文档文本内容
第03 讲勾股定理的应用
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 勾股定理应用之梯子滑落高度
题型2 勾股定理应用之旗杆高度
题型3 勾股定理应用之小鸟飞行的距离
题型4 勾股定理应用之大树折断前的高度
题型5 勾股定理应用之水杯中的筷子问题
题型6 勾股定理应用之航海问题
题型7 勾股定理应用之河的宽度
题型8 勾股定理应用之台阶上地毯长度
题型9 勾股定理应用之汽车是否超速问题
题型10 勾股定理应用之是否受台风影响问题
题型11 勾股定理应用之选址距离相等问题
题型12 勾股定理应用之几何图形中最短路径问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
勾股定理、最短路径、
化曲为直、建模、构造
直角三角形。
1. 能运用勾股定理解决实际问题，如求线段长度、距离、高度等。
2. 掌握立体图形（如长方体、圆柱）表面最短路径问题的转化方法，体会“化
曲为直”思想。
3. 能根据实际问题构造直角三角形模型，正确建立方程求解。
4. 培养空间想象能力和数学建模意识，感受勾股定理在生活中的广泛应用。
学习重点：运用勾股定理解决实际问题，特别是立体图形表面的最短路径问题。
学习难点：将实际问题转化为数学模型（构造直角三角形），以及立体图形中“展开”与“化曲为直”
的转化方法。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 勾股定理应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在
具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第
三边的平方比较而得到错误的结论.
【易错提醒】
注意单位统一，分清直角边与斜边。无图时需分类讨论（如高在形内或形外），结果保留根号或按要求近
似。
即时即练1．《西江月》中描述：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻
译成现代文为：如图，秋千OA在静止的时候，踏板离地高一尺（
1
AC
尺），将秋千往前推进两步（
10
FB
尺），此时踏板升高离地五尺（
5
BD
尺），求秋千绳索OB的长度．
2．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段MN 上限速60 千米小时，为了检测车辆
是否超速，在公路MN 旁设立了观测点C，从观测点C 测得一小车从点A 到达点B 行驶了5 秒，已知
60
CBN
，
200
BC
米，
100
6
AC
米．
(1)请求出观测点C 到公路MN 的距离；
(2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：
2
1.41
，
3
1.73
）
知识点02
平面展开图-最短路径问题
几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾
股定理求解
【易错提醒】
找准展开方式，画出正确平面图，连直线。注意分类讨论不同路线，比较后取最小值，勿忽略重合点或漏
情况。
即时即练1．综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为5、3、1，A
和B 是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B 点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B 点的
最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接AB，经过计算得到AB
长度即为最短路程，则AB
；（直接写出答案）
【变式探究】
（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发沿
着玻璃杯的侧面到点B ，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高10厘米，底面周长为24厘米，在杯内壁离杯底2厘米的点A处有一滴
蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿1厘米，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂蚁从外壁B 处到内壁A处
所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
题型1 勾股定理应用之梯子滑落高度
【例1】如图，一架长25m的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A 处时，它的底端位于B 处，底
端与墙角O 处的距离为7m．
(1)求这架云梯顶端A 处的高度；
(2)当这架云梯的顶端下滑4m 时，底端也沿OB的向外移动4m 吗?
【例2】物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴
在滑块B 上，另一端拴在物体C上，滑块B 放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B 的左右滑动来调节物体C
的升降，实验初始状态如图1 所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B 的水平距离是6dm，物体C到
定滑轮A的垂直距离是8dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图2，若滑块B 向左滑动了9dm，求此时物体C升高了多少dm？
【技巧归纳】
1. 定不变量：梯子长度不变，墙与地面垂直。
2. 两次勾股：滑落前、后分别用a2+b2=c2 列式。
3. 设变量：设滑动距离，列方程求解，注意高度非负。
【变式1-1】消防车上的云梯示意图如图1 所示，云梯最多只能伸长到25 米，消防车高4 米，如图2，某栋
楼发生火灾，在这栋楼的B 处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A
与楼房的距离OA为15 米．
(1)求B 处与地面的距离．
(2)完成B 处的救援后，消防员发现在B 处的上方4 米的D 处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小
孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC 为多少米？
【变式1-2】按要求完成以下问题
(1)教材呈现：如图1，一架长为2.5m 的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，
底端位于地面的点B 处，点B 到墙面的距离BO为0.7m．如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m，那么梯子顶端
会沿墙AO 下滑多少m？求出梯子会沿墙AO 下滑的距离AC 的长度；
(2)解决问题：如图2，某物流公司仓库内有一座17m的货架AB，货架顶部安装一个高5m的装卸平台AC ，
现需对该平台进行设备检修．一辆高2m的叉车在货架前点M处，展开25m的升降臂（最长25m）刚好接触
到装卸平台底部A点．叉车向货架方向行驶多少m后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点？
请通过计算后说明理由．
题型2 勾股定理应用之旗杆高度
【例3】八年2 班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆AB的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度比
旗杆多1 米，当他们把绳子拉直，绳子末端C刚好接触地面时，此时绳子末端C与旗杆的距离为5 米，求旗
杆AB的高度．
【例4】小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为15 米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25 米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12 米，则他应该往回收线多少米？
【技巧归纳】
1. 两次勾股：绳索拉直前后构成两直角三角形，绳长不变为公共斜边。
2. 设高与水平距：设旗杆高h，水平距离d，分别列方程。
3. 联立消元：解方程组求h。
【变式2-1】学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3 米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离CD为3 米，到旗杆的距离CE为10 米（如图
2）．
根据以上信息，求旗杆AB的高度．
【变式2-2】学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度．小华测得从旗
杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2 米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直
时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离CD为1 米，到旗杆的距离CE为9 米（如图2）．
(1)设AB长为x 米，绳子为_____米，AE为_____米（用x 的代数式表示）；
(2)请你求出旗杆的高度AB．
题型3 勾股定理应用之小鸟飞行的距离
【例5】如图，树根下有一个蛇洞，树高15m，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距
离还有3 倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处
扑击才能恰好抓到蛇．
【例6】如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高20m，两杆相距50m．现两杆上各有一只
鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E 处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只
鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E 处的距离各是多少？
【技巧归纳】
1. 构造直角三角形：以起点与终点横向、纵向距离为直角边。
2. 勾股求斜边：飞行最短距离=
∆�2 + ∆�2。
3. 注意单位：统一长度单位，方向变化需分段计算。
【变式3-1】如图，小明操纵无人机从树尖A飞向旗杆顶端C，已知树高5m，旗杆高21m，树与旗杆之间的
水平距离为1 2 m ，则无人机飞行的最短距离为多少？
【变式3-2】如图1，有两棵树，一棵高18米（
18
AB
米），另一棵高2米（
2
CD米），两树相距12米（
12
BD
米）．
(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图2，台风过后，高18米的树AB在点M 处折断，大树顶部落在点D 处，则树AB折断处M距离地面
多少米？
题型4 勾股定理应用之大树折断前的高度
【例7】如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6 米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8 米处，大树
折断之前有多高？
【例8】如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B 着地且离旗杆底部A的距离为4 m ．
(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)在折断点C的下方0.5 m 的点P 处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P 处吹断，那么行人在距离
旗杆底部5 米处是否有被砸到的风险？
【技巧归纳】
1. 两次勾股：折断后树梢触地，树干直立部分、折断斜段与地面成直角三角形。
2. 设未知数：设折断处高x，斜段长y，则x+y 为原高。
3. 列方程：勾股定理解y，再求原高。
【变式4-1】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破
坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点A处被拦腰折断，其树顶恰好落在另一棵乙树的根部C处，
已知点A距离甲树的根部B 处AB为4米，甲、乙两树根部的距离BC为13米，两棵树的株距（两棵树的水平
距离）CD为12米，且点A，B ，D 在一条直线上，AD
CD
，求甲树原来的高度．
【变式4-2】如图，在倾斜角为45（即
45
NMP
）的山坡MN 上有一棵树AB，由于大风，该树从点E
处折断，其树顶B 恰好落在另一棵树CD的根部C 处，已知
1m
AE
，
18m
AC =
．
(1)求这两棵树的水平距离CF；
(2)求树AB的高度．
题型5 勾股定理应用之水杯中的筷子问题
【例9】如图，一根长为18cm 的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外
面的长度cm
h
，则h的取值范围是
．
【例10】如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．若铅笔的长
为20cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度最小是
cm．
【技巧归纳】
1. 两次勾股：筷子竖直、倾斜时分别用勾股定理，杯深、杯径为直角边。
2. 设未知数：设筷长L，露长d，水杯深h，杯底半径r。
3. 列方程：L-d=
�−ℎ2 + 2�2等，解出相关量。
【变式5-1】如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为4cm 3cm12cm
，，
，现将一根长为23cm的筷子
插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分
cm
h（
）的取值范围是
．
【变式5-2】如图，将一根长15cm 的筷子，置于底面直径为6cm，高8cm的圆柱形水杯中，则筷子露在杯
子外面的最短长度是
cm
题型6 勾股定理应用之航海问题
【例11】有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达B 点后熄灭发动机，在离水面高度为5m的岸上，工作人员用绳
子牵引靠岸，开始时绳子BC的长为13m．（假设绳子是直的，结果保留根号）
(1)若工作人员以1.5m/s的速度收绳．4s 后船移动到点D 的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？
(2)若游轮熄灭发动机后保持0.8m/s的速度匀速靠岸，10s后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多
少米？
【例12】如图，一艘轮船先从A 地出发行驶到B 地，又从B 地行驶到C 地，B 地在A 地南偏西的方向，距
离A 地80 海里，C 地在B 地北偏西的方向，距离B 地100 海里．
(1)表示出B 地相对于C 地的位置；
(2)求A，C 两地之间的距离．
【技巧归纳】
1. 画方位图：标注航向、航速、时间，得位移线段。
2. 构直角三角形：南北、东西方向距离为直角边，实际位移为斜边。
3. 勾股求距离：c2 = a2 + b2，注意单位与时间换算。
【变式6-1】如图，一艘轮船由A港口沿着北偏东60的方向航行50km到达B 港口，然后再沿北偏西30方向
航行50km到达C港口．
(1)求A，C两港口之间的距离；（结果保留根号）
(2) A港口在C港口的什么方向上？
【变式6-2】钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘
海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口P 出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行
6 海里，乙船每小时航行8 海里．
(1)若甲乙两船离开港口一小时后分别位于Q、R 处（图1），且相距10 海里，如果知道甲船沿北偏东72方
向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由．
(2)若甲船沿北偏东60方向航行（图2），从港口P 离开经过两个小时后位于点C处，此时船上有名乘客需要
以最快的速度回到PA海岸线上，若他从C处出发，乘坐的快艇的速度是每小时45 海里，他能在14 分钟内
回到海岸线吗？请说明理由．（参考数据：
3
1.7
）
题型7 勾股定理应用之河的宽度
【例13】如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道AC ，测得
50
A
，
40
B
，
2.5km
AB
，
2.4km
BC
，
若每天开凿隧道0.2km，需要几天才能把隧道AC 凿通？
【例14】小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把
竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？
【技巧归纳】
1. 构造全等或相似：利用等腰直角三角形、将河宽转化为可测距离。
2. 勾股计算：在直角三角形中，已知两边求第三边，或列方程求解。
3. 选参照物：如树、标杆作标记，测量水平距离。
【变式7-1】如图，池塘边有两点A B
、，点C是与BA方向成直角的AC 方向上一点，测得BC长为60米，AC
长为20米．求A B
，两点间的距离（2 取1.4）．
【变式7-2】某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身
步道（局部）如图，从A 地分别往北偏东60方向和东南方向各修一步道，从A 地的正东方向（水域对面）
的C 地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D 两地，若测得
1000
CD
米．（参考数据：
2
1.41
3
1.73
6
2.45
，
，
）
(1)求A、C 两地之间距离．（结果精确到1 米）
(2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A 地跑步到C 地，小华决定选择A
D
C
路线，小明决定
选择A
B
C
路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C 地？
题型8 勾股定理应用之台阶上地毯长度
【例15】某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，
已知
90
C
，
3m
AC
，
5m
AB
．
(1)求BC 的长；
(2)若已知楼梯宽2.8m，需要购买________
2
m 的地毯才能铺满所有台阶．
【例16】如图，要修建一个育苗棚，棚高
3m
h
，棚宽
4m
a
，棚的长为1 2 m ，现要在棚顶上覆盖塑料
薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
【技巧归纳】
1. 平移法：将台阶水平段、竖直段分别平移至同一水平线和竖直线。
2. 勾股求斜长：地毯总长= 所有水平段和+ 所有竖直段和，并非斜边。
3. 若求展开长：将台阶面展开成直角三角形，直角边为总高与总长。
【变式8-1】如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A 和B 是这两
个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A 出发经过台阶爬到点B 的最短路线有多长？
【变式8-2】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18 分米、4 分米．
(1)如果给台阶表面8 个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432 平方分米，那么每一级台阶的
高为多少分米？
(2)A 和C 是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A 处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C 处去吃美味的食
物，则蚂蚁沿着台阶面从点A 爬行到点C 的最短路程为多少分米？
题型9 勾股定理应用之汽车是否超速问题
【例17】为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路
上行驶的速度不得超过30km/h．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪A处
的正前方40m的C处，过了3s 后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离AB为50m．这辆观光电瓶车超速了
吗？
【例18】某城市交管部门规定：小汽车在城市快速路上行驶速度不得超过80 千米/时，如图，一辆小汽车
在一条城市快速路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50 米处，过了4 秒后，测得
小汽车与车速检测仪之间的距离为130 米，这辆小汽车超速了吗？
【技巧归纳】
1. 画示意图：标出路宽、车长、行驶距离、反应距离。
2. 勾股求实际路程：从刹车点到停止点，构造直角三角形求斜边长。
3. 求速度：路程÷时间，与限速比较判断是否超速。
【变式9-1】为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公
路MN 的一侧有一报亭A，报亭A 到公路MN 的距离AB为600 米，且宣讲车P 周围1 000 米以内能听到广
播宣传，宣讲车P 在公路MN 上沿PN 方向行驶．
(1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由；
(2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200 米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？
【变式9-2】五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一
辆移动广播车在笔直的公路AB上，沿东西方向由A向B 行驶．小丽的家在公路的一侧点C处，且点C与直线AB
上的两点A B
，的距离分别为
300m
400m
AC
BC
，
，又
500m
AB
，假如移动广播车周边250 米以内能
听到广播宣传．
(1)求
ACB
的度数．
(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？
(3)若移动广播车在笔直的公路AB上以10 米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点E时，小丽在家刚好听
到广播，当移动广播车行驶到点F 时，小网在家刚好不再听到广播，即
250
CE
CF
米，问小丽在家听
到广播宣传的时长是多长？
题型10 勾股定理应用之是否受台风影响问题
【例19】如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340 km 的B 处有一台风中心，沿BD方向以
15 km / h 的速度移动，已知城市A到BC的距离AD 为160 km ．
(1)台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？
(2)如果在距台风中心200 km 的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小
时？
【例20】如图，A，B ，C是我国南部的三个岛屿，已知A，C两岛的距离为30 2km，A，B 两岛的距离为70km，
B ，C两岛的距离为50 km．2024 年9 月，超强台风“摩羯”登陆岛屿B ，台风中心由B 向A移动，风力影响半
径为34 km ．
(1)请判断岛屿C是否会受到台风的影响？并说明理由
(2)若台风影响岛屿C的时长是1.6小时，求台风中心的移动速度．
【技巧归纳】
1. 定临界点：以受影响最大距离R 为半径，台风中心路径为直线。
2. 求垂线段长：作点到直线垂线，用勾股求垂足距离。
3. 比较判定：垂线长≤R 则受影响；否则不受，也可计算影响时间段。
【变式10-1】2023 年7 月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来
对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受台
风影响），如图，线段BC是台风中心从C 市向西北方向移动到B 市的大致路线，A 是某个大型农场，且
AB
AC
．若A，C 之间相距300km，A，B 之间相距400km．
(1)判断农场A 是否会受到台风的影响，请说明理由．
(2)若台风中心的移动速度为25km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？
【变式10-2】第五号台风“杜苏芮”的中心于2023 年7 月27 日下午位于福建省厦门市境内，最大风力有15
级（50 米/秒），中心最低气压为940 百帕，台风中心沿北偏西（BC）方向以15km/h 的速度向D 移动，A
地在距离B 地130km的正北方，已知A地到BC的距离
50km
AD
．
(1)台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？
(2)如果在距台风中心45km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D 点休闲的游客在接到台风警
报后的几小时内撤离才可脱离危险？
题型11 勾股定理应用之选址距离相等问题
【例21】如图1，铁路上有A、B 两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D 为两村庄（看作两个点），
AD
AB
，BC
AB
，垂足分别为A、B ，
24
AD
千米，
16
BC
千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，
使得C、D 两村到煤栈的距离相等．
设煤栈应建在距A点x 千米处的点E处，如图2，则AE
x
千米．
(1) BE （______）千米；
(2)煤栈应建在距A点多少千米处？
【例22】如图，已知某学校A 与直线公路BD相距300 米（即
300
AB
米，AB
BD
），且与该公路上一
个车站D 相距500 米（即
500
AD
米），现要在公路边BD建一个超市C，使之与学校A 及车站D 的距离
相等，那么该超市C 与车站D 的距离CD是多少米?
【技巧归纳】
1. 建坐标系：将点置于直角坐标系，用坐标表示位置。
2. 勾股求距：两点距离d =
�1 −�2 2 + �1 −�2 2。
3. 列方程：根据条件（如到两点距离相等或和最小）列式求解，注意实际范围。
【变式11-1】如图，铁路上A，B 两点相距17km，C，D 两点为两村庄，DA
AB
于点A，CB
AB
于点
B，已知
12km
DA
，
5km
CB
，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D 两村到E 站的距离
相等，则E 站应建在距A 点多少千米处？
【变式11-2】如图，小区A 与公路l 的距离
200
AC
米，小区B 与公路l 的距离
400
BD
米，已知
800
CD
米．
(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q 到A、B 两小区的路程相等，求CQ的长；
(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P 到A、B 两小区的路程之和最短，求PA PB
的最小值，求出此
最小值．
题型12 勾股定理应用之几何图形中最短路径问题
【例23】如图①，一个圆柱的底面周长为12cm，高为16cm，用一根绳子从点A 出发绕侧面一周到点B，
则绳长至少为多少？
解：圆柱①的侧面沿AB剪开，展开图如图②所示．
在ABC
中，C
______ ，AC ______cm ，BC _______ cm ，则运用“________”可求AB _______cm ．
由“_______”可知，绳子的最短长度就是线段______的长，即绳长至少为________ cm ．
【例24】如图，已知线段BC是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为10，圆柱的高
12
AB
，在圆柱的侧面
上，过点A C
、
两点嵌有一圈长度最短的金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______；
(2)求该金属丝的长．
【技巧归纳】
1. 对称变换：作其中一点关于直线（或棱）的对称点，连接另一点得最短路径。
2. 勾股求长：对称后线段即为所求，用勾股定理计算长度。
3. 验证合理性：路径与直线交点即为转折点。
【变式12-1】如图1，某公园内有一条笔直的马路EF，马路EF同侧有观景台A、凉亭B ，已知AC
EF
于
点
,
C BD
EF
于点
,
700m,
100m
D AC
BD
，
800m
CD
．
请结合所学知识，解决下列问题：
(1)【基础应用】
观景台A与凉亭B 之间的直线距离AB __________m；（直接写出结果）
(2)【核心探究】如图2，现计划在路段CD之间放置一个自动售货点G ，使G 到A，B 两处的距离相等，该
自动售货点G 应修建在离点C多少米处？
(3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路EF边上设置一个便民服务点M ，使得M到A、B
两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出M到A、B 两处的距离之和最小值（结果保留根号）．
【变式12-2】课本再现：
方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A B
，两点的位
置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A B
，
对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________ cm ．
方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为3cm，高为10cm．在其侧面从点A 开
始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B 停止．彩条的最短长度为___________．
（3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A 到顶点B 沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知
此六棱柱的高AB为7cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为___________．
（4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为6cm，底面半圆直径AC 为4cm，点A 处有一只蚂蚁沿
如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B 处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3）
一、单选题
1．如图，在高为5 m ，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（
）
A．25m
B．18m
C．17m
D．13m
2．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，
问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇
的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，
池水的深度是（
）．
A．8尺
B．28尺
C．12尺
D．10尺
3．如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A 出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A 相
对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24 厘米，圆柱体的高是5 厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为
（
）
A．13 厘米
B．17 厘米
C．
12
5
（
）厘米
D．5 厘米
4．如图，一个长方体的长为15cm ，宽为10cm，高为20cm，点B 离点C的距离是5cm，一只蚂蚁如果以
4cm / s的速度从长方体的表面的点A处爬到点B 处，最快爬行的时间是（
）
A．6s
B．6.25s
C．6.74s
D．7.25s
二、填空题
5．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10 尺（
10
AB
尺）
的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P 是AB的中点），它高出水面1 尺（
1
MP 尺）．如果把这根
芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（MN
BN
），则水的深度PN 为_____．
6．2026 年2 月，谷爱凌再度为国争光，成为冬奥历史上首位卫冕女子U 型池场地金牌的运动员，如图，
该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为4m 的半圆，
其边缘
18m
AB CD
，点E在CD上，
2m
CE
．从A点滑到E点，滑行的最短路程是______m．（边缘部
分的厚度忽略不计，π 取3）
7．如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点A 处，它想爬到顶点B处寻找食物，若这个正方体的边长为1，
则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______．
8．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
∠
，则
2
2
AC
BC
表示线段AB的长度，受此启发，学生在求
2
2
8
4
16
y
x
x
的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点P 为BD上一动点．
90
B
D
，
4
AB
，
2
CD，
8
BD
，设BP x
．
（1）PD______；
（2）y的最小值是______．
三、解答题
9．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），A、B 两点分别位于池塘两端，利用现有工具
无法直接测得A、B 间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点C，使点C能直接到达点A和点B ，
在AB的延长线上取一点D ，使得
12
BD
米．经测量
34
AC
米，
16
CD
米，
20
CB
米，请你计算点A、B
之间的距离．
10．如图，已知一架梯子AB斜靠在墙角MON 处，竹梯
25m
AB
，梯子底端离墙角的距离
7m
BO
．
(1)求这个梯子顶端A 距地面有多高；
(2)如果梯子的顶端A 下滑9m到点C，那么梯子的底部B 在水平方向上滑动的距离
9m
BD
吗？为什么？
11．如图，四边形ABCD是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知
4 dm
AD
，
12 dm
AB
，
13dm
BC
，
3 dm
CD
，且
90
ADC
．
(1)求点A到点C的距离；
(2)根据要求，该零件需要A，B ，C三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个
零件是否合格．
12．如图，某日两艘渔船A和渔船B 与灯塔C的位置如图所示，其中渔船A在灯塔C的北偏西57方向上，与
灯塔C的距离是400 海里，渔船B 在灯塔C的南偏西33方向上，与灯塔C的距离是300 海里．
(1)求渔船A与渔船B 之间的距离AB；
(2)若灯塔C发射的信号有效覆盖半径为300 海里，已知渔船B 沿AB所在直线向渔船A靠拢的过程中，BD段
可以接收到信号，AD 段无法接收到信号，请你求出渔船B 在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段BD
的长）是多少？
13．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B 两处观测点，观测点A 距离鸟类巢
穴80m，观测点B 距离鸟类巢穴60m，两观测点A、B 相距100m．火车行驶时会对周围52m范围造成噪声
污染．
(1)求点C 到铁路AB的距离；
(2)当一列长度为260m的火车以30m/s的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声
污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不
计）．
14．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C 出发，以4 米/秒的速度由西向
东行驶，同时小红的赛车从点B 出发，以3 米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行
驶，
40
AC
米，
30
AB
米．
(1)经过4 秒，两赛车之间的距离是多少米？
(2)已知赛车之间的距离小于或等于25 米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A 的
距离之和为35 米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？
15．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形
成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A 行驶向点B，已知点C 为一海港，
当AC
BC
时，A 点到B，C 两点的距离分别为1000km和600km，以台风中心为圆心周围520km以内为
受影响区域．
(1)求BC；
(2)海港C 受台风影响吗？为什么？
(3)若台风的速度为100km/h ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
16．项目化学习
项目主题：办公区绿化规划．
项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为
2
400m 的办
公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化．
设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知
12m
AB
，
9m
BC
，
8
CD
m，
17m
AD
，
90
ABC
．
问题解决：
(1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道AC ，则这条直道AC 的长度为
________m；
(2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的30%，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求．
17．如图1 所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点
1
C 处，要想使路程
较短，有三种不同的方式：①沿面
1
1
ABB A 和而
1
1
1
1
D
C
B
A
爬行；②沿面
1
1
ABB A 和而
1
1
BCC B 爬行；③沿面
1
1
AA D D 和面
1
1
1
1
D
C
B
A
爬行．
(1)图2 为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形；
(2)若
1
4
2
1
AB
BC
BB
，
，
，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？
(3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N 点的
食物（P 是长方体的顶点，
3cm
NP
），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少．
18．日常生活中经常会遇到最短路径问题，数学最值常用于生活．
主题
探究最短路径问题与用数学知识设计车位
活动一：如图1，点A、B 是直线l 上方两点，点A 到直线l 的距离为1m，点B 到直线l 的距离为3m，在直
线l 上找一点P，使PA PB
最短．
(1)如图2，作点A 与点A 关于直线l 对称，连接AA交直线l 于点O，连接AB
交直线l 于点P，连接AP ，
则点P 即为所求，则OA______m，PA _____ PA（选填
、或）；
(2)如图3，过A 作
l
A C
∥，过B 作BC
AC
于C，若
3 m
A C
，则BC ____m，PA PB
_____；
活动二：某小区有一个矩形ABCD停车场，长
34m
AD
，宽
30m
AB
，大门EF设在CD处，如图4，小区
内电车日益增多，为满足电车充电需求，该小区准备在停车场地内修建相同的充电桩，每个充电桩是边长
为2m的正方形（指修建时的占地面积，充电桩建在正方形中心点上），要求充电桩（正方形边缘）与停车
场的边界及充电桩之间的距离都不小于1m，
1
2
O
O
、
是两个充电桩的中心，
1
2
O O 叫做充电桩的中心距．
(3)如图5，若沿AD 方向修建一排充电桩，最多可以修建_______个充电桩，此时相邻两个充电桩的中心距
为_______m；
(4)调研发现，在停车场四个角落修4 个充电桩最合理，如图6，充电桩与停车场的边界的距离都为1m，需
在AD 边上修一个总电箱（视为一个点），使该电箱到
1
2
O
O
、
的距离的和最短，则这个最短距离为
__________m．
