文档文本内容
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第08 讲有理数的乘除运算
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 两个有理数的乘法运算
题型2 多个有理数的乘法运算
题型3 倒数
题型4 有理数乘法运算律
题型5 有理数乘法的实际应用
题型6 有理数的除法运算
题型7 有理数的乘除混合运算
题型8 有理数的乘除混合运算之新定义型问题
题型9 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
乘法法则、符号法则、
倒数、除法法则、转化、
奇负偶正。
1. 掌握有理数的乘法法则，能确定多个因数相乘的积的符号（奇负偶正），
并能准确计算。
2. 理解倒数的概念，能求出一个有理数的倒数（0 除外），掌握乘法运算律
（交换、结合、分配）。
3. 掌握有理数的除法法则（除以一个数等于乘以这个数的倒数），能将除法
统一为乘法。
4. 能熟练进行有理数的乘除混合运算，体会转化思想，培养运算能力与严谨
性。
学习重点：有理数乘除法法则，特别是多个因数相乘的符号确定，以及除法向乘法的转化。
学习难点：理解乘法法则中“同号得正，异号得负”的算理，以及除法法则中“除以一个数等于乘以
2 / 47
它的倒数”的灵活运用，特别是当除数为分数或负数时。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 有理数的乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
（2）任何数同0 相乘，都得0.
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇
数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
倒数：乘积是1 的两个有理数互为倒数.
【注意】：①0 没有倒数；②倒数等于它本身的数有1 和-1.
【易错提醒】
有理数乘法易错警示：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0 相乘得0。注意：多
个数相乘，负因数个数为奇数时积为负，偶数时为正。勿忘符号。
即时即练1．2026
的倒数为_____．
【答案】
1
2026
【分析】本题考查了求一个数的倒数，根据乘积为1 的两个数互为倒数，即可求解．
3 / 47
【详解】解：2026
的倒数为
1
2026
，
故答案为：
1
2026
．
2．计算：
(1)( 3) 7
；
(2)0.1 ( 100)
；
(3)
1
( 6)
6
；
(4)
1
1
2
3
．
【答案】(1) 21
(2) 10
(3)1
(4) 1
6
【分析】本题主要考查两个有理数的乘法，根据“同号得正，异号得负”的法则求解即可．
【详解】（1）原式
3 7
21
；
（2）原式
0.1 100
10
；
（3）原式
1
6
1
6
；
（4）原式
1
1
1
2
3
6
．
3．计算：
(1)
2
5
0.25
；
(2)
100 15
0.01
；
(3)
1
2
3
2
3
4
；
(4)
1
1
30
2
3
．
【答案】(1) 2.5
(2) 15
(3)
1
4
(4)5
【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则．
（1）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可；
4 / 47
（2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可；
（3）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可；
（4）根据乘法分配律进行计算即可．
【详解】（1）解：
2
5
0.25
10
0.25
2.5
；
（2）解：
100 15
0.01
1500
0.01
15
；
（3）解：
1
2
3
2
3
4
1
3
3
4
1
4
；
（4）解：
1
1
30
2
3
1
1
30
30
2
3
15
10
5
．
知识点02 有理数的乘法运算律
（1）乘法交换律：ab
ba
；（2）乘法结合律：(
)
(
)
ab c
a bc
；（3）乘法分配律：(
)
a b
c
ab
ac
．
【易错提醒】
有理数乘法运算律易错警示：交换律、结合律、分配律均可使用。注意分配律a(b+c)=ab+ac 且可反向使用。
括号前是负数时，分配后各项均需变号。勿漏乘括号内每一项。
即时即练1.下列运算中用的运算律是（）
1
3
1
3
1
3
1
3
3 8
3 8
24
24
24
4 18
14
6
4
6
4
6
4
6
4
．
A．乘法结合律及分配律
B．乘法交换律及分配律
5 / 47
C．乘法交换律及乘法结合律
D．分配律及加法结合律
【答案】A
【知识点】有理数乘法运算律
【分析】本题考查有理数的混合运算，乘法运算律，熟练掌握乘法运算律是解题的关键．
根据题干中的解题过程，结合乘法运算律即可得出答案．
【详解】解：1
3
3 8
6
4
1
3
3 8
6
4
（乘法结合律）
1
3
24
6
4
1
3
24
24
6
4
（乘法分配律）
4 18
14
∴运用的运算律为乘法结合律及分配律，
故选：A．
2.计算：
3
7
5
24
4
12
8
【答案】47
【知识点】有理数乘法运算律
【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
利用有理数的乘法分配律求解即可．
【详解】
3
7
5
24
4
12
8
3
7
5
24
24
24
4
12
8
18 14
15
47
．
知识点03 确定乘积符号
（1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b 同号；
（4）若ab＜0，则a、b 异号；（5）若ab = 0，则a、b 中至少有一个数为0.
6 / 47
【易错提醒】
乘积符号（多个有理数相乘）易错警示：结果符号由负因数个数决定：**奇数个负因数为负，偶数个为正
**。计算时先定符号，再算绝对值。注意：有因数为0 时积为0，无需再判断符号。
即时即练1.下列式子中，积的符号为负的是（
）
A．
1
1
6
3
4
B．
1
2
1
6
5
5
3
2
C．
1
3
7
0
2
D．
1
4
1
9
7
8
7
3
【答案】D
【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，
奇负偶正，进行判断即可．
【详解】解：A、有2 个负号，积的符号为正，不符合题意；
B、有4 个负号，积的符号为正，不符合题意；
C、积为0，不符合题意；
D、有3 个负号，积的符号为负，符合题意；
故选D．
2.对于
( 3)
3
3
3
m
x
个
相乘
，若
2025
m
，则其结果为（
）
A．正数
B．负数
C．0
D．不能确定
【答案】B
【分析】考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算符号法则是解题关键．
根据负数的乘法符号规律：奇数个负数相乘结果为负数，偶数个负数相乘结果为正数，即可判断．
【详解】解：由题意m 个3
相乘，当
2025
m
时，有奇数个负数相乘，所以结果为负．
故选：B．
知识点04 有理数除法法则
◆除以一个不为0 的数，等于乘以这个数的倒数
◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
【注意】：0 除以任何不为0 的数，都得0.
【易错提醒】
有理数除法易错警示：除以一个不为0 的数等于乘它的倒数。即a ÷ b = a ×
ͳܾ(b ≠0)。同号得正，异号得负。
7 / 47
注意：0 不能作除数，勿忽略倒数转化步骤。
即时即练1．计算：
(1) 4
( 12)
7
；
(2)( 378)
( 7)
；
(3) 7
( 0.35)
3
；
(4)
8
4
7
3
．
【答案】(1)
1
21
(2)
54
(3)
20
3
(4)
6
7
【分析】本题主要考查了有理数的除法，有理数的除法法则是除以一个数等于乘以这个数的倒数，解决本
题的关键是根据有理数的除法法则把除法转化为乘法，再根据有理数的乘法法则进行计算．
(1)根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式
4
1
7
12
，再根据有理数的乘法法则计算；
(2)根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式
1
378
7
，再根据有理数的乘法法则计算；
(3)先将小数0.35
化为分数
7
20
，再根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式
7
20
3
7
，再根
据有理数的乘法法则计算；
(4)根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式
8
3
7
4
，再根据有理数的乘法法则计算；
【详解】（1）解：
4
12
7
4
1
7
12
4
1
7
12
8 / 47
1
21
；
（2）解：
378
7
1
378
7
1
378
7
54
；
（3）解：
7
0.35
3
7
7
3
20
7
20
3
7
7
20
3
7
20
3
；
（4）解：
8
4
7
3
8
3
7
4
8
3
7
4
6
7
．
2．阅读下面解题过程：
计算：
1
40
1
20
8
3
3
解：原式
5
20
3
3
…………①
20
5
…………②
4
…………③
(1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步；
(2)请你写出这道题的正确解答过程．
【答案】(1)②③
(2)36
【分析】（1）第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错；
9 / 47
（2）根据乘除运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错；
（2）解：原式
5
1
20
3
3
3
20
3
5
36
．
题型1 两个有理数的乘法运算
【例1】计算：
(1)
4
5
；
(2)
0.125
8
(3)
1
3
2 3
7
；
(4)
0
13.52
；
(5)
2
3.25
13
；
(6)
1
a
．
【答案】(1)20
(2)1
(3)1
(4)0
(5)
1
2
(6) a
【分析】本题考查了有理数的乘法法则．
（1）根据有理数的乘法法则计算即可；
（2）根据有理数的乘法法则计算即可；
（3）将带分数化为假分数，根据有理数的乘法法则计算即可；
（4）根据“0 乘以任何数都等于0 ”计算即可；
10 / 47
（5）将小数化为分数，根据有理数的乘法法则计算即可；
（6）根据有理数的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：
4
5
20
（2）解：
0.125
8
1
（3）解：
1
3
2 3
7
7
3
3
7
1
（4）解：
0
13.52
0
（5）解：
2
3.25
13
13
2
4
13
1
2
（6）解：
1
a
a
【例2】计算：
(1)( 5) ( 12)
；
(2)8 ( 0.25)
；
(3)
3
1
5
8
3
；
(4)
11
0
7
；
(5) 4
1
3
2
；
(6)
4
3
3
4
．
【答案】(1)60
(2) 2
(3)2
(4)0
(5)
2
3
(6)1
【分析】（1）同号相乘，结果为正，并把绝对值相乘；
11 / 47
（2）异号相乘，结果为负，并把绝对值相乘；
（3）先把带分数化成假分数再去计算结果；
（4）任何数与0 相乘结果仍为0；
（5）异号相乘，结果为负，并把绝对值相乘；
（6）互为倒数的两数相乘结果是1．
【详解】（1）解：
5 12
60
原式＝
；
（2）解：
8 0.25
2
原式＝
；
（3）解：
3
16
2
8
3
原式＝
＝；
（4）解：
0
原式＝；
（5）解：
4
1
2
3
2
3
原式＝
；
（6）解：
4
3
1
3
4
原式＝
．
【技巧归纳】
两数相乘：先定符号（同号得正，异号得负），再将绝对值相乘。任何数与0 相乘得0。小数乘法化为分数
或整数计算；带分数化成假分数。结果能约分先约分，最后化为最简形式（假分数或带分数视要求）。
【变式1-1】计算：
(1)
12
4
．
(2)
1
3.6
6
．
(3)
5
0
2 6
．
(4) 1
2
3
2
4
13
．
【答案】(1) 48
(2) 0.6
(3)0
(4) 7
【分析】本题主要考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
利用有理数的乘法法则计算各小题，根据计算结果得结论．
【详解】（1）解：原式
12 4
48
．
12 / 47
（2）解：原式
1
3.6
0.6
6
．
（3）解：原式
0
.
（4）解：原式
13
28
7
4
13
.
【变式1-2】计算：
(1)
5
3
；
(2)
7
4
；
(3)
7
0.25
4
13
；
(4)
1
1
1
12
4
6
2
．
【答案】(1)15
(2) 28
(3) 7
13
(4) 7
【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则与运算律是解题的关键．
（1）根据有理数乘法法则运算即可；
（2）根据有理数乘法法则运算即可；
（3）根据有理数乘法法则和运算律运算即可；
（4）根据乘法分配律运算即可．
【详解】（1）解：原式
15
．
（2）解：原式
28
．
（3）解：原式
7
1
4
13
4
7
1
4
13
4
7
1
13
7
13
．
（4）解：原式
1
1
1
12
12
12
4
6
2
3
2
6
7
．
13 / 47
题型2 多个有理数的乘法运算
【例3】计算：
(1)
5
9
1
3
6
5
4
；
(2)
4
1
5
6
5
4
．
【答案】(1)
9
8
(2)6
【分析】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负
因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正”．
（1）根据有理数乘法法则求解即可；
（2）根据有理数乘法法则求解即可．
【详解】（1）解：
5
9
1
3
6
5
4
5
9
1
3
6
5
4
；
9
8
；
（2）解：
4
1
5
6
5
4
4
1
5
6
5
4
．
6
．
【例4】计算：
(1)
81
1.25
8
20
；
(2)
5
1
9
0.8
4
3
；
(3)
3
10
1
8
4
3
2
；
(4)
5
5
9
15
6
6
．
【答案】(1) 81
2
(2) 3
14 / 47
(3) 31
8
(4) 20
【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则．
（1）根据乘法交换律简化计算即可；
（2）根据乘法交换律和结合律简化计算即可；
（3）根据乘法分配律进行计算即可；
（4）逆用乘法分配律进行计算即可．
【详解】（1）解：
81
1.25
8
20
81
1.25
8
20
81
10
20
81
2
；
（2）解：
5
1
9
0.8
4
3
1
5
9
0.8
3
4
3
1
3
；
（3）解：
3
10
1
8
4
3
2
3
3
10
3
1
8
4
4
3
4
2
5
3
6
2
8
7
3
2
8
31
8
；
（4）解：
5
5
9
15
6
6
5
9
15
6
5
24
6
15 / 47
20
．
【技巧归纳】
多个有理数相乘：先数负号个数，奇负得负，偶负得正。再绝对值相乘。有因子0 则结果为0。运用乘法交
换律、结合律：整数、分数分组，先约分再相乘，带分数化假分数。小数化成分数更易约分。
【变式2-1】计算：
(1)
2
3.5
9
7
；
(2)
5
2
2.4
6
5
；
(3)
7
5
3
36
9
6
4
；
(4)
4
2
5
3
5
3
4
2
．
【答案】(1) 9
(2) 0.8
(3) 25
(4)1
【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则．
（1）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可；
（2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可；
（3）根据乘法分配律进行计算即可；
（4）根据乘法的交换律和结合律进行计算即可．
【详解】（1）解：
2
3.5
9
7
2
3.5
9
7
1
9
9
；
（2）解：
5
2
2.4
6
5
2
2
5
4
5
0.8
；
16 / 47
（3）解：
7
5
3
36
9
6
4
7
5
3
36
36
36
9
6
4
28
30
27
25
；
（4）解：
4
2
5
3
5
3
4
2
4
5
2
3
5
4
3
2
1 1
1
．
【变式2-2】计算：
(1)
1
0.25
4
6
；
(2)
1
8
6
0.5
3
；
(3)
2
3
1
24
3
4
12
．
【答案】(1)
1
6
(2) 8
(3) 4
【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则．
（1）根据乘法交换律，进行计算即可；
（2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可；
（3）根据乘法分配律进行计算即可．
【详解】（1）解：
1
0.25
4
6
1
0.25
4
6
1
1
6
1
6
；
（2）解：
1
8
6
0.5
3
17 / 47
1
48
0.5
3
1
24 3
8
；
（3）解：
2
3
1
24
3
4
12
2
3
1
24
24
24
3
4
12
16 18
2
4
．
题型3 倒数
【例5】
1
3
的倒数是
．
【答案】3
【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据乘积为1 的两个数互为倒数，
进行求解即可．
【详解】解：∵
1
3
1
3
，
∴
1
3
的倒数是3
．
故答案为：3
．
【例6】
1
2 2 的倒数是
．
【答案】2
5
【分析】本题主要考查了倒数的概念，熟练掌握基本概念是解题的关键．
先将带分数化为假分数，再将分子分母颠倒位置即可得到答案．
【详解】解：
1
5
2 2
2
，
∴
1
2 2 的倒数是2
5 ，
故答案为：2
5 ．
【技巧归纳】
18 / 47
乘积为1 的两数互为倒数。求倒数：整数如5 倒数为1/5，分数a/b 倒数为b/a（a≠0）。小数先化成分数。
正数倒数为正，负数倒数为负，0 没有倒数。注意倒数与相反数的区别：相反数和为0。
【变式3-1】
2
13
的倒数是
；
2
7
的相反数是
；
4
的绝对值是
．
【答案】
3
5
-
5
4
【分析】本题考查了化简多重符号，绝对值，相反数，倒数的性质，先整理
2
5
13
3
，
2
7
5
5
，
4
4
，然后结合倒数，相反数，绝对值等性质进行逐个解答即可．
【详解】解：∵
2
5
13
3
，
则
2
13
的倒数是
3
5
-
，
2
7
5
5
∴
2
7
的相反数是5
4
4
，
∴
4
的绝对值是4 ，
故答案为：
5
3
5
4
,
,
【变式3-2】
2
17
的倒数是_________，相反数是_________，绝对值是_________．
【答案】
7
9
9
7
9
7
【分析】本题考查倒数、相反数、绝对值的定义，关键是先将带分数化为假分数，再根据定义计算．
【详解】解：先将带分数
2
17
化为假分数，得
2
9
17
7
．
倒数：乘积为1 的两个数互为倒数，因此
9
7
的倒数为
7
9
；
相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，因此
9
7
的相反数为9
7 ；
绝对值：负数的绝对值是它的相反数，因此
9
9
7
7
．
故答案为：
7
9
；9
7 ；9
7 ．
题型4 有理数乘法运算律
19 / 47
【例7】用简便方法计算：
(1)
3
1.27
0.75
0.27
4
；
(2)
8
99
18
9
；
(3)
23
157
156
．
【答案】(1)
3
4
；
(2) 1798
；
(3)
23
23156
．
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算及乘法分配律，正确掌握有理数乘法运算法则是关键．
（1）先将0.75化为3
4 ，再利用乘法分配律计算即可；
（2）利用乘法分配律进行计算即可；
（3）利用乘法分配律进行计算即可．
【详解】（1）解：
3
3
3
3
3
1.27
0.75
0.27
1.27
0.27
0.27
1.27
4
4
4
4
4
；
（2）
8
1
1
99
18
100
18
100 18
18
1800
2
1798
9
9
9
；
（3）
23
23
23
23
23
157
156
1
156
1
23
156
156
156
156
156
．
【例8】计算：
(1)
1
2
1
5
1
3
5
6
3
；
(2) 1
1
1
1
1
1 5
5 9
9 13
13 17
17 21
．
【答案】(1) 1
3 6
(2) 5
21
【分析】本题考查有理数混合运算、乘法运算律及裂项相消法，熟记裂项相消法、有理数相关运算法则及
运算律是解决问题的关键．
（1）先由乘法分配律展开，再计算有理数乘法，最后由有理数加法运算计算即可得到答案；
（2）先利用裂项相消的方法化简，再逆用乘法分配律，最后根据有理数乘法运算计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
1
2
1
5
1
3
5
6
3
20 / 47
5
1
5
2
5
1
5
1 3
3
3
5
3
6
3
5
5
2
5
3
9
3
18
5
2
5
5
3
3
9
18
5
2
10
5
3
3
18
18
7
15
3
18
7
5
3
6
14
5
6
6
19
6
1
3 6
；
（2）解：1
1
1
1
1
1 5
5 9
9 13
13 17
17 21
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
5
4
5
9
4
9
13
4
13
17
4
17
21
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
5
5
9
9
13
13
17
17
21
1
1
1
4
21
1
20
4
21
5
21
．
【技巧归纳】
乘法交换律：a×b=b×a；结合律：(a×b)×c=a×(b×c)；分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。运用技巧：带分数拆
成整数加分数，便于分配；小数化分数；同分母或易约分的数先乘，避免大数运算。
【变式4-1】计算：
(1)
11
11
22
5
11
3
5
5
5
21 / 47
(2)
1
3
1
3
1
1
24
24
8
6
4
5
【答案】(1)0
(2)
29
24
【分析】本题考查了有理数的乘法和加减法的混合运算，正确计算是解题的关键．
（1）利用乘法分配律计算；
（2）利用乘法分配律计算．
【详解】（1）解：
11
11
22
5
11
3
5
5
5
11
11
11
5
11
6
5
5
5
11
5 11 6
5
0
；
（2）解：
1
3
1
3
1
1
24
24
8
6
4
5
25
3
1
3
1
24
24
24
24
8
6
4
5
25
1
9
4 18
24
5
25
1
5
24
5
25
1
1
5
24
5
5
5
1
24
29
24
．
【变式4-2】请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题．
利用运算律计算：
例1：
98 12
100
2
12
1200
24
1176
；
例2：
16 233 17 233
16 17
233
233
．
(1)999 12
；
(2)
4
3
3
999 118
333
999 18
5
5
5
．
【答案】(1)11988
(2)99900
【分析】（1）将所求式子变形为
1000 1
12
，再结合有理数的混合运算法则计算即可得出结果；
（2）将所求式子变形为
4
1
3
999 118
999
999 18
5
5
5
，再结合乘法运算律计算即可得出结果．
【详解】（1）解：999 12
1000 1
12
12000 12
11988
；
（2）解：
4
3
3
999 118
333
999 18
5
5
5
4
1
3
999 118
999
999 18
5
5
5
22 / 47
4
1
3
118
18
999
5
5
5
118 18
999
99900
．
题型5 有理数乘法的实际应用
【例9】外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天
送餐量超过40 单（送一次外卖称为一单）的部分记为“ ”，低于40 单的部分记为“”．下表是该外卖小哥
一周的送餐量：
星期
一
二
三
四
五
六
日
送餐量（单位：单）
3
5
5
13
8
7
12
(1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多_____单；
(2)求该外卖小哥这一周一共送餐多少单？
(3)外卖小哥送单补贴的方案如下：每天送单量不超过40 单，每单补贴4 元；超过40 单，该天所有单每单
补贴6 元．该外卖小哥这一周收入多少元？
【答案】(1)21
(2)该外卖小哥这一周一共送餐301 单
(3)该外卖小哥这一周的工资收入是1598 元
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数的混合运算，解题的关键是掌握正负数的实际意义以
及有理数混合运算法则．
（1）根据正负数的实际意义以及有理数的减法法则，用周四送餐量减去周五送餐量进行计算即可；
（2）根据题意，列出算式，利用有理数的混合运算法则进行计算即可；
（3）根据题意，列出算式，利用有理数的混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多
13
8
21
（单），
故答案为：21；
（2）解：
40 7
3
5
5 13
8
7
12
280
21
301
（单），
答：该外卖小哥这一周一共送餐301 单；
（3）解：
40 3
3
5
8
4
40
4
5 13
7
12
6
416
1182
23 / 47
1598
（元）．
答：该外卖小哥这一周的工资收入是1598 元．
【例10】近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，网约车司机小王新换了一辆新能源纯电动汽车，
他连续7 天记录了每天行驶的路程，以100千米为标准，多于记为“ ”，不足记为“ ”；
时间
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
路程（千
米）
96
24
72
40
120
88
112
(1)这一周行驶路程最多的一天比最少的一天多走________千米．
(2)求小王的新能源汽车这七天平均每天行驶多少千米？
(3)已知小王原来的汽油车每行驶100千米需要汽油7 升，每升汽油8 元，而新能源汽车每行驶100千米耗电15
度，每度电0.6 元．请你帮小王估算一下，换过新能源汽车后的一个月（按30天）比之前的汽油车能节约多
少钱？
【答案】(1)
192
(2)
140千米
(3)
1974元
【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键；
（1）由表格可知，行驶路程最多的一天是星期五，最少的一天是星期三，相减即可得出答案；
（2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再求七天的平均行驶的路程，即可求解；
（3）分别求出汽油费和电费，即可求解．
【详解】（1）解：
120
72
192
（千米），
故答案为：192；
（2）解：
96
24
72
40
120
88 112
280
，
100 7
280
140
7
（千米），
答：小王的新能源汽车这七天平均每天行驶140千米；
（3）解：
140
30
7 8 15 0.6
1974
100
（元），
答：换过新能源汽车后的一个月（按30天）比之前的汽油车能节约1974元.
【技巧归纳】
实际应用如计算总价、面积、连续升降等。先明确单位量（单价、速度）与数量，列出乘法算式。注意方
24 / 47
向：正数表示同向，负数表示反向。可结合正负意义理解结果符号，如亏损×次数=总亏损。单位统一。
【变式5-1】嘉陵江沿岸某米粉店依托本地饮食文化经营，计划一周（7 天）卖出4200 碗米粉，以每天卖出
600 碗为标准，由于客流波动、原料供应等原因，实际每天销售量与计划销售量相比有出入，下表是本周的
销量情况（超产为正，减产为负）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
12
6
36
11
75
34
27
(1)根据记录可知前三天共卖出多少碗米粉？
(2)销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出多少碗？
(3)该米粉店实行计件工资制，每天卖出一碗米粉得0.2 元，每天超额卖出一碗奖0.5 元，少卖出一碗扣1 元，
那么该米粉店工人这一周的工资总额是多少？
【答案】(1)1758碗
(2)111碗
(3)824.9 元
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用；
（1）根据题意列出
600 3
12
6
36
，即可求解；
（2）根据题意列出
75
36
111
，即可求解；
（3）根据题意列出
7 600
37
0.2
12 1 6 0.5
36 1 11 0.5
75 0.5
34 1
27 0.5
，即可求解．
【详解】（1）解：
600 3
12
6
36
1758
（碗），
答：前三天共卖出1758碗米粉；
（2）解：由题意得
75
36
111
（碗），
答：销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出111碗；
（3）解：由题意得
12
6
36 11 75
34
27
37
（碗），
7 600
37
0.2
12 1 6 0.5
36 1 11 0.5
75 0.5
34 1
27 0.5
824.9
（元），
答：该米粉店工人这一周的工资总额824.9 元．
【变式5-2】李老师的电动自行车上周日骑行里程为75km．下表是这辆电动自行车本周每日骑行里程相对
前一日的变化情况（正数表示当日骑行里程比前一日增多，负数表示当日骑行里程比前一日减少）．
25 / 47
星期
一
二
三
四
五
六
日
里程变化
/km
5
1
7
3
1
6
2
(1)本周哪一天该电动自行车骑行里程最多？这一天骑行的里程是多少千米？
(2)本周该电动自行车的总骑行里程为多少千米？
(3)已知该电动自行车满电续航里程（电池充满电时可骑行的总路程）为550km ，当续航里程不足满电续航
里程的10％时需要充电．本周一早上出发时该电动自行车为满电状态，请通过计算说明，本周日李老师使
用完该电动自行车后，是否需要为其充电？
【答案】(1)本周五该电动车行驶里程最多，这一天该电动车行驶了80 千米
(2)本周该电动车的行驶里程为520千米
(3)本周日李老师使用完该电动车后，需要为该电动车充电
【分析】本题考查有理数混合运算，正数和负数的实际应用，将骑行里程的变化转化为数学表达式是解题
关键．
（1）根据正数和负数的实际意义分别求得本周每天的实际行驶里程即可；
（2）将每天的行驶里程相加即可；
（3）结合（2）中所求列式计算并将结果与550 10
％比较即可．
【详解】（1）解：根据正数和负数的实际意义分别求得本周每天的实际行驶里程如下：
周一：75
5
70
（千米），
周二：70 1
69
（千米），
周三：69
7
76
（千米），
周四：76
3
79
（千米），
周五：79 1
80
（千米），
周六：80
6
74
（千米），
周日：74
2
72
（千米），
答：本周五该电动车行驶里程最多，这一天该电动车行驶了80 千米．
（2）解：70
69
76
79
80
74
72
520
（千米），
答：本周该电动车的行驶里程为520千米．
（3）解：已知当续航里程不足550 10
55
％
千米时需要充电，
本周日李老师使用完电动车后剩余里程为550
520
30
（千米），
30
55
，故需要充电．
答：本周日李老师使用完该电动车后，需要为该电动车充电．
题型6 有理数的除法运算
26 / 47
【例11】计算：
(1)
1
1
2
1
3
6
；
(2)
3
0
5
；
(3)
3
3
2.25
8
．
【答案】(1) 2
(2)0
(3) 3
2
【分析】本题主要考查有理数的除法，掌握有理数除法的运算法则是解题的关键．
（1）将除法化为乘法，再计算即可；
（2）根据0 除任何数都等于0，计算即可；
（3）根据有理数除法的运算法则计算即可．
【详解】（1）
1
1
2
1
3
6
7
6
2
3
7
．
（2）
3
0
5
0
．
（3）
3
3
2.25
8
27
4
3
8
9
2
．
【例12】计算：
(1)
60
12
；
(2)
1
36
3
；
(3)
0.75
0.25
；
(4)
1
6
6
．
【答案】(1)5
(2)
108
(3) 3
(4)36
【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数除法计算法则是解答本题的关键．
（1）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
（2）根据有理数除法法则，除以一个不等于0 的数等于乘以这个数的倒数，即可解答；
27 / 47
（3）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
（4）根据有理数除法法则，除以一个不等于0 的数等于乘以这个数的倒数，即可解答；
【详解】（1）解：原式
60
12
5
；
（2）解：原式
36
3
108
；
（3）解：原式
0.75
0.25
3
；
（4）解：原式
6
6
36
．
【技巧归纳】
除法转化为乘法：除以一个数等于乘它的倒数，即a÷b=a×(1/b)（b≠0）。先定符号（同号得正，异号得负），
再将绝对值相乘除。带分数化成假分数，小数化成分数。0 除以任何非0 数得0，0 不能作除数。
【变式6-1】计算：
(1)
1404
2
7
7
；
(2)
8
1.25
；
(3)
4
24
( 8)
5
；
(4)
4
1
24
(
)
5
10
．
【答案】(1) 702
(2) 32
5
(3) 31
10
(4) 248
【分析】本题考查有理数的除法运算：
（1）变除法为乘法，再约分化简即可；
（2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简；
（3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可；
（4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可．
【详解】（1）解：
1404
2
1404
7
702
7
7
7
2
；
（2）解：
5
4
32
8
1.25
8
8
4
5
5
；
（3）解：
4
124
1
31
24
( 8)
5
5
8
10
；
28 / 47
（4）解：
4
1
124
24
10
248
5
10
5
.
【变式6-2】计算：
(1)0
( 0.12)
；
(2)
1
( 0.5)
(
)
4
；
(3)( 378)
( 7)
( 9)
；
(4)
5
( 0.75)
( 0.3)
4
．
【答案】(1)0
(2)2
(3)-6
(4)2
【分析】此题考查了有理数的除法运算，根据有理数的除法运算法则求解即可．
【详解】（1）0
( 0.12)
0
；
（2）
1
( 0.5)
(
)
4
1
4
2
2
；
（3）( 378)
( 7)
( 9)
1
1
378
7
9
6
；
（4）
5
( 0.75)
( 0.3)
4
3
4
10
4
5
3
2
．
题型7 有理数的乘除混合运算
【例13】计算：
2
3
64
2
27
3
8
；
【答案】1
3
【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算法则，是解题的关键．有理
数乘除混合运算法则，进行计算即可．
【详解】解：
2
3
64
2
27
3
8
8
3
64
27
3
8
3
3
1
64 8
8
27
1
3
．
29 / 47
【例14】计算：
1
7
1
1
0.65
4.8
8
20
7
+
+
【答案】
39
【分析】先计算括号里面的，再根据混合运算的法则即可求解．
本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：原式
9
13
7
7
4.8
8
20
20
9
7
4.8
8
65
24
8
5
39
．
【技巧归纳】
统一为乘法：将除法变为乘倒数，连乘形式。先确定符号（负号个数奇负偶正），再约分绝对值。小数化
分数，带分数化假分数。利用乘法交换结合律，将整数、分母相同的分数先乘，最后化为最简分数或整数。
【变式7-1】计算：
(1)
1
2
2
( 1.2)
1
7
5
；
(2)
5
2
2
4
1
7
3
3
．
【答案】(1)
5
2
(2)2
【分析】本题考查有理数的乘除法混合运算：
（1）将小数化为分数，将带分数化为假分数，化除为乘再计算即可；
（2）将带分数化为假分数，化除为乘再计算即可．
【详解】（1）解：原式
15
5
7
5
7
6
5
2
；
（2）解：原式
5
14
3
2
7
3
5
．
【变式7-2】计算：
(1)
3
1
3
1
0.75
2
9
4
3
；
30 / 47
(2)
2
1
5
1
0.8
2
7
4
；
(3)
1
1
1
1
6
1
2
4
4
．
【答案】(1)
1
3
(2) 7
(3)
3
10
【分析】本题考查了有理数的混合运算．
（1）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可；
（2）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可；
（3）先将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可．
【详解】（1）解：
3
1
3
1
0.75
2
9
4
3
7
3
7
3
9
4
4
3
3
7
1
3
7
4
3
9
4
1
3
9
1
3
；
（2）解：
2
1
5
1
0.8
2
7
4
9
4
9
5
7
5
4
7
4
9
5
9
5
4
7
；
（3）解：
1
1
1
1
6
1
2
4
4
3
25
5
2
4
4
3
4
5
2
25
4
3
10
．
题型8 有理数的乘除混合运算之新定义型问题
【例15】已知a 、b 为有理数，现规定一种新运算，满足a b
a b
a
b
．
(1)求
2
4
的值；
(2)求
1 3
2
的值．
【答案】(1)6
(2) 17
【详解】（1）解：原式
2
4
2
4
8
2
4
6
；
（2）解：原式
1 3 1
3
2
5
2
5
2
5
2
10
5
2
17
．
【例16】如果对于任何有理数a，b 定义运算“
”如下：
1
b
a
2
b
a
△
，如
1
3
1
2
3
2
2
3
△
．
31 / 47
(1) 1 2
；
(2)求( 2 7) 4
的值．
【答案】(1)1
(2)
7
2
【分析】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解决问题的关键．
（1）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，进而计算得出结果即可．
（2）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，先计算括号内的运算，进而计算得出结果即可．
【详解】（1）解：
1
2
b
a b
a
，
∴1 2
2
1
2
1 ( 1)
1
；
（2）
1
2
b
a b
a
，
∴2 7
1
7
2
2
1
2
2
7
1
7
，
∴( 2 7) 4
1
4
7
△
4
7
2
7
( 2)
7
2
．
【技巧归纳】
先理解新定义运算规则（如a⊗b 表示a 除以b 的相反数），将自定义式转化为有理数乘除算式。注意运算
顺序，括号优先。按乘除法则计算：统一为乘法，定符号，约分。可尝试代入特殊值验证规则理解是否正
32 / 47
确。
【变式8-1】在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他在课外阅读中看到了一些定义符号
的运算，例如：对于数4 5 6 7
、、、，定义
4
5
4 7
5 6
28
30
2
6
7
．小奇突发面想，也尝试定义一新运
算符号“”，规则如下：
2
a
b
a b
a
，试运用此规则完成下列运算．
(1)4
( 1)
；
(2) 2
( 3
5)
．
【答案】(1) 12
(2) 22
【分析】本题考查的是新定义运算的含义，有理数的四则混合运算；
（1）根据新定义运算可得4
( 1)
4
1
2 4
，再计算即可；
（2）根据新定义运算先计算3
5
可得3
5
9
，再计算
2
9
即可；
【详解】（1）解：∵
2
a
b
a b
a
，
∴4
( 1)
4
1
2 4
4
8
12
；
（2）解：2
( 3
5)
2
3
5
2
3
2
15
6
2
9
2
9
2
2
18
4
22
；
【变式8-2】在学习了《有理数的运算》后，小奇同学对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，
定义了一种新运算“”，运算规则如下：
2
a
b
a
b
a
（,a b 不相等），例如，3
4
3 4
2 3
18
．
(1)填空：
3
2
_________；
(2)求
1
5
4
2
的值；
(3)试以
4
3
和
3
4
的值说明：对于新定义的运算“”，交换律是否成立？
【答案】(1)0
(2)40
33 / 47
(3)对于新定义的运算“”，交换律是不成立的
【分析】本题主要考查有理数的运算，解题的关键是理解题中所给新定义运算；
（1）根据题中所给新定义运算可进行求解；
（2）根据题中所给新定义运算可进行求解；
（3）分别得出
4
3
和
3
4
的值，然后问题可求解．
【详解】（1）解：∵
2
a
b
a
b
a
，
∴
3
2
3
2
2 3
0
；
故答案为0；
（2）解：由题意得：
1
1
4
4
2
4
10
2
2
，
∴
1
5
4
5
10
5
10
2
5
40
2
；
（3）解：∵
4
3
4 3
2
4
20
，
3
4
3
4
2 3
6
，
∴20
6
，
∴对于新定义的运算“”，交换律是不成立的．
题型9 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题
【例17】在学习一个数的绝对值过程中，化简a 时，可以这样分类：当
0
a
时，a
a
；当
0
a
时，
0
a
；
当
0
a
时，a
a
．请用这种方法解决下列问题．
(1)当
3
a
时，则
a
a ___________；当
2
a 时，则
a
a ___________．
(2)已知a
b
，是有理数，当
0
ab
时，试求
a
b
a
b
的值．
【答案】(1)1，1
(2)2 或2
【分析】本题考查了有理数的绝对值和有理数的运算，正确理解题意、熟练掌握有理数的相关知识是解题
的关键；
（1）先化简绝对值，再计算除法即可；
（2）由
0
ab
可得
0,
0
a
b
或
0,
0
a
b
，再分两种情况结合绝对值的性质求解即可．
【详解】（1）解：当
3
a
时，则
3
1
3
a
a
；
34 / 47
当
2
a 时，则
2
2
1
2
2
a
a
，
故答案为：1，1
．
（2）解：当
0
ab
，则
0,
0
a
b
或
0,
0
a
b
，
当
0,
0
a
b
时，
1 1
2
a
b
a
b
a
b
a
b
；
当
0,
0
a
b
时，
1 1
2
a
b
a
b
a
b
a
b
；
综上，
a
b
a
b
的值是2 或2
．
【例18】阅读下列材料：
0
0
0
0
x
x
x
x
x
x
，
，
，
，
，
，
即当
0
x
时，
1
x
x
x
x
；当
0
x
时，
1
x
x
x
x
．
用这个结论可以解决下面问题：
(1)已知a，b 是有理数，当
0
ab
时，求
a
b
a
b
的值；
(2)已知a，b，c 是有理数，当
0
abc
时，求
a
b
c
a
b
c
的值．
【答案】(1) 2
或0
(2) 1
或3
【分析】本题考查了绝对值的化简，分类思想，有理数除法法则，熟练掌握分类思想，准确理解绝对值化
简是解题的关键．
（1）根据题意，分类讨论：①
0
a
，
0
b
，②
0
a
，
0
b
，进行计算即可得；
（2）根据题意可分
0
a
，
0
b
，
0
c
和
0
a
，
0
b
，
0
c
，和a，b，c 两负一正和a，b，c 两正一负，
四种情形求解即可．
【详解】（1）解：已知a，b 是有理数，当
0
ab
时，
①若
0
a
，
0
b
，则
1 1
2
|
|
|
|
a
b
a
b
；
②若
0
a
，
0
b
，则
1 1
2
|
|
|
|
a
b
a
b
；
③若a，b 异号，则|
1 1
0
|
|
|
|
a
b
a
b
．
故
a
b
a
b
的值为2
或0；
（2）解：已知a，b，c 是有理数，当
0
abc
时，
35 / 47
①若
0
a
，
0
b
，
0
c
，则
1 1 1
3
|
|
|
|
|
|
a
b
c
a
b
c
；
②若
0
a
，
0
b
，
0
c
，则
1 1 1
3
|
|
|
|
|
|
a
b
c
a
b
c
；
③若a，b，c 两负一正，则
1 1 1
1
|
|
|
|
| |
a
b
c
a
b
c
；
④若a，b，c 两正一负，则
1 1 1
1
|
|
|
|
| |
a
b
c
a
b
c
．
故
a
b
c
a
b
c
的值为1
或3
．
【技巧归纳】
含绝对值除法：先根据条件判断绝对值内正负，去绝对值号（正数不变，负数取相反数），再按除法法则
计算。注意0 的绝对值是0。常需对参数分情况讨论，如x>0、x<0，分别化简，避免漏掉负数情况。
【变式9-1】探究题：阅读下列材料并解决有关问题．
我们知道
,
0
0,
0
,
0
x x
x
x
x x
，所以当
0
x
时，
1
|
|
x
x
x
x
；当
0
x
时，
1
|
|
x
x
x
x
．
请用上面的结论解决下列问题：
(1)已知a ，b 是有理数，当
0
ab
时，|
|
|
|
a
b
a
b
．
(2)已知a ，b ，c 是有理数，当
0
abc
时，|
|
|
|
| |
a
b
c
a
b
c
．
(3)已知a ，b ，c ，d 是有理数，当|
|
1
abcd
abcd 时，|
|
|
|
| |
|
|
a
b
c
d
a
b
c
d
的最大值是．
【答案】(1) 2
(2) 3
或1
(3) 2
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，
（1）根据
0
ab
，得出
0
a
，
0
b
或a<0 ，
0
b
，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可；
（2）根据
0
abc
，得出a、b、c 中有3 个负数或一负两正，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可；
（3）根据|
|
1
abcd
abcd ，得出a 、b 、c 、d 中有1 个或3 个负数，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可
求解．
【详解】（1）解：∵
0
ab
，
∴a、b 同号，即
0
a
，
0
b
或a<0 ，
0
b
，
36 / 47
∴
1 1
2
a
b
a
b
或
1 1
2
a
b
a
b
；
∴当
0
ab
时，
2
a
b
a
b
；
故答案为：2
．
（2）解：∵
0
abc
，
∴a、b、c 中有3 个负数或两正一负，
当a、b、c 都是负数时，
1 1 1
3
a
b
c
a
b
c
；
当a、b、c 中有两正一负时，设a
0,b
0,c
0
，
1 1 1 1
a
b
c
a
b
c
；
∴
0
abc
时，
a
b
c
a
b
c
的值为3
或1；
故答案为：3
或1．
（3）解：∵|
|
1
abcd
abcd ，
∴a 、b 、c 、d 中有1 个或3 个负数
设
0,
0,
0,
0
a
b
c
d
，
1 1 1 1
2
|
|
|
|
|
|
|
|
a
b
c
d
a
b
c
d
设
0,
0,
0,
0
a
b
c
d
，
1 1 1 1
2
|
|
|
|
|
|
|
|
a
b
c
d
a
b
c
d
∴|
|
|
|
| |
|
|
a
b
c
d
a
b
c
d
的最大值是2．
【变式9-2】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思
想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c 满足
0
abc
，求a
b
c
a
b
c
的值．
【解决问题】解：由题意得，a，b，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①若a，b，c 都是正数，即
0
a
，
0
b
，
0
c
时，则
1 1 1
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
；
②若a，b，c 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设
0
a
，
0
b
，
0
c
，
1
1
1
1
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
，
综上所述，a
b
c
a
b
c
的值为3 或1
．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
37 / 47
(1)三个有理数a，b，c 满足
0
abc
，求a
b
c
a
b
c
的值；
(2)若a，b，c 为三个不为0 的有理数，且
1
a
b
c
a
b
c
，求
abc
abc 的值．
【答案】(1) 3
或1
(2)1
【分析】本题考查有理数混合运算，绝对值的意义．
（1）根据有理数乘法运算法则判断a，b，c 的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情况讨论；
（2）由题意得，a，b，c 中有2 个负数，1 个正数，则
0
abc
，利用绝对值的意义可得结论．
【详解】（1）解：由题意得，a，b，c 三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．
①若a，b，c 都是负数，即
0
a
，
0
b
，
0
c
时，
1
1
1
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
；
②若a，b，c 中有一个为负数，另两个为正数时，
不妨设
0
a
，
0
b
，
0
c
，
则
1
1 1
1
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
，
综上所述，a
b
c
a
b
c
的值为3
或1．
（2）解：∵a，b，c 为三个不为0 的有理数，且
1
a
b
c
a
b
c
，
∴a，b，c 有2 个负数，1 个正数，
∴
0
abc
，
∴
1
abc
abc
abc
abc
．
一、单选题
1．若a 的倒数是
2
3
，那么a 是（
）
A．2
3
B．3
2
C．
3
2
D．
2
3
【答案】C
【分析】根据倒数的定义计算a 的值即可得到答案．
38 / 47
【详解】解：∵a 的倒数是
2
3
，
∴
3
2
a
．
2．下列各式运用运算律不正确的是（
）
A．
4
8
8
4
B．
3
2
5
3
2
5
C．
1
1
1
1
1
1
12
(
)
12
12
12
3
4
2
3
4
2
D．
1
1
1
1
6
6
6
2
3
2
3
【答案】C
【分析】本题考查了乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的定义．
结合乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律及除法无分配律的特性，逐一判断各选项运算律的运用是否正
确即可．
【详解】解：选项A 运用乘法交换律a b
b a
，运算律运用正确；
选项B 运用乘法结合律
a b
c
a
b c
，运算律运用正确；
选项C 中，除法无分配律，运算律运用错误；
选项D 运用乘法分配律
a
b
c
a b
a c
，运算律运用正确；
故选：C．
3．在数4,2, 3,5
中任取2 个数相乘，其中最小的积是a ，最大的积是b ，则a
b 的值是（
）
A．
2
3
B．
5
3
C．
5
4
D．
1
3
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的乘法，关键是掌握有理数乘法法则；根据有理数的乘法法则计算即可．
【详解】解：∵可能的积为：
4
2
8
4
3
12 2
3
6 2 5
10
3
5
15
，
，
，
，
4 5
20
∴最小的积
20
a
，最大的积
12
b
，
∴
20
5
12
3
a
b
．
4．如图，数轴上的两点A、B 表示的数分别为a、b，下列结论正确的是（
）
A．a
b
B．a
b
C．
0
ab
D．
0
a
b
【答案】D
39 / 47
【分析】先由数轴得到
1
0
1
a
b
，进而根据相反数的几何意义和有理数乘除法的符号规则逐项判断即
可．
【详解】解：由数轴知，
1
0
1
a
b
，
∴a
b
，a
b
，
0
ab
，
0
a
b
，
故选项D 符合题意．
5．小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b=
0
0
a
b b
a
b b
，则
1
2
☆
的值为（
）
A．
1
2
B．
1
2
C．2
D．2
【答案】B
【分析】根据规定的运算要求直接套用公式即可求得结果．
【详解】∵
0
0
a
b b
a
b
a
b b
☆
，2
0
，
∴
1
1
2
1
2
2
☆
．
二、填空题
6．若
4
8
□
，则W 内的数字是________．
【答案】2
【详解】解：根据乘除互为逆运算可得，W 内的数字是
8
4
2
．
7．3
的倒数是____,
1
2 5
的相反数是____，
6
____．
【答案】
1
3
-
1
2 5
6
【详解】解：根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，可得3
的倒数是
1
3
；
根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，可得
1
2 5
的相反数是
1
2 5 ；
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得
6
6
．
8．对于有理数a 、b ，定义运算“※”如下：
ab
a
b
a
b
※
（其中
0
a
b
），则2 3
※
______
【答案】6
5
【分析】根据题中给出的新定义运算规则，将对应数值代入公式计算即可得到结果．
40 / 47
【详解】解：根据定义的新运算
ab
a
b
a
b
※
，将
2
a
，
3
b
代入得：
2 3
6
2
3
2
3
5
※
．
9．如图，A 、B 两点在数轴上表示的数分别为a ，b ，有下列结论：①
0
a
b
；②
0
a
b
；③
1
1
0
b
a
；
④
1
0
1
b
a
，其中正确的有_______．
【答案】①②④
【详解】解：由数轴图可知，1
0 1
a
b
＜＜＜＜，
对于①：∵a
b
，
∴
0
a
b
，故①正确；
对于②：∵a
b
，
∴
0
a
b
，故②正确；
对于③：∵1
0 1
a
b
＜＜＜＜，
∴
1
0
b
，
1
0
a
，
∴
1
1
0
b
a
，故③错误；
对于④：∵
1
0
b
，
1
0
a
，
∴
1
0
1
b
a
，故④正确．
10．爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将1，2
，3，4
，5，6
，7 ，8
分别填入图中的圆圈内，
使横、竖以及内外两圈上的4 个数字之和都相等，若他已经将1，2
，6
，7 这四个数填入了圆圈，则图
中m
n
的值为_____
【答案】7 或7
【分析】求得横、竖以及内外两圈上的4 个数字之和为2
，求得,a b 的值，即可得到
,
m n 的值，代入求解即
可．
【详解】解：∵
1
2
3
4
5
6
7
8
4
4
2
2
，
，
∴
1
7
2
2, 6 1
2
2
a
b
，
即：
8,
5
a
b
，
∵6
2
m
n
b
，
41 / 47
∴
1
m
n
，
当
3,
4
m
n
时，
3
4
7
m
n
，
当
4,
3
m
n
时，
4
3
7
m
n
，
综上：
7
m
n
或7
．
三、解答题
11．计算：
(1) 2
1
3
2
3
5
2
4
；
(2)
1
8
9
9
；
(3)
1
2
2
1.2
1
7
5
．
【答案】(1)
3
5
-
(2)
8
81
(3)
5
2
【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题关键．
（1）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可；
（2）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可；
（3）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可．
【详解】（1）2
1
3
2
2
15
3
2
3
5
2
4
5
5
4
5
；
（2）
1
1
1
8
8
9
8
9
9
9
81
；
（3）
1
2
15
5
7
5
2
1.2
1
7
5
7
6
5
2
．
12．对于有理数a ，b ，定义了一种“”的新运算，具体为
2
2
3
a
b a
b
a
b
a
b a
b
，计算：①
2
1
；
②
4
3
．
【答案】①5；②2
【分析】①根据2
1
结合已给定义列式求解即可；
②根据4
3
2
1
结合已给定义列式求解即可．
42 / 47
【详解】解：①∵
2
2
3
a
b a
b
a
b
a
b a
b
，且2
1
，
∴
2
1
2 2
1
4 1
5
；
②∵
2
2
3
a
b a
b
a
b
a
b a
b
，4
3
，
∴
2
4
3
4
3
4
2
2
3
．
13．在计算
2
4
5
5
时，小明的解题过程如下：
解：原式
2
4
5
5
4
2
2
判断小明的解法是否正确．若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答．
【答案】不正确，原因是同级运算的运算顺序错误；50
【分析】有理数的乘除混合运算属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算．
【详解】解：不正确，原因是同级运算的运算顺序错误．
正确解答如下：
原式
5
4
5
2
10
5
50
．
14．某校学生食堂要购进20 袋土豆，以每袋30千克为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记
作负数，称后的记录(单位：千克)如下：
每袋与标准质量的差
3
2
1.5
0
2
2.5
3
袋数
1
3
4
3
3
4
2
(1)求这20 袋土豆的平均质量是多少？
(2)若土豆每千克的售价为1.5元，求买这20 袋土豆共需多少钱？
【答案】(1)30.35 千克；
(2)910.5 元
【分析】（1）先计算20 袋土豆与标准质量的差值总和，再结合标准总质量求出实际总质量，最后除以袋数
43 / 47
得到平均质量；
（2）利用“总价=总质量×单价”的数量关系，代入数据计算即可．
【详解】（1）解：
3 1
2
3
1.5
4
0 3
2 3
2.5 4
3 2
3
6
6
0
6 10
6
7
(千克)，
20 袋土豆的实际总质量为20 30
7
600
7
607
(千克)，
平均质量为607
20
30.35
(千克)．
（2）解：总费用为607 1.5
910.5
(元)，
答：买这20 袋土豆共需910.5 元．
15．课堂上老师给出一道计算题：1
1
1
3
24
2
6
8
．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下：
甲：原式
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
24
2
24
6
24
8
12
4
9
18
乙：原式
1
17
1
24
1
24
24
24
17
17
丙：原式的倒数
1
1
3
1
1
1
3
1
1
3
24
24
24
24
12
4
9
17
2
6
8
24
2
6
8
2
6
8
故原式
1
17
．
请认真阅读，解答下列问题：
(1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”)
(2)计算：
①
1
1
2
5
54
2
3
6
②
1
1
1
1
1
1
1
1
42
2
3
6
7
14
21
42
【答案】(1)乙、丙；甲；
(2)①
1
36
；②
1
4
【分析】本题考查有理数的混合运算，核心知识点为有理数的除法法则与混合运算顺序，关键在于明确除
法不满足分配律，对于复杂的除法运算可通过倒数法简化计算．
（1）根据除法运算的性质判断：除法没有分配律，甲错误运用分配律导致结果错误；乙按照“先括号内，
再括号外”的运算顺序计算，步骤正确；丙利用倒数的性质，先计算原式的倒数再求原式，方法简便且正确．
（2）①可先计算括号内的加减运算，再进行除法运算；
②由于括号内的项较多，采用倒数法计算更简便，先求原式的倒数，再通过倒数关系得到原式的值．
【详解】（1）解：除法不具有分配律，甲同学将除法错误地使用分配律，甲的解法错误；
44 / 47
乙同学先计算括号内的有理数加减，再进行除法运算，符合有理数混合运算顺序，解法正确；
丙同学先计算原式的倒数，再根据倒数关系求出原式的值，方法正确；故正确的是乙、丙，错误的是甲；
故答案为：乙、丙；甲．
（2）①解：
1
1
2
5
54
2
3
6
1
2
54
3
1
3
54
2
1
36
；
②解：设原式为B ，则B 的倒数为
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
42
2
3
6
7
14
21
42
42
2
3
6
7
14
21
42
，
1
1
1
1
1
1
1
42
2
3
6
7
14
21
42
1
1
1
1
1
1
1
42
42
42
42
42
42
42
2
3
6
7
14
21
42
21 14
7
6
3
2 1
4
，
B 的倒数为4
，
1
1
4
4
B
原式
．
16．计算
(1)
1991
1
1997
19991999
4
1999
(2)
10
5
3
2
2
2 8 1
1
11
9
11
9
5
.
(3) 1
1
2
1
2
3
1
2
59
2
3
3
4
4
4
60
60
60
(4)
3
5
7
25
1 2
3
2
3 4
3 4 5
12 13 14
【答案】(1)499
(2)7
(3)885
(4) 201
182
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律及裂项法是解题的关键.
45 / 47
（1）把
1991
19991999 写成
8
2000
1999
，再运用乘法分配律计算即可；
（2）把
10
5
2 8 1
1
11
9
.
写成
21
11
9
4
14
5
1
，再运用乘法分配律计算即可；
（3）根据同分母分数加法运算法则进行计算，再变形，根据同分母分数加法运算法则，进行计算即可；
（4）将原式变形为1
2
2
3
3
4
11 12
12
13
1 2 3
2 3 4
3 4 5
11 12 13
12 13 14
，然后裂项，再根据加法交换
律和结合律，结合裂项法，进行计算即可．
【详解】（1）解：
1991
1
1997
19991999
4
1999
8
1
1997
2000
1999
4
1999
1
8
1
1997
2000
4
1999
4
1999
2
1997
500
1999
1999
499
；
（2）解：
10
5
3
2
2
2.8 1
1
11
9
11
9
5
14
21
14
2
3
2
5
11
9
5
11
9
2
3
2
7
7
7
5
11
9
2
3
2
5
11
9
2
3
2
7
5
11
9
2
3
2
5
11
9
7
；
（3）解：1
1
2
1
2
3
1
2
59
2
3
3
4
4
4
60
60
60
1 59
59
1
3
1
2
2
2
2 60
1
2
3
4
59
2
2
2
2
2
1
2
3
4
59
2
1 59
59
2 2
46 / 47
60 59
2 2
885
；
（4）解：
3
5
7
25
1 2
3
2
3 4
3 4 5
12 13 14
11 12
1 2 3
2 3 4
3 4 5
11 12 13
12 13 14
1 2
2
3
3
4
12 13
11
12
1 2 3
1 2 3
2 3 4
2 3 4
3 4 5
3 4 5
11 12 13
11 12 13
12
4
1
2
2
3
3
4
1
13 14
12 1
2
3
3 1
1
1
1
2 3
1 3
3 4
2 4
4 5
3 5
12 13
11 13
13 14
12 14
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2 3
3 4
4 5
12 13
13 14
1 3
2 4
3 5
11 13
12 14
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
4
4
5
12
13
13
14
2
3
2
4
3
5
4
6
11
13
12
14
1
1
1
1
1
1
1
2
14
2
13
2
14
1
1
1
1
1
1
2
14
2
26
4
28
1
1
1
1
1
1
2
2
4
14
28
26
5
3
1
4
28
26
455
39
14
364
364
364
402
364
201
182
．
17．我们知道在化简a 的时候，需要判断a 的正负：当
0
a
时，a
a
；当
0
a
时，a
a
．
(1)已知a，b，c 三个数在数轴上的对应的点如图所示：
用“>”、“<”或“=”填空，
a
b
______0，b
c
______0，a
c
______0，
(2)化简：a
b
b
c
a
c
．
(3)思维扩展：由“当
0
a
时，a
a
；
0
a
时，a
a
”可以推出：
47 / 47
当
0
a
时，
1
a
a
a
a
；当
0
a
时，
1
a
a
a
a
．
应用这个结论，解决下列问题：
已知x，y，z 是有理数，
0
x
y
z
，
0
xyz
，化简：x
y
z
x
y
z
______．
【答案】(1)>，<，<
(2) 2
2
a
b
(3) 1
【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减运算，数轴与有理数，解题的关键是熟练掌握绝对值的化
简．
（1）根据数轴可得
0
c
b
a
且|
| |
| |
|
b
a
c ，即可判断所求式子的正负；
（2）根据绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可；
（3）根据
0
x
y
z
，
0
xyz
，可知x ，y ，z 中一正两负或两正一负，据此化简即可．
【详解】（1）解：由数轴知：
0
c
b
a
且|
| |
| |
|
b
a
c ，
0
a
b
，
0
b
c
，
0
a
c
，
故答案为：，，；
（2）解：
0
a
b
，
0
b
c
，
0
a
c
，
|
|
|
|
|
|
a
b
b
c
a
c
a
b
b
c
a
c
2
2
a
b
；
（3）解：
0
x
y
z
，
0
xyz
，
当x ，y ，z 中一正两负时，
|
|
|
|
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1 1 1
1
x
y
z
x
y
z
；
当x ，y ，z 中两正一负时，
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|
|
|
| |
1 1 1 1
x
y
z
x
y
z
，
综上所述，
1
x
y
z
x
y
z
．
故答案为：1
．
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