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暑假收心卷 01
（考试时间：90 分钟 试卷满分：120 分）
训练范围：新教材，北师大版七年级上册第一~六章。
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．下列几何体中，不含曲面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据曲面和平面的定义，结合各个几何体的特点求解即可．
【详解】解：球，圆锥，圆柱均含曲面，正方体不含曲面，故选B．
2．中国是世界上最早提出和采用“正负数表示相反意义的量”的国家，关于正负数的记载最早见于公元
一世纪的中国古代数学著作《九章算术》中，比欧洲早一千余年．如果将“收入25 元”记作“
元”，
那么“支出51 元”记作（ ）
A．
元
B．
元
C．
元
D．
元
【答案】D
【详解】解：∵“收入25 元”记作“
元”，收入与支出是相反意义的量，
∴支出需要用负数表示，
∴支出
元记作
元．
3．有下列各数1
2，10，3.14，
，0，
，
，
，其中属于非负整数的共有（ ）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
【答案】B
【分析】先明确非负整数的定义是0和正整数，将题目中需要化简的数化简后，逐一判断即可统计出符合
要求的数的个数．
【详解】解：∵非负整数包含0和正整数，
先化简各数：
，
，
，
∴属于非负整数的数为10，0，3，16，共4个 ．
4．DeepSeek 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务，其活跃用户数
在上线21天后达到了
万，将
万用科学记数法表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法的一般形式为
，其中要求
，n为
正整数，进行解答，即可．
【详解】解：
万
．
5．学校开设了“一人一球”的球类选修课，学生可以从乒乓球、足球、排球、篮球、羽毛球中选择一门
课进行学习．数学兴趣小组对该校学生球类选修课的选择情况进行随机调查，将收集的数据进行整理并绘
制成两幅统计图，下列说法正确的是（ ）
A．此次调查的学生总数是80 人
B．此次调查中，选择乒乓球的学生人数最多
C．在扇形统计图中，足球所对应的扇形圆心角的度数是36°
D．若该校共有学生1000 人，则该校选择篮球的学生大约有240 人
【答案】D
【分析】计算调查总人数：如果已知某类的人数和对应的占比，那么用该类人数除以对应占比即可得到总
人数，可选择乒乓球的人数和其占比计算．
判断人数最多的项目：因为条形统计图中高度最高的项目对应人数最多，所以直接对比各项目的人数即可．
计算足球对应扇形圆心角：如果已知足球的占比，那么用占比乘以
即可得到对应圆心角度数．
估算全校选篮球的人数：如果已知样本中篮球的占比，那么用全校总人数乘以该占比即可得到估算值．
【详解】选项A：已知选择乒乓球的人数为
人，占总人数的20 %，因此调查总人数为 10÷20 % =50人，
不是80人，A 错误．
选项B：从条形图得各项目人数：乒乓球
人、足球4人、排球16人、篮球12人、羽毛球8人，人数最多
的是排球，不是乒乓球，B 错误．
选项C：足球占比
，对应扇形圆心角为
，不是
，C 错误．
选项D：篮球占比为
，因此
人中选择篮球的人数约为
人，D 正确．
6．汝窑是宋代五大名窑之首，在中国陶瓷史上素有“汝窑为魁”之称．某汝窑瓷器工厂烧制茶具，每套
茶具由2 个茶壶和3 只茶杯组成．用1 千克瓷泥可做3 个茶壶或9 只茶杯，现要用6 千克瓷泥制作茶具，设
用x 千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套．根据题意，下面所列方程正确的是，（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据配套时总套数相等的关系列方程即可．
【详解】解：设用x千克瓷泥做茶壶，则用
千克瓷泥做茶杯，
1
∵
千克瓷泥可做3 个茶壶，
∴ 茶壶总数量为
个，
1
∵
千克瓷泥可做9 只茶杯，
∴ 茶杯总数量为
个，
∵ 每套茶具由2 个茶壶和3 只茶杯组成，配套时总套数相等，
∴
，
整理得
．
7．当x =2时，代数式
的值为10，则当
时，代数式
的值为（ ）
A．3
B．-3
C．6
D．9
【答案】A
【分析】本题考查了代数式的整体求值，注意正确地进行运算是解题的关键．先根据x =2时代数式的值为
10，求出
的值，再利用奇次幂的性质得到
时
的值，最后代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵当x =2时，
，
∴
，
∴
，
当
时，
，
∵
，
∴原式
．
故选：A．
8．如图，在△ABC中，
，
，尺规作图操作如下：（1）以点A 为圆心、适当长为半
径画弧，分别交边AB，AC于点D，E；（2）以点B 为圆心、AD长为半径画弧，分别交边BA，BC于点
F，G；（3）再以点F 为圆心、DE长为半径画弧，与弧FG交于点H；（4）画射线BH交边AC于点I．则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据“作一个角等于已知角”的尺规作图可得，
，再计算即可求解．
【详解】解：由题可知，
，
∵
，
∴
．
9．如图所示，C，D 为线段AB上的两点，M 是 AC的中点，N 是BD的中点，如果
，
，
那么线段AB =（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据图形，由 M 是AC的中点，N 是BD的中点，则
，
，故
可求．
【详解】解：∵M 是AC的中点，N 是BD的中点
∴
，
，
∵
，
，
∴
．
10．“格子乘法”是15 世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术、几何及比例性质摘要》一书中介绍的一
种两个数相乘的计算方法．这种方法传入中国之后，在明朝数学家程大位的《算法统宗》中被称为“铺地
锦”．如图1 表示
，运算结果为3036．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则a 的
值是（ ）．
A．2
B．5
C．7
D．8
【答案】B
【分析】根据“格子乘法”的规则，小方格内的数等于上方数字与右侧数字的乘积，且对角线右上部分表
示十位，左下部分表示个位，观察图2 中左上角或右上角方格内的代数式，结合整数乘法性质即可求出a
的值．
【详解】解：由图2 可知，上方数字为3，2，右侧数字为a，4，观察左上角的小方格，其所对的两个数为
3 和a，乘积为3a，
根据图示，该方格对角线下方的数字为a，表示3a的个位数字是a，
∵a 为两位数的十位数字，
∴
，
在1 至9 的整数中，只有
的个位数字与乘数5 相同，
∴a=5，
验证：当a=5时，观察右上角小方格，所对两数为2 和5，乘积
，
图示该方格对角线上方的数字为
，即
，与10 的十位数字1 相符，符合题意．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．计算：
____________．
【答案】7
【详解】解：
．
12．小明在水果店购买草莓，为了解草莓的口味，征求店家同意后，他取了一颗品尝．这种了解方式属于
___（填“普查”或“抽样调查”）．
【答案】抽样调查
【分析】普查是对所有调查对象进行调查，抽样调查是从全部调查对象中抽取部分对象进行调查，根据定
义即可做出判断
【详解】解：本题中，为了解草莓的口味，仅从全部草莓中抽取一颗进行品尝，属于抽取部分对象进行调
查，因此这种了解方式属于抽样调查．
13．已知
，则
_____．
【答案】16
【分析】先去括号，再合并同类项化简，然后将
整体代入计算即可．
【详解】解：∵
，
∴
．
14．已知关于x的方程
的解与方程
的解相同，则m的值为________．
【答案】2
3
【分析】根据同解方程即两个方程的解相同，先求解不含参数的方程得到x 的值，再将x 代入含参数的方
程，即可求出参数m 的值．
【详解】解：解方程
，
解得
．
解方程
，
解得
．
∵两个方程的解相同，
，解得 m= 2
3．
15．如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，EF ∥AB，点G为线段AB上一点，连接CG，
与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD于点M、N，若
，则
________°．
【答案】35
【分析】根据角平分线的定义可得
，
，再根据
及
进行等量代换即可求解．
【详解】解：
平分
，
，
平分
，
，
，
，
．
16．七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案，如图，用边长为1dm
的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是_____dm2．
【答案】3
8/
【分析】阴影部分的面积等于边长为1 的正方形面积减去一个直角边的长为1 的等腰直角三角形的面积，
再减去一个直角边的长为1
2的等腰直角三角形的面积，据此列式求解即可
【详解】解：
，
∴阴影部分的面积为3
8．
三、解答题（第17--第22 题，每题8 分；第23，24 题，每题12 分；共8 小题，共72 分）
17．计算：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)9
(2)−16
【详解】（1）解：
（2）解：
=−16
18．解下列一元一次方程
(1)
(2)
【答案】(1)x = 4
(2)
【详解】（1）解：移项，得
，
合并同类项，得2 x =8，
系数化为1，得x = 4．
（2）解：去分母，得
，
去括号，得
，
移项，得
，
合并同类项，得
，
系数化为1，得
．
19．直线AB与CD相交于点
分别是
的角平分线．
(1)若
，求∠AOD和
的度数；
(2)试问射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系？为什么？
【答案】(1)
(2)射线OD与OF互相垂直，理由见解析
【分析】根据平角的定义，得到
，利用等量代换与角平分线的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：∵
是平角，
，
∴
，
∵
分别是
的角平分线，
∴
，
∴
．
（2）解：射线OD与OF垂直，理由如下：
∵
分别是
的角平分线，
∴
，
∵
是平角，
∴
，
即
，
∴
，
∴射线OD与OF互相垂直．
20．某生态示范园要对A、B、C、D 四个品种共500株果树幼苗进行成活实验，并选出成活率高的品种进
行推广．通过实验得知，C 种果树幼苗成活率为
，把实验数据绘制成下列两幅统计图（部分信息未
给出）：
(1)从生态示范园选取实验所用果树幼苗的数量来分析，园主更倾向于 种果树幼苗；
(2)C 种果树幼苗的成活数是 株；
(3)生态示范园园主最终选择D 种果树幼苗进行推广，通过计算（含估算）分析说明．
【答案】(1)A
(2)
(3)解：∵A、B、D 果树幼苗的成活数分别为
、85、
株，A、B、D 果树幼苗分别占总幼苗株数的
30 %、20 %、25 %，
A
∴
果树幼苗的成活率
，
B 果树幼苗的成活率
，
D 果树幼苗的成活率
．
，
∴应选择选择D 种果树幼苗进行推广．
【分析】（1）由A、B、C、D 四个品种果树幼苗占全部果树幼苗的百分率进行比较即可得出园主更倾向
于A 种果树幼苗；
（2）先由C 种果树幼苗占全部果树幼苗的百分率即可求得C 种果树幼苗的数量，再根据C 号果树幼苗的
成活率即可求得C 号果树幼苗的成活数；
（3）分别求得4 种果树幼苗成活率，比较大小后就可得到应选哪一种果树幼苗进行推广．
【详解】（1）解：
，
∴园主更倾向于A 种果树幼苗．
（2）解：
（株）
即C 种果树幼苗的成活数是
株．
（3）略．
21．如图，长方形的长为a，宽为b．现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画出
四分之一圆．
(1)用含a，b的代数式表示图中阴影部分的面积；
(2)当
，
时，求图中阴影部分的面积．（π取3）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）长方形的面积减去四个1
4 圆的面积即可求解，四个1
4 圆的面积的和是一个整圆的面积；
（2）把a，b的值代入求解即可．
【详解】（1）解：根据题意知，阴影部分的面积为
；
（2）解：当
，
时，
阴影部分的面积为
．
22．小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，
向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）：
，
，
，
，
，
．
(1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？
(2)小李距集合点最远为______千米．
(3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12 千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行
程？请说明理由．
【答案】(1)小李在集合点的南边，距集合点1 千米
(2)2
(3)能，理由见解析
【分析】（1）将题中所记录的数据相加求和即可得出答案；
（2）分别求出这6 次行驶距离集合点的路程，比较即可；
（3）分别求出这6 个数的绝对值，相加求和，然后与12 进行比较即可得出答案．
【详解】（1）解：
=−1（千米），
答：小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的南边，距集合点1 千米；
（2）第一次距离集合点
（千米），
第二次距离集合点
（千米），
第三次距离集合点
（千米），
第四次距离集合点
（千米），
第五次距离集合点
（千米），
第六次距离集合点
（千米），
因为
，
所以小李距集合点最远为2 千米，
故答案为：2；
（3）能，理由：
（千米）
千米，
所以在中间不充电的情况下，他能完成上面的行程．
23．已知直角三角板ABC 中，
，∠ABC =90°，将三角板ABC 绕着点A 旋转得到
，旋
转角记为
．
(1)当旋转方向为逆时针方向，且
时（如图1），求
和
的大小；
(2)当旋转方向为逆时针方向，且
时，在图2 中，画出旋转得到的
；
(3)当
时．
①若
，求
的度数．
②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D 为BC上一点，
，在旋转过程中，若
与∠BAD始终满足
为定值，求常数m 的值．
【答案】(1)
，
；
(2)见解析；
(3)①
或30
∘；②
．
【分析】（1）由旋转的性质可得，
，
，进而根据角的和差关系即可
求解；
（2）根据题意画出图形即可；
（3）①分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形解答即可求解；②由旋转的性质得
，即得
，进而可得
，
，即得到
，即可得
，求
出m 的值即可求解．
【详解】（1）解：∵将三角板ABC绕着点A 旋转得到
，
，
，
，
；
（2）解：如图，把AB，AC绕点A 逆时针旋转90°，得到
和
，
连接
，得到
，
即为所求作；
（3）解：①如图，当旋转方向为逆时针方向时，
，
，
，
，
解得
；
当旋转方向为顺时针方向时，
，
，
，
，
解得
；
综上，
的度数为
或30°；
②由旋转性质可得，
，
，
，
，
，
，
与∠BAD始终满足
为定值，
，
解得
，
∴常数m 的值为
24．综合与实践：
进位制是人们为了计算和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，
逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．
材料一：最常用的是十进制，例如：6273 中的6 表示6 个千，2 表示2 个百，7 表示7 个十，3 表示3 个一，
所以十进制数
，十进制数一般不标注基数．
材料二：二进制是逢二进一，例如
就是二进制数1101 的简单写法，将十进制数转化为二进制可以
用除2 取余法，以此类推，8 进制就是除8 取余法，k进制就是除k取余法，例如：
．
材料三：n进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数
转换为十进制数为：
；八进制
．
根据上述材料解答下列问题：
(1)观察感知：六进制的基数为__________，逢__________进一．
(2)问题解决：十进制63 对应的二进制数为__________，二进制
对应的十进制数为__________．
(3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示12 年为一周期的循环，
这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B．其
中A代表10，B代表11.请同学们结合材料三提供的“n进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制
转化为十进制数．
(4)拓展应用：将二进制数
转化为七进制数是多少？（思路：先将二进制数转化为十进制数，再
转化为七进制数）
【答案】(1)6；六
(2)
；89
(3)2026
(4)
【分析】（1）根据逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几，据此即可解答；
（2）仿照材料二中的思路，运用除2 取余法，可知把十进制63 对应的二进制数为
，根据材料三
中：n 进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：二进制
对应的十进制的数为89；
（3）根据材料三中：n 进制转换为十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：
将十二进制
转化为十进制数为2026；
（4）根据材料三中：n 进制转换为十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：
将
转化为十进制数为38，仿照材料二中的思路，运用除7 取余法，将所得的十进制数转化为七
进制数为
．
【详解】（1）解：六进制的基数为6，逢六进一，
（2）解：运用除2 取余法，如图所示，
∴十进制63 对应的二进制数为：
，
二进制
对应的十进制的数为：
，
（3）解：将十二进制
转化为十进制数为：
，
（4）解：先将
转化为十进制数为：
，
运用除7 取余法，如图所示，
将所得的十进制数转化为七进制数为：
．
