第11 讲二次函数与一元二次方程
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 二次函数与坐标轴的交点
题型2 根据二次函数的图象确定一元二次方程的根
题型3 求x 轴与抛物线的截线长
题型4 图象法解一元二次方程的近似根
题型5 图象法解一元二次不等式
题型6 利用不等式求自变量或函数值的范围
题型7 根据交点确定不等式的解集
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
交点、横坐标、判别式、
根的个数、数形结合、
近似解。
1. 理解二次函数图象与x 轴交点的横坐标即对应一元二次方程的实数根。
2. 掌握通过判别式∆= b2 - 4ac 判断抛物线与x 轴交点个数：∆>0 两个交点，
∆=0 一个交点，∆< 0 无交点。
3. 能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，体会数形结合思想。
4. 经历从函数视角看方程的过程，理解函数与方程的内在联系，培养转化与
综合思维能力。
学习重点:二次函数图象与x 轴交点个数与一元二次方程根的个数之间的对应关系。
学习难点:理解“交点的横坐标即方程的根”的几何意义，以及利用函数图象求方程近似解时如何确定
逼近范围。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 二次函数与坐标轴的交点
二次函数与坐标轴的交点知识总结
1. 与y 轴的交点：
- 求法：令x=0，代入y=ax²+bx+c（a≠0），得y=c，交点为(0, c)。
- 特征：必过一点，横坐标恒为0，纵坐标为常数项c。
2. 与x 轴的交点：
- 求法：令y=0，解一元二次方程ax²+bx+c=0，根x₁、x₂对应交点(x₁, 0)、(x₂, 0)。
- 根的情况与交点个数：
- Δ＞0：2 个不同交点（方程有两个不等实根）；
- Δ=0：1 个交点（方程有两个相等实根，为顶点）；
- Δ＜0：无交点（方程无实根）。
3. 核心思想：
- 转化思想：将交点问题转化为解方程问题；
- 数形结合：通过函数图像直观判断交点个数与位置。
【易错提醒】
与y 轴交点即(0,c)。与x 轴交点即方程ax2+bx+c=0 的解，个数由判别式∆=b2-4ac 决定（两/一/无）。注意：
∆≥0 才有交点，勿忽略判别式。
即时即练1．二次函数
2
=
2
3
y x
x
的图象与x 轴的交点坐标是（
）．
A．
1,0 和
3,0
B．
1,0
和
3,0
C．
1,0 和
3,0
D．
1,0
和
3,0
2．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
4
5
y
x
x
与y 轴交于点C，则点C 的坐标为
．
知识点02
二次函数与一元二次方程
二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）
1.抛物线与x 轴的交点的横坐标→一元二次方程ax2+bx+c=0 的解.
2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c 的函数值为s，求自变量x 的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=s.
【易错提醒】
函数y=ax2+bx+c\) 与\(x\) 轴交点横坐标即方程ax2+bx+c=0 的实数根。∆>0 两不等根；∆=0 一重根；∆<0
无实根（无交点）。勿忽略判别式与根的关系。
即时即练1．已知抛物线
2
0
y
ax
c a
与直线y
kx
b
交于点
1,3
A
和点
5, 2
B
，则关于x 的方程
2
0
ax
kx
c
b
的解是（
）
A．
2
x
或
3
x
B．
2
x 或
3
x
C．
1
x 或
5
x
D．
1
x 或
5
x
2．若二次函数
2
1
2
y
x
bx
c
的部分图象如图所示，关于x 的一元二次方程
2
1
0
2 x
bx
c
的一个解
1
3
x
，
则另一个解
2x
．
题型1 二次函数与坐标轴的交点
【例1】（25-26 九年级上·云南曲靖·阶段练习）二次函数
2
=
2
3
y x
x
的图象与x 轴的交点坐标为（
）
A．( 1,0)
和(3,0)
B．(1,0) 和( 3,0)
C．(0, 1)
和(0,3)
D．(0,1)和(0, 3)
【例2】（24-25 九年级上·广东江门·期中）二次函数
2
2
0
y
ax
ax
c a
的图象过点
3,0 ，则
2
2
0
ax
ax
c
的解为（
）
A．
1
3
x ，
2
1
x
B．
1
3
x ，
2
1
x
C．
1
3
x
，
2
1
x
D．
1
3
x
，
2
1
x
【技巧归纳】
与y 轴交点：(0,c)。与x 轴交点：解方程ax²+bx+c=0，根即为横坐标，个数由Δ决定。当Δ=0 时一个交点
（顶点在x 轴）；Δ>0 两交点；Δ<0 无交点。代入即可。
【变式1-1】（25-26 九年级上·上海·期中）二次函数
2
2
3
y
x
x
的图像与x 轴的交点坐标是
．
【变式1-2】（25-26 九年级上·山东滨州·阶段练习）抛物线
2
y
x
bx
c
的部分图像如图所示，则关于x 的
方程
2
0
x
bx
c
的解是
．
题型2 根据二次函数的图象确定一元二次方程的根
【例3】（25-26 九年级上·广东汕尾·月考）已知二次函数
2
2
y
x
x
m
的部分图像如图所示，则关于x
的一元二次方程
2
2
0
x
x
m
的正数解为（
）
A．1
B．3
C．2
D．0
【例4】（24-25 九年级上·浙江温州·开学考试）如图，抛物线
2
y
ax
与直线y
kx
b
的两个交点坐标分别
为
( 1,1), (3,9)
A
B
，则方程
2
ax
kx
b
的解是（
）
A．
1
2
1,
1
x
x
B．
1
2
1,
3
x
x
C．
1
2
1,
9
x
x
D．
1
2
3,
9
x
x
【技巧归纳】
一元二次方程ax²+bx+c=0 的根即抛物线y=ax²+bx+c 与x 轴交点的横坐标。图象与x 轴有几个交点，方程
就有几个实根。交点横坐标即为根，可用对称轴和顶点辅助判断根的情况。
【变式2-1】（25-26 九年级上·吉林·期中）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
的部分图象如图所示，则关于x 的
一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的解为
．
【变式2-2】（25-26 九年级上·甘肃临夏·期中）已知二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的图象如图所示，回答
下列问题：
(1)方程
2
0
ax
bx
c
的根是______；
(2)当
0
y
时，x 的取值范围是______；
(3)若点
1
2
2,
, 3,
y
y
均在二次函数的图象上，直接写出
1y 、
2y 的大小关系．
题型3 求x 轴与抛物线的截线长
【例5】（25-26 九年级上·新疆喀什·期中）二次函数
2
2
3
y
x
x
的图象与x 轴交于A，B 两点，则线段AB
的长度为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【例6】（2025·四川眉山·二模）已知：抛物线
2
3
y
x
mx
与x 轴交于A、B 两点，且
4
AB
，则m 的值
为（
）
A．2
B．2
C．2
D．4
【技巧归纳】
先解ax²+bx+c=0 得两交点x₁ 、x₂ ，截线长=|x₁ -x₂ | = √[(x₁ +x₂ )²-4x₁ x₂ ] = √[(b²-4ac)/a²] (a≠0)。
也可用公式：Δ≥0 时，长=√Δ/|a|。需确保两交点存在。
【变式3-1】（24-25 九年级上·安徽合肥·月考）已知二次函数
2
4
8
0
y
ax
ax
a
的图象与x 轴交于A，
B 两点．若
6
AB
，则a
．
【变式3-2】（24-25 九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，二次函数
2
y
x
x
2
的图象与x 轴交于A ，B
两点（点A 在点B 的左侧）．
(1)若
2,
P
m
为二次函数
2
y
x
x
2
的图象上一点，求m 的值；
(2)求AB 的长．
题型4 图象法解一元二次方程的近似根
【例7】（25-26 九年级上·安徽·阶段练习）二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象如图所示，
2.18,
0.51
A
，
2.68,0.54
B
为图象上的两点，则方程
2
0
ax
bx
c
的一个解可能是（
）
A．2.18
B．2.68
C．0.51
D．2.45
【例8】（25-26 九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数
2
2
y
ax
ax
c
中部分x 和y 的值如下表所示：
x
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
y
0.89
0.56
0.25
0.04
0.31
则方程
2
2
0
ax
ax
c
的一个较大的根的范围是（
）
A．0.5
0.4
x
B．0.6
0.5
x
C．2.4
2.5
x
D．2.5
2.6
x
【技巧归纳】
画出抛物线y=ax²+bx+c，观察与x 轴交点横坐标。在交点附近取x 值，计算函数值，用二分法逐步逼近使
y≈0 的x。也可用网格纸估读，精确到小数点后一位或两位。注意端点函数值异号。
【变式4-1】（25-26 九年级上·广东广州·期中）下表是一组二次函数
2
3
5
y
x
x
的自变量x 与函数值y
的对应值，那么方程
2
3
5
0
x
x
的一个近似根的取值范围是
．
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
1
0.49
0.04
0.59
1.16
【变式4-2】（2025·吉林长春·模拟预测）如图是抛物线
2
2
3
y
x
x
的图象，结合图象，可知方程
2
1
2
3
x
x
x
有
个实数根．
题型5 图象法解一元二次不等式
【例9】（25-26 九年级上·北京·期中）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
的部分图象如图所示，若
2
3
ax
bx
c
，
则x 的取值范围是（
）
A．
0
x
B．
0
x
C．2
0
x
D．
2
x 或
0
x
【例10】（25-26 九年级上·黑龙江·阶段练习）如图是二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的图象，下列说法错
误的是（
）
A．y 的最大值是4
B．当3
1
x
时，函数值
0
y
C．当
1
x 时，y 随x 的增大而增大
D．函数的图象关于直线
1
x 对称
【技巧归纳】
画抛物线草图，根据开口方向与x 轴交点，确定函数值正负区间。不等式>0 取x 轴上方的x 范围，<0 取下
方。若开口向下则相反。注意等号时包含交点，用实心点表示。无交点时全正或全负。
【变式5-1】（24-25 九年级下·江苏宿迁·月考）已知二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的图像如图所示，则一
元二次不等式
2
0
ax
bx
c
的解集是
．
【变式5-2】（25-26 九年级上·广东惠州·期中）如图是二次函数
2
y
ax
bx
c
的部分图象，则不等式
2
0
ax
bx
c
的解集是
．
题型6 利用不等式求自变量或函数值的范围
【例11】（2025·四川南充·二模）已知抛物线
2
1
2
y
x
bx
b
与直线
2
3
y
x
在4
4
x
之间有2 个公共
点，则b 的取值范围是（
）
A．
1
b
B．
13
5
b
C．
13
1
5
b
D．13
1
5
b
【例12】（2025·辽宁铁岭·二模）已知点
1
1
,
A x y
在直线
3
y
x
上，点
2
2
,
B x
y
，
3
3
,
C x y
在抛物线
2
3
y
x
x
上，若
1
2
3
y
y
y
且
1
2
3
x
x
x
，则
1
2
3
x
x
x
的取值范围是（
）
A．
1
2
3
0
3
x
x
x
B．
1
2
3
15
4
4
x
x
x
C．
1
2
3
4
6
x
x
x
D．
1
2
3
6
x
x
x
【技巧归纳】
根据函数图象或增减性列不等式。已知y 范围求x：先解方程求边界，结合图象写出对应x 区间。已知x 范
围求y：代入端点求边界，注意开口方向决定最值在顶点或端点。分类讨论。
【变式6-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，二次函数
2
y
ax
bx
c
的部分图象与x 轴交于点(
)
3,0
-
，
对称轴为直线
1
x ，则当函数值
0
y
时，自变量x 的取值范围是
；
【变式6-2】（24-25 八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数
2
1
4
3
3
y
x
x
，
2
a
x
a
时函数y 的
最大值是1，则a
．
题型7 根据交点确定不等式的解集
【例13】（25-26 九年级上·广东广州·期中）二次函数
2
2
3
y
x
x
的图象如图所示，则函数值
0
y
时，x
的取值范围是（
）
A．1
3
x
B．
1
x
C．
3
x
D．
1
x 或
3
x
【例14】（25-26 九年级上·黑龙江佳木斯·月考）如图，已知抛物线
2
y
ax
c
与直线y
kx
b
交于
1
3,
A
y
，
2
1,
B
y
两点，则关于x 的不等式
2
ax
c
kx
b
的解集是（
）
A．
3
x 或
1
x
B．
3
x 或
1
x
C．3
1
x
D．1
1
x
【技巧归纳】
先求出两函数交点横坐标，将数轴分成若干区间。在每个区间内比较两函数值大小（通过图象上下位置）。
图象在上方则函数值大。再结合不等式方向写出对应x 的范围，注意等号取交点。
【变式7-1】（25-26 九年级上·四川泸州·期中）如图，已知二次函数
2
1y
ax
bx
c
（
0
a
）与一次函数
2y
kx
m
（
0
k
）的图象交于点，
1,3
A
，
6,1
B
，则不等式
2
0
ax
b
k x
c
m
的解集是
．
【变式7-2】（25-26 九年级上·广东珠海·期中）已知二次函数
2
2
8
6
y
x
x
．
(1)该函数的顶点坐标是，与x 轴的交点坐标是．
(2)根据图象回答：0
3
x
时，y 的取值范围是．
(3)根据图象回答：当
0
y
时，x 的取值范围是．
一、单选题
1．二次函数
2
4
3
y
x
x
的图象与x 轴的交点个数为（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
2．若抛物线
2
3
y
x
x
m
与x 轴没有交点，则m 的取值范围是（
）
A．
9
4
m
B．
9
4
m
C．
9
4
m
D．
9
4
m
3．下列表格中是二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的自变量x 与函数y 的一些对应值，可以判断一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
的一个近似根是（
）
x
6.7
6.8
6.9
7.0
2
y
ax
bx
c
0.3
0.1
0.2
0.6
A．6.7
B．6.8
C．6.9
D．7.0
4．已知抛物线
2
(
)
4
0
y
ax
x
c a
的对称轴为直线
2
x ，当4
1
x
≤≤
时，抛物线与x 轴有且只有一个
交点，则c 的取值范围为（
）
A．0
3
c
B．3
0
c
C．3
0
c
D．
4
c 或3
0
c
5．已知二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象如图所示，对称轴为直线
1
x ，则下列结论正确的是（
）．
A．
0
ac
B．方程
2
0
ax
bx
c
的两根是
1
1
x ，
2
3
x
C．不等式
2
0
ax
bx
c
的解集是1
3
x
D．当
0
x
时，y 随x 的增大而减小
二、填空题
6．若抛物线
2
2
y
x
x
m
与x 轴没有交点，则m 的值可以是_______．（写出一个即可）
7．填空：
（1）抛物线
2
3
2
y
x
x
与y 轴的交点坐标是________，与x 轴的交点坐标是________；
（2）抛物线
2
2
5
3
y
x
x
与y 轴的交点坐标是________，与x 轴的交点坐标是________．
8．如图，抛物线
2
y
ax
与直线y
bx
c
的两个交点坐标分别为
( 3,9)
A
，(1,1)
B
．则不等式
2
ax
bx
c
的解
是________．
9．已知二次函数
2
2
y
x
bx
c
= -
+
+
的图象与x 轴的两个交点的距离为6 ，则该函数图象的顶点的纵坐标为
______．
10．如图为二次函数
2
2
y
ax
ax
c
的图象，该图象与x 轴的两个交点分别为
4,0
A
，B．下列说法正确
的是_________（写出所有正确结果的序号）．
①对称轴为直线
1
x ；②当
0
x＜时，y 随x 的增大而增大；③
2
4
4
0
a
ac
＞；④8
0
a
c
．
三、解答题
11．已知函数
2
2
y
x
mx
m
．
(1)求证：不论m 为何实数，此二次函数的图象与x 轴都有两个不同的交点；
(2)若
2
m
，求函数与x 轴的交点坐标．
12．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线
1
x ，与y 轴的交点为
0,3 ，与x 轴的一个交点为
1,0 ．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求该图象与x 轴的另一个交点坐标；
(3)观察图象，当4
0
x
时，直接写出y 的取值范围．
13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数
2
4
0
y
ax
bx
a
的图象与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交
于点C，且
4
OA
OC
OB
．
(1)填空：
①点A 的坐标为______；
②点B 的坐标为______；
③直线CA 的表达式为______；
(2)求该二次函数的解析式；
(3)当1
x
m
时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m 的取值范围．
14．已知二次函数
2
1
3
y
a x
x
a
（a 为常数，
0
a
），顶点坐标为
,
m n ．
(1)当
0
n
时，a ；
(2)当
0
a
时，
①求证：二次函数的图像与x 轴总有两个公共点；
②若二次函数图像与x 轴的交点都在y 轴的右侧，则n 的取值范围为．
