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第四章基本平面图形单元自测卷
【新教材，北师大版】
（考试时间：90 分钟
试卷满分：120 分）
考前须知：
1．本卷试题共24 题，单选10 题，填空6 题，解答8 题，满分120 分，限时90 分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．利用隧道把弯曲的公路改直，就能缩短两地的路程，这其中蕴含的数学道理是（
）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．直线没有端点
D．两点确定一条直线
【答案】A
【分析】本题主要考查两点之间线段最短的性质，弯曲公路改直缩短路程，正是应用了这一性质．
【详解】解：∵两点之间，线段最短，
∴将弯曲公路改直后，路程缩短，这体现了“两点之间，线段最短”的道理．
故选：A．
2．将一副直角三角板如图摆放，45角的顶点与60角的顶点重合，且
90
CBD
，则
ABE
的度数为（
）
A．10
B．15
C．20
D．25
【答案】B
【分析】先根据
CBD
EBD
求出
30
CBE
，再根据
ABE
ABC
CBE
求解即可．
【详解】解：
90
CBD
，
60
EBD
，
90
60
30
CBE
CBD
EBD
，
45
ABC
，
45
30
15
ABE
ABC
CBE
．
3．如图，点O为直线AB 上一点，过点O作射线OC ，OM ，ON ，且ON 始终在OM 的右侧，若OM 平分
BOC
，
112
BOC
，
70
MON
，则
BON
的度数为（
）
2 / 19
A．14
B．16
C．24
D．28
【答案】A
【分析】利用角平分线定义求出
BOM
，再通过角的和差计算
BON
即可．
【详解】解：∵
112
BOC
，OM 平分
BOC
，
∴
1
56
2
BOM
BOC
．
∵
70
MON
，
∴
14
BON
MON
BOM
．
4．如图，
12cm
AB
，C 为AB 的中点，点D 在线段AC 上，且
:
1:3
AD CB
，则DB的长度是（
）
A．4cm
B．6cm
C．8cm
D．10cm
【答案】D
【分析】根据中点的定义，求出AC 、BC 的长，再根据题意求出AD ，结合图形计算即可．
【详解】解：∵
12cm
AB
，C 是AB 中点，
∴
1
6
2
AC
BC
AB
cm ，
又∵
:
1:3
AD CB
，
∴
2 cm
AD
，
∴
10
DB
AB
AD
cm ．
5．下列换算中，正确的是（
）
A．83.5
83 50
B．57.28
57 16 48
C．19 5 24
19 9
．
D．0.25
1500
【答案】B
【分析】度、分、秒之间进率为60，即1
60
，1
60
，1
3600
，根据换算规则逐一计算各选项即可
得到答案．
【详解】解：对A 选项：
83.5
83
0.5 60
83 30
83 50
，故A 错误；
对B 选项：
57.28
57
0.28 60
57
16.8
'
57 16
0.8 60
57 16 48
，故B 正确；
对C 选项：19 5 24
3 / 19
19
5
24
60
19
5.4
19
5.4
60
19.09
19.9
，故C 错误；
对D 选项：0.25
0.25 3600
900
1500
，故D 错误．
6．如图，在学校图书馆O 处观测到，物理实验室A 位于点O 的北偏东52.5的方向，教学楼B 位于点O 的
南偏西15 12
的方向，则
AOB
的度数为（
）
A．67 42
B．142 42¢
°
C．143 42
D．156 18
【答案】B
【分析】把52.5换成
'
52 30
，结合图形，角度的和差计算即可求解．
【详解】解：
'
'
52.5
52
0.5 60
52 30
，
∴
'
'
'
'
'
90
52 30
90
15 12
37 30
90
15 12
142 42
AOB
．
7．如图，点C，D 把线段AB 三等分，点P 是线段BD 上一点，且AC
BP
CP
，AP
CD
mBP
，则（
）
A．
1
m
B．
2
m
C．
3
m
D．
4
m
【答案】C
【分析】本题考查了线段的和差关系，线段三等分点的定义等知识，根据线段三等分点的定义得出
AC
CD
BD
，由AC
BP
CP
，CP
CD
DP
可求出BP
DP
，则
2
BD
BP
，结合AP
CD
mBP
，
2
AP
AC
CD
DP
BD
BP
，即可求解．
【详解】解：∵点C，D 把线段AB 三等分，
∴AC
CD
BD
，
∵AC
BP
CP
，CP
CD
DP
，
∴AC
BP
CD
DP
，
∴BP
DP
，
∴
2
BD
BP
，
∵AP
CD
mBP
，
2
AP
AC
CD
DP
BD
BP
，
∴BD
BP
mBP
∴2BP
BP
mBP
，
4 / 19
∴
3
m
，
故选：C．
8．如图，点G 是正六边形ABCDEF 边BC 上一点，将正六边形ABCDEF 沿FG 折叠，使点A 的对应点A落
在对角线DF 上，点B 的对应点落在B处，则
B GC
（
）
A．15
B．20
C．25
D．30
【答案】D
【分析】先求出正六边形的每个内角，再求出
A FA
、
B GB
的度数，最后根据平角解答即可．
【详解】解：
六边形ABCDEF 是正六边形，
正六边形的每个外角
360
6
60
，每个内角
180
60
120
，
120
E
EFA
A
B
，
ED
EF
，
180
120
30
2
EFD
，
120
30
90
A FA
，
由题意可得：
120
A
FA B
B
B
，
6
2
180
720
120
4
90
150
BGB
A
FA B
B
B
A FA
，
180
150
30
B GC
．
9．如图，已知直线AB 和CD相交于点O，
COE
是直角，OF 平分
AOE
，
34
COF
，则
BOD
的度
数为（
）
A．22
B．34
C．44
D．56
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据题意可得
90
COE
EOD
，
1
2
AOF
FOE
AOE
，再根据角的和差可得
34
COF
，
2
2 56
112
AOE
FOE
，结合平角
180
EOB
AOE
，即可求得
90
BOD
EOB
．
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【详解】解：∵
COE
是直角，OF 平分
AOE
，
∴
90
COE
EOD
，
1
2
AOF
FOE
AOE
，
∵
34
COF
，
∴
90
34
56
FOE
COE
COF
，
∴
2
2 56
112
AOE
FOE
，
∴
180
180
112
68
EOB
AOE
，
∴
90
22
BOD
EOB
，
故选：A．
10．如图，数轴上O，A 两点的距离为24 ，一动点P 从点A 出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO 的中
点
1A 处，第2 次从
1A 点跳动到
1AO 的中点
2
A 处，第3次从
2
A 点跳动到
2
A O 的中点
3
A 处．按照这样的规律继
续跳动到点
4
A ，
5
A ，
6
A ，…，
n
A （
3
n
，n 是整数）处，问经过这样2026 次跳动后的点
2026
A
与原点的距
离是（
）
A．
2024
1
3
2
B．
2023
1
3
2
C．
2022
1
3
2
D．
2021
1
3
2
【答案】B
【分析】本题主要考查了与数轴有关的规律题型，根据O，A 两点的距离为24 ，
1A 与点O的距离是24
2 ，
2
A
到点O的距离是24
4 ，得出规律
n
A 到点O的距离是24
2n ，即可解答．
【详解】由题知，因为数轴上O，A 两点的距离为24 ，
因为点
1A 为AO 的中点，所以点
1A 与点O的距离是
1
24
2
；
因为点
2
A 为
1AO 的中点，所以点
2
A 到点O的距离是
2
1
1
1
24
24
2
2
2
；
依次类推，点
3
A 到点O的距离是是
2
3
1
1
1
24
24
2
2
2
；
点
4
A 到点O的距离是
3
4
4
1
1
1
24
24
24
2
2
2
2
；
所以点
n
A 到点O的距离是24
2n ，
当
2026
n
时，点
2026
A
与点O的距离是
2026
3
2023
2023
2023
24
3 8
3
1
3
2
2
2
2
2
，
故答案为：B ．
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二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．如图，从一艘船上测得灯塔方向是北偏西48，那么这艘船在这个灯塔的________方向．
【答案】南偏东48
【详解】解：如图，由于船上测得一个灯塔的方向是北偏西48，
那么这艘船在这个灯塔的南偏东48．
12．18.23____________ ' ______ '' ．
【答案】
18
13
48
【详解】解：0.23
60
13.8
，
''
0.8
60
48
，
则
'
''
18.23
18 1348
．
13．如图，线段
20cm
AB
，点C 为线段AB 上一点，
6cm
BC =
，点D，E 分别为AC 和AB 的中点，则线段
DE 的长为_____cm．
【答案】3
【分析】利用线段中点的含义及线段的和差运算即可求解．
【详解】解：∵
20cm
AB
，
6cm
BC =
，
∴
20
6
14 cm
AC
AB
BC
，
∴点D，E 分别为AC 和AB 的中点，
∴
1
7cm
2
AD
AC
，
1
10cm
2
AE
AB
，
∴
10
7
3 cm
DE
AE
AD
．
14．一副三角板如图摆放，其中
90
AOC
BOD
，
45
D
，OA 与BD 相交于点E，若
120
COD
，
则
DEO
的度数为__________．
7 / 19
【答案】105
【分析】先根据已知条件求出
DOE
的度数，再利用三角形内角和定理求出
DEO
的度数即可．
【详解】解：∵
=90
AOC
，
120
COD
，
∴
30
DOE
COD
AOC
，
又∵
45
D
，
∴
180
105
DEO
D
DOE
．
15．如图，已知A，B（B 在A 的左侧）是数轴上的两点，点A 对应的数为4，且
6
AB
，动点P 从点A 出
发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P 的运动过程中，M，N 始终为
,
AP BP 的中点，设
运动时间为(
0)
t t
秒，则下列结论中正确的有________________．
①B 对应的数是2；②点P 到达点B 时，
3
t
；③
2
BP
时，
2
t
；④在点P 的运动过程中，线段MN 的
长度不变．
【答案】②④/④②
【分析】先求出点B 对应的数，可判断①；再求出
3
t
时对应的点P 的位置即可判断②；分两种情况，点P
在点B 的右侧，点P 在点B 的左侧，由题意求出AP 的长，再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，
点P 在点B 的右侧，点P 在点B 的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可判断④．
【详解】解：∵点A 对应的数为4，且
6
AB
，B 在A 的左侧，
∴点B 对应的数是4
6
2
，故①错误；
由题意得：4
2 3
2
，
∴
3
t
时，点P 到达点B ，故②正确；
分两种情况：当点P 在点B 的右侧，
6,
2
AB
BP
，
6
2
4
AP
AB
BP
，
4
2
2
，
2
BP
时，
2
t
；
当点P 在点B 的左侧，
6,
2
AB
BP
，
6
2
8
AP
AB
BP
，
8
2
4
，
8 / 19
2
BP
时，
4
t
，
综上所述，
2
BP
时，
2
t
或4，故③错误；
分两种情况：当点P 在点B 的右侧，
∵
,
M N 分别为
,
AP BP 的中点，
1
1
,
2
2
MP
AP NP
BP
，
1
1
1
1
3
2
2
2
2
MN
MP
NP
AP
BP
AP
BP
AB
，
当点P 在点B 的左侧，
∵
,
M N 分别为
,
AP BP 的中点，
∴
1
1
,
2
2
MP
AP NP
BP
，
1
1
1
1
3
2
2
2
2
MN
MP
NP
AP
BP
AP
BP
AB
，
∴在点P 的运动过程中，线段MN 的长度不变，故④正确．
所以，上述结论中正确的是②④．
16．如图，直线MN 上有一点O，作射线OP ，使得
126
MOP
，在同一平面内将一个直角三角尺的直角
顶点放在点O 处，
90
AOB
，若OB 始终在
PON
的内部，则
AOP
BON
______．
【答案】36
【分析】由角的和差得
AOP
MOP
AOM
，由补角的定义得
180
BON
AOB
AOM
，即可求
解．
【详解】解：因为
AOP
MOP
AOM
126
AOM
，
180
BON
AOB
AOM
180
90
AOM
90
AOM
，
所以
AOP
BON
126
90
AOM
AOM
36
．
三、解答题（第17--第22 题，每题8 分；第23，24 题，每题12 分；共8 小题，共72 分）
9 / 19
17．计算：
(1)131 28
32 15
；
(2)58 38 27
47 42 40
．
【答案】(1)130 55 45
(2)106 21 7
【分析】本题考查了角度的和差计算，度分秒的换算．
（1）根据度分秒的计算方法进行计算即可；
（2）根据度分秒的计算方法进行计算即可．
【详解】（1）解：131 28
32 15
130 87 60
32 15
130 55 45
；
（2）解：58 38 27
47 42 40
105 80 67
106 21 7
．
18．如图，已知P、M、N 三点，按下面要求画出图形；
(1)画射线NP ；
(2)画直线MP ；
(3)连接MN ，并延长MN 至点R，使NR
MN
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）解：如图所示．
（2）解：如图所示．
10 / 19
（3）解：如图所示．
19．如图，C 是线段AB 的中点，D 是线段AB 的三等分点且在点C 的左侧．
(1)若线段AB 的长为30，求线段CD的长．
(2)设线段AB 的长为a ，若F 是直线AB 上一点，且
7
3
AF
BF
a
，求线段DF 的长．
【答案】(1)5．
(2)
4
3
DF
a
或DF
a
．
【分析】本题主要考查了线段的中点、三等分点的定义及线段的和差计算，熟练掌握线段的延长线分类讨
论，结合线段间的数量关系分析计算是解题的关键．
（1）先根据中点和三等分点的定义，分别求出AC 、AD 的长度，再用AC 减去AD 得到CD的长．
（2）先根据
7
3
AF
BF
a
判断F 在AB 延长线上，分F 在A 左侧、F 在B 右侧两种情况，结合AD 的长度，
利用线段和差计算DF 的长．
【详解】（1）解：∵C 是AB 的中点，
30
AB
，
∴
1
1
30
15
2
2
AC
AB
．
∵D 是AB 的三等分点且在C 左侧，
∴
1
1
30
10
3
3
AD
AB
．
∴
15 10
5
CD
AC
AD
．
（2）解：∵AB
a
，若F 在AB 上，则AF
BF
AB
a
，而
7
3
AF
BF
a
a
，
∴F 在线段AB 的延长线上或F 在线段BA 的延长线上．
情况1：F 在B 的右侧时，
∵D 是AB 的三等分点，
∴
1
3
AD
a
．
设BF
x
，则AF
AB
BF
a
x
，
11 / 19
∴
7
3
AF
BF
a
x
x
a
，
解得
2
3
x
a
，即
2
3
BF
a
．
∴
2
5
3
3
AF
a
a
a
．
∴
5
1
4
3
3
3
DF
AF
AD
a
a
a
．
情况2 ：F 在A 的左侧
设AF
y
，则BF
AB
AF
a
y
，
∴
7
3
AF
BF
y
a
y
a
，
解得
2
3
y
a
，即
2
3
AF
a
．
∴
2
1
3
3
DF
AF
AD
a
a
a
．
综上，
4
3
DF
a
或DF
a
．
20．如图，A 、O、B 在一条直线上，已知OD 平分
BOC
，OE 是
COD
内部的一条射线．
(1)若
60
BOD
，
35
DOE
，求
COE
的度数；
(2)若
80
AOE
，
2
DOE
COE
，求
BOD
的度数．
【答案】(1)25
(2)60
【分析】（1）根据角平分线的定义得
60
COD
BOD
，进而根据
COE
COD
DOE
，即可求解；
（2）根据设
COE
x
，则
2
DOE
x
，
3
COD
x
，根据角平分线的定义得
6
BOC
x
∠
，
3
BOD
x
，
由
80
AOE
得
80
AOC
x
Ð
=
°-
，根据
180
AOC
BOC
列方程，求出x 后即可求解．
【详解】（1）解：
OD 平分
BOC
，
60
BOD
，
60
COD
BOD
，
又
35
DOE
，
60
35
25
COE
COD
DOE
；
（2）解：设
COE
x
，则
2
DOE
x
，
2
3
COD
COE
DOE
x
x
x
，
12 / 19
OD 平分
BOC
，
2
6
BOC
COD
x
Ð
=
Ð
=
，
3
BOD
COD
x
Ð
= Ð
=
，
80
AOE
，
80
AOC
AOE
COE
x
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
，
180
AOC
BOC
，
80
6
180
x
x
°-
+
=
°，
解得
20
x
，
3
60
BOD
x
．
21．如图所示，将一副三角板的直角顶点O重合叠放在一起．
(1)如图1 若
50
BOD
，求
AOC
的度数；若
135
AOC
，求
BOD
的度数；
(2)如图2 若
145
AOC
，求
BOD
的度数；
(3)猜想
AOC
与
BOD
的数量关系，并结合图1 说明理由．
【答案】(1)
130
AOC
，
45
BOD
(2)35
(3)
180
AOC
BOD
，理由见解析
【分析】（1）利用角的和差进行求解；
（2）利用角的和差进行求解；
（3）利用角的和差进行证明．
【详解】（1）解：
90
COD
，
90
BOA
，
50
BOD
，
90
90
50
130
AOC
COB
BOA
BOD
；
135
AOC
，
90
90
135
45
BOD
COD
BOA
AOC
；
（2）解：
145
AOC
，
360
D
A
AO
C
BOD
B
O
OC
360
90
90
145
35
；
（3）解：
180
AOC
BOD
，理由如下，
AOC
COD
BOA
BOD
90
90
BOD
180
BOD
，
13 / 19
180
AOC
BOD
．
22．小华为一个长方形休闲场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方
都是绿地．如果这个休闲场所需要有一半以上的绿地，并且游泳区的长与宽之间满足
3
2
a
b
．
(1)游泳区的面积为______，休息区的面积为______；（用含b 的代数式表示）
(2)小华的设计方案符合要求吗？请说明理由；
(3)当
20m
b
时，绿地的面积为______
2
m ．（π取3）
【答案】(1)
2
3
2 b ，
2
π
8
b
(2)小华的设计方案符合要求，理由见解析
(3)1650
【分析】本题考查了列代数式、整式的加减、求差法比较大小，关键是利用求差比较法比较大小；
（1）根据矩形及半圆的面积公式表示即可；
（2）比较绿地面积与休闲场所的面积的一半作比较即可得出结论；
（3）把
20
b
代入绿地面积的代数式即可．
【详解】（1）解：游泳区：
2
3
3
2
2
ab
b b
b
，
休息区：
2
2
1
1
1
2
2
8
b
b
；
故答案为：
2
3
2 b ，
2
π
8
b ；
（2）答：符合，理由如下：
休闲场所面积为：
2
3
2
2
4
4
6
2
a
b
ab
b b
b
，
绿地面积：
2
2
2
2
2
3
9
6
2
8
2
8
b
b
b
b
b
，
∵
2
2
2
2
9
1
3
6
0
2
8
2
2
8
b
b
b
b
，
∴绿地面积大于休闲场所的一半面积，
即：符合要求；
14 / 19
（3）解：当
20
b
时，
2
2
2
2
9
9
3
20
20
1650
2
8
2
8
b
b
，
故答案为：1650．
23．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我
们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1: 2的两个角的射线，叫做这个角的三分线；
从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1:3 的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分
线、四分线都有两条．例如：如图1，若
2
BOC
AOB
，则OB 是
AOC
的一条三分线；若
2
AOD
COD
，
则OD 是
AOC
的另一条三分线．
(1)如图2，OB 是
AOC
的三分线，
BOC
AOB
，若
60
AOC
，则
AOB
；
(2)如图3，
120
DOF
，OE 是
DOF
∠
的四分线，DOE
EOF
，过点O 作射线OG ，当OG 刚好为
DOE
的三分线时，求
GOF
的度数；
(3)如图4，
120
AOD
，射线OB
OC
、
是
AOD
的两条三分线，将射线OB
OC
、
同时绕点O 沿顺时针方
向旋转
0
180
，在旋转的过程中，若射线OB
OC
OD
、
、
中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹
角的四分线，请直接写出的值．
【答案】(1)20
(2)60或90
(3) 80
3
或50或70或280
3
【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，掌握角的三分线、四分线的定义以及分类
讨论思想是解题的关键．
（1）根据三分线的定义求解即可；
（2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分两种情况求解即可；
（3）根据四分线的定义分四种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵OB 是
AOC
的三分线，
BOC
AOB
，若
60
AOC
，
∴
1
1
60
20
3
3
AOB
AOC
．
故答案为：20．
（2）解：∵
120
DOF
，OE 是
DOF
∠
的四分线，
DOE
EOF
，
3
90
4
DOE
DOF
，
∵OG 是
DOE
三分线，
15 / 19
∴①如图：当
DOG
GOE
时，
2
60
3
DOG
DOE
，
120
60
60
GOF
DOF
DOG
；
②如图：当
DOG
GOE
时，
1
30
3
DOG
DOE
，
120
30
90
GOF
DOF
DOG
．
综上，
GOF
的度数为60或90．
（3）解：∵
120
AOD
，射线OB 、OC 是
AOD
的两条三分线
∴
1
40 ,
40
3
AOB
COD
AOD
BOC
AOD
AOB
COD
，
①如图，当OC 是
BOD
的四分线时，
3
4
BOC
BOD
，
∴
3
40
4
BOD
，解得：
160
3
BOD
，
∴
40
3
COD
BOD
BOC
，
∴
40
80
3
3
40
；
②如图，当OD 是
BOC
的四分线且
BOD
COD
时，
∴
1
10
4
COD
BOC
，
16 / 19
∴
40
10
50
；
③如图，当OD 是
BOC
的四分线且
BOD
COD
时，
∴
3
30
4
COD
BOC
，
∴
40
30
70
；
④如图，当OB 是
COD
的四分线时，
3
4
BOC
COD
，
∴
3
40
4
COD
，解得：
160
3
COD
，
∴
160
280
40
3
3
．
∴的值为80
3
或50或70或280
3
．
24．A、D 两地相距150km，B 地位于A、D 之间．
(1)如图1，若M 地恰好位于A
B
，中点处，N 地恰好位于B D
、中点，求M
N
、
两地之间的距离．
(2)如图2，已知B
C
，
两地相距20km
P
，
地恰好位于A
C
，
中点处，Q 地恰好位于B
D
，
中点，求P
Q
，
两地
之间的距离．
(3)若AB 两地相距50km ，在（2）的条件下，甲从P 地出发，以5km / h 的速度步行去C 地，甲中途不休息．与
17 / 19
此同时，乙从Q 地出发，以15km / h 的速度骑车去B 地，B 地休息2 小时后以原速返回Q 地，到达Q 地后停
止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为
h
t
，两人相距5km 时，求出满足条件的t 的值．
【答案】(1)75km
(2)65km
(3)
3
t
或
4
t
或
6
t
或
7
t
【分析】本题考查了线段中点的性质、线段的和差计算，以及动态行程问题中的方程思想．掌握中点公式
的运用，并能根据运动过程的不同阶段（相遇前、相遇后、追及等）准确建立方程是解题的关键．
（1）直接利用M、N 分别为AB 和BD 中点的条件，将MN 的长度表示为MB 与BN 之和，再通过等量代换
转化为AD 的一半，即可求解；
（2）本问在（1）的基础上增加了线段BC ，解题关键在于将PQ的长度通过中点公式转化为PC 与BQ 之和，
并注意减去重叠部分BC ，经过代数化简最终得到
1
1
2
2
PQ
AD
BC
；
（3）本问为综合行程问题．核心是根据甲、乙不同的运动阶段（相向而行、相遇后、乙在B 地休息后返回）
及甲先到达终点C 的情况，分类讨论两人相距5km 的条件．需分别针对“未相遇”、“已相遇”、“乙返回后未
追上甲”及“乙返回后追上甲”等多种情形建立方程求解，并检验解是否符合对应阶段的时空范围．
【详解】（1）解：∵M 地恰好位于A、B 中点处，
∴
1
2
AM
MB
AB
，
∵N 地恰好位于B、D 中点，
∴
1
2
BN
ND
BD
，
∴
1
1
1
1
1 150
75
2
2
2
2
2
MN
MB
BN
AB
BD
AB
BD
AD
（km ），
故答案为：75km．
（2）解：∵P 地恰好位于A、C 中点处，
∴
1
2
AP
PC
AC
，
∵Q 地恰好位于B、D 中点，
∴
1
2
BQ
QD
BD
，
∴PQ
PC
BQ
BC
，
∴
1
1
2
2
PQ
AC
BD
BC
，
∴
1
2
PQ
AC
BD
BC
，
∴
1
2
PQ
AD
BC
BC
，
18 / 19
∴
1
1
2
2
PQ
AD
BC
，
又∵
150
AD
，
20
BC
∴
1
1
1
1
150
20
75 10
65
2
2
2
2
PQ
AD
BC
（km ）．
故答案为：65km ．
（3）解：∵甲从P 地出发，以5km / h 的速度步行去C 地，
∴甲走的路程为5t ，
∵乙从Q 地出发，以15km / h 的速度骑车去B 地，
∴乙走的路程为15t ，
①若甲乙未碰面，
则有5
15
5
65
t
t
解得
3
t
若甲乙已经碰面，
∵AB 两地相距50km ，
即
50
AB
，
∴
150
50
100
BD
AD
AB
，
∴
1
1 100
50
2
2
BQ
QD
BD
，
∴
1
1
1 50
20
35
2
2
2
PC
AC
AB
BC
，
∴甲从P 地走到C 地用时为35 5
7
（h），
∴乙从Q 地走到B 地用时为
10
50 15
3
（h ），
②
则有5
15
5
t
解得
4
t
；
③若乙从B 地再出发后未追上甲，
10
5
15 15
2
5
3
t
t
，
解得：
6
t
；
④若乙从B 地再出发后追上甲，甲乙之间相距5km ，
即
10
15 15
2
5
5
3
t
t
，
解得：
7
t
，
综上所述，当
3
t
或
4
t
或
6
t
或
7
t
时，两人相距5km ．
19 / 19
