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第05 讲相反数与绝对值
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 求一个数的相反数
题型2 判断是否互为相反数
题型3 化简多重符号
题型4 相反数的应用
题型5 求一个数的绝对值
题型6 绝对值的非负性
题型7 利用绝对值的非负性求最值
题型8 利用绝对值比较大小
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
相反数、绝对值、几何
意义、非负性、距离、
多重符号、负数比较。
1. 理解相反数的概念（仅从数值关系：只有符号不同的两个数），能熟练求
出一个有理数的相反数。
2. 理解绝对值的代数定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相
反数，0 的绝对值是0。
3. 能根据定义准确求出任意有理数的绝对值，并掌握绝对值的非负性（|a|
≥0）。
4. 能利用绝对值比较两个负数的大小（绝对值大的反而小），初步体会分类
讨论思想。
学习重点：相反数的概念及求法；绝对值的概念及求法；利用绝对值比较两个负数的大小。
学习难点：理解绝对值的几何意义（距离概念）及其非负性；多重符号的化简（如−(−a) = a）；理
解“两个负数，绝对值大的反而小”的算理。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 相反数
1.概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0 的相反数是0.
2.性质：若a 与b 互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a 与b 互为相反数.
3.多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化
简，看负号的个数.
（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）
【易错提醒】
相反数易错警示：互为相反数的两个数和为0，在数轴上关于原点对称。注意：0 的相反数是0；多重符号
化简时，奇负偶正（如-(-3)=3）。勿认为带负号就是负数。
即时即练1．实数3 的相反数是______．
【答案】3
【详解】解：实数3 的相反数是3
．
2．化简下列各数：
（1）
3
________；
（2）
3
________；
3 / 28
（3）
3
________；
（4）
3
________．
【答案】
3
3
3
3
【分析】本题主要考查了多重符号的化简，解题的关键是掌握多重符号的化简法则．
根据多重符号化简的法则，化简结果的符号由负号的个数决定：如果负号的个数为偶数，结果为正；如果
负号的个数为奇数，结果为负．
【详解】解：（1）
3
=3，
故答案为：3；
（2）
3
3
，
故答案为：3
；
（3）
3
3
，
故答案为：3
；
（4）
3
3
，
故答案为：3
．
3．写出下列各数的相反数：2
，3
，0，3.5
，4
9 ．
【答案】2
的相反数是2
，3
的相反数是3，0 的相反数是0，3.5
的相反数是3.5，4
9 的相反数是
4
9
．
【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是
互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，0 的相反数是0，负数的相反数是正
数．
根据相反数的定义作答即可．
【详解】2
的相反数是2
，3
的相反数是3，0 的相反数是0，3.5
的相反数是3.5，4
9 的相反数是
4
9
．
知识点02 绝对值
1.概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值.
2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b 或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；
③0 的绝对值是0.
3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0，|a|=0；③a＜0，|a|=-a.
注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数.
4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2 个，他们互为相反数.即±a.
5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若
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|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0；
【易错提醒】
绝对值易错警示：|a|表示数轴上点a 到原点的距离，结果非负。注意|a| = a 仅当a ≥0，若a < 0 则|a| = -a。
去掉绝对值符号时，务必判断原数正负。
即时即练1.下列各对数中互为相反数的是（
）
A．5 与
5
B．5
和
5
C．
5
- 和5
D．5 和
5
【答案】A
【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号、相反数的定义
【分析】本题主要考查了相反数的识别，化简多重符号和求一个数的绝对值，先根据化简多重符号和绝对
值的定义求出每个选项中两个数的结果，再根据只有符号不同的两个数互为相反数判断即可．
【详解】解：A、5 与
5
5
互为相反数，故此选项符合题意；
B、5
和
5
5
不互为相反数，故此选项不符合题意；
C、
5
5
和5
5
不互为相反数，故此选项不符合题意；
D、5 和
5
5
不互为相反数，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．
2026
的相反数是_____．
【答案】
2026
【分析】本题考查了绝对值的定义和相反数，先求出
2026
的值，再根据相反数的定义求出相反数．
【详解】解：
2026
2026
，
2026 的相反数是2026
．
故答案为：2026
．
3．若
2
a
，则a _____．
【答案】2
【分析】绝对值为正数的数有两个，且这两个数互为相反数．
【详解】解：∵
2
2
a
，
∴
2
a ．
4．比较下列各组数的大小：
(1) 8
与
8
；
(2)
5
6
与
7
8
；
5 / 28
(3)
3.2
与
3.6
．
【答案】(1) 8
8
(2)
5
7
6
8
(3)
3 2
3 6
.
.
【分析】本题考查有理数大小的比较，熟知有理数大小比较规则是解答的关键．
（1）先求绝对值，再根据正数大于负数求解即可；
（2）根据负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可；
（3）先化简各数，再根据负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可．
【详解】（1）解：∵
8
8
，8
8
，
∴8
8
；
（2）解：∵
5
5
20
6
6
24
，
7
7
21
8
8
24
，20
21
24
24
，
∴
5
7
6
8
；
（3）解：
3 2
3 2
.
.
，
3 6
3 6
.
.
，
∵
3.2
3.2
，
3.6
3.6
，3.2
3.6
，
∴
3 2
3 6
.
.
．
题型1 求一个数的相反数
【例1】2026 的相反数是
．
【答案】-2026
【分析】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．根据
符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【详解】解：2026 的相反数是-2026．
故答案为：-2026．
【例2】2
13 的相反数是
．
【答案】
2
13
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【分析】本题考查了相反数的定义，属于应知应会题型，熟知相反数的概念是关键；
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据相反数的定义解答即可．
【详解】解：2
13 的相反数是
2
13
；
故答案为：
2
13
．
【技巧归纳】
求相反数：直接在原数前加“−”号。正数变负，负数变正，0 的相反数是0。对于多重符号，奇数个负号
为负，偶数个为正。注意含字母时，a 的相反数是−a，a-b 的相反数是b-a。化简后再判断。
【变式1-1】请分别写出下列各数的相反数：
5
，13，0，1
3 2 ，( 1.35)
．
【答案】5；13
；0；
1
3 2
；1.35
【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互
为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，0 的相反数是0，负数的相反数是正数．根
据相反数的定义进行求解即可．
【详解】5
的相反数是5；
13 的相反数是13
；
0 的相反数是0；
1
3 2 的相反数是
1
3 2
；
( 1.35)
1.35
，
( 1.35)
的相反数是1.35．
【变式1-2】写出下列各数的相反数：
9
4
，6 ，8
，3.5
，5
2 ，10，100
，1
3 ．
【答案】9
4 ，6
，8，3.5，
5
2
，10
，100，
1
3
【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义逐项求解即可．
【详解】解：
9
4
的相反数为9
4 ，
6 的相反数为6
，
8
的相反数为8，
3.5
的相反数为3.5，
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5
2 的相反数为
5
2
，
10 的相反数为10
，
100
的相反数为100，
1
3 的相反数为
1
3
．
题型2 判断是否互为相反数
【例3】下列各组数中，互为相反数的是（
）
A．1
3 与3
B．3 与
1
3
C．
1
3
与1
3
D．2
3 与
3
2
【答案】C
【分析】本题考查了相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相
反数求解即可．
【详解】解：A：1
3 与3不互为相反数，故此选项不符合题意；
B：3与
1
3
不互为相反数，故此选项不符合题意；
C：
1
3
与1
3 互为相反数，故此选项符合题意；
D：2
3 与
3
2
不互为相反数，故此选项不符合题意；
故选：C．
【例4】下列各数中，互为相反数的是（
）
A．2
与2
B．2
与
1
2
C．2
与
1
2
D．( )
2
- -
与
2
【答案】A
【分析】本题考查了相反数、绝对值以及去括号等知识，解题关键是熟练掌握相反数的定义：只有符号不
同的两个数互为相反数．根据相反数的定义，并结合去括号法则、绝对值的性质，逐项分析，即可获得答
案．
【详解】解：A.
2
与2 互为相反数，本选项符合题意；
B.
2
与
1
2 不是相反数，本选项不符合题意；
C.
2
与
1
2
不是相反数，本选项不符合题意；
D.
2 =2
，
2
2
，所以( )
2
- -
与
2
不是相反数，本选项不符合题意．
8 / 28
故选：A．
【技巧归纳】
判断两数是否为相反数：验证它们的和是否为0。也可检查它们是否符号相反、绝对值相等。0 的相反数是
自身。对于分数、根号等，先化简再相加或化为同分母。注意代数式相反数需整体加括号后再运算。
【变式2-1】下列各数中，互为相反数的是（
）
A．
3
与3
B．
3
与3
C．
3
与3
D．
3
与3
【答案】C
【分析】本题主要考查相反数，先化简多重符号，再根据相反数的定义进行判断即可求出结果．
【详解】解：A．
3
3
与3 相等；不符合题意；
B．
3
3
与3
相等；不符合题意；
C．
3
3
与3
互为相反数，符合题意；
D．
3
3
与3
相等；不符合题意；
故选：C．
【变式2-2】下列各组数中，互为相反数的是（
）
A．
5
和5
-
B．
4
和
4
C．
3
和
3
D．
7
和7
【答案】C
【分析】本题考查了相反数、绝对值，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义逐项分析
判断即可得出答案．
【详解】解：A、
5
5
，
5
5
，5 和5 不是相反数，不符合题意；
B、
4
4
，
4
4
，4 和4 不是相反数，不符合题意；
C、
3
3
，
3
3
，3
和3 互为相反数，符合题意；
D、
7
7
，7
和7
不是相反数，不符合题意；
故选：C．
题型3 化简多重符号
【例5】化简：
23
．
【答案】23
【知识点】化简多重符号
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【分析】根据有理数的负数计算即可．
本题考查了有理数的负数，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】解：
23
23
故答案为：23．
【例6】化简
1
4
．
【答案】
1
4
【知识点】化简多重符号
【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义化简多重符
号即可解答．
【详解】解：
1
1
4
4
．
故答案为：
1
4
．
【技巧归纳】
化简多重符号：从最内层往外，根据负号个数确定最终符号。奇数个负号为负，偶数个为正。例如-(+2) =
-2，-(-2)=2。逐步去括号，避免跳步。正号可直接省略。注意与绝对值、指数运算的区别。
【变式3-1】计算
2
的结果为
．
【答案】2
【知识点】化简多重符号、相反数的定义
【分析】本题考查了相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键；
根据相反数的定义解答即可．
【详解】解：
2
2
2
．
【变式3-2】化简：
（1）
4
；（2）
2024
；
（3）
1.5
；（4）
1.5
．
【答案】
4
2024
1.5
1.5
【知识点】化简多重符号
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【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
根据化简多重符号的法则计算即可得解；
【详解】解：（1）
4
4
；
（2）
2024
2024
；
（3）
1.5
1.5
；
（4）
1.5
1.5
．
故答案为：4
；2024；1.5；1.5
．
题型4 相反数的应用
【例7】若a、b 互为相反数，则2026
1
a
b
=______．
【答案】2025
【分析】本题考查相反数的定义．由a 和b 互为相反数，可得
0
a
b
，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵a 和b 互为相反数，
∴
0
a
b
，
∴2026
1
a
b
(2026 1)
(
)
2025
0
2025
a
b
．
故答案为：2025．
【例8】若代数式3
6
x
与代数式12
6x
的值互为相反数，则x _____．
【答案】2
【分析】本题主要考查相反数的定义，整式的加减以及解一元一次方程，根据题意可知3
6
12
6
0
x
x
，
求解即可．
【详解】因为代数式3
6
x
与12
6x
的值互为相反数，可得
3
6
12
6
0
x
x
．
解得
2
x
．
故答案为：2
【技巧归纳】
相反数应用：简化方程（移项变号）、求对称点（数轴上关于原点对称）、解带绝对值问题（如|x|=a 得x=
±a）、列方程时利用和为零构造等式。在比较大小中，负数相反数变为正数，便于排序。
【变式4-1】若m，n 互为相反数，则5
5
3
m
n
___．
【答案】3
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【分析】本题考查了相反数的性质，求代数式的值，掌握相反数和为0 是解题的关键．
由相反数的性质可知
0
m
n
，进而简化表达式5
5
3
m
n
【详解】解：∵m，n 互为相反数，
∴
0
m
n
，
∴
5
5
3
5
3
5 0
3
0
3
3
m
n
m
n
．
故答案为3．
【变式4-2】x ___________时，代数式5
7
x
与代数式2
21
x
的值互为相反数．
【答案】2
【分析】本题考查了解一元一次方程，相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义．
根据相反数的定义，两个代数式的值互为相反数时，它们的和为零，由此列出方程并求解即可．
【详解】解：∵代数式5
7
x
与代数式2
21
x
的值互为相反数，
∴
5
7
2
21
0
x
x
，
解得
2
x ．
故答案为：2
．
题型5 求一个数的绝对值
【例9】3
的绝对值是：
．
【答案】3
【分析】此题主要考查求一个数的绝对值，解题的关键是熟知绝对值的性质.
根据绝对值的定义即可求解.
【详解】解：3
的绝对值是：3．
故答案为：3.
【例10】计算：
3
．
【答案】3
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数即可得到答案．
【详解】解：
3
3
3
，
故答案为：3
．
【技巧归纳】
求绝对值：正数和0 的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数（即去掉负号）。对于表达式，先判
断整体正负，再根据定义化简。注意绝对值结果非负，字母需讨论范围或分类去绝对值。
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【变式5-1】5
的相反数是
，9
的绝对值是
．
【答案】
5
9
【分析】本题主要考查了相反数、绝对值的性质，掌握相反数定义和绝对值的性质成为解题的关键．
直接根据相反数的定义和绝对值的性质即可解答．
【详解】解：∵5
5
0
，
∴5
的相反数是5，
∵9
0
，
∴
9
9
9
．
故答案为：5，9．
【变式5-2】4 的绝对值是
；1
2
的绝对值是
；绝对值是1的数是
；绝对值最小的数是
．
【答案】
4
1
2
1
0
【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义解答即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键．
【详解】解：4 的绝对值是4 ；
1
2
的绝对值是1
2 ；绝对值是1的数是1
；绝对值最小的数是0 ；
故答案为：4 ；
1
2 ；1
；0 ．
题型6 绝对值的非负性
【例11】若|
|
|
1
0
|
3
a
b
，则a
，b
．
【答案】
3
1
【分析】本题考查了绝对值的非负性；根据非负数的性质可得3
0
1
0
，
a
b
，即可求解．
【详解】因为|
|
|
1
0
|
3
a
b
，且3
0
a
，|
1| 0
b
，
所以3
0
1
0
，
a
b
，所以
3
1
a
b
，
．
故答案为：3，1．
【例12】若
1
5
0
x
y
，那么x
，y
．
【答案】
1
5
【分析】本题考查了绝对值的非负性和解一元一次方程，熟练掌握任何数的绝对值都是非负数是解题的关
键，据此作答即可．
【详解】∵
1
5
0,
1
0,
5
0
x
y
x
y
，
∴
1
0,
5
0
x
y
，
解得
1,
5
x
y
，
故答案为：1，5．
13 / 28
【技巧归纳】
绝对值的非负性：任何实数的绝对值都≥0，且仅当该数为0 时取0。解题时常用“多个非负数之和为0，则
每个必须为0”列方程。也用于求最小值：|x|最小值0。注意与平方、算术平方根的非负性结合应用。
【变式6-1】a 是最大的负整数，且a、b、c 满足
5
0
a
b
c
．那么a＝
，b＝
，c＝
．
【答案】
1
1
5
【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，先根据已知条件得到a 的值，然后根据绝对值的非负性得到b、
c 的值，掌握绝对值的非负性是解题的关键．
【详解】解：∵a 是最大的负整数，
∴
1
a ，
∵
5
0
a
b
c
，
∴
0
a
b
，
5
0
c
，
∴
0
a
b
，
5
0
c
，
∴1
0
b
，
5
0
c
，
解得：
1,
5
b
c
，
∴
1,
1,
5
a
b
c
，
故答案为：1,1,5
．
【变式6-2】已知b、c 满足
1
1
0
2
b
c
，则b
c
的值是
．
【答案】3
2 / 1
12 /1.5
【分析】本题考查了绝对值的性质，根据
1
1
0
2
b
c
，得到
1
1,
2
b
c
,
代入计算即可．
【详解】∵
1
1
0
2
b
c
，
∴
1
1,
2
b
c
，
∴
1
3
1
2
2
b
c
，
故答案为：3
2 或1
12 或1.5．
题型7 利用绝对值的非负性求最值
14 / 28
【例13】（1）当x 取何值时，
2025
x
有最小值？这个最小值是多少？
（2）当x 取何值时，2025
1
x
有最大值，这个最大值是多少？
【答案】（1）
2025
x
，0；（2）
1
x ，2025
【分析】此题考查绝对值的性质，代数式的最值问题，
（1）根据
2025
x
是非负数且最小得
2025
x
时，
2025
x
有最小值，这个最小值是0；
（2）根据
1
x 时，
1
x 有最小值为0，得2025
1
x
有最大值，这个最大值是2025．
【详解】解：（1）因为
2025
x
是非负数，且非负数中最小的数是0，
所以当
2025
x
时，
2025
x
有最小值，这个最小值是0；
（2）当
1
x 时，
1
x 有最小值，这个最小值为0，
此时2025
1
x
有最大值，这个最大值是2025．
【例14】已知m 为整数．
（1）m 有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时m __________．
（2）2
m
有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时m __________．
（3）2
m
有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时m __________．
（4）2
1
m
有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时m __________．
（5）2
1
m
有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时m __________．
【答案】
（1）小，0 ，0 ；（2）小，2 ，0 ；（3）大，2 ，0 ；（4）小，2 ，1；（5）大，2 ，1
【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键；
（1）根据绝对值的非负性可以得到m 的取值范围以及最值；
（2）根据绝对值的非负性可以得到m 的取值范围和最值，根据m 的取值范围可以得到2
m
的取值范围
和最值；
（3）根据m 的取值范围和最值确定
m
的范围和最值然后就可以确定2
m
的取值范围和最值；
（4）根据
1
m
的取值范围和最值确定2
1
m
的取值范围和最值；
（5）根据
1
m
的取值范围和最值确定
1
m
的取值范围和最值然后就可以确定2
1
m
的取值范围和最
值.
【详解】解：（1）根据绝对值的非负性可知
0
m
，
m 有最小值是0 ，此时
0
m
；
（2）
0
m
15 / 28
2
2
m
则2
m
有最小值是2 ，此时
0
m
；
（3）
0
m
，
0
m
，
2
2
m
；
则2
m
有最大值是2 ，此时
0
m
；
（4）
1
0
m
，
2
1
2
m
则2
1
m
有最小值是2 ，此时
1
m ；
（5）
1
0
m
1
0
m
2
1
2
m
；
则2
1
m
有最大值是2 ，此时
1
m
故答案为：（1）小，0 ，0 ；（2）小，2 ，0 ；（3）大，2 ，0 ；（4）小，2 ，1；（5）大，2 ，1 ．
【技巧归纳】
绝对值非负性：|a|≥0。多个非负式和为0 时每项为0。求最小值时，|x-a|最小值0。含多个绝对值可用零点
分段法或数轴距离和求最值。
【变式7-1】根据
0
a
这一性质，解答下列问题：
(1)当a 时，|
4 |
a
有最小值，此时最小值为；
(2)当a 取何值时，|
|1
3
a
有最小值？这个最小值是多少？
(3)当a 取何值时，4
a
有最大值？这个最大值是多少？
【答案】(1)4，0
(2)
1
a ，3
(3)
0
a
，4
【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键．
（1）根据绝对值的性质，可知0 的绝对值最小，为0，则可得
4
0
a
时，|
4 |
a
有最小值，由此即可求解；
（2）要使|
|1
3
a
有最小值，则|
1|
a
要取最小，即
1
0
a
，由此即可求解；
（3）要使4
a
有最大值，则a 取最小值，结合
0
a
即可求解．
【详解】（1）因为|
4 | 0
a
，所以当
4
a
时，|
4 |
a
有最小值，这个最小值是0．
故答案为：4，0
16 / 28
（2）因为|
1| 0
a
，所以当
1
a 时，|
|1
3
a
有最小值，这个最小值是3．
（3）因为
0
a
，所以
0
a
，所以当
0
a
时，4
a
有最大值，这个最大值是4．
【变式7-2】（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，
在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________
A．数形结合思想
B．转化思想
C．方程思想
D．分类讨论思想
回答下列问题：
（2）若
2
x
，求x 的值．
（3）若
1
0
y
，求y 的值．
（4）当x __________时，
1
x
有最小值，最小值为__________．
（5）当
4
7
x
y
取最小值时，求x，y 的值．
【答案】（1）D （2）2
（3）1（4）1，0 （5）4,7
【分析】（1）按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想，解答即可．
（2）根据题意，分类解答即可．
（3）根据0
0
，解答即可．
（4）根据
1
0
x
，得到最小值为0，此时
1
0
x
解答即可．
（5）根据
0,
0
4
7
x
y
，得到
0
4
7
x
y
，得到
0,
0
4
7
x
y
时，
4
7
x
y
取得最小值，
解答即可．
本题考查了分类思想，绝对值的非负性，应用非负性求最小值，一元一次方程的应用，熟练掌握非负性是
解题的关键．
【详解】（1）解：按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想，
故选：D．
（2）解：∵
2
x
，
∴
0
x
时，
2
x
；
0
x
时，
2
x
，解得
2
x ；
故x 的值为2
．
（3）解：根据0
0
，得
1
0
y
，
1
0
y
，
解得
1
y ，
故y 的值为1．
17 / 28
（4）解：根据
1
0
x
，得到
1
0
x
时，取得最小值，且最小值为0，
故
1
0
x
，
解得
1
x ；
故当x 的值为1,取得最小值，且最小值为0．
（5）解：根据题意，得
0,
0
4
7
x
y
，
故
0
4
7
x
y
，
故
0,
0
4
7
x
y
时，
4
7
x
y
取得最小值，
此时
0,
0
4
7
x
y
，
解得
4,
7
x
y
，
故
4,
7
x
y
．
题型8 利用绝对值比较大小
【例15】比较下列各组数的大小：
(1) 3.5
与4.2
；
(2)
6
7
与
7
8
；
(3)
2
3
- -
与
17
21
．
【答案】(1) 3.5
4.2
(2)
6
7
7
8
(3)
2
17
3
21
【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数大于零，零大于负数，正数大于负数，两个负数比较大
小，绝对值大的反而小是解答本题的关键．两个负数比较大小，先比较绝对值，利用绝对值大的反而小即
可得解；
【详解】（1）| 3.5| 3.5,| 4.2 | 4.2
，
3.5
4.2
，
3.5
4.2
，
（2）
6
6
48
7
7
49
,
7
7
56
8
8
56
，
48
49
56
56
，
18 / 28
6
7
7
8
，
（3）
2
2
3
3
，
2
2
14
17
17
,
3
3
21
21
21
，
14
17
21
21
，
2
17
3
21
【例16】比较下列各组数的大小：
(1)4 和8
(2) 8
与
8
(3)
5
6
与
7
8
(4)
3.2
与
3.6
【答案】(1) 4
8
；
(2) 8
8
；
(3)
5
6
7
8
；
(4)
3.2
3.6
【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，多重符号化简，解题的关键是掌握有理数的大小比较法
则．
（1）直接比较大小即可；
（2）先求绝对值，再比较大小；
（3）先比较绝对值大小，再比较大小；
（4）先化简各数，再比较大小
【详解】（1）解：4
8
（2）解：∵
8
8
，
∴8
8
（3）解：∵
5
5
20
6
6
24
，
7
7
21
8
8
24
，20
21
24
24
即
5
6
7
8
，
∴
5
6
7
8
（4）解：∵
3.2
3.2
，
3.6
3.6
，
3.2
3.2
，
3.6
3.6
，3.2
3.6
，
19 / 28
∴
3.2
3.6
【技巧归纳】
同号时，正数绝对值越大数越大，负数绝对值越大数越小；异号时正数大于负数。比较时先看符号，若同
号再去绝对值比，负数记得反转结果。
【变式8-1】比较下列各组数的大小．
(1)5 和2
；
(2) 3
和7
；
(3)
1
和
2
；
(4)
0.5
和
1.5
．
【答案】(1)5
2
(2) 3
7
(3)
1
2
(4)
0.5
1.5
【分析】本题考查有理数的大小比较，结合绝对值的化简和相反数，熟练掌握有理数大小的比较法则是解
题的关键．
（1）根据整数大于负数即可解答；
（2）根据负数比较大小，绝对值大的反而小，即可解答；
（3）先化简，再利用一个正数和一个负数比较大小的法则比较即可解答；
（4）先化简，再比较大小即可解答．
【详解】（1）解：因为正数大于负数，
所以5
2
．
（2）解：
3
3,
7
7
．
因为3
7
，即
3
7
，
所以3
7
．
（3）解：
1
1,
2
2
．
因为正数大于负数，
所以1
2
，即
1
2
．
（4）解：
0.5
0.5,
1.5
1.5
．
因为0.5
1.5
，
所以
0.5
1.5
．
20 / 28
【变式8-2】比较下列各组数的大小：
(1) 7
和2；
(2)
9
7
和
6
5
；
(3)
| 5.7 |
和
2.9
；
(4)
1
1 1
,
,
2
3 4
．
【答案】(1) 7
2
(2)
9
6
7
5
(3)
5.7
2.9
(4)
1
1
1
2
3
4
【分析】本题考查了有理数的大小比较，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据正数大于负数，即可作答．
（2）根据负数的绝对值越大的数反而越小，即可作答．
（3）先化简绝对值，再根据正数大于负数，即可作答．
（4）结合正数大于0，0 大于负数，负数的绝对值越大的数反而越小，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，7
2
；
（2）解：依题意，
9
9
6
6
,
7
7
5
5
，
∵9
7
6
5
，
∴
9
6
7
5
；
（3）解：依题意，
5.7
5.7,
2.9
2.9
，
∵5.7
2.9
，
∴
5.7
2.9
；
（4）解：依题意，
1
1
1
1
,
2
2
3
3
，
∵1
1
2
3
，
∴
1
1
1
2
3
4
．
21 / 28
一、单选题
1．下列四个数中，绝对值最大的数是（
）
A．1.5
B．2
C．0
D．
1
2
【答案】B
【详解】解：∵1.5
1.5
，
2
2
，0
0
，
1
1
2
2
，
∴比较大小得
1
2
1.5
0
2
，
∴
2
是四个数中最大的绝对值，即绝对值最大的数是2
．
2．下列有理数的大小关系正确的是（
）
A．
2
0
B．
5
5
C．
5
4
D．
3
1.25
2
【答案】D
【分析】先化简每个选项中的式子，再根据有理数比较大小的规则判断即可．
【详解】解：选项A，
2
2
，2
0
，
2
0
，A 错误；
选项B，
5
5
，
5
5
，
5
5
，B 错误；
选项C，
5
5
，
4
4
，5
4
，
5
4
，C 错误；
选项D，
3
1.5
2
，两个负数比较大小，绝对值大的数更小，
又
1.5
1.5
，
1.25
1.25
，1.5
1.25
，
1.5
1.25
，即
3
1.25
2
，D 正确．
3．某商品的质量按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”．下面四个零件中，
最接近标准质量的是（
）
A．
1.3g
B．
0.8g
C．
0.5g
D．
1.1g
【答案】C
【分析】分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．
【详解】解：∵
0.5
0.8
1.1
1.3
，
22 / 28
∴最接近标准质量的是选项C．
4．下列各组数中，互为相反数的是（
）．
A．
2
与
2
B．
2
与
2
C．
2
与2
D．
2
与2
【答案】B
【详解】解：选项A：
2 =
2
，( )
2
2
+ -
= - ，两个数相等，不互为相反数，不符合题意；
选项B：
2 =2
，( )
2
2
+ -
= - ，2
与2 绝对值相等，符号相反，互为相反数，符合题意；
选项C：
2
2
，两个数相等，不互为相反数，不符合题意；
选项D：
2 =
2
，两个数相等，不互为相反数，不符合题意．
5．下列说法正确的是（
）
A．若a
a
，则a 必为负数
B．绝对值不大于3 的整数有6 个，分别是1
，2
，3
C．若
0
a
，则a
a
，反之，若a
a
，则
0
a
D．任意有理数的绝对值都是非负数
【答案】D
【分析】本题考查绝对值的性质，根据绝对值的性质进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、若a
a
，则
0
a
，不一定为负数，故A 选项不符合题意；
B、绝对值不大于3 的整数包括1
，2
，3
和0，共7 个，故B 选项不符合题意；
C、若
0
a
，则a
a
正确；但反之若a
a
，则
0
a
，故C 选项不符合题意；
D、任意有理数的绝对值都是非负数，故D 选项符合题意；
故选：D．
二、填空题
6．比较大小．（填“>”“<”或“=”）
（1）
3
4
______
3
5
-
；
（2）
2.25
______ 2.5
．
【答案】
【分析】先化简待比较的数，再分别求出两个数的绝对值，根据负数比较大小的法则：绝对值大的负数反
而小，即可判断大小．
【详解】（1）解：
3
3
15
4
4
20
，
3
3
12
5
5
20
，
23 / 28
15
12
20
20
，
3
3.
4
5
（2）解：
2.25
2.25
，
2.25
2.25
，
2.5
2.5
，2.25
2.5
，
2.25
2.5
，即
2.25
2.5.
7．若
2
a
，则a ________．化简[ ( 10)]
________．
【答案】
2
10
【分析】本题考查了绝对值的应用，化简多重符号．第一空根据绝对值的定义求解；第二空通过多重符号
的化简规则计算．
【详解】解：由
2
a
，得
2
a ；
[ ( 10)]
10
故答案为：2
；10
8．已知
1
2
1
0
x
y
，则x _________，y _________．
【答案】
1
1
2
/ 0.5
【分析】本题考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，进
行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵
1
2
1
0
x
y
，且
1
0 2
1
0
x
y
,
，
∴
1
0 2
1
0
x
y
,
，
解得
1
0 2
1
0
x
y
,
，
解得
1
1,
2
x
y
，
故答案为：
1
1,
2
．
9．若x 为有理数，则式子
2024
2025
x
的最小值为______
．
【答案】2025
【分析】此题主要考查了绝对值的非负性．利用绝对值的性质得出
2024
x
的最小值为0，进而得出答案．
【详解】解：∵
2024
0
x
，
∴当
2024
0
x
时，
2024
2025
x
取最小值，最小值为2025．
故答案为：2025．
10．将下列各数填在相应的集合里．
3.8
，10
，4.3，
20
7
，42，，3，1.010010001，0，
3
5
24 / 28
整数集合：{____________________ }；
负有理数集合：{______________________ }；
分数集合：{______________________ }．
【答案】
10
，42，3，0
3.8
，10
，
20
7
3.8
，4.3，
20
7
，
3
5
【分析】本题考查了绝对值的定义，化简多重符号，有理数的分类．
根据有理数的分类，整数包括正整数、负整数和零；负有理数包括负整数和负分数；分数包括正分数和负
分数，但不包括整数和无理数.逐个判断每个数所属的集合。
【详解】解：
20
20
7
7
，
3
3
5
5
，
整数集合：{ 10
，42，3，0}；
负有理数集合：{ 3.8
，10
，
20
7
}；
分数集合：{ 3.8
，4.3，
20
7
，
3
5
}．
故答案为：10
，42，3，0；3.8
，10
，
20
7
；3.8
，4.3，
20
7
，
3
5
．
三、解答题
11．分别写出下列各数的相反数：
5
，7
，
1
3 2
，11.2．
【答案】5
，7，1
3 2 ，11.2
【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互
为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，0 的相反数是0，负数的相反数是正数．
【详解】解：5
的相反数是5
，7
的相反数是7，
1
3 2
的相反数是1
3 2 ，11.2的相反数是11.2
．
12．请比较下列各组中两个数的大小：
(1)0 和1
；
(2)3 和4
；
(3)
6
5
和
11
10
；
(4)
2
3
和
3
4
．
【答案】(1)0
1
(2)3
4
25 / 28
(3)
6
11
5
10
(4)
2
3
3
4
【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的方法是解题的关键．
（1）根据“正数
0
负数”直接比较大小即可；
（2）根据“正数
0
负数”直接比较大小即可；
（3）根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，先求出它们的绝对值，再比较绝对值的大小；
（4）根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，先求出它们的绝对值，再比较绝对值的大小．
【详解】（1）解：由“正数
0
负数”可知：0
1
；
（2）解：由“正数
0
负数”可知：3
4
；
（3）解：
6
6
12
5
5
10
，
11
11
10
10
，
又12
11
10
10
，
6
11
5
10
；
（4）解：
2
2
8
3
3
12
，
3
3
9
4
4
12
，
又8
9
12
12
，
2
3
3
4
．
13．如图所示，将下列各数填入相应的集合圈内．
3 , 7, 2.8, 9.9,
12 ,
5 ,0,
1.2
4
【答案】见解析
【详解】解：
12
12,
5
5,
1.2
1.2
，
26 / 28
如图所示，即为所求：
14．已知：a 与3 互为相反数，b 的绝对值为最小的正整数，回答以下问题．
(1) a ______，b ______；
(2)已知|
|
|
| 0
m
a
b
n
，求mn ．
【答案】(1) 3, 1
(2)
3
mn
或3
【分析】本题主要考查相反数、绝对值的非负性；
（1）根据相反数及绝对值可直接进行求解a、b 的值；
（2）根据（1）及绝对值的非负性可得m、n 的值，然后代入求解即可．
【详解】（1）∵a 与3 互为相反数，b 的绝对值为最小的正整数，
∴
3,
1
a
b
（2）∵|
|
|
| 0
m
a
b
n
∴
0,
0
m
a
b
n
∴
3,
1
m
a
b
n
当
1
n 时，
3
mn
；
当
1
n 时，
3
mn
；
综上：
3
mn
或3；
15．根据x 是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题：
(1)当x _____时，
2025
x
有最小值，这个最小值是_____．
(2)当x _____时，2025
1
x
有最大值，这个最大值是_____．
【答案】(1)2025 ，0
(2)1，2025
【分析】（1）
2025
0,
x
仅当
2025
0
x
时，有最小值；
（2）
1
0
x
,要使得2025
1
x
有最大值，则只需满足
1
0
x
即可.
【详解】（1）解：根据题意得：
2025
0
x
，
仅当
2025
0
x
时，
即
2025
x
,
2025
0
x
.
27 / 28
当
2025
x
时，
2025
x
有最小值，这个最小值为0.
（2）解：
1
0
x
，
2025
1
2025
x
，
仅当
1
0
x
时，即
1
x ，
2025
1
2025
x
，
当
1
x 时，2025
1
x
有最大值，这个最大值为2025.
【点睛】本题考查了绝对值的非负性质，熟练掌握绝对值的相关运算是解本题的关键.
16．出租车司机小李新年这天从鼓楼出发，上午营运时是在南北走向的大街上进行的，如果规定向南为正，
向北为负，他这天上午所接的六位乘客的行车里程（单位：km ）如下：
3, 5, 1, 1, 6, 2
．
(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？
(2)若汽车耗油量为0.2L / km（升/千米），这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？
(3)若出租车起步价为8 元，起步里程为3km （包括3km），超过部分每千米1.5元，问小李这天上午共得车
费多少元？
【答案】(1)鼓楼以北2km 处
(2)3.6
(3)55.5
【分析】本题考查了有理数的加法和正负数的意义，有理数的运算在实际问题中的应用，包括位置的确定、
耗油量的计算以及车费的计算．
(1)先将这几个数相加，根据题干规定，若和为正，则在出发点的南方；若和为负，则在出发点的北方；；
( 2 )将这几个数的绝对值相加，再乘以耗油量，即可得出答案；
(3)分别计算六次行程的车费后求和，即可．
【详解】（1）解：3
5 1 1 6
2
2
．
答：将最后一位乘客送到目的地时，小李在鼓楼以北2km 处．
（2）
3
5
1
1
6
2
18 km
，
0.2 18
3.6 L
，
答：出租车共耗油3.6L ．
（3）第1次里程
3
3km
，车费8元；
第2 次里程
5
5km
，车费
8 1.5
5
3
11
元；
第3次里程
1
1km
，车费8 元；
第4 次里程
1
1km
，车费8 元；
第5次里程
6
6km
，车费
8 1.5
6
3
12.5
元；
28 / 28
第6 次里程
2
2km
，车费8元；
总车费为8 11 8
8 12.5
8
55.5
(元)．
答：小李这天上午共得车费55.5元．
