文档文本内容
第11 讲 代数式的概念与代数式的值
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 代数式的概念
题型2 代数式书写格式
题型3 列代数式
题型4 代数式表示的实际意义
题型5 已知字母的值，求代数式的值
题型6 已知式子的值，求代数式的值
题型7 程序流程图与代数式求值
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
代数式、列代数式、
代数式的值、数量关
系、书写规范、一般
性。
1. 理解代数式的概念，知道用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子
叫代数式。
2. 掌握代数式的书写规范（如乘号省略、除法写成分数形式等），能正确列
出代数式表示数量关系。
3. 理解代数式的值的意义，能将字母取值代入代数式并按运算顺序求出结
果。
4. 体会从特殊到一般（列代数式）和从一般到特殊（求代数式的值）的数学
思想，感受字母表示数的一般性。
学习重点：理解代数式的概念，掌握列代数式表示数量关系的方法，以及代数式值的求法。
学习难点：准确分析实际问题中的数量关系并正确列出代数式（特别是含括号、分数等形式），理解
同一代数式可表示不同实际意义，以及代数式求值时对负数、分数等代入需加括号的处理。
知｜识｜框｜架
知识点
01
代数式
1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数
式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
注意：
①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；
②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一
般都是代数式；
③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。
【易错提醒】
代数式易错警示：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）连接数和字母的式子。注意：单独一个数或字母
也是代数式；含“=”“<”“>”的式子不是代数式（如方程、不等式）。运算顺序与括号不能漏。
即时即练1．下列式子中：2，2(x + y)，
，n
m，
，
，代数式有（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
2．有下列式子：①2026；②
；③
；④1
t ；⑤
；⑥
；⑦
，其中代数式有
（ ）
A．
个
B．个
C．
个
D．个
知｜识｜精｜讲
知识点
02
代数式的书写格式
①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；
②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；
③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如
应写作
；
④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；
⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作
；注意：分数线具有
“÷”号和括号的双重作用。
⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，
如a2-b2平方米。
【易错提醒】
代数式书写格式易错警示：数字与字母相乘，数字在前（如3a）；带分数要化假分数；除法写成分数；单
位要加括号（如(a+b)元）。乘号可省略或写“·”，但数字与数字间不可省略。
即时即练1．以下代数式书写规范的是（ ）
A．
B．
C．
D．
厘米
2．有下列五个式子：①
；②
；③
（
不等于0）；④
；⑤−n；其中不符合代数式
的书写格式的有（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
知识点
03
代数式的值
1.整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目
的、有意识的整体处理．
2.根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体
代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．
【易错提醒】
代数式求值易错警示：代入数值时需用括号（如x=-2 代入x2得 (-2)2）。负数代入时特别注意平方及乘方
符号。先化简再代入更简便，但需保证化简正确，且代数式有意义（如分母不为0）。
即时即练1．当
时，求下列代数式的值：
(1)
；
(2)
．
2．【阅读理解】
已知代数式
的值为9，求代数式
的值．
小明采用的方法如下：
解：由题意得，
．
则有，
．
所以
=9．
所以代数式
的值为9．
【方法运用】
（1）若
，则代数式
的值为_____；
（2）若代数式x
2+ x +1的值为12，求代数式
的值；
【拓展应用】
（3）若
，求代数式
的值．
题型1 代数式的概念
【例1】在
，
，
，
，
，
，
中，代数式有（ ）
A．7 个
B．6 个
C．5 个
D．4 个
【例2】下列各式中，代数式的个数是（ ）
①
；②
③
；④
；⑤
；⑥a；⑦
；⑧
．
A．5
B．6
C．7
D．8
【技巧归纳】
代数式由数、字母和运算符号组成，不含等号或不等号。判断时注意：单独一个数或字母也是代数式。含
关系符号（=、<、>）的不是。列代数式时，关键词“和差积商”对应运算顺序，括号表示优先。
【变式1-1】下列式子：①1；②2a；③
；④1
t ；⑤
；⑥
，其中代数式有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【变式1-2】下列式子：①1；②
；③
；④1
t ；⑤
，其中代数式有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
题型2 代数式书写格式
【例3】下列各式中，书写格式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．ab×5
【例4】下列代数式书写正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【技巧归纳】
数字与字母相乘时数字在前（如3a），字母间乘号可省略或记“·”，除号用分数形式。带分数须化为假
分数。相同字母相乘写幂，如a ²。单位括号加在式子后，如(a+b)米。注意运算顺序。
【变式2-1】有下列各式：①
；②
；③
米；④
；⑤
；⑥
．其中，不符合代
数式书写规范要求的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【变式2-2】有下列四个式子：
；其中不符合代数式的书写
格式的为（ ）
A．①③⑤
B．②③④
C．①③④
D．②④⑤
题型3 列代数式
【例5】一种商品的标价为
元，按标价的七折出售，则这件商品的售价是__________元．
【例6】列代数式表示“a 的相反数与b 的平方的差”是______．
【技巧归纳】
先找关键词：和、差、倍、分、倒数、平方等，确定运算顺序。用字母表示未知数，按语言描述的顺序列
式。注意“的”字结构：如“a 与b 的平方和”为a ²+b ²，“a 与b 的和的平方”为(a+b)²。区分。
【变式3-1】呼和浩特市某景点的成人票价是每张
元，儿童票价是每张18元．某旅行团有
名成人和
名儿童，则该旅行团应付门票费用总和为________元．
【变式3-2】填空：
（1）已知操场环形跑道一圈长400 m，甲、乙两人同时同地出发，沿跑道同向跑步，甲的速度为
，
乙的速度为
，甲跑步超过乙一圈需_________s；
（2）巧克力糖的单价为每千克a 元，奶糖的单价为每千克b 元，将
巧克力糖和
奶糖混合，这样得
到的混合糖的平均单价是每千克_________元．
题型4 代数式表示的实际意义
【例7】已知一个足球的价格是a 元，则代数式“3a”表示的实际意义为_________．
【例8】
的意义是
的平方与
的平方的和，那么(x−y)
2的意义是_____．
【技巧归纳】
将代数式中字母替换为实际量，解释运算含义。如5x 表示单价5 元买x 个的总价；2(a+b)表示长方形周
长。注意单位要一致。可从运算关系（加减乘除）入手，赋予现实情境（行程、面积、总价等）。
【变式4-1】李老师买了3 个篮球，每个篮球
元，付给售货员258 元，且付的钱足够，
表示
______．
【变式4-2】某商场开展促销活动，促销方法是将原价为x 元的商品以
元的价格出售，请用恰当
的文字语言表达这次促销方法：_______________________
题型5 已知字母的值，求代数式的值
【例9】当x = 1
2，
时，求多项式
的值．
【例10】当
，
，
时求下列代数式的值：
(1)
；
(2)
．
【技巧归纳】
直接将字母值代入代数式，按运算顺序计算。注意负数代入时加括号，如x=-2 时x ²=(-2)²=4。分数值代入
时先化简。若代数式含多个变量，对应代入。计算结果化为最简形式（分数、小数）。检查单位。
【变式5-1】已知
与
互为相反数，求
的值．
【变式5-2】汪风家里购买了一套商品房，准备将地面铺上相同的瓷砖，地面结构如图，根据图中的数据
（单位：米），解答下列问题：
(1)用x、y 的代数式表示地面总面积；
(2)已知铺1 平方米地砖的平均费用为240 元，当
时，铺这一套商品房所需地砖的总费用为多少
元？
题型6 已知式子的值，求代数式的值
【例11】数学中，运用整体思想在求代数式的值时非常重要．例如：已知
，则代数式
，
．请根据以上思想方法解答以下问题：
(1)若整式
的值是9，求整式
的值；
(2)若
，求
的值；
(3)当
时，多项式
的值是5，求当
时，多项式
的值．
【例12】【阅读理解】“整体思想”是中学数学解题思想中的一种重要思想，在整式的化简与求值中应用
极为广泛．例如：已知代数式x
2+ x +1的值为7，求代数式
的值．
小明采用的方法如下：
解：由题意得
，则有
，
所以
，
所以代数式
的值为9．
【方法运用】
（1）若代数式
的值为5，求代数式
的值．
（2）若代数式
的值为13，求代数式
的值．
【拓展应用】（3）若
，
，求代数式
的值．
【技巧归纳】
利用整体代入法：将已知式子看作整体，变形所求代数式使其出现该整体。如已知a+b=3，求
2a+2b-1=2(a+b)-1=5。注意恒等变形技巧：乘除、提公因式、添项拆项配凑。避免先求单个字母。
【变式6-1】【阅读材料】已知
，求代数式
的值．
小普同学在做作业时采用的方法如下：
由题意
，所以代数式
的值为5．
【学以致用】
(1)当
，求代数式
的值是______；
(2)当
时，求代数式
的值是______；
(3)当
，
时，求代数式
的值．
【变式6-2】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．
如图所示是老师安排的作业题．
代数式
的值为7，求代数式
的值．
【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为
，所以
，所以
，所以代数式
的值为5．
【方法运用】
（1）若代数式
的值为15，求代数式
的值；
（2）当
时，代数式
的值为
，求当x =−8时，代数式
的值；
【拓展应用】
（3）当
时，代数式
的值为
，求当
时，代数式
的值．
题型7 程序流程图与代数式求值
【例13】根据如图所示的程序计算函数
的值，若输入
的值是
，则输出
的值为_____．
【例14】按图所示的程序计算，若开始输入的值为
，则最后输出的结果是_____．
按下面的程序计算：
【技巧归纳】
按流程图顺序代入计算，从输入开始执行每个运算框，遇到分支判断选择路径。注意循环结构需重复计
算，可列表追踪各变量值。最终输出即为所求代数式的值。理解流程中每一步的运算含义。
【变式7-1】如图所示，在这个运算程序中，若开始输入x 的值为2，结果输出的是1，将第1 次输出的结
果1，再次输入运算程序，进行第2 次运算，结果输出的是
，…则第2026 次输出的结果是________．
【变式7-2】按下面的程序计算：
如果输入x 的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的x 的值为 ．
一、单选题
1．代数式
的意义可以是（ ）
A．
与
的和
B．
与
的差
C．
与
的积
D．
与
的商
2．下列各式中：①
；②(a−b)÷ c；③
人；④
；⑤
．其中符合代数式书写要求的个数
有( )
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
3．若
，则
的值是（ ）
A．5
B．1
C．
D．
4．某校开展知识竞赛活动．答对1 题加
分，答错1 题扣1 分．小明答对3 道题，答错2 道题，则小明的
得分可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．数学家欧拉最先把关于x 的多项式用符号
表示，并把当
时的多项式
的值用
表示．
对于多项式
，若
，则
的值等于（ ）
A．6
B．
C．7
D．
二、填空题
6．若
，则
的值是________．
7．某精品手办打八折销售，已知原价为300 元/件，则小明购买
件该商品需要__________元．
8．若a，b 互为相反数，则
______，
_______．
9．如图是一个运算程序，若开始输入x 的值为25，则第2025 次输出的结果为__________．
10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密
还原为明文，已知某种加密规则为明文
，
对应的密文为
，
．例如：明文1，2 对应的密文
是
，4，当明文是2，5 时，密文应是______，______．
三、解答题
11．请用代数式表示：
(1)a 减去b 的差与c 的积．
(2)x，y 两数和的平方减去它们差的平方．
(3)a 的3 倍与b 的和．
12．如图，长方形的长为
，宽为
．现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画
出四分之一圆．
(1)用含
，
的代数式表示图中阴影部分的面积；
(2)当
，
时，求图中阴影部分的面积．（
取）
13．已知若a、b 互为相反数，m 的绝对值为4．
(1)直接写出
，m 的值；
(2)求
的值．
14．如图，整数
，，
在数轴上分别对应点
，
，
，数轴上每个格代表一个单位长度．
(1)若
与
互为相反数，则
_______________；
(2)若
，求
的值；
(3)当原点在点
的左侧时，试说明：整数
，，
的和除以3 所得的余数一定是2．
15．在学习代数式的值时，介绍了计算程序：用“
”表示数据输入、输出框；用“
”表示数
据处理和运算框；用“
”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）．
(1)
如图
，当输入
时，输出
；
如图
，第一个运算框“
”内应填 ；第二个运算
框“
”内应填 ．
(2)
如图
，当输入
时，输出
；
如图
，当输出
时，输入的值
．
(3)为鼓励节约用水，政府决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过
（含
）时，以
元
的
价格收费；当每月用水量超过
时，超过部分以元
的价格收费．请设计出一个“计算程序”，使得输
入数为每月用水量
，输出数为水费
．
16．有这样一道题“如果代数式
的值为
，那么代数式
的值是多少？”爱动脑
筋的小伟的解题过程如下：
原式
小伟把
作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方
法，完成下面问题：
(1)已知
，求代数式
的值；
(2)已知
，求代数式
的值；
(3)已知
，
，求代数式
的值．
