FY25暑假初二B04根的判别式及其应用学生版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初二_志高_学生版PDF

04B 根的判别式及其应用 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）根的判别式的概念与形式 （2）判别式的主要应用 （3）判别式的复杂应用 2. 考情分析 （1）根的判别式是一元二次方程的部分，属于方程与代数式板块，占中考考分值约15% （2）主要考察根的判别式的概念，以选择题、填空题为主，根的判别式的应用以解答题为 主。 （3）对应教材：八年级上册第十七章一元二次方程第二节 17.3 一元二次方程根的判别式。 （4）根的判别式是一元二次方程中重要的知识点，可以通过根的判别式在不解方程的情况 下判断出根的个数情况，也可以在已知根的情况之下求出方程中所含字母的取值范围． 本节重点能运用根的判别式，判别方程根的情况，会运用根的判别式求一元二次方程中字母 系数的取值范围。 1知识加油站 1——根的判别式的概念与形式 考点一：根的判别式的值 知识笔记1 根的判别式的概念 一元二次方程根的判别式：我们把b2 −4ac叫做一元二次方程ax2 +bx+c=0(a0)的根的 判别式，通常用符号“”表示，记作_____________． 例题1: （1） (2022•徐汇区期末）方程3x2 +4x−2=0的根的判别式的值为_____. （2） (2023•青浦区期末）一元二次方程x2−2x−5＝0的根的判别式的值是_____. 练习1: （1） 一元二次方程2x2 −3x−4=0根的判别式的值等于_______． （2）（2022•宝山期中）方程3x2+2x=4的根的判别式的值为_______． 考点二：根据根的判别式的判断根的情况 知识笔记2 根的判别式的形式 一元二次方程ax2 +bx+c=0(a0)， （1）当____________时，方程有两个___________的实数根； （2）当____________时，方程有两个___________的实数根； （3）当____________时，方程________________． 2例题2: （1）（2023•普陀期末）在下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根是( ) A．x2−3x−1=0 B．3x2−x+1=0 C．x2+3=0 D．x2−4x+4=0 （2）（2022•青浦区实验中学期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是( ) 1 A．x2 + = x B．(x−2)2 =5 C．x2 +2x=0 D．2x2 − 2x+1=0 4 （3）下列一元二次方程中无实数根的是( ) A．x2 =2x B．(x+1)(x+3)=0 C．(x−2)2 =5 D．x2 −x+1=0 练习2: （1）关于一元二次方程2x2 −5x=2的根的判定中，正确的是( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 （2）（2020•长宁区期末）下列一元二次方程中无实数根的是( ) A．x2 =2x B．(x+1)(x+3)=0 C．(x−2)2 =5 D．x2 −x+1=0 （3）已知m为实数，则关于x的方程x2 −(m−2)x−2m=0的实数根情况一定是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．没有实数根 3考点三：新定义题型 例题3： 1 对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u*v=uv+v．若关于x的方程x*(a*x)=− 有两个 4 相等的实数根，则满足条件的实数a的值是_______． 练习3: 对于实数x，y，定义一种运算⊕：x⊕y= x−2y，若关于x的方程x(a⊕x)=2有两个相 等的实数根，则实数a=________． 知识加油站 2——判别式的主要应用 知识笔记3 判别式的主要应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定_________； （3）解与根有关的证明题． 考点四：根的判别式求参数 例题4: （1）（2022•奉贤区校级期中）已知关于x的方程x2 −2 5x−m2 =0根的判别式的值 36，则 m=________． （2）（2022•崇明区二模）已知关于x的一元二次方程 x2 −mx−m+3=0 有两个相等的实数 根，那么m的值为_______． （3）（2023•静安期末）关于x的方程(k+2)x2 −2kx+k−1=0的两个实数根为、，且 2 =2，求k的值． 4练习4: （1）若关于x的一元二次方程mx2 −(3m−1)x−1+2m=0，其根的判别式值为 1，则m= _______． （2）关于x的一元二次方程mx2 −(2m−1)x+1=0的根的判别式是1，则m=_______． 考点五：根据实数根的情况求参数范围 例题5: （1）（2022•上海）已知x2 −2 3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是：______ ． （2）（2022•徐汇区徐汇中学期中）如果关于x的一元二次方程x2 +3x−2m=0没有实数根， 那么m的取值范围是：______． （3）（2022•静安区市西中学期中）已知关于x的一元二次方程 (m+1)x2 +2x=1 （m 为实 数）．①如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． ②如果该方程有两个相等的实数根，求m的取值范围． ③如果该方程没有实数根，求m的取值范围． 练习5: （1）（2022•宝山区期中）如果关于x的方程x2 − k+1x+3k−2=0有两个实数根，那么k的 取值范围为：______. （2）（2022•青浦区模拟）如果关于x的方程2x2 +3x−k =0没有实数根，那么k的取值范围 是：______. 5（3）已知：关于x的方程x2 +kx+k−2=0．①试说明无论k取何值时，方程总有两个不相 等的实数根； ②若k =6，请解此方程． 例题6： （1）（2023•静安期末）如果方程mx2−6x+1=0有实数根，那么m的取值范围是（ ） A．m9且m0 B．m9且m0 C．m9 D．m9 (2) 关于x的一元二次方程(k−2)x2−2kx+k =0有实数根，则k 的取值范围：______. 练习6： （1）（2022•浦东新区期中）已知关于x的方程mx2 −2x+1=0有两个不相等的实数根，则m 可取的最大整数是 _________． （2）．关于x的一元二次方程 (a−5)x2−4x−1=0有实数根，则a满足（ ） A．a1 B．a1且a5 C．a1且a5 D．a5 （3）已知关于x的方程 (m−1)x2−4mx+4m−2=0有实数根，则m的取值范围是： ________． （4）已知关于x的方程kx2 +(2k+3)x+k+1=0． ① 若x=1是该方程的根，求k的值； ② 若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 6例题7： 关 于 x 的 方 程 (m+1)x2 +(2m−1)x+m−1=0 有 实 根 ， 则 关 于 x 的 方 程 (m−3)x2 −2(m−3)x+m+5=0的根的情况如何？ 练习7： （1）（2021•奉贤区期末）已知关于x的方程x2 +2x−a+1=0没有实数根，试判断关于x的 方程x2 +ax+a=0的根的情况． （2）已知关于x的一元二次方程x2 4x a 1． ①当a=5时，试判断此方程根的情况． ②若x，x是该方程不相等的两实数根，且 ( x2 +4x −2 )( x2 +4x +2 ) =45，求a的值． 1 2 1 1 2 2 ③若a为正整数，并且该方程的两实数根都为整数，求a的值． 7知识加油站 3——判别式的实际应用 考点六：根的判别式实际应用 知识笔记4 根的判别式的复杂应用 （1）等腰三角形与一元二次方程，考点为已知两腰是方程的两根； 【注意】____________________________ （2）三角形与一元二次方程根的情况有关，已知方程__________判断三角形的形状. ① 当__________时，三角形是______________ ② 当__________时，三角形是______________ ③ 当__________时，三角形是______________ 例题8： （1）（2022•杨浦区期中）已知关于x的一元二次方程x2 −2(m+1)x+m2 +5=0． 如果等腰三角形ABC的一条边长为7，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求m的值． （2）（2023•杨浦期中）已知关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0． ①如果方程有两个实数根，求m的取值范围； ②如果等腰 ABC的一条边长为7，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求m的值． 8练习8: （1）已知ABC 的三边长为a，b，c且关于x的方程a(1−x2)+2bx+c(1+x2)=0有两个相等 的实数根，请判断ABC 的形状并加以说明．  1 （2）已知关于x的一元二次方程：x2−(2k+1)x+4k− =0．  2 ①求证：这个方程总有两个实数根； ②若等腰 ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求 ABC的 周长． 9全真战场 关卡一 练习1 （1）（2022•普陀区期中）一元二次方程x2 −6x=−9的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 （2）下列方程中，无实数根的方程是( ) A．x2 +3x=0 B．x2 +2x−1=0 C．x2 +2x+1=0 D．x2 −x+3=0 练习2: 关于x的一元二次方程x2 +(2m−1)x+m2 =0，其根的判别式的值为 9，求m的值及这个方 程的根． 练习3: 若关于x的一元二次方程(m−1)x2 −4x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 _______． 练习4: 已知关于x的一元二次方程x2 +x=k． （1）若方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围； （2）当k =6时，求方程的实数根 10练习5: 已知关于x的一元二次方程x2－（2k+1）x+2k＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）记该方程的两个实数根为x 1和x 2若以x 1，x 2，3为三边长的三角形是直角三角形，求 k的值． 关卡二 练习6: 2x 已知x、y为实数，且满足y= ，求y的最大值和最小值． x2 +x+1 练习7: 已知关于x的一元二次方程(ab−2b)x2 +2(b−a)x+2a−ab=0(ab0)有两个相等的实数根， 1 1 求 + 的值． a b 11