人教2026版初中《暑假预习讲义》第03讲用公式法求解一元二次方程(原卷版)_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》_（数学）2026版初中《暑假衔接讲义》新9年级上册（人教）

第03 讲用公式法求解一元二次方程
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 求一元二次方程中判别式的值
题型2 利用用公式法还原一元二次方程
题型3 用公式法求解一元二次方程
题型4 用公式法解一元二次方程的错题复原问题
题型5 根据判别式判断一元二次方程根的情况
题型6 根据一元二方程根的情况求参数
题型7 一元二方程中参数与其他综合问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
公式法、求根公式、判
别式、根的个数、通法。
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，体会配方法的应用。
2. 掌握根的判别式∆= b2 - 4ac 的作用，能判别方程根的情况。
3. 能熟练运用公式法解一元二次方程，并规范书写求解步骤。
4. 体会从一般到特殊的思想，感受数学公式的简洁美与通用性。
学习重点：求根公式
−�± �2−4��
2�
的运用，以及用判别式判断根的情况。
学习难点：求根公式的推导过程（配方法变形），以及当∆< 0 时对“方程无实数根”的理解。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
一元二次方程
，当
时，
.
2.用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解关于x 的一元二次方程
的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c 的值（要注意符号）；③求出
的值；
④若
，则利用公式
求出原方程的解；若
，则原方程无实根.
【易错提醒】
先化为一般式ax2+bx+c=0，准确确定a,b,c 及符号。计算判别式∆=b2-4ac 时，注意公式为x=
−�± ∆
2�，a 在分
母勿漏。
即时即练1．解方程：
2
3
8
3
0
x
x



．
2．解方程：
2
2
3
9
0
x
x



．
知识点02
一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程
)
0
(
0
2




a
c
bx
ax
中，
ac
b
4
2 
叫做一元二次方程
)
0
(
0
2




a
c
bx
ax
的根的判
别式，通常用“ ”来表示，即
ac
b
4
2 


；
（1）当△>0 时，一元二次方程有2 个不相等的实数根；
（2）当△=0 时，一元二次方程有2 个相等的实数根；
（3）当△<0 时，一元二次方程没有实数根.
要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定
c
b
a
.
,
的值；③计算
ac
b
4
2 
的值；④根据
ac
b
4
2 
的符号判定方程根的情况.
2. 一元二次方程根的判别式的逆用
在方程


0
0
2




a
c
bx
ax
中，
（1）方程有两个不相等的实数根
ac
b
4
2 
﹥0；
（2）方程有两个相等的实数根
ac
b
4
2 
=0；
（3）方程没有实数根
ac
b
4
2 
﹤0.
要点：
（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0 这一条件；
（2）若一元二次方程有两个实数根则
ac
b
4
2 
≥0.
【易错提醒】
使用前提是方程为一元二次方程（即a ≠0）。∆=b2-4ac。∆> 0 时有两个不等实根；∆= 0 时有两个相等实根；
∆<0 时无实数根。
即时即练1．一元二次方程
2
6
0
x
x



根的情况是（
）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不等的实数根
C．没有实数根
D．只有一个实数根
2．已知关于x 的一元二次方程


2
2
2
1
5
0
x
m
x
m





有两个不相等的实数根．
(1)求m 的取值范围；
(2)若该方程有一个根为2，求方程的另一个根．
题型1 求一元二次方程中判别式的值
【例1】一元二次方程方程
2
3
1
0
x
x


的根的判别式的值为
．
【例2】一元二次方程
2
2
5
1
0
x
x


的根的判别式的值是
．
【技巧归纳】
1. 化标准式：整理为ax2+bx+c=0，确定a,b,c。
2. 代公式：计算∆= b2-4ac，注意符号与括号。
3. 化最简：结果保留根号或小数，无需开方判断。
【变式1-1】关于x 的一元二次方程
2
2
4
0
x
x
m



的根的判别式的值为24，则m 
．
【变式3】若关于x 的一元二次方程


2
2
1
2
0
2 x
m
x
m




，其根的判别式的值为8，则m 的值是
．
题型2 利用用公式法还原一元二次方程
【例3】在用求根公式
2
4
2
b
b
ac
x
a



求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a ，b ，c 得到


2
3
3
4
2
( 1)
2
2
x






，则她求解的一元二次方程是（）
A．
2
2
3
1
0
x
x


B．
2
2
4
1
0
x
x


C．
2
3
2
0
x
x




D．
2
3
2
0
x
x




【例4】用公式法解一元二次方程的根为


2
4
4 3
1
2 3
x




，该方程为（
）
A．
2
3
2
1
0
x
x


B．
2
2
4
1
0
x
x


C．
2
2
3
0
x
x



D．
2
3
2
1
0
x
x
-
- =
【技巧归纳】
1. 反用求根公式：已知根x=
−�± ∆
2�，可设a=1，由和x1+x2=-b，积x1x2=c 还原方程。
2. 注意整数化：将系数化为整数，避免分母。
【变式1-1】在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到




2
5
5
4 2
1
2 2
x





，则该一元二次方程
可能为（
）
A．
2
2
5
1
0
x
x


B．
2
2
5
1
0
x
x


C．
2
2
5
1
0
x
x



D．
2
5
2
1
0
x
x


【变式3】在用求根公式
2
4
2
b
b
ac
x
a



求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了a
b
c
、、，得到
2
3
4 2 ( 1)
2
( 3)
2
x






，则她求解的一元二次方程是（）
A．
2
2
3
1
0
x
x


B．
2
2
3
1
0
x
x


C．
2
2
3
1
0
x
x



D．
2
3
2
1
0
x
x
-
- =
题型3 用公式法求解一元二次方程
【例5】解方程：
2
3
10
6
0
x
x



【例6】解方程：
2
2
6
5
0
x
x



．
【技巧归纳】
1. 化为一般式：ax2+bx+c=0（a≠0）。
2. 计算判别式：∆=b2-4ac。
3. 代入求根公式：x=
−�± ∆
2�，∆<0 时无实数根。
【变式1-1】解方程：


2
1
2
2
2
0
2 x
x




．
【变式3】解方程
(1)
2
2
5
2
0
x
x



(2)
2
2 2
3
0
x
x



题型4 用公式法解一元二次方程的错题复原问题
【例7】嘉嘉同学解一元二次方程
2
2
1
0
x
x


的过程如下．
解：
2
2
1
0
x
x


，①
2
a 
，
1
b ，
1
c ，②
2
2
4
2
4
0
b
ac





，③
方程有两个相等的实数根
1
2
1
2
4
b
x
x
a



④
(1)嘉嘉解方程的方法是______；他的求解过程从第______步开始出现错误．
(2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根．
【例8】阅读材料，并回答问题：
嘉淇在学习一元二次方程时，解方程
2
2
3
x
x


的过程如下：
解：∵
2
a 
，
1
b ，
3
c 
①
∴


2
2
Δ
4
1
4
2 3
b
ac




②
1 24
25
0



③
∴此方程无解．
问题：
(1)上述过程中，从步开始出现了错误（填序号）；
(2)请写出正确的解答过程．
【技巧归纳】
1. 定位错误：检查a,b,c 符号与计算∆过程，找符号、括号或运算错误。
2. 对照正解：用正确公式重算，对比差异点。
3. 整理步骤：规范书写，避免跳步，复查分母2a 及平方根处理。
【变式1-1】小明在解方程
2
5
3
x
x

的过程中出现了错误，其解答如下：
解：
1
a 

，
5
b ，
3
c ，第一步




2
2
4
5
4 1
3
37
b
ac





，第二步
5
37
2
x



，第三步
1
5
37
2
x



，
2
5
37
2
x


．第四步
(1)问：小明的解答是从第______ 步开始出错的；
(2)请写出本题正确的解答．
【变式3】发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程
2
7
10
0
x
x



的两个根，求等腰三角形ABC
三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原
因．
涵涵的作业：
解：
2
7
10
0
x
x



．
1
a ，
7
b ，
10
c 
．
2
4
9
0
b
ac




，
①
2
4
7
3
2
2
b
b
ac
x
a






．
②
1
5
x


，
2
2
x 
．
③
所以，当腰为5，底为2 时，等腰三角形的三条边为5，5，2．
④
当腰为2，底为5 时，等腰三角形的三条边为2，2，5．
⑤
(1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号）．
(2)探究应用：请解答以下问题：
已知等腰三角形ABC 的一腰和底边的长是关于x 的方程
2
1
0
2
4
m
x
mx




的两个实数根．
①
2
m 
时，求
ABC

的周长；
②当
ABC

为等边三角形时，求m 的值．
题型5 根据判别式判断一元二次方程根的情况
【例9】关于x 的一元二次方程
2
2
3
0
x
x



的根的情况是（
）
A．无实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
【例10】若
2
x 
是方程
2
3
0
x
x
m



的一个根，则此方程的根的情况是（
）
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．
0
m 
时，没有实数根
【技巧归纳】
1. 化标准式：ax2+bx+c=0（a≠0），计算∆=b2-4ac。
2. 判断：∆>0 两不等实根；∆=0 两相等实根；∆<0 无实根。
【变式1-1】关于x 的一元二次方程
2
1
0
x
mx


的根的情况是（
）
A．只有一个实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
【变式3】若
0
k 
，关于x 的一元二次方程
2
1
0
kx
x


的根的情况是（
）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
题型6 根据一元二方程根的情况求参数
【例11】已知关于x 的一元二次方程
2
2
1
0
mx
mx


的两个实数根相等，则m 
．
【例12】若关于x 的方程
2
3
2
x
x
c



无解，那么实数c 的取值范围是
．
【技巧归纳】
1. 化标准式：整理为ax2+bx+c=0，注意二次项系数含参数时不等于0。
2. 列不等式：根据根的情况（两不等、两等、无实数根）列∆> 0、=0、< 0。
3. 解参数范围：解不等式或方程，注意二次项系数不为零。
【变式1-1】若关于x 的一元二次方程
2
2
4
1
0
x
x
a


有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是
．
【变式3】已知关于x 的一元二次方程


2
2
3
1
0
ax
a
x
a




有实数根，则实数a 的取值范围是
题型7 一元二方程中参数与其他综合问题
【例13】已知关于x 的方程
2
(
1)
2(
1)
0
x
m
x
m




．
(1)求证：无论m 取何值，该方程总有实数根；
(2)若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m 的值，并求出此时方程的根．
【例14】已知平行四边形ABCD 的两边AB
AD
、
的长是关于x 的一元二次方程
2
8
0
x
x
m



的两个实数根．
(1)若AB 的长为6，求m 的值；
(2)m 为何值时，平行四边形ABCD 是菱形？求出此时菱形的边长．
【技巧归纳】
1. 先判△：保证方程有实根（含参数时列∆≥0）。
2. 韦达定理：x1+x2、x1x2 代入条件（如x12+x22、
1
�1+
1
�2）列方程。
3. 验取舍：检验参数是否满足∆≥0 及分母不为0。
【变式1-1】已知关于x 的一元二次方程


2
)
2
0
a
c x
bx
a
c





（
，其中a ，b ，c 分别为
ABC

的三边长．
(1)如果方程的一个根为1
，试判断
ABC

的形状，并说明理由．
(2)如果
ABC

是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
(3)如果方程有两个相等的实数根，试判断
ABC

的形状，并说明理由．
【变式3】已知关于x 的一元二次方程
2
2
(2
1)
0
x
k
x
k
k





．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若
ABC

的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，
①若
3
k 
时，请判断
ABC

的形状并说明理由；
②若
ABC

是等腰三角形，求等腰三角形的周长．
一、单选题
1．关于x 的一元二次方程
2
2
5
3
0
x
x



，判别式的值为（
）
A．1

B．1
C．2
D．2

2．下列一元二次方程的根可以根据
2
3
3
4
2 1
2
2
x





计算得出的是（
）
A．
2
2
3
1
0
x
x


B．
2
2
3
1
0
x
x


C．
2
3
2
0
x
x



D．
2
2
3
0
x
x




3．方程
2
3
6
x
x


的根的情况为（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
4．若关于x 的一元二次方程
2
3
1
0
ax
x


无实数根，则a 的值可以是（
）
A．
3
B．0
C．2

D．3

5．已知一元二次方程

2
2
2
1
0
m
x
x



有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（
）
A．
3
m 
B．
3
m 
且
2
m 
C．
3
m 
且
2
m 
D．
3
m 
二、填空题
6．一元二次方程
2
2
1
0



x
x
的根的判别式的值是______．
7．一元二次方程
2
2
3
1
x
x

的根为______．
8．已知方程
2
4
5
0
x
mx



根的判别式的值为124，则m ______．
9．若关于x 的一元二次方程
2
4
3
0
x
x
m



有两个相等的实数根，则m 的取值是_____．
10．若关于x 的一元二次方程

2
2
2
3
0
k
x
x




有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．
三、解答题
11．用公式法解下列方程：
(1)
2
3
4
1
0
2 x
x


；
(2)
2
6
4
3
x
x


；
(3)
2
3
6
1
0
x
x


．
12．小明在解方程
2
x
4x
2

时出现了错误，解答过程如下：
1,
4,
2
a
b
c




（第一步）




2
2
4
4
4 1
2
24
b
ac





（第二步）
4
24
2
x



（第三步）
1
2
2
6,
2
6
x
x



（第四步）
(1)小明解答过程开始出错的是_______；
(2)写出此题正确的解答过程．
13．m 为实数，关于x 的方程为


2
2
1
x
m
x
m



．
(1)判断方程根的情况．
(2)若方程的两根为
1
x ，
2x ，当
1
2
2
3
x
x


时，求m 的值．
14．已知关于x 的一元二次方程



2
2
0
a
c x
bx
a
c





．其中a、b、c 分别为
ABC

边的长．
(1)如果
1
x 是方程的根，试判断
ABC

的形状，并说明理由．
(2)如果方程有两个相等的实数根．试判断
ABC

的形状，并说明理由．
15．定义：若一元二次方程


2
0
0
ax
bx
c
a




满足b
a
c


，则称该方程为“和谐方程”．
(1)下列方程属于“和谐方程”的是；（填序号）
①
2
3
4
1
0
x
x


；②
2
2
1
0
x
x



；③
2
2
2
0
x
x


(2)求证：和谐方程总有实数根；
(3)已知一元二次方程


2
0
0
ax
bx
c
a




为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c 的数量关
系．