文档内容
专题 03 一元二次方程中含参数问题的五类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用一元二次方程的定义求参数
类型二、一元二次方程的解求参数的值
类型三、一元二次方程的解求代数式的值
类型四、根据一元二方程根的情况求参数
类型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数
压轴专练
类型一、利用一元二次方程的定义求参数
1.依据一般形式ax2 + bx + c = 0（a≠0），明确二次项系数不能为零，通过此限制条件构建关于参数
的不等式或方程，求解得出符合要求的参数值 ；
2.结合方程中各项次数特征，确保未知数最高次数为 2 ，当方程含有参数指数形式时，利用次数关系
列方程求解参数，同时要兼顾二次项系数条件进行验证。
例1．若 是关于x的一元二次方程，则m的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方
程的定义得 ，求出 的值即可．
【详解】解：若 是关于 的一元二次方程，则 ，
解得 ．
故答案为：1．
【变式1-1】若关于x的方程 是一元二次方程，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程
叫一元二次方程”，利用一元二次方程的定义，可得出 ．【详解】解：关于x的方程 是一元二次方程，
∴ ．
故答案为： ．
【变式1-2】若 是关于x的一元二次方程，则m的值是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，
根据定义可知 ，且 ，求出解即可．
【详解】∵ 是一元二次方程，
∴ ，且 ，
解得 或 ，且 ，
∴ ．
故答案为：3．
【变式1-3】若关于 的方程 是一元二次方程，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据定义可知 且
，从而解得答案．
【详解】解： 是一元二次方程
且
故答案为：
类型二、一元二次方程的解求参数的值
1. 将方程的解代入原方程，使方程等式成立，得到关于参数的方程，进而求解参数。
2. 若已知一元二次方程的两个解，可利用根与系数的关系（韦达定理），即两根之和等于一次项系数
与二次项系数比值的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比值，建立参数方程组，从而确定参
数的值。例2．已知一元二次方程 的一根为 ，则a的值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是把方程的解代入原方程进行计算求解．把
代入方程计算即可求出k的值．
【详解】解：把 代入 ，得
，
解得 ．
故答案为：7．
【变式2-1】已知一元二次方程 的一个根为 ，则 的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义把 代入方程得到关于
m的方程 ，然后解此一次方程即可．
【详解】解：∵一元二次方程 的一个根为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
【变式2-2】已知 是关于 的一元二次方程 的一个根，则 的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查一元二次方程的解的定义，解题关键是直接代值．根据一元二次方程的解的定义直接代
值求解即可．
【详解】解：将 代入 ，
得 ，解得 ，
故答案为： ．
【变式2-3】已知 是关于 的一元二次方程 的一个根，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的定义，把 代入方程得 ，即得
，再根据 即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：∵ 是关于 的一元二次方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
类型三、一元二次方程的解求代数式的值
1. 将方程的解代入原方程，得到关于未知数与参数的等式，通过变形等式，整体代入目标代数式求
值；
2. 利用根与系数的关系（韦达定理），若已知一元二次方程两根，根据两根之和与两根之积的表达
式，对目标代数式进行拆分、重组，再代入计算，实现由方程的解向代数式值的转化。
例3．如果关于 的一元二次方程 的一个解是 ，则 ．
【答案】2025
【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．
利用一元二次方程解的定义得到 ，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 的一个解是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2025．
【变式3-1】已知 是一元二次方程 的一个根，则有 ．
【答案】0
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
把 代入一元二次方程计算即可．
【详解】解：把 代入方程 得 ．
故答案为：0．【变式3-2】已知 是方程 的一个根，则代数式 的值为 ．
【答案】2027
【分析】本题考查了一元二次方程根的概念，解决此题的关键是要熟练掌握整体代入求值．把 代入原方
程，再整体代入 即可；
【详解】解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式3-3】若 是方程 的一个实数根，则 的值为 .
【答案】4055
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将 代入原方程，可得出 ，再将其代入
中，即可求出结论．
【详解】解：将 代入原方程得： ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4055．
类型四、根据一元二方程根的情况求参数
1. 利用判别式Δ = b2 - 4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，有两个相等的实数根；
Δ<0时，无实数根，据此建立关于参数的不等式或方程求解。
2. 结合根与系数的关系（韦达定理），在已知根的数量及部分条件时，通过两根之和、两根之积的表
达式，联立方程确定参数取值。
例4．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程 的根与 有如下关系：① ，方程有两个不相等的实数根，② ，方程有两个相等的实数根，③ ，方程没
有实数根．由题意可得 ，计算即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题
的关键．
【详解】解：∵方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
【变式4-1】若关于x的一元二次方程 有实数根，则m的最大整数值是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
根据方程有实数根得出 且 ，求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有实根，
∴ 且 ，
解得： 且 ，
m的最大整数解为4．
故答案为：4．
【变式4-2】若关于x的方程 无解，那么实数c的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ，若
，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有两个相等的实数根，若
，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解；∵关于x的方程 无解，
∴关于x的方程 无解，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式4-3】关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，首先将方程化为一般形式，进一步利用根判别式求
解即可．解题的关键是掌握：式子 是一元二次方程 根的判别式，
方程有两个不等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程无实数根．
【详解】解：由 得： ，
∵关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ 且 ，
解得： 且 ，
即 的取值范围是 且 ．
故答案为： 且 ．
类型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数
b c
1. 对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0），若方程两根为x x，则x+x= - ，xx = ，直接将
1、 2 1 2 a 1 2 a
根的和与积的数值代入等式，构建关于参数的方程求解。
2. 结合判别式△= b2 - 4ac≥0，确保方程有实根，避免所求参数使方程无解，通过联立方程与不等式确
定参数的准确取值。
例5．已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围；(2)若 ，求一元二次方程的根；
(3)若方程两实数根为 ， ，且满足 ，求实数 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是
解题的关键．
（1）根据有两个不相等的实数根得到 ，解不等式即可得到答案；
（2）把 代入，解一元二次方程即可；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系求出 ，即可得到答案．
【详解】（1）解： 方程有两个不相等的实数根，
，
；
（2）解：把 代入，得 ，
，
解得 ；
（3）解： ， ，
，
解得 ．
【变式5-1】关于 的一元二次方程 有两个不等实根 ，
(1)求实数 的取值范围．
(2)若方程两实根 ， 满足 ，求 的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活
运用是解此题的关键．
（1）由题意可得 ，计算即可得解；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，结合题意可得
，计算即可得解．
【详解】（1）解：∵关于 的一元二次方程 有两个不等实根 ， ，
∴ ，
解得： ；
（2）解：由题意可得： ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 ，
∵ ，
∴ ．
【变式5-2】已知关于 的一元二次方程 满足 ．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若一元二次方程的两实根为 ， ，且 ，请确定 之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2) 或
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形
求值．（1）证明 即可得出方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系可得 ， ，根据 ，可得 ，
结合 可得 ，解出 的值即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是关于 的一元二次方程，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵方程 的两实根为 ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
整理得： ，
∴ 或 ，∴ 之间的数量关系为 或 ．
【变式5-3】关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)设此方程的两个根分别为 ，若 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元一次方程，熟练掌
握根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
（1）直接根据根的判别式证明即可；
（2）先根据根与系数的关系求出 的值，再代入 求解即可．
【详解】（1）证明：在方程 中， ，
则
因为任何数的平方都大于等于0，即 ，所以该方程总有两个实数根．
（2）解：由根与系数的关系可知， ，
将 代入上式得：
，
解得 ，经检验，当 时，原方程的分母 ，所以 的值为1．
一、单选题
1． 是关于 的一元二次方程，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到 ，进行求解即可．
【详解】解：∵ 是关于 的一元二次方程，
∴ ，
∴ ；
故选A．
2．若 是方程 的一个解，则 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．把 代入一元二次方程得到 ，然后解一次方程即可．
【详解】解：把 代入方程 得， ，
解得 ．
故选：B．
3．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数m的值为
A．4 B． C．2 D．【答案】D
【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴判别式 ，
解得：
故选：D．
4．设a，b是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且 ，则m的值为
（ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意
可得 ， ，由 可得 ，结合 求
出 或 ，由题意可得 ，求出
，即可得解．
【详解】解：∵a，b是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴由 可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ，
由题意可得 ，
解得： ，∴ ，
故选：B．
5．若关于x的一元二次方程 有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程 ( 为常数)的根的判别式 ，根据
一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程
有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确
保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴二次项系数 ，即 ．
令 ，即 ，
解得 ．
∴ 且
故选：C．
二、填空题
6．若关于x的方程 是一元二次方程，则m= ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是： （a，b，c是
常数且 ），特别要注意 的条件．根据题意列出关于m的等式求解即可．
【详解】解：根据题意可知
解得 ．
故答案为： ．7．若一元二次方程 无实数根，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】考查考查了一元二次方程的根的情况，解题关键是列出不等式求解．根据一元二次方程无实数根，
得到关于 的不等式求解．
【详解】解：∵一元二次方程 无实数根，
∴ ，解得： ，
故答案为： ．
8．已知 是一元二次方程 的一个根，则代数式 的值是 ．
【答案】2025
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解，根据一元二次方程解的定义得到 ，然后再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把 代入方程 ，得 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
9．若关于 的一元二次方程 的两根为 ，且 ，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与
系数的关系得到 ，即可得到答案．
【详解】解：由题意得： ，
，
，
，
，．
故答案为： ．
10．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式．
直接根据根的判别式计算即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
三、解答题
11．当 为何值时，方程
(1)是关于 的一元一次方程．
(2)是关于 的一元二次方程．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高
次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1的整式方程是一
元一次方程．
（1）根据题意得到 ， 或 ，进而求解即可；
（2）根据题意得到 ， ，进而求解即可；
【详解】（1）解：根据题意得， ， 或 ，
∴ 或 ；
（2）解：根据题意得， ，∴ ，
∴ ．
12．关于 的方程为 ， 为实数．
(1)判断方程根的情况．
(2)求整数 ，使原方程至少有一个整数根．
【答案】(1) 为任何实数，原方程均有实数根
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根．解题关键是掌握根的判别式及根定
义，分类讨论，是解题的关键．
（1）分类讨论，当 时， 或 ，方程为一元一次方程，一定有一个实数根；当 时，
利用根的判别式 ，则一元二次方程必有两个实数根；综合以上即可得证；
（2）至少有一实数根为整数，由两实数根 为整数，则 ， ，即可
求解．
【详解】（1）解：当 时， 或 ．
原方程为 ，或 ．有实数根．
当 时，
．有实数根．
综上， 为任何实数，原方程均有实数根．
（2）解：由（1），当 时，原方程有整数根．
当 时，
两根为 ．
即 ．若 是整数，
则 ．
∴ ．
取 ．
若 是整数，
则 ．
∴ ．
综上， ，原方程至少有一个整数根．
13．若关于x的一元二次方程 有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若a，b是关于x的一元二次方程 的两个根，且 ，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及
根与系数的关系是解题的关键；
（1）由题意易得 ，然后求解即可；
（2）由题意易得 ，然后根据完全平方公式可得 ，进而代入进行求
解即可
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴ ，
解得： ；
（2）解：由题意知： ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即：m的值为 ．
14．已知关于 的一元二次方程 （ 为常数）．
(1)求证：方程总有两个实数根．
(2)若 ， 为非负整数，且方程的两个实数根均为整数，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2) 或6或15
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及解方程，掌握公式准确计算是本题的解题关键．
（1）计算方程的判别式得出 即可证明结论；
（2）设方程 的两个根为 ， ，得 ， ．由求根公式得
．进而得 必须是整数．
设 （k为整数），则 ．可得 ，
即 ，由m，n，k均为整数，且p为非负整数，可得
，再验证即可求得答案．
【详解】（1）证明： ，
，
，， ，
，
方程 总有两个实数根；
（2）解： ，
，
设方程 的两个根为 ， ．
， ．
方程 的求根公式为 ．
，则 ．
因为方程的两个实数根均为整数，且p为非负整数，所以 必须是整数．
设 （k为整数），则 ．
当 （m，n为整数，且 ），两式相减得 ， ．
，
，
，
，
m，n，k均为整数，且p为非负整数，
，当 时， ，此时 ．
当 ， ， （舍负），
当 ， 时， ， ， （舍负），
其它情况不合题意，
综上， 的值为0或6或15．
15．已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围；
(2)若 ，求一元二次方程的根；
(3)若方程两实数根为 ， ，且满足 ，求实数 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是
解题的关键．
（1）根据有两个不相等的实数根得到 ，解不等式即可得到答案；
（2）把 代入，解一元二次方程即可；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系求出 ，即可得到答案．
【详解】（1）解： 方程有两个不相等的实数根，
，
；
（2）解：把 代入，得 ，
，
解得 ；
（3）解： ， ，，
解得 ．
