第04 讲用因式分解法求解一元二次方程
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 用因式分解法（除十字相乘法）解一元二次方程
题型2 用十字相乘法求解一元二次方程
题型3 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题
题型4 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题
题型5 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题
题型6 换元法解一元二次方程
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
因式分解法、降次、
积为零、提取公因
式、公式法。
1. 理解因式分解法的原理（若AB=0，则A=0 或B=0），体会降次思想。
2. 能根据方程特点，选择提取公因式法、平方差公式或完全平方公式分解因式。
3. 熟练运用因式分解法解一元二次方程，并规范书写求解步骤。
4. 对比四种解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），能根据方
程特征灵活选择简便方法。
学习重点：运用因式分解法（提公因式、平方差、完全平方）解一元二次方程。
学习难点：根据方程特征灵活选择合适的因式分解方法，以及对含括号或需要变形的方程正确分解。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
【易错提醒】
必须先化为一般形式并移项使右边为0，再分解因式。注意：不能两边同时除以含未知数的式子，否则会失
根。
即时即练1．用因式分解法解方程：
(1)
2
3
4
9
12
x
x
(2)
2
2
3(
2)
4
x
x
【答案】(1)
1
4
3
x
，
2
7
3
x
(2)
1
2
x ，
2
4
x
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因
式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程
的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（1）先移项，然后提公因式即可解答本题；
（2）方程变形后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】（1）解：
2
3
4
9
12
x
x
，
2
3
4
3 3
4
0
x
x
，
3
4
3
4
3
0
x
x
，
3
4
3
7
0
x
x
，
3
4
0
x
或3
7
0
x
，
解得
1
4
3
x
，
2
7
3
x
；
（2）解：
2
2
3
2
4
x
x
，
2
3
2
2
2
0
x
x
x
，
2
3
6
2
0
x
x
x
，
2
2
8
0
x
x
，
2
0
x
或2
8
0
x
，
解得
1
2
x ，
2
4
x ．
2．用十字相乘法解方程
(1)
2
90
0
x
x
(2)
2
2
10
0
x
x
【答案】(1)
1
10
x
，
2
9
x
(2)
1
2.5
x
，
2
2
x
【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．各方程利用十字
相乘法分解，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0 转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】（1）解：
2
90
0
x
x
，
方程整理得：
10
9
0
x
x
，
解得：
1
10
x
，
2
9
x ；
（2）解：
2
2
10
0
x
x
，
方程整理得：
2
5
2
0
x
x
，
解得：
1
2.5
x
，
2
2
x
．
知识点02
常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有
未知数的代数式.
【易错提醒】
提公因式时注意符号与漏项；平方差公式看清谁减谁；完全平方公式勿忘中间项；十字相乘要验证交叉和。
分解务必彻底。
即时即练1．用恰当的方法解下列方程．
(1)
2
4
1
0
x
x
(2)
3
1
2
1
x x
x
【答案】(1)
1
2
5
2,
5
2
x
x
(2)
1
2
2 ,
1
3
x
x
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是选择合适的方法进行求解；
（1）利用配方法进行求解；
（2）利用提公因式法和因式分解法进行求解．
【详解】（1）解：
2
4
1
0
x
x
2
2
5
x
，
2
5
x
，
解得：
1
2
5
2,
5
2
x
x
；
（2）解：
3
1
2
1
x x
x
，
3
1
2
1
0
x x
x
，
1 3
2
0
x
x
，
3
2
0
1
0
x
x
，
，
解得：
1
2
2 ,
1
3
x
x
．
2．用适当的方法解下列一元二次方程
(1)
2
6
2
7
x
x
(2)
2
2
(2
1)
(3
)
x
x
【答案】(1)
1
2
3
x
，
2
1
2
x
(2)
1
2
x ，
2
4
3
x
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握相关解法是解题的关键；
（1）根据求根公式法即可求解；
（2）根据因式分解法化为
2
3
4
0
x
x
，再解两个一元一次方程，即可求解．
【详解】（1）解：
2
6
2
7
x
x
，
∴
2
6
7
2
0
x
x
，.
∴
2
( 7)
4 2 6
1
，
∴
7
1
2 6
x
，
∴
1
2
3
x
，
2
1
2
x
．
（2）
2
2
2
1
3
x
x
；
∴
2
2
2
1
3
0
x
x
．
∴
2
1
3
2
1
3
0
x
x
x
x
，
即
2
3
4
0
x
x
，
∴
2
0
x
，或3
4
0
x
．
∴
1
2
x ，
2
4
3
x
．
题型1 用因式分解法（除十字相乘法）解一元二次方程
【例1】解方程：
0
(
)
2
2
2
x x
x
．
【答案】
1
1
2
x
，
2
2
x
【分析】本题主要考查解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：
0
(
)
2
2
2
x x
x
(2
1)(
2)
0
x
x
解得
1
1
2
x
，
2
2
x
．
【例2】解方程：
3
4
3
0
x x
x
．
【答案】
1
2
3
4
x
x
，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程左边利用提公因式法分解因式，进而解方程即可．
【详解】解：∵
3
4
3
0
x x
x
，
∴
4
3
0
x
x
，
∴
3
0
x
或
4
0
x
，
解得
1
2
3
4
x
x
，
．
【技巧归纳】
1. 移项整理：方程一边化为0。
2. 分解因式：提公因式、平方差、完全平方公式分解。
3. 令各因式为零：得两个一元一次方程求解，注意不能两边同除以含未知数的项。
【变式1-1】解方程：
2
3
3
3
x x
x
．
【答案】
1
3
x
，
2
3
2
x
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，
公式法，因式分解法等．
移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：
2
3
3
3
x x
x
2
3
3
3
0
x x
x
3
2
3
0
x
x
3
0
x
或2
3
0
x
解得
1
3
x
，
2
3
2
x
．
【变式1-2】解方程：
3
2
2 2
x x
x
【答案】
1
2
x
，
2
2
3
x
．
【分析】直接利用因式分解法求解即可．本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法，并能灵
活运用是解题关键．
【详解】解：
3
2
2 2
x x
x
3
2
2
2
0
x x
x
3
2
2
0
x
x
2
0
x
或3
2
0
x
．
1
2
x
，
2
2
3
x
．
【变式4】用因式分解法解方程：
2
7
2
7
x
x
x
．
【答案】
1
2
x
，
2
7
x
【分析】本题考查了解一元二次方程．先移项，再利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：
2
7
2
7
x
x
x
，
∴
(
7)
2
7
0
x x
x
，
∴
2
7
0
x
x
，
所以
2
0
x
或
7
0
x
，
解得
1
2
x
，
2
7
x
．
题型2 用十字相乘法求解一元二次方程
【例3】用十字相乘法解方程：
(1)
2
3
2
0
x
x
；
(2)
2
5
6
0
x
x
；
(3)
2
3
5
12
0
x
x
．
【答案】(1)
1
1
x ，
2
2
x
(2)
1
1
x ，
2
6
x
(3)
1
3
x ，
2
4
3
x
【分析】根据因式分解法求解即可.
【详解】（1）解：方程可以化为：
1
2
0
x
x
，
∴
1
0
x
或
2
0
x
，
∴
1
1
x ，
2
2
x
；
（2）解：方程可以化为：
1
6
0
x
x
，
∴
1
0
x
或
6
0
x
，
∴
1
1
x ，
2
6
x ；
（3）解：方程可以化为：
3
3
4
0
x
x
，
∴
3
0
x
或3
4
0
x
，
∴
1
3
x ，
2
4
3
x
．
【例4】阅读材料：由多项式乘法得
2
x
a
x
b
x
a
b x
ab
，将该式从右到左使用，即可得到“十
字相乘法”进行因式分解的公式：
2x
a
b x
ab
x
a
x
b
．
示例：分解因式：
2
2
5
6
2
3
2 3
2
3
x
x
x
x
x
x
．
(1)尝试：分解因式
2
6
8
x
x
( x ______)( x ______)；
(2)应用：请用上述方法解方程
2
3
4
0
x
x
．
(3)拓展：用因式分解法解方程
2
16
0
x
kx
时，得到的两根均为整数，则k 的值可以为_____．
【答案】(1)2，4；
(2)
1
1
x ，
2
4
x
；
(3)0 或6
或15
．
【分析】本题主要考查分解因式以及解一元二次方程；
（1）根据“十字相乘法”进行因式分解，即可得到答案；
（2）先利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解；
（3）结合16
2 8
8 2
4 4
1 16
16 1
，利用因式分解法可分别求得k 值即可．
【详解】（1）解：
2
6
8
2
4
x
x
x
x
故答案为：2，4；
（2）解：∵
2
3
4
(
4)(
1)
0
x
x
x
x
，
4
0
x
或
1
0
x
，
解得：
1
4
x
，
2
1
x ；
（3）∵
2
16
0
x
kx
，
当
2
8
0
x
x
时，
2
16
2
8
x
kx
x
x
，
2
2
16
6
16
x
kx
x
x
，
6
k
；
当
2
8
0
x
x
时，
2
16
2
8
x
kx
x
x
，
2
2
16
6
16
x
kx
x
x
，
6
k
；
当
4
4
0
x
x
时，
2
16
4
4
x
kx
x
x
，
2
2
16
16
x
kx
x
，
0
k
；
当
1
16
0
x
x
时，
2
16
1
16
x
kx
x
x
，
2
2
16
15
16
x
kx
x
x
，
15
k
；
当
1
16
0
x
x
时，
2
16
1
16
x
kx
x
x
，
2
2
16
15
16
x
kx
x
x
，
15
k
．
综上所述k 的值可以是15
，6
，0 ，6 ，15．
【技巧归纳】
1. 拆首尾：将二次项、常数项分解因数，交叉相乘再相加得一次项系数。
2. 横写因式：写成(x+p)(x+q)=0 形式。
3. 快速检验：p+q=b，p∙q=c。注意符号调整。
【变式2-1】阅读材料：解方程
2
2
35
0
x
x
，我们可以按下面的方法解答：
（1）分解因式
2
2
35
x
x
①竖分二次项与常数项：
2
, 35
5
7
x
x x
②交叉相乘，验中项：
③横向写出两因式：
2
2
35
(
5)(
7)
x
x
x
x
（2）根据乘法原理，若
0
ab
，则
0
a
或
0
b
，则方程
2
2
35
x
x
可以这样求解：
方程左边因式分解得(
5)(
7)
0
x
x
5
0
x
或
7
0
x
1
2
5,
7
x
x
试用上述这种十字相乘法解下列方程
(1)
2
5
4
0
x
x
；
(2)
2
6
8
0
x
x
；
(3)
2
3
10
0
x
x
；
(4)
2
6
7
0
x
x
．
【答案】(1)
1
4
x ，
2
1
x
(2)
1
2
x
，
2
4
x
(3)
1
2
x
，
2
5
x
(4)
1
7
x
，
2
1
x
【分析】（1）利用十字相乘法解方程即可；
（2）利用十字相乘法解方程即可；
（3）利用十字相乘法解方程即可；
（4）利用十字相乘法解方程即可．
【详解】（1）解：
2
5
4
0
x
x
4
1
0
x
x
4
0
x
或
1
0
x
∴
1
4
x ，
2
1
x ；
（2）解：
2
6
8
0
x
x
2
4
0
x
x
2
0
x
或
4
0
x
∴
1
2
x
，
2
4
x
；
（3）
2
3
10
0
x
x
5
2
0
x
x
5
0
x
或
2
0
x
∴
1
2
x
，
2
5
x ；
（4）
2
6
7
0
x
x
1
7
0
x
x
1
0
x
或
7
0
x
∴
1
7
x
，
2
1
x ．
【变式2-2】阅读与理解：
（1）将
2
2
3
2
x
x
进行因式分解，我们可以按下面的方法解答
解：①竖分二次项与常数项：
2
2
2
x
x x
，
2
2
1
．
②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）；
③横向写出两因式：
2
2
3
2
2
1
2
x
x
x
x
．
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法．
（2）例：解方程
2
3
2
0
x
x
．
解：
2
1
0
x
x
，
2
0
x
或
1
0
x
，
1
2
x
，
2
1
x ；
请用上述方法解答下列问题．
（3）①因式分解：
2
4
3
x
x
______；
②解方程：
2
2024
2019
5
0
x
x
；
③已知
2
2
6
8
0
0
m
mn
n
n
，求m
n 的值．
【答案】（3）①
1
3
x
x
；②
1
2
5
,
1
2024
x
x
；③
2
m
n
或
4
m
n
【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，利用十字相乘法因式分解解一元二次方程，掌握十字相乘法分
解因式是解答本题的关键．
（3）①利用十字相乘法分解即可；
②利用十字相乘法因式分解因式求解即可；
③利用十字相乘法因式分解因式得
2
4
0
m
n
m
n
，进而可求出m
n 的值．
【详解】（3）解：①
2
4
3
1
3
x
x
x
x
．
故答案为：
1
3
x
x
；
②∵
2
2024
2019
5
0
x
x
，
∴
2024
5
1
0
x
x
，
∴2024
5
0
x
或
1
0
x
，
∴
1
2
5
,
1
2024
x
x
；
③∵
2
2
6
8
0
0
m
mn
n
n
，
∴
2
4
0
m
n
m
n
，
∴
2
0
m
n
或
4
0
m
n
-
=
，
∴
2
m
n
或
4
m
n
．
题型3 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题
【例5】下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程
5
3
2
2 2
3
x
x
x
的过程，请仔细阅读并完成相应
的任务．
小刚同学：
解：
5
3
2
2 2
3
x
x
x
．第一步
5
2
x ．第二步
解得
2
5
x
．第三步
小颖同学：
解：
5
3
2
2 2
3
x
x
x
．第一步
5
3
2
2 2
3
0
x
x
x
．第二步
5
2
3
2
0
x
x
．第三步
5
2
0
x
或3
2
0
x
．第四步
解得
2
5
x
或
2
3
x
第五步
任务一：
①小刚同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________；
②小颖同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________．
任务二：写出该方程的正确求解过程．
【答案】任务一：①二，方程两边同时除以可能为0 的代数式
3
2
x
；②三，提公因式
3
2
x
时，后边
的
2
3x
未变号；任务二：
1
2
5
x
，
2
2
3
x
．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法．解决本题的关键是利用提公因式法分解式解一元二次方程，
在解方程的过程中要注意不能随便除以一个代数式，提公因式时要注意符号是否需要变化．
【详解】任务一：
解：
①
代数式
2
3x
的值可能为0 ，
小刚同学在第二步中，方程两边同时除以
2
3x
是错误的；
②小颖同学在第三步时提公因式3
2
x
时，
后边的是
2
3x
，
提公因式3
2
x
时，后一项应变号，而小颖同学没有变号，
小颖同学的做法错误；
任务二：
解：
5
3
2
2 2
3
x
x
x
，
移项得：
5
3
2
2 2
3
0
x
x
x
，
整理得：
5
3
2
2 3
2
0
x
x
x
，
提公因式得：
3
2
5
2
0
x
x
，
3
2
0
x
或5
2
0
x
，
解得：
1
2
3
x
，
2
2
5
x
．
【例6】下面是壮壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务：
解方程：
2
2
4 2
5
9 3
1
y
y
．
解：
2
2
4 2
5
9 3
1
0
y
y
，……第一步
4
10
9
3
4
10
9
3
0
y
y
y
y
，……第二步
13
13
5
7
0
y
y
，……第三步
13
13
0
y
或5
7
0
y
，……第四步
解得：
1
1
y ，
2
7
5
y
……第五步
任务一：①以上解方程过程中，主要是依据______来求解的（填“配方法”或“公式法”或“因式分解法”或“直
接开平方法”）．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：请正确地解该方程．
【答案】任务一：①因式分解法；②三，合并同类项出错
任务二：
1
1
y ，
2
7
5
y
【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
任务一：①利用因式分解法解一元二次方程的步骤判断即可；
②根据题目中所解的步骤检查即可清楚第三步合并同类项错误；
任务二：利用因式分解法解一元二次方程即可；
【详解】任务一：①以上解方程过程中，主要是依据因式分解法来求解的；
②第三步开始出现错误，错误的原因是合并同类项出错；
任务二：解：
2
2
4 2
5
9 3
1
0
y
y
，
4
10
9
3
4
10
9
3
0
y
y
y
y
13
13
5
7
0
y
y
13
13
0
y
或5
7
0
y
解得：
1
1
y ，
2
7
5
y
．
【技巧归纳】
1. 找错误点：检查移项是否漏变号，因式分解是否彻底，有无两边同除含未知因式导致丢根。
2. 逆向还原：从错误结果倒推过程，对比正解定位步骤。
3. 验证根：代入原方程确认遗漏或增根。
【变式3-1】下面是小明同学解一道一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：
2
3
1
2 3
1
x
x
．
解：方程两边同除以
3
1
x
，得3
1
2
x
．第一步
移项，合并同类项，得3
3
x
．第二步
系数化为1，得
1
x ．第三步
任务：
①小明的解法从第___________步开始出现错误；
②此题的正确结果是___________；
③用因式分解法解方程：
3
2
2
4
x x
x
．
【答案】①一；②
1
1
3
x
，
2
1
x ；③
1
2
3
x
，
2
2
x
【分析】本题考查解一元二次方程—因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步
骤：移项→将方程的右边化为零；化积→把方程的左边分解为两个一次因式的积；转化→令每个因式分别
为零，转化成两个一元一次方程；求解→解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
【详解】解：①明的解法从第一步开始出现错误，
故答案为：一；
②
2
3
1
2 3
1
0
x
x
，
3
1 3
1 2
0
x
x
，即
3
1 3
3
0
x
x
，
∴3
1
0
x
或3
3
0
x
，
解得：
1
1
3
x
，
2
1
x ，
∴此题的正确结果是：
1
1
3
x
，
2
1
x ，
故答案为：：
1
1
3
x
，
2
1
x ；
③
3
2
2
4
x x
x
，
3
2
2
2
x x
x
，
3
2
2
2
0
x x
x
，
3
2
2
0
x
x
，
∴3
2
0
x
或
2
0
x
，
解得：
1
2
3
x
，
2
2
x ．
【变式3-2】按要求解答下列问题：
小华与小芳两位同学解方程
2
3
5
5
x
x
的过程如下框：
小华：
解：两边同时除以
5
x
，得3
5
x
，
∴
8
x
．
小芳：
解：
2
3
5
5
x
x
，
5
3
5
0
x
x
，
5
0
x
或3
5
0
x
，
解得：
1
5
x ，
2
2
x ．
任务：
(1)小华的解法是错误的，原因是．
(2)小芳的解法是（填“正确”或“错误”）．如果小芳的解法正确，请写出用配方法或公式法求解原方程的过
程；如果小芳的解法错误，请直接写出原方程正确的解．
【答案】(1)见解析；
(2)小芳的解法错误，
1
5
x ，
2
8
x
．
【分析】（1）根据根据题意得小华忽略的情况是没有考虑
5
0
x
；
（2 ）根据一元二次方程的解法即可求解；
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解法是解题的关键．
【详解】（1）根据题意得：小华忽略的情况是没有考虑
5
0
x
，
故答案为：没有考虑
5
0
x
；
（2）小芳的解法错误，
由
2
3
5
5
x
x
2
3
5
5
0
x
x
5
3
5
0
x
x
5
0
x
或3
5
0
x
，
解得：
1
5
x ，
2
8
x
．
题型4 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题
【例7】菱形ABCD 的一条对角线长为6 ，边AB 长为一元二次方程
3
5
0
x
x
的一个根，则菱形
ABCD 的另一条对角线长为
．
【答案】8
【分析】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理．
先利用因式分解法解方程得到
1
3
x
，
2
5
x
，再利用菱形的性质与三角形的三边关系质确定
5
AB
，从而
根据菱形的对角线互相垂直平分即可解答．
【详解】解：菱形ABCD 的一条对角线长为6，
如图，不妨设
6
AC
解方程(
3)(
5)
0
x
x
得
1
3
x
，
2
5
x
，
∴
3
AB 或
5
AB
，
若
3
AB ，则在菱形ABCD 中，
3
BC
AB
，
此时，AB
BC
AC
，这不能构成三角形；
若
5
AB
，则在菱形ABCD 中，
1
3
2
AO
AC
，AC
BD
，
2
BD
BO
，
∴在Rt AOB
中，
2
2
2
2
5
3
4
BO
AB
AO
，
∴
2
8
BD
BO
，即另一条对角线长为8．
故答案为：8．
【例8】如果
ABC
一边长是5，另两边分别是一元二次方程
2
7
10
0
x
x
的两个实数根，那么
ABC
是
三角形．
【答案】等腰
【分析】本题考查了因式分解求解一元二次方程的根，等腰三角形的定义，先求出方程的两个根，得出三
角形的三条边为5，5，2，从而做出判断．
【详解】解：
2
7
10
0
x
x
，
5
2
0
x
x
，
5
0
2
0
x
x
，
，
1
2
5
2
x
x
，
，
∵三角形
ABC
的两边分别是一元二次方程
2
7
10
0
x
x
的两个实数根，
三角形的两边分别是：5，2，
又∵
ABC
的一边长为5，
ABC
是等腰三角形，
故答案为：等腰．
【技巧归纳】
1. 列几何关系：用边长、面积、勾股定理等建立方程，化简为一元二次方程。
2. 因式分解求根：对方程因式分解，得解。
3. 检验取舍：剔除不满足几何条件（如边长非负、三角形三边关系）的根。
【变式4-1】如果一元二次方程
8
4
8
x x
x
的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等
腰三角形的周长为
．
【答案】20
【分析】先解一元二次方程，根据根的情况可知有两种方式，用三角形三边关系排除一组后即可得出三角
形周长．本题考查等腰三角形的定义，解一元二次方程，三角形三边关系．不要忽略了用三角形三边关系
判断能否构成三角形．
【详解】解：∵
8
4
8
x x
x
，
∴
8
4
8
0
x x
x
则
(
4)
8
0
x
x
，
即
1
2
4,
8
x
x
，
∵4，4，8 不能构成三角形，
∴这个等腰三角形的三边成为8，8，4，
∴8
8
4
20
∴周长为20．
故答案为：20．
【变式4-2】若菱形ABCD 的一条对角线长为3，另一条对角线的长是方程
2
7
12
0
x
x
的一个根，则菱形
ABCD 的周长为
．
【答案】6 2 或10
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握菱形的性质．
另一条对角线的长是方程
2
7
12
0
x
x
的一个根，解方程求得x 的值，根据菱形ABCD 的一条对角线长为
3，根据勾股定理可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD 的周长．
【详解】解：解方程
2
7
12
0
x
x
得：
3
x
或4，
∵ABCD 是菱形，
∴BD
AC
，
当
3,
3
BD
AC
时，菱形的边长
2
2
3
3
3 2
2
2
2
．
∴菱形ABCD 的周长是3 2
4
6 2
2
．
当
3,
4
BD
AC
时，菱形的边长
2
2
3
4
5
2
2
2
．
∴菱形ABCD 的周长是5
4
10
2
．
故答案为：6 2 或10．
题型5 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题
【例9】定义：如果关于x 的一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
ac
有一个根是c ，那么我们称这个方程为“黄
金方程”．
(1)判断一元二次方程
2
2
3
0
x
x
是否为“黄金方程”，请说明理由；
(2)已知关于x 的一元二次方程
2
2
0
0
x
bx
c
c
是“黄金方程”，求代数式
2
2
1
b
c
的最小值．
【答案】(1)是“黄金方程”，理由见解析
(2)
2
2
1
b
c
的最小值为7
4 ．
【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解黄金方程解的定义．
（1）求出方程的解，根据黄金方程的定义判断即可；
（2）利用配方法，非负数的性质求解．
【详解】（1）解：是“黄金方程”，理由如下：
∵
2
2
3
0
x
x
，
∴
3
1
0
x
x
，
∴
3
0
x
或
1
0
x
，
∴
1
3
x ，
2
1
x ，
∵
3
c ，
∴一元二次方程
2
2
3
0
x
x
是“黄金方程”；
（2）解：∵关于x 的一元二次方程
2
2
0
0
x
bx
c
c
是“黄金方程”，
∴
2
2
0
c
bc
c
，
∵
0
c
，
∴2
1
c
b
，
∴
2
2
2
1
7
2
1
1 1
2
4
b
c
b
b
b
，
∵
2
1
0
2
b
，
∴
2
2
1
b
c
的最小值为7
4 ．
【例10】定义：如果关于x 的一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
满足：
0
a
b
c
，那么我们称这个方程
为“黄金方程”．
(1)判断一元二次方程
2
4
11
7
0
x
x
是否为“黄金方程”，并说明理由．
(2)已知
2
3
0
x
mx
n
是关于x 的“黄金方程”，若m 是此方程的一个根，则m 的值为多少？
【答案】(1)是，理由见解析
(2)
1
m 或
3
2
m
【分析】本题主要考查了新定义，一元二次方程的根，解一元二次方程，解题关键是理解题目中的新定义．
（1）根据已知条件中的新定义，判断a
b
c
是否为0 即可；
（2）根据已知条件中的新定义，求出m，n 的关系式，把n 化成m 的式子，代入方程，得到关于m 的方程，
进行解答即可．
【详解】（1）解：方程
2
4
11
7
0
x
x
是“黄金方程”，理由如下：
∵
4
a
，
11
b
，
7
c ，
∴
4 11
7
0
a
b
c
∴一元二次方程
2
4
11
7
0
x
x
是“黄金方程”；
（2）解：∵
2
3
0
x
mx
n
是关于x 的“黄金方程”，
∴3
0
m
n
，
∴
3
n
m
，
∴原方程可化为
2
3
3
0
x
mx
m
，
∵m 是此方程的一个根，
2
2
3
3
0
m
m
m
，
即
2
2
3
0
m
m
，
解得
1
m 或
3
2
m
．
【技巧归纳】
1. 读懂定义：将新运算转化为常见代数式（如a※b = a2 - b2）。
2. 列方程：按定义列出方程，化简为标准一元二次方程。
3. 因式分解求解：用合适方法分解，解出未知数，注意检验定义域。
【变式5-1】定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1 方程”．例如
2
0
x
x
是“差1
方程”．
(1)判断下列方程是不是“差1 方程”，并说明理由；
①
2
2
3
0
x
x
；
②
2
13
3
0
x
x
．
(2)已知关于x 的方程
2
2
2
0
x
m
x
m
（m 是常数）是“差1 方程”，求m 的值．
【答案】(1)①
2
2
3
0
x
x
不是“差1 方程”，见解析；②
2
13
3
0
x
x
是“差1 方程”，见解析
(2)
3
m
或
1
m
【分析】本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，熟练掌握“差1 方程”的定义并能正确分类讨
论是解决此题的关键．
（1）先解方程求出两个根，再判断两个根是否相差1 即可；
（2）先解方程求出两个根，再根据该方程是“差1 方程”得出两个根的差为1，解关于m 的一元一次方程即
可．
【详解】（1）解：①
3
1
0
x
x
，
1
3
x
，
2
1
x ，
1
3
1
，
2
2
3
0
x
x
不是“差1 方程”，
②
1
a
，
13
b
，
3
c ，
2
Δ
13
4 1 3
1
，
13
1
13 1
2
2
x
，
13 1
13 1 1
2
2
，
2
13
3 0
x
x
是“差1 方程”；
（2）解：
2
0
x
m
x
，
1x
m
，
2
2
x
，
方程
2
2
2
0
x
m
x
m
（m 是常数）是“差1 方程”，
2
1
m
或
2 1
m ，
3
m
或
1
m ．
【变式5-2】定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例
如：
2
9
x
和
2
3
0
x
x
有且只有一个相同的实数根
3
x ，所以这两个方程为“同伴方程”．
(1)根据定义，判断一元二次方程
2
1
16
x
与
2
4
5
0
x
x
是否属于“同伴方程”；
(2)关于x 的一元二次方程
2
3
2
0
x
x
与
2
1
0
x
x
m
为“同伴方程”，求m 的值．
【答案】(1)属于
(2) 1
或5
．
【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解．
（1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案；
（2）首先求解
2
3
2
0
x
x
，得
1
1
x ，
2
2
x
；结合题意，将
1
1
x ，
2
2
x
分别代入
2
1
0
x
x
m
，从
而计算得m 的值；再经检验符合m 的值是否符合题意，从而完成求解．
【详解】（1）解：解方程
2
1
16
x
，得
1
5
x ，
2
3
x ，
解方程
2
4
5
0
x
x
，得
1
5
x ，
2
1
x ，
∴一元二次方程
2
1
16
x
与
2
4
5
0
x
x
有且只有一个相同的实数根
5
x
，
∴一元二次方程
2
1
16
x
与
2
4
5
0
x
x
属于“同伴方程”；
（2）解：解
2
3
2
0
x
x
，得
1
1
x ，
2
2
x
，
当相同的实数根是
1
x 时，则1 1
1
0
m
，
解得
1
m ，
把
1
m 代入
2
1
0
x
x
m
，得
2
2
0
x
x
，
解得
1
1
x ，
2
2
x ，
∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意；
当相同的实数根是
2
x
时，则4
2
1
0
m
，
解得
5
m ，
把
5
m 代入
2
1
0
x
x
m
，得
2
6
0
x
x
，
解得
1
2
x
，
2
3
x ，
∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意；
∴m 的值为1
或5
．
题型6 换元法解一元二次方程
【例11】阅读材料：我们在解方程
2
1
5
1
4
0
x
x
时，可以将
1
x 看成一个整体，设
1
x
y
，则
原方程可化为
2
5
4
0
y
y
，解得
1
1
y ，
2
4
y
．当
1
y 时，
1
1
x ，解得
2
x
；当
4
y
时，
1
4
x
，
解得
5
x
，原方程的解为
1
2
x
，
2
5
x
．
根据上述材料，解下列方程：
(1)
2
5
4
5
0
x
x
；
(2)
4
2
2
3
18 2
3
81
0
y
y
．
【答案】(1)
1
1
x ，
2
5
x
(2)
1 3
y ，
2
0
y
【分析】（1）设
5
x
m
，则原方程可化为
2
4
0
m
m
，解方程，即可求解；
（2）设
2
2
3
y
n
，则原方程可化为
2
18
81
0
n
n
，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：设
5
x
m
，则原方程可化为
2
4
0
m
m
，
解得
1
4
m
，
2
0
m
．
当
4
m
时，
5
4
x
，解得
1
x ；
当
0
m
时，
5
0
x
，解得
5
x ．
原方程的解为
1
1
x ，
2
5
x ．
（2）解：设
2
2
3
y
n
，则原方程可化为
2
18
81
0
n
n
，
解得
1
2
9
n
n
．
2
2
3
9
y
，
即2
3
3
y
或2
3
3
y
，
解得
1 3
y ，
2
0
y
．
【例12】安阳某初中数学小组在学完一元二次方程章节的内容后，对一道试题展开了交流，请你仔细阅读，
并完成任务．
试题：已知
3
4
10
x
y
x
y
，求x
y
的值．
小明：对于这道试题，我想到了一种“换元法”：设x
y
t
，
则原方程可变形为
3
4
10
t
t
．
即
2
2
0
t
t
；解得1
2
t ，2
1
t ，
2
x
y
或
1
x
y
．
小亮：你的这种方法非常有趣，而且它也是数学学习中常用的一种思想方法．
任务：
(1)已知x、y 满足
2
2
2
2
2
1 2
3
8
x
y
x
y
，求
2
2
2x
y
的值．
(2)若a、b 满足
2
2
2
2
5
6
a
b
a
b
，求
a
b
a
b
的值．
【答案】(1)5
(2)6 或1
【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程和整式的混合运算，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤
是解题的关键．
（1）设
2
2
2
0
t
x
y
t
，则原方程可变为
1
3
8
t
t
，解方程即可得到结论；
（2）设
2
2
s
a
b
，则原方程可变为
5
6
s s
，解方程即可得到结论．
【详解】（1）解：设
2
2
2
0
t
x
y
t
，
2
2
2
2
1
3
8
2
1
2
3
x
y
x
y
t
t
，
2
4
3
8
t
t
，
2
4
5
0
t
t
，
因式分解得
5
1
0
t
t
，
解得1
5
t
，2
1
t （舍去），
2
2
2
5
x
y
．
（2）
2
2
a
b
a
b
a
b
，设
2
2
s
a
b
，
2
2
2
2
5
5
6
a
b
a
b
s s
，
2
5
6
0
s
s
，
因式分解得
6
1
0
s
s
，
解得
1
6
s
，
2
1
s ，
6
a
b
a
b
或1
．
【技巧归纳】
1. 找重复结构：将相同代数式设为新元t，如(x2+x)、
1
�。
2. 化整式方程：解t 的一元二次方程，求出t 值。
3. 回代求解：将t 代回原式解出x，并检验（注意分母不为0、根号非负）。
【变式6-1】我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫
做换元法．例：解方程：
2
2
3
8 2
3
15
0
x
x
．
解：将2
3
x 视为一个整体，设2
3
x
y
，则原方程可化为：
2
8
15
0
y
y
，
因式分解得：
3
5
0
y
y
，解得
1 3
y ，
2
5
y
，
当
3
y 时，2
3
3
x
，解得
1
0
x
；当
5
y
时，2
3
5
x
，解得
2
1
x ；
综上，原方程的解为
1
0
x
，
2
1
x ．
请参考例题，解下列方程：
(1)
4
2
3
5
2
0
x
x
；
(2)
2
2
2
4
3
12
18
0
x
x
x
x
．
【答案】(1)
1
2
x
，
2
2
x
(2)
1
2
7
x
，
2
2
7
x
【分析】（1）设
2x
y
，则原方程可化为
2
3
5
2
0
y
y
，先求出y 值，再代入求出x 即可；
（2）设
2
4
x
x
y
，则原方程可化为
2
3
18
0
y
y
+
-
=
，先求出y 值，再代入求出x 即可．
【详解】（1）解：设
2x
y
，则原方程可化为
2
3
5
2
0
y
y
，
3
1
2
0
y
y
，
解得
1
1
3
y
，
2
2
y
，
∵
2
0
y
x
，
∴
1
3
y
不符合题意，舍去，
当
2
y
时，
2
2
x
，
解得
1
2
x
，
2
2
x
，
综上，原方程的解为
1
2
x
，
2
2
x
；
（2）解：设
2
4
x
x
y
，则原方程可化为
2
3
18
0
y
y
+
-
=
，
6
3
0
y
y
，
解得
1
6
y ，
2
3
y
，
当y 6 时，
2
4
6
x
x
，
整理得
2
4
6
0
x
x
，
∵
2
Δ
4
4 1 6
8
0
，
∴此方程无实数根；
当
3
y 时，
2
4
3
x
x
，
整理得
2
4
3
0
x
x
，
解得
2
7
x
，即
1
2
7
x
，
2
2
7
x
，
综上，原方程的解为
1
2
7
x
，
2
2
7
x
．
【变式6-2】【阅读材料】
解方程：
4
2
5
4
0
x
x
，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设
2x
y
，则
4
2
x
y
，于是原方程可转化为
2
5
4
0
y
y
，解得
1
2
1,
4
y
y
．当
1
y 时，2
1
x ，所以
1
x ；
当
4
y
时，
2
4
x
，所以
2
x ．
所以原方程有四个根：
1
2
3
4
1,
1,
2,
2
x
x
x
x
．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
【问题】
(1)在解方程
2
2
2
4
12
0
x
x
x
x
时，若设
2
y
x
x
，则原方程可转化为___________
(2)若
2
2
2
2
3
2
2
4
8
m
n
m
n
，则
2
2
m
n
___________
(3)参照上面解题的思想方法解方程：
2
5
6
0
2
2
x
x
x
x
．
【答案】(1)
2
4
12
0
y
y
(2) 5
17
2
(3)
1
3
x
，
2
4
x
【分析】（1）直接代入得关于y 的方程，即可得到结果；
（2）设
2
2
x
m
n
，则原方程可转化为
3
2
4
8
x
x
，x 的方程得出
5
17
2
x
，即可求解；
（3）设
2
x
y
x
，则原方程可转化为
2
5
6
0
y
y
，求出
1
2
2,
3
y
y
，即可得出关于x 的方程，然后解
关于x 的分式方程，即可求解．
【详解】（1）解：
2
2
2
4
12
0
x
x
x
x
，
设
2
y
x
x
，则原方程可转化为
2
4
12
0
y
y
；
（2）解：
2
2
2
2
3
2
2
4
8
m
n
m
n
，
设
2
2
x
m
n
，则原方程可转化为
3
2
4
8
x
x
，
即
2
5
2
0
x
x
，
∵
2
Δ
5
4 1 2
17
0
，
∴
5
17
2
x
，
即
2
2
5
17
2
m
n
；
（3）解：
2
5
6
0
2
2
x
x
x
x
，
设
2
x
y
x
，则原方程可转化为
2
5
6
0
y
y
，
解得：
1
2
2,
3
y
y
，
当
1
2
y
时，
2
2
x
x
，
解得：
4
x
，
检验：当
4
x
时，
2
0
x
，
∴
4
x
是原方程的解；
当
2
3
y 时，
3
2
x
x
，
解得：
3
x
，
检验：当
3
x
时，
2
0
x
，
∴
3
x
是原方程的解；
综上所述，原方程的解是
1
3
x
，
2
4
x
．
一、单选题
1．一元二次方程
6
0
x x
的解是（
）
A．
0
x
B．
6
x
C．
1
0
x
，
2
6
x
D．
1
0
x
，
2
6
x
【答案】C
【详解】解：
6
0
x x
，
则
0
x
或
6
0
x
，
解得：
1
0
x
，
2
6
x
．
2．三角形两边长分别为3 和6，第三边长是方程
2
6
8
0
x
x
的解，则这个三角形的周长是（
）
A．15
B．13
C．11 或8
D．11 和13
【答案】B
【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边，最后计
算周长即可得到答案.
【详解】解：∵
2
6
8
0
x
x
，
∴因式分解得
2
4
0
x
x
，
解得
1
2
2,
4
x
x
，
∵三角形两边长分别为3 和6，
∴当第三边长为2 时，2
3
6
，不满足三角形三边关系，此种情况舍去，
当第三边长为4 时，满足三角形三边关系，此时三角形周长为3
4
6
13
.
3．定义一种新运算※，规定：
2
a
b
ab
b
※
，如：
2
1 3
1 3
3
3
9
6
※
，则方程2
0
x
※
的解为（
）
A．
2
x
B．
1
0
x
，
2
2
x
C．
1
0
x
，
2
2
x
D．
1
1
x ，
2
2
x
【答案】B
【分析】按照新运算规则将方程转化为常规一元二次方程，再用因式分解法求解即可．
【详解】根据题意得，
2
2
2
x
x
x
※
，
原方程可化为
2
2
0
x
x
，
2
0
x
x
，
0
x
或2
0
x
，
解得
1
0
x
，
2
2
x
．
4．关于x 的方程
2
0
a x
m
b
的根是
1
2
6,
3
x
x
（, ,
a b m均为常数，
0
a
），则关于x 的方程
2
4
0
a x
m
b
的根是（）
A．
1
2
2,
7
x
x
B．
1
2
10,
1
x
x
C．
1
2
2,
7
x
x
D．
1
2
6,
3
x
x
【答案】B
【分析】将方程
2
4
0
a x
m
b
变形为
2
4
0
a x
m
b
，对照已知方程及其根得出
4
6
x
或
4
3
x
，求解即可．
【详解】解：∵关于x 的方程
2
0
a x
m
b
的根是
1
2
6,
3
x
x
，
∴关于x 的方程
2
4
0
a x
m
b
，即
2
4
0
a x
m
b
满足
4
6
x
或
4
3
x
，
解得：
1
2
10,
1
x
x
．
5．如果两个代数式a，b 满足ab
c
，且c 是有理数，那么我们称a 与b 是关于c 的“友好代数式”．若2
5
m
与
2 5
n
是关于16 的“友好代数式”（m，n 是有理数），则m
n
的值为（
）
A．52
5 或4
B．4
或4
C．52
5
D．52
5 或4
【答案】D
【分析】根据定义求解即可．
【详解】解：根据定义，得
2
5
2 5
16
m
n
，
2
4 5
5
1
1
0
6
n
mn
m
，
4
5
2
10
16
mn
n
m
，
6
4
0,2
1
1
0
mn
n
m
，
8
4,
5
mn
n
m
，
故
5
8
4
m
m
，
2
5
8
4
0
m
m
，
解得
2
5
m
或
2
m ，
当
2
5
m
时，
10
5
8
n
m
，此时
52
5
m
n
；
当
2
m 时，
8
2
5
n
m
，此时
2
2
4
m
n
．
二、填空题
6．已知关于x 的一元二次方程
2
2
x x
x
，则该一元二次方程的解为________．
【答案】
1
1
x ，
2
2
x
【分析】先移项，再运用因式分解法求解该方程即可．
【详解】解：
2
2
x x
x
，
移项，得：
2
2
0
x x
x
，
提取公因式，因式分解得：
2
1
0
x
x
，
2
0
x
或
1
0
x
，
解得
1
1
x ，
2
2
x
．
7．三角形两边长分别为3 和6，第三边是方程
2
15
54
0
x
x
的根，则三角形的周长为______．
【答案】15
【分析】先利用因式分解法求解一元二次方程，再根据三角形三边关系舍去不符合题意的根，最后计算周
长即可．
【详解】解：∵
2
15
54
0
x
x
，
∴
6
9
0
x
x
，
∴
1
6
x
，
2
9
x
，
当
6
x
时，3
6
9
6
，能构成三角形，周长为3
6
6
15
；
当
9
x
时，3
6
9
，不能构成三角形，
则三角形的周长为15．
8．已知关于x 的一元二次方程
2
2
(
1)
2
0
m
x
x
m
m
有一根为0，则它的另一个根是_____．
【答案】2
【分析】将
0
x
代入
2
2
(
1)
2
0
m
x
x
m
m
，结合一元二次方程的定义求出m 的值，进而得到原方程，
求解即可．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
2
(
1)
2
0
m
x
x
m
m
有一根为0，
∴将
0
x
代入
2
2
(
1)
2
0
m
x
x
m
m
得
2
0
m
m
，
解得：
1
2
0,
1
m
m
，
∵一元二次方程
2
2
(
1)
2
0
m
x
x
m
m
∴
1
0
m
，即
1
m ，
∴
0
m
，
∴原方程为
2
2
0
x
x
，
解得：
1
2
0,
2
x
x
，
即它的另一个根是2．
9．若关于x 的一元二次方程
2
2
0
ax
bx
0
a
的根为
1
2025
x
，
2
1
x ，则一元二次方程
2
1
2
a x
bx
b
的根为______．
【答案】
1
2026
x
，
2
2
x
【分析】先整理所求一元二次方程，通过换元法将其转化为与已知方程形式一致的方程，利用已知方程的
根得到换元后未知数的值，进而求出所求方程的根．
【详解】解：整理方程
2
1
2
a x
bx
b
，移项得：
2
1
1
2
0
a x
b x
设
1
t
x
，则上述方程可化为
2
2
0
at
bt
，
根据题意可知：一元二次方程
2
2
0
0
at
bt
a
的根为1
2025
t
，2
1
t ，
因此可得：
1
2025
x
或
1
1
x ，
解得
1
2026
x
，
2
2
x
．
10．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“牵手方程”,例如方程
2
4
x
和
2
2
0
x
x
有且仅有一个相同的实数根
2
x
,所以这两个方程为“牵手方程”．若方程
2
2
3
0
x
x
和
3
0
x
x
m
为“牵手方程”,则m 的值为__________．
【答案】3 或1
【分析】先求出一元二次方程
2
2
3
0
x
x
的解
1
1
x ，2
3
x ，根据方程
2
2
3
0
x
x
和
3
0
x
x
m
为“牵手方程”,分情况求解即可．
【详解】解：
2
2
3
0
x
x
，
1
3
0
x
x
，
解得：
1
1
x ，
2
3
x ，
当相同的根是
1
x 时，
代入方程
3
0
x
x
m
可得
1 3 1
0
m
，
解得：
1
m ；
此时方程为
3
1
0
x
x
，可得：
1
3
x
，
2
1
x ，符合题意；
当相同的根是
3
x 时，
代入方程
3
0
x
x
m
得
3 3
3
0
m
，
解得：
3
m
，
此时方程为
3
3
0
x
x
，可得：
1
3
x
，
2
3
x ，符合题意；
∴m 的值是3 或1
．
三、解答题
11．解下列方程：
(1)
2
6
0
x
x
；
(2)
2
2
1
0
x
x
．
【答案】(1)
1
0
x
，
2
6
x
(2)
1
1
x ，
2
1
2
x
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果．
【详解】（1）解：∵
2
6
0
x
x
，
∴
6
0
x x
，
∴
0
x
或
6
0
x
，
∴
1
0
x
，
2
6
x
；
（2）解：∵
2
2
1
0
x
x
，
∴
2
1
1
0
x
x
，
∴2
1
0
x
或
1
0
x
，
∴
1
1
x ，
2
1
2
x
．
12．解方程
(1)
2
2
5
3
0
x
x
；
(2)
3
7 3
x x
x
．
【答案】(1)
1
1
x ，
2
3
2
x
(2)
1
3
x
，
2
7
x
【详解】（1）解：因式分解得
2
3
1
0
x
x
，
∴2
3
0
x
或
1
0
x
，
∴
1
1
x ，
2
3
2
x
；
（2）解：整理得
3
7
3
0
x x
x
，
因式分解得
3
7
0
x
x
，
∴
3
0
x
或
7
0
x
，
∴
1
3
x
，
2
7
x ．
13．习题课上老师给了一道解方程的题目：
2
3
2
6
x
x
x
．小马和小明的解法如下：
小马的解法
原方程可化为：
2
6
0
x
x
…第一步，
∴
3
2
0
x
x
…第二步，
∴
1
3
x
，
2
2
x …第三步．
小明的解法
原方程可化为：
3
2
3
x x
x
…第一步，
两边都除以
3
x
…第二步，
∴
2
x
…第三步．
(1)他们的解法都是错误的，小马从第______步开始错误，小明从第______步开始错误；
(2)写出方程正确的解答过程．
【答案】(1)二；二
(2)过程见解析
【分析】（1）小马第二步方程左边因式分解错误，小明第二步忽略了
3
x
的值可以为0 ；
（2）先把原方程化为
3
2
3
x x
x
，再移项得
3
2
3
0
x x
x
，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：小马从第二步开始错误，理由是方程左边进行因式分解时，因式分解错误；小明从第二
步开始错误，理由是
3
x
的值可以为0 ，方程两边不能直接同时除以
3
x
；
（2）解：∵
2
3
2
6
x
x
x
，
∴
3
2
3
x x
x
，
∴
3
2
3
0
x x
x
，
∴
3
2
0
x
x
，
∴
3
0
x
或
2
0
x
，
解得：
1
3
x ，
2
2
x
．
14．已知关于x 的一元二次方程
2
3
3
0
x
m
x
m
．
(1)求证：此方程一定有两个实数根；
(2)若
ABC
的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为1，当
ABC
是等腰三角形
时，求m 的值．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据根的判别式证明即可；
（2）根据因式分解法解方程，结合三角形的三边关系解题即可．
【详解】（1）证明：∵
2
Δ
3
4 1 3
m
m
2
6
9 12
m
m
m
2
6
9
m
m
2
3
0
m
，
此方程一定有两个实数根；
（2）解：
2
3
3
0
x
m
x
m
，
3
0
x
x
m
，
3
0
x
或
0
x
m
，
1
3
x
，
2x
m
；
当AB
AC
时，
3
m
，
此时三角形三边为3，3，1，满足三角形三边关系，符合题意；
当AC
BC
时，
1
m ，此时三角形三边为1，1，3，不满足三角形三边关系，舍去；
当AB
BC
时，即3
1
，此情况不成立，
综上，m 的值为3．
15．对于任意实数a，b，c 有
,
*
a b
c
ab
c
，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．例如，
1,2 *3
1 2
3
1
．
(1)求关于x 的一元二次方程
,
1 *2
0
x x
的解；
(2)若关于x 的一元二次方程
2
,
*
2
1
0
x kx
x
x
无实数根，求k 的取值范围．
【答案】(1) x
x
1
2
1
2
= -
=
，
(2)
2
k
【分析】（1）根据新定义可得方程
1
2
0
x x
，解方程即可得到答案；
（2）根据新定义可得方程
2
2
2
1
0
kx
x
x
，根据该方程无实数根，利用判别式和一元二次方程的定义
求解即可．
【详解】（1）解：∵
,
1 *2
0
x x
，
∴
1
2
0
x x
，
∴
2
2
0
x
x
，
∴
1
2
0
x
x
，
∴
1
0
x
或
2
0
x
，
解得x
x
1
2
1
2
= -
=
，
；
（2）解：∵
2
,
*
2
1
0
x kx
x
x
，
∴
2
2
2
1
0
kx
x
x
，
∴
2
2
2
1
0
kx
x
x
，
∴
2
1
2
1
0
k
x
x
，
∵关于x 的一元二次方程
2
,
*
2
1
0
x kx
x
x
无实数根，
∴
2
1
0
Δ
2
4
1
0
k
k
，
∴
2
k
．
16．已知m 为实数，关于x 的两个方程分别为
2
6
0
x
mx
和
2
6
0
x
x
m
．
(1)求证：方程
2
6
0
x
mx
一定有两个不相等的实数根；
(2)当方程
2
6
0
x
x
m
有实数根时，求m 的取值范围；
(3)当方程
2
6
0
x
mx
和
2
6
0
x
x
m
有公共的实数根时，求m 的值．
【答案】(1)证明：对于方程
2
6
0
x
mx
的判别式为
2
24
0
m
，
∴方程
2
6
0
x
mx
一定有两个不相等的实数根；
(2)
1
24
m
(3)m 的值为1 或5
【分析】（1）证明
0
即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可；
（3）设两个方程的公共根为t，则
2
6
0
t
mt
①，2
6
0
t
t
m
②，两方程相减可求出
1
m 或
6
t ，然
后把
6
t 代入方程①求解即可.
【详解】（1）略
（2）解：方程
2
6
0
x
x
m
的判别式为
21
4
6
24
1
m
m
，
∵方程
2
6
0
x
x
m
一定有实数根，
∴24
1
0
m
，
∴
1
24
m
；
（3）解：设两个方程的公共根为t，则
2
6
0
t
mt
①，
2
6
0
t
t
m
②，
①－②得
1
6
1
0
m
t
m
，即
1
m 或
6
t ，
当
6
t 时，即
2
6
6
6
0
m
，解得
5
m
，
当
1
m ，
5
m
时，均在
1
24
m
的范围，即两个方程均有实数根，
综上，m 的值为1 或5．
