文档文本内容
第07 讲二次函数的概念
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 二次函数的识别
题型2 根据二次函数的定义求参数
题型3 二次函数的一般形式
题型4 二次函数的各项系数
题型5 二次函数图象上点的坐标特征
题型6 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用）
题型7 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形）
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
二次函数、一般形
式、a≠0、二次项
系数、函数模型。
1. 理解二次函数的概念，掌握其定义的三要素（整式、自变量的二次式、a≠0）。
2. 能识别二次函数的二次项、一次项、常数项及各项系数。
3. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式，并确定自变量的取值范围。
4. 体会二次函数与一次函数、反比例函数的区别，感悟函数模型的多样性。
学习重点：二次函数的概念及一般形式y = ax2 + bx + c（a≠0），能准确识别各项系数。
学习难点：从实际问题中抽象出二次函数模型，以及理解a≠0 的必要性（区分二次函数与一次函数）。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 二次函数的概念
1.形如
c
bx
ax
y
2
（其中
c
b
a
,
,
是常数，
0
a
）的函数叫做二次函数，称a 为二次项系数，b 为一
次项系数，c 为常数项.
注意：二次项系数
0
a
，而b
c
，可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．
【易错提醒】
形如y=ax2+bx+c，必须满足a ≠0。若a=0 则为一次函数。同时x 的最高次数必须为2，且是整式，分母中
不能有自变量。
即时即练1．下列函数属于关于x 的二次函数的是（
）
A．
2
1
2
y
x
x
B．
2
2
2
y
x
x
C．
2
3
2
1
y
x
x
D．
2
y
ax
bx
c
2．若
2 2
2
3
m
y
m
x
x
是关于x 的二次函数，则m 的值为
．
知识点02
二次函数的一般形式
一般式：
2
y
ax
bx
c
（a ，b ，c 为常数，
0
a
）；
【易错提醒】
一般式为y=ax2+bx+c（a≠0）。注意各项系数a,b,c 要带前面的符号。化为一般式时需去括号、合并同类项，
并按x 降幂排列，右边为0。
即时即练1．二次函数
2
2
1
y
x
的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（
）
A．2，0，1
B．2，2，1
C．2，2，1
D．2，0，1
2．已知二次函数
2
1
y
x x
，则a
，b
，c
．
题型1 二次函数的识别
【例1】下列各式中，y 是x 的二次函数的是（
）
A．
2
y
x
B．
3
1
y
x
=
+
C．
2
2
1
y
x
D．
2
1
y
x
【例2】在下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（
）
A．
2
3
y
x
B．
2
3
y
x
C．
2
2
1
y
x
D．
2
y
ax
bx
c
【技巧归纳】
1. 看形式：y = ax2 + bx + c（a≠0），最高次为2，整式方程。
2. 判非零：确保二次项系数不为0。
3. 排除法：若可化为上述形式即为二次函数。
【变式1-1】下列函数中，是二次函数的是（
）
A．
2
1
4
y
x
B．
2
2
3
y
x
x
C．
2
1
4
2
y
x
D．
1
4
y
x
【变式1-2】下列函数是二次函数的是（
）
A．
1
y
x
x
B．
1
y
x
C．
2
6
7
y
x
x
D．y
x
题型2 根据二次函数的定义求参数
【例3】已知
2
m
y
m
x
是关于x 的二次函数，那么m
．
【例4】若
2 1
1
1
m
y
m
x
是关于x 的二次函数，则m 的值是
．
【技巧归纳】
1. 化为标准式：整理成y = ax2 + bx + c。
2. 列条件：二次项系数a≠0，且x 最高次数为2。
3. 解参数：列方程或不等式求解，注意排除使a=0 的值。
【变式2-1】若函数
2
4
(
3)
k
k
y
k
x
是关于x 的二次函数，则k
．
【变式2-2】若
2 2
(
2)
4
m
y
m
x
x
m
是关于x 的二次函数，则m 的值为
．
题型3 二次函数的一般形式
【例5】将二次函数
1
3
y
x x
x
化为一般形式后，正确的是（
）
A．
2
3
y
x
x
B．
2
2
3
y
x
x
C．
2
2
y
x
x
D．
2
2
y
x
x
【例6】把二次函数
2
2
3
1
y
x
x x
化为一般形式，一次项系数为（
）
A．2
B．3
C．5
D．7
【技巧归纳】
1. 标准形式：y = ax2 + bx + c（a≠0），按降幂排列。
2. 识别系数：a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
3. 注意缺项：缺项时系数为0，如y=ax2+c 则b=0。
【变式3-1】将二次函数
2
(
1)
2
y
x
整理为一般式得
【变式3-2】将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)
2
1 2
4
y
x
x
；
(2)
1 3
2
6
y
x
x
．
题型4 二次函数的各项系数
【例7】二次函数
2
5
2
y
x
x
的一次项系数是（
）
A．1
B．5
C．2
D．2
【例8】二次函数
2
1 (
2)
3
2
y
x
的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（
）
A．1
2 ，2
，3
B．1
2 ，2
，1
C．1
2 ，4，3
D．1
2 ，4
，1
【技巧归纳】
1. 化标准式：整理为y=ax2+bx+c。
2. 对应找系数：a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
3. 注意符号：带符号移项，缺项系数为0。
【变式4-1】把
2
3
6
y
x
x
变成一般式，二次项系数为
，一次项系数为
，常数项为
．
【变式4-2】二次函数
2
3
4
5
y
x
x
中，二次项系数是
，一次项系数是
．
题型5 二次函数图象上点的坐标特征
【例9】已知二次函数
²
3
1
y
x
x
，当
2
x
时，y 的值为（
）
A．1
B．3
C．3
D．11
【例10】已知
2
2
(
2)
2
y
a
x
x
a
是关于x 的二次函数，其图象经过(0,4) ，则a 的值为（
）
A．
2
a
B．
2
a
C．
2
a
D．无法确定
【技巧归纳】
1. 代入验证：将点坐标代入解析式，满足则在图象上。
2. 利用对称轴：若两点纵坐标相等，则它们关于对称轴对称。
3. 求点坐标：已知横坐标代入求纵坐标，或设纵坐标列方程求横坐标。
【变式5-1】若二次函数
2
2
2
y
mx
x
m
m
的图象经过原点，则m 的值为（
）
A．0
B．2
C．2 或0
D．无法确定
【变式5-2】已知二次函数
2
1
y
x
mx
m
，当m
时，图象经过原点．
题型6 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用）
【例11】参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了y 次手，那么y 与到会人数x 之间的函数关系式
是（
）
A．
2
1
2
y
x
x
B．
2
1
1
2
2
y
x
x
C．
2
y
x
x
=
-
D．
2
y
x
x
【例12】某工厂七月份生产零件50 万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为x ，如果第三季度共生产零
件y 万个，那么y 与x 满足的函数关系式是（
）
A．
2
50 1
y
x
B．
50
50 1
y
x
C．
2
50 1
50 1
y
x
x
D．
2
50
50 1
50 1
y
x
x
【技巧归纳】
1. 找等量关系：根据几何（面积）、利润（单利×销量）等列式。
2. 设自变量：选择影响结果的关键量，表示函数关系。
3. 定定义域：考虑实际限制（如边长>0、销量≥0），写出取值范围。
【变式6-1】中国地铁已经成为一张见证时代发展的名片，2022 年我国地铁运营里程约为0.8 万公里．若2024
年运营里程约为y 万公里，运营里程的年平均增长率为x，则y 关于x 的函数表达式为
．
【变式6-2】西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50 元．调查发现，当销售价为120 元时，
平均每天能售出80 个；而当销售价每降低1 元时，平均每天就能多售出5 个．设每个宁萌公仔降价x 元时，
每天获得的利润为y 元，则y 关于x 的函数关系式为
(化为一般式)
题型7 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形）
【例13】用一段44 米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x 米，面积为y 平方米，则y 关
于x 的函数关系式为（
）
A．
2
44
y
x
x
B．
2
44
y
x
x
C．
2
22
y
x
x
D．
2
22
y
x
x
【例14】如图，点
,
,
,
E F G H 分别在正方形ABCD 边
,
,
AB BC CD ，AD 上，且
,
8
AE
BF
CG
DH AB
；
设线段AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数表达式为（
）
A．
2
64
y
x
B．
2
2
64
y
x
C．
2
16
64
y
x
x
D．
2
2
16
64
y
x
x
【技巧归纳】
1. 设关键线段：用未知数x 表示边长、高或距离。
2. 用面积公式：三角形、矩形、梯形面积公式列S 关于x 的表达式。
3. 化简整理：化为S = ax2+bx+c 形式，注意自变量范围由几何约束确定。
【变式7-1】如果圆的半径是4cm ，当半径增加
cm
x
，圆的面积增加
2
cm
y
，则y 关于x 的函数关系式
是
．
【变式7-2】相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长26cm ，宽22cm ，相框边的宽为
cm
x
，
相框内的面积是
2
cm
y
，则y 与x 之间的函数关系式为
．
一、单选题
1．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（
）
A．
2
3
y
x
B．
2
5
13
y
x
x
C．
2
y
ax
bx
c
D．
2
1
2
y
x
x
2．函数解析式
2 2
1
y
x
x
的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（
）
A．1，2 ，1
B．1，2 ，1
C．0 ，2 ，1
D．0 ，2
，1
3．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7 月份售出1500
个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率x ，请问9 月份的销售量y 关于每月增加的百分率x 的函
数解析式是（
）
A．
2
1500 1
y
x
B．
2
1500
1
y
x
C．
2
1
1500
y
x
D．
2
1500
y
x
4．若
2
4
7
5
a
y
a
x
x
是二次函数，则a 的值为（
）
A．4
B．4
C．4
D．2
5．如图，矩形绿地的长、宽分别为30m, 20m ,现将矩形绿地的长、宽各增加xm.设新绿地的周长为ym ,面积
为
2
Sm ，当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，则y 与x , S 与x 满足的函数关系分别是
（
）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．正比例函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系
D．正比例函数关系，一次函数关系
二、填空题
6．二次函数
2
1 1
y
x
x
的二次项系数是______，常数项是_____．
7．若
2 2
1
3
2
a
a
y
a
x
是二次函数，则a _______．
8．若二次函数
2
2
2
1
y
x
ax
a
的图象经过点
1,4
，则a 的值为___________．
9．用一根长为100cm的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为
cm
x
，面积为
2
cm
y
，则y 关于x
的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围）
10．二次函数
2
2
y
ax
bx
与x 轴的一个交点是(1,0) ，则2023
a
b
的值是________．
三、解答题
11．将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)
2
1 2
4
y
x
x
；
(2)
1 3
2
6
y
x
x
．
12．若函数
1
3
2
1
k
y
k
x
x
是二次函数．
(1)求k 的值；
(2)当
1
x 时，求y 的值．
13．已知函数
2 2
2
m
y
m
x
（m 为常数），求当m 为何值时：
(1)y 是x 的一次函数？
(2)y 是x 的二次函数？并求出此时纵坐标为64 的点的横坐标．
14．某种商品的标价为200 元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128 元/件，
并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)若该种商品进价为80 元/件，若以128 元/件售出，平均每天能售出20 件，另外每天需支付其他各种费用
100 元，若每件降价1 元，则每天可多售出5 件，如果将售价定为x 元，每天盈利y 元，请写出y 与x 之间
的函数关系式．
15．如图，要建一个矩形养殖场ABCD ，养殖场的长边靠墙（墙长45 米），并在与墙平行的一边开一道1
米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75 米，设养殖场的宽AD 为x 米，面积为y 平方米．
(1)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)若要建成的矩形养殖场的面积为690 平方米，则养殖场的宽AD 为多少米？
16．【定义】对于函数，若存在自变量
0x
t
时，函数值
0
2
y
t
，则称该函数为“倍动点函数”，点
,2
t
t 为
该函数的一个倍动点．
探究1（一次函数）
（1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）；
①
3
2
y
x
是“倍动点函数”，倍动点为
1, 2
；
②
2
y
x
是“倍动点函数”，且有无数个倍动点；
③
6
y
x
是“倍动点函数”，倍动点为
2,4 ．
探究2（二次函数）
（2）若二次函数
2
4
y
x
x
c
有一个倍动点为
3,6 ，求c 的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，
求出这个点．
