文档文本内容
第13 讲 整式的加法和减法
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 同类项的判断
题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值
题型3 合并同类项
题型4 去括号
题型5 添括号
题型6 整式的加减运算
题型7 整式的加减中化简求值
题型8 整式的加减中的无关型问题
题型9 整式的加减的应用
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
同类项、合并同类
项、去括号、系数相
加、添括号、整式加
减。
1. 理解同类项的概念，能准确判断同类项（所含字母相同，相同字母的指数
也相同）。
2. 掌握合并同类项的法则，能熟练进行合并同类项运算，并体会“系数相
加，字母和指数不变”的算理。
3. 掌握去括号法则，能正确运用去括号法则进行整式的加减运算。
4. 能进行简单的整式加减混合运算（如求几个整式的和或差），并规范书写
计算过程。
学习重点：同类项的判别与合并同类项的法则，去括号法则及其在整式加减中的应用。
学习难点：准确识别同类项（特别是字母顺序不同或系数含负号时），以及去括号时符号变化的处理
（括号前是负号时各项都要变号）。
知｜识｜框｜架
知识点
01
同类项、合并同类
项
1.同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.
2.合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.
【易错提醒】
同类项易错警示：所含字母相同且相同字母指数相同。合并时系数相加，字母及指数不变。注意：常数项
是同类项，合并时要带符号（如-3+5=2）。勿将不是同类项的强行合并（如x2与x 不能合并）。
即时即练1．下列各组代数式中，属于同类项的是（ ）
A．
与2 xy
B．
与−2 xy
C．3 x与
D．
与
【答案】B
【分析】根据同类项的定义逐个判断即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式为同
类项．
【详解】解：A、
与
所含字母相同，但相同字母x 的指数不相等，
∴不是同类项，不符合题意；
B、
与
所含字母都是x , y，且相同字母的指数都相等，符合同类项定义，
∴是同类项，符合题意；
C、3 x只含字母
，
含字母
和
，所含字母不同，
∴不是同类项，不符合题意；
D、
含字母
，
含字母
，所含字母不同，
∴不是同类项，不符合题意．
知｜识｜精｜讲
2．已知
与
是同类项，那么a+b的值是（ ）
A．1
B．3
C．
D．−1
【答案】A
【分析】根据同类项相同字母的指数相等列出等式，即可求出a+b的值．
【详解】解：∵
与
是同类项，
∴
，
对第一个等式移项得
，
故a+b的值为．
知识点
02
去（添）括号法则
1. 若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；
2. 若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.
【注意】：（1）要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据；
（2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉；
（3）括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,
而忘记改变其余的符号；
（4）括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项；
（5）遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号.
【易错提醒】
去括号易错警示：括号前是“+”，各项不变号；括号前是“-”，各项**全变号**。添括号时，括号前是
“-”，括内各项全变号。注意：勿只变第一项，括号内所有项都要处理。且乘以系数时每项都要乘。
即时即练1．下列各式中，去括号正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据去括号规则：括号前是正号，去括号后括号内各项不变号，括号前是负号，去括号后括号内
各项都变号，括号前有系数时，需将系数乘以括号内每一项，据此逐一判断选项即可求解．
【详解】解：∵ 对选项A，
，∴A 错误．
∵ 对选项B，
，∴B 正确．
∵ 对选项C，
，∴C 错误．
∵ 对选项D，
，∴D 错误．
2．下列变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】去括号法则为括号前是负号，去括号后括号内各项都要变号，添括号法则为括号前是负号，添括
号后括号内各项都要变号.
【详解】解：
，故A 变形错误；
，故 B 变形错误；
，故 C 变形错误；
，故D 变形正确.
知识点
03
整式的加法与减法
1.整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算．几个整式相
加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算．
（2）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算．
（3）运算结果，常将多项式的某个字母的降幂（升幂）排列.
2.整式加减的一般步骤
（1）如果有括号，那么先去括号；（2）观察有无同类项；（3）利用加法的交换律和结合律，分组同类
项；
（4）合并同类项.
【易错提醒】
整式加减易错警示：实质是合并同类项。去括号时注意符号（括号前是负号全变号）。先找同类项，系数
相加减，字母及指数不变。结果按某一字母降幂排列，且不含同类项。勿漏项或抄错符号。
即时即练1．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（）先去小括号，然后去中括号，最后进行合并同类项即可；
（
）先去括号，然后合并同类项即可得．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
2．化简求值
(1)
，其中
(2)
，其中
【答案】(1)
，
(2)
，
【分析】（1）先去括号，再合并同类项后，把a 和b 的值代入求值即可；
（2）先去括号，再合并同类项后，把
和
的值代入求值即可．
【详解】（1）解：
，
当
时，
原式
；
（2）解：
，
当
时，
原式
．
3．已知多项式
．
(1)若
，求
的值．
(2)若多项式
的值与字母
的值无关，求
的值，
【答案】(1)−2
(2)
【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的加减，合并同类项，进行化简代数式，即可．
（1）先根据非负性，求出
，
；再将多项式
化简为
，最后把
，
的值代入计算即可；
（2）将多项式
化简为
，再根据多项式
的值与字母
的值无关，即可计算出
的值．
【详解】（1）解：∵
且
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴当
，
时，
；
（2）解：由（1）得：
，
∵
的值与字母
的值无关，
∴2 x +1=0，
∴
．
题型1 同类项的判断
【例1】下列各组代数式中，属于同类项的是（ ）
A．
与
B．
与−2 xy
C．3 x与
D．
与
．
【答案】B
【分析】根据同类项的定义逐个判断即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的两个单项式
为同类项．
【详解】解：A、
与
所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意；
B、
与−2 xy所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同，是同类项，符合题意；
C、3 x与
所含字母不同，不是同类项，不符合题意；
D、
与
所含字母不同，不是同类项，不符合题意．
【例2】下列式子中，与单项式
是同类项的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项定义逐一判断选项即可得到结果，同类项的定义：所含字母
相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．
【详解】∵ 原单项式为
，所含字母为x和y，其中x的次数为2，y的次数为.
对选项逐一判断：
A 选项
所含字母为x、z，与原单项式字母不同，不符合要求；
B 选项
所含字母为x、y，但x次数为，y次数为2，相同字母指数不同，不符合要求；
C 选项
所含字母为
、
，与原单项式字母不同，不符合要求；
D 选项
所含字母为x、y，x次数为2，y次数为，完全符合同类项定义.
故选：D．
【技巧归纳】
同类项：所含字母相同，且相同字母的指数相同。系数可不同。判断时只关注字母和指数，不关注顺序
（如3x ² y 与-yx ²是同类项）。常数项都是同类项。注意先化简再判断，如2xy 与x ² y 不是同类项。
【变式1-1】下列各组单项式中，属于同类项的是（ ）
A．
与
B．
与4 ab
C．
与
D．3 x
2与
【答案】C
【分析】本题考查同类项的定义，根据“所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项”这
一概念，对每个选项逐一判断即可．
【详解】解：A．
与
所含字母相同，但x的指数分别为2 和1，y的指数分别为1 和2，相同字母
指数不同，故不是同类项
B．
与4 ab所含字母不同，前者含字母，后者不含，故不是同类项
C．
与
所含字母都是x、y，且x的指数都是2，y的指数都是1，符合同类项定义，故是同类项
D．3 x
2与
所含字母相同，但x的指数分别为2 和3，指数不同，故不是同类项，
故选：C．
【变式1-2】下列各选项提供的代数式可以互为同类项的情况有（ ）
（1）
和
（2）
和
（3）6 和
（4）
和
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】根据同类项定义逐个判断每组代数式是否为同类项，统计符合要求的数量即可，同类项定义为：
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，所有常数项都是同类项，同类项与系数大小，字母排列
顺序无关.
【详解】解：(1) 对于
和
，
∵所含字母都是
，
的指数都是2，
的指数都是，字母顺序不影响同类项判定，
∴这一组是同类项，符合要求；
(2) 对于
和
∵x的指数分别为2和，y的指数分别为和2，相同字母指数不同，
∴这一组不是同类项，不符合要求；
(3) 对于
和
∵两个都是常数项，所有常数项都是同类项，
∴这一组是同类项，符合要求；
(4) 对于
和
，
∵所含字母都是x，x的指数都是
，符合同类项定义
∴这一组是同类项，符合要求.
综上，符合要求的情况共有3个．
题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值
【例3】若单项式
与
是同类项，则m=________，
________．
【答案】 4
3 /
1
【分析】根据同类项的定义，即所含字母相同，相同字母的指数也相同，列出关于
和
的方程，求解方
程即可得到结果．
【详解】解：
单项式
与
是同类项，
∴
，
，
解得
，
．
【例4】若
与
是同类项，则
______．
【答案】64
【分析】根据同类项的定义，可得相同字母的指数相等，求出
和
的值，再代入计算
即可．
【详解】解：
与
是同类项，根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同．
，m= 4，
将m= 4，n=3代入
得：
．
【技巧归纳】
根据同类项条件：相同字母指数相等，列方程。如3xa+1y 与-2x3yb同类，则a+1=3 得a=2，b=1。若系数含
字母，系数可以不同但字母指数对应相等。解出参数，代入代数式求值即可。注意检验。
【变式2-1】若
与
是同类项，则
___________
【答案】
【分析】根据同类项的定义，可得
，
，代入计算即可．
【详解】解：∵
与
是同类项，
∴
，
解得
，
∴
．
【变式2-2】已知单项式
与单项式
是同类项，则
__________．
【答案】0
【分析】本题考查同类项的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
根据同类项的定义，相同字母的指数相等，由此求出
和
的值，再代入代数式计算即可．
【详解】解：由于单项式
与单项式
是同类项，
则m= 4，
，
因此
，
故答案为：0．
题型3 合并同类项
【例5】下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：选项A 中，
与
相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故A 计算错误，不符
合题意；
选项B 中，3a与
所含字母不同，不是同类项，不能合并，故B 计算错误，不符合题意；
选项C 中，
与
相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故C 计算错误，不符合题意；
选项D 中，
与
是同类项，合并得
，计算正确，D 符合题意．
【例6】下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先判断是否为同类项，再根据合并同类项法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和
字母的指数不变，计算判断即可．
【详解】解：选项A：
，计算正确，符合题意；
选项B：3a与
所含字母不同，不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
选项C：
与
中相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
选项D：
，原计算错误，不符合题意．
【技巧归纳】
合并同类项：系数相加（带符号），字母和指数不变。如3x ²-2x ²=(3-2)x ²=x ²。找同类项时圈出，分别合
并，注意符号。结果中同类项只剩一项。常数项合并为常数。合并后检查是否最简，不再有同类项。
【变式3-1】下面计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：A、∵
与
不是同类项，不能合并，∴A 计算错误；
B、
，∴B 计算错误；
C、
，∴C 计算错误；
D、
，∴D 计算正确．
【变式3-2】下列各式运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：A、3 x与2 不是同类项，不可合并，此项错误；
B、
，此项错误；
C、
，此项错误；
D、
，此项正确．
题型4 去括号
【例7】去括号：
．
【答案】
【知识点】去括号
【分析】本题考查了去括号法则，如果括号前是正号，去掉括号和括号前面的正号，括号里面各项符号不
变；如果括号前是负号，去掉括号和括号前面的负号，括号里面各项符号改变．解决本题的关键是根据去
括号的法则去括号即可．
【详解】解：
．
故答案为：
．
【例8】化简：
．
【答案】
/
【知识点】去括号
【分析】本题考查了整式的加减，掌握去括号法则是解题关键．根据去括号法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：
．
【技巧归纳】
括号前是“+”：去括号后各项不变号；是“-”：去括号后各项变号。多重括号从内到外逐层去。注意分
配律：括号前有系数，先乘系数再去括号，或去括号后再乘。如-2(x-1)=-2x+2。移项时也适用。
【变式4-1】化简：
．
【答案】
【知识点】去括号
【分析】本题考查了整式的加减．去括号，即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：
．
【变式4-2】化简
的结果是 ．
【答案】
【知识点】合并同类项、去括号
【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．
根据去括号法则和合并同类项法则逐步化简即可．
【详解】解：
，
故答案为：
．
题型5 添括号
【例9】下列各式左右两边相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】去括号、添括号
【分析】本题考查去括号，添括号，根据去括号和添括号法则，逐一进行判断即可，注意括号外面是负号，
括号内的每一项都要变号，括号外面有系数，括号内的每一项都要乘这个系数．
【详解】解：A、
，该选项错误，不符合题意；
B、
，该选项正确，符合题意；
C、
，该选项错误，不符合题意；
D、
，该选项错误，不符合题意；
故选B．
【例10】下列式子变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】去括号、添括号
【分析】本题主要考查了去括号和添括号，根据去括号法则和添括号法则进行分析即可．
【详解】解：
，故A 选项变形错误；
，故B 选项变形错误；
，故C 选项变形错误；
，故D 选项变形正确；
故选D．
【技巧归纳】
添括号法则：括号前添“+”，各项不变；添“-”，各项变号。常用技巧：为凑平方、提公因式或降次。
如a-b+c = a-(b-c)。添加时注意检验去掉括号后能否还原。与去括号互为逆运算，可互验。
【变式5-1】下列去括号或添括号的变形中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】去括号、添括号
【分析】本题考查整式加减中的去括号与添括号，去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括
号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符
号相反．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负
号，括到括号里的各项都改变符号．根据去括号和添括号法则求解判断即可．
【详解】解∶
．
，原添括号错误，故该选项不符合题意；
．
，原去括号正确，故该选项符合题意；
．
，原添括号错误，故该选项不符合题意；
．
，原去括号错误，故该选项不符合题意；
故选：B．
【变式5-2】下列式子变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】去括号、添括号
【分析】本题主要考查去括号法则，直接利用去括号法则判断得出即可．
【详解】解：A.
，原变形错误，故此选项不符合题意；
B.
，原变形正确，故此选项符合题意；
C.
，原变形错误，故此选项不符合题意；
D.
，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
题型6 整式的加减运算
【例11】计算：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】先去括号，然后合并同类项，即可求解；
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
．
【例12】化简：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
；
(2)
．
【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【技巧归纳】
先去括号，再合并同类项。去括号时注意符号变化。合并后检查是否最简。若含多个字母，按某字母降幂
排列书写。运算结果不含同类项，分母无字母。计算时步骤清晰，避免跳步造成符号错误。
【变式6-1】化简
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去括号，再合并同类项，得到最简整式；
（2）先利用乘法分配律去中括号，再去小括号，最后合并同类项．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【变式6-2】化简：
(1)
．
(2)
．
(3)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接进行合并同类项，即可得到答案；
（2）先去括号，然后进行合并同类项，即可得到答案；
（3）先去括号，然后进行合并同类项，即可得到答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
题型7 整式的加减中化简求值
【例13】先化简，再求值：
，其中
，b= 1
5．
【答案】
，
【分析】先去括号，再合并同类项，然后再代值求解即可．
【详解】解：原式
，
将
，b= 1
5代入，得：
原式
．
【例14】先化简，再求值：
，其中
，b=1．
【答案】
，
【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则即可求解，先对原式去括号，
合并同类项得到最简结果，再代入
、
的值计算即可求解．
【详解】解：
．
当
，b=1时 原式
．
【技巧归纳】
先化简（去括号、合并同类项），再将字母值代入化简后的式子。注意负数代入加括号，分数代入可先化
简。如果已知整体值，用整体代入法。化简后计算更简便，减少错误。结果化为最简形式。
【变式7-1】先化简再求值：
，其中
，
．
【答案】
；16．
【分析】先去括号，再合并同类项即可化简，再将
，
代入求值即可．
【详解】解：
，
当
，
时，原式
．
【变式7-2】先化简，再求值：
，其中x，y 满足
．
【答案】
，−7
【详解】解：
∵
∴
∴
∴原式
．
题型8 整式的加减中的无关型问题
【例15】已知
的值与x 的取值无关，求k 的值．
解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到
，因为代数式的值与x 的取值无关，
所以
，得到k =3．
根据上述方法，求解：
(1)若代数式
的值与x 的取值无关，求m 的值；
(2)已知
，
，且
的值与x 无关，求m，n 的值
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）把原多项式去括号后合并同类项，再仿照题意求解即可；
（2）根据整式的加减运算法则求出
的结果，再根据
的值与x 无关得到
的结果中含x 的项
的系数为0，据此列式求解即可．
【详解】（1）解：
，
∵代数式
的值与x 的取值无关，
∴
，
∴
；
（2）解：∵
，
∴
，
∵
的值与x 无关，
∴
，
∴
．
【例16】已知代数式：
．
(1)若
，求代数式C；
(2)在（1）的条件下，若
，求代数式C的值；
(3)若
的值与x的取值无关，求y的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了整式的加减
化简求值，整式的加减无关型问题，掌握整式的加减运算法则是解题的
关键．
（）由已知得
，再把A 、B代入计算即可求解；
（2）把x = 1
2，
代入（）中的结果计算即可；
（3）求出
的值，再根据
的值与x的取值无关得到关于x项的系数为
，列出关于y的方程解
答即可求解．
【详解】（1）解：∵
，
∴
．
（2）解：当x = 1
2，
时，
原式
．
（3）解：
，
∵
的值与x的取值无关，
∴
，
∴
．
【技巧归纳】
若结果与某字母无关，则合并后该字母的系数为0。先化简整式，合并含该字母的项，令其系数和为0，
解参数。如结果与x 无关，则所有含x 项的系数之和为0。注意常数项不影响无关性。代入验证。
【变式8-1】【知识再现】
在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式
的值与x的取值无关，求a 的值”．
通常的解题方法是把x，y看作字母，把a 看作系数合并同类项．因为代数式的值与x 的取值无关，所以含
x 项的系数为0，
即原式
，其中
，则
．
【方法应用】
(1)当
______，
______时，关于x的多项式
不含x
3项和
项．
(2)已知
，
，且
的值与y的取值无关，求x的值．
【答案】(1)
，1
(2)
【分析】此题考查了整式的加减无关型问题，解题的关键是正确化简．
（1）根据题意得到
，
，然后求解即可；
（2）首先将A 和B 代入
，然后去括号，合并同类项，然后根据题意得到
，然后求解即可．
【详解】（1）解：∵关于x的多项式
不含x
3项和
项
∴
，
，
∴b=−5，
；
（2）解：
∵
的值与y的取值无关，
∴
∴
．
【变式8-2】我们在分析解决某些数学问题时经常用“作差法”来比较两个代数式的大小．所谓“作差
法”就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式
的大小，只要求出它
们的差
，若
，则A >B：若A −B =0，则
：若
，则
．
例如：比较
和7
11的大小，我们可以用
，即
．
依据上面的方法，完成下列问题：
(1)比较：
______
；
(2)已知有理数
在数轴上的位置如图所示：
①比较：
______
；（填“
”，“
”或“=”）
②若
，
，比较代数式
与N的大小；
(3)已知
，
，若
的值与x无关，比较代数式
与
的大小．
【答案】(1)
(2)①
；②
(3)
【分析】本题主要考查了整式的加减计算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
（1）利用作差法得到
，计算出结果即可得出答案；
（2）①利用作差法得到
，再根据
即可得到答案；
②
，再根据
，
，即可得出
；
（3）代入计算
得到
，根据无关型求得
，得到
，
，再利用作差
法，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵
，
∴
；
故答案为：
；
（2）解：①
，
根据数轴可知：
，
∴
，
∴
；
故答案为：
；
②∵
，
，
∴
，
根据数轴可知：
，
，
∴
，
∴
；
∴
；
（3）解：∵
，
，
∴
，
∵
的值与x无关，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
题型9 整式的加减的应用
【例17】“囧”像一个人脸郁闷的神情．如图，边长为a 的正方形纸片，剪去两个一样的小直角三角形
（阴影部分）和一个长方形（阴影部分）得到一个“囧”字图案．设剪去的两个小直角三角形的两直角边
长分别为x、y，剪去的小长方形长和宽也分别为x，y．
(1)用含a、x、y 的式子表示“囧”的面积；
(2)当
，x =5，
时，求该图形面积的值．
【答案】(1)
(2)114
【分析】（1）根据图形，用正方形的面积减去两个直角三角形的面积和长方形的面积，列式整理即可；
（2）把a、x、y 的值代入代数式进行计算即可得解．
【详解】（1）解：“囧”的面积为：
；
（2）解：当
，x =5，
时，
“囧”的面积为：
．
【例18】为庆祝温州市第十四届人民代表大会的召开，某区计划在文化广场的一块空地上，用花卉摆放
2022 字样的图案，其中数字的宽度均为x 米，其余尺寸如图所示．
(1)试用含x 的代数式表示花卉（阴影部分）的面积（结果需化简）．
(2)当
，求出花卉的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据阴影部分的面积等于3 个“2”中的阴影部分的面积
“0” 中的阴影部分的面积，列出
代数式，再化简即可；
（2）把
代入（1）中化简的结果即可．
【详解】（1）解：
即花卉（阴影部分）的面积为
；
（2）解：当
时，
，
即花卉的面积为
．
【技巧归纳】
应用如求周长、面积、利润等。先设未知数，列代数式（整式），再加减化简。注意单位统一。实际问题
中化简后可能还需代入具体值。利用整式表示数量关系，通过运算简化表达式，便于进一步求解。
【变式9-1】如图，公园有一块长为
米，宽为a 米的长方形土地（一边靠着墙），余下部分设计成
花圃ABCD，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来．
(1)花圃的宽
为 米，花圃的长
为 米；（用含a，b 的代数式表示）
(2)求篱笆的总长度；（用含a、b 的代数式表示）
(3)若
，b=1，篱笆的单价为50 元/米，则总费用为多少？
【答案】(1)
，
(2)总长度
米
(3)总价为950 元
【分析】（1）利用图中尺寸计算即可；
（2）先根据所给的图形，得出花圃的长和宽，然后根据长方形周长公式求出篱笆总长度；
（3）直接将
和
代入第（2）问所得的式子中，将所得结果乘以篱笆的单价，得出篱笆的总价．
【详解】（1）解：
米，
米，
（2）解：由图可得：花圃的长为
米，宽为
米；
∴篱笆的总长度为：
米，
答：篱笆的总长度
米；
（3）解：当
，b=1时，篱笆的总长度为
（米），
篱笆的总价为
（元），
答：篱笆的总价为950 元．
【变式9-2】小亮房间窗户的窗帘如图1 所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）．
(1)用代数式表示图1 窗户能射进阳光的面积．（结果保留π）
(2)当
，
米时，求图1 窗户能射进阳光的面积是多少?（取π≈3）
(3)小亮又设计了如图2 的窗帘（由一个半圆和两个等腰直角三角形组成，直角边与半径相同），请你帮他
算一算此时窗户能射进阳光的面积是否更大?如果更大，那么大多少?（结果保留π）
【答案】(1)
（平方米）
(2)
（平方米）
(3)此时窗户能射进阳光的面积更大，大
平方米
【分析】（1）用长方形的面积减去两个四分之一圆的面积即可得窗户能射进阳光的面积；
（2）把
、
的值代入（1）得出的式子即可求出；
（3）用长方形的面积减去一个半圆和两个等腰直角三角形面积列代数式表示此时窗户能射进阳光的面积，
再用作差法和（1）比较大小即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：当
，
米时，
（平方米）；
（3）解：如图②，窗户能射进阳光的面积
（平方米），
∵
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴此时窗户能射进阳光的面积更大，大
平方米．
一、单选题
1．下面不是同类项的是（ ）
A．
与4
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】D
【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类
项，所有常数项都是同类项，逐一判断选项即可得到结果．
【详解】解：∵ 选项A 中，
和4 都是常数项，所有常数项都是同类项，因此A 是同类项；
∵ 选项B 中，
与
所含字母都是a、b，a 的指数都是2，b 的指数都是1，符合同类项定义，因此
B 是同类项；
∵ 选项C 中，
与
所含字母都是x、y，x 的指数都是2，y 的指数都是2，符合同类项定义，因
此C 是同类项；
∵ 选项D 中，
所含字母为m，
所含字母为n，所含字母不同，不符合同类项定义，因此D 不是同类
项．
2．下面的计算正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：选项A，根据去括号法则，
，A 错误；
选项B，
与
不是同类项，不能合并，B 错误；
选项C，根据去括号法则，
， C 错误；
选项D，根据合并同类项法则，
，计算正确，D 正确．
3．若
与
为同类项，则
的值为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．14
【答案】B
【分析】利用同类项的定义得到
的值，再通过变形所求代数式，整体代入计算结果．
【详解】解：
与
是同类项，
∴
，
．
4．已知
，则代数式
的值是（ ）
A．19
B．20
C．21
D．22
【答案】A
【分析】本题考查代数式化简求值，利用整体代入法求解，先将原式整理为含
的形式，再代入已知
条件计算即可.
【详解】解：
∴
5．如图，长为
，宽为
的大长方形被分割为
小块，除阴影
，
外，其余块是形状、大
小完全相同的小长方形，其较短的边长为
，下列说法中正确的是（ ）
①小长方形的较长边为
；②阴影
的较短边和阴影
的较短边之和为
；③阴影
和阴影
的周长之和与
值无关．
A．①③
B．①②③
C．①②
D．②③
【答案】A
【分析】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长，即可判断①；
②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影
的较短边长，将其相加可得出阴影
的较短边和
阴影
的较短边之和，即可判断②；
③利用长方形的周长计算公式可得出阴影
和阴影
的周长之和，即可判断③；
结合图形逐一分析说法的正误是解题的关键．
【详解】解：
其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为
，
①小长方形的较长边为
，说法正确；
②阴影
的较短边为：
，
阴影
的较短边为：
，
阴影
的较短边和阴影
的较短边之和为：
，
故②说法错误；
③阴影
的周长为：
，
阴影
的周长为：
，
阴影
和阴影
的周长之和为：
，
阴影
和阴影
的周长之和与
值无关，说法正确；
综上所述，说法中正确的是①③．
二、填空题
6．化简：
______．
【答案】
【详解】解：原式
，
，
．
7．若
与
是同类项，则
的值为______．
【答案】
【分析】同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，根据同类项的定义求出
和
的值，再代入计算即可．
【详解】解：
与
是同类项，
，
，
．
8．已知
，则
_____．
【答案】16
【分析】先去括号，再合并同类项化简，然后将
整体代入计算即可．
【详解】解：∵
，
∴
．
9．已知
，
．若
的值与x 的取值无关，则
___．
【答案】1
【分析】本题考查整式的加减运算，理解代数式的值与某个字母取值无关的含义，即该字母各项的系数均
为
，掌握合并同类项法则即可求解．
【详解】解：
，
因为
的值与
的取值无关，所以
的各项系数为
，可得
，
，
解得
，
，
则
．
10．如图所示，圆圈中分别填入0 到9 这10 个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间两
个数
与
的和是________．
【答案】9
【详解】解：首先，0 到9 这10 个数的总和是：
，
图中有3 个正方形，每个正方形顶点上的四个数之和都是18，所以三个正方形的总和是：
，
注意到中间的A 和B 被重复计算了一次，其余的数都只计算了一次，
∴
，
解得：
．
三、解答题
11．化简：
(1)
．
(2)
．
(3)
．
(4)
．
(5)
．
(6)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【详解】（1）解：
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
12．先化简，再求值：
，其中
，
．
【答案】
，
【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入计算即可．
【详解】解：
，
当
，
时，原式
．
13．以下是一道习题及嘉嘉的解答过程：
计算：
．
解：原式
……第一步
……第二步
．……第三步
(1)上述解答过程，嘉嘉是从第______步开始出错的，请你给出正确的解答过程；
(2)当
时，求此代数式的值．
【答案】(1)一；过程见解析
(2)
【分析】（1）观察嘉嘉的解答过程，可知第一步去括号错误，根据去括号合并同类项的步骤写出正确的
步骤；
（2）把
代入（1）中化简的结果计算即可．
【详解】（1）解：嘉嘉是从第一步开始出错的，
正确解答过程如下：
原式
．
（2）解：当
时，原式
．
14．如图，某小区有一块长为
米、宽为
米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一
个长为
米、宽为b 米的小长方形花园．
(1)请用含a，b 的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简）
(2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若
，
，预计每平方米地砖的价格
是50 元，求购买所需地砖的费用．
【答案】(1)
(2)9400 元
【分析】（1）计算
解答即可；
（2）求代数式的值，再计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，得
；
（2）解：当
，
时，
（平方米），
故购买所需地砖的费用为：
（元）；
15．已知代数式
．
(1)化简：
；
(2)若
，求
的值；
(3)若
的值与y 的取值无关，求x 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用整式的加减即可解答；
（2）根据绝对值和偶次方的非负性，可得
，代入（1）中化简的结果即可；
（3）根据题意可得含有
的项相加得零，即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
解得
，
，
把
，
代入，
；
（3）解：∵
，
且
的值与y 的取值无关，
，
解得
．
16．已知有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示．
(1)填空：A 和B 之间的距离为______（用含a，b 的式子表示），若点C 表示
，则点C 和1 之间的距
离为______；将A 移动5 个单位长度所得点为______．
(2)化简：
．
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）根据两点之间的距离得出答案；
（2）先根据数轴可得
，再去掉绝对值即可．
【详解】（1）解：A 和B 之间的距离是
，点C 和1 之间的距离是
，将点A 向右
移动5 个单位长度为
，或向左移动5 个单位长度为
；
（2）解：∵
，
∴
，
∴
．
17．为了加强体育运动，提高学生身体素质，学校准备购买40 个足球和一些毽球．甲、乙两个商店每个
足球的定价都为70 元，每个毽球的定价都为10 元．
甲商店优惠方案：买一个足球送一个毽球．
乙商店优惠方案：足球和毽球都按定价九折出售．
设学校准备购买毽球x 个
．
(1)①若在甲商店购买，所需总费用为______________元（用含x 的式子表示）．
②若在乙商店购买，所需总费用为______________元（用含x 的式子表示）．
(2)当
时，解答下列问题．
①若只能在甲、乙两个商店中选择一家购买，通过计算说明在哪家商店购买更优惠
②若可以在甲、乙两个商店中选择一家购买，也可以在甲、乙两个商店中分别购买，请写出最优惠的购买
方案及其所需总费用．
【答案】(1)①
；②
；
(2)①在甲商店购买更优惠；②最优惠的购买方案为：在甲商店购买40 个足球（获赠40 个毽球），在乙商
店购买剩余的40 个毽球，所需总费用为3160 元．
【分析】（1）根据两种优惠方案列式即可；
（2）①将
代入（1）所得式子分别计算比较即可；②先在甲商店购买40 个足球，同时获赠40 个毽
球，然后再在乙商店购买剩余的40 个毽球，即可求出最优惠的购买方案及其所需总费用．
【详解】（1）解：①若在甲商店购买，所需总费用为
元；
②若在乙商店购买，所需总费用为
元；
（2）（2）①当
时，
（元），
（元），
∵
，
∴在甲商店购买更优惠；
②∵可以在甲、乙两个商店中分别购买，
∴先在甲商店购买40 个足球，同时获赠40 个毽球，然后再在乙商店购买剩余的40 个毽球，
∵在甲商店购买40 个足球的费用为
（元），再在乙商店购买剩余的40 个毽球的费用为
（元），
∴总花费为
（元），
∵
，
∴最优惠的购买方案为：在甲商店购买40 个足球，在乙商店购买剩余的40 个毽球，所需总费用为3160 元．
18．数学活动-探究日历中的数字规律：如图1 是2025 年1 月份的日历，小乐在其中画出一个
的方框
（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2 所示的四个数“
”的值．探索其运算结果
的规律．
(1)初步分析：计算图1 中
的结果为 ；将
的方框移动到图1 中的其他位置，通过计算
可以发现
的值均为 ；
(2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整．
解：设
，则
，
，
，
可得
，
，
则
；
(3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1 中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B 两题中任
选一题作答．
A．在日历中用“Z 型框”框住位置如图3 所示的四个数，探究“
”的值的规律，写出你的
结论，并说明理由；
B．在日历中用“Y 型框”框住位置如图4 所示的四个数，探究“
”的值的规律，写出你的
结论，并说明理由．
【答案】(1)0；0
(2)
，
，
，0
(3)选择A，
的值均为0，理由见解析（选择B，
的值均为
）
【分析】（1）根据对应的数字，计算即可；
（2）根据日历中的数字规律，分别用含x 的式子表示出b，c，d，根据整式加减的计算法则，计算即可；
（3）选择A，设
，则
，
，
，代入计算即可；选择B，设
，则
，
，
，代入计算即可．
【详解】（1）解：
；
将
的方框移动到图1 中的其他位置，如
，则
；无论移动到哪，
总有
，
，
，则
；
（2）解：设
，则
，
，
，
可得
，
，
则
；
（3）解：选择A，
的值均为0，理由如下：
设
，则
，
，
，
，
则
的值均为0；
选择B，
的值均为
，理由如下：
设
，则
，
，
，
，
则
的值均为
．
