文档文本内容
第06 讲实际问题与一元二次方程
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 用一元二次方程解决增长率问题
题型2 用一元二次方程解决传播问题
题型3 用一元二次方程解决数字问题
题型4 用一元二次方程解决营销问题
题型5 用一元二次方程解决工程问题
题型6 用一元二次方程解决行程问题
题型7 用一元二次方程解决握手、循环赛问题
题型8 用一元二次方程解决与图形有关的问题
题型9 用一元二次方程解决动态几何问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
建模、传播问题、增长
率、面积、利润、检验
取舍。
1. 能根据实际问题中的数量关系列出一元二次方程，体会数学建模思想。
2. 掌握传播问题、增长率问题、面积问题、利润问题等常见模型。
3. 能根据实际问题背景检验方程解的合理性，并正确取舍。
4. 经历“问题—方程—解答”的过程，提高分析问题和解决问题的能力。
学习重点：分析实际问题中的等量关系，列出一元二次方程并求解。
学习难点：准确寻找隐含的等量关系，以及对求出的根根据实际意义进行取舍（如非负、整数等）。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 一元二次方程的实际应用
一．列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答(写出答案，切忌答非所问).
要点：列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.
二．一元二次方程应用题的主要类型
1.平均变化率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的
次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：平均增长率公式为(1
)n
a
x
b
(a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长
后的量.)
(2)降低率问题：平均降低率公式为(1
)n
a
x
b
(a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低
后的量.)
2.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，
它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、
9 之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单
位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上
数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
3.利息问题
(1)概念：
本金：顾客存入银行的钱叫本金. 利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.
期数：存入银行的时间叫期数.
利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.
(2)公式:利息=本金×利率×期数
利息税=利息×税率
本金×(1+利率×期数)=本息和
本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
4.利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
5.形积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的
面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
【易错提醒】
审清题意（增长率、面积、利润等）。注意方程的解要符合实际（如边长、人数为正）。检验取舍，勿保
留增根。单位要统一。
即时即练1.如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m ）围成中间隔有一道篱笆的
长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 边上用其他材料做了宽为1m 的两扇小门．若花圃
的面积恰好为
2
40 m ．
(1)求此时花圃AB 边的长；
(2)花圃的面积能达到
2
50 m 吗？若能，求出AB 边的长；若不能，请说明理由．
2.某商店销售某种商品，平均每天可售出20 件，每件盈利40 元，由于疫情滞销该店采取了降价措施，在每
件盈利不少于24 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1 元，平均每天可多售出2 件．
(1)若该商品经过两次降价后，每件可以获得的利润是32.4元，求这两次降价的平均降价率是多少？
(2)经调查，在每件盈利不少于24 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1 元，平均每天可
多售出2 件．若该商店每天预期销售利润为1232 元，则每件商品应降价多少元？
题型1 用一元二次方程解决增长率问题
【例1】某电冰箱生产企业原生产一台电冰箱的能耗为300kW h
，为了响应国家关于生产总值能源消耗降
低的号召，该企业自2022 年开始进行技术改革，到2024 年，该企业生产一台电冰箱的能耗降低到243kW h
．
(1)求该企业从2022 年到2024 年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率；
(2)若2025 年该企业生产一台电冰箱能耗的平均降低率与前两年相同，请计算2025 年该企业生产一台电冰
箱的能耗是多少？
【例2】习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．实验中
学为了给学生更加良好的阅读体验，决定加大图书购置经费的投入．前年投入图书购置经费2 万元，今年
投入图书购置经费2.42 万元．求该校这两年投入图书购置经费的年平均增长率．
【技巧归纳】
1. 设基础量：设起始量为a，增长率为x，则n 次后为a(1+x)n。
2. 列方程：根据末期量列式，如a(1+x)2 = b。
3. 取舍根：解得x 为正，负值舍去，注意单位统一。
【变式1-1】某海岛位于北纬30，全年气候温暖湿润，光照充足，非常适合种植柑橘．2022 年某合作社
种植“红美人”柑橘平均亩产量为800kg ，为了提高“红美人”柑橘产量，引进先进的种植技术，到2024 年
平均亩产量达到1352kg ．
(1)若2022 年到2024 年种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率相同，求种植“红美人”柑橘平均亩产量的
年增长率．
(2) 2025 年该合作社计划种植“红美人”柑橘面积10亩，每亩种植成本为3万元，为了扩大产量，决定增加“红
美人”柑橘种植面积．经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少0.1万元，求该合作社
应增加种植面积多少亩才保持种植总成本不变．
【变式1-2】习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．湘
江新区积极响应，着力打造的“十分钟阅读圈”，让近10万持证读者在新区步行十五分钟内必遇书香．据统
计，某智慧图书馆第一个周进馆125人次，进馆人次逐周增加，到第三个周末累计进馆875人次，若进馆人
次的周平均增长率相同．
(1)求进馆人次的周平均增长率；
(2)因条件限制，该智慧图书馆每周接纳能力不超过1200人次，在进馆人次的每周平均增长率不变的条件下，
校图书馆能否接纳第四周的进馆人次，并说明理由．
题型2 用一元二次方程解决传播问题
【例3】近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短
信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮
后共有111人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
【例4】某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个
支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每
个支干长出的小分支个数．
【技巧归纳】
1. 设传染源：每轮每传染x 人，首轮后共1+x 人，二轮后共(1+x)2 人。
2. 列方程：根据总人数或轮次列式(1+x)n = N。
3. 取舍根：x>0，若有分数或负数则舍去。
【变式2-1】某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治
疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1 人会传染x 人．若1 人患病，则经过两轮传染就共有81 人患病．
(1)每轮平均1 人会传染多少人？
(2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？
【变式2-2】鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发
现共有169 只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同．
(1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？
(2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？
题型3 用一元二次方程解决数字问题
【例5】已知两个连续正奇数的积是143，设其中较小的正奇数是x，可列方程
．
【例6】淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8 变成了15，则这两个正数
中，较大的正数是
．
【技巧归纳】
1. 设数位：个位十位分别设元，用10a+b 表示两位数。
2. 列方程：根据数字关系（如平方、乘积、调换位置）建立方程。
3. 解整数组：解得整数根，注意数位范围（0-9，首位非0）。
【变式3-1】2024 年11 月22 日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如
图是2024 年11 月的月历表，在月历表中用方框圈出9 个数字，若圈出的9 个数字中，最大数与最小数的
乘积为297，则最小的数为
．
【变式3-2】第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古
代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8 作为进
位基数的数字系统，有0 ~ 7 共8 个基本数字，八进制数换算成十进制数是：
3
2
1
0
8
10
(3745)
3 8
7 8
4 8
5 8
(2021)
，表示ICME-14的举办年份．
(1)把八进制数3751换算成十进制数是_________；
(2)小聪设计了一个n 进制数126，换算成十进制数是105，求n 的值．
题型4 用一元二次方程解决营销问题
【例7】某公司2 月份销售新上市的A 产品25 套，由于该产品的经济适用性，销售量快速上升，4 月份该
公司销售A 产品达到36 套．
(1)求该公司这两个月销售A 产品的月均增长率；
(2)若销售A 产品每套盈利2 万元，则平均每月可售30 套，为了尽快减少库存，该公司决定采用适当的降价
措施．调查发现，如果A 产品每套每降价0．1 万元，那么公司平均每月可多售出4 套．若该公司想在5 月
份获利70 万元，则每套A 产品应降价多少万元？
【例8】银川市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，
四月份售出75 个，六月份售出108 个，且从四月份到六月份的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)经市场调研发现，该品牌头盔如果每个盈利10 元，月销售量为500 个，若在此基础上售价每上涨1 元，
则月销售量将减少20 个，现在既要使月销售利润达到6000 元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌
头盔每个应涨价多少元？
【技巧归纳】
1. 设单价变化：设降价x 元，表示新单价与销量（如每降1 元多卖k 件）。
2. 列利润式：总利润=（单价－进价）×销量，化为方程。
3. 验取值：根需符合题意（销量正、售价非负），取舍合理。
【变式4-1】今年11 月份，某商场购进了一批T 侐和衬衣，商家用16000 元购买T 侐，12000 元购买衬衣，
每件T 恤和每件衬衣进价之和为100 元，且购进T 恤的数量是衬衣的2 倍．
(1)求商场购买T 恤和衬衣的进货单价；
(2)商场在销售过程中发现，当T 恤的销售单价为每件80 元，衬衣的销售单价为每件120 元时，平均每天可
卖出50 件T 恤，30 件衬衣，据统计，衬衣的销售单价每降低5 元，平均每天可以多卖出5 件．为减少库存，
商家在保证T 恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使T 恤和衬衣平均每天的总获利为4000
元，则每件衬衣的售价为多少元？
【变式4-2】某商场在去年年底以每台2500 元的进价购进一批某品牌洗衣机，今年1 月份以每台2900 元的
售价销售，1 月份销售量为200 台，二、三月份该品牌洗衣机销量持续走高，在售价不变的情况下，三月份
的销售量达到了288 台．
(1)求二、三月份该品牌洗衣机销售量的月平均增长率；
(2)从四月份起商场要进行内部的装修，现对已有的库存进行降价处理，经调查发现，当该品牌洗衣机售价
为2900 元时，平均每天售出8 台；而当售价每降低50 元时，平均每天就能多售出4 台．商场要想使这种
洗衣机的销售利润平均每天达到5000 元，每台洗衣机的售价应为多少元？
题型5 用一元二次方程解决工程问题
【例9】学校图书馆需将4800 本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲
计划每天比乙计划每天多整理100 本图书，且甲整理1200 本图书与乙整理1000 本图书的时间相等
(1)求甲计划每天整理多少本图书？
(2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多4a 本，最终
完成所用的时间比甲计划所需的时间少0.04a 天，求a 的值
【例10】列方程解下列问题：
某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉
礼盒数量的1.5 倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20 人时，当天加
工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400 个．
(1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？
(2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：m 名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种
腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加m 个，每名工人每天加工
甲种腊肉礼盒比以前增加2m 个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000 个，求m 的值．
【技巧归纳】
1. 设效率：设甲、乙单独完成需x、y 天，效率为
1
�、
1
�。
2. 列方程：根据合作时间、完成工作量列分式方程，化为整式方程。
3. 验根：解为正数，且检验分母不为零与时间合理。
【变式5-1】列方程解下列问题：
甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10 个，甲生产120 个该种零件的时间与乙生产100 个
该种零件的时间相同．
(1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？
(2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了
5 %
m
，乙每小时比原来多生产m 个零件，甲、乙两人同时工作m 小时共可以生产1500 个零件，求m 的值．
【变式5-2】“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔3200盒月饼的订单，现
决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工10天，乙组加工8 天就能完成这笔订单，且甲
组3 天加工的月饼数量比乙组2 天加工的月饼数量多300盒．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼；
(2)甲、乙两组同时开工2 天后，这笔订单临时又增加了500盒月饼，甲组从第3 天起提高了工作效率，而
乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工100盒月饼，则甲、
乙两组就各自都提前1 天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、
乙两组都提前多少天完成了这笔订单？
题型6 用一元二次方程解决行程问题
【例11】一个小球以5m / s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停止滚动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动5m用了多少秒（结果保留根号）？
（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度v （初速度与末速度的算术平均数）与路程s，时间
t 的关系为s
vt
．）
【例12】如图，甲、乙从直径的两端点A 、B 分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路
程(cm)
l
与时间(s)
t
之间满足关系式
2
1
3
0
2
2
l
t
t t
，乙以4 cm / s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm 。
(1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？
(2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？
【技巧归纳】
1. 设速度或时间：根据路程=速度×时间列方程，常用未知数表示不同阶段的速度或时间。
2. 利用等量关系：如相遇、追及、返回时间相等，建立一元二次方程。
3. 舍去负根：解为正数，检验是否符合实际速度限制。
【变式6-1】如图，小岛D 在码头A 正东方向的80 海里处．已知当轮船甲从码头A 出发以40 海里/ 小时的
速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛D 出发以50海里/ 小时的速度向码头A 行驶．
(1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为50海里？
(2)若轮船甲给正南方向的小岛B 运送物质，当轮船甲到达小岛B 后，发现运送物质不足，此时行驶到C 处
的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿CB 方向前往小岛B 进行物质补充．若两艘轮船在上午7 时
出发，轮船乙在上午9时到达小岛B ，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？
【变式6-2】如图，某海军基地位于A 处，在其正南方向20 海里处有一重要目标B ，在B 的正西方向20 海
里处有一重要目标C ，小岛D 位于AC 的中点，岛上有一补给码头；一艘军舰从A 出发，经B 到C 匀速直线
巡航．
(1)为提前完成第一次巡航任务，军舰调整速度为原来的1.5 倍，结果提前2 h
3
到达目标C 处，求军舰原来的
速度是多少？
(2)在第二次军舰巡航时，一艘补给船同时从D 出发，沿南偏东方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已
知军舰航行的总路程是补给船的3 倍，军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处，那么相遇时补给船航
行了多少海里？
题型7 用一元二次方程解决握手、循环赛问题
【例13】九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1 场），嘉
嘉说：“本次比赛一共进行了40 场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40 场．”设有x 人报名参
加比赛．
(1)依据两人对话，乐乐列出方程：
1
1
40
2 x x
．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确；
(2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4 场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40 场，求x 的值．
【例14】某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45 次，则参加聚会的同学共有多少人？设
参加聚会的同学共有x 人．
(1)填空：根据题意，可列方程：；
(2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2 条，
多边形的对角线可以有27 条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由．
【技巧归纳】
1. 握手模型：n 人握手总次数
�(�−1)
2
= N。
2. 循环赛模型：n 队单循环总场次
�(�−1)
2
= N。
3. 双循环：n(n-1)=N。解得n 为正整数，舍负根。
【变式7-1】某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1 场）．乐
乐和淇淇针对这次比赛有如下对话：
(1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确；
(2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40 场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1 人身体不适，只
参加了4 场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x 的值．
【变式7-2】为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分
A、B 两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A 组、B 组
队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B 组比A 组队伍数多1 个．小组赛采取单循环赛制（即每支
队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2 名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜
一场得2 分，负一场得0 分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具
体如下：
(1)已知该校八年级共有10 个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分；
(2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112 分．求本次比赛参赛队伍个
数；
(3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162 分吗？若能，请求出此时参
赛的队伍数；若不能，请说明理由．
题型8 用一元二次方程解决与图形有关的问题
【例15】某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为
36
a
米的墙，另三边用总长为59 米的篱笆围
成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ，并在BC 边上留有一扇1 米宽的门．
(1)若围成的花圃面积为400 平方米，求AB 的长；
(2)能否使得围成的花圃面积为500 平方米？请说明你的理由．
【例16】综合与实践
项目主题：
劳动基地扩建方案
项目背景：
学校计划扩建一校园花坛，综合实践活动小组以设计“花园扩建方案”为主题开展了一次项目学习．
信息获取：（如图所示）
信息1：原花坛为矩形
25 m
15 m
ABCD
AB
BC
，
，
；
信息2：扩建后的新花坛仍为矩形AEFG
AE
，
的长度不能超过35 m
AG
，
的长度不能超过25 m ．
问题解决：
(1)若扩建后花园的面积为
2
600 m ，且BE
DG
，求AG 和AE 的长；
(2)当
3
DG
BE
时，扩建后花园的面积可以为
2
900 m 吗？请说明理由．
【技巧归纳】
1. 找面积/边长关系：用未知数表示图形边长，根据面积公式或勾股定理列方程。
2. 注意非负限制：边长、距离为正，舍去负数或零解。
3. 画示意图：标出已知与未知，明确等量关系。
【变式8-1】在一块长16m，宽12m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下
面分别是小华与小芳的设计方案．
(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条
件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由．
(2)你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，并写出你的设计方案．
【变式8-2】现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为30cm，20cm ．（纸板的厚度忽略不计）
(1)每个矩形硬纸板的四个角分别去掉2 个同样大小的长方形和2 个同样大小的正方形后，可以折叠成一个
有盖的长方体盒子（如图），已知该长方体盒子的底面积是
2
252cm ，求出该盒子的高；
(2)工厂将这些硬纸板全部做成有盖盒子出售．已知每块矩形纸板的成本为12 元，若有盖盒子的售价为24
元/个，则每天可售出18 个．在销售过程中发现，有盖盒子价格每降低1 元，平均每天可多售出2 个，要
使每天获利208 元，则每个有盖盒子应降价多少元？
题型9 用一元二次方程解决动态几何问题
【例17】如图所示，在四边形ABCD 中，AD
BC
∥
，
24cm
AD
，
30cm
BC
，点P 从A 向点D 以1cm/ s
的速度运动，到点D 即停止．点Q 从点C 向点B 以2cm / s 的速度运动，到点B 即停止，直线PQ将四边形ABCD
截得两个四边形，分别为四边形ABQP 和四边形PQCD ，
(1)则当P，Q 两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
(2)若
90
B
Ð
=
°，当
8cm
AB
时，直接写出经过______秒后，PQ
CD
．
【例18】如图，在
ABC
中，
90
B
Ð
=
°，
12cm
AB
，
24cm
BC
，动点P 从点A 开始沿着边AB 向点B
以2cm/s的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿着边BC 向点C 以4cm/s的速度移动（不与点
C 重合）．若P、Q 两点同时移动s
t
；
(1)当移动几秒时，
BPQ
的面积为
2
32cm ．
(2)设四边形APQC 的面积为
2
cm
S
，当移动几秒时，四边形APQC 的面积为
2
108cm ？请说明理由．
【技巧归纳】
1. 设运动时间t：用t 表示动点位置、线段长度。
2. 列几何方程：根据面积、勾股或相似条件建立一元二次方程。
3. 验根：解出t，需在运动时间范围内且长度非负。
【变式9-1】如图，在正方形ABCD 中，
4cm
AB
，点P 从点B 出发沿BC 以2cm / s 的速度向点C 运动，
同时点Q 从点C 出发，以1cm / s 的速度沿CD 向点D 运动，当点P 到达终点后，P，Q 两点同时停止运动．设
点P 运动的时间为t s．
(1)问当t 为多少时，
2
AP
PQ
？
(2)连接AQ ，是否存在时间t，使得
4
APQ
S
△
？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【变式9-2】如图，在四边形ABCD 中，
,
90 ,
4cm,
7cm
AD
BC
B
AB
AD
∥
，
11cm
BC
点P 从点A
出发，以1cm/ s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以2cm / s 的速度向点B 运动，规定其中一个动
点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒.
(1)当t 时，PQ平分四边形ABCD 的面积.
(2)当PQ与四边形ABCD 的某一边平行时，求t 的值.
(3)连接BP ，是否存在BPQ
为等腰三角形？若存在请求出t 值，若不存在，说明理由.
一、单选题
1．随着“云花”品牌全球影响力不断提升，一朵朵鲜切花源源不断地走向国际市场．据昆明海关统计，2023
年云南省鲜切花出口值达5.7 亿元，2025 年云南省鲜切花出口值达12.2 亿元．如果设这两年出口值的年平
均增长率为x，那么根据题意可列方程为（
）
A．
2
5.7 1
12.2
x
B．
2
5.7 1
12.2
x
C．
2
5.7 1
12.2
x
D．
5.7 1
2
12.2
x
2．2026 苏超是江苏足球的“超”级盛宴，它已不只是赛事，而是江苏体育新IP，城市文化新载体，消费升级
新引擎，让足球回归大众，在这个足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了78 场．设
共有x 个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（
）
A．
1
78
x x
B．
1
78
x x
C．
1
1
78
2 x x
D．
1
1
78
2 x x
3．春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长64 m
，宽40 m
的矩形场地建
设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广
场总面积的75% ，求小路的宽．设小路的宽为
m
x
，则可列方程为（
）
A．
64
2
40
64 40 75%
x
x
B．
40
2
64
64 40 75%
x
x
C．
2
64
2 40
2
64 40 75%
x
x
x
D．
64
2 40
64 40
1 75%
x
x
4．把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或
③所示的正方形．若矩形纸片的长为m ，宽为n ，四边形EFGH 的面积等于四边形ABCD面积的2 倍，则m
n
（
）
A．2
2
3
B．1
3
2
C．2
3
2
D．1
3
2
二、填空题
5．某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55 场．若
设有x 名选手参加比赛，可列方程为_______．
6．太谷饼是山西晋中极具代表性的传统糕点，是“山西八大名点”之一，以香、酥、绵、软的独特口感闻名，
距今已有近400 年历史，更是国家地理标志保护产品．某经销部门看中其市场潜力，以每盒20 元的价格从
太谷本地厂家购进一批礼盒装太谷饼；据市场分析，若按每盒30元销售，一天能售出500盒，销售单价每
上涨1元，日销售量就减少20 盒．要使日销售利润为6000 元，销售单价应定为多少元？设销售单价为x ，
可列方程：___________．
7．学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为10 m
的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若
要使总长为20 m
的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为
2
48 m
，则AD 的长为__________ m．
8．一个矩形内放入两个边长分别为3cm 和4cm 的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方
形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为
2
8cm ；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖
的部分的面积为
2
11cm ，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的
面积为________．
三、解答题
9．我校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安
排9 天，每天安排5 场比赛．比赛组织者应邀请多少个队参赛．
10．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m ，宽为18m ，停车场内车道的宽都相等，若停
车位的占地面积为
2
320m ，求停车场内车道的宽度？
11．一敌方军舰以20 海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30 海里/时的速度由北向南航行，它能侦
察出周围50 海里（包括50 海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至A 处时，我方侦察船正
位于A 处正北方向的B 处，且
90
AB
海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么
航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？
12．为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域（长方形ABCD），两面靠墙（AD 位
置的墙最大可用长度为27m ，AB 位置的墙最大可用长度为15m ），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，
分成两个场地及一处通道，并在如图所示的HE
GF
HG
、
、
三处各留0.5m 0.5m 2m
、
、
宽的门（不用栅栏）．建
成后栅栏总长45m．
(1)若活动区域（长方形ABCD ）的一边CD 长为10m ，则另一边BC
m．
(2)若活动区域（长方形ABCD ）的面积为
2
165m ，求边CD 的长．
13．为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌
扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：10月
份售出300套，12月份售出432 套．
(1)若月增长率相同，求该品牌边刷套装11 12
、两个月销售量的月均增长率；
(2)该品牌边刷套装每套进货价为30 元．调查发现，当销售价为40 元时，月均销售量为600 套；而当销售价
每上涨1元时，月均销售量将减少10套．为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该
品牌边刷套装的销售价应定为多少元？
14．某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效
率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400 件快递，乙分拣机每小时能分拣500 件快递．
(1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11 小时，要确保分拣的快递总数不少于5000
件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？
(2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8 小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算
法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a 件（
0
a
），且每天比原计划少工作2a 小时；
乙分拣机每小时比原计划多分拣100 件，每天比原计划少工作a 小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快
递6000 件，求a 的值．
15．如图，在
ABC
中，
90 ,
40cm
ACB
AC
，
30cm
BC
．点P 在边AC 上，以4cm/s的速度由点A 向
点C 运动，同时，点Q 在边CB 上，以2cm/s的速度由点C 向点B 运动，当一个点到达终点时，两个点同时
停止运动．设运动时间为s
t ．
(1)当
5
t
时，求
PQC
△
的面积．
(2)当
PQC
△
的面积为
2
64cm 时，求t 的值．
(3)
PQC
△
的面积能否达到
2
120cm ？若能，求出t 的值；若不能，说明理由．
