
2
，
∵ABC
是等腰直角三角形，
90
BAC
，
∴AB
AC
BAD
CAE
90
，
，
4
∵
90
BAD
ABD
＝
，
∴
ABD
CAE
，
在
ABD
△
和CAE
中，
90
ADB
CEA
ABD
CAE
AB
CA
，
∴ABD
CAE AAS
≌
（
），
∴
2
BD
AE
b
，
∴OC
DE
AD
AE
b
b
2
2
4
，
∴
C
b
4
0
，，
∵M 为BC 的中点，
∴
1
1
2
2
2
M
b,
b
，
∴
2
2
1
1
2
1
0
2
2
PM
b
b
，
2
1
1
1
2
2
b
当
1
b 时，PM 有最小值，
∴
3 1
,
2 2
M
，
故答案为：3 1
,
2 2
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助
线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
3．如图，某小区有块长为
2a
b
米，宽为
2a
b
米的长方形地块，角上有4 个边长为
a
b
米的小正方
形空地，开发商计划将阴影部分绿化，其中a b ．
（1）用含有a 和b 的式子表示绿化的总面积S；（结果用最简形式表示）
（2）若a b 20 且
33
1
b a
，求S 的大小；
5
（3）若a b 20 ，那么当a 米且b=
米时，有S 的最大值为：当S 取最大值时，若甲乙两个
工程队一起实施绿化，且甲每小时可绿化4 平方米，乙每小时可绿化1 平方米，且乙的工作时间不低于
甲的工作时间，则甲最多工作
小时．
【答案】（1）
2
5
8
S
b
ab
；（2）475；（3）180
13 ，80
13 ，6400
13 ，1280
13
【分析】（1）用长乘以宽表示出长方形地块面积，再减去4 个小正方形的面积即可；
（2）由
33
1
b a
得3
0
b
a
，结合
20
a
b
求出a 和b 的值，再代入（1）中的结果求出S 的值；
（3）由
20
a
b
得
20
a
b
，则
2
13
160
S
b
b
，利用配方法求出最值，以及取最值时a 和b 的值，设甲
工作时间为x ，乙工作时间为y ，用x 表示出y，然后列不等式求出x 的最大值．
【详解】解：（1）
2
2
2
4
S
a
b
a
b
a
b
2
2
2
2
4
4
2
a
b
a
ab
b
2
2
2
2
4
4
8
4
a
b
a
ab
b
2
5
8
b
ab
；
（2）∵
33
1
b a
，
∴3
0
b
a
，
解方程组
3
0
20
b
a
a
b
，解得
15
5
a
b
，
则
2
5 5
8 15 5
475
S
；
（3）∵
20
a
b
，
∴
20
a
b
，
∴
2
2
2
5
8
5
8
20
13
160
S
b
ab
b
b
b
b
b
，
2
13
160
S
b
b
2
160
13
13
b
b
2
2
2
160
80
80
13
13
13
13
b
b
2
2
80
80
13
13
13
b
2
80
6400
13
13
13
b
，
6
当
80
13
b
时，
180
13
a
，S 有最大值，最大值是6400
13 ，
设甲工作时间为x ，乙工作时间为y ，
列方程：
6400
4
13
x
y
，则
6400
4
13
y
x
，
∵乙的工作时间不低于甲的工作时间，
∴6400
4
13
x
x
，解得
1280
13
x
，
∴甲最多工作1280
13 小时，
故答案是：180
13 ，80
13 ，6400
13 ，1280
13 ．
【点睛】本题考查列代数式和代数式求值，不等式的应用，配方法求最值，解题的关键是掌握这些知识点
进行计算求解．
4．求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法．
例如：若代数式
2
4
6
M
a
a
，利用配方法求M 的最小值：
2
2
4
6
2
2
M
a
a
a
，
2
2
0
a
，
当
2
a
时，代数式M 有最小值为2．再比如：正数a，b 满足
3
a
b
，用几何法求
2
2
1
9
a
b
的最
小值．如图，
2
1
a 为线段DC 的长度，
2
9
b
为线段CE 的长度，当
2
2
1
9
a
b
的值最小时，D、C、
E 三点共线，所以最小值为
2
2
2
2
1 3
3
4
5
a
b
．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)若代数式
2
2
2
4
8
M
a
a
b
b
，求M 的最小值；
(2)已知正数x，y 满足
7
x
y
，求
2
2
9
16
x
y
的最小值．
【答案】(1)3
(2)7 2
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识，掌握勾股定理的运算，最短路径的运
用，合理作出图形是解题的关键．
7
（1）运用配方法解题即可；
（2）运用材料提示，构造图形，运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：
2
2
2
4
8
M
a
a
b
b
，
2
2
2
1
4
4
3
a
a
b
b
2
2
1
2
3
a
b
，
当
1
a ，
2
b
时，M 有最小值为3；
（2）如图，
2
9
x
为线段DC 的长度，
2
16
y
为线段CE 的长度
当
2
2
9
16
x
y
的值最小时，D、C、E 三点共线，
所以最小值
2
2
2
2
4
3
7
7
7 2
x
y
．
5．已知，在ABC
中，AB
AC
，
A
，点D 是边AC 上一点（点D 不与点A，C 重合），连接BD ，
将BD 绕着点D 顺时针旋转，得到DE ，连接CE ．
(1)①如图1，当
90
，点D 是AC 的中点时，请猜想：CE 与AD 数量关系是；
②如图2，当
90
，点D 是AC 边上任意一点时，①中的结论是否依然成立？说明理由．
(2)如图3，若
60
，
4
AC
，直接写出DEC
的面积的最大值．
【答案】(1)①
2
CE
AD
；②成立，见解析
(2)
3
【分析】（1）①延长AC ，过点E 作EF
AC
于点F，证明ABD
FDE
≌
，得出AB
DF
，EF
AD
，证
8
明DF
AC
，得出AD
DC
DC
CF
，即AD
CF
，得出AD
CF
EF
，根据勾股定理得出
2
2
2
2
2
CE
CF
EF
AD
AD
AD
．
②延长AC ，过点E 作EF
AC
于点F，证明ABD
FDE
≌
，得出AB
DF
，EF
AD
，证明DF
AC
，
得出AD
DC
DC
CF
，即AD
CF
，得出AD
CF
EF
，根据勾股定理得出
2
2
2
2
2
CE
CF
EF
AD
AD
AD
；
（2）连接BE ，延长AC ，过点E 作EF
AC
于点F，证明ABC
、
BDE
△
都是等边三角形，得出BA
BC
，
BD
BE
，
60
ABC
DBE
，证明ABD
CBE
≌
，得出AD
CE
，
60
BCE
BAC
，求出
180
60
ECF
BCE
ACB
，得出
90
60
30
CEF
，根据勾股定理得出
2
2
3
2
EF
CE
CF
CE
，设
0
4
AD
CE
x
x
，则
4
CD
x
，
3
2
EF
x
，根据三角形面积公式
得出
2
3
2
3
4
CDE
S
x
，根据
2
2
0
x
，得出
2
3
2
0
4
x
，得出
2
x
时，
2
3
2
3
4
x
最
大，且最大值为
3 ．
【详解】（1）解：①延长AC ，过点E 作EF
AC
于点F，如图所示：
则
90
DFE
，
∵
90
，
∴
90
A
BDE
DFE
，
∴
90
ABD
ADB
ADB
EDF
，
∴
ABD
EDF
，
根据旋转可知，BD
DE
，
∴ABD
FDE
≌
，
∴AB
DF
，EF
AD
，
∵AB
AC
，
∴DF
AC
，
∴AD
DC
DC
CF
，
∴AD
CF
，
9
∴AD
CF
EF
，
∵
90
CFE
，
∴
2
2
2
2
2
CE
CF
EF
AD
AD
AD
．
故答案为：
2
CE
AD
；
②成立；理由如下：
延长AC ，过点E 作EF
AC
于点F，如图所示：
则
90
DFE
，
∵
90
，
∴
90
A
BDE
DFE
，
∴
90
ABD
ADB
ADB
EDF
，
∴
ABD
EDF
，
根据旋转可知，BD
DE
，
∴ABD
FDE
≌
，
∴AB
DF
，EF
AD
，
∵AB
AC
，
∴DF
AC
，
∴AD
DC
DC
CF
，
∴AD
CF
，
∴AD
CF
EF
，
∵
90
CFE
，
∴
2
2
2
2
2
CE
CF
EF
AD
AD
AD
．
（2）解：连接BE ，延长AC ，过点E 作EF
AC
于点F，如图所示：
10
∵
60
，
∴
60
A
BDE
，
∵AB
AC
，BD
DE
，
∴ABC
、
BDE
△
都是等边三角形，
∴BA
BC
，BD
BE
，
60
ABC
DBE
，
∴
ABD
DBC
DBC
CBE
，
∴
ABD
CBE
，
∴ABD
CBE
≌
，
∴AD
CE
，
60
BCE
BAC
，
∴
180
60
ECF
BCE
ACB
，
∴
90
60
30
CEF
，
∴
1
2
CF
CE
，
∴
2
2
3
2
EF
CE
CF
CE
，
设
0
4
AD
CE
x
x
，则
4
CD
x
，
3
2
EF
x
，
∴
1
2
CDE
S
CD EF
1
3
4
2
2
x
x
2
3
3
4 x
x
3
4
4
3
4
x
x
2
3
2
3
4
x
，
∵
2
2
0
x
，
∴
2
3
2
0
4
x
，
∴当
2
x
时，
2
3
2
3
4
x
最大，且最大值为
3 ，
11
∴DEC
的面积的最大值为
3 ．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，三角形面积的
计算，含30 度角直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明三角形全等．
6．在Rt
DEF
△
中，DE
DF
，
90
EDF
，点E
D
，
分别在长方形ABCO的边BC
CO
，
上．
(1)如图1，当点F 在OA上，且
3
CE
，
1
OF 时，则EF ________；
(2)如图2 ，若EC
CO
，点D 为线段CO上一动点（不包括端点），连接OF ，求
AOF
的度数；
(3)如图3 ，若矩形ABCO中，
5
OA
，
4
OC
，在（2 ）的基础上，当BF 取值最小时，求点D 的坐标．
【答案】(1)2 5 ；
(2)45；
(3)点D 的坐标为
3.5,0
．
【分析】（1）证明
Rt
Rt
AAS
ECD
DOF
≌
，得到
3
CE
DO
，DE
DF
，进而由勾股定理得到
10
DE
DF
，再由勾股定理即可求出EF ；
（2 ）过点F 作FM
x
轴于M ，与
1 同理得到
AAS
ECD
DMF
≌
，得到
EC
DM ，CD
MF
，进而
得到MF
OM
，即可得到
45
AOF
；
（3 ）过点F 分别作FM
x
轴，FN
y
轴，由（2 ）可得
4
EC
CO
DM
，CD
MF
OM
，设OD
x
，
即可得到
4
CD
MF
OM
NC
x
，
8
CM
x
，
1
BN
x
，在Rt BNF
中，由勾股定理可得
2
7
81
2
2
2
BF
x
，
由BF 取最小值可求出x ，即可得到点D 的坐标．
【详解】（1）解：∵
90
EDF
，
∴
90
EDC
ODF
，
12
∵四边形ABCO是长方形，
∴
90
ECD
DOF
，
∴
90
CED
EDC
，
∴
CED
ODF
，
在Rt
ECD
△
和Rt
DOF
△
中，
90
ECD
DOF
CED
ODF
DE
DF
，
∴
Rt
Rt
AAS
ECD
DOF
≌
，
∴
3
CE
DO
，DE
DF
，
∴
2
2
2
2
3
1
10
DF
DO
OF
，
∴
10
DE
DF
，
∴
2
2
10 10
2 5
EF
DE
DF
，
故答案为：2 5 ；
（2）解：如图2 ，过点F 作FM
x
轴于M ，则
90
OMF
，
同理（1）可得
AAS
ECD
DMF
≌
，
∴
EC
DM ，CD
MF
，
∵EC
CO
，
∴CO
DM
，
∴CD
OM
，
∴MF
OM
，
13
∴
45
FOM
，
∴
90
45
45
AOF
；
（3）解：如图3 ，过点F 分别作FM
x
轴，FN
y
轴，垂足分别为点M
N
、
，则NF
CM
，NC
FM
，
90
BNF
，
由（2 ）
EC
DM ，CD
MF
OM
，
∵
4
OC
，
∴
4
EC
CO
DM
设OD
x
，则
4
CD
MF
OM
NC
x
，
∴
4
4
8
CM
x
x
，
∴
8
NF
x
，
∵
5
OA
，
∴
5
BC
，
∴
5
4
1
BN
BC
NC
x
x
，
在Rt BNF
中，
2
2
2
2
2
2
2
7
81
1
8
2
14
65
2
2
2
BF
BN
NF
x
x
x
x
x
，
∴
2
7
81
2
2
2
BF
x
，
∴当
7
2
x
时，BF 取最小值，
∴点D 的坐标为
3.5,0
．
【点睛】本题考查了长方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，
14
正确作出辅助线是解题的关键．
7．如图1，在正方形ABCD中，E 为对角线BD 上一点（DE
BE
），点B ，F 关于直线CE 对称，过点D 作
CF 的垂线，分别交CF ，CE 于点G ，H ．
(1)求证：DH
DC
；
(2)若
1
GH ，
2
FG
，求AB 的长；
(3)如图2，连接DF 并延长与CE 的延长线交于点M ，连接FH ．若已知
2
DM
，设CH
x
，用含x 的代
数式表示MFH
的面积，并求出MFH
面积的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)
5
AB
(3)
2 2
8
x
x
，1
4
【分析】（1）根据对称的性质得
BCE
FCE
，再得出
90
DHC
FCE
，又
90
DCH
BCE
，
从而
DHC
DCH
，进而可证结论成立；
（2）设CG
x
，则
2
CF
x
，
1
DG
x
，利用勾股定理求出x 的值，然后得出AB 的长即可；
（3）先计算出
45
M
，作DP
CM
于点P，作FN
CM
于点N，证
FNC
HPD
≌
△
△
，求出MH 和FN ，
然后得出MFH
的面积为S的表达式，最后利用配方法求出最大值即可．
【详解】（1）∵点B ，F 关于CE 对称，
∴
BCE
FCE
，
∵DH
CF
，
∴
90
DHC
FCE
，
在正方形ABCD中，
90
BCD
，
∴
90
DCH
BCE
，
∴
DHC
DCH
，
15
∴DH
DC
．
（2）设CG
x
，∵
2
FG
，
∴
2
CF
x
，
在正方形ABCD中，CB
CD
，
又∵CB
CF
，
∴
2
CD
CF
DH
x
，
∵
1
GH ，
∴
1
DG
x
，
在Rt
DCG
△
中，
2
2
2
DG
CG
CD
，
∴
2
2
2
1
2
x
x
x
，
解得：
3
x
，= 1
x （舍），
∴
5
AB
．
（3）设
BCE
FCE
，
∴
90
2
DCF
，
∵CF
CD
，
∴
45
CFD
CDF
，
又∵
CFD
M
FCE
M
，
∴
45
M
作DP
CM
于P ，FN
CM
于N ，
∴
2
2
2
PM
DM
，
90
90
90
PDH
PDC
PCD
NCF
又∵
90
FNC
HPD
，DH
CF
，
∴
FNC
HPD
≌
△
△
，
∴
2
x
FN
HP
PC
，
2
2
x
MH
PM
HP
设MFH
的面积为S，
则
2 2
1
2
8
x
x
S
MH
FN
2
1
1
2
8
4
x
，
当
2
x
时，S的最大值为1
4 ．即MFH
面积的最大值为1
4
16
【点睛】本题考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，完全平方公式，
勾股定理等知识是解题的关键．
题型02 配方法在代数问题中的应用
8．新定义，若关于x 的一元二次方程：
2
1(
)
0
a x
m
n
与
2
2(
)
0
a
x
m
n
，称为“同族二次方程”．如
2
2(
3)
4
0
x
与
2
3(
3)
4
0
x
是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程：
2
2(
1)
1
0
x
与
2
(
2)
(
4)
8
0
a
x
b
x
是“同
族二次方程”．那么代数式
2
2018
ax
bx
能取的最小值是（
）
A．2011
B．2013
C．2018
D．2023
【答案】B
【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a 和b 的值，从而解得代数式的最小值．
【详解】解：
2
2(
1)
1
0
x
与
2
(
2)
(
4)
8
0
a
x
b
x
为同族二次方程．
2
2
(
2)
(
4)
8
(
2)(
1)
1
a
x
b
x
a
x
，
2
2
(
2)
(
4)
8
(
2)
2(
2)
3
a
x
b
x
a
x
a
x
a
，
∴
4
2(
2)
8
3
b
a
a
，
解得：
5
10
a
b
．
2
2
2
2018
5
10
2018
5(
1)
2013
ax
bx
x
x
x
，
当
1
x 时，
2
2018
ax
bx
取最小值为2013.
故选：B.
【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题
的关键．
9．一般情形下等式1
1
1
x
y
不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如
2
x
，
2
y
时，1
1
1
2
2
成立，
17
我们称(2,2) 是使1
1
1
x
y
成立的“神奇数对”，请完成下列问题：
(1)数对4 ,4
3
，
1,1 中，使1
1
1
x
y
成立的“神奇数对”是_________；
(2)若1
2
4
,
2
1
t
t
t
是使1
1
1
x
y
成立的“神奇数对”，求t 的值；
(3)若
,
m n 是使1
1
1
x
y
成立的“神奇数对”，且a
b
m
，b
c
n
，求代数式
2
(
)
4
10
a
c
a
b
b
c
的最小值．
【答案】(1) 4 ,4
3
；
(2)
3
2
t
；
(3)最小值为6．
【分析】（1）按照题中定义将数对4 ,4
3
，
1,1 分别验算即可；
（2 ）根据题意得到关于t 的分式方程，解方程即可求解；
（3 ）根据已知条件，先将m 和n 用含a
b
c
、、的式子表示出来，再根据题意得出关于m 和n 的等式，然后
可得关于a
b
c
、、的等式，利用配方即可得到代数式的最小值；
本题考查了分式方程在新定义运算下的应用，理解新定义运算是解题的关键．
【详解】（1）解：∵
1
1
3
1
1
4
4
4
4
3
，
∴数对4 ,4
3
是使1
1
1
x
y
成立的“神奇数对”；
∵1
1
2
1
1
，
∴数对
1,1 不是使1
1
1
x
y
成立的“神奇数对”；
故答案为4 ,4
3
；
（2）解：∵1
2
4
,
2
1
t
t
t
是使1
1
1
x
y
成立的“神奇数对”，
∴
1
1
1
1
2
4
2
1
t
t
t
，
整理得，2
1
1
4
4
t
t
t
t
，
解得
3
2
t
，
18
经检验，
3
2
t
是原分式方程的解，
∴
3
2
t
；
（3）解：∵a
b
m
，b
c
n
，
∴m
a
b
，n
b
c
，
∵
,
m n 是使1
1
1
x
y
成立的“神奇数对”，
∴1
1
1
m
n
，
∴
1
1
1
a
b
b
c
，
∴
b
c
a
b
a
b
b
c
，
∴
a
c
a
b
b
c
，
∴
2
2
2
4
10
4
10
2
6
a
c
a
b
b
c
a
c
a
c
a
c
，
∵
2
2
0
a
c
，
∴
2
2
6
6
a
c
，
∴代数式
2
4
10
a
c
a
b
b
c
的最小值为6．
10．定义一种新运算“ *
a b ”：当a
b
时，*
3
a b
a
b
；当a
b
时，*
3
a b
a
b
．例如：
3*
4
3
12
9 6 *12
6
36
42
，
．
（1）填空：( 4
3
)*
_ ；若
*
6
(
)
8
x
x
，则x _ ；
（2）已知
3
7 * 3
2
6
x
x
，求x 的取值范围；
（3）小明发现，无论x 取何值，计算
2
2
2
3 *
2
5
x
x
x
x
时，得出结果总是负数，你认为小明的结论
正确吗？请说明理由．
【答案】（1）-13，-5；（2）
8
2
3
x
或10
2
9
x
；（3）小明结论正确，理由见解析
【分析】（1）根据计算公式即可求解；
（2）根据公式化简，不等式组即可求解；
（3）先利用配方法证明x2﹣2x+3﹣（﹣x2+2x﹣5）＞0，再公式化简，利用配方法即可求解．
【详解】（1）( 4
3
)*
-3-3×3=﹣13；
∵
*
6
(
)
8
x
x
19
∴x-3（x+6）=-8
解得x=-5
故答案为：-13；﹣5；
（2）由题意知
3
7
3
2
3
7
3(3
2 )
6
x
x
x
x
或
3
7
3
2
3
7
3(3
2 )
6
x
x
x
x
解得
2
8
3
x
x
或
2
10
9
x
x
∴
8
2
3
x
或10
2
9
x
；
（3）∵x2﹣2x+3﹣（﹣x2+2x﹣5）
＝2x2﹣4x+8
＝2（x﹣1）2+6＞0
∴x2﹣2x+3＞﹣x2+2x﹣5，
原式＝x2﹣2x+3+3（﹣x2+2x﹣5）
＝x2﹣2x+3﹣3x2+6x﹣15
＝﹣2x2+4x﹣12；
＝﹣2（x﹣1）2﹣10＜0
∴小明结论正确．
【点睛】此题主要考查配方法的应用，解题的关键是根据题意的公式分情况进行运算．
11．阅读材料：选取二次三项式
2
0
ax
bx
c a
中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如
①选取二次项和一次项配方：
2
2
4
2
2
2
x
x
x
；
②选取二次项和常数项配方：
2
2
4
2
2
2 2
4
x
x
x
x
，或
2
2
4
2
2
4
2 2
x
x
x
x
③选取一次项和常数项配方：
2
2
2
4
2
2
2
x
x
x
x
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出
2
4
9
x
x
三种不同形式的配方；
(2)已知
2
2
4
6
13
0
x
y
x
y
，求
y x
的值
(3)当x ，y 为何值时，代数式
2
2
5
4
6
25
x
xy
y
x
取得最小值，最小值为多少？
【答案】(1)见解析
20
(2)
6
y x
(3)当
3
x ，y 6 时，
2
2
5
4
6
25
x
xy
y
x
取得最小值，最小值为16
【分析】（1）根据配方的定义，分别选取二次项、一次项、常数项中的两项，进行配方即可得出三种形式；
（2）首先根据配方法把
2
2
4
6
13
0
x
y
x
y
变形为
2
2
2
3
0
x
y
，再根据偶次方的非负性，得出
2
0
x
，
3
0
y
，解出x 、y 的值，然后将x 、y 的值代入代数式
y x
，计算即可得出结果；
（3）首先根据配方法把代数式
2
2
5
4
6
25
x
xy
y
x
变形为
2
2
2
3
16
x
y
x
，再根据偶次方的非负
性，得出
2
2
2
3
16
16
x
y
x
，进而得出当2
0
x
y
，
3
0
x
时，
2
2
5
4
6
25
x
xy
y
x
取得最小
值，再进行计算即可得出结果．
【详解】（1）解：第一种形式：选取二次项和一次项配方，
2
4
9
x
x
2
4
4
4
9
x
x
2
2
5
x
；
第二种形式：选取二次项和常数项配方，
2
4
9
x
x
2
6
9
6
4
x
x
x
x
2
3
10
x
x
；
或
2
4
9
x
x
2
6
9
6
4
x
x
x
x
2
3
2
x
x
；
第三种形式：选取一次项和常数项配方，
2
4
9
x
x
2
2
2
4
4
4
9
9
9
x
x
x
x
2
2
2
5
3
3
9
x
x
；
（2）解：
2
2
4
6
13
0
x
y
x
y
，
21
配方，得：
2
2
4
4
6
9
4
9
13
0
x
x
y
y
，
即
2
2
2
3
0
x
y
，
∵
2
2
0
x
，
2
3
0
y
，
∴
2
0
x
，
3
0
y
，
解得：
2
x ，
3
y ，
∴
3
2
6
y x
；
（3）解：
2
2
5
4
6
25
x
xy
y
x
2
2
2
4
4
6
9
16
x
xy
y
x
x
2
2
2
3
16
x
y
x
，
∵
2
2
2
3
0
x
y
x
，
∴
2
2
2
3
16
16
x
y
x
，
当2
0
x
y
，
3
0
x
时，
2
2
5
4
6
25
x
xy
y
x
取得最小值，
即当
3
x ，y 6 时，
2
2
5
4
6
25
x
xy
y
x
取得最小值，最小值为16 ．
【点睛】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式进行配方是解本题的关键．
12．阅读如下材料，完成下列问题：
材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：
2
2
2
2
2
2
3
2
1
1
3
1
2
x
x
x
x
x
．因为
2
1
0
x
，所以
2
1
2
2
x
，所以，当
1
x 时，原式
的最小值为2．
材料二：对于实数a，b，若
0
a
b
，则
1
1
0
a
b
．
完成问题：
（1）求
2
4
1
x
x
的最小值；
（2）求
2
2
2
8
13
4
6
x
x
x
x
的最大值；
（3）若实数m，n 满足
2
2
6
12
27
m
n
m
n
．求
2
2
3
n
m
的最大值．
【答案】（1）-5；（2）5
2 （3）9 6
2
22
【分析】（1）按照材料一配方即可求最值；
（2）把原式化成
2
1
2
4
6
x
x
，求
2
4
6
x
x
最小值即可；
（3）根据已知得到
2
2
(
3)
(
6)
m
n
，即
3
m
n
或
9
n
m
，代入求最值即可．
【详解】解：（1）
2
2
2
2
2
4
1
4
2
2
1
(
2)
5
x
x
x
x
x
，因为
2
2
0
x
，所以
2
2
5
5
x
，所
以，当
2
x
时，原式的最小值为-5．
（2）
2
2
2
2
2
2
8
13
2(
4
6) 1
1
2
4
6
4
6
4
6
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，
当
2
4
6
x
x
取最小值时，原式最大，
由（1）可知
2
2
4
6
(
2)
2
x
x
x
，最小值为2，
此时
2
2
2
8
13
4
6
x
x
x
x
的最大值为
1
5
2
2
2
；
（3）∵
2
2
6
12
27
m
n
m
n
，
∴
2
2
6
9
(
12
36)
0
m
m
n
n
，
2
2
(
3)
(
6)
m
n
，
3
6
m
n
或
3
6
m
n
，
3
m
n
或
9
n
m
，
2
2
3
n
m
=
2
2
2
2
3
27
(
3)
3
2
6
9
2(
)
2
2
m
m
m
m
m
，
最大值是27
2 ，
2
2
3
n
m
的最大值为
27
3 6
2
2
；
或
2
2
3
n
m
=
2
2
2
2
9
243
(9
)
3
2
18
81
2(
)
2
2
m
m
m
m
m
，
最大值是243
2 ，
2
2
3
n
m
的最大值为
243
9 6
2
2
；
综上，
2
2
3
n
m
的最大值为9 6
2
【点睛】本题考查了配方法求最值，解题关键是熟练运用配方法求代数式的最值．
13．悦悦在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x 的多项式
2
4
7
x
x
，由于
2
2
4
7
2
3
x
x
x
，所以当
2
x-
取任意一对互为相反数的数时，多项式
2
4
7
x
x
的值是相等的，例
如，当
2
1
x
，即
3
x
或1 时，
2
4
7
x
x
的值均为4：当
2
2
x
，即
4
x
或0 时，
2
4
7
x
x
的值
均为7，于是悦悦给出一个定义：关于x 的多项式，若当x
m
取任意一对互为相反数的数时，该多项式的
23
值相等，就称该多项式关于x
m
对称，例如
2
4
7
x
x
关于
2
x
对称．
请结合悦悦的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式
2
2
5
x
x
关于x ______对称；多项式
2
8
4
x
x
关于x ______对称；
(2)若关于x 的多项式
2
2
3
x
nx
关于
6
x
对称，求n 的值；
(3)若整式
2
2
6
9
4
4
x
x
x
x
关于x
a
对称，求实数a 的值．
【答案】(1)1；4
(2)
6
n
(3)
1
2
a
【分析】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键．
（1）依据题意，读懂题目，仅需配方即可得解；
（2）依据题意，由多项式
2
2
2
2
3
(
)
3
x
nx
x
n
n
，又多项式关于
6
x
对称，从而可以得解；
（3）依据题意，由
2
2
2
2
2
2
1
25
6
9
4
4
6
2
4
x
x
x
x
x
x
x
，进而可以判断得解．
【详解】（1）解：由题意，∵
2
2
2
5
(
1)
4
x
x
x
，
∴多项式
2
2
5
x
x
关于
1
x 对称．
∵
2
2
8
4
(
4)
12
x
x
x
，
∴多项式
2
8
4
x
x
关于
4
x 对称．
故答案为：1；4
．
（2）解：由题意，多项式
2
2
2
2
3
(
)
3
x
nx
x
n
n
，
∴多项式
2
2
3
x
nx
关于x
n
对称．
又多项式
2
2
3
x
nx
关于
6
x
对称．
6
n
，
6
n
．
（3）解：由题意：得
2
2
6
9
4
4
x
x
x
x
2
2
(
3) (
2)
x
x
2
[(
3)(
2)]
x
x
24
2
2
6
x
x
2
2
1
25
2
4
x
，
∴
2
2
6
9
4
4
x
x
x
x
关于
1
2
x
对称．
又∵
2
2
6
9
4
4
x
x
x
x
关于x
a
对称，
1
2
a
．
题型03 解一元二次方程在几何问题中的应用
14．如图，在ABC
中，
90
ABC
，将AB 边绕点A 逆时针旋转90得到线段AD ，将AC 边绕点C 顺时
针旋转90后得到线段CE ，AE 与BD交于点F，若DF
2 ，
2
EF
2 ，则BC 边的长为
．
【答案】
7
1
/ 1
7
【分析】作CG
BC
交BD于点G，连接EG ，证
SAS
ABC
EGC
≌
，进而证
AAS
ADF
EGF
≌
，设BC
x
，
则
2
BG
x
；根据
2
2
2
CE
CG
EG
，即可求解；
【详解】解：如图，作CG
BC
交BD于点G，连接EG ，
∵CG
BC
，
90
ACE
，
∴
ACB
GCE
，
∵AB
AD
，
∴
45
ABD
，
∴
45
DBC
ABD
，
∴
45
CGB
，
25
∴BC
CG
，
∵AC
EC
，
∴
SAS
ABC
EGC
≌
，
∴
90
EGC
ABC
，
∴BC
GE
∥
，
∴
45
FGE
D
，
∵
AFD
EFG
AD
AB
GE
，
，
∴
AAS
ADF
EGF
≌
，
∴
2
2 2
GF
FD
EF
AF
，
，
∴
4 2
2 2
AE
DG
，
，
∴
2
1
4
2
AC
CE
AE
，
设BC
CG
x
，则
2
BG
x
；
∴
2
2 2
BD
x
，
∴
2
2
1
1
2
2 2
2
2
2
AB
BD
x
x
，
∴
2
GE
x
，
∵
2
2
2
CE
GE
CG
，
∴
2
2
2
4
2
x
x
解得：
1
7
x
-1，
2
7
1
x
（舍去）．
∴
7
1
BC
．
故答案为：
7
1
．
【点睛】本题主要考查三角形全等综合，勾股定理，正确做出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．如图，在四边形ABCD中，
90
ABC
，AB
BC
，E 为AB 上一点，
2
AE
，
6
BE
，作EF
AC
∥
交BC 于点F ，取EF 上一点H ，以AB ，BH 为邻边向上作
ABHD
，交AC 于点G ，
26
(1)求证：
ADG
HBE
≌
△
△
．
(2)记
ABHD
面积为a ，四边形GHFC 面积为b ，
①求a 与b 的关系式．
②连接CD ，若ACD
为直角三角形时，求a
b 的值．
【答案】(1)见解析
(2)①
14
4
a
b
；②
4 7
4
a
b
或3
【分析】（1）先证明四边形AEHG 为平行四边形，得出AE
GH
，再根据SAS 证明
ADG
HBE
≌
△
△
；
（2）①延长DH 交BC 于点M，证明ABC
，BEF
△
，MHF
△
，MGC
为等腰直角三角形，得出
6
BE
BF
，
MH
MF
，MG
MC
，
6
2
8
BC
AB
，求出
8
a
BM
，得出
6
6
8
a
MH
MF
BM
，
8
8
8
a
MG
MC
BM
，根据
MCG
MHF
CGHF
S
S
S
四边形
得出
14
4
a
b
即可；
②分三种情况进行讨论：当
90
ADC
时，当
90
DAC
时，当
90
DCA
时，分别求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABHD 是平行四边形，
∴AB
DH
∥
，AB
DH
，AD
BH
，
ADG
EBH
∠
∠
，
∵EF
AC
∥
，
∴四边形AEHG 为平行四边形，
∴AE
GH
，
∴AB
AE
DH
GH
，
即BE
DG
，
∵AD
BH
，
ADG
EBH
∠
∠
，
∴
ADG
HBE
≌
△
△
；
（2）解：①延长DH 交BC 于点M，如图所示：
27
∵
90
ABC
，AB
BC
，
∴
1
90
45
2
BAC
BCA
，
∵EF
AC
∥
，
∴
45
BEF
CAB
∠
∠
，
45
BFE
BCA
，
∵AB
DH
∥
，
∴
90
DMC
ABC
，
∴ABC
，
BEF
△
，
MHF
△
，
MGC
为等腰直角三角形，
∴
6
BE
BF
，MH
MF
，MG
MC
，
6
2
8
BC
AB
，
∵
ABHD
S
AB
BM
a
，
∴8BM
a
，
解得：
8
a
BM
，
∴
6
6
8
a
MH
MF
BM
，
8
8
8
a
MG
MC
BM
，
∴
MCG
MHF
CGHF
S
S
S
四边形
2
2
1
1
8
6
2
8
2
8
a
a
14
4
a
，
∴
14
4
a
b
．
②根据勾股定理得：
2
2
2
BH
BM
MH
2
2
6
8
8
a
a
28
2
3
36
32
2
a
a
，
∵AD
BH
，
∴
2
2
3
36
32
2
a
AD
a
，
8
6
14
8
8
a
a
DM
DH
HM
，
根据勾股定理得：
2
2
2
DC
DM
MC
2
2
14
8
8
8
a
a
2
11
260
32
2
a
a
，
2
2
2
2
2
8
8
128
AC
AB
BC
，
当
90
ADC
时，
2
2
2
AC
AD
CD
，
∴
2
2
3
11
128
36
260
32
2
32
2
a
a
a
a
，
解得：
56
8 7
a
或
56
8 7
a
（舍去），
56
8 7
14
14
2 7
4
4
a
b
，
∴
56
8 7
4 7
4
2 7
a
b
；
当
90
DAC
时，
2
2
2
AC
AD
CD
，
∴
2
2
3
11
128
36
260
32
2
32
2
a
a
a
a
，
解得：
24
a
，
24
14
14
8
4
4
a
b
，
∴
24
3
8
a
b
；
当
90
DCA
时，
2
2
2
AD
CD
AC
，
∴
2
2
3
11
36
260
128
32
2
32
2
a
a
a
a
，
解得：
88
a
，
此时
6
5
8
a
MH
，不符合题意舍去；
29
综上分析可知：
4 7
4
a
b
或3．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的
性质，解一元二次方程，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
16．【问题背景】
如图1，在平行四边形ABCD中，
6
AD
，点E 是边CD 的中点，连接AE ，点F
G
、
是线段AE 上的动点，
连接BF
DG
，
，且满足DG
BF
∥
．
【初步尝试】
（1）如图2，当四边形ABCD是正方形时，若BF
AE
，则DG ____，BF ______．
【猜想验证】
（2）如图3，同学们在研究图形时发现，若取线段BF 的中点H ，可得DG
BF 始终为定值．请你猜想这个定值
是多少？并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，在（2）的基础上，若
4 5
2
AB
FG
，
，当四边形FHGD 是菱形时，求菱形FHGD 的边长．
【答案】（1）6 5
5
，12 5
5
；（2）
1
2 ，见解析；（3）菱形FHGD 的边长为2 3 或2 41
3
【分析】（1）根据正方形ABCD的性质，点E 是边CD 的中点，再根据勾股定理求出
2
2
AE
AD
DE
，进
而推出
AAS
ABF
DAG
≌
，BF
AG
，根据等面积求出
AD
DE
DG
AE
，由BF
AG
，作答即可；
（2）取线段BF 和AF 的中点H、M，连接MH ，则MH 是
ABF
△
的中位线，由
ABCD
的性质，点E 是边
CD 的中点，进而推出
AAS
HFM
DGE
≌
，则FH
DG
，推出
1
2
DG
BF
；
（3）分情况讨论，根据勾股定理和解一元二次方程，即可求出菱形FHGD 的边长．
【详解】解：（1）在正方形ABCD中，
6
AD
CD
AB
，
90
ADC
BAD
，
∴
90
BAF
GAD
，
∵点E 是边CD 的中点，
∴
3
DE
CE
，
30
∴
2
2
3 5
AE
AD
DE
，
∵BF
AE
，DG
BF
∥
，
∴
90
BFG
AGD
AFB
，
∴DG
AE
⊥
，
90
BAF
ABF
，
∴
AAS
ABF
DAG
≌
，
∴BF
AG
，
∵
1
1
•
•
2
2
ADE
S
AE DG
AD DE
，
∴
6 5
5
AD
DE
DG
AE
，
∴
12 5
5
BF
AG
，
故答案为：6 5
5
，12 5
5
；
（2）
1
2
DG
BF
，
理由如下：如图，取线段BF 和AF 的中点H、M，连接MH ，
则MH 是
ABF
△
的中位线，
∴MH
AB
，MH
AB
∥
，
在
ABCD
中，CD
AB
，AB
CD
∥
，
∵点E 是边CD 的中点，
∴DE
AB
∥
，
1
2
DE
AB
，
∴DE
MH
∥
，DE
MH
，
∴
FMH
DEG
，
∵DG
BF
∥
，
∴∠HFG=∠DGF，
∴
HFM
DGE
，
31
∴
AAS
HFM
DGE
≌
，
∴FH
DG
，
∴
1
2
DG
BF
；
（3）情况1：如图，取AF 中点M，连接MH
HD
，
，
∵菱形FHGD ，
∴HD
FG
，OF
OG
，
由（2）得MFH
EGD
≌
，
∴MF
GE
AM
а
，得
2
2
2
2
6
2
1
2 5
1
a
a
，
解得
1
8
3
a
（舍去），
2
2
a
，
∴
5
AO
，
在Rt
ADO
△
中，
2
2
36
25
11
DO
AD
AO
，
在Rt FDO
中，
2
2
1 11
2 3
DF
OF
OD
，
情况2：如图，取AF 中点M，连接MH
HD
，
，
∵菱形FHGD ，
∴HD
FG
OF
OG
，
，
由（2）得MGH
EFD
≌
，
∴MG
FE
a
，
2
AM
FM
а
，
32
得
2
2
2
2
6
2
3
2 5
1
а
а
，
解得
1
4
a （舍去），
2
2
3
a
，
∴
13
3
AO
，
在Rt
ADO
△
中，
2
2
2
2
13
155
36
3
3
DO
AD
AO
，
在Rt FDO
中，
2
2
155
2 41
1
9
3
DF
OF
OD
，
∴菱形FHGD 的边长为2 3 或2 41
3
．
【点睛】本题是平行四边形综合题，考查了勾股定理，平行四边形的性质，解一元二次方程，三角形全等
的判定和性质，解题的关键是分类讨论，作辅助线．
17．如图，平行四边形ABCD中
60
A
，
8cm
AB
，
4cm
AD
，点E 以1cm s 的速度从点A 出发沿A
B
C
向点C 运动，同时点F 以1cm s 的速度从点A 出发沿A
D
C
向点C 运动，当一个点到达终点时，另一个
点也停止运动，设运动的时间为s
t
．
(1)求平行四边形ABCD的面积；
(2)当
AEF
△
的面积为平行四边形ABCD的面积的1
4 时，求t 的值；
(3)当
10s
t
时，连接AE ，取线段AE 的中点G ，请直接写出DG 的长度．
【答案】(1)
2
16 3cm ；
(2)t 的值为4 或6
2 5
．
(3) 13
【分析】（1）过点B 作BG
CD
于点G ，由直角三角形的性质得出平行四边形的高，再按底乘以高，即可
得解；
（2）分点E 在线段AB 上，点F 在线段AD 上，点E 在线段AB 上，点F 在线段CD 上和点E 在线段BC 上，
点F 在线段CD上，三种情况计算即可；
33
（3）延长DG 交CB 延长线于点M ，过点M 作MN
CD
于点N ，由
10s
t
，得
10
2
BE
AB
，
2
CE
BC
CE
，再证明GAD
GEM
≌
，得
4
EM
AD
，DG
GM
，
6
CM
EM
CE
，再利用勾
股定理及直角三角形的性质即可得解．
【详解】（1）解：平行四边形ABCD中，
∵
60
A
，
8cm
AB
，
4cm
AD
，
∴
8cm
CD
AB
，
4cm
BC
AD
，
如图，过点B 作BG
CD
于点G ，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
60
A
C
，
∴
30
CBG
，
∴CG
1
2
2cm
BC
，
∴
2
2
3
2 3
2
BG
BC
CG
BC
（cm），
∴平行四边形ABCD的面积为：
2 3
16 3
8
CD
BG
（
2
cm ）．
答：平行四边形ABCD的面积为
2
16 3cm ；
（2）解：∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为
2
16 3cm ．
∴当
AEF
△
的面积为平行四边形ABCD的面积的1
4 时，
AEF
的面积为：
1
16 3
4 3
4
（
2
cm ），
当点E 在线段AB 上运动t 秒时，点F 在AD 上运动t 秒，
cm
AE
t
，
cm
AF
t
，同（1）高为
3
3
2
2
AF
t
（cm），
∴1
3
4 3
2
2
t
t
，
∴
4
t （舍）或
4
t
，
∴
4
4
t
，符合题意；
34
当点E 在线段AB 上运动秒时，点F 在CD 上运动t 秒，( 4
8
t
) ，
1
2 3
4 3,
2
t
∴
4
t
，不符合题意；
当点E运动到线段BC 上时，且运动时间为t 秒时，点F也运动到线段CD上，
如图，过点E作MN 垂直CD 于点H ，垂直于AB 延长线于点G ，
∵四边形ABCD为平行四边形，
60
A
C
，
8cm
CD
AB
，
4cm
BC
AD
，
∴AB
CD
，
∴
60
E BG
C
，
∴同（1）
3
3
8
cm
2
2
E G
BE
t
（
），
3
3
2 3
8
12
2
2
E H
t
t
（cm），
∴
1
3
1
3
1
16 3
8
8
[8
4
12
]
4
2 3
4 3
2
2
2
2
2
AEF
S
t
t
t
t
（
）
，
化简得：
2
12
16
0
t
t
，
∴
6
2 5
t
（舍去），
6
2 5
t
，
当
6
2 5
t
时，点E 位于线段BC 上，点F 位于线段CD 上，符合题意．
综上所述，t 的值为4 或6
2 5
．
（3）解：延长DG 交CB 延长线于点M ，过点M 作MN
CD
于点N ，
∵
10s
t
，
∴
10
2
BE
AB
，
∴
2
CE
BC
CE
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD
BC
∥
，
60
C
A
35
∴
GDA
GME
，
GAD
GEM
，
∵G 是AE 的中点，
∴AG
EG
，
∴GAD
GEM
≌
，
∴
4
EM
AD
，DG
GM
，
∴
6
CM
EM
CE
，
∵
60
C
A
，MN
CD
，
∴
90
60
30
CMN
，
∴CN 1
3
2 CM
，
∴MN
2
2
2
2
6
3
3 3
MN
CN
，
8 3
5
DN
CD
CN
，
∴DM
2
2
2
2
3 3
5
2 13
MN
DN
，
∴
13
1
2
DG
DM
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟练
掌握全等三角形的判定及性质或平行四边形的性质是解题的关键．
18．已知，如图1，四边形ABCD中，AD
BC
∥
，
B
D
；
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)如图2，若AE 平分
BAD
，连接DE ，
2
BC
CD
，求
AED
的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E 作EF
AD
，垂足为F，点S 在DF 上，点N 在DE 上，若DN
AE
EN
，
45
ASN
，
3
3
FS
AF
，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
90
AED
(3)24 2
26
【分析】（1）先证明
180
A
D
可得AB
DC
，从而可得结论；
36
（2）先证明AB
BE
DC
，
1
2
EC
BC
BE
AB
CD
，再结合平行四边形的性质可得结论；
（3）如图，延长SN 至G 使SN
NG
，过G 作GK
AD
∥
交FE于K ，交DE 于H ，延长FE与SN 的延长线
交于点M ，证明NSD
NGH
≌
，AE
HE
，再证明AEF
EHK
≌
，可得
1
AF
EK
，HK
EF
，设FK
x
，
可得
1
EF
HK
x
，表示
2
EM
x
，
3
KM
KG
x
，
2
2
HG
SD
x
，
3
2
2
5
2
DF
x
x
，再
利用勾股定理建立方程求解x ，再进一步求解即可．
【详解】（1）证明：∵AD
BC
∥
，
∴
180
A
B
．
又∵
B
D
，
∴
180
A
D
，
∴AB
DC
，
∴四边形ABCD为平行四边形．
（2）由（1）得，四边形ABCD为平行四边形，
可得：
180
BAD
ADC
，AD
BC
∥
，AB
DC
，
∴
ADE
DEC
，
EAD
AEB
．
∵AE 平分
BAD
，
∴
BAE
EAD
∴
1
2
BAE
AEB
EAD
BAD
，
∴AB
BE
DC
．
∵
2
BC
CD
，
∴
1
2
EC
BC
BE
AB
CD
∴
DEC
EDC
∴
1
2
DEC
EDC
ADE
ADC
∴
1
1
1
1
180
180
180
180
180
90
2
2
2
2
AED
EAD
EDA
BAD
ADC
BAD
ADC
．
（3）如图，延长SN 至G 使SN
NG
，过G 作GK
AD
∥
交FE于K ，交DE 于H ，延长FE与SN 的延长线
交于点M ，
∴
GHN
SDN
，
HGN
DSN
，
∴NSD
NGH
≌
，
37
∴SD
GH
，DN
HN
，
∵DN
AE
EN
，EN
EH
HN
EH
DN
，
∴AE
HE
，
∵EF
AD
，
90
AED
，GK
AD
∥
，
∴
90
AEF
EAF
AEF
KEH
，
90
EKH
AFE
，
∴
EAF
KEH
，
∴AEF
EHK
≌
，
∴
1
AF
EK
，HK
EF
，
设FK
x
，
∴
1
EF
HK
x
，
∵
45
ASN
，EF
AD
，
∴
45
M
FSM
，
∴
3
FS
FM
，
∴
2
EM
x
，
同理可得：
3
KM
KG
x
，
∴
2
2
HG
SD
x
，
∴
3
2
2
5
2
DF
x
x
，
由勾股定理可得：
2
2
2
2
2
2
2
AF
EF
DF
EF
AE
DE
AD
，
∴
2
2
2
2
21
1
1
5
2
4
2
2
x
x
x
x
，
解得：
1
2 2
2
x
，
2
2 2
2
x
（舍），
∴
1
2 2
1
EF
x
，
6
2
10
4 2
AD
x
，
∴
10
4 2
2 2
1
24 2
26
ABCD
S
AD EF
；
38
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性
质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，二次根式的混合运算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
19．综合与实践：
综合与实践课上，高老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
操作一：如图1，正方形纸片ABCD，将
B
沿过点A 的直线折叠，使点B 落在正方形ABCD的内部，得到
折痕AE ，点B 的对应点为M ，连接AM ；再将
D
沿过点A 的直线折叠，使AD 与AM 重合，得到折痕AF ，
将纸片展平，连接EF ．根据以上操作，同学们很快发现E ，M ，F 三点共线，且有以下结论：①
45
EAF
；
②线段EF ，BE ，DF 之间的数量关系为：EF
BE
DF
．
【深入探究】
操作二：如图2，再将
C
沿EF 所在直线折叠，使点C 落在正方形ABCD的内部，点C 的对应点为N ，将
纸片展平，连接NE 、NF ．同学们在折纸的过程中发现，当点E 的位置不同时，点N 的位置也不同，在这
次综合实践探究学习中，两位同学又有如下发现：
一、小曾发现，当点N 落在折痕AE 上时，设AM 交NF 于点P ，如图2，则有结论：AP
BE
DF
；
二、小段发现，当点N 落在折痕AE 上时，
BAE
是一个定值．
【解决问题】
（1）证明小曾同学结论的正确性：AP
BE
DF
；
（2）小段同学的发现是否成立？若成立，求出
BAE
的大小；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，矩形ABCD中，
8
AB
，
4
BC
，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，
5
AF
，
45
EAF
，求
CE 的长度．
39
【答案】（1）见解析；（2）成立，
30
BAE
；（3）
240
25 86
14
CE
【分析】（1）由折叠的性质可知，
,
BE
ME DF
MF
，
90
AME
B
C
ENF
，根据ASA 证明
ANP
FNE
△
≌△
得AP
EF
，进而可证AP
BE
DF
；
（2）由折叠的性质可知，
BAE
MAE
CFE
NFE
AFD
AFM
,
,
．根据
180
AFD
AFM
CFE
求出
30
NFE
，进而可求出求出
BAE
的大小；
（3）将三角形沿AE 翻折，使点F 落在点G 处，连接FG 交AE 与点O，设CE
x
，则
4
BE
x
，求出
,
,
AE EF OE ，然后根据AE
AO
OE
列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴
90
B
C
．
由折叠的性质可知，
,
BE
ME DF
MF
，
90
AME
B
C
ENF
，
∴
90
ANF
AMF
，
又∵
APN
FPM ，
∴
NAP
NFE
．
由操作一知
45
EAF
，
∴ANF
是等腰直角三角形，
∴AN
F
N，
∴
ASA
ANP
FNE
≌
，
∴AP
EF
．
∵EF
EM
FM
BE
DF
，
∴AP
BE
DF
．
40
（2）成立，理由如下：
由折叠的性质可知，
BAE
MAE
CFE
NFE
AFD
AFM
,
,
．
∵ANF
是等腰直角三角形，
∴
45
AFN
，
∴
45
AFD
AFM
AFN
NFE
NFE
．
∵
180
AFD
AFM
CFE
，
∴
2
45
180
NFE
NFE
，
∴
30
NFE
．
∵
90
APN
FPM
ANF
AMF
,
，
∴
30
NAP
NFE
，
∴
30
BAE
．
（3）将三角形AEF 沿AE 翻折，使点F 落在点G 处，连接FG 交AE 与点O，
∴
5
AG
AF
，
45
GAE
FAE
．
由折叠的性质得
,
FO
GO GF
AE
，
∴
2
90
GAF
FAE
，
∴AFG
是等腰直角三角形，
∴
2
2
5
5
5 2
GF
，
∴
5 2
2
FO
GO
．
∵四边形ABCD是矩形，
∴
8
AB
CD
，
4
BC
AD
，
∴
25
4
3
DF
，
∴
8
3
5
CF
．
设CE
x
，则
4
BE
x
，
41
∴
2
28
4
AE
x
，
2
2
5
EF
x
．
在Rt
OEF
△
中，
2
2
25
25
25
2
2
OE
x
x
，
∵AE
AO
OE
，
∴
2
2
2
5 2
25
8
4
2
2
x
x
，
整理得
2
14
480
275
0
x
x
，
∴
240
25 86
14
x
或
240
25 86
14
x
（舍去），
即
240
25 86
14
CE
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以
及解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
题型04 解一元二次方程在函数问题中的应用
20．如图1，在平面直角坐标系中，直线2 :
6
l
y
x
与1l 交于点
,4
E e
，2l 与x 轴，y 轴分别交于C，D 两
点，1l 与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，且
1
2
OB
OC
．
(1)求直线1l 的解析式；
(2)如图2，在射线EC 上有一动点F，连接AF 、BF ，M 为x 轴上一动点，连接FM 、BM ，当
9
8
ABF
AEC
S
S
△
△
时，求BM
FM
的最大值；
(3)如图3，在（2）的条件下，将
CFM
△
沿直线2l 平移得到
C F M
△
，若在平移过程中BC F
是以BF为
42
一腰的等腰三角形，请直接写出点C的坐标．
【答案】(1)
1
3
2
y
x
(2)
65
(3)
1
7 13
7
2
2
C
，
或
1
7 13
7
2
2
C
，
或
1 11
2 2
C
，
【分析】本题主要考查了考查了一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的定义：
（1）先把点E 坐标代入2 :
6
l
y
x
中求出点E 坐标，再求出点C 坐标，进而求出点B 坐标，最后利用待
定系数法求解即可；
（2）先求出
6 0
A ，，得到
12
AC
，则
1
1
12
4
24
2
2
AEC
E
S
AC y
△
，可得
2
9
7
8
ABF
AEC
S
S
△
△
；如
图所示，过点F 作FH
y
∥
轴交直线1l 于H，作点B 关于x 轴的对称点B，连接B F
B M
，
，则
0
3
B
，
；
设
6
F m
m
，
，则
1
3
2
H m
m
，
，可得
3
3
2
FH
m
，根据
27
ABF
AHF
BHF
S
S
S
△
△
△
，得到
1
3
1
3
6
3
3
27
2
2
2
2
m
m
m
m
，解得
8
m
，则
8
2
F
，
；由轴对称的性质可得B M
BM
，根
据B M
FM
B F
，得到当点M 在直线B F
上时，B M
FM
有最大值，即BM
FM
有最大值，最大值
即为B F
的长，则BM
FM
的最大值为
2
2
8
0
2
3
65
；
（3）设
6
C t
t
，
，则
2
4
F t
t
，
，可得
2
2
2
2
5
F B
t
t
，
2
2
8
F C
FC
，
2
2
2
6
9
C B
t
t
，再
分当
2
F B
F C
时，当
2
F B
BC
时，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：把
,4
E e
代入2 :
6
l
y
x
中得：
6
4
e
，解得
2
e
，
∴
2,4
E
，
在2 :
6
l
y
x
中，当
6
0
y
x
时，
6
x
，
∴
6,0
C
，
∴
6
OC
，
∴
1
3
2
OB
OC
，
∴
0 3
B
，，
设直线1l 的解析式为y
kx
b
，
43
∴
2
4
3
k
b
b
，
∴
1
2
3
k
b
，
∴直线1l 的解析式为
1
3
2
y
x
；
（2）解：在
1
3
2
y
x
中，当
1
3
0
2
y
x
时，
6
x ，
∴
6 0
A ，，
∴
12
AC
，
∵
2,4
E
，
∴
1
1
12
4
24
2
2
AEC
E
S
AC y
△
，
∴
2
9
7
8
ABF
AEC
S
S
△
△
；
如图所示，过点F 作FH
y
∥
轴交直线1l 于H，作点B 关于x 轴的对称点B，连接B F
B M
，
，则
0
3
B
，
；
设
6
F m
m
，
，则
1
3
2
H m
m
，
，
∴
1
3
3
6
3
2
2
FH
m
m
m
，
∵
27
ABF
AHF
BHF
S
S
S
△
△
△
，
∴
1
3
1
3
6
3
3
27
2
2
2
2
m
m
m
m
，
解得
8
m
，
∴
8
2
F
，
；
由轴对称的性质可得B M
BM
，
∴BM
FM
B M
FM
，
∵B M
FM
B F
，
∴当点M 在直线B F
上时，B M
FM
有最大值，即BM
FM
有最大值，最大值即为B F
的长，
∴BM
FM
的最大值为
2
2
8
0
2
3
65
；
44
（3）解；设
6
C t
t
，
，
∵
CFM
△
沿直线2l 平移得到
C F M
△
的，
∴点F 到F的平移方式与点C 到点
6
C t
t
，
的平移方式相同，
∴
2
4
F t
t
，
，
∴
2
2
2
2
2
0
4
3
2
2
5
F B
t
t
t
t
，
2
2
2
2
8
6
2
0
8
F C
FC
，
2
2
2
2
0
6
3
2
6
9
C B
t
t
t
t
，
当
2
F B
F C
时，则
2
2
2
5
8
t
t
，
解得
1
7
2
x
或
1
7
2
x
，
∴
1
7 13
7
2
2
C
，
或
1
7 13
7
2
2
C
，
；
当
2
F B
BC
时，则
2
2
2
2
5
2
6
9
t
t
t
t
，解得
1
2
t
，
∴
1 11
2
2
C
，
；
综上所述，
1
7 13
7
2
2
C
，
或
1
7 13
7
2
2
C
，
或
1 11
2
2
C
，
．
21．如图1，在平面直角坐标系中，直线
8
y
x
的图象分别交x，y 轴于A，B 两点，直线
3
2
y
x
m
的
图象分别交x，y 轴于C，D 两点，且两条直线相交于点E，已知点C 的坐标为
2,0
．
45
.
(1)求E 点坐标；
(2)在直线AB 上是否存在点F，使得
FCE
△
是以CE 为腰的等腰三角形，若存在，请求出F 点坐标．若不存
在，请说明理由；
(3)如图2，若点G 为线段CE 上一点，连接AG ，BG ，当
1
3
ABG
E
AC
S
S
△
△
时，经过点G 的一条直线与x 轴
负半轴交于点P，与y 轴正半轴交于点Q，判断
1
1
9
2
PO
QO
的值是否为定值，若是定值，求出此值；若不
是定值，请说明理由．
【答案】(1)
2,6
(2)
4,4 或
2
26,6
26
或
2
26,6
26
(3)
1
1
9
2
PO
QO
的值是定值，且
1
1
1
9
2
9
PO
QO
【分析】（1）先把
2,0
代入
3
2
y
x
m
求出
3
m
，然后联立
8
3
3
2
y
x
y
x
，求出
2
6
x
y
，即可求出点E 的
坐标；
（2）分两种情况进行讨论：当CE
CF
时，当CE
EF
时，分别列出方程，求出结果即可；
（3）过点G 作GH
y
∥轴，交AB 于点H，先求出
1 10 6
30
2
ACE
S
，得出
1 30
10
3
ABG
S
，设点G
的坐标为
3
,
3
2
n
n
，则点H 的坐标为
,
8
n
n
，根据
1
1
5
8
0
5
8
10
2
2
2
ABG
S
GH
n
，求出
1
n ，得出
9
1, 2
G
，设过点G 的直线解析式为：y
kx
b
，求出OQ
b
，
b
OP
k
，求出
1
1
1
9
2
9
PO
QO
即可．
【详解】（1）解：把
2,0
代入
3
2
y
x
m
得：
3
0
2
2
m
，
解得：
3
m
，
46
∴直线
3
3
3
2
2
y
x
m
x
，
联立
8
3
3
2
y
x
y
x
，
解得：
2
6
x
y
，
∴点E 的坐标为
2,6 ；
（2）解：设
,
8
F f
f
，
∵
2,0
C
，
2,6
E
，
∴
2
2
2
2
2
0
6
52
CE
，
2
2
2
2
2
8
0
2
12
68
CF
f
f
f
f
，
2
2
2
2
2
8
6
2
8
8
EF
f
f
f
f
，
当CE
CF
时，
2
2
12
68
52
f
f
，
解得：
2
f
（舍去）或
4
f
，
∴此时
4,4
F
；
当CE
EF
时，
2
2
8
8
52
f
f
，
解得：
2
26
f
或
2
26
f
，
∴此时
2
26,6
26
F
或
2
26,6
26
；
综上分析可知，点F 的坐标为
4,4 或
2
26,6
26
或
2
26,6
26
．
（3）解：
1
1
9
2
PO
QO
的值是定值，且
1
1
1
9
2
9
PO
QO
．
过点G 作GH
y
∥轴，交AB 于点H，如图所示：
47
把
0
x
代入
8
y
x
得：
8
y
，
∴点B 的坐标为
0,8 ，
把
0
y
代入
8
y
x
得：0
8
x
，
解得：
8
x
，
∴点A 的坐标为
8,0 ，
∴
8
2
10
AC
，
∴
1 10 6
30
2
ACE
S
，
∴
1 30
10
3
ABG
S
，
设点G 的坐标为
3
,
3
2
n
n
，则点H 的坐标为
,
8
n
n
，
∴
3
5
8
3
5
2
2
GH
n
n
n
，
∴
1
1
5
8
0
5
8
10
2
2
2
ABG
S
GH
n
，
解得：
1
n ，
∴
9
1, 2
G
，
设过点G 的直线解析式为：y
kx
b
，
∵过点G 的一条直线与x 轴负半轴交于点P，与y 轴正半轴交于点Q，
∴
0,
0
k
b
，
把
9
1, 2
G
代入y
kx
b
得：9
2
k
b
，
∴
9
2
k
b
把
0
x
代入得：y
b
，
48
∴
0,
Q
b ，则OQ
b
，
把
0
y
代入y
kx
b
得：0
kx
b
，解得：
b
x
k
，
∴
,0
b
P
k
，则
b
OP
k
，
∴
1
1
9
2
PO
QO
1
1
2
9
b
b
k
1
9
2
k
b
b
9
1
2
9
2
b
b
b
1
1
1
2
9
2
b
b
1
9
．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求两条直线的交点坐标，等腰三角形的定义，两点间距离
公式，解一元二次方程，三角形面积的计算，求一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是数形结合，熟练
掌握两点间距离公式，待定系数法求一次函数解析式．
22．定义：如图1，已知点M 是
POQ
内任意一点，过点M 任意作一条直线AB ，分别交射线OP ，OQ 于
点A ，B ．若点M 是线段AB 的中点，则称线段AB 为
AOB
关于点M 的中点线段．
(1)如图2，在平面直角坐标系中，点E 在第一象限内，过点E 的直线CD 分别交x 轴正半轴和y 轴的正半轴
于点C 和D ，线段CD 是
COD
关于点E 的中点线段．
①若点E 的坐标为(2,1) ，求直线CD 的解析式；
②若线段
4
CD
，点F 在直线
3
6
y
x
上，请直接写出线段EF 的最小值及线段EF 取得最小值时点F 的
坐标；
(2)如图3，射线OT 的解析式为
2 (
0)
y
x x
，点
(3,1)
G
，过点G 任意作一条直线HK ，交射线OT 于点H ，交
49
x 轴于点K ，求
HOK
△
的面积的最小值．
【答案】(1)①
1
2
2
y
x
，②F 点的坐标为：3 3 3
,
2
2
；
(2)
HOK
△
的面积的最小值为5．
【分析】（1）①由中点公式求出
(4,0)
C
，
(0,2)
D
，再由待定系数法求函数的解析式即可；②设
( , )
E a b ，由题
意求出
(2 ,0)
C
a
，
(0,2 )
D
b ，则
2
2
4
a
b
，所以E 点在以O为圆心2 为半径的圆上，过点O作OF
GH
交于
点F ，与圆O交于点E ，此时EF 最短；
（2）设直线HK 的解析式为
(
3)
1
y
k x
，求出
1
3
0
K
k
，，联立方程组
2
3
1
y
x
y
kx
k
，求出
3
1 6
2
2
2
k
k
H
k
k
，
，则
2
2
9
6
1
2
HOK
k
k
S
k
k
，令
HOK
S
y
，整理得
2
(
9)
(6
2 )
1
0
y
k
y k
，再由
△
2
(6
2 )
4(
9)
0
y
y
，求出
5
y≥，即可求
HOK
△
的面积的最小值为5．
【详解】（1）解：①段CD 是
COD
关于点E 的中点线段，
E
是线段CD 的中点，
(2,1)
E
，
(4,0)
C
，
(0,2)
D
，
设直线DC 的解析式为y
kx
b
，
2
4
0
b
k
b
，
解得
2
1
2
b
k
，
1
2
2
y
x
；
②设
( , )
E a b ，
线段CD 是
COD
关于点E 的中点线段，
(2 ,0)
C
a
，
(0,2 )
D
b ，
4
CD
，
2
2
4
a
b
，
E
点在以O为圆心2 为半径的圆上，
过点O作OF
GH
交于点F ，与圆O交于点E ，
50
设直线
3
6
y
x
与x 轴交于H 点，与y 轴交于G 点，
2 3 0
H
，，
(0,6)
G
，
2 3
OH
，
6
GO
，
tan
3
GHO
，
60
GHO
，
3
OF
，
3
2
1
EF
，
EF
的最小值为1，
设
( ,
3
6)
F t
t
，
2
2
2
3
6
3
t
t
，
解得
3 3
2
t
，
点E 在第一象限内，
3 3 3
2
2
F
，；
（2）解：设直线HK 的解析式为
(
3)
1
y
k x
，
1
3
0
K
k
，，
联立方程组
2
3
1
y
x
y
kx
k
，
51
解得
3
1
2
6
2
2
k
x
k
k
y
k
，
3
1 6
2
2
2
k
k
H
k
k
，
，
2
Δ
2
1
1
6
2
9
6
1
3
2
2
2
HOK
k
k
k
S
k
k
k
k
，
令
HOK
S
y
，
2
(
9)
(6
2 )
1
0
y
k
y k
，
0
y
，
△
2
(6
2 )
4(
9)
0
y
y
，
解得
5
y≥或
0
y
，
HOK
△
的面积的最小值为5．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，圆的性质，利用一元二次方
程判别式求函数的最大值是解题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，Rt AOC
的直角边OA在y 轴正半轴上，且顶点O与坐标原点重合，点C
的坐标为
2 2
，，直线
2
y
x
b
过点C ，与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ．
(1) B 点的坐标为___________ ，D 点的坐标为___________ ；
(2)动点P 从点O出发，以每秒1个单位长度的速度，沿O
A
C
的路线向点C 运动，同时动点Q 从点B 出
发，以每秒
1
2 个单位长度速度沿BO的方向向点O运动，过点Q 作QH
x
轴，交线段BC 或线段CO于点H．
当点P 到达点C 时，点P 和点Q 都停止运动，在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒；
①设
CPH
△
的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式___________ ；
②是否存在以Q 、P 、H 为顶点的三角形的面积与S 相等？若存在，直接写出t 的值___________ ．
52
【答案】(1)
3 0
0 6
，，，
(2)①
2
2
1
2
3 (0
2)
4
1
3
2 (2
4)
4
2
t
t
t
S
t
t
t
，
，
，②存在，1
【分析】1
（）把点C 坐标代入直线求得b 的值即得到直线解析式，令
0
y
求点B 坐标，令
0
x
求点D 坐标．
2
（）①由Rt AOC
中
90
OAC
求得
4
OA
AC
，即t 的取值范围为0
4
t
且
2
t ．画图发现有两种情况：
当0
2
t
时，点P 在线段OA上，点H 在线段BC 上，可证得PH
x
∥轴，故
1
2
CPH
S
S
PH AP
，用t 表示
PH 、AP 的值再代入即能用t 表示S ；当2
3
t
时，点P 在线段AC 上，点H 在线段OC 上，此时以PC 为
底、点H 到CP 距离h 为高来求S ；
②与①类似把点P 、Q 的位置分两种情况讨论计算；其中P 在AC 上、H 在OC 上时，以QH 为底求
QPH
△
的面积，需对点P 到QH 的距离PE 的表示再进行一次分类．用t 表示
QPH
△
面积后与S 相等列得方程，解
之求得t 的值．
【详解】（1）直线
2
y
x
b
过点
2 2
C（，），
4
2
b
，
6
b
，
2
6
y
x
，
当
0
y
时，
3
x
，
当
0
x
时，
6
y
，
故答案为：
3 0
0 6
，，，；
（2）①过C 作CE
OB
于点E ，则
2
1
CE
AC
OA
OE
BE
，
，
当P 在OA上，即0
2
t
时，如图1所示：
1
2
OP
t
BQ
t
，
，
53
HQ
t
OP
，
四边形OPHQ 是矩形，
1
3
2
PH
OQ
t
，
2
1
1
1
3
2
2
3
2
2
4
S
t
t
t
t
；
当2
4
t
，即P 在AC 上时，如图2 所示：
1
4
3
2
CP
t
HP
OQ
t
，
，
2
1
1
1
3
4
2
3
2
2
2
4
2
S
t
t
t
t
（
）
（
）
，
故答案为：
2
2
1
2
3
0
2
4
1
3
2
2
4
4
2
t
t
t
S
t
t
t
，（
）
，（
）
；
②当0
2
t
时，P 为AO 的中点，即
1
t 时，
QPH
△
的面积与S 相等，
当2
4
t
时，
QPH
△
的面积为：1
1
1
3
1
3
3
2
3
5
2
2
2
2
4
2
t
t
t
t
t
（
）
（
）（
）
，
2
3
1
3
1
3
5
2
2
4
2
4
2
t
t
t
t
（
）
，
解得：
5 2
8
t
（不合题意，舍去）或
4 10
4
5
t
（不合题意，舍去），
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，
分类讨论思想是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，点F 的坐标为
010
，．点E 的坐标为
20 0
，，直线1l 经过点F 和点E，直
线1l 与直线2
3
:
4
l
y
x
相交于点P．
54
(1)求直线1l 的表达式和点P 的坐标；
(2)矩形ABCD的边AB 在y 轴的正半轴上，点A 与点F 重合，点B 在线段OF 上，边AD 平行于x 轴，且
6
9
AB
AD
，
，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD 始终与x 轴平行，已知矩形ABCD以每秒
5
个单位的速度匀速移动（点A 移动到点E 时止移动），设移动时间为t 秒
0
t
．
①当
1
t 时，A 点坐标是_________，移动t 秒时，D 点坐标为_________，
②矩形ABCD在移动过程中，B、C、D 三点中有且只有一个顶点落在直线1l 或2l 上时，矩形会发出红光，请
直接写出矩形发出红光时t 的值；
③若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD 交直线1l 于点N，交直线2l 于点M．当PMN
的面积等于18 时，
请直接写出此时t 的值．
【答案】(1)
1
10
2
y
x
，点P 坐标为
8 6
，
(2)①
2 9
，，
9
2 10
t
t
，
；②13
10 或8
5 ；③
6 5
1
5
2
t
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）①利用平移的性质即可求解；
②分情况讨论，当点D 在直线上2l 时，利用点D 与点A 的横坐标之差为9，列式计算求解即可；当点B 在2l
直线上时，点A 的纵坐标比点B 的纵坐标高6 个单位，列式计算求解即可；
③设点A 横坐标为a，则点D 横坐标为
9
a
，再用a 表示出
3
9
9
4
M a
a
，
，
1
9
9
10
2
N a
a
，
，
用a 表示出MN 和MN 上的高，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：设直线1l 的表达式为y
kx
b
，
∵直线1l 过点
010
F
，，
20 0
E
，，
∴
10
20
0
b
k
b
，解得
1
2
10
k
b
，
55
直线1l 的表达式为
1
10
2
y
x
．
联立，得3
1
10
4
2
x
x
，
解得
8
x
，
3
8
6
4
y
x
，
∴点P 坐标为
8 6
，；
（2）解：①∵
010
F
，，
20 0
E
，，
∴
20
OE
，
10
OF
，
2
2
10
20
10 5
EF
，
∵矩形ABCD以每秒
5 个单位的速度沿射线FE的方向匀速移动，相当于矩形ABCD以每秒1 个单位的速
度沿y 的方向向下匀速移动，或以每秒2 个单位的速度沿x 的方向向右匀速移动，
∴当
1
t 时，A 点坐标是
0
2 10 1
，
，即
2 9
，；当t 时，D 点坐标是
9
2 10
t
t
，
；
故答案为：
2 9
，，
9
2 10
t
t
，
；
②如图，当点D 在直线上2l 时，
∵
9
AD
，
∴点D 与点A 的横坐标之差为9，
∴将直线1l 与直线2l 的解析式变为
4
20
2
3
x
y
x
y
，
，
∴
4
20
2
9
3 y
y
，解得
87
10
y
，
则点A 的坐标为：13 87
5 10
，
，
则
2
2
13
87
13 5
10
5
10
10
AF
，
∵点A 速度为每秒
5 个单位，
∴
13
10
t
；
56
如图，当点B 在2l 直线上时，
∵
6
AB
，
∴点A 的纵坐标比点B 的纵坐标高6 个单位，
∴直线1l 的解析式减去直线2l 的解析式得1
3
10
6
2
4
x
x
，
解得
16
5
x
，则点A 坐标为16 42
,
5
5
，
则
2
2
16
42
8 5
10
5
5
5
AF
，
∵点A 速度为每秒
5 个单位，
8
5
t
，
故t 值为13
10 或8
5 ；
③如图，
设直线AB 交2l 于点H，
设点A 横坐标为a，则点D 横坐标为
9
a
，
∴
3
9
9
4
M a
a
，
，
1
9
9
10
2
N a
a
，
，
∴
3
1
9
9
10
5
4
5
4
2
4
M
a
a
N
a
，
此时点P 到MN 距离为：
9
8
1
a
a
，
∵PMN
的面积等于18，
∴
1
5
5
1
18
2
4
4
a
a
，
57
解得
1
2
12 5
12 5
1
1
5
5
a
a
，
（舍去），
∴
5
6
2
AF
，则此时t 为6 5
1
5
2
，
当
6 5
1
5
2
t
时，PMN
的面积等于18．
【点睛】本题是代数几何综合题，涉及到待定系数法、两直线的交点坐标、勾股定理、三角形的面积等，
综合性较强，熟练掌握相关知识、运用分类讨论思想以及数形结合思想是解题的关键．
题型05 一元二次方程根的判别式的应用
25．若关于x 的一元二次方程
2
2
1
13
0
ax
a
x
a
至少有一个整数根，且a 为正整数，则满足条件的a
共有
个．
【答案】3
【分析】若一元二次方程至少有一个整数根，则根的判别式
2
4
0
b
ac
，建立关于a 的不等式，求出根
的判别式和a 的取值范围．还要注意二次项系数不为0．再根据根的判别式是完全平方数进行求解即可．本
题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式
以及根与系数的关系是解本题的关键．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
2
1
13
0
ax
a
x
a
有整数根，
∴
2
2
1
4
13
48
1
0
a
a a
a
且
0
a
，
解得
1
48
a
且
0
a
，
∴方程的根为
2
1
48
1
1
48
1
1
2
2
2
a
a
a
x
a
a
a
，
根据根与系数的关系可得
1
2
2
1
1
2
a
x
x
a
a
，
1
2
13
13
1
a
x x
a
a
，且a 为正整数，
∴1
13
a
，
∵48
1
a 为完全平方数且a 为正整数，
∴48
1
49
a
或48
1
289
a
或48
1
625
a
，
解得
1
a 或6 或13，
即满足条件的a 共有3 个，
故答案为：3．
26．如果关于x 的一元二次方程
2
4
2
0
x
x
m
有实数根，且关于y 的分式方程
1
2
5
3
3
my
y
y
有正整数
解，那么符合条件的所有整数m 的和为
．
58
【答案】15
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解分式方程，利用一元二次方程根的判别式，得到关于m 的
一元一次不等式，解之得到m 的取值范围，解分式方程得到分式方程的解，再由分式方程有正整数解得到m
的值，结合m 取值范围确定符合条件的所有整数m ，将其相加即可求解，由一元二次方程和分式方程得到
符合条件的所有整数m 是解题的关键．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
4
2
0
x
x
m
有实数根，
∴
16
4
2
0
m
，
解得
2
m
，
解分式方程
1
2
5
3
3
my
y
y
得，
18
5
y
m
5
m
，
∵关于y 的分式方程
1
2
5
3
3
my
y
y
有正整数解，
∴5
1 2 3 6 918
m
，，，，，，
解得
4 3 2
1
4
13
m
，，，，，
，
∵
3
0
y
，
∴18
3
5
m
，
∴
1
m ，
又∵
2
m
，
∴符合条件的整数m 有2
4
13
，，
，
∴为
2
4
13
15
，
故答案为：15
．
27．对于实数a、b，定义运算“*”；
2
*
2
a
ab a
b
a b
b
ab a
b
，关于x 的方程
2
*
1
3
x
x
t
恰好有三个不相
等的实数根，则t 的取值范围是
．
【答案】3
2
t
/ 2
3
t
【分析】根据新定义的运算，分两种情况得出两个关于x 的一元二次方程，再由关于x 的方程
2
*
1
3
x
x
t
恰好有三个实数根，得到关于x 的两个一元二次方程的根的情况，然后分情况讨论，确定
t 的取值范围．
【详解】解：由新定义的运算可得关于x 的方程为：
59
当2
1
x
x
时，即
1
x 时，有
2
3
2
2 (
1)
x x
t
x
，
即：
2
2
2
3
0
1
x
x
t
x
，其根为：
2
7
2
1
x
t
是负数，
当2
1
x
x
时，即
1
x ，时，有
2
1
2
1
3
x
x x
t
，
即：
2
2
1
x
t
x
，
要使关于x 的方程
2
*
1
3
x
x
t
恰好有三个不相等的实数根，则
2
2
1
x
t
x
和
2
2
2
3
0
1
x
x
t
x
都必须有解，
∴
2
0
2
7
0
t
t
，
∴
7
2
2
t
，
（1）当
2
0
t
时，即
2
t 时，方程
2
2
1
x
t
x
只有一个根
0
x
，
∵当
2
t 时，
2
7
3
t
，
∴1
3
0
2
，1
3
1
2
，
∴此时方程
2
2
2
3
0
1
x
x
t
x
只有一个根符合题意，
∴
2
t 不符合题意；
（2）当3
2
t
时，方程
2
2
1
x
t
x
的两个根1
1
x
都符合题题意，
∵当3
2
t
时，1
2
7
3
t
，
∴1
2
7
0
2
t
，1
2
7
1
2
t
，
∴方程
2
2
2
3
0
1
x
x
t
x
只有一个根符合题意，
∴当3
2
t
时，
2
*
1
3
x
x
t
恰好有三个不相等的实数根；
（3）∵当
7
3
t
t
时，方程
2
2
1
x
t
x
的一个根
1
，另外一个根
1
，
∴此时方程
2
2
1
x
t
x
只有一个根符合题意，
∵
1
1
2
7
0
2
2
t
，
1
2
7
1
1
2
2
t
，
∴当
7
3
t
t
时，方程
2
2
2
3
0
1
x
x
t
x
最多有一个根符合题意，
60
∴当
7
3
t
t
时
2
*
1
3
x
x
t
不可能有三个不相等的实根；
综上分析可知，t 的取值范围是3
2
t
．
故答案为：3
2
t
．
【点睛】本题考查了新运算及利用一元二次方程根的情况求字母的取值范围，读懂题意，进行分类讨论，
是解题的关键．
28．如果一个三位自然数abc 的各数位上的数字均不为0 ，且使得关于x 的方程
2
0
ax
bx
c
有两个相等的
实数根，那么称这个三位数为该方程的“等根数”．例如：三位数441是方程
2
4
4
1
0
x
x
的“等根数”．则
关于x 的方程
2
0
ax
bx
c
的最小“等根数”是
；如果m 是关于x 的方程
2
0
ax
bx
c
的“等根数”，
记
2
2
2
F m
a
b
c
，
G m
a
c
，若
F m
G m 是整数，则满足条件的m 最大值是
．
【答案】
121
882
【分析】本题考查了新定义运算，根据“等根数”的定义计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键．
【详解】解：∵abc 是方程
2
0
ax
bx
c
的“等根数”，
∴
2
4
0
b
ac
，
∴
2
4
b
ac
，
即
2
b
ac
，
∵abc 为最小“等根数”，
∴
1
a ，
2
b
，
∴
1
c ，
∴最小“等根数”为121，
故答案为：121；
∵
2
4
b
ac
，
∴
2
2
2
2
2
2
6
4
6
F m
a
c
ac
a
b
c
a
ac
c
ac
a
c
G m
a
c
a
c
a
c
a
c
，
∵
F m
G m 是整数，
∴6ac
a
c
是整数，
∴当
9
a
时，
6
c
或3 ，此时4
216
ac
或108，
∵
2
2
9
81
b
，
61
∴不符，舍去；
当
8
a
时，
5
c
或2 ，此时4
160
ac
或64 ，
由
2
2
9
81
b
可得，
5
c
不符，舍去，
∴
2
c
，
∴
2
2 8 2
8
b
ac
，
∴
8
a
，
8
b
，
2
c
，
∴m 的最大值是882，
故答案为：882．
29．已知关于x 的方程
2
2
1
2
1
1
0
m
x
m
x
．
(1)求证：不论m 为何值，方程必有实数根；
(2)当m 为整数时，方程是否有有理根？若有求出m 的值，若没有请说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)没有有理根，理由见详解
【分析】（1）①当2
1
0
m
时，方程为一元一次方程，即可求解；②当2
1
0
m
时，方程为二元一次方程，
由一元二次方程根的判别式：
0
时，方程有两个不相等的实数根；Δ
0
时，方程有两个相等的实数根；
Δ
0
时，方程有无的实数根；据此进行求解即可．
（2）①当2
1
0
m
时，即：
1
2
m
，即可求解；②当2
1
0
m
时，当m 为整数时，假设方程有有理根，则
需满足：
2
2
1
4
m
是完全平方数，设
2
2
2
1
4
m
n
(n为整数)，则有
2
1
2
1
4
m
n
m
n
，
即可求解．
2
1
1
2
1
4
m
n
m
n
或
2
1
1
2
1
4
m
n
m
n
或
2
1
2
2
1
2
m
n
m
n
或
2
1
2
2
1
2
m
n
m
n
，
【详解】（1）解：由题意得
①当2
1
0
m
时，即：
1
2
m
，
方程为一元一次方程：2
1
0
x
，
此时方程必有实数根；
②当2
1
0
m
时，即：
1
2
m
，
此时方程为一元二次方程，
62
2
1
a
m
，
2
1
b
m
，
1
c ，
2
2
1
4 2
1
m
m
2
4
4
5
m
m
2
2
1
4
m
，
2
2
1
0
m
，
2
2
1
4
0
m
，
0
，
故不论m 为何值，方程必有实数根；
综上所述：不论m 为何值，方程必有实数根．
（2）解：当m 为整数时，方程没有有理根，理由如下：
①当2
1
0
m
时，即：
1
2
m
，
方程为一元一次方程，方程有有理根，
m 为整数，
此情况不存在；
②当2
1
0
m
时，
当m 为整数时，假设方程有有理根，
则需满足：
2
2
1
4
m
是完全平方数，
设
2
2
2
1
4
m
n
(n 为整数)，则有
2
1
2
1
4
m
n
m
n
，
2
1
1
2
1
4
m
n
m
n
或
2
1
1
2
1
4
m
n
m
n
或
2
1
2
2
1
2
m
n
m
n
或
2
1
2
2
1
2
m
n
m
n
，
解得：
1
4
m
或
1
2
m
，
此时与m 为整数矛盾，
当m 为整数时，方程没有有理根；
综上所述：当m 为整数时，方程没有有理根．
【点睛】本题考查了根的判别式，含有参数方程的特殊解法，掌握解法是解题的关键．
63
30．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点
2,1
P
称为“幸福点”，经过点
2,1
P
的函数，称为“幸福函
数”．
(1)若点
3
4 ,2
r
s
r
s
是“幸福点”，关于x 的函数y
x
t
是“幸福函数”，则r __________，
s __________，t __________．
(2)若关于x 的函数y
kx
b
和
m
y
x
都是“幸福函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k 的值．
(3)若直线
4
4
0
3
y
x
b b
与x 轴、y 轴分别交于点A，B，M 是y 轴上一点，若将ABM
沿直线AM 折
叠，点B 恰好落在x 轴上的点C 处．试问经过C，M 两点的一次函数是否可以为“幸福函数”？若可以，请
写出所有函数解析式；若不可以，请说明理由．
【答案】(1) 2
5 ，1
5 ，1
(2)0 或
1
2
(3)存在，
3
1
4
2
y
x
【分析】（1）根据“幸福点”的概念列出二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意分
0
k
和
0
k
两种情况讨论，然后根据两个函数图象有且只有一个交点，得到
2
1 2
kx
k
x
只有一个根，然后利用一元二次方程的判别式求解即可；
（3）根据题意分点M 在y 轴正半轴上和点M 在y 轴负半轴上两种情况讨论，分别根据“幸福函数”的性质求
解即可．
【详解】（1）∵
3
4 ,2
r
s
r
s
为“幸福点”，
∴
3
4
2
2
1
r
s
r
s
，
∴
2
5
1
5
r
s
，
将
2,1 代入y
x
t
，解得，
1
t ．
故答案为：2
5 ，1
5 ，1
；
（2）①当
0
k
时，y
b
，
64
∵函数y
b
是“幸福函数”，
∴
1
b ，此时，符合题意，
②当
0
k
时，
将
2,1 分别代入y
kx
b
与
m
y
x
中，有
2
1,
2,
k
b
m
∵两个函数图象有且只有一个交点，
∴
2
1 2
kx
k
x
只有一个根，即：
2
1 2
2
0
kx
k x
，
∴
2
1 2
8
0
k
k
，
∴
1
2
k
，
∴k 的值为0 或
1
2
；
（3）①如图所示，当点M 在y 轴正半轴上时，
设沿直线AM 将ABM
折叠，点B 正好落在x 轴上的C 点，则有AB
AC
，
由直线
4
4
3
y
x
b
可得，
3 ,0
A
b
，
0,4
B
b ，
∴
3
OA
b
，
4
OB
b
，
∴
5
AB
b
，
∴
5
3
2
CO
AC
AO
b
b
b
，
∴
2 ,0
C
b
．
设M 点坐标为
0,m ，则OM
m
，
4
CM
BM
b
m
，
∴
2
2
2
CM
CO
OM
，
∴
2
2
2
4
2
b
m
b
m
，解得
3
2
m
b
，
∴
3
0, 2
M
b
，设直线CM 解析式为y
kx
n
，将
3
0, 2
M
b
，
2 ,0
C
b
代入，
65
解得
3
4
k
，
3
2
n
b
．
∴
3
3
4
2
y
x
b
，若该函数为“幸福函数”，则直线过“幸福点”
2,1 ．
∴3
3
2
1
4
2 b
，
解得
1
3
b
（与
0
b
矛盾，舍去），
∴此时，不存在“幸福函数”．
②如图所示，当点M 在y 轴负半轴上时，
3
5
8
OC
OA
AC
b
b
b
，
设M 点坐标为
0,m ，则OM
m
，
4
CM
BM
b
m
，
∵
2
CM
CO
OM
，
∴
2
2
2
4
8
b
m
b
m
，
∴
6
m
b
，
∴
0, 6
M
b
，又
8 ,0
C
b
，
同理，用待定系数法可求得直线CM 解析式为：
3
6
4
y
x
b
，
若该函数为“幸福函数”，则直线过“幸福点”
2,1 ．
∴3
2
6
1
4
b
，得
1
0
12
b
．
∴
3
1
4
2
y
x
，
综上所述，存在“幸福函数”
3
1
4
2
y
x
．
【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质，一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握一次函数的图
象与性质．
题型06 一元二次方程根的实际应用---增长率问题
66
31．五峰县某茶叶公司预计用3 年时间实现三种茶叶产品售出a 万元的目标．2019 年，出售产品A 和B 的
销售额是C 产品的2 倍、4 倍．随后两年，A 产品每年都增加b 万元，预计A 产品三年总销售额为54 万元
时达成目标：B 产品销售额从2020 年开始逐年按同一百分数递减，依此规律，在2021年只需售出5 万元，
即可顺利达成；C 产品2020 年销售额在前一年基础上的增长率是A 产品2020 年销售额增长率的1.5 倍，2021
年的销售额比该产品前两年的销售总和还多4 万元，若这样，C 产品也可以如期售完．经测算，这三年的A
产品、C 产品的销售总额之比达到3: 2 ．
(1)这三年用于C 产品的销售额达到多少万元？
(2)求B 产品逐年递减的百分数．
【答案】(1)36
(2)50%
【分析】
（1）由A 产品三年总销售额为54 万元时达成目标及这三年的A 产品、C 产品的销售总额之比达到3: 2
列式计算即可得到三年C 产品的销售额．
（2）设2019 年C 产品的销售额为x 万元，则A 产品的销售额为2x 万元，B 产品的销售额为4x 万元，根据
A 产品三年总销售额为54 万元，C 产品三年的销售额为36万元，列出方程组，解得
5
x
，根据B 产品2019
年销售额为4
20
x
万元，B 产品销售额从2020 年开始逐年递减百分数为n ，在2021年只需售出5 万元列等
量关系即可；
【详解】（1）解：
2
54
36
3
（万元）
答：这三年用于C 产品的销售额达到36万元．
（2）解：设2019 年C 产品的销售额为x 万元，则A 产品的销售额为2x 万元，B 产品的销售额为4x 万元，
B 产品逐年递减的百分数为n ，
由题意知：
2
2
2
2
54
(1
1.5)
(1
1.5)
4
36
2
2
x
x
b
x
b
b
b
x
x
x
x
x
x
，
整理得：
2
18
3
2
16
4
x
b
b
x
，解得：
5
8
x
b
，
由题意知：
2
4 (1
)
5
x
n
，即：
2
20(1
)
5
n
，
整理得：
2
1
(1
)
4
n
，
67
解得：
1
1
50%
2
n
，
2
3
150%
2
n
（舍）
答：B 产品逐年递减的百分数为50%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，正确找出等量关系，列出对应的方
程是解决本题的关键．
32．HW 公司2018 年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800 万块，生产了2800 万部手
机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2 倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400 万块．这
些“QL”芯片解决了该公司2018 年生产的全部手机所需芯片的10%，HW 公司计划2020 年生产的手机全部
使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019 年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019 年、2020 年这两年，甲类芯
片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数
%
m
，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数，为
（
%
100%
m
），2018 年到2020 年，丙类芯片三年的总产量达到1.44 亿块，这三年丙类芯片的产量每年按
相同的效量递增，这样，2020 年的HW 公司的手机产量比2018 年全年的手机产量多10%（手机与芯片一一
匹配），求丙类芯片2020 年的产量及m 的值．
【答案】丙类芯片2020 年的产量为8000 万块，m＝400．
【分析】设2018 年甲类芯片的产量为x 万块，由题意列出方程，解方程即可求出x 的值，则2018 年丙类芯
片的产量为3x＋400＝1600 万块，设丙类芯片的产量每年增加的数量为y 万块，则1600＋1600＋y＋1600＋
2y＝14400，解得：y＝3200，得出丙类芯片2020 年的产量为1600＋2×3200＝8000（万块），2018 年HW 公
司手机产量为2800÷10%＝28000（万部），由题意得出400（1＋m%）2＋2×400（1＋m%−1）2＋8000＝28000×
（1＋10%），设m%＝t，整理得：3t2＋2t−56＝0，解得：t＝4，或t＝−14
3 （舍去），即可得出答案．
【详解】解：设2018 年甲类芯片的产量为x 万块，
由题意得：x＋2x＋（x＋2x）＋400＝2800，
解得：x＝400；
2018 年丙类芯片的产量为3x＋400＝1600（万块），
设丙类芯片的产量每年增加的数量为y 万块，
则1600＋1600＋y＋1600＋2y＝14400，
解得：y＝3200，
∴丙类芯片2020 年的产量为1600＋2×3200＝8000（万块），
2018 年HW 公司手机产量为2800÷10%＝28000（万部），
则：400（1＋m%）2＋2×400（1＋m%−100%）2＋8000＝28000×（1＋10%），
设m%＝t，
68
400（1＋t）2＋2×400（1＋t−1）2＋8000＝28000×（1＋10%），
整理得：3t2＋2t−56＝0，
解得：t＝4，或t＝−14
3 （舍去），
∴t＝4，
∴m%＝4，
∴m＝400；
答：丙类芯片2020 年的产量为8000 万块，m＝400．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及一元二次方程和一元一次方程的解法；
弄清数量关系列出方程是解题的关键．
33．某房地产商决定将一片小型公寓作为精装房出售，每套公寓面积均为32 平方米，现计划为100 套公寓
地面铺地砖，根据用途的不同选用了A、B 两种地砖，其中50 套公寓全用A 种地砖铺满，另外50 套公寓全
用B 种地砖铺满，A 种地砖是每块面积为0.64 平方米的正方形，B 种地砖是每块而积为0.16 平方米的正方
形，且A 种地砖每块的进价比B 种地砖每块的进价高40 元，购进A、B 两种地砖共花费350000 元．（注：
每套公寓地面看成正方形，均铺满地砖且地砖无剩余）
（1）求A、B 两种地砖每块的进价分别是多少元？
（2）实际施工时，房地产商增加了精装的公寓套数，结果实际铺满A 种地砖的公寓套数增加了%
a
，铺满
B 种地砖的公寓套数增加了3 %
a
，由于地砖的购进量增加．B 种地砖每块进价在（1）问的基础上降低了%
a
，
但A 种地砖每块进价保持不变，最后购进A、B 两种地砖的总花费比原计划增加了5 %
7 a
，求a 的值．
【答案】（1）A、B 两种地砖每块的进价分别是60，20 元；（2）
50
a
【分析】（1）利用每套公寓需要地砖的数量=公寓的面积÷每块地砖的面积，可分别求出每套公寓需要A 种
地砖的数量及每套公寓需要B 种地砖的数量，设B 种地砖每块的进价为x 元，则A 种地砖每块的进价为(x+40)
元，根据等量关系：购进A 种地砖的钱数+购进B 种地砖的钱数=350000，即可列出方程，解方程即可；
（2）根据等量关系：购进A 种地砖的钱数+购进B 种地砖的钱数=总钱数，列出方程，即可得到关于a 的
方程，解方程即可求出a 的值，当然取正值即可．
【详解】（1）一套公寓用A 种地砖需要：32
0.64
50
块
一套公寓用B 种地砖需要：32
0.16
200
块
设B 种地砖每块的进价为x 元
由题可得：
50 50
40
50
200
350000
x
x
解得：
20
x =
69
20
40
60
元
故A、B 两种地砖每块的进价分别是60，20 元．
（2）由题可得：
5
50 1
%
50 60
50 1 3 %
200 20 1
%
350000 1
%
7
a
a
a
a
整理得：
2
50
0
a
a
解得然：
1
2
0,
50
a
a
．
∵
0
a
，
∴
50
a
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元二次方程的应用，关键是找出等量关系，正确列出方程，
同时（2）问是的方程比较复杂，要善于化简．
34．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5 万人，街道划分为
A，B 两个社区，B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2 倍．
（1）求A 社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B 两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A 社区有1.2 万人知晓，
B 社区有1.5 万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A 社区的知晓人数平
均月增长率为m%，B 社区的知晓人数第一个月增长了4
5 m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，
两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m 的值．
【答案】（1）A 社区居民人口至少有2.5 万人；（2）m 的值为50．
【分析】（1）设A 社区居民人口有x 万人，根据“B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2 倍”
列出不等式求解即可；
（2）A 社区的知晓人数+B 社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m 的方程并解答．
【详解】解：（1）设A 社区居民人口有x 万人，则B 社区有（7.5-x）万人，
依题意得：7.5-x≤2x，
解得x≥2.5．
即A 社区居民人口至少有2.5 万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1.5×（1+ 4
5 m%）+1.5×（1+ 4
5 m%）（1+2m%）=7.5×92%，
解得m=50
答：m 的值为50．
【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据
70
的数量关系，列出不等式或方程．
35．创意产品蕴含着很多商机，我市某文化创意公司，销售A，B 两种创意产品，其中A 产品的定价是每
件20 元，B 产品的定价是每件30 元．
（1）该公司按定价售出A，B 两种产品共600 件，若销售总额不低于15000 元，则至少销售B 产品多少件？
（2）2017 年8 月，该公司按定价售出A 产品300 件，B 产品400 件．2017 年9 月，公司根据市场情况，
适当调整A，B 产品的售价，A 产品的售价比定价增加了a%，销量与8 月保持不变；B 产品的售价比定价
减少了a%，销量比8 月份增加了a%，结果9 月份A，B 产品的销售总额比8 月份增加了1
6 a%，求a 的值．
【答案】（1）至少销售B 产品300 件（2）25
【分析】（1）设销售B 产品x 件，则销售A 产品（600﹣x）件，根据总价=单价×数量结合销售总额不低于
15000 元，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出x 的取值范围，取其内的最小值即可得出结论；
（2）根据总价=单价×数量结合9 月份的销售总额比8 月份增加了1
6 a%，即可得出关于a 的一元二次方程，
解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）设销售B 产品x 件，则销售A 产品（600﹣x）件，根据题意得：20（600﹣x）+30x≥15000，
解得：x≥300．
答：至少销售B 产品300 件．
（2）根据题意得：300×20（1+a%）+400（1+a%）×30（1﹣a%）=（300×20+400×30）（1+ 1
6 a%），整理得：
1.2a2﹣30a=0，解得：a1=25，a2=0（不合题意，舍去）．
答：a 的值为25．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用．解题的关键是：（1）根据总价=单价
×数量结合销售总额不低于15000 元，找出关于x 的一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二
次方程．
题型07 一元二次方程根的实际应用---营销问题
36．一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件100元，“打坐熊猫”成本每
件120元，“打坐熊猫”的售价是“抱竹熊猫”的4
3 倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖3 件，且
两款玩偶当天销售额都刚好到达1800元．为更好地宣传国宝，第二天店家决定降价出售，但规定降价后的
售价不低于成本价的5
4 ，“抱竹熊猫”的售价降低了1
%
4 m
，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天基础上增加了
5
%
4 m
；“打坐熊猫”的售价打8.5 折，结果“打坐熊猫”的销量在第一天基础上增加了5
%
6 m
，最终第二天两款
71
熊猫玩偶的总利润为1230元，求m 的值为（
）
A．40
B．60
C．80
D．100
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，设第一天“抱竹熊猫”的售价为x 元，则“打坐
熊猫”的售价为4
3 x 元，列分式方程先求出“抱竹熊猫”和“打坐熊猫”的售价，再根据第二天两款熊猫玩偶的总
利润，列出一元二次方程求出m 的值即可，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键．
【详解】解：设第一天“抱竹熊猫”的售价为x 元，则“打坐熊猫”的售价为4
3 x 元，
由题意可得，
1800
1800
3
4
3
x
x
，
解得
150
x
，
经检验，
150
x
是原方程的解，符合题意，
∴4
4 150
200
3
3
x
，
∴第一天“抱竹熊猫”的售价为150元，则“打坐熊猫”的售价为200 元，
∴根据第二天总利润为1230元可得，
1
1800
5
1800
5
150 1
%
100
1
%
200 85% 120
1
%
1230
4
150
4
200
6
m
m
m
，
整理得，
2
120
3200
0
m
m
，
解得
1
40
m
，
2
80
m
，
当
40
m
时，
1
1
150
1
%
150
1
40%
135
4
4
m
，
5
100
125
4
，
∵135
125
，
∴
40
m
符合题意；
当
80
m
，
1
1
150
1
%
150
1
80%
120
4
4
m
，
∵120
125
，
∴
80
m
不合题意，舍去；
∴
40
m
，
故选：A ．
37．正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于
北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21 天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3
72
斤汤圆馅和0.5 斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450 斤汤圆馅或300 斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．
(1)若这21 天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？
(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21 天生产的汤圆在10 天内销售完毕．据统计，每袋手工
汤圆的成本为13 元，售价为25 元时每天可售出225 袋，售价每降低2 元，每天可多售出75 袋．汤圆店按
售价25 元销售2 天后，余下8 天进行降价促销，第10 天结束后将还未售出的手工汤圆以15 元/袋的价格全
部卖给古城小吃店，若最终获利40500 元，则促销时每袋应降价多少元？
【答案】(1)总共生产了9000袋手工汤圆
(2)促销时每袋应降价3 元
【分析】（1）设总共生产了a 袋手工汤圆，利用这21 天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方
程即可；
（2）设促销时每袋应降价x 元，利用最终获利40500 元做等量关系列出方程即可．
【详解】（1）设总共生产了a 袋手工汤圆，
依题意得，0.3
0.5
21
450
300
a
a
解得
9000
a
，
经检验
9000
a
是原方程的解，
答：总共生产了9000袋手工汤圆
（2）设促销时每袋应降价x 元，
当刚好10 天全部卖完时，
依题意得，
75
225 2
25 13
8 25 13
225
40500
2
x
x
整理得：
2
6
45
0
x
x
2
6
4 45
0
，
∴方程无解
∴10 天不能全部卖完
∴第10 天结束后将还未售出的手工汤圆以15 元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为
75
15 13
9000
2 225
8 225
13500
600
2 x
x
∴依题意得，
75
225 2
25 13
8 25 13
225
13500
600
40500
2
x
x
x
73
解得
1
2
4,
0
x
x
（舍去）
∵要促销
∴
4
x
即促销时每袋应降价3 元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正
确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论．
38．为奠基孩子深厚的人文底蕴，某中学初一年级各班家委会准备去书店购买《乐山乐水》、《艾青诗选》
和《朝花夕拾》这三本书．书店老板从图书批发市场分别以10 元/本、20 元/本、12 元/本的价格购进《乐山
乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书共4500 本，已知《乐山乐水》的数量是《朝花夕拾》的数量
的3 倍，共花费52000 元．
(1)求书店老板分别购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书各多少本？
(2)该书店老板一开始分别以25 元/本、60 元/本、30 元/本的价格售卖《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花
夕拾》这三本书，每天能售卖《乐山乐水》120 本，《艾青诗选》50 本，《朝花夕拾》20 本，后面经调查发
现，不少学生早已购买《朝花夕拾》，于是他准备在原来售价的基础上，《乐山乐水》的售价不变，《艾青诗
选》的每本售价提升原来的15
a ，《朝花夕拾》每本降价5
a 元，调整售价后，《乐山乐水》每天多售卖3
a 本，
《艾青诗选》每天多售卖4
a 本，《朝花夕拾》的售卖量每天保持不变，这样一天能获利6836 元，求a 的值．
【答案】(1)《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》的数量分别是3000 本、500 本、1000 本．
(2)12．
【分析】（1）设书店老板分别购进《艾青诗选》x 本和《朝花夕拾》y 本，则《乐山乐水》的数量是3y 本，
根据三本书共4500 本，共花费52000 元．即可列出方程组求解；
（2）根据每天总利润=三种书每天利润和列方程即可解答．
【详解】（1）解：设书店老板分别购进《艾青诗选》x 本和《朝花夕拾》y 本，则《乐山乐水》的数量是3y
本，根据三本书共4500 本，共花费52000 元．可得：
3
4500
30
20
12
52000
y
x
y
y
x
y
，
解得：
500
1000
x
y
，
《乐山乐水》的的数量是3
3000
y
本．
74
答：书店老板购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》的数量分别是3000 本、500 本、1000 本．
（2）依题意可知：调整售价后，
《乐山乐水》的售价为25 元，每本利润为（25-10）=15 元，每天售卖
1
(120
)
3 a
本；
《艾青诗选》的每本售价为
4
(60
60
)
(60
4 )
15 a
a
元，每本利润为(60
4
20)
(40
4 )
a
a
元，每天售卖
1
(50
)
4 a
本；
《朝花夕拾》每本售价为
1
(30
)
5 a
元，每本利润为
1
1
(30
12)
(18
)
5
5
a
a
元，每天售卖20 本；
依题意得：
1
1
1
15(120
)
(40
4 )(50
)
20(18
)
6836
3
4
5
a
a
a
a
，
整理得：
2
211
2676
0
a
a
，
(
12)(
223)
0
a
a
解得：
1
12
a
，
2
223
a
（不合题意舍去），
答：a 的值为12．
【点睛】本题考查了一元一次方程应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找好等量关系．
39．随着武汉解封，湖北各地的复工复产正有序进行，经济复苏也按下了“重启键”．为助力湖北复苏，4 月
8 日抖音发起了“湖北重启，抖来助力--抖音援鄂复苏计划”，通过直播或短视频助力推广湖北特色产品.已知
当天的直播活动中热干面和周黑鸭共销售18万份，其中周黑鸭的销量是热干面的3.5倍．
(1)求当天的直播活动中销售了多少万份周黑鸭？
(2)为刺激消费，直播中推出了优惠活动.疫情前，疫情期间售价均为100元一份的周黑鸭（一份里面有一盒
锁骨，两盒鸭脖，一盒鸭掌），以6折力度售卖．疫情前，疫情期间售价均为60 元一份的热干面（一份里面
有6包热干面），以5 折力度售卖．已知疫情前周黑鸭的日销售量比直播当天的销量少2 %
a
，疫情期间的日
销售额比疫情前的日销售额减少了680 万元；疫情前热干面的日销量比直播当天热干面的销量少10 %
3 a
，疫
情期间的日销售量比疫情前的日销售量减少了8 %
a
；疫情期间周黑鸭和热干面的总日销售额比直播当天的
总销售额少5 %
a
，求a 的值．
【答案】(1)当天的直播活动中销售了14万份周黑鸭
(2)a 的值为45
4
【分析】（1）设当天的直播活动中销售了x 万份热干面，则销售了3.5x 万份周黑鸭，由题意得：
3.5
18
x
x
，
求解x 的值，进而可得3.5x 的值；
75
（2）由题意得：
10
100 14
1 2 %
680
60 4
1
%
1 8 %
100 0.6 14
60 0.5 4
1 5 %
3
a
a
a
a
，计算求出
满足要求的解即可．
【详解】
（1）解：设当天的直播活动中销售了x 万份热干面，则销售了3.5x 万份周黑鸭，由题意得：
3.5
18
x
x
，
解得：
4
x
，
3.5
14
x
．
答：当天的直播活动中销售了14万份周黑鸭；
（2）解：由题意得：
10
100 14
1 2 %
680
60 4
1
%
1 8 %
100 0.6 14
60 0.5 4
1 5 %
3
a
a
a
a
，
整理得：
2
4
45
0
a
a
，
解得：
1
45
4
a
，
2
0(
a
不合题意，舍去)．
∴a 的值为45
4 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列正确的方程．
40．某“5A”景区决定在“5.1”劳动节期间推出优惠套餐，预售“亲子两人游”套票和“家庭三人行”套票，预售中
的“家庭三人行”套票的价格是“亲子两人游”套票的2 倍．
(1)若“亲子两人游”套票的预售额为21000 元，“家庭三人行”套票的预售额为10500 元，且“亲子两人游”的销
售量比“家庭三人行”的套票多450 套，求“亲子两人游”套票的价格.
(2)套票在出售当天计划推出“亲子两人游”套票1600 张，“家庭三人行”套票400 张，由于预售的火爆，景区
决定将“亲子两人行”套票的价格（1）中价格的基础上增加3
4 a元，而“家庭三人行”套票在（1）中“家庭三人
行”套票票价上增加了a 元，结果“亲子两人游”套票的销量比计划少32a 套，“家庭三人行”套票的销售量与
计划保持一致，最终实际销售额和计划销售额相同，求a 的值．
【答案】(1)“亲子两人游”套票的价格为35 元
(2)a 的值为20
【分析】（1）设“亲子两人游”套票价格为x 元，则“家庭三人行”套票的价格是2x 元，根据“亲子两人游”的
销售量比“家庭三人行”的套票多450 套列出分式方程，计算即可；
（2）根据实际销售额和计划销售额相同，列出关于a 的一元二次方程，计算即可．
【详解】（1）解：设“亲子两人游”套票价格为x 元，则“家庭三人行”套票的价格是2x 元．
76
由题意得
21000
10500
450
2
x
x
解得
35
x
经检验，
35
x
是原方程的解，且符合题意
答：“亲子两人游”套票的价格为35 元．
（2）
3
(35
)(1600
32 )
400(70
)
1600 35
400 70
4 a
a
a
化简得
2
20
0
a
a
解得
1
2
20,
0
a
a
（舍去）
所以，a 的值为20．
【点睛】本题考查了列分式方程解应用题、列一元二次方程解应用题，找准等量关系是解题的关键．
41．重庆1949 大剧院自建成开演以来，吸引不少外地游客前来观看，所有演出门票中，普通席和嘉宾席销
售最快，已知一张普通席的票价比一张嘉宾席的票价少40 元，一张普通席的票价与一张嘉宾席票价之和为
600 元．
(1)求普通席和嘉宾席两种门票单张票价分别为多少元？
(2)因为疫情原因，11 月份以来，外地游客人数减少，普通席票平均每天售出100 张，嘉宾席票平均每天售
出200 张．12 月份后，疫情得到有效控制，观看人数明显增加，为了吸引游客，剧院决定降低普通席的票
价，这样与11 月份相比，普通席票平均每天售价降低金额数是售出普通席普通票增加张数的2 倍，嘉宾席
的票价与11 月份保持不变，但平均每天售出嘉宾席票增加张数是12 月份售出普通席增加张数的
1
2 ，这样
12 月份两种票平均一共销售总额为99200 元，求12 月份普通席的票价是多少元？
【答案】(1)普通席280 元，嘉宾席320 元；
(2)160 元．
【分析】（1）设普通席单张票价为x 元，则嘉宾席单张票价为
40
x
元，根据题意可得方程
40
600
x
x
，
求解即可得到答案；
（2）设普通席普通票增加张数为a 张，根据题意可得方程：
1
280
2
100
320 200
99200
2
a
a
a
，
得到答案．
【详解】（1）解：设普通席单张票价为x 元，则嘉宾席单张票价为
40
x
元，
依题意得：
40
600
x
x
，
77
解之得：
280
x
，
∴嘉宾席单张票价为280
40
320
元，
答：普通席280 元，嘉宾席320 元．
（2）设普通席普通票增加张数为a 张，
则，依题意得：
1
280
2
100
320 200
99200
2
a
a
a
，
解之得：
60
a
，
∴12 月份普通席的票价是280
60 2
160
元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元二次方的应用，找准数量关系，能根据各数量之间的关系，
正确列出方程是解题得关键．
42．新型冠状病毒爆发时期，医疗防护物资严重匮乏，民众急需护目镜和N95 口罩．重庆某药店3 月初购
进了一批护目镜和N95 口罩，购进的N95 口罩数量是护目镜数量的3 倍．已知每个护目镜的售价比每个N95
口罩的售价多40 元，3 月底护目镜和N95 口罩全部销售完，据统计，护目镜的销售额为10000 元，N95 口
罩的销售额为6000 元．
（1）该药店3 月初购进了多少个护目镜？
（2）4 月份疫情得以缓和，该药店又购进以上两种医疗物资．该药店根据上月民众的需求和销售情况适当
调整了进货计划，购进的护目镜购进的数量与3 月份相同，但在运输过程中损耗了2%，导致受损的护目镜
无法销售，而N95 口罩数量比3 月份增加了5 %
2 a
．由于政府对医疗物资价格的调整，护目镜的售价比3 月
份降低了a%，N95 口罩的售价比3 月份降低了2 %
3 a
，4 月底售完这两种医疗物资后该药店的销售额达到了
15800 元，求a 的值．
【答案】（1）200 个；（2）12．
【分析】（1）设该药店3 月初购进了x 个护目镜，等量关系为：每个护目镜的销售价－每个N95 口罩的销
售价=40，根据此等量关系列出分式方程，解方程即可；
（2）等量关系为：4 月份护目镜的销售总额－4 月份N95 口罩的销售总额=15800，根据此等量关系列出关
于a 的方程，解方程即可求得a 的值．
【详解】（1）设该药店3 月初购进了x 个护目镜
由题意，得：10000
6000
40
3
x
x
解得：x=200
经检验x=200 是原方程的解，且符合题意
78
故该药店3 月初购进了200 个护目镜．
（2）由（1）知，该药店3 月初购进了200 个护目镜，600 个N95 口罩，护目镜每个的售价为10000÷200=50
（元），N95 口罩每个的售价为50-40=10（元），
由题意，得：
5
2
200
1 2%
50 1
%
600 1
%
10 1
%
15800
2
3
a
a
a
化简，得：
2
12
0
a
a
解得：a=12 或a=0（舍去）
∴a=12．
【点睛】本题是一个与销售有关的实际问题，考查了分式方程和一元二次方程的解法，关键是读懂题意，
找到等量关系，解分式方程时一定要检验．
题型08 一元二次方程根的实际应用---动态几何问题
43．如图，在ABC
中，
90
B
Ð
=
°，
12cm
AB
，
24cm
BC
，动点P 从点A 出发沿边AB 向点B 以2cm/s的
速度移动，同时动点Q 从点B 出发沿边BC 向点C 以4cm/s的速度移动，当P 运动到B 点时P，Q 两点同时停
止运动，设运动时间为st ．
(1) BP _________cm；BQ _________cm；（用含t 的代数式表示）
(2)若D 是AC 的中点，连接PD 、QD 、PQ ，当t 为何值时PDQ
的面积为
2
40cm ？
【答案】(1)
12
2t
，4t
(2)2s或4s
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系．
（1）根据速度时间路程，列出代数式即可；
（2）如图，过点D 作DH
BC
于H，利用三角形中位线定理求得DH 的长度；然后根据题意和三角形的
面积列出方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）根据题意得：
2 cm
AP
t
，
4 cm
BQ
t
，
所以
12
2 cm
BP
t
；
（2）如图，过点D 作DH
BC
于H，
79
∵
90
B
Ð
=
°，即AB
BC
，
∴AB
DH
∥
，
∴CDH
CAB
∽
∴CD
DH
CH
AC
AB
BC
又∵D 是AC 的中点，
∴
1
2
CD
DH
CH
AC
AB
BC
∴
1
12cm
2
BH
BC
，
12
6cm
DH
AB
，
∴
12
4 cm
QH
BH
BQ
t
∵PDQ
的面积为
2
40cm
∴
PBQ
DQH
PDQ
PBHD
S
S
S
S
梯形
∴
1
1
1
2
2
2
PDQ
DH
PB
BH
PB BQ
DH QH
S
∴
1
1
1
6
12
2
12
12
2
4
6 12
4
40
2
2
2
t
t
t
t
整理得
2
6
8
0
t
t
，
解得：1
2
t
，2
4
t
，
∴当
2
t
或4 时，PDQ
的面积是
2
40cm ．
44．如图，Rt
ABC
△
中，
90
B
Ð
=
°，
6cm
AB
，
8cm
BC
．
(1)如图1，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm/s的速度移动（到达点B 即停止运动），点Q 从B 点开始沿BC
边向点C 以2cm/s的速度移动（到达点C 即停止运动）．如果点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发．
80
①经过多少秒钟，PBQ
的面积等于
2
8 cm ；
②线段PQ能否将ABC
分成面积为1:3的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由；
(2)如图2，若P 点沿射线AB 方向从A 点出发以1cm/s 的速度移动，点Q 沿射线CB 方向从C 点出发以2cm/s的
速度移动，P ，Q 同时出发，直接写出几秒后，PBQ
的面积为
2
1cm ．
【答案】(1)①2 秒或4 秒；②
3
3
秒
(2)
5
2
秒或5 秒或
5
2
秒
【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，
（1）①由三角形的面积公式可求解；
②分两种情况讨论，由题意列出方程可求出答案；
（2）分三种情况：①点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上
0
4
x
，②点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB
的延长线上时，③点P 在线段AB 的延长线上，点Q 在线段CB 的延长线上时，由三角形面积公式可得出答
案；
运用分类讨论的思想是解题的关键．
【详解】（1）解：①设经过x 秒钟，PBQ
的面积等于
2
8cm ，
由题意，AP
x
，
2
BQ
x
，
∴
6
BP
AB
AP
x
，
∴
1
1
6
2
8
2
2
BP BQ
x
x
，
解得：
1
2
x
，
2
4
x
，
∴经过2 秒或4 秒钟，PBQ
的面积等于
2
8 cm ；
②设经过y 秒，线段PQ能将ABC
分成面积为1:3的两部分，由题意得：
1）
1
4
PBQ
ABC
S
S
，即：
1
1
1
6
2
6 8
2
4
2
y
y
，
∴
2
6
6
0
y
y
，
解得：
1
3
3
y
（不合题意，舍去），
2
3
3
y
；
2）
3
4
PBQ
ABC
S
S
，即：
1
3
1
6
2
6 8
2
4
2
y
y
，
∴
2
6
18
0
y
y
，
81
∵
2
6
4 1 18
36
0
，
此方程无实数根，即这种情况不存在；
综上所述，经过
3
3
秒时，线段PQ能将ABC
分成面积为1:3 的两部分；
（2）设经过t 秒，PBQ
的面积为
2
1cm ，可分三种情况：
①点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上时
0
4
t
，
此时
6
BP
AB
AP
t
，
8
2
BQ
BC
CQ
t
，
∴
1
1
6
8
2
1
2
2
BP BQ
t
t
，
∴
2
10
23
0
t
t
，
解得：1
5
2
t
（舍去），2
5
2
t
；
②点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 的延长线上时
4
6
t
，
此时
6
BP
AB
AP
t
，
2
8
BQ
CQ
BC
t
，
∴
1
1
6
2
8
1
2
2
BP BQ
t
t
，
∴
2
10
25
0
t
t
，
解得：1
2
5
t
t
；
③点P 在线段AB 的延长线上，点Q 在线段CB 的延长线上时
6
t
，
此时
6
BP
AP
AB
t
，
2
8
BQ
CQ
BC
t
，
∴
1
1
6
2
8
1
2
2
BP BQ
t
t
，
∴
2
10
23
0
t
t
，
解得：1
5
2
t
，2
5
2
t
（舍去）；
综上所述，经过
5
2
秒或5 秒或
5
2
秒后，PBQ
的面积为
2
1cm ．
45．如图1，矩形ABCD纸片，
4cm
AB
，
3cm
BC
，动点P ，Q 分别从点A 同时出发，均以1cm / s 的速
度，点P 沿AB
BC
方向，到终点C 停止运动：点Q 沿AD
DC
方向，到终点C 停止运动，连接PQ，将矩
形ABCD在PQ左下方的部分纸片沿PQ折叠得到如图2 ，设点P 运动的时间为(s)
x
，重叠部分图形的面积为
2
cm
y
．
82
(1)当点A 落到CD 边上时，求x 的值；
(2)求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
(3)当
3
x
时，若ACD
以CD 为腰的等腰三角形，直接写出x 的值．
【答案】(1)
3
x
；
(2)
2
2
1
0
3
2
9 3
4
2
1
49
7
4
7
2
2
x
x
y
x
x
x
x
；
(3) 3
23
2
或
7
31
2
．
【分析】（1）当点A 落到CD 边上时，则点Q 与点D 重合，从而有
3
AP
AD
，即可求出x 得值；
（2 ）分①当0
3
x
时，②当3
4
x
时，③当4
7
x
时情况讨论即可求解；
（3 ）当
3
4
x
①
时（i ）
4
DA
DC
时，
（ii ）CA
DC
4
7
x
②
时（i ）
4
DA
DC
时，
（ii ）CA
DC
，
讨论即可求解；
此题考查了矩形的折叠与动点，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键．
【详解】（1）当点A 落到CD 边上时，
则点Q 与点D 重合，
∴
3
AP
AD
，
∴
3 1
3
x
；
83
（2）①当0
3
x
时，如图，
2
1
1
2
2
y
AP
AQ
x
，
②当3
4
x
时，如图，
2
2
1
1
9
3
2
2
2
y
PE
，
③当4
7
x
时，如图，
2
2
2
1
1
1
49
7
7
2
2
2
2
y
PC
x
x
x
，
综上可知：
2
2
1
0
3
2
9 3
4
2
1
49
7
4
7
2
2
x
x
y
x
x
x
x
；
（3）如图，
3
4
x
①
，
84
（i ）
4
DA
DC
时，即
2
2
2
3
4
x
x
，
整理得：
2
2
6
7
0
x
x
，
解得：
1
3
23
2
x
（舍去），
2
3
23
2
x
，
（ii ）CA
DC
，即
2
2
2
4
3
2
4
x
x
，
x 无解，
②如图，当4
7
x
，延长DC 交于点E ，
（i ）
4
DA
DC
时，即
2
2
2
3
4
x
x
，
解得：
1
3
23
2
x
，
2
3
23
2
x
，
以上解均不符合题意，
（ii ）CA
DC
，即
2
2
2
4
3
4
x
x
，
整理得：
2
2
14
9
0
x
x
，
解得：
1
7
31
2
x
（舍去），
2
7
31
2
x
，
综上可知：3
23
2
或
7
31
2
．
46．如图，在ABC
中，
90 ,
6 3cm,
6cm
B
AB
BC
，点P 从点A 出发，以每秒3cm的速度沿AB 匀
85
速运动，同时点Q 从点B 出发以每秒3cm 的速度沿B
C
A
匀速运动，当有一点停止运动时，另一点也
停止运动，设运动时间为t 秒．
(1)当
1
t 时，直接写出P，Q 两点间的距离．
(2)是否存在t，使得
BPQ
的面积是ABC
面积的5
12 ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
(3)当
BPQ
为直角三角形时，求t 的取值范围．
【答案】(1)
2 21cm
PQ
(2)存在，
1
t 或
6
10
t
(3)t 的取值范围为：0
2
t
或
18
5
t
【分析】（1）由勾股定理可求出答案；
（2）由题意知：
3 cm,
(6 3
3 )cm
BQ
t
BP
AB
AP
t
，由三角形面积公式可得出方程，解方程求出t
的值即可；
（3）分三种情况，①当
90
B
Ð
=
°时，②当
90
BPQ
，③当
90
BQP
时，画出图形，列出方程或不等
式求解即可．
【详解】（1）由题意知：
3 1
3cm,
6 3
3 1
5 3 cm
BQ
BP
AB
AP
，
∵
90
B
Ð
=
°，
∴
2
2
2
2
(5 3)
3
2 21(cm)
PQ
BQ
BP
；
（2）存在，
当点Q 在BC 上，
由题意知：
3 cm,
(6 3
3 )cm
BQ
t
BP
AB
AP
t
，
∴
2
2
1
1
3 3
3 (6 3
3 )
9 3 cm
2
2
2
BPQ
S
BP
BQ
t
t
t
t
，
又
2
1
1
6 3
6
18 3cm
2
2
ABC
S
AB
BC
，
86
∴
2
3 3
5
9 3
18 3
2
12
t
t
，
解得：
1
t 或
5
t
，
∵
5
t
时，Q 点在AC 上，经验证，不能满足
BPQ
的面积是ABC
面积的5
12 ，
当2
6
t
时，点Q 在AC 上，
1
1
5
(6 3
3 )
(18
3 )
18 3
2
2
12
BPQ
S
t
t
，
解得1
2
6
10,
6
10
t
t
（舍去），
综上可得，
1
t 或
6
10
t
；
（3）解：①当
90
B
Ð
=
°时，
3
6
3
6
0
t
t
t
，
解得：0
2
t
；
②当
90
BPQ
，如图，
∵PQ
BC
∥
，
∴AP
AQ
AB
AC
，
∵
2
2
2
2
(6 3)
6
12
AC
AB
BC
，
∴
3
12
6 3
t
AQ
，
∴
2
AQ
t
，
∴
12
2
QC
t
，
∴
6
12
2
18
2
BC
CQ
t
t
，
又∵
3
BC
CQ
t
，
∴18
2
3
t
t
，
87
解得：
18
5
t
；
③当
90
BQP
时，如图，
这种情况是不存在；
综上，t 的取值范围为：0
2
t
或
18
5
t
．
【点睛】本题考查三角形综合题，考查了勾股定理三角形的面积，直角三角形的判定等知识，解题的关键
是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题．
47．如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，AD＝8，E 是AC 的中点，动点P 从点A 出发，沿AB 方向以每
秒1 个单位的速度向终点B 运动，同时动点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位的速度先沿BC 方向运动到点
C，再沿CD 方向向终点D 运动，以EP、EQ 为邻边作平行四边形PEQF，设点P 运动的时间为t 秒（0＜t
＜8）
(1)当t＝1 时，试求PE 的长；
(2)当点F 恰好落在线段AB 上时，求BF 的长；
(3)在整个运动过程中，当▱PEQF 为菱形时，求t 的值．
【答案】(1)
5
PE
(2)
2
BF
(3) 8
3 或16
3
【分析】（1）作EM⊥AB 于M，由正方形的性质和已知条件得出AB=BC=CD=AD=8，证出EM∥BC，得出
EM 是△ABC 的中位线，由三角形中位线定理得出EM=
1
2 BC=4，当t=1 时，AP=1，求出PM=AM-AP=3，再
88
由勾股定理求出PE 即可；
（2）由平行四边形的性质得出PF=EQ，PF∥EQ，当点F 恰好落在线段AB 上时，得出EQ⊥BC，Q 为BC
的中点，得出EQ 是△ABC 的中位线，由三角形中位线定理得出EQ=
1
2 AB=4，求出PF=4，AP=2，即可求
出BF 的长；
（3）由菱形的性质得出PE=PQ，分四种情况：①当0＜t≤2 时，作EM⊥AB 于M，EN⊥BC 于N；②当2
＜t≤4 时；③当4＜t≤6 时，作EM⊥AB 于M，EN⊥BC 于N；④当6＜t≤8 时；分别由勾股定理得出方程，
解方程即可．
【详解】（1）作EM
AB
于交AB 于点M，如图1 所示：
∵四边形ABCD是正方形，E 是对角线AC 的中点，
∴
8,
4
AB
BC
CD
AD
AM
BM
AB
，
∴EM 是ABC
的中位线，
∴
1
4
2
EM
BC
，
当
1
t 时，
1
AP ，
∴
3
PM
AM
AP
，
∴
2
2
2
2
3
4
5
PE
PM
EM
（2）∵四边形PEQF 是平行四边形，
∴
,
∥
PF
EQ PF
EQ ，
当点F 恰好落在线段AB 上时，PF
BC
，
∴EQ
BC
，
∴Q 为BC 的中点，
∴EQ 是ABC
的中位线，
1
4
2
BQ
BC
，
∴
1
4
2
EQ
AB
，
89
∴
4
PF
，
∵动点Q 从点B 出发，以每秒2 个单位的速度先沿BC 方向运动到点C，
∴
4
2
2
t
，
∴
2
AP
∴
2
BF
AB
AP
PF
（3）当PEQF 为菱形时，PE
PQ
，分四种情况：
①当0
2
t
时，作EM
AB
于M，EN
BC
于N，如图2 所示：
∵
2
2
2
2
2
2
,
PE
PM
EM
EQ
QN
EN ，
∴
2
2
2
2
(4
)
4
(4
2 )
4
t
t
，
解得：
0
t
（舍去），或
8
3
t
（舍去）；
②当2
4
t
时，
同①得：
2
2
2
2
(4
)
4
(2
4)
4
t
t
，
解得：
0
t
（舍去），或
8
3
t
∴
8
3
t
③当4
6
t
时，作EM
AB
于M，EN
BC
于N，如图3 所示：
90
∵
2
2
2
2
2
2
,
PE
PM
EM
EQ
QN
EN ，
∴
2
2
2
2
(
4)
4
(12
2 )
4
t
t
，
解得：
16
3
t
或
8
t
（舍去），
∴
16
3
t
④当6
8
t
时，
同③得：
2
2
2
2
(
4)
4
(2
12)
4
t
t
，
解得：
16
3
t
（舍去）或
8
t
（舍去）；
综上所述：在整个运动过程中，当PEQF 为菱形时，t 的值为8
3 或16
3 ．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、三角形中位线定
理、菱形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要通过作辅助线进行分类讨论，
运用勾股定理得出方程才能得出结果．
48．已知，如图：在直角坐标系中，正方形AOBC 的边长为4，点D，E 分别是线段AO，BO 上的动点，D
点由A 点向O 点运动，速度为每秒1 个单位，E 点由B 点向O 点运动，速度为每秒2 个单位，当一个点停
上运动时，另一个点也随之停止，设运动时间为t（秒）
(1)如图1，当t 为何值时，△DOE 的面积为6；
(2)如图2，连接CD，与AE 交于一点，当t 为何值时，CD⊥AE；
(3)如图3，过点D 作DG∥OB，交BC 于点G，连接EG，当D，E 在运动过程中，使得点D，E，G 三点
构成等腰三角形，求出此时t 的值
【答案】(1)3
7
(2) 4
3
(3)0，1.6，0.8，1
91
【分析】（1）先表示出OE，OE，利用△DOE 的面积为6 建立方程求解即可得出结论；
（2）先判断出∠ACD=∠OAE，进而利用AAS 判断出△AOE≌△CAD，得出AD=OE 建立方程求解即可得出
结论；
（3）分DG=DE，GE=DE，DG=EG 三种情况进行分类讨论．
【详解】（1）由题意知，AD=t，BE=2t，OA=4,
∴OD=4-t，OE=4-2t，
∴
1
4
2
4
6
2
DOE
S
OE OD
t
t
，
∴
2
6
2
0
t
t
，
∴
3
7
t
或
3
7
t
＞2（舍），
即当t 为3-
7 秒时，△DOE 的面积为6；
（2）如图2，当CD⊥AE 时，此时，∠ACD+∠CAF=90°，
∵∠CAF+∠OAE=90°，
∴∠ACD=∠OAE，
∵∠AOE=∠CAD=90°，OA=AC，
∴△AOE≌△CAD（AAS），
∴AD=OE，
∴t=4-2t，
∴t= 4
3 ；
即所求t 值为4
3 ；
（3）∵四边形OACB 是正方形，DG
OB
∥
，
∴可得四边形OBGD 是矩形，
∴OB=DG=4，OD=BG=4-t，
92
①如图3，当EG=DG=4 时，
在Rt△BEG 中，
2
2
2
BE
BG
GE
，
∴
2
2
2
2
4
4
t
t
，
∴
2
5
8
0
t
t
，
∴t=0 或t=1.6；
②如图4，当DE=DG=4 时，
在Rt△ODE 中，
2
2
2
OE
OD
DE
，
∴
2
2
4
2
4
16
t
t
，
∴t=0.8 或t=4＞2（舍），
如图5，当DE=GE 时，
∵OD=BG，∠DOE=∠GBE=90°，
∴△ODE≌△BGE，
∴OE=BE，
∴2t=2，
∴t=1，
93
综上所述t 的值为：0、1.6、0.8、1．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的面积公式，
用方程的思想解决问题是解本题的关键．
49．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P 从点A 出发，沿AC 以每秒2 个单位长度的
速度向终点C 运动，过点P 作PQ⊥AB 于点Q，将线段PQ 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PR，连接QR．设
四边形APRQ 与Rt△ABC 的重叠部分的面积为S，点P 的运动时间为t（t＞0）秒．
(1)线段AP 的长为
（用含t 的代数式表示）．
(2)当点R 恰好落在线段BC 上时，求t 的值．
(3)求S 与t 之间的函数关系式．
(4)当△CPR 为直角三角形时，直接写出t 的值．
【答案】(1)2t
(2)
2
t
(3)
2
2
2
0
2
5
18
18 2
3
2
t
t
S
t
t
t
(4)2 或3
2
【分析】（1）根据路程＝速度×时间即可求解；
（2）先求出CP 的长，然后证明△APQ 和△CPR 都是等腰直角三角形，利用勾股定理和旋转的性质求解即
可；
（3）分点R 在△ABC 内部（包括边上），R 在△ABC 外部两种情况讨论求解即可；
（4）分∠PCR=90°和∠CRP=90°两种情况讨论求解即可；
【详解】（1）解：根据路程＝速度×时间可得：
2
AP
t
，
故答案为：2t ；
（2）解：∵AC=6，AP=2t，
94
∴CP=AC-AP=6-2t，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵PQ⊥AB，
∴∠APQ=45°=∠A，
∴AQ=PQ，
在Rt△APQ 中，由勾股定理得：
2
2
2
AQ
PQ
AP
，
∴
2
2
2PQ
AP
，
∴
2
2
2
PQ
t
，
由旋转的性质可知∠QPR=90°，PQ=PR，
∴∠CPR=45°，
∴∠CRP=45°=∠CPR，
∴CP=CR，
同理可得
2
2
2CP
PR
，
∴
2
2
2 6
2
2
t
t
，
解得
2
t
或
6
t
（舍去）；
（3）解：当R 在△ABC 内部（包括边上），即0
2
t
时，
∴
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
APQ
PQR
APRQ
S
S
S
S
AQ PQ
PQ PR
t
t
t
t
t
△
△
四边形
；
当R 在△ABC 外部，即2
3
t
时，
由（2）可知∠FER=∠CEP=45°，∠R=45°，
∴∠EFR=90°，即△EFR 是等腰直角三角形，
∴EF=RF，
由（2）得
2
2 6
2
PE
CP
t
，
2
PR
PQ
AQ
t
，
95
∴
3 2
6 2
ER
PR
PE
t
，
∴
2
3
6
2
EF
RF
ER
t
，
∴
2
2
2
1
5
2
3
6
18
18
2
2
EFR
AQRP
S
S
S
t
t
t
t
△
四边形
，
综上所述，
2
2
2
0
2
5
18
18 2
3
2
t
t
S
t
t
t
；
（4）解：当∠PCR=90°，△CPR 是直角三角形时，由（2）可知此时R 在BC 上，则t=2；
当∠CRP=90°，△CPR 是直角三角形时，
同理可证△CPR 是等腰直角三角形，
∴
2
2
CR
PR
PQ
AQ
CP
，
∴由（2）可知
2
2
2
6
2
2
2
t
t
，
解得
3
2
t
，
综上所述，当△CPR 为直角三角形时，t 的值为2 或3
2
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，列函数关系式，熟
知相关知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
50．如图直角坐标系中直线AB 与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于A ，B 两点，已知
0,4
B
，
30
BAO
，P ，
Q 分别是线段OB ，AB 上的两个动点，P 从O出发以每秒3 个单位长度的速度向终点B 运动，Q 从B 出发以
每秒8 个单位长度的速度向终点A 运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间
96
为t （秒）．
(1)求线段AB 的长，及点A 的坐标；
(2)t 为何值时，
BPQ
的面积为2 3 ；
(3)若C 为OA的中点，连接QC ，QP ，以QC ，QP 为邻边作平行四边形PQCD ．是否存在时间t ，使x 轴
恰好将平行四边形PQCD 的面积分成1:3 两部分，若存在，求出t 的值．
【答案】(1)
8
AB
，
4 3,0
A
(2)t 为1秒或1
3 秒
(3)存在，t 为2
5 秒
【分析】（1）先确定出
4
OB
，再用含30角的直角三角形的性质即可得出结论；
（2）先确定出HQ ，再利用三角形面积公式建立方程求解即可得出结论；
（3）先确定点E 是PD的中点，，再利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵
0,4
B
，
∴
4
OB
，
在Rt AOB
中，
30
BAO
，
∴
2
8
AB
OB
，
∴
2
2
2
2
8
4
4 3
AO
AB
BO
，
∴
4 3,0
A
．
∴线段AB 的长为8，点A 的坐标为
4 3,0 ．
97
（2）如图，过点Q 作QH
OB
于点H ，
∴HQ
x
轴，
BHQ
△
是直角三角形，
∴
30
BQH
BAO
，
∵P 从O出发以每秒3 个单位长度的速度向终点B 运动，Q 从B 出发以每秒8 个单位长度的速度向终点A 运
动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t 秒，
∴
3
OP
t
，
8
BQ
t
，
∴
4
3
BP
OB
OP
t
，
在Rt BHQ
中，
30
BQH
，
∴
1
1 8
4
2
2
BH
BQ
t
t
，
∴
2
2
2
2
8
4
4 3
HQ
BQ
BH
t
t
t
，
∵
BPQ
的面积为2 3 ，
∴
1 4 3
4 3
2 3
2
t
t
，
∴1
1
t ，2
1
3
t
．
∴
1
t 秒或1
3 秒时，
BPQ
的面积为2 3 ．
（3）如图，连接PC 、DQ ，过点Q 作QH
OB
于点H ，
∵四边形CDPQ 是平行四边形，
∴
PCQ
PCD
S
S
△
△
，点F 是PC 和DQ 的中点，
∵x 轴恰好将平行四边形PQCD 的面积分成1:3 两部分，
∴
1
2
PCE
DCE
PCD
S
S
S
△
△
△
，
∴点E 是PD的中点，
∴点E 的纵坐标为0 ，
98
∵
3
OP
t
，
∴
0,3
P
t ，
∴点D 的纵坐标为3t
，
∵C 为OA的中点，
4 3,0
A
，
∴
4 3,0
C
，
∵点F 是PC 和DQ 的中点，
∴
3
2 3, 2
F
t
，
∴点Q 的纵坐标为6t ，
由（2）可知：
4
BH
t
，
∴
4
4
OH
OB
BH
t
，
∴点Q 的纵坐标为4
4t
，
∴6
4
4
t
t
，
∴
2
5
t
．
∴当t 为2
5 秒时，x 轴恰好将平行四边形PQCD 的面积分成1:3 两部分．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查含30角的直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形中线的
性质，中点坐标，平行四边形的性质，勾股定理，一元二次方程，一元一次方程等知识．用方程的思想解
决问题是解答本题的关键．
