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第04 讲认识有理数
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 正数的识别
题型2 负数的识别
题型3 相反意义的量
题型4 正负数的实际应用
题型5 有理数概念的理解
题型6 对0 的理解
题型7 有理数的分类
题型8 带“非”字的有理数
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
正数、负数、相反意义
的量、有理数、分类、
整数、分数。
1. 理解正数与负数的概念，能准确识别并举例说明，知道0 既不是正数也不
是负数。
2. 会用正、负数表示生活中具有相反意义的量（如温度、海拔、收支等），
体会引入负数的必要性。
3. 理解有理数的意义，掌握有理数的两种分类方法：按定义（整数和分数）
和按性质符号（正有理数、0、负有理数）。
4. 经历从实际情境抽象出有理数概念的过程，培养观察归纳能力和数感。
学习重点：理解正、负数的概念，会用正、负数表示相反意义的量；掌握有理数的概念及两种分类标
准。
学习难点：理解负数的抽象意义（特别是引入负数后数的范围扩充），以及能按不同标准对有理数进
行准确分类且做到不重不漏。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 正数和负数
正数的概念：大于0 的数叫做正数.
负数的概念：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数.
注：0 既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数.
（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.）
【易错提醒】
0 既不是正数也不是负数。带“+”号不一定是正数（如+(-3)），带“-”号不一定是负数（如-(-3)）。
即时即练1．有五个数：2 ，0 ，5
，1
3 ，
1
4
，其中正数有（
）
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【知识点】正负数的定义
【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0 既不是正数也不是负数．
根据正数和负数的定义判断即可，注意：0 既不是负数也不是正数．
【详解】解：2 是正数，0 既不是负数也不是正数，5
是负数，1
3 是正数，
1
4
是负数，
正数有2 个，
故选B．
2．在9
，0，2
，1
3 ，100
，0.5
中，负数的个数有几个（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【知识点】正负数的定义
【分析】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中实际含义．根据题目中的数据可以
判断哪些数是负数，从而可以解答本题．
【详解】解：在9
，0，2
，1
3 ，100
，0.5
中，负数有：9
，2
，0.5
，共3 个，
故选：B．
知识点02
相反意义的量
意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量.
【易错提醒】
必须同时具备：两个量、意义相反、属于同一属性（如温度增减），且可带不同单位。无相反意义（如“向
南”与“向上”）不算。
即时即练1．我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数，负数的概念．若水库的水位升高2 m 时，水位
变化记作2 m
，则水库的水位下降1m 时，水位变化记作
m ．
【答案】1
【知识点】相反意义的量
【分析】本题考查了正负数表示相反意义的量的运用，理解题意，掌握相反意义的量的运用是关键．
根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答．
【详解】解：∵水库的水位升高2 m 时，水位变化记作2 m
，
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∴水库的水位下降1m 时，水位变化记作1m
，
故答案为：1
．
2．一种袋装食品的标准净重为200g ，质监部门工作人员为了了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把
食品净重203g 记为3g
，那么食品净重198g 就记为
g ．
【答案】2
【知识点】相反意义的量
【分析】本题考查了正数和负数，根据正数和负数是一组相反意义的量即可求得答案，理解正数和负数是
一组相反意义的量是解题的关键．
【详解】解：∵食品净重203g 记为3g
，
∴食品净重198g 就记为2g
，
故答案为：2
．
知识点03 有理数的概念
概
念：整数和分数统称有理数.
整
数：正整数、0、负整数统称为整数.
分
数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数.）
注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非
正整数.
【易错提醒】
有理数是整数和分数（有限小数或无限循环小数）的总称。注意：π不是有理数；分数形式
ݍ须约分为最简
整数比，且q≠0 。
即时即练1.下列说法中，错误的有（
）
①
4
2 7
是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0 ；④3.14不是有理数；⑤0 是最小的有
理数；⑥正整数、负整数统称为有理数．
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
【答案】D
【知识点】有理数的定义、有理数的分类、带“非”字的有理数
【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的两种分类方法判断即可．
【详解】解：①
4
2 7
是负分数，故①正确；
②1.5是分数，不是整数，故②正确；
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③非负有理数是大于或等于零的有理数，故③错误；
④3.14是有理数，故④错误；
⑤没有最小的有理数，故⑤错误；
⑥有理数包括整数和分数，故⑥错误；
故选：D．
2.下列说法正确的有（
）
①正有理数是正整数和正分数的统称；
②整数是正整数和负整数的统称；
③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；
④0 是偶数，但不是自然数；
⑤偶数包括正偶数、负偶数和零．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】A
【知识点】有理数的分类
【分析】本题考查有理数的概念及分类，运用时注意分类的依据，还要做到不重不漏．
此题运用有理数的概念及分类（按正负分：正有理数，0 和负有理数或正数、负数、0；按数的性质分：整
数、分数）即可解答．
【详解】①正有理数是正整数和正分数的统称，正确；
②整数是正整数，零和负整数的统称，故不正确；
③有理数是正整数、负整数、零、正分数、负分数的统称，故不正确；
④0 是偶数，也是自然数，故不正确；
⑤偶数包括正偶数、负偶数和零，正确．
综上所述，说法正确的有2 个．
故选A．
知识点04 有理数的分类
两种分类：
⑴按正、负性质分类：
⑵按整数、分数分类：
正有理数
正整数
正整数
有理数
正分数
整数
0
零
有理数
负整数
负有理数
负整数
分数
正分数
负分数
负分数
【易错提醒】
按定义分整数（含0）和分数；按性质分正有理数、0、负有理数。注意：小数（如0.5）需先判断是否可化
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分数，循环小数是有理数，π等不是。
即时即练1.把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称．
16
，0，
2
3
，4
，3.6
，32
【答案】见解析
【知识点】有理数的分类
【分析】本题主要查了有理数的分类．根据有理数的分类解答即可．
【详解】解：如图：
2.将下列各数填入相应的集合内：
13.2，
3
8
，12，0，6.8
，8%
，1
3 ，2
整数集合：{
……}
正有理数集合：{
…… }
负有理数集合：{
……}
【答案】见解析
【知识点】有理数的分类
【分析】本题考查有理数的分类，根据整数包括正整数，负整数和零，正有理数包括正整数和正分数，负
有理数包括负整数和负分数，进行作答即可．
【详解】解：整数集合：{12，0，2
……}
正有理数集合：{13.2，12，1
3 ……}
负有理数集合：{
3
8
，
6.8
，8%
，2
……}．
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题型1 正数的识别
【例1】下列各数中，是正数的是（
）
A．1
3
B．2
C．
1
2
D．0
【答案】A
【详解】解：1
3 是正数，
1
2,
2
是负数，0 既不是正数，也不是负数.
【例2】5
，32
，0，6
，3 这几个数中，正数有（
）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题根据正数的定义进行判断，大于0 的数是正数，0 既不是正数也不是负数，逐个判断给定的数，
统计正数的个数即可得到结果．
【详解】解：∵正数的定义为大于0 的数，0 既不是正数也不是负数
给定的数分别为5
，32
，0，6
，3，
其中大于0 的数为32
，6
，3，共3 个
∴正数有3 个．
【技巧归纳】
1. 大于0：正数即大于0 的数，含正整数、正分数、正无理数。
2. 判符号：看“+”（可省略）或直接比较与0 的大小。
【变式1-1】在2
，6
，0，
4
5
，3
14 中，正数有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题考查了正数的定义，解题的关键是明确正数是大于0 的数，0 既不是正数也不是负数；逐一判
断所给数是否大于0，统计正数的个数．
【详解】解：逐一判断：2
0
（非正数），6
0
（正数），0 既不是正数也不是负数，
4
0
5
（非正数），
3
0
14
（正数），故正数有2 个．
故选：B．
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【变式1-2】在9
、2.7
、10、0 、35
、200
中，一共有( ) 个正数．
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查的是正负数的定义，根据大于0 的数叫做正数，依据正数的定义解答即可．
【详解】解：在9
、2.7
、10、0 、35
、200
中，
2.7
、10、200
是正数，一共有3 个正数
故选：B．
题型2 负数的识别
【例3】在2 ，3
，3.14，8.5
，0 ，
2
7
，
7
3
中，负数有（
）
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查了负数，根据负数的定义即可求解，理解负数的定义是解题的关键．
【详解】解：在2 ，3
，3.14，8.5
，0 ，
2
7
，
7
3
中，负数有3
，8.5
，
7
3
，共3个，
故选：C ．
【例4】下列六个数2
、1.010010001、4
3 、0、
、0.1
，其中负数有（
）个
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】本题考查了负数：小于0 的数是负数，根据负数的意义求解即可．
【详解】解：在2
、1.010010001、4
3 、0、
、0.1
中，属于负数的是：2
、
、0.1
共3 个，
故选：A．
【技巧归纳】
1. 小于0：负数即小于0 的数，如带“−”号（负号）。
2. 看符号：负号不可省略，0 既非正也非负。注意“−a” 不一定是负数（当a 为负时为正）。
【变式2-1】在3
、0、5、
1
5 2
、+4.9、15% 、+2019 中，是负数的有（
）个．
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】本题考查负数的概念，熟练掌握负数的概念是解题的关键；
比0 大的数叫正数，比0 小的数叫负数，负数前边要写负号“﹣”，正数前边可以写正号“﹢”，也可以将正号
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省略，0 既不是负数，也不是正数，据此数出有几个负数．
【详解】解：根据分析可得：
3
、
1
5 2
，是负数，共2 个；
故选：A．
【变式2-2】在3
，2
，0 ，1
，4 ，5这6 个数中，负数有几个（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了负数的定义，熟练掌握负数的定义是解题关键．根据负数的定义即可解答，即小
于0 的数叫做负数．
【详解】解：根据负数的定义可得：
负数有3
、2
、1
共三个数．
故选：C．
题型3 相反意义的量
【例5】在零件尺寸检测中，如果一个零件的尺寸超出标准尺寸0.08 mm 记作0.08 mm
，那么低于标准尺
寸0.22 mm 记作__________ mm ．
【答案】0.22
【详解】解：由题意可知，低于标准尺寸0.22 mm 记作0.22mm
．
【例6】某市元旦的最高气温为零上6 C
，记为6 C
；最低气温为零下3 C
，则最低气温记为__________ C
．
【答案】3
【详解】解：依题意，最低气温为零下3 C
，
则最低气温记为3 C
．
【技巧归纳】
1. 定基准：明确“正方向”意义（如上升、收入）。
2. 成对出现：意义相反（如上升5 米与下降3 米），数值可不同。
3. 辨无关：不是所有正负数都是相反意义，需描述方向或属性对立。
【变式3-1】中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入了负数．若收入
200 元记作200
元，则支出100 元记作______元．
【答案】100
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【详解】解：收入200 元记作200
元，则支出100 元记作100
元．
【变式3-2】2025 年9 月3 日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80 周年大会在北京天安门
广场隆重举行，其中无人机智能作战群的精准飞行成为亮点之一．若无人机在飞行过程中，上升8 米记作8
米，那么下降10 米记作______米．
【答案】10
【分析】根据题意，上升记为正数，下降与上升是相反意义的量，因此下降记为负数，即可得到结果．
【详解】解：
上升8米记作8
米，
下降10米记作10
米．
题型4 正负数的实际应用
【例7】一位足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正，返回记作负，他的记录（单位：米）如
下：5
，3
，8
，13
，9
，12
，10
．
(1)守门员最后是否回到了球门线的位置？
(2)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？
【答案】(1)是
(2)60 米
【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）把所有数据相加即可解答；
（2）把跑过的路程相加即可．
【详解】（1）解：由题意可得：5
3 8 13 9 12 10
0
，
答：守门员最后回到了球门线的位置．
（2）解：由题意可得：5
3 8 13
9 12 10
60
，
答：守门员全部练习结束后，他共跑了60 米．
【例8】某电商在网上销售一种水果，其每箱的标准质量为10kg ．现抽取6 箱样品进行检测，结果如下表：
每箱样品
的质量
/ kg
10.2
9.9
10.3
9.8
9.7
10.4
如果规定高于标准质量的部分记作正，请分别用带“ ”或“ - ”的数表示样品质量与标准质量的差．
【答案】0.2kg
，0.1kg
，
0.3kg
+
，
0.2kg
，
0.3kg
，
0.4kg
【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是掌握正数和负数的意义，利用正数和负数的意义解答即可．
【详解】解：样品质量与标准质量的差分别为0.2kg
，0.1kg
，
0.3kg
+
，
0.2kg
，
0.3kg
，
0.4kg
．
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【技巧归纳】
1. 定基准：规定正方向（如收入为正，支出为负）。
2. 算差值：用“末－初”或“正数和－负数和”求变化量。
3. 判盈亏：总和>0 盈利，<0 亏损，=0 持平。
【变式4-1】如图，一只甲虫在5 5
的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A 处出发去看望B ，
C ，D 处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从A 到B 记为：
1, 4
A
B
，从D
到C 记为：
1, 2
D
C
，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
(1)图中
(
A
C
，) ，D
4, 2
；
(2)若这只甲虫从A 处去P 处的行走路线依次为
2, 2
，
2, 1
，
2, 3
，
1, 2
，请在图中标出P 的
位置．
【答案】(1) 3
， 4
，A
(2)见解析
【分析】本题考查了正数、负数的意义，掌握“正负数可以用来表示相反意义的量”是解题的关键．
（1）从A
C
，先向右走3格，对应3
，再向上走4 格，对应4
；从D 开始先向左走4 格，再向下走2 格，
到达A 处；
（2）从A 开始先向右走2 格，向上走2 格，接着向右走2 格，向下走1格，之后向左走2 格，向上走3格，
最后向左走1格，向下走2 格，即可明确P 的位置．
【详解】（1）解：因为向上、向右走为正，向下、向左走为负，
所以A 到C 记为
3, 4
A
C
，D 到A 记为
4, 2
D
A
；
（2）解：点P 位置如图所示：
【变式4-2】出租车司机小凯一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为
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负，按照接送乘客的先后顺序记录如下（单位：千米）：1
，9
，5
，4
，8
，6
，2
，6
，4
，10
．
(1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？
(2)若出租车每千米耗油0.1升，油价为每升6 元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？
(3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过3千米收费8元，超过3千米
的部分每千米加收2 元，如果不计其它成本且不考虑其它因素，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利
或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费- 油费）
【答案】(1)出租车在公司的东方，距离公司3千米
(2)共需要33元油费
(3)司机这天下午运营是盈利，盈利了103元
【分析】本题考查了正负数的实际应用，分析题意从中获取相关信息是解题的关键．
（1）把所给的行程数据相加分析即可；
（2）运算出总路程，再运算油费即可；
（3）求出出租车的总收入，再减去油费即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得：1
9
5
4
8
6
2
6
4
10
3
（千米），
答：出租车在公司的东方，距离公司3 千米．
（2）解：总路程
1 9
5
4
8
6
2
6
4 10
55
（千米），
油费
55 0.1 6
33
（元），
答：共需要33 元油费．
（3）解：超过3千米的行程有9，5，4 ，8，6 ，6 ，4 ，10，共8次行程，
超过部分
9
5
4
8
6
6
4 10
3 8
28
（千米），
不超3千米的行程有：1，2 ，共2 次行程，
所以出租车的收入为：8 2
8 8
28 2
136
（元），
136
33
103
（元），
答：司机这天下午运营是盈利，盈利了103元．
题型5 有理数概念的理解
【例9】下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正
数和0；④0 是最小的整数．其中正确的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【知识点】有理数的定义、有理数的分类
【分析】本题考查的是有理数的分类与定义，据有理数定义及其分类解答即可．
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【详解】解：①可以写成分数形式的数称为有理数，故①正确；
②有理数不是正数就是负数或0 ，故②不正确；
③非负数就是正数和0，故③正确；
④没有最小的整数，故④不正确．
正确的有①③；
故选：C．
【例10】下列说法正确的是（
）
A．正整数和负整数统称为整数
B．整数和分数统称为有理数
C．非负有理数就是正有理数
D．零表示不存在，所以零不是有理数
【答案】B
【知识点】有理数的定义、有理数的分类
【分析】本题考查了整数和有理数，根据整数和有理数的定义逐项判断即可求解，掌握整数和有理数的定
义是解题的关键．
【详解】解：A 、正整数、0 、负整数统称为整数，该选项说法错误，不合题意；
B 、整数和分数统称为有理数，该选项说法正确，符合题意；
C 、非负有理数就是0 和正有理数，该选项说法错误，不合题意；
D 、零是有理数，该选项说法错误，不合题意；
故选：B ．
【技巧归纳】
有理数是整数和分数的统称，可化为
ݍ（q≠0）形式。判断时，整数、有限小数、无限循环小数均为有理数；
无限不循环小数（如π 不是。注意带根号且能开尽的也是有理数。
【变式5-1】下列说法中正确的是（
）
A．最小的有理数是0
B．正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合
C．分数分为正分数和负分数
D．非负整数即为正整数
【答案】C
【知识点】有理数的分类、有理数的定义
【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数的概念；根据没有最小的有理数，由此即可判断A；整数集
合包括正整数，负整数和0，由此即可判断B；分数分为正分数和负分数，由此可判断C；非负整数包括0
和正整数，由此即可判断D．
【详解】解：A、没有最小的有理数，原说法错误，不符合题意；
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B、整数集合包括正整数，负整数和0，原说法错误，不符合题意；
C、分数分为正分数和负分数，原说法正确，符合题意；
D、非负整数即为正整数和0，原说法错误，不符合题意；
故选C．
【变式5-2】下列说法中正确的是（
）
A．0 不是有理数
B．在有理数中有最小的数
C．有理数不是整数就是分数
D．若a 是有理数，则a
一定是负数
【答案】C
【知识点】有理数的定义、有理数的分类
【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数的定义．有理数可以分为正数、0、负数或分为正有理数、
0、负有理数，整数和分数统称有理数，根据上面两种分类方法去判断正误即可．
【详解】解：A、0 是有理数，故A 错误，不符合题意；
B、在有理数中没有最小的数，故B 错误，不符合题意；
C、有理数不是整数就是分数，故C 正确，符合题意；
D、a 是有理数，则a
不一定是负数，如
1
a 时，
1
a
，故D 错误，不符合题意．
故选：C．
题型6 对0 的理解
【例11】下列说法正确的是（
）
A．0 既是正数，也是负数
B．0 表示没有
C．0 既不是正数，也不是负数
D．0 比负数小
【答案】C
【知识点】0 的意义
【分析】本题考查了0 的意义，根据0 的意义逐一排除即可，正确理解0 的意义是解题的关键．
【详解】解：A 、0 既不是正数，也不是负数，原选项说法错误，不符合题意；
B 、0 可以表示没有，也可以表示其他，原选项说法错误，不符合题意；
C 、0 既不是正数，也不是负数，原选项说法正确，符合题意；
D 、0 比负数大，原选项说法错误，不符合题意；
故选：C ．
【例12】下列说法正确的是（
）
A．0.5
是负分数
B．1
是负数，但不是整数
C．0 是正数
D．
1
2 是分数但不是正数
15 / 25
【答案】A
【知识点】0 的意义、有理数的分类
【分析】本题主要考查了正负数的定义，分式的定义，0 的意义，大于0 的数叫做正数，小于0 的数叫做负
数，0 既不是正数，也不是负数，据此结合分数的定义可得答案．
【详解】解：A、0.5
是负分数，原说法正确，故此选项符合题意；
B、1
是负数，也是整数，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、0 不是正数，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、
1
2 是分数，也是正数，原说法错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
【技巧归纳】
1. 分界与中性：0 既非正也非负，是正负分界点。
2. 运算特征：加0 不变、乘0 得0、0 不能作除数。
3. 意义：表示“没有”或“起点”（如数轴原点、温度零度）。
【变式6-1】下列叙述中，正确的是（
）
A．0 既不是正数也不是负数
B．0 是正数
C．0 是负数
D．0 不是整数
【答案】A
【知识点】0 的意义、有理数的分类
【分析】本题考查了0 的意义，有理数的分类，根据0 的意义逐项分析判断即可求解．
【详解】解：0 既不是正数也不是负数，是整数
故选：A．
【变式6-2】下列对“0”的说法正确的个数是（
）
①0 是正数与负数的分界；②0 只表示“什么也没有”；③0 可以表示特定的意义，如0℃；④0 是正数．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【知识点】0 的意义
【分析】本题考查了正数和负数，根据0 的意义，逐一判断即可解答．
【详解】①因为正数大于0，负数小于0，所以0 是正数与负数的分界，故①正确；
②0 除了表示“什么也没有”，还可以表示其他意义，如0℃等，故②错误；
③0 可以表示特定的意义，如0℃，故③正确；
④0 既不是正数，也不是负数，故④错误，
16 / 25
综上所述：正确的有①③，共2 个，
故选：B．
题型7 有理数的分类
【例13】把下列各数的序号填在相应的集合里：
①35
，②0.2，③
4
7
，④0，⑤
1
2 2
，⑥，⑦
2.3
-
，⑧320
．
整数集合：{ __________________ }；
负分数集合：{ __________________ }；
正有理数集合：{ __________________ }．
【答案】①④⑧；③⑤⑦；②⑧
【知识点】有理数的分类
【分析】本题考查了实数的分类，按照实数的分类填写，实数分为有理数和无理数，无理数是无限不循环
小数，有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0 和负整数，分数分为正分数和负分数，掌握有理数的概
念和实数的分类方法是解题的关键．
【详解】解：①35
，②0.2，③
4
7
，④0，⑤
1
2 2
，⑥，⑦
2.3
-
，⑧320
中，
整数集合{ ①35
，④0，⑧320
}；
负分数集合{③
4
7
，⑤
1
2 2
，⑦
2.3
-
}；
正有理数集合{ ②0.2，⑧320
}，
故答案为：①④⑧；③⑤⑦；②⑧．
【例14】将下列各数填入相应的集合中．0.6，3
，2
，10% ，0，8
，1.2
，
π
2
，0.3．
自然数集合：{
…}；负整数集合：{
…}；
正分数集合：{
…}；有理数集合：{
…}．
【答案】见解析
【分析】本题考查有理数的分类，根据有理数的分类进行作答即可．
【详解】解：自然数集合：
2,0
；
负整数集合：
3, 8
；
正分数集合：
0.6,10%,0.3
；
有理数集合：
0.6, 3, 2,10%,0, 8, 1.2,0.3
．
【技巧归纳】
17 / 25
有理数按定义分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。按性质分为正有理数、0、负
有理数。分类时注意：有限小数和无限循环小数归属分数，百分数化成分数形式后判断。
【变式7-1】把下列各数填在相应的大括号里：
1
2
，8 ，7
，3.2
，0.16 ，2.8 ，9.1
，0 ，1．
正整数集合：{
L }；
负整数集合：{
L }；
正分数集合：{
L }；
负分数集合：{
L }．
【答案】8 ，1；7
；0.16 ，2.9 ；
1
2
，3.2
，9.1
【分析】本题考查了有理数的分类，根据正整数、负整数、正分数和负分数的定义解答即可求解，掌握有
理数的有关定义是解题的关键．
【详解】解：正整数集合：{8 ，1，L }；
负整数集合：{ 7
，L }；
正分数集合：{0.16 ，2.9 ，L }；
负分数集合：{
1
2
，3.2
，9.1
，L }；
故答案为：8 ，1；7
；0.16 ，2.9 ；
1
2
，3.2
，9.1
．
【变式7-2】把下面的有理数填在相对应的集合内：1
2
，30
7 2.
，
，2
2 3 ，10
11
，6 ，0 ，2.1，5
，302
，
10
正数集合：｛
… ｝
负数集合：｛
… ｝
整数集合：｛
… ｝
分数集合：｛
… ｝
【答案】正数集合：｛
2
2 3 ，6 ，2.1，5
，
10
…｝，
负数集合：｛
1
2
，30
，7.2
，
10
11
，302
…｝，
整数集合：｛30
，6 ，0 ，5
，302
，10
… ｝，
分数集合：｛
1
2
，7.2
，
2
2 3 ，
10
11
，2.1 …｝
【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
18 / 25
根据正数、负数、整数、分数的定义即可得到答案．
【详解】解：正数集合：｛
2
2 3 ，6 ，2.1，5
，
10
…｝，
负数集合：｛
1
2
，30
，7.2
，
10
11
，302
…｝，
整数集合：｛30
，6 ，0 ，5
，302
，10
… ｝，
分数集合：｛
1
2
，7.2
，
2
2 3 ，
10
11
，2.1 …｝．
题型8 带“非”字的有理数
【例15】把下列各数分别填在相应的集合内：
1
、5.7 、1、3.9
、3、3.1415926、
3
5
-
、0 、23，
正数集合{____________________________}
负分数集合{____________________________}
非负整数集合{___________________________}
【答案】5.7 、1、3、3.1415926、23
3.9
、
3
5
1、3、0 、23
【分析】本题主要考查有理数的分类，理解正数、负分数、非负整数的概念及识别，掌握有理数分类是解
题的关键．
正数包括正整数、正分数；负分数包括负分数、负小数；非负整数包括正整数和0，由此即可求解．
【详解】解：1
、5.7 、1、3.9
、3、3.1415926、
3
5
-
、0 、23
正数集合{5.7 、1、3、3.1415926、23}；
负分数集合{ 3.9
、
3
5
}；
非负整数集合{1、3、0 、23}；
故答案为：5.7 、1、3、3.1415926、23；3.9
、
3
5
；1、3、0 、23．
【例16】把下列各数填入相应的集合中：
3.14
，2π，
1
3
，0.618，22
7 ，0，1
，6% ，3
．
正数集合：{
…}；
19 / 25
分数集合：{
…}；
非负整数集合：{
…}．
【答案】2π，0.618，22
7 ，6% ，3
；3.14
，
1
3
，0.168，22
7 ，6% ；0，3
．
【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和
分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，
正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数．
【详解】解：正数集合：{2π，0.618，22
7 ，6% ，3
，…}．
分数集合：{ 3.14
，
1
3
，0.168，22
7 ，6% ，…}．
非负整数集合：{0，3
，…}．
故答案为：2π，0.618，22
7 ，6% ，3
；3.14
，
1
3
，0.168，22
7 ，6% ；0，3
．
【技巧归纳】
“非”字表示否定，如非负数即正数和0，非正整数即0 和负整数。解题时先明确否定范围，用数轴画出对
应区域，注意端点是否包含。转化时去掉“非”字，补充相反情况，避免遗漏0。
【变式8-1】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里．
1
2 ，3.15
，6，7
，0，50%
正有理数集合{
…}；
负有理数集合{
…}；
整数集合{
…}；
非负整数集合{
…}．
【答案】见解析
【分析】本题考查有理数的分类，根据整数包括正整数和负整数和0，分数包括正分数和负分数，非负整数
包括正整数和0，负有理数为小于0 的有理数数，进行作答即可．
【详解】解：正有理数集合{ 1
2 ，6，50%，…}；
负有理数集合{ 3.15
，7
，…}；
整数集合{ 6，7
，0，…}；
非负整数集合{ 6，0，…}
【变式8-2】请把下面的有理数填在相应的集合内：
1，0.0708，700
，3.88
，0，3.14，
7
23
，0.23．
20 / 25
正有理数集合：{____________________________…}．
负整数集合：{______________________________…}．
正分数集合：{______________________________…}．
非负整数集合：{____________________________…}．
【答案】见解析
【分析】本题考查了有理数的分类，注意整数和正数的区别，注意0 是整数，但不是正数．根据有理数的
分类填写即可．
【详解】解：正有理数集合：
1,0.0708,3.14,0.23,
；
负整数集合：
700,
；
正分数集合：
0.0708,3.14,0.23,
；
非负整数集合：
1,0,
．
一、单选题
1．我国古代的《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．若气温零上1℃记作1
℃，则气温零下10℃
记作（
）
A．10
℃
B．1
℃
C．1
℃
D．10
℃
【答案】A
【详解】解：∵气温零上1℃记作1
℃，说明规定零上为正，
∴与零上意义相反的零下为负，因此气温零下10℃记作10
℃．
2．在3
，0，1，
4
5
，0.2
，7，π中，负数有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查了正负数的定义，负数是指小于零的数，需逐一判断每个数是否小于零，即可作答．
【详解】解：依题意，3
0
，0.2
0
，
4
0
5
，0
1
7
，
故负数有3 个，
故选：C．
3．下列说法：①0 是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的
数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（
）个
21 / 25
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】B
【分析】根据整数、有理数、非负数的定义逐一判断各说法正误，统计正确结论个数即可．
【详解】解：①整数包含负整数、0、正整数，所有负整数都小于0，原说法错误；
②有理数分为正有理数、0、负有理数，原说法错误；
③非负数就是正数和0，原说法错误；
④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，正确．
综上，正确的结论共有1 个．
4．在1，40
，0，3
，13
9 ，
7
8
，2025，0.6 中，非负数有（
）个．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数的分类，非负数是大于或等于0 的数，据此可得答案．
【详解】解：在1，40
，0，3
，13
9 ，
7
8
，2025，0.6 中，非负数有1，0，13
9 ，2025，0.6 ，共5 个，
故选：D．
5．中国古代用算筹来记数，算筹的摆放有纵横两种形式（如下表）：
当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的算筹需要纵、
横相间：个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，“0”用空位来代替，以此类
推．在个位数算筹上面斜着放一支算筹表示负数．例如：“
”表示＋238，“
”表示
7023
．由此可知“
”表示的数是（
）
A．6028
B．6028
C．6208
D．6208
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数的定义，根据题中新定义求解即可．
【详解】
解：由题意得，“
”表示的数是6208
，
故选：D．
二、填空题
6．在3.14
，22
7 ，0，中，有理数有_____个．
【答案】3
22 / 25
【分析】本题考查了有理数的定义，根据有理数的定义逐个判断，即可求解．
【详解】解：3.14
，22
7 ，0，是有理数；不是有理数，有理数有3 个．
故答案为3．
7．如盈利记为正，则亏本记为负，3000
元表示______，240
元表示_______．
【答案】
盈利3000 元
亏本240 元
【分析】本题考查正负数的意义，题目已规定盈利记为正，亏本记为负，只需根据规定判断正负数对应的
实际意义即可．
【详解】解：根据正负数表示具有相反意义的量，
由题意得，盈利记为正，则正号表示盈利，负号表示亏本，
因此3000
元表示盈利3000 元，240
元表示亏本240 元．
8．在＋8，0，
3
7
，
4
5
，2023，5
，0.26，11 中，非正整数有________个．
【答案】2
【分析】本题主要考查了有理数的分类，
根据非正整数包括负整数和0 解答即可.
【详解】解：非正整数有0, 5
，一共有2 个.
故答案为：2.
9．下列各数：3，
1
5,
2
，0，2，0.97 ，0.21, 60%
，9，2
2 3 ，85，1．其中正数有_______个，负数有_______
个
【答案】
7
4
【分析】本题考查了正负数的定义，熟练掌握正负数的定义是解题的关键．
根据大于0 的数叫做正数，小于0 的数叫做负数求解即可．
【详解】解：正数有
2
3,2,0.97,9,2
,85,1
3
，总共7 个，
负数有
1
5,
, 0.21, 60%
2
，总共4 个，
故答案为：7，4．
10．在下列各数，1
，3.141559
，2，1
3 ，13，0，
1
2 ，5%
，3
4 中，整数有__________，负分数有
____________________．
【答案】
1
，2，13，0
3.141559
，5%
【分析】本题主要考查整数和负分数的定义；根据整数和负分数的定义，整数包括正整数、负整数和零；
负分数是负的有理数且不是整数．逐个判断给定数即可得出答案．
【详解】解：在给定的数中，1
是负整数，属于整数；
23 / 25
3.141559
是负小数，属于负分数；
2 是正整数，属于整数；
1
3 是正分数，既不是整数也不是负分数；
13 是正整数，属于整数；
0 是整数，既不是正数也不是负数；
1
2 是正分数，既不是整数也不是负分数；
5%
转化为0.05
，是负分数；
3
4 是正分数，既不是整数也不是负分数．
因此，整数有1
，2，13，0；负分数有3.141559
，5%
．
故答案为：1
，2，13，0；3.141559
，5%
．
三、解答题
11．把下列各数的序号填在相应的数集内：①π；②
3
5
-
；③3.2
；④0；⑤1
3 ；⑥6.5
；⑦108
；⑧4
．
(1)整数集合{____________________________________}；
(2)正有理数集合{______________________________}；
(3)负有理数集合{________________________________}．
【答案】(1)④⑦⑧
(2)③⑤⑦
(3)②⑥⑧
【分析】本题考查有理数的分类：
（1）根据整数包括正整数，0 和负整数，分类即可；
（2）根据正有理数是大于0 的有理数，分类即可；
（3）根据负有理数是小于0 的有理数，分类即可．
【详解】（1）解：整数集合{④⑦⑧}
故答案为：④⑦⑧；
（2）正有理数集合{③⑤⑦}；
故答案为：③⑤⑦；
（3）负有理数集合{②⑥⑧}
故答案为：②⑥⑧．
12．某百货商店的每个月的营业成本是12 万元，去年上半年月收入分别是：
1 月：13 万元，2 月：16 万元，3 月：11 万元，4 月：17 万元，5 月：12 万元，6 月：10 万元
(1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？
24 / 25
月份
一月
二月
三月
四月
五月
六月
盈亏情况（万元）
(2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？
【答案】(1)见解析
(2)四月的营业状况最好，六月的营业状况最差
【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一
个就用负表示．
（1）根据正负数表示具有相反意义的两种量，再结合题意即可解答；
（2）根据（1）中表格数据可得答案．
【详解】（1）解：用正负数表示百货商店的盈亏情况如下：
月份
一月
二月
三月
四月
五月
六月
盈亏情况（万元）
1
4
1
5
0
2
（2）解：根据（1）中的百货商店的盈亏情况表可知，四月的营业状况最好，六月的营业状况最差．
13．请把下列各数分别填入相应的圈内：
2
3
，
3
4
，0.618，15
，1
3 ，0.3
，2
9 ，12
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据正整数、负整数、正数与负
数的定义解答即可得．
【详解】解：把下列各数分别填入相应的圈内如下：
．
14．将下列各数填入相应的大括号里．
1
6
,0.618, 3.14,260, 2,
, 0.010010001
,0,0.3.
3
7
正分数集合：{
}；
非正整数集合：{
}；
25 / 25
正数集合：{
}；
有理数集合：{
}．
【答案】见解析
【分析】本题考查有理数分类．根据题意利用有理数分类逐一对每个数进行分类即可得到本题答案．
【详解】解：∵
1
6
,0.618, 3.14,260, 2,
, 0.010010001
,0,0.3.
3
7
∴正分数集合{
6
0.618,
,0.3
7
}，
非正整数集合{ 2,0
}
正数集合{
6
0.618,260,
,0.3
7
}
有理数集合{
1
6
,0.618, 3.14,260, 2,
,0,0.3
3
7
}
15．小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8 次乘客，并把每个乘
客的行程记录如下：
2
，5
，1
，8
，3
，2
，4
，7
．
（注：向西记作“ ”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题：
(1)小王师傅在A 处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A 处什么方向？
距A 处多远？
(2)公司规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3 千米以内（含3 千米）只收起步价；若超过3 千米，除收
起步价外，超过的每千米还需收2 元钱，小王师傅接送8 次乘客共收车费多少元？
【答案】(1)他此时在出发地A 处东边，距A 处8 千米；
(2)小王师傅接送8 次乘客共收车费104元；
【分析】（1）根据有理数的加法，把相反意义的行程理数相加求和，根据正数在东，负数在西方可得答案；
（2）判断出大于3 千米与小于3 千米的，根据收费标准列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
2
5
( 1)
8
( 3)
( 2)
( 4)
7
8
0
，
∴他此时在出发地A 处东边，距A 处8 千米；
（2）解：由题意可得，
只有5
，8
，4
，7
四次大于3 千米，
分别超过：2 千米，5 千米，1 千米，4 千米，
∴费用为：8 10
(2
5 1
4)
2
104
（元），
∴小王师傅接送8 次乘客共收车费104元．
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