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专项训练04 线段上的动点问题
【知识点1 线段上的动点问题】
1. 动点位置的表示（含时间参数）
- 基本公式：点P 从端点A 出发，速度为v，运动时间为t：
- 向端点B 运动：AP = vt，PB = AB - vt。
- 若从B 向 A 运动：BP = vt，PA = AB - vt 。
- 关键：动点位置常用“到某个端点的距离”或“剩余距离”表示。
- 多动点：分别用含 t 的式子表示各自的位置（用距离或比例）。
2. 核心等量关系：距离与比例
- 距离相等：如AP = PB（中点），列方程 vt = AB - vt 。
- 距离和/差为定值：如AP + PB = AB（恒成立，无新信息）； AP - PB = d （需讨论P 的位置）。
- 比例关系：如 AP : PB = m : n ，列比例方程
vt
AB − vt = m
n 。
- 折返问题：点到达端点后折返，用分段函数表示位置（如先到B 再返回A ）。
3. 分类讨论与多解验证
- 位置不确定：点P 可能在端点之间，也可能在端点处，需分情况讨论（如AP > PB 或AP < PB）。
- 绝对值方程：若无法确定左右位置，用绝对值表示距离，解出多个t 后需验证是否在运动时间范围内。
- 多动点相遇：多个动点同时运动，相遇条件为位置相同，但需注意相遇时是否仍在线段上。
【题型1 线段上含动点求线段长问题】
1．已知：M 是线段
上一定点，C，D 两点分别从M，B 出发以
，
的速度沿直线
向A，M
运动，运动方向如箭头所示．
(1)若
，当点C，D 运动2 秒时，求
的值．
(2)若C，D 运动时，总有
，则
____________
(3)在（2）的条件下，N 是直线
上一点，且
，
的值为__________．
2．琪琪在学习了比较线段的长短时对下面问题产生了探究的兴趣．
如图1，图2，点C 在线段
上，M，N 分别是
，
的中点．若
，
，求
的长．
(1)根据题意，琪琪求得
；
(2)琪琪在求解（1）的过程中，发现
的长度具有一个特殊规律，于是她先将题中的条件一般化，并开
始深入探究．
已知
，C 是线段
上任意一点（不与点A，B 重合），琪琪提出了如下三个问题，请你帮助琪琪解
答：
如图
①
1，M，N 分别是
，
的中点，则
；
如图
②
2，M，N 分别为靠近A、B 的
，
的三等分点，即
，
，求
的长；
若
③
M，N 分别为靠近A、B 的
，
的n 等分点，即
，
，则
．
【题型2 线段上含动点求定值问题】
3．已知线段
，
，线段
在直线
上运动(点A 在点 B 的左侧，点C 在点D 的左侧)，且
．
(1)求线段
，
的长；
(2)若点 M，N 分别为线段
，
的中点，
，求线段
的长；
(3)当
运动到某一时刻时，点D 与点 B 重合，P 是线段
延长线上任意一点，有下列两个结论：①
是定值， ②
是定值，请选出正确的结论并求出该定值．
4．如图线段
，动点
从点
出发，以
个单位长度/秒的速度沿射线
运动，点
为线段
的
中点，点
为线段
的中点，设运动时间为．
(1)当点
在射线
上运动时，
当
①
时，线段
的长度为________；
线段
②
的长度为________．
(2)当点
在线段
上运动时，下列
个结论中：①
为定值；②
为定值．正确的结论
是________，说明理由并求其值．
(3)若动点
出发时，动点
也同时从点
出发，以个单位长度/秒沿射线
运动．
是否存在
最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【题型3 线段上含动点求时间问题】
5．如图，已知点
在线段
上，
，
．点
，点
在直线
上，满足
，且点
在点
的左侧．
(1)当
为
中点时，求
的长；
(2)点F（异于A，B，C 三点）在线段
上，
，
，求
的长；
(3)若点D 从点
处出发，以3 个单位长度/秒的速度沿线段
向右运动，点
随之向右运动，设运动时间
为秒，求出当点
或点
三等分线段
时的值．
6．如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P 以0.5cm/s 的速度从点A 沿线段AC 向点C 运动；同时点Q
以1cm/s 从点C 出发，在线段CB 上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P 运动到点C 时，
点P、Q 都停止运动，设点P 运动的时间为t 秒．
(1)当t＝1 时，PQ＝ cm；
(2)当t 为何值时，点C 为线段PQ 的中点？
(3)若点M 是线段CQ 的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM 的长度保持不变？如果存
在，求出PM 的长度；如果不存在，请说明理由．
【题型4 线段上含动点的新定义型问题】
7．综合与探究：
在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究．定义：
点
在线段
上，若
或
，则称点
是线段
的“优点”，线段
，
称作互为
“优点”伴侣线段．
(1)观察判断
如图1，点
为线段
的“优点”．
若
①
，则
_____；
若点
②
也是线段
的“优点”（不同于点
），则
_____
（填“＝”或“ ”）；
≠
(2)性质探究
如图2，在原点为
的数轴上有
两点，其中
点表示的数为1，
点表示的数为4．若点
在点
的
左侧，且
均为线段
的“优点”，求线段
的长；
(3)拓展应用
在（2）的探究中，若点
在线段
的延长线上，且线段
与
互为“优点”伴侣线段，求点
表示
的数．
8．对于数轴上A，B，M，N 四点，给出如下定义：当点M 在线段
上（不与点A，B 重合），
称为点M 关于线段
的“内差距”；当点N 在线段AB 外，
称为点N 关于
线段
的“外差距”．
如图，点A 表示的数为
，点B 表示的数为4．若点M 表示的数为
，则“内差距”
；若点N 表示
的数为5，则“外差距”
．
(1)已知点A 表示的数为
，点B 表示的数为3．
若点
①
M 关于线段
的“内差距”
，求证：点M 是线段AB 的中点；
若点
②
M 表示的数为m，点M 关于线段
的“内差距”为
，点N 关于线段
的“外差距”为
，且
，求m 的值；
(2)点A 表示的数为x，
，点Q 关于线段
的“外差距”
，原点O 关于线段
的“内差
距”
，若
，求点Q 表示的数．
1．已知点M 是线段AB 上一点，若
，点N 是直线AB 上的一动点，且
，则
的（ ）
A．
B．
C．1 或
D．
或2
2．如图，已知A，B（B 在A 的左侧）是数轴上的两点，点A 对应的数为4，且
，动点P 从点A 出
发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P 的运动过程中，M，N 始终为AP，BP 的中点，
设运动时间为
秒，则下列结论中正确的有（ ）
①B 对应的数是2；
点
②
P 到达点B 时，
；③
时，
；
在点
④
P 的运动过程中，线段MN 的
长度不变．
A．①③④
B．②③④
C．②③
D．②④
3．已知线段
，动点P 从点A 出发，以每秒
的速度沿
向右运动，同时，动点Q 从点B 出
发，以每秒
的速度沿
向左运动，设运动时间为t 秒
．在整个运动过程中，请你用t 的式子
表示线段
的长
．
4．数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三
点满足“中点关系”．已知，如图点
，
表示的数分别为
，
，点
为数轴上一动点．若
，
，
三点满足“中点关系”时，则点
表示的数为 ．
5．如图，已知数轴上点A 表示的数为4，点B 表示的数为1，C 是数轴上一点，且
．动点P 从点B
出发，以每秒6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为
秒．
(1)直接写出数轴上点C 表示的数；
(2)当点C 在数轴的负半轴上时，用含t 的代数式表示线段
的长度；
(3)当点C 在数轴的负半轴上时，设M 是
的中点，N 是
的中点，点P 在运动过程中，线段
是否
发生变化?若有变化，请说明理由；若不变，请求出
的长度．
6．如图，数轴上点A 表示的数为
，点B 表示的数为7，动点C 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速
度沿数轴向右匀速运动，同时动点D 从点B 出发，以每秒1 个单位长度的速度向左匀速运动．设点C 运动
时间为t 秒
．
(1)①
两点之间的距离为_______，线段
的中点表示的数为_______．
用含
②
t 的代数式表示：t 秒后，点C 表示的数为_______，点D 表示的数为_________．
(2)当
时，描述C、D 两点的位置关系．
(3)点C 运动4 秒后，动点E 从点B 出发，以每秒5 个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：
的
值是否随着时间t 的变化而变化？请说明理由．
7．如图，O 为数轴的原点，
，
，O 为
的中点，C 为
的中点．
(1)求
的长度；
(2)若动点P 从点C 出发，以每秒2 个单位长度的速度向左匀速运动，同时，动点Q 从O 出发，以每秒1 个
单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t 秒
，当t 满足什么条件时，
有最小值，并
求出该最小值．
8．综合与探究
问题情境
数学活动课上，老师展示了一个问题：如图，已知数轴上点O 为原点，A、B 两点所表示数分别为
和
8．
实践探究
(1)线段
的长为________；
(2)动点P 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为
秒，
当
①
时，线段
________，线段
________，点P 表示的数为________；（用含t 的代数式
表示）
若点
②
M 是线段
的中点，点N 是线段
的中点，当动点P 在（2）条件下运动时，线段
的长度是
否与点P 的运动时间t 有关．若有关，请求出线段
的长度与t 的关系式；若无关，请说明理由，并求出
线段
的长度．
1．如图
，点
①
在线段
上，图中共有三条线段
、
和
，若其中有一条线段的长度是另外一条
线段长度的
倍，则称点
是线段
的“奇点”．
【新知理解】
（1）线段的中点________这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”）
【问题解决】
（2）若点
和点
在数轴上表示的数分别是
和
，点
是线段
的“奇点”，求点
在数轴上表示
的数．
【应用拓展】
（3）如图
，已知
②
．动点
从点
出发，以
的速度沿
向点
匀速移动；点
从点
出发，以
的速度沿
向点
匀速移动，点
、
同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设
移动的时间为
．当点
是线段
的“奇点”时，直接写出运动时间的所有可能值．
2．如图
，点
①
M 是线段
上任意一点，图中共有三条线段
和
，若其中的两条较短线段中有
一条线段的长度是另外一条线段长度的2 倍，则称点M 是线段
的“友好点”．
(1)若
，点M 是线段
上靠近点A 的“友好点”，求
的长；
(2)如图
，若
②
，点M 是线段
的“友好点”，点N 是线段
的中点，则
__________
；
(3)如图
，已知
③
，动点P 从点A 出发，以
速度沿
向点B 匀速移动，点
从点B 出发，
以
的速度沿
向点A 匀速移动，点
同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时
间为t，请求出t 为何值时，
三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”．
3．如图，已知数轴上原点为
，点
表示的数为
，点
表示的数为
，且
满足
．
动点
从点
出发，以每秒
个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为
秒．
(1)写出数轴上点
表示的数是____________，点
表示的数是___________，点
表示的数是___________
（用含的式子表示）；
(2)设点
是
的中点，点
是
的中点．点
在直线
上运动的过程中，线段
的长度是否会发生
变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段
的长度．
(3)动点
从点
出发，以每秒
个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点
从点
出发，以每秒个
单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点
同时出发；若点
间的距离记为
，点
间的距
离记为
，是否存在一个数
，使得
的值与无关？若存在，请求出
的值；若不存在，请说明
理由．
4．定义：若点
，
，
在同一直线上，且
，则
．例如
，
，则
．
(1)如图1，
为数轴的原点，点
，
表示的数分别为
和
，则
_______．
(2)如图2，已知线段
，点
从点
出发向右运动，点
从点
出发向左运动，若点
运动速度为
，点
的运动速度为
．设运动时间为．
请用含有
①
的代数式分别表示
和
．
当
②
为何值时，
．
若线段
③
的中点为
，直接写出
时的值．
5．定义：在同一直线上有
三点，若点
到
两点的距离呈2 倍关系，即
或
，
则称点
是线段
的“倍距点”．
(1)线段
的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”）
(2)已知
，点
是线段
的“倍距点”，直接写出
．
(3)如图1，在数轴上，点
表示的数为2，点
表示的数为20，点
为线段
中点．
现有一动点
①
从原点O 出发，以每秒2 个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒
，求
当为何值时，点
为
的“倍距点”？
现有一长度为
②
2 的线段
（如图2，点
起始位置在原点），从原点O 出发，以每秒1 个单位的速度
沿数轴向右匀速运动．当点
为
的“倍距点”时，请直接写出的值．
