文档文本内容
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第06 讲数轴
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 数轴的三要素及其画法
题型2 用数轴上的点表示有理数
题型3 数轴上两点之间的距离
题型4 数轴上整点覆盖问题
题型5 根据点在数轴的位置判断式子的正负
题型6 数轴上的动点问题
题型7 数轴上的规律探究问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
数轴、原点、正方向、
单位长度、三要素、数
形结合。
1. 掌握数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，能正确画出数轴。
2. 能用数轴上的点表示有理数，并能读出数轴上的点表示的数。
3. 理解数轴上点的位置与数的大小关系，能利用数轴比较有理数的大小（右
边的数总比左边大）。
4. 体会数形结合的数学思想，感受数与形的对应统一。
学习重点：数轴的三要素及画法，用数轴上的点表示有理数。
学习难点：理解数轴上的点与有理数的对应关系（不是一一对应，因为无理数以后才学），以及利用
数轴比较负数的大小（越向左越小）。
知｜识｜框｜架
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知｜识｜精｜讲
知识点01 数轴
概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
三要素：原点、正方向、单位长度
【易错提醒】
数轴定义易错警示：数轴需同时具备**原点、正方向、单位长度**三要素。缺一不可。单位长度应均匀，
正方向一旦选定不能更改，原点位置可任意，但必须标出。
即时即练1．以下数轴画法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
知识点02 数轴的性质
所有的有理数都可以在数轴上表示。
【易错提醒】
数轴性质易错警示：数轴上右边的数总比左边大；每个实数都有唯一对应点。注意：点与数一一对应，但
单位长度不均匀或未标原点时无法比较大小。勿默认整点即整数。
即时即练1．把有理数：3.5
，
4
，0，2
，
3
2
，按下列要求作答：
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(1)在数轴上表示出来；
(2)用“＜”把上面的数连接起来；
(3)把上面的数填入对应的集合内．
知识点03
数轴的应用
应用：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
（2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。
【易错提醒】
数轴应用易错警示：求两点距离用|a-b|，勿忘绝对值。动点问题注意起点、方向和速度，列方程时考虑多
种情况。比较数的大小时，先判断点在原点左侧还是右侧。
即时即练1．如图，数轴上从左到右依次有点A、B、C、D，其中点C 为原点，点A、B、D 所对应的数分
别为4
、2
、1．
(1)请在图中标出点B、C 的位置；
(2)一个点从点A 出发，向左移动5 个单位长度到达点E，求点E 对应的数．
题型1 数轴的三要素及其画法
【例1】下面是几名同学画的数轴，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【例2】下列数轴表示正确的是（
）
A．
B．
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C．
D．
【技巧归纳】
数轴三要素：原点、正方向、单位长度。画法：画直线，定原点（0），标正方向（一般为右箭头），选取
等长单位刻度。注意单位长度一致，正负数均匀分布，原点位置根据数值范围调整。
【变式1-1】下列数轴表示正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
题型2 用数轴上的点表示有理数
【例3】在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”把它们连接起来．
4
，3.5
，
2.5
，1
，0．
【例4】把这些数在数轴上表示出来：
0，1.5
，
1
3 2 ，6
，5
，
2
，再将这些数用“”连接起来．
【技巧归纳】
将有理数标在数轴上：先确定正负，正数在原点的右边，负数在左边。根据数值大小找到对应刻度位置。
分数或小数需估算大致位置，可用等分线段法精确标记。0 就是原点本身。注意点的密度随单位长度变化。
【变式2-1】已知有理数a，b，其中数a 在如图所示的数轴上对应点M，b 是负数且b 在数轴上对应的点与
原点的距离为3．
(1) a _____，b _____．
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(2)在数轴上表示下列各数：
5
，3.5
，
1
2 ，
1
12
，
4
，
2.5
，并用“”把这些数连接起来．
【变式2-2】已知下列各数：
4
，0，
2.5
，1
12 ．
(1)将上面各数填入表示它所在的数集的大括号内：
分数集合：{
…}；非负整数集合：{ …}．
(2)将上面各数表示在数轴上，并用“＜”把这些数连接起来．
题型3 数轴上两点之间的距离
【例5】如图，数轴上点A 表示的数是1
，点B 表示的数是3，则A、B 两点之间的距离是
．
【例6】点A、B 在数轴上的位置如图所示，则A、B 两点的距离AB
．
【技巧归纳】
数轴上两点间距离等于它们坐标之差的绝对值，即|a-b|。计算时，无论两点位置，直接用大坐标减小坐标得
正数。若已知距离和一点坐标，求另一点时需考虑左右两个可能位置（除中点外）。
【变式3-1】已知数轴上有A
B
、
两点，点A 表示的数为1
，点B 在数轴的负半轴上，若
3
AB ，则点B 表
示的数为
．
【变式3-2】已知数轴上点A 表示的数为1
，点B 与点A 的距离为5，则点B 表示的数为
．
题型4 数轴上整点覆盖问题
【例7】如图所示，在数轴上，墨渍遮挡住的点表示的数可能是（
）
A．1
B．0
C．3
D．2.5
【例8】小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（
）
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A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【技巧归纳】
数轴整点问题：区间端点是否为整数影响计数。闭区间含端点，开区间不含。求整点个数时，先确定左右
边界整数值，计算差值后加1（闭区间）。注意区间长度与整数间距的关系，避免遗漏边界点。
【变式4-1】如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有
个．
【变式4-2】如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？
题型5 根据点在数轴的位置判断式子的正负
【例9】若有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则a 、b 的大小关系为a
b ．（填“ > ”或“ < ”）
【例10】有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，由图可知a，b，c，0 的大小关系是
（用“>”
连接）．
【技巧归纳】
根据点在数轴位置确定其正负，原点右侧为正，左侧为负。再结合加减运算：大减小为正，小减大为负。
两数相乘除，同号得正，异号得负。多个式子组合时，分别判断每个因子符号再整体运算。
【变式5-1】有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，则c
b
0．（填“ ”或“”）
【变式5-2】已知a，b 在数轴上的位置如图所示，则a
b
（用“>”或“<”填空）．
题型6 数轴上的动点问题
【例11】如图，将点P 向右平移3 个单位，对应的数是（
）
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A．5
B．1
C．0
D．1
【例12】如图，将点P 向右平移2 个单位，对应的数是（
）
A．1
B．0
C．1
D．2
【技巧归纳】
动点问题：设动点坐标为起点±速度×时间，方向决定加减。利用两点距离公式列绝对值方程，分左右情况
讨论。注意相遇、追及时刻相等关系，常需分类解方程，最后检验解是否在运动范围内。
【变式6-1】在数轴上点A 如图所示，将点A 在数轴上右移7 个单位到达点B ，则点B 所表示的数为（
）
A．7
B．2
C．7
D．2
【变式6-2】数轴上一点A 向左移动5 个单位后到达点B，如果点B 到原点的距离为1，则点A 表示的数是
（
）
A．1
B．1 或1
C．5 或5
D．4 或6
题型7 数轴上的规律探究问题
【例13】如图所示，圆的周长为4 个单位长度，在圆的4 等分点处标上字母A ，B ，C ，D ，先将圆周上
的字母A 对应的点与数轴上的数字1 所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的2023
所对
应的点将与圆周上字母（
）所对应的点重合．
A．A
B．B
C．C
D．D
【例14】正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A 对应的数分别为0 和1．若正方形ABCD绕着顶
点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1 次后，点B 所对应的数为2；则翻转2024 次后，数轴上数2025
所对应的点是（
）
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A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
【技巧归纳】
数轴规律题：观察点坐标随序号变化的递增模式（等差、等比或周期），写出通项公式。注意起点位置和
步长符号。常见跳跃或往返运动，需分奇数项、偶数项讨论，可用坐标绝对值或模运算找周期。
【变式7-1】如图，周长为6 个单位长度的圆上的六等分点分别为A
B
C
D
E
F
，，，，，
，点A 落在1 的位置．如
果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上2024
的点是点（
）
A．B
B．C
C．D
D．E
【变式7-2】如图，等边三角形ABC 的边AC 在数轴上，现将等边三角形ABC 沿着数轴向右翻滚（无滑动），
第1 次翻滚后点B 到点B位置．若点A 表示的数为1
，等边三角形ABC 的边长为2，则翻滚2024 次后点A
在数轴上对应的数为（
）
A．2024
B．4047
C．4049
D．6071
一、单选题
1．点A 在数轴上的位置如图所示，若点A ，B 表示的数互为相反数，则点B 表示的数可能是（
）
A．0.5
B．1.5
C．2
D．2.5
2．下列四个数轴的画法中，规范的是（
）
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A．
B．
C．
D．
3．在数轴上，点A 表示的数是3
，将点A 向右移动5个单位长度到达点B ，则点B 表示的数是（
）
A．8
B．2
C．2
D．8
4．如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（
）
A．7 个
B．8 个
C．9 个
D．10 个
5．数轴上表示数a、b 的点如图所示．把a、a 、b、b
按照从小到大的顺序排列，则正确的结论是（
）
A．b
a
a
b
B．a
b
a
b
C．b
a
a
b
D．a
b
b
a
二、填空题
6．点A 在数轴上的位置如图所示，则点A 表示的数可能是____________．（写出一个符合题意的数即可）
7．如图，若点A 和点D 表示的数互为相反数，则原点是点________．
8．有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则a
_____b ．（填“”“”或“ ”）
9．如图，在数轴上注明了四段的范围，其中第______（填序号）段上有三个整数．
10．如图，数轴上点A 的初始位置表示的数为2，将点A 做如下移动：第1 次点A 向左移动2 个单位长度
至点
1A ，第2 次从点
1A 向右移动4 个单位长度至点
2
A ，第3 次从点
2
A 向左移动6 个单位长度至点
3
A ，…按
照这种移动方式进行下去，如果点
n
A 与原点的距离等于1114，那么n 的值是________．
三、解答题
11．把下列各数对应的序号填入相应的大括号内：
10 / 11
①
1
3
，②0.2
，③22
7 ，④20%
，⑤
3
，⑥
0.75
，⑦0，⑧
3
4
，⑨
35
．
(1)有理数集合：{______ …}；
(2)非正整数集合：{_______ …}；
(3)正分数集合：{_______…}．
12．有五个有理数：0.5，0 ，( 2)
，
| 1|
，
3
2
(1)在数轴上表示出上述各有理数
(2)把上述各数填入相应的集合内：
①分数集合{ }；
②负有理数集合{ }．
③非负整数集合{ }．
13．如图，在数轴上有三个点A ，B ，C ，请回答下列问题：
(1)点A ，B ，C 表示的数分别为，，；
(2)点A ，B ，C 表示的数的相反数分别为，，；
(3)将点B 向左移动3个单位长度后，其对应点B所表示的数的相反数是；
(4)将点A 向某个方向移动4 个单位长度后，其对应点A所表示的数的绝对值是．
14．如图，数轴上每个刻度为1 个单位长度，A 点表示的数是3
．
(1)在数轴上标出原点O，并指出点B 所表示的数是_______；
(2)在数轴上找一点C，使它与点B 的距离为2 个单位长度，那么点C 表示的数为______；
(3)在数轴上表示以下各数，并用“ ”把这些数按从小到大连接起来：
1
2.5, 4, 2.5,
1.5 ,
1.6 ,5 2
15．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4 个单位长度到达点A，再向右爬了2 个单位长度到达
点B，然后又向左爬了10 个单位长度到达点C．
(1)画出数轴，标出A，B，C 三点在数轴上的位置，并写出A，B，C 三点表示的数；
(2)根据点C 在数轴上的位置，点C 可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？
(3)若蚂蚁从点D 出发，先向右爬了7 个单位长度，再向左爬了4 个单位长度，此时它恰好回到了原点，求
点D 表示的数．
16．如图：在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，C 点表示数c ，且a ，c 满足
2
2
8
0
a
c
，b 为最
小正整数；
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(1) a _____，b _____，c _____；
(2)若将数轴折叠，使得A 点与B 点重合，则点C 与数_____表示的点重合．
(3)在（1）（2）的条件下，若点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ，当代数式x
a
x
b
x
c
取得最
小值时，此时x _____，最小值为_____．
(4)在（1）（2）的条件下，若在点B 处放一挡板，一小球甲从点A 处以1 个单位/秒的速度向左运动；同时
另一小球乙从点C 处以2 个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原
来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t （秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离d （用t 的代数
式表示）．
