文档文本内容
第01 讲 生活中的立体图形
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 常见的几何体
题型2 立体图形的分类
题型3 几何体中的点、棱、面
题型4 动态认识点、线、面、体
题型5 平面图形旋转所得立体图形
题型6 求平面图形旋转所得立体图形体积
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
识别分类
棱柱顶点、棱、面数的关系
点、线、面、体
1.认识圆柱、圆锥、正方体、棱柱、球.
2.会用数学的语言描述圆柱、圆锥、正方体、棱柱、球的某些
特征并能对它们进行简单的分类.
3.进一步认识点、线、面、体，感受点、线、面、体之间的关
系.
4.经历从现实世界中抽象出图形的过程，会从构成图形的基本
元素的角度认识常见几何体的特征.
1.重点
（1）能从简单实物的外形中抽象出几何图形，并了解立体图形与平面图形的区别.
（2）认识“点动成线，线动成面，面动成体”的事实。
2.难点
（1）会判断一个图形是立体图形还是平面图形，能准确识别简单几何体.
（2）认识“面与面相交得到线、线与线相交得到点”的事实.
知｜识｜框｜架
知识点
01
立体图形的认识
1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，
这就是立体图形．
2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：
圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等.
3.棱柱的有关概念及其特征:
①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的
上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形.
②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n 确定该棱柱是n 棱柱，它有2 n 个顶点，3 n
条棱，n 条侧棱，有n + 2 个面，n 个侧面.
【易错提醒】
- 分类：柱体（圆柱、棱柱）、锥体（圆锥、棱锥）、球体，勿将圆柱归为棱柱。
- 棱与面：棱柱的侧棱平行且相等；圆柱、圆锥的侧面是曲面，不是平面。
- 展开图：正方体展开图有11 种，带“田”“凹”字形的不能折叠成立方体。
即时即练1 将下图中的立体图形分类．
柱体 ；锥体 ；球体 ．
2．如图所示是一些常见的多面体．
知｜识｜精｜讲
(1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中：
多面体
顶点数
（V）
面数
（F）
棱数
（E）
正四面体
4
4
6
正方体
6
正八面体
6
12
正十二面
体
20
12
正二十面
体
12
20
30
(2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）和面数（F）的和与棱数（E）之间的关系；
(3)若已知一个多面体的顶点数
，棱数
，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数．
正方体
8
12
正八面体
8
正十二面体
30
知识点
02
点、线、面、体的关系
①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
②点动成线，线动成面，面动成体．
③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．
【易错提醒】
- 构成：体由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点。勿颠倒层次。
- 运动：点动成线，线动成面，面动成体。注意旋转体（如直角三角形绕直角边旋转得圆锥）。
- 抽象：几何中的点、线无大小粗细，与现实不同，勿混淆。
即时即练1．画卷即为卷轴形的画，如图是一幅画卷展开的过程，这个过程体现的数学原理是 ．
2．已知长方形的长为
，宽为
，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱（如
图）．
(1)圆柱①的底面直径是_____，高是_____；圆柱②的底面直径是_____，高是_____；
(2)试比较这两个圆柱的侧面积．
题型1 常见的几何体
【例1】端午节吃粽子是我国传统节日里的一大亮点．2025 年端午节前夜，小红包了一个粽子后发现它每
个面均是等边三角形，如图所示，这个粽子可以近似看作（ ）
A．长方体
B．四棱锥
C．三棱柱
D．三棱锥
【例2】下列几何体中，是三棱柱的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【技巧归纳】
识特征：柱体（上下底全等）、锥体（尖顶）、球（中心对称）。
【变式1-1】下列几何体中，是圆柱的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】以下图片展示了生活中的常见物品，这些物品的形状最接近圆柱体的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型2 立体图形的分类
【例3】将如图几何体分类，柱体有 ，锥体有 ，球体有 ．（填序号）
【例4】将下图中的立体图形分类．
柱体 ；锥体 ；球体 ．
【技巧归纳】
1. 按形状：柱（圆柱、棱柱）、锥（圆锥、棱锥）、球、台。
2. 按面特征：曲面（圆柱、圆锥、球）与平面（多面体）。
3. 按底面：棱柱看多边形边数，棱锥看顶点与底面。
4. 识展开图：判断能否围成立体图形，常用排除法。
【变式2-1】如图是8 个立体图形．其中，是柱体的有 ，是锥体的有 ，有曲面的有
．（填序号）
【变式2-2】将下图的立体图形分类，柱体有 ，锥体有 ，球有 ．（填序
号）
题型3 几何体中的点、棱、面
【例5】银川承天寺塔（如图），始建于西夏天佑垂圣元年（公元1050 年），是宁夏现存古塔中最高的一
座砖塔．它是一座八角十一层楼阁式砖塔，它可以近似地看作由十一个八棱柱构成．请问：一个八棱柱一
共有 角 条棱， 有 面， 有 个顶点．
【例6】如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有个面，条棱，
个顶点，
观察图形，填写下面的空．
（1）四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；
（2）六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；
（3）由此猜想
棱柱有 个面， 条棱， 个顶点．
【技巧归纳】
1. 欧拉公式：V - E + F = 2（顶点数－棱数＋面数），已知两个量可求第三个。
2. 分类计数：按不同类型（侧面、底面）分别计算棱数、面数。
3. 多面体展开：想象折合过程，判断顶点重合、棱对应关系，避免重复计数。
【变式3-1】已知一个直棱柱，它有21 条棱，其中一条侧棱长为
，底面各边长都为
．
(1)这个直棱柱是几棱柱？
(2)它有多少个面？多少个顶点？
(3)求这个棱柱的所有侧面的面积之和．
【变式3-2】欧拉为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出
的贡献，他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数
、棱数
、面数
之间存在一定的数量关系，给出
了著名的欧拉公式．
(1)观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称
三棱锥
三棱柱
五棱柱
正八面体
图形
顶点数
4
6
棱数
6
面数
4
(2)分析表中的数据，请写出
、
、
之间的等量关系：___________；
(3)某个饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和五边形两种多边形拼接而成的，且有36 个顶点，
每个顶点处都有3 条棱，请问该多面体表面三角形与五边形的个数之和是多少？
名称
三棱锥
三棱柱
五棱柱
正八面体
图形
顶点数
4
6
10
6
棱数
6
9
15
12
面数
4
5
7
8
题型4 动态认识点、线、面、体
【例7】下面现象中，能说明“线动成面”的是（ ）
A．天空划过一道流星 B．时钟的钟摆摆动留下的痕迹
C．抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线 D．一枚硬币在桌面上旋转的轨迹
【例8】朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数
学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明（ ）
A．点动成线
B．线动成面
C．面动成体
D．以上三个均有
【技巧归纳】
1. 运动生形：点动成线（轨迹）、线动成面（平移或旋转）、面动成体（旋转或平移）。
2. 找旋转轴：平面图形绕轴旋转一周，轴所在位置决定几何体形状（如矩形绕边得圆柱）。
3. 分情况：不同运动方向产生不同图形，画草图辅助想象。
【变式4-1】在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这
里把雨看成了线，这种生活现象可以反映的数学原理是（ ）
A．线动成面
B．点动成线
C．面动成体
D．点动成线、线动成面、面动成体
【变式4-2】在中国传统文化中，折叠灯笼是一种既美观又富有创意的手工艺品．当它折叠起来时看起来
是平面的，当被提起来后又变成了如图所示的圆柱形的灯笼，这种现象说明的数学道理是（ ）
A．点动成线
B．线动成面
C．面动成体
D．面与面相交的地方是线
题型5 平面图形旋转所得立体图形
【例9】下面图形中，以直线为轴旋转，可以得到圆锥体的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例10】陶瓷器具是我国古代劳动人民的重要发明之一，是中国人民勤劳与智慧的结晶．如图所示，将给
定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列陶瓷花瓶最为类似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【技巧归纳】
1. 识旋转轴：图形绕轴旋转，轴为边界或对称轴时，得圆柱、圆锥、圆台或球。
2. 分部分旋转：将图形拆为简单图形（矩形、三角形、半圆）分别旋转再组合。
3. 找对应半径：旋转半径即点到轴距离，影响底面圆大小。
4. 画截面：过轴作截面辅助判断形状。
【变式5-1】将如图所示的平面图形绕直线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】如图，第一行的图形绕虚线转一周，能形成第二行的哪个几何体？ 用线连起来．
题型6 求平面图形旋转所得立体图形体积
【例11】如图，将长方形绕其长边所在直线旋转一周，得到一个立体图形．
(1)这个立体图形是______．
(2)求这个立体图形的侧面积．（结果保留
）
【例12】如图，某酒店大堂的旋转门内部由四块宽2m、高3m 的长方形玻璃隔板组成．
(1)每扇旋转门旋转一周，能形成的几何体是 ，这体现了 动成体；
(2)求每扇旋转门旋转一周形成的几何体的体积（结果保留π）．
【技巧归纳】
1. 拆解法：将平面图形分割为矩形、三角形、半圆等，分别绕轴旋转后体积相加。
2. 公式法：圆柱V=πr2 h，圆锥 V=1
3πr2 h，球 V= 4
3 πr2 hR3。
3. 找对应量：确定旋转半径r 与高h（旋转轴方向长度），代入公式。
【变式6-1】小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形．我
们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等．
(1)小红得到的立体图形可以看成是由_______和_______构成的，这个现象用数学知识解释为_______
(2)你认为谁的说法正确？请通过计算说明理由．
【变式6-2】当同一个平面图形绕不同的轴旋转时，得到的立体图形一般不同．
(1)如图1 是一张长方形纸片，
长为
，
长为
．若将这个长方形纸片绕它的对边中点所在直
线旋转一周，求形成的几何体的表面积．（结果保留π）
(2)已知一个直角三角形，它的各边长如图2 所示．当三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一
个几何体，你能求出这个几何体的体积吗？（结果保留π）
1．下列物体的形状可以抽象地看成圆柱的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．“赣水欢腾 马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，
这种现象可以用数学原理解释为（ ）
A．点动成线
B．线动成面
C．面动成体
D．两点定线
3．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，小明在一个有盖可密封的正方体盒子里装了一定量的水，他不断改变正方体盒子的放置方式
（假设盒子可以采用任何方式放置），盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中可能是盒子里的水
形成的几何体是：（ ）
①长方体；②正方体；③圆柱体；④三棱锥；⑤三棱柱
A．①②④
B．②③④
C．①③④
D．①④⑤
5．如图，一个密封的瓶子里装着一些水，已知瓶子的底面积为
，请你根据图中标明的数据，则瓶子
的容积是（ ）
A．50
B．60
C．70
D．80
6．下面图形中是圆柱的是_________．圆柱的底面都是_________，并且大小一样．
7．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来被誉为“制扇王国”．打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个
扇面，这种现象可以用数学原理___________ 解释．（填“点动成线”“线动成面”或“面动成体”）
8．正方体有_____个面，_____个顶点，经过每个顶点有______条棱．
9．如图，直角三角形
三边
、
、
分别长
、
、
，将该三角形以直角边
所在
直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为______
（结果保留一位小数）．
10．如图是一张长方形纸片，长方形的长为
，宽为
，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转
一周，形成的几何体是______，该几何体的体积是______(结果保留
)
11．想一想，连一连．
12．将下图中的立体图形分类．（填序号）
柱体___________；锥体___________；球体___________．
13．在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是
、侧棱长是
的五棱柱几何
体模型．
(1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点．
(2)这个棱柱的侧面积是多少？
(3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有
个面，则这个棱柱为 棱柱．
14．观察下列图形，解决相关问题：
(1)把左侧的平面图形绕直线MN 旋转一周，得到的几何体是右图中的________（填“
”或“
”）；
(2)根据图中的数据，计算（1）中所得几何体的体积．（结果保留
）
（已知：
，
，其中为对应几何体的高，为圆柱底面圆的半径，
，
为
棱锥底面的面积，为棱锥的高）
15．综合与实践
新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是
常见的一些多面体：
操作探究：
（1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数
、面数
和棱数
，填写下表中空缺的部分：
多面体
顶点数
面数
棱数
四面体
4
4
六面体
8
6
八面体
8
12
十二面体
12
30
通过填表发现：顶点数
、面数
和棱数
之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学
家欧拉（
，
）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式；
探究应用：
（2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱；
（3）已知一个多面体有16 个顶点，并且过每个顶点都有3 条棱，求这个多面体的面数．
多面体
顶点数
面数
棱数
四面体
4
4
6
六面体
8
6
12
八面体
6
8
12
十二面体
20
12
30
多面体
顶点数
面数
棱数
四面体
4
4
6
六面体
8
6
12
八面体
6
8
12
十二面体
20
12
30
